Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda.
ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER
DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA
ANIF LAILIL ACHADIYAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan
Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Anif Lailil Achadiyah
NIM G54110010
ABSTRAK
ANIF LAILIL ACHADIYAH. Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan
Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan
ENDAR H NUGRAHANI.
Model dinamik dalam tulisan ini disusun dari model virus komputer dengan
mempertimbangkan waktu tunda terhadap komputer yang terinfeksi dan komputer
yang pulih. Analisis kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan
dengan waktu tunda. Model tanpa waktu tunda memiliki dua titik tetap, salah
satunya bersifat stabil dan lainnya tidak stabil. Sedangkan model dengan waktu
tunda memiliki titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil. Jika nilai
waktu tunda yang digunakan relatif besar, maka dapat berakibat terjadinya
perubahan kestabilan dari spiral stabil ke spiral tak stabil sehingga muncul limit
cycle dan terjadi bifurkasi Hopf.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, model virus komputer, waktu tunda
ABSTRACT
ANIF LAILIL ACHADIYAH. Stability Analysis of Computer Virus Model with
Infection Delay and Recovery Delay. Supervised by ALI KUSNANTO and
ENDAR H NUGRAHANI.
In this paper, a dynamical model is composed of computer virus model that
considers time delay of infection and recovery processes. Stability analysis is
performed to both models, i.e. the models with and without time delay. The model
without time delay has two fixed points, which one of them is stable and the other
is unstable. On the other hand, the model with time delay has fixed points which
one of them is spiral stable. If the value of time delay is sufficiently large, then it
will imply the stability changes from spiral stable to spiral unstable and
subsequently the appearance of limit-cycle and Hopf bifurcation.
Keywords: computer virus model, Hopf bifurcation, time delay
ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER
DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA
ANIF LAILIL ACHADIYAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi
Nama
NIM
Anal isis Kestabilan Model Virus Komputer clengan Infeksi
Tunda dan Pemulihan Tunda
Anif Lailil Achacliyah
G5411 0010
Disetujui oleh
Ｔｾ＠
Drs Ali Kusnanto. MSi
Pembimbing 1
Dr Ir Endar H. Nugrahani. MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
...
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
"
Tanggal Lulus:
ｾ＠
I. ::J
.... ·..
ｾＮ
｟＠
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga
karya ilmiah yang berjudul Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan
Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah
ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan
terimakasih kepada:
1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,
2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,
3 Almarhum Ayahanda Suyatmin tercinta yang senantiasa menjadi inspirasi dan
motivasi penulis untuk semangat menyelesaikan karya ilmiah ini. Ibunda
Sulistiyaningsih tersayang, Mas Eko, Mbak Devi, dan Dika yang penulis
sayangi yang selalu memberikan doa, semangat, motivasi dan kasih sayang
yang tiada henti,
4 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku
dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama
membimbing penulis, serta Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc
selaku dosen penguji,
5 staf tata usaha Departemen Matematika IPB,
6 sahabat-sahabat: Zunita, Aring, Rifa, Riris, Septian, Zaenal, dan ppj (Dini,
Rika, Arinda, Sabila, Disti, Siti) yang telah memberikan motivasi, bantuan,
keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis,
7 teman-teman satu bimbingan: Hasan dan Mula yang senantiasa saling
mengingatkan, membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya
ilmiah ini,
8 saudara ipar: Mbak Resty dan Mas Argo atas doa dan dukungannya,
9 teman-teman ikmp 48, mahasiswa Matematika 48, PB Gumatika, PSDM
Gumatika 2013/2014, tim basket Matematika, Gemilang, dan Erna atas doa,
semangat, serta kebersamaannya selama ini,
10 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Bogor, Juli 2015
Anif Lailil Achadiyah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Pemodelan
4
Pembahasan
6
A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda
6
Penentuan Titik Tetap Model
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap
1
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap
2
7
