Optimisasi Portofolio Saham Perbankan dengan Pendekatan Lexicographic Goal Programming
OPTIMISASI PORTOFOLIO SAHAM PERBANKAN DENGAN
PENDEKATAN
LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING
SKRIPSI
JENTINA ROTUA PANJAITAN
100803049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
(2)
OPTIMISASI PORTOFOLIO SAHAM PERBANKAN DENGAN
PENDEKATAN
LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
JENTINA ROTUA PANJAITAN
100803049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
(3)
PERSETUJUAN
Judul : Optimisasi Portofolio Saham Perbankan dengan Pendekatan Lexicographic Goal Programming
Kategori : Skripsi
Nama : Jentina Rotua Panjaitan Nomor Induk Mahasiswa : 100803049
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2014
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Dr. Esther S M Nababan, M.Sc Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19531218 198003 1 003
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
(4)
PERNYATAAN
OPTIMISASI PORTOFOLIO SAHAM PERBANKAN DENGAN
PENDEKATAN LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2014
JENTINA ROTUA PANJAITAN 100803049
(5)
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus dengan kasih dan berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Optimisasi Portofolio Saham Perbankan dengan Pendekatan Lexicographic Goal Programming.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr. Esther S M Nababan, M.Sc selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT dan Bapak Dr. Parapat Gultom, M.SIE selaku penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika F.MIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan F.MIPA USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan F.MIPA USU. Akhirnya yang teristimewa kepada Ayahanda Lesman Panjaitan dan Ibunda Tionar Raja Guk-Guk serta saudara-saudari penulis Jepri Eduanto Panjaitan, Jenita Oktavia Panjaitan dan Jemi Julianto Panjaitan yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
(6)
OPTIMISASI PORTOFOLIO SAHAM PERBANKAN DENGAN
PENDEKATAN
LEXICOGRAPHIC
GOAL PROGRAMMING
ABSTRAK
Investasi merupakan suatu kegiatan penempatan dana pada aset produktif atau perusahaan dengan harapan mendapatkan pertumbuhan modal (capital growth) atau keuntungan dalam jangka waktu tertentu. Dalam melakukan investasi, seorang investor diharapkan mampu membentuk portofolio, yaitu gabungan atau kombinasi dari beberapa saham. Tujuan optimisasi portofolio adalah menentukan porsi investasi ke setiap aset sehingga dapat memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan risiko. Pada penelitian ini, permasalahan investasi dimodelkan dengan menambah sebuah fungsi tujuan selain memaksimumkan return periode hari dan meminimumkan risiko, yaitu memaksimumkan return periode bulan sebagai pertimbangan terhadap perubahan harga saham setiap bulan. Untuk menentukan portofolio optimal, digunakan metode Lexicographic Goal Programming. Sebagai salah satu metode penyelesaian program tujuan ganda,
Lexicographic Goal Programming mengoptimalkan setiap fungsi tujuan berdasarkan tingkat prioritas atau tingkat kepentingan. Prioritas fungsi tujuan ditentukan berdasarkan bobot yang diperoleh dengan metode Analytic Hierarcy Process.
Kata kunci: Lexicographic Goal Programming, portofolio saham, Analytic Hierarcy Process.
(7)
LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING APPROACH
FOR OPTMIZATION OF BANKING PORTOFOLIO
ABSTRACT
Investment is a fund placement into productive assets or companies with hope of getting capital growth or profit in a certain period. When investing, an investor should make a portfolio, a combination of several stocks. The aim of portfolio optimization is determining each asset-investment portion for maximizing profit and minimzing risk. In this research, investment problem is modeled mathematically by adding another objective besides both maximizing return of day period and minimizing risk, that is maximizing return of month period as a consideration toward stock price change every month. To determine an optimal portfolio, Lexicographic Goal Programming is used. As a method of solving multiobjective optimization problem, Lexicographic Goal Programming optimizing each objective based on priority level or level of importance. Objective’s priority is determined based on its weight which is found by using Analytic Hierarchy Process.
Keywords: Lexicographic Goal Programming, stock portfolio, Analytic
(8)
DAFTAR ISI
Halaman Persetujuan i Pernyataan iv Penghargaan v Abstrak vi Abstract viiDaftar Isi viii
Daftar Tabel x
Daftar Lampiran xi
Bab 1. Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tujuan Penelitian 2
1.5 Kontribusi Penelitian 3
1.6 Metodologi 3
1.6.1 Studi Literatur 3
1.6.2 Pengumpulan Data 3
1.6.3 Pengolahan Data 3
Bab 2. Landasan Teori 5
2.1 Pasar Modal 5
2.1.1 Pengertian Pasar Modal 5
2.1.2 Pengertian Saham 5
2.1.3 Pengertian dan Konsep Dasar Portofolio 6 2.1.4 Terminologi Saham dan Portofolio 7
2.2 Program Tujuan Ganda 9
2.2.1 Program Linier 9
2.2.2 Metode Lexicographic Goal Programming 10
2.2.3 Terminologi Lexicographic Goal Programming 13
2.3 Analytic Hierarchy Process 15
2.3.1 Pengertian Analytic Hierarchy Process 15
2.3.2 Landasan Aksiomatik dan Metode Dasar Analytic Hierarchy
Process 15
Bab 3. Hasil dan Pembahasan 17
3.1 Pengumpulan Data 17
3.2 Pengolahan Data 18
3.2.1. Return Periode Hari 18
3.2.2. Return Periode Bulan 19
3.2.3. Tingkat Risiko 21
3.3 Pembahasan 23
(9)
3.3.2. Penyelesaian Model 30
Bab 4. Kesimpulan dan Saran 47
4.1 Kesimpulan 47
4.2 Saran 48
(10)
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel Judul Halaman
2.1 Nilai Interpretasi Relatif 16
2.2 Nilai Indeks Random (IR) untuk Permasalahan Kecil 16
3.1 Daftar Nama Perusahaan 17
3.2 Return Periode Hari ( ) 19
3.3 Return Bulanan , 20
3.4 Return Periode Bulan ( ) 21
3.5 Return antara BBCA dengan BBNI 22
3.6 Kovarians antara Seluruh Perusahaan 23
3.7 Hasil Maksimum dan Minimum Fungsi Tujuan 40
3.8 Perbandingan Nilai Target 43
3.9 Porsi Perusahaan 45
(11)
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran Judul Halaman
1 Hasil Perhitungan Tinjauan Target Pembuat Keputusan
dengan Menggunakan Software LINGO 13.0 50 2 Hasil Perhitungan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Tujuan dengan Menggunakan Software LINGO 13.0 51 3 Hasil Penyelesaian Optimal Masalah Investasi dengan
Menggunakan Software LINGO 13.0 54 4 Flowchart Algoritma Pembuat Keputusan 56
(12)
OPTIMISASI PORTOFOLIO SAHAM PERBANKAN DENGAN
PENDEKATAN
LEXICOGRAPHIC
GOAL PROGRAMMING
ABSTRAK
Investasi merupakan suatu kegiatan penempatan dana pada aset produktif atau perusahaan dengan harapan mendapatkan pertumbuhan modal (capital growth) atau keuntungan dalam jangka waktu tertentu. Dalam melakukan investasi, seorang investor diharapkan mampu membentuk portofolio, yaitu gabungan atau kombinasi dari beberapa saham. Tujuan optimisasi portofolio adalah menentukan porsi investasi ke setiap aset sehingga dapat memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan risiko. Pada penelitian ini, permasalahan investasi dimodelkan dengan menambah sebuah fungsi tujuan selain memaksimumkan return periode hari dan meminimumkan risiko, yaitu memaksimumkan return periode bulan sebagai pertimbangan terhadap perubahan harga saham setiap bulan. Untuk menentukan portofolio optimal, digunakan metode Lexicographic Goal Programming. Sebagai salah satu metode penyelesaian program tujuan ganda,
Lexicographic Goal Programming mengoptimalkan setiap fungsi tujuan berdasarkan tingkat prioritas atau tingkat kepentingan. Prioritas fungsi tujuan ditentukan berdasarkan bobot yang diperoleh dengan metode Analytic Hierarcy Process.
Kata kunci: Lexicographic Goal Programming, portofolio saham, Analytic Hierarcy Process.
(13)
LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING APPROACH
FOR OPTMIZATION OF BANKING PORTOFOLIO
ABSTRACT
Investment is a fund placement into productive assets or companies with hope of getting capital growth or profit in a certain period. When investing, an investor should make a portfolio, a combination of several stocks. The aim of portfolio optimization is determining each asset-investment portion for maximizing profit and minimzing risk. In this research, investment problem is modeled mathematically by adding another objective besides both maximizing return of day period and minimizing risk, that is maximizing return of month period as a consideration toward stock price change every month. To determine an optimal portfolio, Lexicographic Goal Programming is used. As a method of solving multiobjective optimization problem, Lexicographic Goal Programming optimizing each objective based on priority level or level of importance. Objective’s priority is determined based on its weight which is found by using Analytic Hierarchy Process.
