Model Optimisasi Portofolio Dengan Metode Shortfall Sebagai Ukuran Risiko

MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN METODE
SHORTFALL SEBAGAI UKURAN RISIKO

TESIS

Oleh

BENAR
087021013/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN METODE
SHORTFALL SEBAGAI UKURAN RISIKO

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

BENAR
087021013/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN
METODE SHORTFALL SEBAGAI UKURAN
RISIKO
Nama Mahasiswa : B e n a r
Nomor Pokok
: 087021013
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S. M.Sc.)
Ketua

(Prof. Dr. Tulus, M.Si.)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Pebruari 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 17 Pebruari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Prof. Dr. Opim Salim S. M.Sc

Anggota

:

1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Metode shortfall adalah sebuah model stokastik tahap ganda yang dapat digunakan
untuk menjelaskan ukuran risiko. Ukuran risiko dengan shortfall erat kaitannya dengan standar deviasi, VaR dan ukuran risiko lain yang sejenis. Dalam kajian ini,
permasalahan optimisasi yang akan ditentukan penyelesaiannya adalah ukuran meanshortfall. Penyelesaian permasalahan optimisasi portofolio ini disederhanakan dengan
menggunakan optimisasi linier programming yang selanjutnya menjelaskan mengenai
alokasi asset serta permasalahan perhitungan asset yang terbatas dengan pendekatan
metode shortfall yang memiliki kelebihan lain yaitu mean-variance sehingga lebih
memudahkan penyelesaian optimisasi yang diinginkan.
Kata kunci : optimisasi portofolio , stokastik dominans, rata-rata shortfall

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Shortfall method is a second-order stochastic dominance that we can use to a risk
measure. Shortfall method as a risk measures have a relationship to such commonly
used risk measures as standard deviation,VaR. We show that the mean- shortfall optimization problem, unlike mean-VaR , can be solved efficiently as a convex optimization
problem, while the sample mean-shortfall portofolio optimization problem can be solved
very efficiently as a linier optimization problem. To know the answered of optimization portofolio model with shortfall method as a risk measures, we provide empirical
evidence in assets allocation and in a problem of tracking an index using only a limited
number of assets that the mean-shortfall approach might have advantages and get the
optimal solution.
Keywords : portofolio optimization, stochastic dominance, mean shortfall

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan
Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah
satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis
untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang juga menjadi Pembanding
dalam tesis ini.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai Pembimbing I yang telah banyak
memberi masukan-masukan yang bermanfaat dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si sebagai Pembimbing II yang penuh kesabaran
membimbing dan mengarahkan penulis sehingga tesis ini dapat selesai.
Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng. sebagai Pembanding yang juga banyak

memberikan masukan dan arahan sehingga sempurnanya tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah
membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.

iii
Universitas Sumatera Utara

Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan.
Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA
USU tahun 2008. Khususnya rekan-rekan dari Politeknik Negeri Medan dan Jurusan
Matematika FMIPA USU antara lain Bapak Ardianta, Bapak Makmur Tarigan,
Bapak Satriawan Taruna, Bapak Baihotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan,
Bapak Djakaria Sebayang, Ibu Rusmini Dewi, dan Ibu Sinek Malem Br.
Pinem, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada Istri tercinta
dan tersayang Elisa Damehati Br. Sembiring Meliala dan keluarga besar terkhusus Ayahanda Alm Selamat Surbakti yang lebih dahulu menghadap Bapa disurga
beserta Ibunda Rakut Br Sembiring Meliala dan Ibu mertua Dhina Br Ginting begitu juga abang, kakak, dan adik-adik yang turut mendoakan, mendukung,
dan memberi semangat kepada penulis, selama mengikuti perkuliahan di Program
Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.

Istimewa untuk anak-anakku tercinta dan tersayang Kiki Meyvi Gratia Br. Surbakti, Bella Joretta Br.

Surbakti, dan Suranta Eben Haezer Surbakti.

Kiranya Allah Bapa di Surga selalu memberkati kita semua.
Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis
ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia
yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti kata
pepatah tak ada gading yang tak retak.
Medan, 17 Pebruari 2011
Penulis,

Benar

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Benar Surbakti anak kedua dari enam bersaudara dari pasangan Selamat Surbakti(Alm) & Rakut br Sembiring Meliala, dilahirkan di Berastagi Tanah Karo Simalem pada tanggal 2 April 1965.Menamatkan Sekolah Dasar (SD) di SD GBKP

Bersubsidi Medan pada tahun 1977,Sekolah Menengah Pertama(SMP) di SMP Negeri
X Medan pada tahun 1981,Sekolah Menengah Atas(SMA) di SMA Tunas Kartika
I Jurusan IPA(A-2) Medan pada tahun 1984.Sejak Agustus 1984 penulis tercatat
sebagai mahasiswa FMIPA USU Jurusan Matematika dan lulus tahun 1989.Mulai
tahun 1988-1992 penulis mulai mengajar di STM TDPF Medan,tahun 1992-2000 di
SMA Dharma Bakti Medan ,tahun 1999-2005 di Universitas Karo Kabanjahe. Sejak
tahun 1990 sampai sekarang penulis menjadi Dosen di Politeknik Negeri Medan.Pada
tahun 1991 penulis menikah dengan Elisa Damehati br Sembiring Meliala. Tahun
2009 penulis mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika di Sekolah
Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Selama kurun waktu dua tahun belajar
di Pascasarjana USU, penulis banyak mendapatkan pengalaman belajar yang sangat
berharga. Berkat doa dan dukungan keluarga tercinta, akhirnya penulis dapat menyelesaikan pendidikan S-2 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara di tahun 2011, dan memperoleh gelar Magister Sains Matematika (M.Si)
dengan judul Tesis : ”Model Optimisasi Portofolio Dengan Metode Shortfall
Sebagai Ukuran Risiko”.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman

ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

2

1.3 Tujuan Penelitian

2

1.4 Kontribusi Penelitian

2

1.5 Metodologi Penelitian

2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

4

2.1 Portofolio dan Perkembangan Pasar

4

2.2 Saham Sebagai Portofolio

5

2.3 Metode Shortfall

6

2.4 Ukuran Risiko

8

2.5 Model Loyalitas

10

2.6 Proses Markov

12

BAB 3 SHORTFALL

14

3.1 Pengertian Shortfall

14

3.2 Ukuran Shortfall

15

vi
Universitas Sumatera Utara

3.3 Alternatif Nilai dari Shortfall
BAB 4 OPTIMISASI SHORTFALL

16
20

4.1 Optimisasi Shortfall

20

4.2 Portofolio Dengan Ukuran Risiko

22

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

24

5.1 Kesimpulan

24

5.2 Saran

24

DAFTAR PUSTAKA

25

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Metode shortfall adalah sebuah model stokastik tahap ganda yang dapat digunakan
untuk menjelaskan ukuran risiko. Ukuran risiko dengan shortfall erat kaitannya dengan standar deviasi, VaR dan ukuran risiko lain yang sejenis. Dalam kajian ini,
permasalahan optimisasi yang akan ditentukan penyelesaiannya adalah ukuran meanshortfall. Penyelesaian permasalahan optimisasi portofolio ini disederhanakan dengan
menggunakan optimisasi linier programming yang selanjutnya menjelaskan mengenai
alokasi asset serta permasalahan perhitungan asset yang terbatas dengan pendekatan
metode shortfall yang memiliki kelebihan lain yaitu mean-variance sehingga lebih
memudahkan penyelesaian optimisasi yang diinginkan.
Kata kunci : optimisasi portofolio , stokastik dominans, rata-rata shortfall

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Shortfall method is a second-order stochastic dominance that we can use to a risk
measure. Shortfall method as a risk measures have a relationship to such commonly
used risk measures as standard deviation,VaR. We show that the mean- shortfall optimization problem, unlike mean-VaR , can be solved efficiently as a convex optimization
problem, while the sample mean-shortfall portofolio optimization problem can be solved
very efficiently as a linier optimization problem. To know the answered of optimization portofolio model with shortfall method as a risk measures, we provide empirical
evidence in assets allocation and in a problem of tracking an index using only a limited
number of assets that the mean-shortfall approach might have advantages and get the
optimal solution.
Keywords : portofolio optimization, stochastic dominance, mean shortfall

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Risiko adalah pengaruh positif ataupun negatif dari ketidakpastian pada suatu sasaran (objektif).Risiko bisa berasal dari ketidakpastian pada pergerakan harga
pasar, nilai tukar, suku bunga dan lain-lain.Banyak metode pengukuran risiko yang
muncul dan diujicobakan oleh para pelaku pasar(Bessel,1998), diantaranya Value at
Risk ( VaR ) yang dipopulerkan oleh J.P.Morgan dan dianggap sebagai metode standar
dalam mengukur risiko pasar. Akan tetapi konsep VaR hanya efektif dalam kondisi
pasar yang normal,sehingga tidak dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang
dapat menyebabkan runtuhnya pasar.
Metode pengukuran risiko lainnya adalah metode Stress Testing dan Mean Varians.Metode Stress Testing dirancang sebagai pendekatan subyektif terhadap risiko
terbesarnya dan tergantung pada pertimbangan pelakunya human judgement .Sedangkan metode Mean Varians yang dikembangkan oleh Markowitz adalah dalam konteks
pemilihan Portofolio saham bersama dan diterapkan juga dalam alokasi asset. Pendekatan Mean Varians merupakan penyederhanaan terhadap sejumlah permasalahan
optimisasi dengan penyeimbang risiko.
Dalam hal kredit berisiko, ada dua model yang populer. Kedua model tersebut
adalah model pendekatan struktural atau disebut juga model nilai perusahaan dan
model pendekatan tereduksi. Model pendekatan struktural mengemukakan bahwa
nilai asset perusahaan mengikuti proses difusi. Model ini didasari oleh metode opsi
harga dengan mengasumsikan utang perusahaan terdiri dari bond tanpa bunga.
Portofolio pada umumnya terdiri dari sejumlah aset yang dimiliki oleh perusahaan.

Sementara itu, model pendekatan tereduksi mengasumsikan tidak adanya

hubungan antara nilai perusahaan dan kegagalan. Kenyataannya asumsi kedua model
pendekatan di atas tidak sesuai dengan kejadian di lapangan, kegagalan dapat terjadi
kapan saja, artinya perusahaan dapat gagal secara tiba-tiba atau berangsur-angsur.

1
Universitas Sumatera Utara

2
Penelitian ini akan membahas tentang model optimisasi portofolio dengan metode
shortfall sebagai ukuran risiko. Dalam konteks menentukan ukuran risiko dari portofolio fungsi utilitas menunjukkan preferensi seorang investor terhadap berbagai pilihan investasi dengan masing-masing risiko dan keuntungan yang diharapkan. Metode
shortfall dapat menentukan ukuran risiko dari portofolio yan dimiliki oleh perusahaan.
1.2 Perumusan Masalah
Penelitian ini membangun model optimisasi portofolio dengan metode shortfall
sebagai ukuran risiko. Masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah:
a. Menjelaskan pengertian standar deviasi, portofolio, serta ukuran risiko dalam
perilaku pasar.
b. Menjelaskan metode shortfall dan ukuran risiko.
c. Menentukan model optimisasi portofolio dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko.

1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan sebuah model
portofolio optimisasi dengan pendekatan metode shortfall sebagai ukuran risiko.
1.4 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada beragam masalah
yang berhubungan dengan risiko dalam bidang investasi terutama yang berhubungan
dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa referensi jurnal. Jurnal yang dipergunakan adalah jurnal yang
bersifat internasional dan sesuai dengan perkembangan ilmu optimisasi dan penerapannya dalam bidang matematika. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah
sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

3

a. Mempelajari permasalahan yang berhubungan dengan shortfall sebagai ukuran
risiko.
b. Mengumpulkan bahan-bahan kajian pustaka yang dapat mendukung pendekatan
model portofolio optimisasi.
c. Menjelaskan difinisi tentang shortfall, optimisasi dan ukuran risiko.
d. Menentukan model portofolio optimisasi dengan shortfall sebagai ukuran risiko.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Portofolio dan Perkembangan Pasar
Portofolio merupakan surat-surat berharga sebagai investasi perusahaan yang
terus dikembangkan. Salah satu surat berharga tersebut dikenal dengan istilah saham. Saham (stock/share) adalah surat bukti atas kepemilikan suatu perusahaan.
Pemegang saham adalah pemilik perusahaan, atau orang yang menanamkan uangnya
sebagai modal ke dalam perusahaan tersebut. Pemegang saham sebagai pemilik perusahaan berhak atas deviden, yaitu bagian keuntungan perusahaan yang dibagikan
kepada para pemegang saham, di samping berhak ikut serta dalam RUPS (Rapat
Umum Pemegang Saham) serta memiliki hak suara sesuai dengan proporsi jumlah
lembar saham yang dimilikinya.
Ada dua macam permainan saham, yaitu perdagangan saham (trading) dan
investasi saham (investment). Perdagangan saham bertujuan mendapatkan keuntungan dari selisih harga jual dan harga beli saham /capital gain, sedangkan investasi
saham lebih dimaksudkan untuk memiliki perusahaan dengan tujuan untuk mendapatkan bagian keuntungan/deviden. Para investor saham menggunakan analisis
fundamental (fundamental analysis) untuk dasar pengambilan keputusan pembelian
saham, sedangkan para trader menggunakan analisis teknikal (technical analysis) untuk dasar pengambilan keputusan melakukan jual atau beli saham. Analisis fundamental berdasarkan pada faktor-faktor fundamental, yaitu kondisi lingkungan bisnis
yang berpengaruh pada suatu industri tertentu dan juga kondisi internal perusahaan
yang sahamnya akan dibeli. Analisis teknikal lebih mendasarkan pada fluktuasi harga
dan kecenderungan (trend) harga saham bersangkutan di bursa.
Perdagangan saham (trading) bersifat jangka pendek, yaitu saat pembelian saham dan penjualan kembali saham bersangkutan, tidak lebih dari 1 tahun. Oleh
karena itu, kita mengenal adanya perdagangan harian (daily trading), transaksi pembelian dan penjualan saham tertentu dilakukan pada hari yang sama (misalnya: beli
pada sesi pagi, jual pada sesi siang/ sore); atau perdagangan mingguan (weekly trading), trader melakukan transaksi pembelian dan penjualan saham dalam minggu
4
Universitas Sumatera Utara