B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
9
9
Penentun Nilai eigen Model
10
Kasus 1 (�1 > 0, �2 = 0)
10
11
Bifurkasi Hopf
12
Kasus 2 (�1 = 0, �2 > 0)
SIMULASI NUMERIK
14
SIMPULAN
22
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
48
DAFTAR TABEL
1 Titik tetap model tanpa waktu tunda
2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi
3 Pemilihan nilai waktu tunda
9
14
19
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Bidang fase model virus komputer (
)
Bidang solusi komputer yang rentan
Bidang solusi komputer yang terinfeksi
Bidang solusi komputer yang pulih
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 7
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 7
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 7
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 7
15
15
15
15
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
20
20
20
21
21
21
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Penentuan titik tetap model tanpa waktu tunda
Analisis kestabilan titik tetap 1
Analisis kestabilan titik tetap 2
Pelinearan dan penentuan matriks Jacobi
Persamaan karakteristik
Penjabaran kasus 1 (�1 > 0, �2 = 0)
Penjabaran kasus 2 (�1 = 0, �2 > 0)
Bifurkasi Hopf
Penjabaran kondisi transversabilitas
Program plot bidang fase model virus komputer tanpa waktu tunda
(Gambar 1)
24
27
28
31
33
35
37
40
43
44
11 Program plot bidang solusi model virus komputer rentan tanpa waktu
tunda (Gambar 2)
12 Program plot bidang solusi model virus komputer terinfeksi tanpa
waktu tunda (Gambar 3)
13 Program plot bidang solusi model virus komputer pulih tanpa waktu
tunda (Gambar 4)
45
46
47
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Komputer merupakan salah satu alat penting yang digunakan dalam
kehidupaan sehari-hari. Seiring berkembangnya teknologi sekarang ini,
jaringan komputer telah menjadi populer di kalangan masyarakat. Jaringan
komputer terdiri atas sejumlah komputer dan perangkat jaringan lainnya
yang bekerja bersama-sama dan terhubung satu sama lain baik dengan
maupun tanpa kabel. Melalui jaringan komputer, masyarakat dapat
menemukan banyak hal maupun informasi yang baru dan berguna. Namun,
hal itu tidak lepas dengan adanya virus komputer yang ada pada jaringan
komputer.
Virus komputer merupakan ancaman besar pada jaringan komputer.
Sama halnya seperti virus biologi, virus komputer bekerja dengan cara
menggandakan dirinya sendiri dan menyebar dengan cara menyisipkan
dirinya ke sel makhluk hidup. Penggunaan sistem jaringan komputer,
menyebabkan virus komputer dapat menyebar dari komputer satu ke
komputer lainnya yang saling terhubung. Komputer yang sudah terjangkit
virus tidak dapat bekerja secara optimum karena semakin lama virus
tersebut dapat menyebabkan kerusakan pada software maupun hardware
komputer. Oleh karena itu, perlu adanya pengontrolan perkembangbiakan
virus komputer pada jaringan komputer.
Pengontrolan perkembangbiakan virus komputer dapat dilakukan
dengan model matematika. Zhang et al. (2012) mempelajari tentang sebuah
model impuls untuk virus komputer dan menentukan dinamika global pada
model. Yang et al. (2013) menganalisis model virus komputer dengan
gradasi tingkat kesembuhan komputer dan menunjukkan bahwa dinamika
global ditentukan dengan bilangan reproduksi dasar. Selain itu,
pengontrolan juga dapat menggunakan nilai ambang epidemiologi. Ada
beberapa penelitian tentang model epidemiologi. Misalnya, Ma et al. (2004)
menganalisis stabilitas global model epidemi SIR dengan waktu tunda.
Wang dan Zhao (2012) memperoleh bilangan reproduksi dasar model
epidemi reaksi-difusi dengan struktur kompartemen yang dianggap
mempengaruhi heterogenitas spasial dan mobilitas penduduk pada penyakit
transmisi dengan model spasial.
Salah satu cara yang digunakan untuk mengontrol perkembangbiakan
virus komputer adalah dengan model matematika. Model matematika
tentang virus komputer ini terdiri dari tiga kategori komputer, yaitu
komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih
(recovered). Untuk melihat perkembangan virus komputer dengan model
matematika ini akan digunakan dua waktu tunda, yaitu waktu tunda
terinfeksi dan waktu tunda pemulihan. Model virus komputer ini
digambarkan dalam suatu persamaan matematika yang telah dikembangkan
sebelumnya oleh Song et al. (2014) dalam jurnal Stability and Hopf
Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery
Delay. Dalam karya ilmiah ini akan direkonstruksi model Song et al. ini dan
2
selanjutnya akan dibahas pengaruh waktu tunda pada infeksi virus komputer
dan pemulihan komputer yang terkena virus terhadap kestabilan model virus
komputer ini.