Keywords: Lexicographic Goal Programming, stock portfolio, Analytic
(14)
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Investasi merupakan suatu kegiatan penempatan dana pada aset produktif dengan harapan mendapatkan pertumbuhan modal (capital growth) dalam jangka waktu tertentu. Orang yang melakukan investasi disebut investor. Tidak sedikit investor merasa bingung pada saat akan melakukan investasi atas dana yang dimiliki, misalnya ketika tingkat bunga bank mengalami penurunan. Pandangan ini membuat investasi di sektor finansial mulai berkembang. Investasi yang ditanamkan ke pasar uang berupa deposito, SBI, dan valuta asing, sedangkan yang ditanamkan ke pasar modal berupa saham dan obligasi. Berbagai bentuk instrumen investasi tersebut dapat memberikan peluang besar pada investor untuk meningkatkan pertumbuhan modalnya. Akan tetapi, dalam melakukan investasi, investor harus mempertimbangkan risiko berupa peluang terjadinya kerugian dan adanya batasan modal yang dimiliki oleh investor.
Portofolio merupakan gabungan atau kombinasi dari beberapa aset, baik berupa aset finansial maupun aset riil yang dimiliki oleh investor. Dalam pembuatan portofolio timbul sebuah permasalahan, dari bermacam saham yang dijual di pasar saham diharapkan dapat dibentuk sebuah kombinasi dari saham-saham tersebut sehingga menghasilkan keuntungan optimal. Oleh karena itu, investor harus menyusun strategi untuk memaksimalkan pengembalian (return) yang diharapkan dari investasi dengan mempertimbangkan tingkat risiko tertentu.
Berkaitan dengan kondisi sebagaimana diuraikan di atas, maka penulis akan memberikan pendekatan penyelesaiannya dengan metode lexicographic goal programming. Lexicographic goal programming merupakan pengembangan dari model goal programming di mana tujuan-tujuan yang ingin dicapai memiliki tingkat prioritas atau tingkat kepentingan yang berbeda. Lexicographic goal programming merupakan salah satu model matematika operasi riset yang dapat
(15)
digunakan untuk memecahkan permasalahan optimisasi. Lexicographic goal programming memberikan solusi optimal dari beberapa tujuan dengan meminimumkan jumlah penyimpangan atau deviasi dari tujuan-tujuan yang memiliki tingkat prioritas berbeda terhadap masing-masing nilai tujuan atau goal
yang dikehendaki.
1.2 Perumusan Masalah
Pada penelitian ini, yang menjadi permasalahan adalah menentukan portofolio saham yang optimal dengan pendekatan lexicographic goal programming.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan batasan masalah sebagai berikut: 1. Hanya terdapat satu penilaian pembuat keputusan terhadap bobot setiap fungsi
tujuan.
2. Sumber data harga saham yang digunakan adalah Bursa Efek Indonesia (www.idx.co.id).
3. Pembobotan fungsi tujuan menggunakan Analytic Hierarchy Process (AHP). 4. Data yang diperoleh dapat mewakili data harga saham pada tahun-tahun
sebelumnya.
5. Data harga saham yang digunakan adalah data harga saham pada harga penutupan (close price), dengan mengabaikan fluktuasi harga saham pada satu periode (hari)
6. Data harga saham pada setiap perusahaan tidak bergantung pada perusahaan lainnya.
1.4Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membangun model matematika yang membentuk portofolio investasi saham dan memaksimalkan keuntungannya dengan pendekatan Lexicographic Goal Programming.
(16)
1.5Kontribusi Penelitian
Kontribusi penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Dengan menggunakan pendekatan lexicographic goal programming
diharapkan dapat mengetahui gabungan atau kombinasi saham bagi investor. 2. Menambah wawasan pembaca tentang optimisasi portofolio saham dengan
pendekatan lexicographic goal programming.
3. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian serupa.
1.6 Metodologi 1.6.1 Studi Literatur
Tahap ini dilakukan dengan mengidentifikasi permasalahan, mengkaji metode
lexicographic goal programming, prosedur pembentukan model optimisasi portofolio saham secara matematis, dan cara menentukan prioritas setiap fungsi tujuan dengan Analytic Hierarchy Process. Penelusuran referensi penelitian ini dari berbagai sumber seperti, buku, internet, jurnal maupun penelitian yang telah ada sebelumnya mengenai hal-hal yang berhubungan dengan metode
lexicographic goal programming dalam optimisasi saham.
1.6.2 Pengumpulan Data
Pada tahap ini dilakukan pengumpulan data sekunder yang diperoleh dari web
resmi Bursa Efek Indonesia (www.idx.co.id) yaitu data ringkasan saham harian periode Januari 2013-Maret 2014 pada sembilan perusahaan perbankan.
1.6.3 Pengolahan Data
Berdasarkan data ringkasan saham yang diperoleh dari Bursa Efek Indonesia (BEI) akan dilakukan langkah-langkah berikut ini:
1. Menentukan variabel keputusan, yaitu: a. porsi investasi setiap perusahaan b. deviasi positif atau negatif 2. Menentukan fungsi tujuan
(17)
a. maksimumkan return atau tingkat pengembalian periode hari dan periode bulan
b. minimumkan risiko
3. Menentukan fungsi kendala
Fungsi kendala dalam optimisasi portofolio saham adalah adanya batasan modal yang dimiliki oleh investor.
4. Menentukan prioritas
Dalam penelitian ini, penentuan prioritas fungsi tujuan dengan menggunakan
analytic hierarchy process.
5. Menurunkan model lexicographic goal programming
6. Menghitung derajat optimalitas individu
7. Meninjau nilai fungsi tujuan Pembuat keputusan 8. Penyelesaian contoh kasus
Kasus yang akan diselesaikan mengambil ringkasan saham dari Bursa Efek Indonesia (BEI).
9. Membuat kesimpulan.
(18)
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pasar Modal
2.1.1 Pengertian Pasar Modal
Pasar modal merupakan kegiatan yang berhubungan dengan penawaran umum dan perdagangan efek, perusahaan public yang berkaitan dengan efek yang diterbitkannya, serta lembaga dan profesi yang berkaitan dengan efek. Pasar modal menyediakan berbagai alternatif investasi bagi para investor selain alternatif investasi lainnya seperti, menabung di Bank, membeli emas, asuransi, tanah dan bangunan, dan sebagainya. Pasar modal bertindak sebagai penghubung antara para investor dengan perusahaan ataupun institusi pemerintah melalui perdagangan instrumen keuangan jangka panjang seperti obligasi, saham dan lainnya.
Pasar modal (capital market) merupakan suatu pasar di mana dana-dana jangka panjang baik utang maupun modal sendiri diperdagangkan (Martono dan Harjito, 2001). Dana jangka panjang yang diperdagangkan tersebut diwujudkan dalam surat-surat berharga. Dilihat dari sudut ekonomi makro, peranan pasar modal adalah sebagai suatu piranti untuk melakukan alokasi sumber daya ekonomi secara optimal sehingga naiknya pendapatan nasional, terciptanya kesempatan kerja, dan semakin meningkatnya pemerataan hasil-hasil pembangunan.
Pengertian pasar modal (capital market) menurut Undang-Undang Pasar Modal No. 8 tahun 1995, yaitu kegiatan yang bersangkutan dengan penawaran umum dan perdagangan efek, perusahaan public yang berkaitan dengan efek yang diterbitkannya, serta lembaga dan profesi yang berkaitan dengan efek.
2.1.2 Pengertian Saham
Investasi dalam bentuk surat berharga (sekuritas) biasanya dapat dilakukan melalui pasar uang atau pasar modal (Astuti dan Sugiharto, 2005). Menurut
(19)
Tandelilin (2001), risiko investasi bisa diartikan sebagai kemungkinan terjadinya perbedaan antara return aktual dengan return yang diharapkan.
Saham sebagai tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Wujud saham adalah selembar kertas yang menerangkan bahwa pemilik kertas tersebut adalah pemilik perusahaan yang menerbitkan surat berharga tersebut. Porsi kepemilikan ditentukan oleh seberapa besar penyertaan yang ditanamkan di perusahaan tersebut.
Pengertian saham menurut Martono dan Harjito (2001) adalah surat bukti atau tanda kepemilikan bagian modal pada suatu perusahaan, sedangkan menurut Badan Pengawas Pasar Modal (BAPEPAM), saham adalah sertifikat yang menunjukkan bukti kepemilikan suatu perusahaan pemegang saham memiliki klaim atas penghasilan dan aktiva perusahaan.