5
yang sama; atau perdagangan bulanan (monthly trading), transaksi dalam bulan yang
sama; atau perdagangan triwulanan (quarterly trading), transaksi dalam triwulan
yang sama; atau perdagangan semesteran, transaksi dalam semester yang sama; atau
perdagangan tahunan dalam tahun yang sama. Pada prinsipnya, perdagangan (trading) adalah dengan memegang saham kurang dari 1 tahun, atau saham bersangkutan
sudah dilepas atau dijual kembali kurang dari 1 tahun sejak dibeli. Apabila suatu
perusahaan melakukan trading saham, maka surat berharga tersebut akan tercatat
atau dibukukan di Neraca Perusahaan dalam Aktiva Lancar, yaitu pada rekening
Marketable Securities (sekuritas yang diperjualbelikan atau diperdagangkan).
Peluang keuntungan yang dapat diperoleh dari bermain saham umumnya dengan memanfaatkan pola fluktuasi harga saham yang membentuk gelombang dan
sedang dalam kondisi kecenderungan gelombang naik (bullish).
Di samping peluang keuntungan capital gain yang dapat diperoleh dari bermain
saham, ada juga risiko dari bermain saham, yaitu mengalami kerugian (capital loss)
karena harga jual saham di bawah harga beli yang dapat terjadi seandainya kita membutuhkan uang dan terpaksa harus menjual saham, sementara harga saham sedang
turun dan berada di bawah harga belinya.
2.2 Saham Sebagai Portofolio
Saham sebagai surat berharga adalah salah satu yang termasuk investasi dalam
bentuk portofolio. Portofolio berupa pembelian saham berhubungan dengan penjualan dan tingkat persaingan harga serta jumlah uang yang beredar sehingga diketahui ukuran risiko dari investasi portofolio yang akan dibeli tersebut. Perbedaan
persaingan harga yang tinggi dan disesuaikan dengan jumlah uang yang beredar maka
diperoleh beberapa parameter yang bergerak walupun sementara beberapa variabel
lain tetap konstan. Untuk setiap parameter, diperkirakan harga loyalitas dinamis
akan ditemukan sebagai sebuah fungsi (Leeflang dan Wittink, 1996). Model ini sudah
sering digunakan untuk menganalisis harga promosi dan membandingkan perkiraan
parameter dengan studi terbaru dari ( Kopalle, et al 1999).
Model loyalitas dinamis membandingkan reaksi koefisien harga dengan memperkirakan model yang sama pada penelitian terhadap merek deterjen pencuci piring.

Universitas Sumatera Utara

6
Para penulis menemukan koefisien campuran positif, negatif dan tidak signifikan, yang
mungkin tidak tampak mengejutkan karena model yang ditunjukkan adalah harga
koefisien reaksi bisa positif atau negatif. Untuk menghubungkan temuan model loyalitas dinamis dengan (Kopalle, et al 1999) maka perlu diklasifikasikan enam cairan
pencuci piring ke dalam dua kelompok berdasarkan-pada pangsa pasar. ”Pengorganisasian koefisien reaksi harga dengan cara ini mengarah pada pola hasil yang
serupa dengan model loyalitas dinamika dirancang. Ketika merek memiliki pangsa
pasar yang serupa dan secara statistik seluruh koefisien reaksi harga signifikan adalah
negatif. Model loyalitas dinamis menawarkan prediksi yang sama, jika pangsa pasar
dari dua perusahaan serupa maka harga koefisien reaksi negatif. Jika merek pangsa
yang tinggi bersaing dengan merek pangsa rendah, (Kopalle, et al 1999) menemukan
bahwa reaksi harga lebih cenderung menjadi positif. Model persaingan harga dan
loyalitas dinamis akan menawarkan model prediksi yang sama: jika pangsa pasar
dari dua perusahaan yang asimetris terjadi maka harga koefisien reaksi positif. Bukti
empiris ini konsisten dengan hasil yang diperoleh dan menawarkan dukungan awal untuk model loyalitas dinamis yang terbentuk berdasarkan hasil penjualan ketiga jenis
produk . Namun, pengujian empiris yang lebih kuat diperlukan untuk memperkecil
kendala-kendala yang timbul dalam proses persaingan harga hingga penetapan harga
produk perusahaan agar mampu bersaing secara loyal dinamis. Persaingan harga dan
jumlah uang yang beredar akan menentukan ukuran risiko daripada portofolio yang
akan dibeli sebagai investasi perusahaan.
2.3 Metode Shortfall
Standar deviasi σ dari portofolio merupakan ukuran yang sering digunakan
dalam menghitung risiko dari persoalan keuangan. Untuk menghitung variansi σ 2 dari
portofolio dalam persoalan ekonomi dihitung dengan memakai optimisasi kuadratik
seperti yang dijelaskan oleh Markowitz (1959), dalam perhitungan standar sebuah perusahaan yang memiliki portofolio dalam bidang industri. Selanjutnya ( Huang dan
Litzenberger, 1988 atau Ingersoll, 1987) mengajukan mean variansi portofolio berupa
persoalan memaksimumkan nilai peluang dari para investor jika fungsi utilitasnya
merupakan fungsi kuadratik, fungsi normal, atau fungsi distribusi yang elips simetris.
Ada beberapa konsep yang harus dimengerti jika menggunakan ukuran standar deviasi dalam mengukur risiko portofolio dalam persoalan ekonomi , yaitu :

