6
• Kesalahan relatifnya ��
� = , �
6� = ,
Solusi:
• � = �� = 6� m . • Kesalahan mutlak dari V adalah
�� = �� �� + �� � = �
, + �
, = , � m .
• Persentase kesalahan dari V adalah ��
� × = ,
× = , .
Untuk soal 1 - 6 berikut ini, tentukan semua turunan parsial kedua.
Latihan
1. 3.
2.
6. 5.
4.
� , =
+ � ,
= �in � + =
+ = −
= arctan +
− =
�
Untuk soal 7 - 10 berikut ini, tentukan turunan parsial yang diminta.
7. 9.
8. 10.
� , =
+ ; � , �
� , =
−
; � , � � , ,
= co� +
+ ; � , �
� �, , = � ln � ; �
�
, �
�
11. 12.
=
��
�in � ; �
�� �� =
− ; �
� � �
13.
=
+
;
� � � �
,
� �
2
�
14.
= ;
� � � �
Untuk soal 15 - 20 di bawah ini, tentukan diferensial total dari
15. 17.
16.
= ln
� = � =
co�
18. 20.
19.
= co� � = +
=
Untuk soal 21 - 24 di bawah ini, tentukan dengan menggunakan aturan rantai:
21. 23.
22. 24.
= +
+ , = �in , = = co� +
, = , =
= +
+ , = ln , = co� = tan
−
, = , = −
−
Untuk soal 25 - 28 di bawah ini, tentukan
� �
dan
� �
dengan menggunakan aturan rantai:
25. 26.
= , = co� , = �in
= arc�in − , =
+ , = −
27. 28.
=
+
, = , = = �in � co� � , � =
, � =
•
Untuk soal 29 - 30 di bawah ini, tentukan turunan parsial yang diberikan dengan menggunakan aturan
rantai:
29.
= +
, = +
, = + ;
� �
,
� �
, �
�
dengan = , = , =
30.
= � + , � = + co� , = + �in ;
� �
,
� �
, �
�
dengan = , = , =
25
1
Pertemuan 4
• Gradien • Turunan Berarah
• Bidang Singgung • Aplikasi Turunan Parsial
Gradien Fungsi Multivariabel
Misalkan = � , adalah sebuah fungsi
multivariabel dalam dan sedemikian sehingga �
dan � ada.
Gradien dari
� , dinyatakan dengan
�� , , adalah vektor �� ,
= � ,
+ � ,
. Notasi yang lain untuk gradien adalah
grad
� .
Contoh
Tentukan gradien dari � ,
= ln + pada
titik 1, 2.
Solusi:
Gradien dari � ,
= ln + , dinyatakan dengan
�� , , adalah vektor �� ,
= +
+ ln + .
Turunan Berarah
Bagaimana menentukan kemiringan terhadap sumbu ?
Turunan Berarah
Misalkan = � , adalah sebuah permukaan dan
titik �
, berada pada domain
� lihat gambar di bawah. Arah dari turunan berarah di berikan oleh
vektor = co� � + �in � ,
dimana � adalah sudut yang
terbentuk antara vektor dengan sumbu x.
Turunan Berarah
Turunan berarah dari fungsi � dalam arah vektor
� = � � � + �� � adalah
�
�
� , = �
, � � � + �
, �� �
Bentuk lain rumus turunan berarah dari fungsi � dalam
arah vektor adalah �
�
� , = �� ,
∙ �
26
2 Contoh
Tentukan turunan berarah dari � ,
= − −
pada titik 1,2 dalam arah
= co� �
+ �in
�
.
Solusi:
Gradien dari � ,
= − −
, adalah �� ,
= − −
. Pada titik 1, 2 adalah
�� , = − − . Sehingga,
� � , = − , − ∙ co� �
, �in �
= − − .
Contoh
Diketahui paraboloida = � ,
= +
+ . Misalkan
� adalah titik di 3,2 dan diketahui vektor- vektor normal
= ,
dan = , −
. a. Tentukan turunan berarah
� pada � dalam arah dan
. b. Gambar grafik permukaan dan interprestasikan
turunan-turunan berarahnya.
Solusi:
a. Turunan parsial dalam arah dan dari fungsi �
adalah � = dan � = . Sehingga � , = dan
� , = . Turunan berarah dalam arah dan adalah
� , = � , , � ,
∙ ,
= , ∙
, ≈ , .
� , = � , , � ,
∙ ,
= , ∙ , −
≈ − ,98.
b. Dalam arah , turunan berarah bernilai sekitar 2,47.
Berarti kurva perpotongan akan naik pada 3,2 dalam arah ini. Secara ekuivalen, kemiringan garis
singgung untuk kurva Q dalam arah adalah sekitar
2,47. Dalam arah
, turunan berarah bernilai sekitar -0,98. Berarti kurva perpotongan akan turun pada 3,2
dalam arah ini. Secara ekuivalen, kemiringan garis singgung untuk kurva Q dalam arah
adalah sekitar -0,98.
Ilustrasi untuk kedua situasi di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
27
3 Sifat Gradien dan Turunan Berarah
Misalkan fungsi � dapat didiferensialkan di titik
, . 1. Jika
�� , = � maka �
�
� , = �
. 2. Arah kenaikan maksimum dari
� diberikan oleh �� , .
Nilai maksimum dari
�
�
� , adalah
�� , .
3. Arah kenaikan minimum dari � diberikan oleh
−�� , .
Nilai minimum dari
�
�
� , adalah
− �� , .
Contoh
Suhu pelat baja dalam derajat celcius adalah � ,
= −
− dengan dan dalam sentimeter. Tentukan vektor
arah yang berasal dari titik 2, -3 yang mengakibatkan suhu meningkat secara cepat? Berapa laju peningkatan
yang maksimum?
Solusi:
Gradien dari � ,
= −
− , adalah �� ,
= −8 − .
Pada titik , − adalah
�� , − = − 6 + 6 . Arah kenaikan maksimum dari
� , di titik , − adalah
= �� , − = − 6 + 6 . Sehingga laju peningkatan maksimum dari
� , di titik
, − adalah �� , − =
− 6 + 6 = 9 .
Bidang Singgung
Misalkan � dapat didiferensialkan pada titik
�: , ,
pada permukaan yang diberikan oleh � , ,
= sehingga ��
, , ≠
1. Bidang yang melalui � dengan vektor normal