2.1.3 Pengertian dan Konsep Dasar Portofolio
Portofolio saham merupakan gabungan atau kombinasi dari beberapa saham (Safitri dan Endang, 2012). Dalam setiap saham pada portofolio memiliki risiko yang harus diminimalkan dengan cara diversifikasi yaitu dengan mengalokasikan dana pada berbagai alternatif investasi pada kombinasi saham pada portofolio. Husnan (2005) menjelaskan bahwa untuk dapat meminimalkan risiko investasi, pemodal dapat melakukan diversifikasi yaitu dengan mengombinasikan berbagai sekuritas dalam investasi, dengan kata lain membentuk portofolio.
Pengembalian yang diharapkan (expected return) dan risiko mempunyai hubungan yang positif. Semakin besar risiko suatu sekuritas, semakin besar pula pengembalian yang diharapkan. Sebaliknya juga benar, yaitu semakin kecil pengembalian yang diharapkan, semakin kecil risiko yang harus ditanggung. Hubungan positif ini hanya berlaku untuk pengembalian yang diharapkan atau
extante return (before the fact), yaitu untuk pengembalian yang belum terjadi. Risiko portofolio adalah varian pengembalian sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio tersebut (Dermawan, 2007). Salah satu pengukur risiko
(20)
adalah deviasi standar (standard deviation) atau varian (variance) yang merupakan kuadrat dari deviasi standar. Risiko portofolio juga dapat diukur dengan besarnya deviasi standar atau varian dari nilai-nilai pengembalian sekuritas-sekuritas tunggal yang ada di dalamnya.
2.1.4 Terminologi Saham dan Portofolio
Terminologi saham dan portofolio berdasarkan PT. Bursa Efek Indonesia: a. Anggota Bursa Efek
Perusahaan Efek yang telah memiliki izin usaha sebagai Perantara Pedagang Efek dari Badan Pengawas Pasar Modal-Lembaga Keuangan (BAPEPAM-LK) dan telah memperoleh Persetujuan Keanggotaan Bursa.
b. Bursa Efek
Pihak yang menyelenggarakan dan menyediakan sistem dan atau sarana untuk mempertemukan penawaran jual dan beli Efek pihak-pihak lain dengan tujuan memperdagangkan Efek di antara mereka.
c. Bursa Efek Indonesia (Bursa)
Perseroan yang berkedudukan di Jakarta yang telah memperoleh izin usaha dari Bapepam sebagai pihak yang menyelenggarakan dan menyediakan sistem dan atau sarana untuk mempertemukan penawaran jual dan permintaan beli Efek pihak-pihak lain dengan tujuan memperdagangkan Efek di antara mereka, sebagaimana dimaksud dalam Pasal 1 angka 4 Undang-undang Nomor 8 Tahun 1995 Tentang Pasar Modal.
d. Capital Gain
Keuntungan yang diperoleh karena perbedaan antara harga beli dan harga jual suatu Efek. Apabila perbedaan tersebut bersifat negatif (rugi) disebut capital loss.
e. Dividend
Bagian laba atau pendapatan perusahaan yang ditetapkan oleh direksi (dan disahkan oleh rapat pemegang saham) untuk dibagikan kepada pemegang
(21)
saham. Pembayarannya diatur berdasarkan ketentuan yang berlaku pada jenis saham yang ada.
f. Efek
Surat berharga, yaitu surat pengakuan utang, surat berharga komersial, saham, obligasi, tanda bukti utang, unit penyertaan kontrak investasi kolektif, kontrak berjangka atas Efek, dan setiap derivatif dari Efek.
g. Emiten
Perusahaan yang memperoleh dana melalui pasar modal, baik dengan menerbitkan saham atau obligasi dan menjualnya secara umum kepada masyarakat.
h. Expected Return
Merupakan return yang diharapkan investor atas investasi.
i. Harga Pembukaan
Harga yang terbentuk pada saat periode pra-pembukaan.
j. Harga Penutupan (closing price)
Harga yang terbentuk berdasarkan penjumpaan penawaran jual dan permintaan beli Efek yang dilakukan oleh Anggota Bursa Efek yang tercatat pada akhir jam perdagangan di Pasar Reguler.
k. Indeks Harga Saham
Indikator pergerakan harga saham yang menggambarkan trend pergerakan pasar saham.
l. Pasar Modal
Kegiatan yang bersangkutan dengan penawaran umum dan perdagangan Efek, Perusahaan Publik yang berkaitan dengan Efek yang diterbitkannya, serta lembaga dan profesi yang berkaitan dengan Efek.
(22)
m.Perusahaan Efek
Pihak yang melakukan kegiatan usaha sebagai Penjamin Emisi Efek, Perantara Pedagang Efek, dan atau Manajer Investasi.
n. Saham (stock)
Bukti penyertaan modal di suatu perusahaan, atau merupakan bukti kepemilikan atas suatu perusahaan.
2.2 Program Tujuan Ganda
2.2.1 Program Linier
Program linier adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input. Pokok pikiran utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 1987).
Model pemrograman linier tidak mampu menyelesaikan kasus-kasus manajemen yang menghendaki sasaran-sasaran tertentu dicapai secara simultan. Kelemahan ini dilihat oleh A. Charnes dan W.M. Cooper. Mereka berdua kemudian mengembangkan model pemrograman linier agar mampu menyelesaikan kasus-kasus tersebut. Dalam hal ini, konsep dasar model yang mereka temukan itu sudah mulai diperkenalkan pada tahun 1955. Selanjutnya, pada tahun 1961, mereka mulai mempopulerkan model tersebut dengan nama
Goal Programming. Model ini mampu menyelesaikan kasus-kasus pemrograman linier yang memiliki lebih dari satu sasaran yang hendak dicapai. Model goal programming merupakan perluasan dari model pemrograman linier, sehingga seluruh asumsi, notasi, formulasi model matematis, prosedur perumusan model dan penyelesaiannya tidak berbeda. Perbedaan hanya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasional yang akan muncul di fungsi tujuan dan di fungsi-fungsi kendala. Oleh karena itu, konsep dasar pemrograman linier akan selalu
(23)
melandasi pembahasan model goal programming. Adapun bentuk umum dari metode goal programming adalah:
Minimum Z kendala:
2.1
di mana:
, , … ,
, , … ,
, , … ,
, ,
= variabel deviasi yang menyebabkan nilai fungsi tujuan menjadi lebih dari
= variabel deviasi yang menyebabkan nilai fungsi tujuan menjadi kurang dari
= koefisien fungsi kendala tujuan = variabel pengambilan keputusan = target tujuan
= koefisien fungsi kendala sistem sumber daya yang tersedia
2.2.2 Metode Lexicographic Goal Programming
H. Babaei, et al (2009) mengatakan bahwa lexicographic goal programming
merupakan sebuah pendekatan yang menyelesaikan permasalahan Goal Programming dengan prioritas pada fungsi-fungsi tujuannya.
Lexicographic goal programming memberikan solusi optimal dari beberapa tujuan dengan meminimumkan jumlah penyimpangan atau deviasi dari tujuan-tujuan yang memiliki tingkat prioritas berbeda terhadap masing-masing nilai tujuan atau goal yang dikehendaki (Ignizio, 1985).
(24)
Dalam penelitian ini, penulis mengacu pada penelitian-penelitian yang terdahulu oleh H. Babaei, et al (2009), Siliwangi Fitra, dkk (2012), dan Safitri dan Endang (2012). Penelitian yang dilakukan oleh H. Babaei, et al (2009) membahas mengenai pengoptimalan portofolio saham dengan mengambil data saham pada sepuluh perusahaan. Tujuan dari penelitian ini adalah memaksimalkan tingkat pengembalian (return) dan meminimalkan risiko.
Penelitian yang dilakukan oleh Siliwangi Fitra, dkk (2012) membahas tentang pengoptimalan portofolio saham perusahaan pada sektor tambang. Metode yang digunakan pada penelitian tersebut adalah goal programming. Penelitian ini bertujuan meminimalkan penyimpangan antara fungsi objektif dengan nilai ideal fungsi objektif yang menghasilkan proporsi dana yang harus diinvestasikan pada masing-masing saham.
Safitri dan Endang (2012) melakukan penelitian tentang pengoptimalan saham. Dalam penelitian ini dianalisis 20 saham teraktif pada Bursa Efek Indonesia. Penelitian ini menghasilkan expected return yang maksimal karena nilainya lebih besar dari pada expected return pasar dan risiko yang minimal.
