10
cos 2
l g
m U
k kayu
16 dengan U
bola
diberikan oleh
cos
2
R l
g m
U
bola
17
dengan U
air
diberikan oleh
cos cos
z R
l g
m U
a air
18 dan pada persamaan 10, 13, dan 18 dipakai defenisi Lampiran A
R z
8 3
14
C. Lagrange
Persamaan Lagrange L ditentukan atas dasar energi dari sistem baik energi kinetik, energi potensial maupun energi redaman, disamping gaya luar yang bekerja. Dengan
menggunakan persamaan T dan U dari persamaan 7 dan 15 diperoleh Lagrangian L sebagai berikut [3][5].
U T
L
19
2 2
2 2
2 2
3 1
2 1
6 1
R m
R l
m l
m L
b b
k
2 2
2 2
2 2
2
2 1
5 1
cos 2
2 1
z m
R m
z R
l z
R l
m
a a
a
cos cos
cos cos
2 1
z R
l g
m R
l g
m gl
m
a b
k
20
D. Euler-Lagrange
Kemudian persamaan L disubstitusikan ke dua persamaan Euler-Lagrange sebagai berikut [4][7].
1
L
L dt
d 21
2
L
L dt
d 22
Pada ruas kanan persamaan 21 dan 22 telah diperhitungkan gaya gesekan dengan asumsi bahwa besar gaya gesekan sebanding dengan kecepatan sudut dengan arah
berlawanan terhadap arah simpangan. Didalam penelitian ini, diasumsikan bahwa
gesekan dengan udara sangat kecil sehingga dapat diabaikan
1
=0 dan gesekan antara air dan dinding bola tidak diabaikan, sehingga
1
≠0 Dengan menyelesaikan persamaan 21 dan 22 didapatkan hasil sebagai berikut
11
2 1
h h
24 dan
2 1
g g
25 Dan pada persamaan 24 dan 25 dipakai defenisi Lampiran B.
E. SKEMA NUMERIK RUNGE-KUTTA
Skema numerik Runge-Kutta dipakai untuk memudahkan dalam membuat bahasa program pada MATLAB 7.0, adapun skema numerik untuk persamaan 24 dan 25
adalah sebagai berikut
, ,
, ,
1
t f
, ,
, ,
2
t f
Kemudian dibuat vektor
U
dengan elemen sebagai berikut:
4
3 2
1
U U
U U
phidot phi
thetadot theta
U
Sehingga diperoleh
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
2 1
t F
t f
t f
dt U
d
dt d
dt d
dt d
dt d
Kemudian membuat program menggunakan bahasa pemrograman MATLAB 7.0 menggunakan metode Runge-kutta. yang nantinya akan dicari untuk Mode simpangan
1. Variasi panjang kayu l = 0,18 m, l = 0,28 m, dan l = 0,38 m dengan jari-jari bola R
0,18 m. 2.
Variasi jari-jari bola R = 0,18 m, R = 0,28 m, dan R = 0,38 m dengan panjang kayu l 0,18 m
Selanjutnya dilakukan eksperimen dengan cara memvideokan gerak ayunan bandul kemudian video tersebut diekstrak dan dicari pola grafik nya, selanjutnya grafik yang
didapat akan digunakan untuk perbandingan dengan grafik hasil dari simulasi.
III. HASIL DAN ANALISA