Universitas Sumatera Utara

7
a. Gambaran utilitas kuadratik merupakan ukuran yang sulit dijabarkan secara
rinci terutama dalam hal menjabarkan naik atau turunnya fungsi risiko portofolio yang akan diukur.
b. Asumsi dari distribusi elips yang simetris merupakan persoalan distribusi yang
problematik karena ada kemungkinan distribusi risiko yang diminta berada
diluar dari asset yang dimiliki oleh perusahaan dalam kenyataan yang terjadi dilapangan.Secara umum dari sebuah fungsi ellips persoalan ukuran risiko adalah
persoalan yang dipengaruhi asset dari perusahaan serta nilai marketing yang
dimiliki oleh perusahaan sehingga mempengaruhi pergerakan perkembangan
dari perusahaan ( King dan Wadhani,1990 ). Distribusi yang asimetris akan
membuat standar deviasi lebih sulit mengukur ukuran risiko yang harus diseimbangkan dengan nilai asset serta penjualan yang diperoleh oleh perusahaan
tersebut.
Sejalan dengan kesulitan-kesulitan yang ditemukan dalam hal mengukur risiko
portofolio dari perusahaan maka dibutuhkan alternatif yang dapat membuat proporsi
dan analisis dari persoalan portofolio di perusahaan. Pendekatan standar deviasi sebagai ukuran risiko dari portofolio tertentu adalah kurang tepat karena teknik komputasi
sulit untuk digunakan secara realitas serta sulit untuk menentukan hasil perhitungan
risiko akhir jika menggunakan standar portofolio.
Value at Risk (VaR) adalah sebuah standar yang digunakan dalam ukuran
risiko pada bidang manajemen risiko ,Yamai (2004).

Banyak persoalan ekonomi

yang berhubungan dengan permasalahan meminimumkan risiko menggunakan konsep
Value at Risk, walaupun banyak permasalahan yang ditemukan dalam penggunaan
model Value at Risk seperti tingkat penggunaan model VaR, sehingga saat ini persoalan ukuran risiko sudah banyak menggunakan metode shortfall karena lebih tepat
digunakan serta mempunyai perhitungan yang lebih akurat untuk meminimumkan
risiko dalam bidang risiko manajemen khususnya yang menyangkut portofolio. Model
shortfall dapat digunakan pada persoalan kredit portofolio yang diikuti dengan tingkat
penjualan yang tinggi. Pada tahapan tertentu model shortfall lebih baik penggunaannya pada ukuran portofolio yang luas dibandingkan dengan model VaR.

Universitas Sumatera Utara

8
Model Gaussian adalah salah satu model yang dikenal dalam bidang risiko
ekonomi untuk memprediksi ketidakpastian tentang risiko yang akan terjadi dimasa
mendatang, (Taamouti, 2009). Penggunaan model Gaussian cukup akurat karena
model Gaussian melibatkan semua faktor-faktor yang penting jika terjadi fluktuasi
serta pengelompokan dalam penjualan portofolio. Proses analisis portofolio menggunakan shortfall sebagai ukuran risiko akan lebih baik jika dibandingkan Value at
Risk (VaR) karena model shortfall mengekspektasikan kondisi portofolio secara lebih
mendetail.
Fungsi ekspektasi shortfall adalah sebuah pedekatan nonparametrik untuk mengestimasi model portofolio, (Zongwu, 2008). Estimasi nonparametrik dengan ekspektasi shortfall digunakan untuk membangun model portofolio menggunakan time series
data. Distribusi linear digunakan sebagai model estimasi yang menguntungkan secara
berkesinambungan dengan proses seleksi. Secara umum model shortfall memberikan
ilustrasi empiris akurat dan efisien jika dijadikan estimasi dalam persoalan portofolio
optimisasi.
2.4 Ukuran Risiko
Teorema Bayes dapat digunakan untuk mengekspektasikan perolehan yang dinyatakan dalam satuan moneter dan merupakan pengukuran yang tepat untuk konsekuensi pengambilan tindakan, walaupun dalam situasi tertentu pengambilan keputusan dengan teori Bayes memiliki beberapa kelemahan. Hal ini dimungkinkan misalnya walaupun suatu perusahaan tidak menginvestasikan sumberdayanya untuk suatu
produk baru, bahkan walaupun profit yang diharapkan cukup besar, jika ada risiko
kehilangan investasi atau bahkan menimbulkan kebangkrutan. Orang membeli suatu
asuransi meskipun hal tersebut mungkin suatu hal yang buruk, jika dilihat dari sudut
pandang ekspektasi perolehannya. Contoh-contoh tersebut bisa menyatakan bahwa
teori Bayes memiliki kelemahan. Untuk menutupi kelemahan tersebut, ada tahapan
yang harus dilakukan yaitu mentransformasikan nilai moneter menjadi suatu skala
yang tepat untuk menggambarkan preperensi dari pengambil keputusan.
Dalam perkembangan ilmu ekonomi dikenal istilah utilitas marginal uang turun.
Utilitas marginal uang turun dapat didifinisikan sebagai kemiringan fungsi akibat
peningkatan jumlah uang. Hal ini sering disebut dengan istilah penghindar risiko.

Universitas Sumatera Utara

9
Meskipun demikian tidak semua individu mempunyai utilitas marginal uang turun.
Beberapa individu disebut sebagai pencari risiko, kebalikan dari penghindar risiko,
dan mereka selalu berupaya untuk mencari skor tinggi. Kemiringan fungsi utilitas
naik seiring dengan peningkatan jumlah uang yang dilibatkan. Meskipun beberapa
orang terlihat netral dalam mengambil risiko, yang menghargai uang sesuai dengan
nilai uang tersebut. Utilitas uang individu tersebut sebanding dengan banyaknya
uang yang dilibatkan.
Seseorang juga sangat mungkin untuk memilih setiap risiko yang akan dihadapinya jika berhubungan dengan jumlah peningkatan atau penurunan jumlah uang.
Seseorang mungkin menjadi netral dalam mengambil risiko pada saat jumlah uang
yang dilibatkan sedikit, kemudian menjadi pencari risiko pada saat jumlah uang yang
dilibatkan cukup banyak dan kemudian kembali lagi menjadi penghindar risiko jika
uang yang dilibatkan sangat banyak. Perilaku tersebut dapat berubah tergantung
pada keadaan yang sedang dihadapi. Perilaku individu terhadap risiko juga berbeda
saat seseorang dihadapkan pada berbagai jenis situasi dan keadaan, misalnya hal yang
berhubungan dengan masalah keuangan pribadi ataupun masalah keuangan organisasi. Manager perusahaan harus mempertimbangkan keadaan perusahaannya dan
filosofi manajemen puncaknya pada saat mengambil keputusan yang berkaitan dengan organisasi. Kenyataan bahwa orang yang berbeda akan mempunyai fungsi utilitas yang berbeda terhadap uang mempunyai implikasi yang penting pada pembuatan
keputusan dalam kondisi ketidakpastian.
Pada saat fungsi utilitas untuk uang digunakan dalam pendekatan analisis keputusan, fungsi utilitas ini harus dibangun agar sesuai dengan selera dan nilai pengambil
keputusan. Pengambil keputusan dapat saja merupakan seorang individu atau organisasi. Sifat dasar fungsi utilitas dapat merupakan kunci untuk membangun fungsi
utilitas. Maka fungsi utilitas untuk uang dari seseorang pengambil keputusan mempunyai sifat menilai tidak ada berbeda di antara dua alternatif tindakan, jika alternatif
tersebut memiliki ekspektasi utilitas yang sama. ( Pennings, 2003)
Pada saat fungsi utilitas untuk uang dari seseorang pengambil keputusan digunakan untuk mengukur berbagai kemungkinan relative perolehan maka aturan keputusan Bayes akan mengganti perolehan moneter dengan utilitas yang bersesuaian, oleh
karena itu tindakan optimal adalah suatu tindakan yang akan memaksimalkan ekspek-