H. Markowitz telah mengembangkan model varians sebagai dasar teori portofolio sebagai berikut:
max min kendala:
; , … ,
2.2
(25)
= return atau tingkat pengembalian yang diharapkan dari perusahaan = porsi investasi pada perusahaan ∈ , … ,
= jumlah perusahaan yang tersedia
= kovarians antara return perusahaan dengan perusahaan
Fungsi pertama menunjukkan keuntungan dari portofolio yang akan dimaksimalkan. Fungsi tujuan kedua merupakan risiko portofolio yang didefinisikan sebagai varians dari return. Kendala ∑ adalah kendala modal di mana adalah jumlah total modal. Tanpa mengubah makna, kendala modal dapat dikonversi menjadi ∑ , sehingga diasumsikan bahwa merupakan persen modal yang diinvestasikan pada perusahaan .
Model Lexicographic Goal Programming yang didefinisikan oleh Ignizio adalah sebagai berikut:
min min min
kendala:
, , ,
, , , , , , dan j , , ,
2.3
di mana:
= tingkat prioritas yang diberikan pada variabel deviasi
= variabel deviasi yang menyebabkan nilai fungsi tujuan menjadi lebih dari
= variabel deviasi yang menyebabkan nilai fungsi tujuan menjadi kurang dari
= jumlah kendala tujuan = target tujuan
= vektor variabel keputusan, yaitu , , ,
(26)
2.2.3 Terminologi Lexicographic Goal Programming
Istilah-istilah yang digunakan dalam goal programming juga digunakan dalam
lexicographic goal programming. a.Variabel Deviasi
Karakteristik metode Goal Programming adalah dengan menetapkan target atau nilai setiap fungsi tujuan menurut tafsiran pembuat keputusan. Karena tidak terdapat aturan tertentu untuk menetapkan target, maka diperlukan suatu teknik agar model tetap dapat memberikan hasil optimal. Teknik tersebut adalah dengan menggunakan variabel deviasi yang berperan untuk memenuhi atau mencapai target. Dalam penyelesaiannya, nilai optimal fungsi tujuan dapat melebihi atau kurang dari target. Oleh karena itu, variabel deviasi dibagi menjadi dua variabel yang saling independen, yaitu variabel deviasi negatif dan variabel deviasi positif.
1. Variabel Deviasi Negatif
Variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung penyimpangan nilai fungsi tujuan optimal dari target yang telah ditetapkan. Dengan kata lain, variabel ini membuat nilai fungsi tujuan optimal lebih kecil dari target. Digunakan notasi untuk menandai jenis variabel deviasi ini, dan bentuk umum persamaannya adalah:
2.4
dengan: , , , ,
2. Variabel Deviasi Positif
Variabel deviasi positif berfungsi untuk menampung penyimpangan nilai fungsi tujuan optimal dari target yang telah ditetapkan. Dengan kata lain, variabel ini membuat nilai fungsi tujuan optimal lebih besar dari target. Digunakan notasi untuk menandai jenis variabel deviasi ini, dan bentuk umum persamaannya adalah:
2.5
(27)
Secara umum, oleh sifat metode Goal Programming, fungsi tujuan kendala dengan menggunakan variabel deviasi negatif dan variabel deviasi positif, ditulis sebagai berikut:
2.6
b. Variabel Keputusan
Seperangkat variabel yang tak diketahui (dalam model goal programming
dilambangkan dengan , di mana , , , , yang akan dicari nilainya). Biasanya disebut juga decision variables.
c. Nilai Ruas Kanan
Nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan ) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya. Biasanya disebut juga Right Hand Side values (RHS).
d. Goal
Keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu atau biasanya disebut juga goal atau target.
e. Kendala Tujuan
Sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan metematika dengan memasukkan variabel simpangan. Biasanya disebut juga goal constraint.
f. Preemtive Priority Factor
Suatu sistem urutan (yang dilambangkan dengan , di mana , , … , dan menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model goal programming. Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut:
> > … > merupakan tujuan paling penting.
(28)
g. Differential Weigth
Timbangan matematika yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan di mana , , … , ; , , … , dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan di dalam suatu tingkat prioritas . Biasanya disebut juga bobot.
2.3 Analytic Hierarchy Process
2.3.1 Pengertian Analytic Hierarchy Process
Metode AHP merupakan salah satu metode pengambilan keputusan yang menggunakan faktor-faktor logika, intuisi, pengalaman, pengetahuan, emosi, dan rasa untuk dioptimasi dalam suatu proses yang sistematis, serta mampu membandingkan secara berpasangan hal-hal yang tidak dapat diraba maupun yang dapat diraba, data kuantitatif maupun data kualitatif. Metode AHP ini mulai dikembangkan oleh Thomas L. Saaty, seorang ahli matematika yang bekerja pada
University of Pittsburgh di Amerika Serikat, pada awal tahun 1970-an.
2.3.2 Landasan Aksiomatik dan Metode Dasar Analytic Hierarchy Process Analytic Hierarchy Process (AHP) mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari:
1. Reciprocal Comparison
Matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan. Misalnya, jika A adalah kali lebih penting dari pada B maka B adalah kali lebih penting dari A.
2. Homogenity
Kesamaan dalam melakukan perbandingan. Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan jeruk dengan bola tenis dalam hal rasa, akan lebih relevan jika membandingkan dalam hal berat.
3. Dependence
Setiap jenjang (level) mempunyai kaitan (complete hierarchy) walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna (incomplete hierarchy). 4. Expectation
(29)
Menonjolkan penilaian yang bersifat ekspektasi dan persepsi dari pengambil keputusan. Jadi yang diutamakan bukanlah rasionalitas, tetapi dapat juga yang bersifat irrasional. Digunakan skala 1 sampai 9 yang diinterpretasikan sebagai berikut:
Tabel 2.1 Nilai Interpretasi Relatif
Nilai aij Interpretasi
1 dan sama pentingnya
3 sedikit lebih penting dibandingkan 5 lebih penting dibandingkan
7 sangat lebih penting dibandingkan 9 mutlak lebih penting dibandingkan Sumber: Thomas L. Saaty, 1990.
2.3.3 Perhitungan Rasio Konsistensi
AHP menoleransi adanya inkonsistensi dengan menyediakan ukuran inkonsistensi penilaian. Ukuran ini merupakan salah satu elemen penting dalam proses penentuan prioritas berdasarkan pairwise comparison. Semakin besar rasio konsistensi, maka pairwise comparison semakin tidak konsisten. Nilai rasio konsistensi yang diterima adalah lebih kecil atau sama dengan sepuluh persen. Untuk mengetahui apakah hasil penilaian bersifat konsisten, maka beberapa langkah untuk menguji konsistensi penilaian adalah sebagai berikut:
1. Membuat matriks perbandingan berpasangan (pairwise comparison matrix) 2. Menentukan nilai eigen, sehingga diperoleh nilai maks
3. Menentukan Indeks Konsistensi (IK) 4. Menentukan Rasio Konsistensi (RK)
Dalam menentukan Rasio Konsistensi (RK) diperlukan nilai Indeks Random (IR), sebagai berikut:
Tabel 2.2 Nilai Indeks Random (IR) untuk Permasalahan Kecil
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,51 Sumber: Thomas L. Saaty, 1990.
(30)
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Pengumpulan Data
Pengumpulan data sekunder diperoleh dari web resmi Bursa Efek Indonesia (BEI) (www.idx.co.id) yaitu data ringkasan saham harian periode Januari 2013-Maret 2014 pada 9 perusahaan perbankan. Kode Emiten pada data tersebut, sebagai berikut:
1. BBCA : Bank BCA (Bank Central Asia) 2. BBNI : Bank BNI (Bank Negara Indonesia) 3. BBRI : Bank BRI (Bank Rakyat Indonesia) 4. BBTN : Bank BTN (Bank Tabungan Negara) 5. BDMN: Bank Danamon
6. BMRI : Bank Mandiri
7. BNGA: Bank CIMB Niaga (Commerce Internasional Merchant Bankers) 8. BNII : Bank BII (Bank Internasional Indonesia)
9. MEGA: Bank Mega
Untuk penyederhanaan perhitungan, didefinisikan indeks atau sebagai perusahaan-perusahaan di atas, yaitu:
Tabel 3.1 Daftar Nama Perusahaan
Nama Perusahaan
1 Bank Central Asia 2 Bank Negara Indonesia 3 Bank Rakyat Indonesia 4 Bank Tabungan Negara 5 Bank Danamon 6 Bank Mandiri
7 Bank Commerce Internasional Merchant Bankers Niaga 8 Bank Internasional Indonesia
(31)
3.2 Pengolahan Data 3.2.1. Return Periode Hari
Return harian didefinisikan sebagai nilai dari hasil pengurangan harga saham hari ke- dengan harga saham hari ke- , kemudian dibagi dengan harga saham hari ke- , yaitu:
, , ,
, ; 3.1
di mana:
, return harian perusahaan pada hari ke-
, harga saham perusahaan pada hari ke- , harga saham perusahaan pada hari ke- )
Kemudian, Return Periode Hari didefinisikan sebagai rata-rata dari return harian, yaitu:
∑ , 3.2
di mana:
Return Periode Hari pada perusahaan , return harian perusahaan pada hari ke-
banyak hari pada data
Perhitungannya adalah sebagai berikut:
Return pada 3 Januari 2013:
1. BBCA: Bank BCA (Bank Central Asia) , . . . ,
2. BBNI: Bank BNI (Bank Negara Indonesia) , . . .
3. BBRI: Bank BRI (Bank Rakyat Indonesia) , . . . ,
4. BBTN: Bank BTN (Bank Tabungan Negara) , . . . ,
(32)
5. BDMN: Bank Danamon , . . . , 6. BMRI: Bank Mandiri
, . . . ,
7. BNGA: Bank CIMB Niaga (Commerce Internasional Merchant Bankers) , . . .
8. BNII: Bank BII (Bank Internasional Indonesia)
, ,
9. MEGA: Bank Mega , . . .
Return harian pada hari lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama. Berikut adalah hasil perhitungan Return Periode hari pada Januari 2013-Maret 2014.