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
mengkonstruksi model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda
yang dituliskan oleh Song et al. (2014),
menganalisis kestabilan model virus komputer tanpa dan dengan
waktu tunda,
menentukan pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem,
menentukan keberadaan bifurkasi Hopf pada model virus komputer.
1.
2.
3.
4.
LANDASAN TEORI
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai :
(1)
= ( , )
dengan
1(
)
=
1(
dan
,
,
=
( )
( ,
1, 2, … ,
)
.
1, 2, … ,
)
Jika ( , ) fungsi tak linear pada 1 , 2 , … , , maka sistem persamaan
diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear. Jika ( , )
fungsi linear maka sistem persamaan diferensial (1) disebut persamaan
diferensial linear (Braun 1983).
Misalkan juga, suatu model populasi dengan
spesies yang
berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :
1
=
2
=
=
1( 1, 2, … ,
),
2, … ,
),
2( 1, 2, … ,
( 1,
atau dapat ditulis dalam notasi vektor
dengan � = ( 1 ,
.
1, 2, … ,
2, … ,
�
(2)
= (�)
) dan
= ( 1,
),
2, … ,
) fungsi taklinear pada
3
Kestabilan sistem (2) tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai
berikut:
1 menentukan titik tetap ( ) yang memenuhi
= 0.
2 pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu:
= ( ) atau
1
1
1
2
=
1
2
1
⋱
.
menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikan
−
=0.
Nilai eigen ( ) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut:
+ 1 −1 + 2 −2 + … +
= 0.
(Edelstein-Keshet 1998)
Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem dapat menggunakan kriteria
perilaku kestabilan titik tetap sebagai brikut:
1 stabil, jika
a. setiap nilai eigen real adalah negatif ( < 0 untuk setiap ),
b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil
atau sama dengan nol ( ( ) ≤ 0 untuk setiap ),
2 tak stabil, jika
a. setiap nilai eigen real adalah positif ( > 0 untuk setiap ),
b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar
> 0 untuk setiap ),
dari nol (
3 sadel, jika
ada perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah ngatif (
1 maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih
dari 1 individu baru dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi
sehingga menjadi wabah.
(Driessche dan Watmough 2002)
HASIL DAN PEMBAHASAN
PEMODELAN
Dalam penelitian ini akan dikonstruksi model virus komputer tanpa
dan dengan waktu tunda yang diambil dari jurnal Stability and Hopf
Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery
Delay (Song et al. 2014). Asumsi yang digunakan dalam model adalah
semua nilai parameter positif. Model virus komputer tanpa dan dengan
waktu tunda mendeskripsikan tentang penyebaran virus komputer pada
berbagai komputer. Ada tiga kategori komputer dalam model tersebut yaitu
komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih
(recovered) sehingga model disebut juga dengan model dinamik
.
Suspectible
Infected
Recovered
1. Model virus komputer tanpa waktu tunda
Model virus komputer tanpa waktu tunda berbentuk:
( )
=
( )
−
+
=
( )
=
−
−
+
( )−
−
( ),
( ),
(3)
( ),
dengan
( )
: laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu,
: komputer yang rentan,
( ) : komputer yang terinfeksi,
( ) : komputer yang pulih,
: tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan,
5
: tingkat terinfeksi,
: tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada
kelas
,
,
,
: tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan
antivirus pada jaringan,
: tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan.
