Pengembangan Algoritma Iteratif Untuk Minimisasi Fungsi Nonlinear

PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
TESIS Oleh FADHILAH JULI YANTI HARAHAP 127021019/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh FADHILAH JULI YANTI HARAHAP
127021019/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
: Fadhilah Juli Yanti Harahap : 127021019 : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)

Ketua

Anggota

Ketua Program Studi (Prof. Dr. Herman Mawengkang)

Dekan (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 3 Juni 2014

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Sutarman, M.Sc 3. Dr. Syahril Efendi, S.Si. M.IT
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN
PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 3 Juni 2014 Penulis, Fadhilah Juli Yanti Harahap
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan linier maupun sistem persamaan nonlinier yaitu secara analitik dan numerik namun terdapat persamaan ataupun sistem persamaan nonlinier tertentu yang sulit diselesaikan dengan penghitungan analitik sehingga penghitungan numerik dapat menjadi solusi. Salah satu kajian metode numerik pada tesis ini adalah mengembangkan algoritma iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier dengan teknik dekomposisi. Pengembangan algoritma dilandasi dari metode newton, lalu di kembangkan dengan teknik dekomposisi. Hasil analisis dan eksperimen memperlihatkan bahwa kekonvergenan metode NR bersifat kuadratik (derajad kekonvergenannya 2) ke akar sederhana. Untuk akar ganda, metode NR mempunyai derajat kekonvergenan linear, dan dapat ditingkatkan menjadi kuadratik dengan menggunakan modifikasi rumus iterasinya. Kata kunci: Akar persamaan, Algoritma iterative, Tekhnik dekomposisi,
Algoritma newton.
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT There are two ways to resolve the linear equations and non-linear equations that sisitem analytically and numerically, but there are similarities or certain nonlinear systems of equations that are difficult to be solved by analytic calculation of numerical calculation can be a solution. One study in numerical methods in this thesis is to develop an iterative algorithm for minimizing non-linear functions with decomposition techniques. The development of an algorithm based on Newton’s method, and developed the technique of decomposition. Results of analysis and experiments show that the convergence is quadratic NR method (degree kekonvergenannya 2) to the simple roots. For double roots, NR method has a linear convergence degree, and can be increased to quadratic formula using a modified iteration. Keyword: Root equation, Iterative algorithms, Decomposition techniques,
Algorithms newton.
iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan petunjuk yang sangat berharga sehingga tesis yang berjudul ”PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR” dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2014 yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
iv
Universitas Sumatera Utara

Tak lupa penulis ucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua dan suami tercinta yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, 3 Juni 2014 Penulis, Fadhilah Juli Yanti Harahap
v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Fadhilah Juli Yanti Harahap dilahirkan di Medan tanggal 23 juli 1978 anak ke-enam dari delapan orang bersaudara. Nama bapak Drs. Syamsuddin Harahap dan Ibu Rosliana. Tamat dari Sekolah Dasar Negeri 060858 tahun 1991, melanjut ke Sekolah Menengah Pertama Negeri 12 Medan dan tamat tahun 1994, kemudian melanjutkan ke SMA Negeri 14 Medan dan tamat tahun 1997. Pada tahun 1997 kuliah di Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan jurusan matematika tamat tahun 2002. Tahun 2000-2002 penulis mengajar di SD Muhammadiyah 09 Medan, Tahun 2002-2003 mengajar di SD Pertiwi Kota Medan dan Tahun 2005-2010 mengajar di MAN Binjai, kemudian tahun 2011 mengajar di MAN 2 Model Medan sampai dengan sekarang.Selain Sebagai seorang ibu rumah tangga penulis tinggal bersama suami dan anak-anak di Dalu X-B jalan Swadana gang Impres.
vi

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Optimasi Non-Linier 2.2 Metode Newton-Raphson
2.2.1 Gagasan awal metode newton-Raphson 2.2.2 Metode pengali Lagrange 2.2.3 Vektor gradien dan matriks Hessian 2.3 Kondisi Karush-Kuhn Tucker 2.4 Metode Biseksi

Halaman
i ii iii iv vi vii ix x
1
1 3 3 3 4
5
5 6 6 9 9 10 12

vii
Universitas Sumatera Utara

2.5 Metode Scant

12

BAB 3 MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENYE-

LESAIKAN PERMASALAHAN PERSAMAAN NONLINEAR

13

3.1 Sistem Persamaan Nonlinier 3.2 Metode Numerik 3.3 Kesalahan 3.4 Modifikasi Metode Newton-Raphson
3.4.1 Kriteria berhenti 3.4.2 Penentuan titik awal (Z0) 3.5 Beberapa Modifikasi Metode Newton Raphson 3.5.1 Tahap dua dan tahap tiga algoritma iteratif 3.6 Analisa Konvergen 3.7 Metode-metode Lainnya 3.7.1 Penerapan optimasi Chaos 3.7.2 Metode Jacobian

13 14 15 16 18 18 18 19 24 25 25 27

BAB 4 PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIVE UNTUK MEMINIMALKAN

FUNGSI NONLINIER

30

4.1 Ilustrasi Numerik

30

BAB 5 KESIMPULAN

33

5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA

33 33 34

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

2.1 Kondisi Karush-Kuhn Tucker

4.1 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 1 4.2 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 2 4.3 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 3 4.4 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 1 4.5 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 2 4.6 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 3 4.7 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 1 4.8 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 2 4.9 Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 3