Tabel 3.2 Return Periode Hari ( )
Kode Emiten Return Periode Hari ( )
1 BBCA 0,00071
2 BBNI 0,00126
3 BBRI 0,00133
4 BBTN -0,00012
5 BDMN -0,00054
6 BMRI 0,00078
7 BNGA -0,00008
8 BNII -0,00067
9 MEGA -0,00026
3.2.2. Return Periode Bulan
Data yang dimiliki merupakan data harga saham harian, sehingga perlu diolah untuk mendapatkan return bulanan pada masing-masing perusahaan. Return
(33)
bulanan suatu perusahaan didefinisikan sebagai rata-rata return harian pada bulan , yaitu:
, ∑ , 3.3
di mana:
, return bulanan perusahaan pada bulan ke- , return harian perusahaan pada hari ke-
banyak hari pada bulan ke-
Perlu diketahui bahwa , yaitu banyak hari pada bulan ke- , merupakan banyak hari yang dilihat dari data. Kemudian, Return Periode Bulan suatu perusahaan didefinisikan sebagai rata-rata return bulanan, yaitu:
∑ , 3.4
di mana:
Return Periode Bulan
, return bulanan perusahaan pada bulan ke-
banyak bulan dalam data
Perhitungannya adalah sebagai berikut:
Return BCA dan BNIpada Januari 2013
Tabel 3.3 Return Bulanan , Tanggal Kode
Emiten Harga Penutup Return Kode Emiten Harga
Penutup Return
2/1/2013 BBCA 9.100 - BBNI 3.725
-3/1/2013 BBCA 9.150 0,00549 BBNI 3.725 0,00000 4/1/2013 BBCA 9.050 -0,01093 BBNI 3.800 0.02013 7/1/2013 BBCA 9.200 0,01657 BBNI 3.800 0.00000 8/1/2013 BBCA 9.150 -0,00543 BBNI 3.875 0,01974 9/1/2013 BBCA 9.100 -0,00546 BBNI 3.773 -0,02581 10/1/2013 BBCA 8.900 -0,02198 BBNI 3.700 -0,01987 11/1/2013 BBCA 8.850 -0,00562 BBNI 3.675 -0,00676 14/1/2013 BBCA 9.100 0,02825 BBNI 3.725 0,01361 15/1/2013 BBCA 9.150 0,00549 BBNI 3.800 0,02013 16/1/2013 BBCA 9.150 0,00000 BBNI 3.750 -0,01316 17/1/2013 BBCA 9.150 0,00000 BBNI 3.725 -0,00667
(34)
Tabel 3.3 Lanjutan
Tanggal Kode Emiten
Harga Penutup
Return Kode Emiten
Harga Penutup
Return
18/1/2013 BBCA 9.500 0,03825 BBNI 3.850 0,03356 21/1/2013 BBCA 9.300 -0,02105 BBNI 3.850 0,00000 22/1/2013 BBCA 9.300 0,00000 BBNI 3.800 -0,01299 23/1/2013 BBCA 9.300 0,00000 BBNI 3.850 -0,01316 25/1/2013 BBCA 9.350 0,00538 BBNI 3.875 0,00649 28/1/2013 BBCA 9.300 -0,00535 BBNI 3.875 0,00000 29/1/2013 BBCA 9.450 0,01613 BBNI 3.875 0,00000 30/1/2013 BBCA 9.450 0,00000 BBNI 3.900 0,00645 31/1/2013 BBCA 9.650 0,02116 BBNI 3.925 0,00641
Rata-rata 0,00305 0,00272
Return bulanan pada bulan lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama. Berikut adalah hasil perhitungan Return Periode Bulan pada Januari 2013-Maret 2014.
Tabel 3.4 Return Periode Bulan
Kode Emiten Return Periode Bulan ( )
1 BBCA 0,00062
2 BBNI 0,00117
3 BBRI 0,00111
4 BBTN -0,00013
5 BDMN -0,00060
6 BMRI 0,00063
7 BNGA -0,00016
8 BNII -0,00064
9 MEGA -0,00026
3.2.3. Tingkat Risiko
Pada kasus ini, tingkat risiko didefinisikan sebagai nilai kovarians antara Return
Periode Hari perusahaan dengan Return Periode Hari perusahaan . Secara matematis, kovarians adalah ukuran kekuatan hubungan antara dua peubah acak dan peubah acak . Kovarians didefinisikan sebagai:
(35)
Cov , , 3.5
di mana:
Cov , Kovarians peubah acak dan peubah acak
Rata-rata peubah acak
Rata-rata peubah acak
, peluang bersama (joint probability) antara nilai ∈ dan ∈
Dalam kasus ini, return perusahaan dan return perusahaan dipandang sebagai dua variabel acak dan . Dengan asumsi bahwa ,
diperoleh:
Cov , , , 3.6
di mana:
Cov , kovarians antara return perusahaan dengan return perusahaan
, return perusahaan pada hari ke-
, return perusahaan pada hari ke-
rata-rata return harian perusahaan rata-rata return harian perusahaan banyak hari
Perhitungannya adalah sebagai berikut:
Tabel 3.5 Return BBCA dengan BBNI
No. Tanggal Return BBCA
Return –
(Rata-rata)
Return
BBNI
Return –
(Rata-rata)
[Return – (Rata-rata)] x [Return – (Rata-rata)]
1. 3/1/2013 0,00549 0,00479 0,00000 -0,00126 -0,000006
2. 4/1/2013 -0,01093 -0,01164 0,02013 0,01887 -0,000218
3. 7/1/2013 0,01657 0,01587 0,00000 -0,00126 -0,000020
(36)
Tabel 3.5 Lanjutan
No. Tanggal Return
BBCA
Return –
(Rata-rata)
Return
BBNI
Return –
(Rata-rata)
[Return – (Rata-rata)] x [Return – (Rata-rata)] 5. 9/1/2013 -0,00546 -0,00617 -0,02581 -0,02707 0,000167
6. 10/1/2013 -0,02198 -0,02269 -0,01987 -0,02113 0,000479 7. 11/1/2013 -0,00562 -0,00633 -0,00676 -0,00802 0,000050 8. 14/1/2013 0,02825 0,02754 0,01361 0,01234 0,000339
302. 27/3/2014 -0,00241 -0,00312 0,01031 0,00905 -0,000028
303. 28/3/2014 0,02415 0,02345 0,01224 0,01098 0,000257
Rata-rata 0,00071 0,00126
Kovarians lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama. Berikut adalah hasil perhitungan kovarians pada Januari 2013-Maret 2014.