2. Model virus komputer dengan waktu tunda
Model virus komputer dengan waktu tunda berbentuk:
( )
=
−
( )
− �1
=
( )
=
− �1
−
− �1
+
− �1
−
( − �2 ) −
( − �2 ) −
+
( ),
( ),
(4)
( ),
dengan
( )
: laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu,
: komputer yang rentan,
( ) : komputer yang terinfeksi,
( ) : komputer yang pulih,
: tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan,
: tingkat terinfeksi,
: tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada
kelas
,
,
,
: tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan
antivirus pada jaringan,
: tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan,
�1 : waktu tunda terinfeksi,
�2 : waktu tunda pemulihan,
− �1
: peluang kelangsungan hidup komputer yang terinfeksi pada selang
(0,1].
Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah menentukan
titik keseimbangan model, melinearisasi model, menganalisis kestabilan dari
titik keseimbangan, dan melakukan simulasi numerik. Software komputasi
yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Wolfram
Mathematica 10.0.
6
PEMBAHASAN
A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda
Penentuan Titik Tetap
Titik tetap diperoleh dengan menentukan
( )
= 0,
= 0 dan
= 0 terhadap persamaan (3), sehingga persamaan menjadi
−
+
−
−
( )−
( )−
= 0,
+
= 0,
(5)
= 0.
Berdasarkan persamaan (5) diperoleh dua titik tetap (bukti dapat dilihat pada
Lampiran 1), yaitu
( ), ( ), ( ) =
1
2
( ), ( ), ( ) =
+
− 2−
,
(
2+
, 0,0 ,
( + )
+
)
(6)
,
− 2−
( 2+
+
)
.
(7)
Kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks Jacobi sebagai
berikut :
=
−
0
−
−
−
+
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
.
0
− −
(8)
Pada pembahasan sebelumnya terhadap model tanpa waktu tunda
telah diperoleh dua titik tetap pada persamaan (6) dan (7). Analisis
kestabilan dilakukan dengan cara mencari nilai eigen pada masing-masing
titik tetap.
Analisis kestabilan di titik tetap �
Titik tetap 1 = , 0,0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8),
sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
1
=
−
0
0
−
−
+
0
− −
.
7
Nilai eigen ditentukan dari persamaan
nilai eigen sebagai berikut:
1
=− ,
1
2
−
= 0. Dari sini diperoleh
= − − , atau
( + )
−
=
3
.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2)
Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif
( , , , > 0), analisis kestabilan yang akan diperoleh sebagai berikut:
1. Jika
<
+ , maka 1 < 0 , 2 < 0 , 3 < 0 sehingga titik tetap
bersifat simpul stabil.
2. Jika
>
+ , maka 1 < 0 , 2 < 0 , 3 > 0 sehingga titik tetap
bersifat sadel.
3. Jika
=
+
, maka 3 = 0 sehingga diperoleh bilangan
reproduksi dasar ( 0 ) sebagai berikut: 0 =
. (Bukti dapat dilihat
( + )
pada Lampiran 2)
Berdasarkan kriteria yang ketiga, diperoleh kriteria untuk bilangan
reproduksi dasar ( 0 ) :
1. Jika
<
+ , maka 0 < 1 sehingga virus akan menghilang.
2. Jika
>
+ , maka 0 > 1 sehingga virus akan meningkat dan
menjadi wabah.
Analisis kestabilan di titik tetap �
Titik
tetap
2
+
=
− 2−
,
(
( + )
2+
+
)
− 2−
,
( 2+
disubstitusikan ke dalam persamaan (8), sehingga diperoleh :
=
2
− 2−
−
( + )
( 2+
+
− 2−
(
2+
)
−
− −
( + )
+
)
0
+
)
.
0
− −
0
Nilai eigen pada titik tetap 2 diperoleh dengan menggunakan software dan
disederhanakan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 3) sebagai berikut:
1 =− ,
2
=
2 ( + + )
4
3
1
1
=−
4
[−
+ +
1
1
2 ( + + )
+ +
+
+
[
2
( + )+
+
+
−
+
+
+
( + )+
2
+
+
eigen
2
dan
3,
sehingga diperoleh
2
+
−
Kemudian dilakukan penyederhanaan dengan
2
+
2
0
−
1
2
=
2
+
1
2
−
( + )
],
−
] .
−
pada nilai
8
2
=
1
2
+ +
+
−
+
+
0
( + )+
2
0
+
( + )
dan
3 =
−
1
2
+
+ +
0
+
0+
( + )
.