Halaman 10 30 30 30 31 31 32 32 32 32

ix
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

2.1 Metode newton-Raphson 2.2 Pendekatan pada titik puncak 2.3 Pendekatan pada 2 titik puncak

Halaman
6 8 8

x
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan linier maupun sistem persamaan nonlinier yaitu secara analitik dan numerik namun terdapat persamaan ataupun sistem persamaan nonlinier tertentu yang sulit diselesaikan dengan penghitungan analitik sehingga penghitungan numerik dapat menjadi solusi. Salah satu kajian metode numerik pada tesis ini adalah mengembangkan algoritma iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier dengan teknik dekomposisi. Pengembangan algoritma dilandasi dari metode newton, lalu di kembangkan dengan teknik dekomposisi. Hasil analisis dan eksperimen memperlihatkan bahwa kekonvergenan metode NR bersifat kuadratik (derajad kekonvergenannya 2) ke akar sederhana. Untuk akar ganda, metode NR mempunyai derajat kekonvergenan linear, dan dapat ditingkatkan menjadi kuadratik dengan menggunakan modifikasi rumus iterasinya. Kata kunci: Akar persamaan, Algoritma iterative, Tekhnik dekomposisi,
Algoritma newton.
ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT There are two ways to resolve the linear equations and non-linear equations that sisitem analytically and numerically, but there are similarities or certain nonlinear systems of equations that are difficult to be solved by analytic calculation of numerical calculation can be a solution. One study in numerical methods in this thesis is to develop an iterative algorithm for minimizing non-linear functions with decomposition techniques. The development of an algorithm based on Newton’s method, and developed the technique of decomposition. Results of analysis and experiments show that the convergence is quadratic NR method (degree kekonvergenannya 2) to the simple roots. For double roots, NR method has a linear convergence degree, and can be increased to quadratic formula using a modified iteration. Keyword: Root equation, Iterative algorithms, Decomposition techniques,
Algorithms newton.
iii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan dunia yang semakin maju membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Salah satu masalah yang sering ditemui dalam matematika dan sains serta teknik adalah mencari akar persamaan, yakni mencari nilai-nilai x yang memenuhi f(x) = 0 (Borse, 1997). Matematika memegang peranan cukup penting terutama dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi baik matematika murni maupun matematika terapan. Matematika terapan dijumpai dalam perkembangan bidang industri yang menghendaki tercapainya suatu kondisi yang optimal yang sebelumnya hanya persoalan sederhana yang berbentuk linier, tetapi karena perkembangan zaman, kompleksitas semakin meningkat sehingga memunculkan persoalan yang berbentuk nonlinier. Hal tersebut disebabkan karena munculnya faktor-faktor yang membuat ketaklinieran suatu fungsi. Selain itu, banyak faktor-faktor yang menjadi penghambat dalam optimasi sehingga memunculkan satu atau lebih kendala dalam mengoptimalkan suatu fungsi.
Model nonlinier lebih sulit dicari penyelesaiannya secara analitik dari pada model linier. Oleh karena itu tidak ada metode eksak yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya (Jacques dan Colin, 1987). Jika penyelesaian dapat diusahakan secara analitik tentu akan mempermudah penyelesaiannya yang optimal, karena penyelesaian esaknya didapatkan. Tetapi untuk berbagai persaoalan hal ini tidak selalu mudah didapatkan sehingga perlu diupayakan penyelesaian secara numerik yang mendekati penyelesaian eksak. Dengan menggunakan metode numerik, semua permasalahan numerik yang rumit dapat diselesaikan dengan hanya menggunakan operasi-operasi aritmatika sederhana dan logika serta menggunakan prosedur yang dapat dikerjakan oleh komputer (Volkov, 1990).
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan arit-
1
Universitas Sumatera Utara

2
matika biasa (Triatmodjo, 1996). Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh hasil yang mendekati nilai penyelesaian eksak.
Banyak metode numerik yang telah dikembangkan untuk memecahkan persoalan nonlinear di antaranya seperti Bisection, secant, metode newton, metode pengali Lagrange dan metode Karush-Kuhn Tucker. Akan tetapi, metode-metode tersebut sering tidak dapat digunakan untuk persoalan program nonlinear berskala besar misalnya metode bisection yang tidak dapat digunakan untuk persamaan dengan akar ganda, metode newton raphson dan secant yang tidak selalu konvergen, jika mengambil nilai awal yang salah. Sekalipun telah dilakukan beberapa perbaikan pada metode-metode tersebut.
Oleh Karena cukup banyaknya problema dunia nyata yang dapat diformulasikan ke dalam model ditambah lagi dengan sulitnya mengatasi problema tersebut secara analitis, maka perlu dikembangkan suatu prosedur atau algoritma sedemikian hingga problema dapat diselesaikan secara efisien. Berdasarkan alasan tersebut penulis menggunakan tekhnik dekomposisi untuk mengembangkan algoritma iteratif untuk minimisasi fungsi nonlinier. Tulisan ini bersumber pada jurnal New Iterative Algorithm for Minimization of Nonlinier functions yang ditulis oleh Karthikeyan (2011). Untuk menerapkan teknik ini pertama digunakan rangkaian gambaran dari fungsi tak liniear yang diproleh dari penggunaan rumus kuadrat dan teorema dasar kalkulus. persamaan tak liniear sebagai gabungan dari sistem per-
Universitas Sumatera Utara

3
samaan tak linier ditulis kembali, kemudian melalui teknik dekomposisi dibangun beberapa metode iteratif baru untuk menyelesaikan persamaan tak liniear.
Penulisan ini juga bersumber pada jurnal yang berjudul analisis pendekatan metode Newton Raphson dalam menyelesaikan optimasi multivariabel. Dalam tulisan ini, diusulkan algoritma baru untuk meminimalkan fungsi tak liniear. Kemudian studi banding dibuat antara algoritma baru dan algoritma Newton melalui contoh-contoh.
1.2 Perumusan Masalah
Dalam analisis numerik metode Newton merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi mendekati dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode dapat meleset. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi. Oleh karena itu perlu dikembangkan suatu algoritma untuk menyelesaikan problema yang berbentuk tak linier.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah melakukan peninjauan atas metode Newton raphson yang dimodifikasi, yang diajukan oleh Karthikeyan (2011). Dengan adanya algoritma yang dimodifikasi diharapkan dapat membantu menyelesaikan permasalahan tak linier. Model Pengembangan algoritma yang akan dihasilkan dari penelitian ini juga memberikan kontribusi penting dalam bidang program taklinier.
1.4 Manfaat Penelitian
Model problema banyak terdapat pada berbagai problema dunia nyata seperti problema sintesa dalam rancangan proses kimia, investasi, sistem manajemen pengawasan, mutu air, pemasaran produk baru. Dengan adanya algoritma yang efisien untuk menanggulangi model problema demikian, sehingga akan banyak membantu para peneliti ataupun para pengambil keputusan yang bergumul dengan
Universitas Sumatera Utara