Universitas Sumatera Utara

10
tasi utilitas. Fungsi utilitas tidak hanya berhubungan dengan alternatif yang bersifat
uang, walaupun kebanyakan ukuran risiko selalu berhubungan dengan investasi yang
berharga seperti portofolio.
2.5 Model Loyalitas
Beberapa model loyalitas dinamis telah dikembangkan untuk menentukan seberapa besar harga rata-rata dari pembelian yang dilakukan oleh konsumen untuk
dijadikan sebagai data dalam membuat model persaingan harga dari perusahaan agar
mampu bersaing, (Seetharaman,et al 1999). Permasalahan dalam model loyalitas
dinamis dimana yang selama ini ada adalah model loyalitas yang dibangun hanya
digunakan untuk menghitung nilai loyalitas. Pada penelitian ini penulis mencoba
membangun model loyalitas dinamis dengan model rantai Markov.
Seringkali dianggap bahwa suatu perusahaan yang memiliki konsumen setia yang
lebih banyak akan menetapkan harga rata-rata yang lebih tinggi dan melakukan promosi lebih sedikit dibanding perusahaan pesaing. Ini merupakan prediksi dalam model
promosi yang sesuai dengan fakta bahwa konsumen yang setia lebih tertutup menghadapi perubahan biaya. Model dimulai dengan asumsi beberapa konsumen adalah
konsumen yang sudah dimiliki, akan tetapi sebagian besar loyalitas konsumen diciptakan melalui pengalaman terhadap produk disebut sebagai loyalitas dinamis. Saat
mengembangkan kebijakan penetapan harga pada situasi yang demikian, seseorang
harus seimbang dalam menawarkan harga rendah untuk menguji dan membangun
loyalitas ketimbang menawarkan harga tinggi untuk memperoleh laba dari konsumen
yang setia melakukan pembelian berulang. Analisa pasar yang dinamis perlu dilakukan untuk menunjukkan bahwa suatu perusahaan dengan konsumen yang setia
akan lebih banyak membebankan harga rata-rata yang lebih rendah.
Model promosi dinamis pada loyalitas konsumen menjelaskan konsumen loyal
statis selalu lebih menyukai satu perusahaan dan tidak pernah membeli dari perusahaan pesaing. Konsumen loyal dinamis pada awalnya indiferen tetapi dapat menjadi
loyal setelah melakukan pembelian. Perbedaan harga dalam perusahaan serta kemampuan berbeda akan menghasilkan loyalitas dinamis. Analogi terhadap literatur yang
ada menunjukkan bahwa suatu perusahaan dengan kemampuan menghasilkan konsumen loyal dinamis yang lebih besar menjadi kuat dan pesaingnya menjadi lemah.

Universitas Sumatera Utara

11
Perusahaan kuat memiliki insentif lebih besar untuk menawarkan harga lebih rendah untuk menghasilkan harga yang bersaing tetapi akan menaikkan harga begitu
dasar keloyalan konsumen terbentuk. Hal ini tampak pada siklus penetapan harga
tinggi-rendah untuk menghasilkan harga yang bersaing dan mencapai laba pada pembelian berulang. Sebaliknya, perusahaan lemah menciptakan umpanbalik positif lebih
sedikit dari suatu pengalaman membeli dan memiliki konsumen loyal dinamis lebih
sedikit. Hal ini akan mengurangi insentif yang ditawarkan pada harga-harga lebih
rendah untuk menghasilkan harga bersaing, akhirnya menaikkan harga rata-rata perusahaan. Pada bagian ini dijelaskan mengapa suatu perusahaan kuat menawarkan
harga rata-rata lebih rendah dibanding perusahaan yang lemah.
Pengembangan model loyalitas dinamis dilakukan dengan cara menganalisis di
mana konsumen dianggap tetap selama tiga periode. Hal ini mengakibatkan kemungkinan menyatakan bahwa kita memberi label k = 0, 1, 2, dan 3. Dalam keadaan
0 terdapat 20 konsumen loyal dinamis pada perusahaan yang kuat dan nol untuk
perusahaan lemah. Dalam keadaan 3 terdapat 2θs konsumen loyal dinamis untuk
perusahaan yang kuat dan nol untuk perusahaan lemah. Dalam keadaan 1 dan 2
terdapat konsumen loyal dinamisθs + θw yang bertahan untuk satu atau dua periode
tambahan. Hal ini menyatakan bahwa konsumen lama akan memiliki satu periode
yang tersisa dan konsumen yang baru akan memiliki dua periode yang tersisa. Dalam
keadaan 1, terdapatθs konsumen lama dan θw konsumen muda. Dalam keadaan 2,
terdapat θs konsumen muda dan θw konsumen tua.
Analisis model analog yang tersedia dari model akan ditentukan oleh fungsi Vjk
dan pk . Nilai ekuilibrium untuk Vjk dan pk memerlukan persamaan dan beberapa di
antaranya diketahui dari Fjk (pk ) = 0. Ada beberapa kemungkinan keadaan dan di
setiap keadaan suatu perusahaan memiliki satu titik massa, yang mengarah kepada
penyelesaian solusi pemecahan masalah. Model ini menjelaskan solusi analog dengan
kasus 1 di mana perusahaan yang kuat memiliki penjualan pada titik tertentu dalam
keadaan 0 atau 2 serta perusahaan lemah memiliki titik massa dalam keadaan 1
dan 3. Dalam masing-masing keadaan, perusahaan dengan penjualan pada titik tertentu menawarkan harga terendah pada periode sebelumnya dan karenanya diperoleh
kelompok baru dari konsumen loyal dinamis.