Misalkan
− 4(
2
=
+
+
sehingga
dan
3
2
=−
0
+
( + )
,
=
1
2
+ +
1
2
+ +
0
− 1)
+ +
+
2
+
+
+ +
+
2
+
+
( + )+
2
+
− 4(
−
+
− 1)
− 4(
+
0
0
0
+
0
+
− 1)
+ +
+
2
+
( + )+
( + )+
.
Karena semua nilai parameternya positif ( , , , > 0), diperoleh kriteria
untuk analisis kestabilan sebagai berikut:
1. Jika 0 < 1 maka
>0
2. Jika 0 > 1 maka ada ketentuan yang memungkinkan mendapatkan
nilai dari sebagai berikut:
Jika
2
+
( + ) > 4( 0 − 1)
0+
2
+ +
, maka nilai > 0.
Jika
2
+ +
+
+
( + ) < 4( 0 − 1) + +
+
0+
2
+ +
, maka nilai < 0.
Selanjutnya, untuk mengetahui kestabilan dari 2 digunakan ketentuan
seperti berikut:
1.
> 0,
+
( + ) > 0.
0+
Jika
+
( + )<
maka 2 > 0.
0+
maka 2 < 0.
Jika
+
( + )>
0+
Jika
+
( + )=
maka 2 = 0.
0+
2.
< 0,
+
( + ) > 0 maka 2 imajiner.
0+
Sedangkan, untuk mengetahui kestabilan dari 3 digunakan ketentuan
seperti berikut:
1.
Jika > 0 maka 3 < 0.
2.
Jika < 0 maka 3 imajiner.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)
9
Berdasarkan ketentuan yang telah dijabarkan sebelumnya, diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika
>0,
+
( + )<
maka 1 < 0 , 2 > 0 ,
0+
3 < 0, sehingga titik tetap bersifat sadel.
2. Jika
>0,
+
( + )>
maka 1 < 0 , 2 < 0 ,
0+
3 < 0, sehingga titik tetap bersifat simpul stabil.
3. Jika < 0,
+
+ > 0, maka 1 < 0, 2 imajiner,
0+
3 imajiner, sehingga titik tetap bersifat spiral stabil.
Ringkasan kriteria untuk menentukan kestabilan 1 dan 2 dapat dilihat
dalam Tabel 1 berikut.
Tabel 1 Titik tetap model tanpa waktu tunda
Kriteria
1
0
< 1,
> 0,
+
0
+
( + )<
0
< 1,
> 0,
+
0
+
+
>
0
> 1,
> 0,
+
0
+
+
>
0
> 1,
< 0,
+
0
+
+
>0
2
Simpul
stabil
Sadel
Simpul
stabil
Simpul
stabil
Sadel
Simpul
stabil
Sadel
Spiral
stabil
B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Model virus komputer dengan waktu tunda pada persamaan (4),
dianalisis menggunakan pendekatan model linear. Misalkan
=
=
=
−
−
−
∗
∗
⇔
⇔
∗
=
=
⇔
=
−
∗ − �1
+
+
+
∗
∗
,
(9)
,
∗
.
Kemudian mensubstitusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (4),
sehingga didapat hasil pelinearan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)
sebagai berikut:
=−
=
=
− ∗
− �2 −
∗ − �1
− �1
−
− �1
− �1
− +
− �1 ,
−
− �2 .
− �1 ,
+ ∗ −
− �1 +
�1
− �1 +
(10)
10
Berdasarkan persamaan (10) yang telah diperoleh, matriks Jacobi dapat
dikonstruksi menjadi
− −
=
∗ − �1
− ∗
− − +
∗ − �1
0
− �1 − �1
∗ − �1 − �1
− �2
∗ − �1
∗ − �1
0
−
−
− − +
= 0.
∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
(11)
− �2
− −
Penentuan Nilai Eigen Model
Penentuan nilai eigen model menggunakan rumus
persamaan yang diperoleh berikut:
− −
.