4 model seperti pada program. Sehingga terdapat suatu algoritma untuk menyelesaikan problema dalam skala yang luas. Melalui algoritma ini akan dapat digali keuntungan sifat linearitas dari variabel diskrit dan konveksitas fungsi berharga kontinu. 1.5 Metode Penelitian Penelitian ini membahas tentang pengembangan algoritma iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier. Sebagai langkah awal dibicarakan konsep dasar metode Newton. Selanjutnya dibahas beberapa teknik dan pendekatan membuat algoritma iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier. Pada bagian akhir dibahas tentang pengembangan algoritma. Untuk meminimalkan problema fungsi nonlinier melalui studi comperatif yang terdiri dari kerangka dasar penyelesaian, algoritma dari metode, dan tiga contoh kasus masalah problema dalam meminimalkan fungsi non linier. Implementasi yang sukses dari algoritma ini dicapai pada bermacammacam tes problema. Hasilnya menunjukkan bahwa algoritma iteratif pada metode baru lebih efesien.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Optimasi Non-Linier Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinier ditinjau dari pandangan matematis merupakan topik lanjutan dan secara konseptual, sulit untuk diselesaikan. Untuk itu dibutuhkan pengetahuan aktif mengenai kalkulus, differensial dan aljabar linier (He, 2003).
Kesulitan lain yang dihadapi, yaitu fungsi tujuan nonlinier, yang tidak mempunyai nilai minimum serta mempunyai daerah penyelesaian dengan batas nonlinier (tidak konvex). Secara umum tidak terdapat teknik penyelesaian yang terbaik, tetapi ada beberapa teknik yang mempunyai masa depan cerah dibandingkan yang lain. Banyak teknik penyelesaian optimasi nonlinier yang hanya efisien untuk menyelesaikan masalah yang mempunyai struktur matematis tertentu. Hampir semua teknik optimasi nonlinier modern mengandalkan pada algoritma numerik untuk mendapatkan jawabannya (Mohan dan Kannan, 2004).
Beberapa permasalahan optimasi nonlinier diantaranya:
1. Optimasi satu variabel tanpa kendala 2. Optimasi multivariabel tanpa kendala 3. Optimasi multivariabel dengan kendala persamaan 4. Optimasi multivariabel dengan kendala pertidaksamaan
Beberapa algoritma telah diajukan untuk menyelesaikan program taklinier. Di bawah ini disampaikan beberapa algoritma tersebut sebagai suatu kajian literatur.
5
Universitas Sumatera Utara

6
2.2 Metode Newton-Raphson
Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal dengan metode NewtonRaphson), merupakan suatu metode yang cukup dikenal untuk mencari pendekatan terhadap akar fungsi rill. Metode Newton-Raphson sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Namum bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.
2.2.1 Gagasan awal metode newton-Raphson
Gagasan awal metode Newton-Raphson adalah metode yang digunakan untuk mencari akar dari sebuah fungsi rill. Metode ini dimulai dengan memperkirakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperlihatkan slope atau gradien pada titik tersebut. Diharapkan dari titik awal tersebut akan diperoleh pendekatan terhadap akar fungsi yang dimaksud.

Gambar 2.1 Metode newton-Raphson

Jika terkaan awal pada akar adalah xi, sebuah garis singgung dapat ditarik

dari titik [xi, (f (xi)]. Titik dimana garis singgung ini memotong sumbu x, me-

nyatakan taksiran akar yang lebih baik. Turunan pertama di xi setara dengan

kemiringan:

f (xi)

=

f (xi) − 0 xi − xi+1

Universitas Sumatera Utara

7

Sehingga, titik pendekatan untuk i +1 adalah

xi+1

=

xi

−

f (xi) f ′(xi)

dimana i ≥ 0. Algoritma metode Newton-Raphson:

1. Definisikan fungsi f (x) dan f ′(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f (x0) dan f ′(x0) 5. Untuk iterasi i = 1, 2, ...,n atau |f(xi)| ≥ e
xi+1 = xi − (f (xi)/f ′(xi)) Hitung f (x0) dan f ′(x0) 6. Akar persamaan adalah nilai xi terakhir yang diperoleh.

Permasalahan pada penggunaan metode Newton-Raphson adalah:

1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak karena pada titik ini f ′(x) = 0, sehingga nilai penyebut dari (f (x)/f ′(x))f ′(x) sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut :
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.
2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapat penyelesaian, ketika titik pendekatannya berada diantara dua titik stasioner.

Universitas Sumatera Utara

8
Gambar 2.2 Pendekatan pada titik puncak
Gambar 2.3 Pendekatan pada 2 titik puncak Bila titik pendekatan berada pada dua titik puncak, maka akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda. Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode Newton-Raphson ini, maka metode Newton-Raphson perlu dimodifikasi yaitu: 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik pendekatan tersebut harus digeser sedikit xi = xi + δ, dimana δ adalah konstanta yang di-
Universitas Sumatera Utara

9
tentukan. Dengan demikian f′(xi) = 0 dan metode Newton-Raphson tetap dapat berjalan.
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, ada baiknya metode Newton-Raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat dijamin konvergensinya.

2.2.2 Metode pengali Lagrange
Permasalahanpermasalahan nonlinier yang tidak dalam bentuk standar diselesaikan dengan mengubahnya ke dalam bentuk standar. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, maka perlu dibentuk fungsi pengali Lagrange. Fungsi pengali Lagrange didefinisikan sebagai

L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f (x) −

m i=1

λi

gi(x).

Dimana λi = (i = 1, 2, ..., m) adalah tetapan yang disebut pengali Lagrange. Kemudian dibentuk kembali persamaan berikut:

δL δxi

=

0,

(j = 1, 2, ..., n)

δL δxi

=

0,

L(i = 1, 2, ..., m).

Metode pengali Lagrange ini ekuivalen dengan menggunakan persamaan kendala untuk menghilangkan beberapa variabel x tertentu dari fungsi objektif dan kemudian menyelesaikan persoalan maksimasi tanpa kendala dalam variabel-variabel x yang tersisa.

2.2.3 Vektor gradien dan matriks Hessian

Dalam penyelesaian optimasi multivariabel dengan kendala persamaan yang diselesaikan dengan metode Newton-Raphson, terdapat istilah Vektor Gradien dan matriks Hessian.