Tabel 3.6 Kovarians antara Seluruh Perusahaan
Return
0,00041 0,00030 0,00030 0,00023 0,00013 0,00031 0,00011 0,00004 0,00001 0,00030 0,00064 0,00043 0,00033 0,00017 0,00044 0,00017 0,00006 0,00004 0,00030 0,00043 0,00065 0,00034 0,00018 0,00046 0,00016 0,00007 0,00002 0,00023 0,00033 0,00034 0,00069 0,00011 0,00034 0,00017 0,00006 0,00003 0,00013 0,00017 0,00018 0,00011 0,00052 0,00020 0,00003 0,00005 0,00007 0,00031 0,00044 0,00046 0,00034 0,00020 0,00067 0,00017 0,00007 0,00005 0,00011 0,00017 0,00016 0,00017 0,00003 0,00017 0,00030 0,00006 -0,00007 0,00004 0,00006 0,00007 0,00006 0,00005 0,00007 0,00006 0,00027 -0,00001 0,00001 0,00004 0,00002 0,00003 0,00007 0,00005 -0,00007 -0,00001 0,00201
3.3 Pembahasan
3.3.1. Formulasi Model
1. Menentukan fungsi-fungsi tujuan 1. Return Periode Hari
Ukuran keuntungan harapan dari investasi ke suatu perusahaan adalah perkalian porsi investasi dengan return periode hari. Karena return setiap perusahaan tidak saling mempengaruhi satu sama lain, maka total
(37)
keuntungan adalah jumlah dari keuntungan harapan setiap perusahaan, yaitu:
, , ,
, , ,
, , ,
3.7
Oleh karena itu, fungsi tujuan untuk return periode hari adalah:
max ; ∈ 3.8
2. Return Periode Bulan
Seperti Return periode hari, ukuran keuntungan harapan juga dihitung berdasarkan return bulanan setiap perusahaan. Oleh karena itu, total keuntungan adalah jumlah dari keuntungan harapan setiap perusahaan berdasarkan return periode bulan, yaitu:
, , ,
, , ,
, , ,
3.9
Oleh karena itu, fungsi tujuan untuk return periode bulan adalah:
max ; ∈ 3.10
3. Tingkat Risiko
Ukuran risiko adalah nilai kovarians antara return perusahaan dengan
return perusahaan . Sehingga, fungsi risiko didefinisikan sebagai berikut:
3.11
di mana adalah kovarians antara return perusahaan dan . Tanda minus menyatakan bahwa fungsi tujuan tersebut harus dimaksimumkan seperti fungsi tujuan yang lainnya.
(38)
, , ,
, , ,
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
, , , 3.12 , , ,
, , , , , , , , , , , , , , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
2. Menentukan kendala
Adapun fungi kendala pada kasus ini adalah adanya batasan modal yang dimiliki oleh investor dalam investasi. Modelnya adalah seperti berikut:
(39)
; , , … ,
Berdasarkan tiga fungsi tujuan dan fungsi kendala di atas, maka masalah investasi dapat dimodelkan sebagai berikut:
max , ,
kendala:
; , , … ,
3.13
3. Menentukan prioritas
Dalam menentukan prioritas fungsi tujuan, harus diperoleh derajat kepentingan (bobot) masing-masing tujuan. Bobot tersebut juga digunakan ketika meninjau kembali target atau nilai fungsi tujuan yang diperoleh dari preferensi pembuat keputusan, maka ada dua alasan yang menunjukkan perolehan bobot tujuan, yaitu penentuan prioritas dan peninjauan kembali target pembuat keputusan.
Untuk model matematika dengan 3 fungsi tujuan, vektor bobot fungsi tujuan adalah , , yang diperoleh berdasarkan penilaian pembuat keputusan. Pendekatan subjektif yang paling banyak digunakan adalah metode matriks perbandingan berpasangan (pairwise comparison matrix). Metode tersebut digunakan pada masalah pembuatan keputusan. Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Membuat matriks perbandingan seperti berikut:
di mana dan , , , . Nilai-nilai pada elemen matriks tersebut diberikan berdasarkan Tabel (2.1)
(40)
2. Menentukan nilai eigen ( ) dari matriks , yaitu yang memenuhi persamaan berikut:
3.14
Jika adalah sebuah matriks perbandingan yang konsisten terhadap bobot setiap atribut, maka persamaan (3.14) dapat disederhanakan menjadi:
3.15
3. Menentukan Indeks Konsistensi (IK) dari matriks dengan persamaan berikut:
maks 3.16
di mana adalah dimensi matriks , maka dapat dituliskan sebagai berikut:
maks maks 3.17
4. Menentukan Rasio Konsistensi (RK) dari matriks dengan persamaan berikut:
RK 3.18
Nilai IR dapat dilihat pada Tabel (2.2). Jika , maka konsistensi matriks diterima. Bila tidak, pembuat keputusan harus meninjau kembali penilaiannya tentang hubungan ketiga fungsi tujuan agar matriks konsisten.
Untuk memperoleh bobot least square method untuk memperoleh bobot-bobotnya. Bobot-bobot dapat diperoleh dengan menyelesaikan masalah pengoptimalan berkendala sebagai berikut:
min kendala:
3.19
di mana , , dan . Elemen-elemen matriks adalah:
(41)
; , , 3.20
; , , , ; 3.21
Model (3.19) di atas merupakan sebuah model nonlinier. Untuk meminimalkannya, fungsi Lagrangian dibentuk:
3.22
di mana , , dan adalah pengali Lagragian.
Dengan menurunkan persamaan (3.22) terhadap dan secara berurut, diperoleh persamaan berikut:
3.23
3.24
Persamaan (3.23) dan (3.24) di atas membentuk sebuah himpunan persamaan nonlinier homogeny. Jika nilai minimum model (3.19) di atas adalah maka jelaslah bahwa merupakan sebuah matriks yang konsisten dan diperoleh bobot dari persamaan (3.15) di atas, sebaliknya
untuk semua . Hal ini menunjukkan bahwa adalah sebuah matriks positif yang pasti. Dengan menyelesaikan persamaan (3.23) dan (3.24) di atas, diperoleh:
∗ 3.25
3.26
Dari persamaan (3.25) di atas, diperoleh bobot setiap fungsi tujuan, yaitu . Urutan prioritas fungsi tujuan ditentukan berdasarkan urutan bobot-bobot tersebut dari terbesar hingga terkecil. Misalkan
(42)
4. Menurunkan model Lexicographic Goal Programming
Fungsi tujuan diklasifikasikan ke dalam kelas, di mana untuk model dengan 3 fungsi tujuan, berlaku . Model Lexicographic Goal Programming
adalah:
min
∈
, … ,
∈ kendala:
; , ,
; , ,
, , ; , , ; , … ,
3.27
Di mana dan berturut-turut adalah nilai yang membuat fungsi tujuan lebih besar dari target dan nilai yang membuat fungsi tujuan lebih kecil dari target, yang tidak sekaligus nol. Diasumsikan ,
adalah bobot deviasi dan
| | dan | | di mana adalah target dari fungsi tujuan . Jika kelas prioritas ke- hanya memiliki satu fungsi tujuan, maka dan tidak berarti dan dapat diabaikan. Untuk menyatakan prioritas, fungsi tujuan model (3.27) di atas dinyatakan sebagai vektor yang komponen ke- nya total deviasi dari kelas prioritas ke- , yaitu ∑ ∈ ; di mana adalah indeks fungsi tujuan yang berada pada kelas prioritas ke- . menunjukkan bobot yang berbeda dari fungsi tujuan yang berbeda pada kelas yang sama. Pada penjelasan sebelumnya, prioritas fungsi tujuan ditetapkan berdasarkan bobot kepentingan fungsi tujuan tersebut. Oleh karena itu, fungsi tujuan yang berada pada kelas yang sama mempunyai bobot yang sama, sehingga penggunaan bobot yang berbeda tidak berguna dan model dapat disederhanakan menjadi:
(43)
min
∈
, … ,
∈ kendala:
; , ,
; , ,
, , ; , , ; , … ,
3.28
Penyelesaian model (3.28) dilakukan dalam tahap. Pada langkah ke- , komponen ke- dari dioptimisasi dengan menggunakan tambahan
kendala ∈ dalam kendala model (3.28).
Dengan menggunakan kendala tersebut, diharapkan model memenuhi tujuan-tujuan dengan nilai target ∈ . Langkah berikutnya adalah menginput perolehan nilai variabel deviasi pada kendala sebelumnya. Ini akan menghindari terganggunya nilai fungsi tujuan dari kelas ke- . Kemudian, dioptimalkan komponen ke- dari dan
ditambah dengan kendala tambahan ∈
dari kelas ke- ke dalam model. Proses penyelesaian dihentikan ketika terbentuk model yang tidak infeasible.