Universitas Sumatera Utara

12
Analisis model menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh semakin kaya dengan
model yang lebih kompleks. Asumsi bahwa konsumen bertahan selama dua periode
menghasilkan model loyalitas dinamis dan hasil yang diperoleh terus berlaku selama
konsumen bertahan lebih dari dua periode. Untuk menggambarkan kesamaan model
selanjutnya dapat dilakukan plot harga yang diharapkan. Hal ini mempertimbangkan
dua keadaan yang berbeda (keadaan 1 dan 3) di mana satu perusahaan memiliki 2 θj
konsumen loyal dinamis dan perusahaan lain adalah nol.
Secara keseluruhan hal ini menjelaskan bahwa perusahaan akan menawarkan
harga tinggi dalam beberapa periode untuk mengambil keuntungan pada basis konsumen yang loyal. Ketika basis konsumen yang loyal cukup rendah, perusahaan akan
menawarkan serangkaian promosi yang mendalam untuk membangun dasar loyalitas
konsumen. Begitu basis loyalitas konsumen ditetapkan, maka siklus akan berulang.
2.6 Proses Markov
Sebuah proses Markov Xt dikatakan sebagai proses stokastik jika terdapat nilai
Xt, dan nilai Xs untuk s > t dan terdapat nilai lain yaitu Xu untuk u < t. Hal ini
menjelaskan bahwa peluang proses selanjutnya dapat diketahui berdasarkan kondisi
kenyataan saat ini. Waktu diskrit rantai Markov adalah proses dimana setiap tahap
dari Markov merupakan tahap yang dapat dihitung (finite) dalam waktu t = (0,1,2)
dengan model Markovnya :
= Pr { Xn+1 = j|Xo = jo , .....Xn−1 = in−1 , Xn = 1}
= Pr {Xn+1 = j|Xn = i}
Perusahaan dalam menjalankan aktifitasnya selalu berhubungan dengan persaingan harga sebelum memasarkan produknya. Perusahaan-perusahaan yang bersaing harga dan memiliki produk sama akan bersaing lebih ketat dalam hal menentukan harga dari produk-produk perusahaan agar laku dibeli oleh konsumen, sehingga
perusahaan lebih mampu bersaing.
Pemasaran merupakan penjualan produk oleh produsen kepada konsumen dengan memperhatikan faktor-faktor berhubungan dengan waktu penjualan, harga pasar,

Universitas Sumatera Utara

13
dan tingkat persaingan harga. Persaingan harga merupakan proses penjualan oleh
produsen mendapatkan daya beli dari konsumen. Dalam menentukan harga produk
perusahaan harus memiliki data akurat dan keputusan tepat agar produk perusahan
benar-benar laku dipasaran dan mampu bersaing di pasar bebas dengan memperhatikan data dari daya beli konsumen berdasarkan priode penjualan tertentu.
Menentukan model persaingan harga produk perusahaan maka perusahaan harus
memiliki model supaya harga yang ditetapkan sesuai dengan kebutuhan daya beli konsumen. Model tersebut tentunya harus dibangun dengan asumsi-asumsi dasar sebagai
teori dasar menyatukan kebutuhan yang dimiliki para konsumen, termasuk jenis produk yang dipasarkan, ukuran produk, daya beli, kemasan, strategi penjualan akhirnya
menjadi model penjualan berdasarkan analisis kebutuhan pasar.
Berdasarkan kebutuhan pelanggan sebuah produk perusahaan dapat menentukan sebuah model persaingan harga dengan loyalitas dinamis. Ketika perusahaan
mencoba membangun sebuah kepercayaan pelanggan terhadap rencana harga produk yang dikeluarkan maka perusahaan harus melihat lingkungan penjualan produk,
penetapan harga minimal. Harga yang diinginkan kemudian ditetapkan berdasarkan
pembelian dengan target keuntungan yang akan diperoleh.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
SHORTFALL

3.1 Pengertian Shortfall
Indikator-indikator untuk menentukan VaR adalah pergerakan harga pasar, nilai
tukar rupiah, suku bunga adalah hal-hal yang lazim digunakan untuk mengukur risiko.
Portofolio menurut Markowitz adalah perhitungan ukuran rsiko secara umum dengan
memuat indikator-indikator yang mempengaruhi ukuran risiko dari sebuah investasi
yang dimiliki oleh perusahaan.
Untuk menentukan nilai ekspektasi dari proses stokastik perlu dijabarkan pengertian tentang metode shortfall. Model investasi pada umumnya berdasar pada nilai
utilitas maksimum yang didifinisikan dengan fungsi u(.) Hal ini menunjukkan investasi dengan nilai peluang X lebih condong didasarkan pada nilai variabel Y dimana
X dan Y merupakan variabel- variabel dengan kepadatan yang kontinu (Levy dan
Kroll,1978;Levy,1992) ,diperoleh:
a. E[u(X)] ≥ E[u(Y )] untuk setiap u εU1 jika dan hanya jika qα (X) ≥ qα (Y ), ∀αε(0, 1)
dan nilai penyeimbang persamaan yang dimaksud adalah α.

b. E[u(X)] ≥ E[u(Y )] untuk setiap nilai uεU2 jika dan hanya jika E[X | X ≤
qα(X)] ≥ E[Y | Y ≤ qα (Y )], ∀αε(0, 1) dan nilai penyeimbang persamaan yang

dimaksud adalah α .
Keterangan :

R : Peluang ekspektasi keseluruhan investasi
sα : Nilai minimum risiko metode shortfall
α

: Ukuran risiko

qα : Nilai penyeimbang ukuran risiko
X,Y: Nilai kepadatan variabel kontinu
E

: Nilai ekspektasi

14
Universitas Sumatera Utara

15
Jika nilai fungsi utility dari investor adalah u εU2 , jika dan hanya jika fungsi
tersebut membentuk fungsi konveks. Maka diperoleh nilai rata-rata portofolionya
adalah nilai minimum dari risiko metode shortfall yang dijabarkan sebagai berikut:

′

′

′

′

sα (x) = µ x − E[R x | R x ≤ qα(R x)], ∀αε(0, 1)

(1)