1. Vektor Gradien Vektor Gradien adalah turunan parsial pertama dari fungsi pengali Lagrange

Universitas Sumatera Utara

10

terhadap variable xi dan λi dimana (i = 1, 2, ..., n) dan (j = 1, 2, ..., m). Secara matematis Vektor Gradien dapat dituliskan:

▽L =

δL δx1

,

δL δx2

,

...,

δL δxn

,

δL δλ1

,

δL δλ2

,

...,

δL δλm

2. Matriks Hessian
Matriks Hessian adalah turunan parsial kedua dari fungsi pengali Lagrange terhadap variabel xi = (I = 1, 2, ..., n) dilanjutkan dengan turunan parsial terhadap x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm dan variabel λj (j = 1, 2, ..., m) dilanjutkan dengan turunan parsial terhadap x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm. Matriks Hessian didefinisikan sebagai:

 δ2L

δx1δx1

 δ2L

HL

=

 

δxnδx1 δ2L

 δλ1δx1 δ2L

δλmδx1

δ2L δx1δx2
δ2L δxnδx2
δ2L δλ1δx2
δ2L δλmδx2

··· ··· ··· ···

δ2L δx1δxn
δ2L δxnδxn
δ2L δλ1δxn
δ2L δλmδxn

δ2L δx1 δλ1
δ2L δxnδλ1
δ2L δλ1δλ1
δ2L δλmδλ1

δ2L δx1δλ2
δ2L δxnδλ2
δ2L δλ1δλ2
δ2L δλmδλ2

··· ··· ··· ···

δ2L δx1δλm
δ2L δxnδλm
δ2L δλ1δλm
δ2L δλmδλm


   

2.3 Kondisi Karush-Kuhn Tucker

Tabel 2.1 Kondisi Karush-Kuhn Tucker

Persoalan
Satu variabel tidak berkendala
Banyak variabel tidak berkendala
Berkendala, hanya kendala nonnegatif
Persoalan umum berkendala

Kondisi Perlu

Untuk Optimalitas

df dx

=

0

df dxj

=

0

(j

=

1, 2, ..., n)

df dxj

=

0

(j

=

1, 2, ..., n)

atau ≤ 0 jika xj = 0

Kondisi Karush-Kuhn Tucker

Juga Cukup Jika f(x) konkaf f(x) konkaf f(x) konkaf f (x) konkaf dan gi(x) konveks (i = 0,1, ...,m)

Dari tabel 2.1 terlihat bahwa untuk kondisi persoalan umum disebut kondisi KarushKuhn Tucker (Hillier dan Lieberman, 2005). Kondisi perlu dan cukup untuk x¯ = (x¯1, x¯2, ..., x¯n) sebagai solusi optimal untuk persoalan nonlinear berikut: max (or min) f (x1, x2, ..., xn)

Universitas Sumatera Utara

11

Subject to : g1(x1, x2, ..., xn) ≤ b1

g1(x1, x2, ..., xn) ≤ bm.

Untuk menggunakan hasil, semua kendala persoalan nonlinear harus kendalakendala dalam bentuk h(x1, x2, ..., xn) ≥ b harus ditulis sebagai h(x1, x2, ..., xn) ≤ b harus diganti dengan h(x1, x2, ..., xn) ≤ b dan −h(x1, x2, ..., xn) ≤ −b (Winston dan Venkataramanan, 2003). Teorema 2.1 memberikan kondisi Kuhn-Tucker yang cukup bagi titik x¯ = (x¯1, x¯2, ..., x¯n) untuk memecahkan persoalan nonlinear.

Teorema 2.1 Andaikan persoalan nonlinear adalah persoalan maksimisasi. Jika x¯ = (x¯1, x¯2, ..., x¯n) adalah solusi optimal dari persoalan tersebut maka x¯ = (x¯1, x¯2, ..., x¯n) yang memenuhi

δf (x¯) δxj

−

i=m i=1

λ¯i

δgi(x¯) δxj

≤

0

λ¯i[bi − gi(x¯)] = 0

δf δxj

−

i=m i=1

λ¯i

δgi δxj

=0

λ¯i ≤ 0

(j = 1, 2, ..., n) (j = 1, 2, ..., n) (j = 1, 2, ..., n)
(j = 1, 2, ..., 3)

Teorema 2.2 Andaikan persoalan nonlinear adalah persoalan minimisasi. Jika
x¯ = (x¯1, x¯2, ..., x¯n) adalah solusi optimal dari persoalan tersebut maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali λ¯1, λ¯2, ..., λ¯m yang memenuhi:

δf (x¯) δxj

−

i=m i=1

λ¯i

δgi(x¯) δxj

≥

0

λ¯i[bi − gi(x¯)] = 0

δf δxj

−

i=m i=1

λ¯i

δgi δxj

=0

λ¯i ≤ 0

(j = 1, 2, ..., n) (j = 1, 2, ..., n) (j = 1, 2, ..., n)
(j = 1, 2, ..., 3)

Skalar λi, I = 1, ..., m disebut kondisi complementary slackness yang menyatakan dua kemungkinan yaitu:

Universitas Sumatera Utara

12
1. Jika gi(x) < 0 maka λi = 0 2. Jika λi < 0 maka gi(x) = 0
2.4 Metode Biseksi Kelebihan Metode Biseksi adalah selalu berhasil menemukan akar (solusi) yang dicari, atau dengan kata lain selalu konvergen. Sedangkan kekurangan metode biseksi adalah:
1. Metode biseksi hanya dapat dilakukan apabila ada akar persamaan pada interval yang diberikan.
2. Jika ada beberapa akar pada interval yang diberikan maka hanya satu akar saja yang dapat ditemukan.
3. Memiliki proses iterasi yang banyak sehingga memperlama proses penyelesaian. Tidak memandang bahwa sebenarnya akar atau solusi yang dicari dekat sekali dengan batas interval yang digunakan.
2.5 Metode Scant Kelebihan metode scant adalah:
1. Dapat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan dari persamaan polinomial kompleks, atau persamaan yang turunan pertamanya sangat sulit didapatkan.
2. Laju konvergen cepat. 3. Cukup satu terkaan awal.
Sedangkan kekurangan metode secant adalah:
1. Turunan harus di cari secara analitis. 2. Bisa divergen.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3
MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PERSAMAAN
NONLINEAR

