3. 5. 9. 10. 12. 17. 20. 23. 24. 26. 28. Materi UTS Mat Opt Gasal 2016 2017

6 • Kesalahan relatifnya �� � = , � 6� = , Solusi: • � = �� = 6� m . • Kesalahan mutlak dari V adalah �� = �� �� + �� � = � , + � , = , � m . • Persentase kesalahan dari V adalah �� � × = , × = , . Untuk soal 1 - 6 berikut ini, tentukan semua turunan parsial kedua. Latihan

1. 3.

2.

6. 5.

4. � , = + � , = �in � + = + = − = arctan + − = � Untuk soal 7 - 10 berikut ini, tentukan turunan parsial yang diminta.

7. 9.

8. 10.

� , = + ; � , � � , = − ; � , � � , , = co� + + ; � , � � �, , = � ln � ; � � , � �

11. 12.

= �� �in � ; � �� �� = − ; � � � � 13. = + ; � � � � , � � 2 � 14. = ; � � � � Untuk soal 15 - 20 di bawah ini, tentukan diferensial total dari

15. 17.

16. = ln � = � = co�

18. 20.

19. = co� � = + = Untuk soal 21 - 24 di bawah ini, tentukan dengan menggunakan aturan rantai:

21. 23.

22. 24.

= + + , = �in , = = co� + , = , = = + + , = ln , = co� = tan − , = , = − − Untuk soal 25 - 28 di bawah ini, tentukan � � dan � � dengan menggunakan aturan rantai:

25. 26.

= , = co� , = �in = arc�in − , = + , = −

27. 28.

= + , = , = = �in � co� � , � = , � = • Untuk soal 29 - 30 di bawah ini, tentukan turunan parsial yang diberikan dengan menggunakan aturan rantai: 29. = + , = + , = + ; � � , � � , � � dengan = , = , = 30. = � + , � = + co� , = + �in ; � � , � � , � � dengan = , = , = 25 1 Pertemuan 4 • Gradien • Turunan Berarah • Bidang Singgung • Aplikasi Turunan Parsial Gradien Fungsi Multivariabel Misalkan = � , adalah sebuah fungsi multivariabel dalam dan sedemikian sehingga � dan � ada. Gradien dari � , dinyatakan dengan �� , , adalah vektor �� , = � , + � , . Notasi yang lain untuk gradien adalah grad � . Contoh Tentukan gradien dari � , = ln + pada titik 1, 2. Solusi: Gradien dari � , = ln + , dinyatakan dengan �� , , adalah vektor �� , = + + ln + . Turunan Berarah Bagaimana menentukan kemiringan terhadap sumbu ? Turunan Berarah Misalkan = � , adalah sebuah permukaan dan titik � , berada pada domain � lihat gambar di bawah. Arah dari turunan berarah di berikan oleh vektor = co� � + �in � , dimana � adalah sudut yang terbentuk antara vektor dengan sumbu x. Turunan Berarah Turunan berarah dari fungsi � dalam arah vektor � = � � � + �� � adalah � � � , = � , � � � + � , �� � Bentuk lain rumus turunan berarah dari fungsi � dalam arah vektor adalah � � � , = �� , ∙ � 26 2 Contoh Tentukan turunan berarah dari � , = − − pada titik 1,2 dalam arah = co� � + �in � . Solusi: Gradien dari � , = − − , adalah �� , = − − . Pada titik 1, 2 adalah �� , = − − . Sehingga, � � , = − , − ∙ co� � , �in � = − − . Contoh Diketahui paraboloida = � , = + + . Misalkan � adalah titik di 3,2 dan diketahui vektor- vektor normal = , dan = , − . a. Tentukan turunan berarah � pada � dalam arah dan . b. Gambar grafik permukaan dan interprestasikan turunan-turunan berarahnya. Solusi: a. Turunan parsial dalam arah dan dari fungsi � adalah � = dan � = . Sehingga � , = dan � , = . Turunan berarah dalam arah dan adalah � , = � , , � , ∙ , = , ∙ , ≈ , . � , = � , , � , ∙ , = , ∙ , − ≈ − ,98. b. Dalam arah , turunan berarah bernilai sekitar 2,47. Berarti kurva perpotongan akan naik pada 3,2 dalam arah ini. Secara ekuivalen, kemiringan garis singgung untuk kurva Q dalam arah adalah sekitar 2,47. Dalam arah , turunan berarah bernilai sekitar -0,98. Berarti kurva perpotongan akan turun pada 3,2 dalam arah ini. Secara ekuivalen, kemiringan garis singgung untuk kurva Q dalam arah adalah sekitar -0,98. Ilustrasi untuk kedua situasi di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini. 27 3 Sifat Gradien dan Turunan Berarah Misalkan fungsi � dapat didiferensialkan di titik , . 1. Jika �� , = � maka � � � , = � . 2. Arah kenaikan maksimum dari � diberikan oleh �� , . Nilai maksimum dari � � � , adalah �� , . 3. Arah kenaikan minimum dari � diberikan oleh −�� , . Nilai minimum dari � � � , adalah − �� , . Contoh Suhu pelat baja dalam derajat celcius adalah � , = − − dengan dan dalam sentimeter. Tentukan vektor arah yang berasal dari titik 2, -3 yang mengakibatkan suhu meningkat secara cepat? Berapa laju peningkatan yang maksimum? Solusi: Gradien dari � , = − − , adalah �� , = −8 − . Pada titik , − adalah �� , − = − 6 + 6 . Arah kenaikan maksimum dari � , di titik , − adalah = �� , − = − 6 + 6 . Sehingga laju peningkatan maksimum dari � , di titik , − adalah �� , − = − 6 + 6 = 9 . Bidang Singgung Misalkan � dapat didiferensialkan pada titik �: , , pada permukaan yang diberikan oleh � , , = sehingga �� , , ≠

1. Bidang yang melalui � dengan vektor normal