Himpunan (0,1) merupakan elemen bilangan integer, dan (0,1) memiliki arti : 0 untuk
investasi portofolio yang gagal atau risiko rendah serta 1 untuk investasi yang berhasil
ataupun risiko tinggi. Nilai dari sα (x) adalah ukuran kehilangan nilai investasi dari
peluang total investasi portofolio yang dimiliki perusahaan.
3.2 Ukuran Shortfall
Model distribusi shortfall membentuk ellips simetris yang memiliki nilai proporsional dengan standar deviasi, dimana standar deviasi yang dimaksud adalah ukuran
dari risiko. Kemudian distribusi variansi dari risiko tersebut dapat dituliskan dalam
bentuk model sebagai berikut :
sα (x) = µ − [X | X ≤ qα (X)] = µ −
1
= − ασ√
2π

R gα (x)

1
=− √
α 2π

−∞

Z

1
√

ασ 2π
2

R qα (x)
−∞

2

x exp(− (x−µ)
)dx
2σ 2

)dx
(x − µ)exp(− (x−µ)
2σ 2

zα

y exp(−

−∞

Φ(zα )
y2
)dy =
)σ
2
α

(2)

Metode shortfall memiliki hubungan relasi dengan VaR yaitu :
a. Shortfall dari level α adalah rata-rata VaR untuk setiap nilai x, sehingga diperoleh sα (x) = 1′α
b. sα (x) ≥ VaRα (x)
c. Kedua nilai sα (x) dan VaRα (x) adalah fungsi turun untuk setiap nilai α
Karena sα(x) = 1/α
sα2(x) =

α1
s (x)
α2 α1

+

R∞
0

1
α2

VaR u(x) du, maka diperoleh:

R α2
α1

VaR u(x) du

Universitas Sumatera Utara

16
≤
≤

α1
s (x)
α2 α1
α1
s (x)
α2 α1

+

+

Rα
1
VaRα1 (x) α12
α2

du (dimana VaR u(x) turun)

α2 −α1
sα1 (x)
α2

= sα1 (x)

(3)

Kemudian selanjutnya diperoleh model Markowitz dari sebuah ukuran portofolio
adalah sebagai berikut :

LP Ma (τ ; X) :=

Z

τ
−∞

(τ − t)adFX (t),

a≥0

(4)

Ukuran risiko yang koheren selanjutnya berbentuk ρ(X) yang merupakan nilai
investasi acak dari X adalah variabel dari fungsi ukuran risiko yang dimaksud dengan
beberapa aksioma yang dipenuhi:

a. Translasi untuk setiap nilai aε R, ρ(X + a) = ρ(X) − a
b. Nilai investasi dari X dan Y, ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y )
c. Memiliki nilai homogen untuk setiap t ≥ 0, ρ(tX) = tρ(X)
d. Selalu bernilai positip untuk X ≥ 0, ρ(X) ≤ 0
3.3 Alternatif Nilai dari Shortfall
Nilai alternatif dari shortfall adalah merupakan fungsi konveks dari ukuran sampel rata-rata metode shortfall yang merupakan model optimisasi dengan fungsi sebagai
berikut :
ρα (z) = αz − z1{z q∝ (X)] − E[X | X ≤ q∝ (X)]} ≥ 0

(8)

Selanjutnya ditentukan nilai dari ∇xsα (x), dimana:
∂S∝ (x)
∂xk

= µk −

′
′
1 ∂
E[(R x)1{R x
∝ ∂xk

′

≤ q∝ (R x)}

Dengan mengingat sifat distribusi berikut ini
VaR ( 12 x1 + 21 x2) > 12 VaR (x1 ) +

1
2

VaR (x2)

maka diperoleh:
∂S∝ (x)
∂xk

= µk −

1 ∂
∝ ∂xk

= µk −

1 ∂
∝ ∂xk

= µk −

1
∝

1
−
∝

Z

RR

R2

′

(u + xk v)1{u + xk v ≤ q∝ (R x)}f (u, v)du dv

R ∞ R q∝ (R′ x)−xk v
−∞

−∞

R ∞ R q∝ (R′ x)−xk v
−∞

∞

−∞

(u + xk v)f (u, v) du dv

f(u, v) du dv

′

∂q∝(R x)
′
′
− v)q∝(R x)f(q∝ (R x) − xk v, v)dv
(
∂xk
−∞

(9)

Universitas Sumatera Utara

18
dengan nilai α adalah:
∝=

RR

f(u, v)du dv =
{(u,v):u+xkv≤qu(R x)}

∇2x sα (x)

′

′

R ∞ R qα (R′ x)−xk v
−∞

−∞

f(u,v) du dv

f ′ (q∝ (R x))
′
′
Cov(R | R x = q∝ (R x))
= Rx
∝

(10)

Andaikan:
r(1)(x) ≤ r(2)(x) ≤ . . . ≤ r(T )(x)
Nilai estimasi non parametrik sα (x) adalah:
K
1 X
sˆ∝ (x) = x r¯ −
rj (x)
K j=1
′

(11)

Kemudian diperoleh nilai rata-rata portofolio adalah sebagai berikut :
s∝ (rp) = s∝ (x∝ (rp)) ≤ s∝ (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λs∝ (x1) + (1 − λ)s∝ (x2 )
= λs∝ (rp1 ) + (1 − λ)s∝ (rp2)

(12)

Diperoleh model nilai variansi minimumnya adalah :
′

σ(rp ) = minimize x

kendala

′

P

x

′

x µ + (1 − e x)rf = rp

(13)

σ(rp) = A(rp − rf ) dimana A = ((µ − erf )Σ−1 (µ − erf ))−1′2

(14)

s∝ (rp ) = minimize s∝ (x)

kendala

′

′

x µ + (1 − e x)rf = rp

(15)

Universitas Sumatera Utara

19
Model Laggrange:
∂L
∂x

′

′

= µ − E(R | x R ≤ q∝ (R x)) − γ(µ − erf ) = 0

∂L
′
′
= rp − (x µ + (1 − x e)rf ) = 0
∂γ

(16)

Solusi optimal ditentukan dengan model :

µj − rf = βj,∝ (x∝ )(rp − rf ), j = 1, . . . , n
βj,∝ (x) =

1 ∂s∝ (x)
s∝ (x) ∂xj

′

=

(17)

′

µj −E(Rj |x R≤q∝ (R x))
,j
x′ µ−E(x′ R|x′ R≤q∝ (R′ x))

= 1...,n

Dengan mengalikan persamaan (16) dengan x dan gunakan persamaan (16) yang
kedua maka diperoleh nilai γ,yaitu:

′

′

′

′

′

′

′

′

µ x − E(x R | x R ≤ q∝ (R x))
µ x − E(x R | x R ≤ q∝ (R x))
=
γ=
′
′
x µ − rf e x
rp − rf

(18)