3.1 Sistem Persamaan Nonlinier

Sistem persamaan nonlinier adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan-

persamaan nonlinier.

f1 (x1, x2, . . . , xn) = 0

f2 (x1, x2, . . . , xn) = 0 ... ... ...

fn (x1, x2, . . . , xn) = 0

Penyelesaian sistem ini terdiri dari himpunan nilai-nilai x yang secara simultan memberikan semua persamaan tersebut nilai yang sama dengan nol. Bentuk rumus linier adalah

f (x) = (a1x1 + a2x2 + · · · + anxn − a0) = 0, ∀ai ∈ R

Persamaan-persamaan aljabar dan transenden yang tidak cocok dengan bentuk persamaan di atas, maka disebut persamaan nonlinier.
Contoh 3.1.1 x2 + xy = 10 dan y + 3xy2 = 57 adalah dua persamaan yang nonlinier simultan dengan dua bilangan yang tak diketahui x dan y. Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

u(x, y) = x2 + xy − 10 = 0 v(x, y) = y + 3xy2 − 57 = 0

Jadi, penyelesaiannya akan berupa nilai-nilai x dan y yang membuat fungsi u(x, y) dan v(x, y) sama dengan nol (Chapra dan Canale, 2002). Salah satu masalah yang paling sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk menemukan akar-akar persamaan berbentuk f(x) = 0 yakni akar-akar dari fungsi. Fungsi
13
Universitas Sumatera Utara

14
f(x) ini dapat diberikan secara eksplisit, misalnya suatu polinom dalam x atau sebagai suatu fungsi yang sangat sukar. Akan tetapi, seringkali f(x) itu hanya diketahui secara implisit, yakni dapat diketahui, tetapi bentuk eksplisitnya tidak dikenal. Misalnya f(x) dapat merupakan nilai dari suatu pemecahan persamaan diferensial pada suatu titik tertentu, sedangkan x-nya merupakan keadaan awal dari persamaan diferensial tersebut. Banyak contoh yang didapat dalam bentuk suatu polinom yang dapat difaktorkan. Akan tetapi secara umum, yang dapat diharapkan hanya memperoleh penyelesaian yang mendekati harga yang sebenarnya saja, dengan mengandalkan suatu teknik perhitungan yang menghasilkan pendekatan itu. Tergantung dari hubungan konteksnya, maka ”penyelesaian pendekatan” itu dapat berarti suatu titik . Penyelesaian pendekatan yang diperoleh pada suatu komputer akan selalu terhinggapi oleh suatu kesalahan yang disebabkan karena pembulatan (round off error) atau ketakstabilan atau aritmatika khusus yang dipergunakan. Memang benar bahwa ada banyak kemungkinan ”penyelesaian pendekatan” yang sama baiknya meskipun penyelesaian yang dibutuhkan itu bersifat unik (Conte dan Boor, 1993).
3.2 Metode Numerik
Sasaran akhir dari analisis numerik yang dilakukan dalam metode numerik adalah diperolehnya metode yang terbaik untuk memperoleh jawaban yang berguna persoalan matematika dan untuk menarik informasi yang berguna dari berbagai jawaban yang dapat diperoleh, yang tidak dinyatakan dalam bentuk jabar atau trasenden, persamaan diferensial biasa atau parsial, persamaan integral, atau kumpulan dari persamaan tersebut. Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawaban yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawaban pendekatan yang berbeda dari jawaban eksak sebesar suatu nilai yang dapat diterima berdasarkan pertimbangan praktis, tetapi cukup dapat memberikan penghayatan pada persoalan yang dihadapi. Sehingga hasil dari penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik atau eksak (Djojodihardjo, 2000).
Universitas Sumatera Utara

15
3.3 Kesalahan Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawaban
eksak (tepat) dari persoalan yang sedang diselesaikan. Penyelesaian yang digunakan adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada penyelesaian ini diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin, yang dapat diterima berdasarkan pertimbangan praktis.
Error yang kecil ditunjukkan dengan adanya konvergenitas. Pada proses iterasi konvergenitas terjadi jika error pada iterasi pertama lebih besar dari error iterasi kedua, error iterasi kedua lebih besar dari error iterasi ketiga, dan error iterasi ke n + 1 lebih besar dari error iterasi ke Secara matematis ditulis
ǫ1 > ǫ2 > ǫ3 · · · > ǫn > ǫn+1.
Konvergenitas tersebut merupakan syarat penyelesaian pada perhitungan numerik dengan proses iterasi (Munif dan Hidayatullah, 1995).
Nilai aproksimasi berasal dari perhitungan atau pengukuran. True value (nilai sebenarnya) merupakan penjumlahan dari approximation dan error. Berikut rumus-rumus yang biasa digunakan dalam metode numerik:
1. Error(Et) = true value - approximation, 2. Absolute error = |true value - approximation|, 3. Relative error (ǫt) = (absolute error / |true value - approximation|) x 100%.
Contoh 3.3.1 Misalkan anda mengukur panjang = 999cm. Jika panjang tali sebenarnya adalah 1000cm. Maka galat = 1000 − 999 = 1cm. Galat absolute = |1000− 999| = 1 cm. dan galat relative = (1/1000)x100% = 0.1% (Moengin, 2008).
Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Ada tiga macam kesalahan yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan dan kesalahan pemotongan.
Universitas Sumatera Utara

16
Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut bisa terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Kesalahan pembulatan terjadi karena diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Kesalahan ini terjadi apabila bilangan perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari posisi tersebut nol. Sedangkan angka posisi ke n tersebut tidak berubah atau dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih besar dari setengah dari angka posisi ke n.
Contoh 3.3.2 8632574 dapat dibulatkan menjadi 8633000 dan 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14.
Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar (Triatmodjo, 1996). Kesalahan pemotongan adalah galat yang diperoleh dari approksimasi prosedur (rumus) matematika secara eksak.
3.4 Modifikasi Metode Newton-Raphson
Pada awalnya metode Newton-Raphson hanya digunakan untuk mencari pendekatan terhadap akar suatu fungsi rill. Tetapi, pada perkembangannya metode ini telah banyak mengalami kemajuan. Metode ini dapat dimodifikasi, sehingga mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan lain. Salah satunya adalah permasalahan optimasi multivariabel dengan kendala persamaan.
Dengan X[x, x, ..., xnn]τ , maka bentuk umum untuk permasalahan nonlinier yang mempunyai kendala kendala kesamaan adalah :
Maksimumkan Z = f(X) Dengan kendala g1(x) = 0
g2(x) = 0 ... gn(x) = 0
Universitas Sumatera Utara