3.3.2. Penyelesaian Model
1. Menentukan derajat optimalitas individu
Diketahui bahwa pemilihan tujuan yang sewenang-wenang mungkin akan menghasilkan solusi yang tidak feasible dan akan memperoleh hasil yang tidak baik ketika memprioritaskan tujuan. Untuk mendefinisikan optimalitas individu, langkah pertama adalah menentukan solusi terbaik dan terburuk dari masing-masing tujuan, sebagai berikut:
∗ max ∈
(44)
di mana adalah ruang feasible untuk model Lexicographic Goal Programming. Maka fungsi derajat optimalitas individu didefiniskan:
∗ 3.30
2. Meninjau (merivisi) target pembuat keputusan
Tujuan meninjau target pembuat keputusan adalah menemukan target yang lebih memenuhi urutan prioritas fungsi tujuan dan yang sedekat mungkin dengan target pembuat keputusan tersebut karena pembuat keputusan hampir tidak dapat menentukan target yang sesuai dengan data. Jadi, target yang ditentukan pembuat keputusan mungkin tidak feasible walaupun ia tidak menentukan urutan prioritas fungsi tujuan. Untuk memperoleh target yang konsisten dengan prioritas fungsi tujuan, harus dipenuhi:
3.31
Pertidaksamaan (3.31) dapat dituliskan kembali sebagai:
3.32
Dengan menggunakan fungsi keanggotaan kabur seperti pada pertidaksamaan (3.30), harus ditentukan optimalitas individu dari target tertinjau yang sedekat mungkin dengan optimalitas individu dari target pembuat keputusan dan tetap mempertahankan urutan prioritas fungsi tujuan dengan urutan optimalitas individu dari target terevisi. Model yang digunakan adalah:
min kendala:
‐ ; , ,
3.33
Pada fungsi tujuan model (3.33), akan diminimalkan selisih antara optimalitas individu dari target pembuat keputusan dengan optimalitas individu dari target terevisi. Karena adalah fungsi skalar, maka dapat digunakan pada model (3.33) di atas. Kendala 1 sampai 2 menjelaskan
(45)
bahwa semakin tinggi prioritas suatu fungsi tujuan, semakin besar optimalitas individunya. adalah bobot fungsi tujuan yang diperoleh dari persamaan (3.25). Persamaan (3.33) di atas adalah suatu program nonlinier, sehingga dibentuk suatu model lininer yang ekuivalen dengan model tersebut. Misalkan untuk , , .
| |
dan | |. Kemudian, dapat dinyatakan bahwa:
, , , 3.34
| | , , , 3.35
di mana . untuk , , . Sekarang model (3.33) dengan formula dan persamaan (3.34) dan (3.35) di atas dapat dituliskan kembali, seperti berikut:
min
kendala:
,
; , ,
, ; , ,
3.36
Model (3.36) di atas akan memberikan target setiap fungsi tujuan pada model (3.28). Target-target terevisi ini dapat menjadi acuan bagi pembuat keputusan. Oleh karena itu, target terevisi tersebut dapat diterima ataupun tidak diterima pembuat keputusan. Mungkin target terevisi tidak konsisten dengan urutan prioritas fungsi tujuan atau bertentangan dengan hirarki fungsi tujuan.
3. Penyelesaian Kasus
Pada pengolahan data, telah didefinisikan tiga fungsi yang akan dioptimalkan dari masalah pemilihan portofolio, yakni:
Fungsi Return Periode Hari Fungsi Return Periode Bulan
(46)
Fungsi Risiko
Ketiga fungsi tesebut memetakan ∈ ke dalam sebuah nilai riil. Langkah awal penyelesaian kasus adalah menentukan prioritas atau tingkat kepentingan fungsi tujuan yang satu dengan yang lain. Berdasarkan asumsi bahwa penentuan prioritas adalah berdasarkan bobot fungsi tujuan, maka akan ditentukan nilai , , dan sebagai bobot , , dan secara berurutan.
Diasumsikan pembuat keputusan membuat matriks perbandingan ketiga fungsi tujuan sebagai berikut:
Matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk di atas harus bersifat berkebalikan, maka nilai-nilai elemen matriks tersebut memiliki arti seperti berikut:
, karena kedua fungsi tujuan sama pentingnya. , karena fungsi tujuan ke-1 sedikit lebih penting dibandingkan
fungsi tujuan ke-3, sedangkan merupakan kebalikannya. , karena fungsi tujuan ke-3 lebih penting dibandingkan fungsi tujuan ke-2, sedangkan merupakan kebalikannya.
, karena fungsi tujuan ke-1 mutlak lebih penting dibandingkan fungsi tujuan ke-2, sedangkan merupakan kebalikannya.
Berdasarkan matriks di atas akan ditentukan nilai eigennya.
3.37
(47)
3.38
Sehingga diperoleh persamaan karakteristik
det 3.39
di mana: matriks
nilai eigen (bernilai skalar) matriks identitas
vektor eigen (vektor kolom )
Untuk mencari nilai eigen digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks . Pertama-tama dihitung polinomial karakteristik dari matriks .
det
det λ
det
λ
λ
λ
(48)
Kemudian nilai eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:
Persamaan di atas dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran lainnya sehingga menghasilkan nilai eigen dari matriks adalah:
,
, ,
, ,
Sehingga nilai maksimum nilai eigen dari matriks di atas adalah maks , dan dengan menggunakan persamaan (3.17) di atas, diperoleh:
, , ,
Dan dengan menggunakan persamaan (3.18) di atas diperoleh Rasio Konsistensi (RK) sebagai berikut:
RK
, ,
, ,
Karena nilai , maka dapat dikatakan bahwa matriks perbandingan adalah konsisten. Dengan menggunakan rumus (3.20) dan (3.21) di atas dapat ditentukan matriks .
(49)
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Maka matriks D:
, , ,
, ,
(50)
Setelah memperoleh matriks di atas, maka selanjutnya akan ditentukan .
det 3.40
Matriks merupakan matriks berordo maka untuk memperoleh perlu diselesaikan det terlebih dahulu dengan menentukan minor dan kofaktornya.
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Minor-minor matriks adalah:
| | , ,,
, , , ,
| | ,, ,,
, , , , ,
| | ,, ,
, , , ,
| | , , , ,
, , , , ,
| | ,, , ,
(51)
| | ,, , ,
, , , , ,
| | , , ,
, , , ,
| | ,, , ,
, , , , ,
| | ,, ,
, , , ,
Jadi, matriks minornya adalah:
, , ,
, , ,
, , ,
Maka kofaktor-kofaktor matriks adalah:
| | ,
| | ,
| | ,
| | ,
| | ,
| | ,
| | ,
| | ,
| | ,
Jadi matriks kofaktornya adalah:
, , ,
, , ,
(52)
Setelah mendapatkan matriks kofaktor, maka adjoint matriks adalah transpose kofaktor matriks , yaitu:
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
Dan determinan matriks adalah:
| | ,, , , ,
, , ,
, ,
,
, ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , , ,
,
Jadi invers matriks adalah:
det adj
,
, , ,
, , ,
, , ,
,, , , ,,
, , ,
dan vektor bobot dari rumus (3.25) dan (3.26) di atas adalah:
, , ,
, , ,
, , ,
(53)
Maka,
, , ,
Dengan demikian diperoleh , , , , dan
, . Sehingga, urutan prioritas fungsi tujuan adalah:
Sekarang tentukan nilai maksimum dan minimum masing-masing fungsi tujuan dari setiap nilai ∈ yang feasible. Pada kasus ini, kendala yang digunakan untuk menentukannya adalah:
Dengan menggunakan software LINGO 13.0, hasil perhitungannya diberikan pada tabel berikut:
Tabel 3.7 Hasil Maksimum dan Minimum Fungsi Tujuan Fungsi Tujuan Maksimum Minimum
0,00133 -0,00067 0,00117 -0,00064 -0,00012 -0,00065
Setelah memperoleh perhitungan di atas maka dapat dilakukan perhitungan terhadap .
, ,
, ,
, ,
(54)
di mana , , dan adalah nilai fungsi tujuan , , dan secara berurutan. Kemudian, diasumsikan target pembuat keputusan sebagai berikut:
, ,
, Oleh karena itu,
, ,
, ,
, , ,
,
, , ,
,
Sekarang dibentuklah model (3.36) di atas agar memperoleh tujuan-tujuan baru. Urutannya adalah , maka:
min , , , εε εε
ε ε
kendala:
ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε , ε , , ,
ε . ε , , ,
3.41
Atau kendala di atas diubah menjadi:
ε ε ε ε , ,
ε ε ε ε , ,
ε , ε , , ,
(55)
Dengan menggunakan software LINGO 13.0, persamaan (3.41) di atas memberikan solusi sebagai berikut:
ε ε ε ε
ε ,
ε ,
Dengan demikian, diperoleh:
, ,
,
, ,
, , ,
, ,
, ,
, ,
, , ,
, ,
, ,
, ,
, , ,
(56)
Tabel 3.8 Perbandingan Nilai Target Target Pembuat Keputusan Target Terevisi
, ,
, ,
, ,
Pada Tabel (3.8) di atas, dapat dilihat bahwa pada fungsi tujuan kedua, nilai target terevisi lebih kecil dari nilai target pembuat keputusan. Sementara, persoalan investasi mengharapkan nilai maksimum dari fungsi tujuan kedua (return periode bulan). Selain itu, pada fungsi tujuan ketiga (meminimumkan risiko), dapat dilihat bahwa nilai target terevisi lebih kecil daripada nilai target pembuat keputusan. Sementara, persoalan investasi mengharapkan risiko minimum atau nilai yang mendekati 0. Oleh karena itu, nilai target terevisi dapat ditolak atau dengan kata lain, pada kasus ini, digunakan nilai target pembuat keputusan.
