12
B. Jenis-Jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis sesuai dengan sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan
ada tidaknya rusuk ganda, berdasarkan jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi
arah pada rusuk Munir, 2005:357.
Berdasarkan ada tidaknya gelang loop yaitu rusuk yang menghubungkan sebuah simpul dengan dirinya sendiri atau rusuk ganda pada suatu graf, maka secara
umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, graf sederhana dan graf tak
sederhana.
1. Graf Sederhana Simple Graph
Graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai rusuk ganda dan atau, gelang. Pada graf sederhana, rusuk adalah pasangan tak terurut
unordered pairs Harju:2012. Jadi rusuk u, v sama dengan v, u. Menurut Munir 2005 graf sederhana juga dapat didefinisikan sebagai G = V, E,
terdiri dari V, himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E, himpunan pasangan tak terurut yang berbeda yang disebut rusuk. Berikut adalah contoh
graf sederhana.
Gambar 2.7 Contoh Graf Sederhana
13 Menurut Siang 2002 beberapa graf sederhana khusus yang sering digunakan
adalah sebagai berikut. a.
Graf Lengkap Complete Graph Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap dua simpulnya
bertetangga. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K
n
. Setiap simpul pada K
n
berderajat n – 1. Banyaknya rusuk pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah nn – 12.
Gambar 2.8 Graf Lengkap Complete Graph
b. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan
C
n
.
Gambar 2.9 Graf Lingkaran C
3
dan C
4
14 c.
Graf Teratur Regular Graph Graf teratur adalah graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat
yang sama. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r.
Gambar 2.10 Graf Teratur Derajat 3
d. Graf Bipartit Bipartite Graph
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V
1
dan V
2
, sedemikian sehingga setiap rusuk di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V
1
ke sebuah simpul di V
2
disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G V
1
, V
2
.
Gambar 2.11 Graf Bipartit Bipartite Graph
2. Graf Tak Sederhana Unsimple Graph
Graf yang mengandung rusuk ganda atau gelang dinamakan graf tak sederhana unsimple graph Harju:2012. Ada dua macam graf tak
sederhana, yaitu graf ganda multigraph atau graf semu pseudograph. Graf ganda adalah graf yang mengandung rusuk ganda. Graf semu adalah graf
yang mengandung gelang loop.
15
Gambar 2.12 Contoh Graf Tak Sederhana Graf Ganda dan Graf Semu
Selain berdasarkan ada tidaknya rusuk ganda dan jumlah simpul pada suatu graf, graf juga dapat dikelompokkan berdasarkan orientasi arah pada
rusuknya.Pengelompokan berdasarkan orientasi arah pada rusuknya digolongkan menjadi dua yaitu graf tak berarah dan graf berarah Bondy, Murty :1982.
1. Graf Tak Berarah Undirected Graph
Graf tak berarah adalah graf yang rusuknya tidak mempunyai orientasi arah. Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh rusuk tidak
diperhatikan Siang, 2002:194. Jadi V
1
, V
2
= V
2
, V
1
adalah rusuk yang sama.
Gambar 2.13 Contoh Graf Tak Berarah
2. Graf Berarah Directed Graph Harju, 2012:5
Graf berarah adalah graf yang setiap rusuknya memiliki orientasi arah. Rusuk pada graf berarah disebut busur arc. Pada graf berarah, u, v dan v,
16 u menyatakan dua buah busur yang berbeda. Jadi u, v
≠ v, u. Untuk busur u, v, simpul u dinamakan simpul asal initial vertex dan simpul v
dinamakan simpul terminal terminal vertek. Graf berarah ini seringkali di jadikan dasar dalam pembentukan model mengenai aliran proses, peta lalu
lintas, sistem jaringan listrik, jaringan telepon, analisis jejaring sosial, dan lain sebagainya. Pada graf berarah, adanya gelang diperbolehkan, tetapi rusuk
ganda tidak.
Gambar 2.14 Graf Berarah C.
Traveling Salesman Problem
Traveling salesman problem TSP adalah mencari rute untuk salesman yang dimulai dari lokasi awal, mengunjungi serangkaian kota kemudian kembali ke
lokasi semula sedemikian sehingga jarak total yang ditempuh adalah jarak minimal dan setiap kota dikunjungi tepat satu kali. Gutin, 2006 : 1
Menurut Radolp W Hall 2003: 423, tiga tujuan kriteria yang paling penting dalam penyelesaian program rute tersingkat adalah.
1. Meminimalkan jumlah kendaraan.
2. Meminimalkan waktu tempuh total.
3. Memastikan setiap rute seimbang dalam syarat waktu pelaksanaan rute.
17 Traveling salesman problem dapat di modelkan dalam graf tak berarah dan
berbobot. Berikut representasi banyaknya sirkuit TSP dalam graf .
Gambar 2.15 Graf K
Dari Graf K berbobot dicari banyaknya sirkuit dari simpul A kembali lagi ke simpul A. Terdapat 6 sirkuit pada Graf K yaitu, A-B-C-D-A, A-D-C-B-A, A-C-
D-B-A, A-B-D-C-A, A-D-B-C-A, dan A-C-B-D-A, sehingga banyaknya sirkuit s dapat dicari dengan
ݏ ൌ ሺ݊ െ ͳሻǨ Rusuk-rusuk dalam graf K tidak berarah sehingga
, ,
, A
B w
B A
w
sehingga banyaknya sirkuit menjadi
ݏ ൌ
ሺିଵሻǨ ଶ
karena sirkuit A-B-C-D-A = A-D-C-B-A, A-C-D-B-A= A-C-D-B-A, dan A-C-B- D-A = A-D-B-C-A. Jadi banyaknya semua kemungkinan sirkuit ditentukan dengan
rumus 2.2. Pada Skripsi ini, sirkuit dalam permasalahan TSP disebut dengan rute perjalanan.
Menurut Gutin 2006: 16. Secara matematis, permasalahan TSP dapat diformulasikan sebagai.
1 .
2
2 .
2
18 ݉݅݊݅݉݅ݖ݁ ܿ
ݔ
ୀଵ
ୀଵ
dengan kendala ݔ
ൌ ͳǡ
ୀଵ
݆ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݊
ݔ
ൌ ͳǡ
ୀଵ
݅ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݊
ݔ
א ሼͲǡͳሽǡ݅ǡ ݆ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݊ Jika disajikan dalam bentuk tabel
Tabel 2.1. Tabel Permasalahan TSP
v
1
v
2
... v
n
ݔ
ୀଵ
v
1
c
11
x
11
c
12
x
13
...
c
1n
x
1n
1 v
2
c
21
x
21
c
22
x
22
...
c
2n
x
2n
1 ...
... ...
... ...
v
n
c
n1
x
n1
c
n2
x
n2
...
c
nn
x
nn
1 ݔ
ୀଵ
1 1 1 n
c
ij
pada tabel tersebut merepresentasikan waktu dari simpul i ke simpul j. Sedangkan x
ij
merepresentasikan ada tidaknya jalur dari simpul i ke simpul j. Sesuai dengan kendala, x
ij
bernilai 0 jika tidak ada jalur yang menghubungkan simpul i ke j dan x
ij
bernilai 1 jika ada jalur dari yang menghubungkan simpul i ke j.
19
D. Algoritma
Kategori