17
Disini, m < n (jumlah kendala lebih kecil dari variabel), jika terjadi m ≥ n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan. Adapun rumus rekursi yang diterapkan pada metode Newton-Raphson, khususnya permasalahan optimasi multivariabel dengan kendala persamaan adalah :

Zk+1 = Zk − (HL|Zk)−1▽L|zk

Dimana:

k ≥0

Zk+1

= Nilai Z ke − (k + 1)

Zk = Nilai Z ke − k (HL|Zk)−1 = Invers Matriks Hessian dititik Zk

▽L|zk = Vektor Gradien dititik Zk

Penggunaan metode Newton-Raphson tidak hanya sebatas dalam mencari akar dari suatu fungsi. Seperti dijelaskan sebelumnya penerapan metode ini telah banyak.

Menyelesaikan berbagai macam permasalahan. Dalam optimasi miltivariabel dengan kendala persamaan metode ini digunakan untuk mencari titik optimal dari persamaan kendala yang ada. Dari uraian diatas, maka algoritma metode NewtonRaphson dalam menyelesaikan optimasi multivariabel dengan kendala persamaan adalah :

1. Definisikan fungsi f(x), dimana f(x) = fungsi tujuan, 2. Bentuk fungsi pengali Lagrange, yaitu :

L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f (x)

m i=1

λigi

(x)

λi(i = 1, 2, ..., m),

3. Tentukan vektor gradien dan matriks Hessian, 4. Pilih secara sebarang nilai Z0, 5. Hitung vektor gradien (▽L|z0) dan matriks Hessian (HL|z0) dititik z0,

Universitas Sumatera Utara

18
6. Lakukan proses iterasi Newton-Raphson
Zk+1 = Zk − (HL|Zk)−1▽L||Zk,
untuk k = 0, 7. Apabila Zk+1 ≡ Zk (sampai empat angka dibelakang koma) hentikan proses
iterasi, bila tidak ulangi langkah (5) untuk titik Zi (i = 1,2,3,...), 8. Penyelesaian optimal adalah titik xi terakhir yang diperoleh.
3.4.1 Kriteria berhenti Iterasi dihentikan apabila Zk+1 = Zk, artinya antara Zk+1 dan Zk sudah
tidak ada perbedaan yang begitu signifikan ditinjau hingga empat angka dibelakang koma. Apabila kriteria ini telah dipenuhi, maka proses iterasi dapat dihentikan dan penyelesaian optimal telah diperoleh.

3.4.2 Penentuan titik awal (Z0)
Tidak ada metode khusus yang digunakan dalam menentukan nilai titik awal (Z0), pada umumnya titik awal yang dipilih adalah, Z = [1111]τ . Apabila titik taksiran awal jauh dari nilai optimasi yang dimaksud, metode ini sulit untuk dapat konvergen (mendapatkan penyelesaian optimal).

3.5 Beberapa Modifikasi Metode Newton Raphson

Dalam penerapannya, formula iterasi Newton-Raphson memanfaatkan rumus ekspansi Taylor. Misalnya untuk mencari akar-akar dari persamaan formula iterasi Newton-Raphson dituliskan sebagai:

g(x)

=

x

−

f (x) f ′(x)

(3.1)

Diberikan nilai awal p0, maka himpunan barisan pk dapat dihitung dengan

menggunakan

pk = g(pk), untuk k = 0, 1, 2, ...

(3.2)

Universitas Sumatera Utara

19

Persamaan (3.2) terpenuhi jika f′(pk) = 0. Jika nilai awal p0 cukup dekat dengan p, barisan yang dibangun dengan menggunakan persamaan (3.2) akan konvergen ke akar p. Kadangkala kecepatan kekonvergenan barisan himpunan pk cepat (kuadratik) akan tetapi terkadang lambat (linier). Untuk membedakan kedua kasus ini, berikut akan diberikan 2 buah defenisi.

Defenisi 3.1 Misalkan himpunan pk adalah barisan yang konvergen ke-p, jika terdapat suatu konstanta A = 0

limk→∞

|ek+1| |ek|2

=

A

(3.3)

Maka barisan dikatakan konvergen kuadratik ke-p. jika terdapat suatu konstanta

A=0

limk→∞

|ek+1| |ek|

=

A

(3.4)

Maka barisan dikatakan konvergen linier. Kasus yang akan dikerjakan disini adalah

berhubung multiplisitas dari akar p.

Defenisi 3.2 Jika f(x) = (x − p)M h(x), dimana M adalah bilangan bulat positif dan h(x), dimana M adalah bilangan bulat positif dan h(x) kontinu pada xp dan h(p) = 0, maka dapat dikatakan bahwa mempunyai derajat akar M pada x = p. Derajat akar M = 1 dikenal dengan istilah akar sederhana, sedangkan untuk M > 1 disebut akar ganda.

Pada sesi ini dikenalkan dua algoritma numerik iteratif baru untuk meminimalkan nilai riil dari nonlinier dan perbedaan dua fungsi riil dengan menggunakan konsep yang berbeda dari metode dekomposisi.

3.5.1 Tahap dua dan tahap tiga algoritma iteratif Menimbang fungsi G(X) = X(g(X)/g(X)) dimana g(X) = f′(x). Di sini
f(x) adalah fungsi yang harus diminimalkan. G(x) terdefenisi disekitar kritis titik x dari f (x) jika g(x∗) = f ”(x∗) = 0 sehingga
G(X) = g(X)g”(X)/g(X).
Jika diasumsikan bahwa g”(x∗) = 0, dimiliki G′(x∗) = 0 jika g(x∗) = 0.