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
OPTIMISASI SHORTFALL

4.1 Optimisasi Shortfall
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung risiko dan
ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap (tahap
ganda). Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan
kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain.
Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor
deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal secara
deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian
persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager
pada persoalan di atas adalah meminimumkan nilai rata-rata biaya, yang mana tidak
hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada
tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap
dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin
keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Optimisasi shortfall dapat dihitung dengan menggunakan dua tahapan yaitu
algoritma yang dilakukan dengan pendekatan distribusi dari R dengan data yang
dimiliki oleh model investasi. Model rata-rata sampel untuk risiko shortfall ditentukan
dengan model optimisasi yaitu :
′

x r¯ −
Zsample =minimize
x
kendala

′

x r¯ = rp ,

1
K

K
P

r(i)(x)

i=1

′

xe=1

(1)

Selanjutnya model disubstitusikan dengan variabel x menjadi :
′

x r¯ −
Zsample =minimize
x

1
K

K
P

zi

i=1

20
Universitas Sumatera Utara

21
′

t
X
i=1

X

zi ≤

′

′

x r¯ = rp

kendala

′

ri x,

xe=1

S :| S |= t,

iǫS

t = 1, . . . , T

(2)

Model Linier Optimisasi dari metode shortfall adalah:
′

x r¯ − t +
Zsample =minimize
x,t,z
′

kendala

′

T
P

zi

i=1

′

x r¯ = rp

zi ≥ t − x ri ,

1
K

xe=1

zi ≥ 0,

i = 1, . . . , T

(3)

Model optimisasi yang memuat vector v adalah:
minimize
z

T
P

vi zi

i=1

kendala

T
X

zi = K,

0 ≤ zi ≤ 1, i = 1, . . . , T

i=1

(4)

Diperoleh model dualitas yang merupakan solusi optimal:
maximize
Kt
t,y

+

T
P

yi

i=1

kendala t + yi ≤ vi ,

yi ≤ 0, i = 1, . . . , T

(5)

Model (2) dapat disederhanakan kembali menjadi :
1 max
(Kt
K t,y

′

Zsample =minimize
x r¯ −
x
kendala

′

+

T
P

yi )

i=1

′

x r¯ = rp

xe=1
′

t + yi ≤ x ri ,

yi ≤ 0, i = 1, . . . , T

Dengan mengingat kenyataan bahwa nilai max (θ) = - min (−θ),maka diperoleh:

Universitas Sumatera Utara

22
T
P

1
K

′

Zsample =minimize
x r¯ − t −
x,t,y

′

kendala

x r¯ = rp
′

t + yi ≤ x ri ,
′

x r¯ − t +
Zsample =minimize
x,t
kendala

yi

i=1

1
∝T

′

xe=1

yi ≤ 0, i = 1, . . . , T
T
P

i=1

′

(t − x ri )+

′

x r¯ = rp

′

xe=1

Model standar deviasi diperoleh:
ZQP = minimize (x

′

P

x)1′2

kendala

′

(x Σx)1′2 =

′

Ax ≤ b,

∝
s∝ (x)
φ(z∝ )

ˆs∝ (x) = x r¯ −

1
K

K
P

(6)

r(j) (x)

j=1

Nilai standar deviasi diperoleh:

ˆ 1′2 =
(x Σx)
′

K
α
1 X
′
{x r¯ −
r(j)(x)}
φ(zα)
K j=1

(7)

Model standar deviasi tersebut dibuat oleh (Dimitris Bertsimas ,et al 2003)
dalam Journal of Economic Dynamics & Control yang berjudul ”Shortfall as a risk
measure: properties, optimization and applications”.
4.2

Portofolio Dengan Ukuran Risiko
Para manajer professional dari portofolio biasanya menggunakan model kom-

puter berbasis pemrograman nonlinier untuk memandu pekerjaan mereka, oleh karena
investor harus memperhatikan baik investasi pendapatan maupun risiko investasi,
pemrograman nonlinier digunakan untuk menentukan portofolio maupun sebagai ukuran risiko investasi. Pemrograman nonlinier digunakan untuk menentukan portofolio

Universitas Sumatera Utara

23
yang pada asumsi tertentu dapat menghasilkan keseimbangan optimal antara kedua
faktor tersebut. Pendekatan ini sebagian besar merupakan hasil riset dalam bidang
ekonomi.
Model pemrograman nolinier dapat dijabarkan misalnya n adalah jenis saham
/ sekuritas yang sedang dipertimbangkan untuk masuk dalam portofolio dan variabel
keputusan xj (j = 1, 2, 3, . . . , n) adalah jumlah share dari saham j yang masuk dalam
portofolio. µj dan σij adalah rata-rata dan variansi masing-masing untuk pendapatan
setiap share antara saham i dan saham j. Oleh karena sulit mengestimasi seluruh nilai
σjj pendekatan yang biasa dilakukan adalah membuat asumsi tentang perilaku pasar
sehingga memungkinkan untuk menentukan σij dari persamaan yang mengandung σii
dan σjj .
Kemudian nilai ekspektasi R(x) dan Variansi V(x) dari total seluruh pendapatan
portofolio:

Nilai ekspektasi : R(x) = Σµj xj
Nilai variansi

: V(x) = ΣΣσij xi xj

Keterangan:
R(x) = Nilai Ekspektasi Risiko Portofolio
V(x) = Nilai Variansi Risiko Portofolio
x

= Variabel Keputusan Portofolio

j

= Ukuran Sampel Portofolio

µ

= Jenis Portofolio

σ

= Perilaku Pasar
Dengan V(x) mengukur risiko yang terasosiasi dengan portofolio. Salah satu

cara untuk mempertimbangkan keseimbangan antara dua faktor adalah dengan menggunakan V(x) sebagai fungsi tujuan untuk meminimalkan dan menggunakan kendala
yang memastikan R(x) tidak lebih kecil dari ekspektasi pendapatan minimum yang
diterima.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan
Pembelian dan penjualan sebuah portofolio dapat memiliki risiko yaitu berupa
kerugian. Untuk menentukan ukuran risiko, dapat digunakan model optimisasi portofolio dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko. Metode shortfall sebagai ukuran
risiko dapat digunakan untuk menghitung seberapa besar ukuran risiko dari sebuah
portofolio yang diperoleh dari beberapa sampel yang berasal dari asset seluruh perusahaan. Pada penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa untuk menentukan ukuran risiko dari portofolio dapat digunakan model optimisasi yaitu metode shortfall
sebagai ukuran risiko. Penggunaan stokastik tahap ganda digunakan dalam model
optimisasi portofolio yaitu pembentukan rencana awal secara deterministik kemudian
diselesaikan dengan optimisasi dengan metode shortfall sebagai ukuran risiko.
Kelebihan metode shortfall adalah lebih memperhitungkan risiko secara lebih
spesifik karena menggunakan stokastik tahap ganda sehingga ukuran risiko lebih dapat
di