Model Lexicographic Goal Programming
min , , )
kendala:
,
,
,
∑
; ; , ,
; , … ,
Langkah-langkah:
Model (3.28) diselesaikan dengan tiga tahap secara lexicographic
berdasarkan urutan prioritas fungsi tujuan. Hasil optimal dari suatu tahap digunakan sebagai kendala tambahan pada tahap selanjutnya. Proses setiap tahap dilakukan dengan menggunakan software LINGO 13.0.
(57)
Tahap 1: Meminimumkan jumlahan deviasi
min
kendala:
,
∑
.
, ,
Hasil:
,
,
,
,
Tahap 2: Meminimumkan jumlahan deviasi
min
kendala:
,
,
∑
.
, ,
Hasil:
,
,
,
,
,
(58)
,
Tahap 3: Meminimumkan jumlahan deviasi
min
kendala:
,
, ,
,
∑
.
, ,
Hasil:
,
,
,
,
,
Dari proses pengolahan data dan pembahasan yang dilakukan dengan bantuan software LINGO 13.0, maka diperoleh penyelesaian optimal. Berikut ini adalah porsi investasi optimal untuk masing-masing perusahaan.
Tabel 3.9 Porsi Perusahaan Kode
Emiten Nama Perusahaan
Urutan Porsi Investasi
1 BBCA Bank Central Asia 0,30366 2
2 BBNI Bank Negara Indonesia 0,28341 3
3 BBRI Bank Rakyat Indonesia 0,33215 1
(59)
Tabel 3.9 Lanjutan Kode
Emiten
Nama Perusahaan Urutan
Porsi Investasi
5 BDMN Bank Danamon 0,00000 -
6 BMRI Bank Mandiri 0,00000 -
7 BMGA Bank Commerce Internasional Merchant Bankers 0,03636 5
8 BNII Bank Internasional Indonesia 0,00000 -
9 MEGA Bank Mega 0,04442 4
Porsi investas optimal dari sembilan perusahaan perbankan tersebut adalah
, , , , , , , , , , dan
. Berdasarkan porsi tersebut, investor harus menginvestasikan dananya pada perusahaan BCA dengan porsi , , BNI dengan porsi , , BRI dengan porsi , , CIMB Niaga dengan porsi , , MEGA dengan porsi , , dan tidak melakukan investasi pada perusahaan BTN, Bank Danamon, Bank Mandiri, dan BII.
Dengan nilai fungsi tujuan:
Tabel 3.10 Hasil Optimal Fungsi
Tujuan
Prioritas
ke Tujuan Nilai
1 Memaksimumkan return periode hari 0,00100 3 Memaksimumkan return periode bulan 0,00115
2 Meminimumkan risiko -0,00018
Nilai pada fungsi tujuan pertama merupakan nilai keuntungan ekspektasi investor sebesar 0,0001 dan nilai pada fungsi tujuan ketiga merupakan risiko investasi sebesar 0,00018.
(60)
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pengolahan data dan perhitungan pada bab sebelumnya dapat diuraikan kesimpulan sebagai berikut:
1. Lexicographic Goal Programming adalah suatu metode pengembangan antara metode Goal Programming dengan metode Lexicographic untuk menyelesaiakan permasalahan optimisasi yang memiliki lebih dari satu fungsi tujuan. Berdasarkan konsep metode Goal Programming, kendala pada model dimodifikasi dengan menambahkan fungsi tujuan ke dalam kendala bersama nilai deviasi. Berdasarkan konsep metode Lexicographic, fungsi-fungsi tujuan diurutkan berdasarkan prioritas atau tingkat kepentingan, kemudian diselesaikan secara bertahap sesuai urutan prioritas.
2. Metode Lexicographic Goal Programming adalah metode yang mempertimbangkan preferensi atau penilaian pembuat keputusan terhadap tujuan-tujuan yang akan dicapai.
3. Pada contoh kasus investasi pada sembilan perusahaan, diperoleh porsi
investasi yang optimal, yaitu , , , , , ,
, , , , dan , dengan
, , , , dan , . Dengan kata lain, pembuat
keputusan harus menginvestasi dana pada perusahaan BCA dengan porsi , , BNI dengan porsi , , BRI dengan porsi , , CIMB Niaga dengan porsi , , MEGA dengan porsi , , dan tidak melakukan investasi pada perusahaan BTN, Bank Danamon, Bank Mandiri, dan BII. Investasi tersebut secara ekspektasi akan memberikan keuntungan sebesar , dan risiko sebesar , dari total modal.
(61)
4.2 Saran
Dari penelitian yang telah dilakukan, ada beberapa saran sebagai berikut:
1. Preferensi sebaiknya dilakukan oleh seseorang yang ahli dan berpengalaman mengenai fluktuasi harga saham.
2. Bagi peneliti selanjutnya, dapat melakukan penelitian pada kegiatan investasi dana untuk menemukan hal-hal lain yang dapat mempengaruhi tingkat keuntungan dan risiko.
3. Bagi peneliti selanjutnya, dapat melakukan proses penentuan bobot fungsi tujuan dengan menggunakan metode lain.
(62)
DAFTAR PUSTAKA
Astuti, Dwi dan Toto Sugiharto. 2005. Analisis Pembentukan Portofolio Optimal Pada Perusahaan Industri Plastic Dan Packaging Yang Terdaftar Di Bursa Efek Jakarta Studi Kasus (1999-2003). Proceeding, Seminar Nasional PESAT, Auditorium Universitas Gunadarma, Jakarta
Babei, H. et al. 2009. Lexicographic Goal Programming Approach for Portfolio Optimization.Iran:Journal of Industrial Engineering International
Husnan, Suad. 2004. Dasar-Dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas.
Yogyakarta:BPFE
Ignizio, J.P.(1985), Introduction to Linear Goal Programming, Sage Publications Inc, USA
Martono dan Agus Harjito. 2001. Manajemen Keuangan.Yogyakarta:EKONESIA Saaty, Thomas L. 1990. How to Make a Decision: The Analytical Hierarchy
Process.USA:European Journal of Operations Research Siagian, P.1987. Penelitian Operasional.Jakarta:UI-Press
Sjahrial, Dermawan. 2007. Manajemen Keuangan Lanjutan.Jakarta:Mitra Wacana Media
Tambunan, Shanty Agustina. 2012. Model Penjadwalan Dinas Jaga Perawat IGD Menggunakan Metode Goal Programming. [Skripsi]. Medan: Universitas Sumatera Utara.
Tandelilin, E. 2001. Analisis Investasi dan Manajemen Portofolio.
Yogyakarta:BPFE
http://digilib.itb.ac.id/files/disk1/683/jbptitbpp-gdl-bastianmar-34106-4-2009ta-a.pdf : diakses pada tanggal 20 Mei 2014 pukul 12:40
(63)
Lampiran 1 Hasil Perhitungan Tinjauan Target Pembuat Keputusan dengan Menggunakan Software LINGO 13.0
(64)
Lampiran 2 Hasil Perhitungan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Software LINGO 13.0
Fungsi Tujuan 1 (Maksimum)
(65)
Fungsi Tujuan 2 (Maksimum)
(66)
Fungsi Tujuan 3 (Maksimum)
(67)
Lampiran 3 Hasil Penyelesaian Optimal Masalah Investasi dengan Menggunakan
Software LINGO 13.0 Tahap 1
(68)
(69)
Lampiran 4 Flowchart Algoritma Pembuat Keputusan
Mulai
Membuat matriks perbandingan
Memperoleh Rasio Konsistensi (RK) pada
persamaan (3.18)
RK Memperoleh
bobot-bobot fungsi tujuan
Meperoleh target Pembuat keputusan Menyelesaikan Model
3.36
Pembuat keputusan menerima target pada
Ya Tidak
Menggunakan target dari Model 3.36 Menggunakan target
pembuat keputusan
Menyelesaikan Model 3.28
Selesai
Tidak Ya
(1)
Lampiran 2 Hasil Perhitungan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Software LINGO 13.0
Fungsi Tujuan 1 (Maksimum)
Fungsi Tujuan 1 (Minimum)
(2)
Fungsi Tujuan 2 (Maksimum)
(3)
Fungsi Tujuan 3 (Maksimum)
Fungsi Tujuan 3 (Minimum)
(4)
Lampiran 3 Hasil Penyelesaian Optimal Masalah Investasi dengan Menggunakan Software LINGO 13.0
Tahap 1
(5)
Tahap 3
(6)
Lampiran 4 Flowchart Algoritma Pembuat Keputusan
Mulai
Membuat matriks perbandingan
Memperoleh Rasio Konsistensi (RK) pada
persamaan (3.18)
RK Memperoleh
bobot-bobot fungsi tujuan
Meperoleh target Pembuat keputusan Menyelesaikan Model 3.36 Pembuat keputusan menerima target pada Ya Tidak
Menggunakan target dari Model 3.36 Menggunakan target
pembuat keputusan
Tidak Ya