Universitas Sumatera Utara

20

Di sini menimbang persamaan nonlinier g(x) = 0 menggunakan rumus kuadrat dan teorema dasar kalkulus persamaan itu dapat ditulis sebagai berikut:

g(X) = g(γ) + (x − y)

g′(γ

)

+

2g′

(

γ+x 2

)

+

g′(x)

4

=0

(3.5)

dimana Y adalah suatu taksiran awal yang dekat dengan α, yang merupakan sebuah akar sederhana dari persamaan nonlinier g(x) = 0. Persamaan g(x) dapat ditulis sebagai sistem gabungan menjadi:

g(X) = g(γ) + (x − y)

g′

(γ

)

+

2g′(

γ+x 2

)

+

g′(x)

4

+ h(x) = 0

(3.6)

h(x) = g(X) − g(Y ) − (x − y)

g′(γ)

+

2g

′(

γ+x 2

)

+

g′(x)

4

dari persamaan 3.6 diperoleh

(3.7)

dimana,

X =γ−4

g(γ) + h(x)

g′

(γ

)

+

2g′(

γ

+x 2

)

+

g

′(x)

= c + N(x)

c=γ

N(x) = −4

g(γ) + h(x)

g′(γ

)

+

2g′(

γ

+x 2

)

+

g

′(x)

Jelas bahwa operator N(X) adalah nonlinier

∞
x = xi
i=0
Operator nonlinier dapat dikomposisi sebagai berikut :

(3.8) (3.9) (3.10)
(3.11)

αi
N X = N x0 + N xj − N
i=0 j=0
Jika (3.8),(3.11) dan (3.12) digabungkan diperoleh

i=1
xj
j=0

(3.12)

∞

αi

i=1

xi = c + N x0 + N xj − N xj

i=0

i=0 j=0

j=0

Dari uraian di atas dapat dibuat skema iteratif sebagai berikut

(3.13)

x0 = c x1 = N (x0)

Universitas Sumatera Utara

21

Maka

x2 = N (x0 + x1) − N (x0)

xm+1 = N (

m j=0

xj

)

−

N

(

m−1 j=0

xj ),

m

=

1,

2,

...

(3.14)

x1+x2 +· · ·+xm+1 = N (x1 +x2 +· · · xm+1 = N (x0 +x1 +· · ·+xm) = 1, 2, ... (3.15)

m

X = c + xi

(3.16)

i=0

Dapat ditunjukkan bahwa seri,

∞xi i=0

mutlak

konvergen

dan

sesuai

untuk

menye-

lesaikan persamaan (3.9), dari (3.10) dan (3.15), diperoleh

x0 = c = γ Dari (3.10) dan (3.11) diperoleh

(3.17)

h(x0) = 0

x1 = N (x0) = −4

g(γ) + h(x)

g′(γ

)

+

2g

′(

γ+x 2

)

+

g′(x)

Dicatat bahwa x diperkirakan dengan

(3.18) (3.19)

xm = x0 + x1 + x2 + · · · + xm,

dimana limm→∞xm = x. Untuk m = 0,
Untuk m = 1

x ≈ X0 = x0 = c = γ

(3.20) (3.21)

x ≈ X0 = x0 + x1 = γ − 4

g(γ) + h(x)

g′(γ

)

+

2g′

(

γ+x 2

)

+

g′(x)

=

x0

−

g(xn) g′xn

(3.22)

Formulasi ini memungkinkan disarankan satu langkah metode iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier.

Universitas Sumatera Utara

22

Algoritma 3.1

Untuk suatu x0 yang diberikan, menghitung perkiraan solusi oleh skema iteratif

berikut

xn+1

=

xn

−

g(xn) g′xn

,

dengan g′(xn) = 0 dan n = 0,1,2,...

Ini adalah metode Newton yang terkenal untuk meminimalkan fungsi nonlinier yang merupakan urutan konvergen kedua. Dari (3.22) di peroleh

Dari (3.7), (3.11) diperoleh

x0

+ x1

−γ

=

−g(γ) g′(γ)

(3.23)

h(x0 + x1) = g(x0 + x1) − g(y) − (x0 + x1 − γ)

g′(γ)

+

2g′(

γ +x0 +x1 2

)

+

g′(x0

+

x1)

4

=

g(x0

+

x1)

−

g(y)

−

g(γ) 4g′(γ)

g′(γ)

+

2g′(

γ

+

x0 2

+

x1

)

+

g′(x0

+

x1)

(3.24)

(x1 + x2) = N (x0 + x − 1) = −

g(γ) + h(x0 + x1)

g′(γ)

+

2g′(

γ+x0+x1 2

)

+

g′(x0

+

x1)

(x1

+

x2)

=

−g(γ) g′(γ)

−

4g(x0 + x1)

g′(γ)

+

2g′(

γ +x0 +x1 2

)

+

g′(x0

+

x1)

(3.25)

Untuk m = 2

x ≈ X2 = x0 + x1 + x2 = c + N (x0 + x1)

x

≈

X2

=

γ

−

g(γ) g′(γ)

−

4g(x0 + x1)

g′(γ)

+

2g′(

γ+x0+x1 2

)

+

g′(x0

+

x1)

(3.26)

Menggunakan hubungan ini, dapat disarankan berikut dua langkah metode lteratif

untuk meminimalkan fungsi nonlinier

Algoritma 3.2 Untuk suatu x0 yang diberikan, menghitung perkiraan solusi xn+1 oleh skema iteratif sebagai berikut

yn

=

xn

−

g(xn) g′(xn)

(3.27)

Universitas Sumatera Utara

23

xn+1 = yn − Untuk n = 0,1,2,...

4g(yn)

g′(γ

)

+

g′(xn)

+

2g′(

xn+yn 2

)

+

g′(yn)

,

(3.28)

Dari persamaaan 3.26, diperoleh

x0

+

x1

+

x2

−

γ

=

−g(γ) g′(γ)

4g(x0 + x1)

g′(γ)

+

2g′(

γ +x0 +x1 2

)

+

g′(x0

+

x1)

h(x0 + x1 + x2) = g(x0 + x1 + x2) − g(γ) − (x0 + x1 + x2 − γ)

X

g′(γ)

+

2g

′

(

γ

+x0

+x1 2

+x2

)

+

g′(x0

+

x1

+

x2)

4

(3.29) (3.30)

x1 + x2 + x3 = N (x0 + x1 + x2)

x1 + x2 + x3 = −4

g(γ) + h(x0 + x1 + x2)

g′(γ)

+

2g

′

(

γ

+x0

+x1 2

+x2

)

+

g′(x0

+

x1

+

x2)

x1

+

x2

+

x3

=

−g(γ) g′(γ)

−

4g(x0 + x1)

g′(γ)

+

2g′(

γ+x0+x1 2

)

+

g′(x0

+

x1)

(3.31)

Untuk m = 3 x ≈ X3 = x0 + x1 + x2 + x3 = c + N (x0 + x1 + x2)

x

≈

X3

=

−g(γ) g′(γ)

−

g′(γ)

+

4g(x0 + x1)

2g′(

γ +x0 +x1 2

)

+

g′(x0

+

x1)

− g′(γ)

+

4g(x0 + x1

2g′

(

γ+x0

+x1 2

+x2

)

+ +

x2) g′(x0

+

x1

+

x2)

(3.32)

Menggunakan formulasi ini, dapat disarankan tiga tahap metode iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier.

Universitas Sumatera Utara

24

Algoritma 3.3 Untuk suatu x0 yang di berikan, xn+1menghitung perkiraan solusi oleh skema iteratif berikut

yn

=

xn

−

g(γ) g′(γ)

yn

=

yn

−

g′(xn)

+

4g(yn)

2g′

(

xn+yn 2

)

+

g′(yn)

xn+1

=

zn

−

g′(xn)

+

4g(zn)

2g′(

xn+zn 2

)

+

g′(zn)

Algoritma baru 1 Karena g(x) = f(x). maka persamaan (3.23) dan (3.24) menjadi :

(3.33) (3.34) (3.35)

yn

=

xn

−

f ′(xn) f ”(xn)

xn+1

=

yn

−

[f ”(xn)

+

4f ′(yn)

2f

”(

xn

+yn 2

)

+

f ”(yn)]

Algoritma baru 2 Karena g(x) = f(x). maka persamaan (3.33) dan (3.34) dan (3.35) menjadi :

yn

=

xn

−

f ′(xn) f ”(xn)

zn

=

yn

−

[f ”(xn)

+

4f ′(yn)

2f

”(

xn

+yn 2

)

+

f ”(yn)]xn+1

yn

=

zn

−

[f ”(xn)

+

4f ′(zn)

2f

”(

xn

+zn 2

)

+

, f ”(zn)]

n

=

0.1.2,

...

3.6 Analisa Konvergen
Dalam bagian ini, ditinjau konvergen kriteria dari metode iteratif yang di kembangkan dalam bagian 2. Dengan cara yang sama seseorang dapat meninjau kekonvergenan dari algoritma lain.
Teorema 3.1 Misal α ∈ I merupakan sebuah nol sedehana dari fungsi yang cukup berbeda, g : I ⊆ R → R untuk suatu interval terbuka I. Jika x0 adalah bilangan yang terdekat dengan α, maka metode iteratif didefenisikan oleh algoritma 2.3 yang merupakan konvergen urutan ke empat.

Universitas Sumatera Utara

25
Bukti. Analisis konvergen dari algoritma 3.2 merupakan konvergen pada Teorema 3.1.
3.7 Metode-metode Lainnya
3.7.1 Penerapan optimasi Chaos
Penyelesaian sistem persamaan nonlinier dengan menggunakan suatu pendekatan yang merupakan penggabungan antara dua metode di atas yaitu Chaos Optimization Algorithm (COA) dengan metode Quasi-Newton. Diharapkan kelebihan dari kedua metode tersebut akan menghasilkan penyelesaian yang efisien yaitu dengan mengambil kemampuan global search dari COA dan rata-rata konvergensi lokal yang tinggi yang dimiliki oleh metode Quasi-Newton.
Penyelesaian persamaan nonlinier adalah penentuan akar-akar persamaan nonlinier, dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Sistem persamaan nonlinier adalah kumpulan dari beberapa persamaan nonlinier yang dicari penyelesaiannya. Bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

f1(x1, x2, ..., xn) = 0 f2(x1, x2, ..., xn) = 0 ... ... ... fn(x1, x2, ..., xn) = 0

Hasil penyelesaiannya adalah x = (x1, x2, ..., xn)T .

Untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier ekuivalen dengan memini-

malkan fungsi utama yang di jabarkan sebagai berikut:

Dicari: x = (x1, x2, ..., xn)T , xǫθ

Min : F (x) =

n i=1

fi2(x)

dimana Φ adalah ruang penyelesaian. Fungsi ini definit positif dan memiliki global

minimum disetiap akar pemecahannya. Bila minimisasi dari F (x) adalah 0, maka

x adalah solusi yang tepat.

Universitas Sumatera Utara

26

Metode Chaos dengan bfgs merupakan perbaikan dari metode Newton. Metode Newton bergerak berdasarkan informasi derivatif dan berasal dari analisis deret Taylor. Format iteratif untuk metode Newton dapat ditulis sebagai berikut:

X(k+1) = x(k) − J (x(k))−1f (xk)

dimana J(x) adalah matriks Jacobian.

Metode Quasi-Newton mengganti komputasi yang bersifat derivatif dengan

fungsi komputasi langsung. Matriks Hessian diganti dengan aproksimasi atau per-

kiraan matriks Hessian A yang merupakan matriks definit positif yang mempu-

nyai sifat seperti matriks Hessian. Format iteratif dari metode ini adalah sebagai

berikut:

xk+1 = xk + aksk

dimana ak adalah adalah step length yang dapat meminimumkan fungsi f(a) = f (xk + aksk) dan adalah search direction.

Optimasi Chaos merupakan teknik pembangkitan bilangan random dengan menggunakan fungsi Chaos, bisa berbentuk fungsi polinomial atau eksponensial seperti persamaan logistik di dalam ekologi yang digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi suatu spesies. Chaos Optimization Algorithm (COA) merupakan algoritma optimasi yang berdasarkan ergodicity, stochastic properties, dan regularity dari Chaos itu sendiri. Ide utama dalam materi ini adalah menggabungkan dua metode optimasi untuk menyelesaikan permasalahan sistem persamaan nonlinier. Optimasi Chaos (COA) digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier dengan mengoptimasi persama