0
−
= 0 seperti
− �2
−
0
− −
− �2
−
Akibatnya didapatkan persamaan karakteristik (bukti dapat dilihat pada
Lampiran 5) sebagai berikut:
+ 2 + + ∗ − �1 + 2 +
− �1
− ∗ − �1 −
]+ +
− �2
+
+ ∗ − �1 +
+
− � 1 +� 2
− ∗ − �1 = 0 .
+
∗ − �1
+
+
[
+
2
∗
− �1
∗ − �1
+
+
(12)
Ada dua kasus yang akan dibahas untuk model virus komputer dengan
waktu tunda pada persamaan (4), yaitu saat �1 > 0, �2 = 0 dan saat
�1 = 0, �2 > 0.
Kasus 1 ( � > 0, � =
)
Pada kasus 1 ini, dimasukkan nilai �1 > 0, �2 = 0 ke dalam
persamaan (12) sehingga didapatkan nilai eigen seperti berikut:
2
=− ∨
+ 1 + 0 + − �1 1 + 0 = 0
dengan
+ + + + ∗ − �1 ,
1 =
∗ − �1
+ + + + + +
,
0 =
∗ − �1
,
1 =−
∗ − �1
=
−
+
.
0
Untuk = − selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai dari
persamaan 2 + 1 + 0 + − � 1 1 + 0 = 0 , dilakukan dengan cara
mensubstitusikan = , > 0 ke dalam persamaan sehingga diperoleh
persamaan berikut:
( )2 + 1 ( ) + 0 + − � 1 1 ( ) + 0 = 0.
Karena − � = cos � − sin( �), persamaan menjadi
−
2
+
1
1
+
sin
0
+ 1 cos �1 + 0 cos
�1 − 0 sin �1 = 0.
�1 +
(13)
Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (13),
sehingga diperoleh
− 2 + 0 + 0 cos �1 + 1 sin �1 = 0,
2
− 0 = 1 sin �1 + 0 cos �1 .
11
+ 1 cos �1 − 0 sin �1 = 0,
= 0 sin �1 − 1 cos �1 .
1
Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian
menguadratkan kedua ruas masing-masing, sehingga diperoleh persamaan
sebagai berikut:
( 2 − 0 )2 = ( 1 sin �1 + 0 cos �1 )2 ,
4
− 2 2 0 + 0 2 = 1 2 2 sin2 �1 + 0 2 cos 2 �1 +
2 0 1 sin �1 cos �1 .
2
( 1 ) = ( 0 sin �1 − 1 cos �1 )2 ,
2 2
=
1
2
2
�1 + 1 2 2 cos2 �1 − 2 0 1 sin �1 cos �1 .
0 sin
Kemudian kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan
sesuai pangkat
dengan cos 2 �1 + sin2 �1 = 1 sehingga diperoleh
polinomial berderajat empat
4
+ 1 2 − 2 0 − 1 2 2 + 0 2 − 0 2 = 0.
Untuk kasus ini,
jika
2
2
∗ − �1
+
+ + + +
+ +
0 − 0 = 2
∗ − �1
>0
dan
2
2
∗ − �1
+ 2 + ( ∗ − � 1 )2 + 2
> 0,
1 −2 0− 1 =
maka tidak ada akar realnya.
Jika tidak ada akar real, maka =
tidak berlaku. Dengan demikian
titik tetap tidak mungkin spiral. Jadi kasus ini bersifat asimtotik stabil.
Berdasarkan teorema, jika 0 > 0, maka kesetimbangan infeksi virus E*
adalah asimtotik lokal stabil sehingga tidak ada Bifurkasi Hopf.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 6)
1
Kasus 2 (� = , � > 0)
Pada kasus 2 dimasukkan nilai �1 = 0 , �2 > 0 ke dalam persamaan
(12) sehingga diperoleh nilai eigen seperti berikut:
=−
∨ 2 + 1 + 2 + − �2 ( 1 + 2 ) = 0
dengan
∗
− ∗,
1 =2 + +
+ + ∗− ∗ + ∗ ,
2 =
1 = ,
+ + ∗− ∗ .
2 =
Untuk = − selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai
dari persamaan 2 + 1 + 2 + − � 2 ( 1 + 2 ) = 0 , dilakukan dengan
cara mensubstitusikan = , > 0 ke dalam persamaa sehingga diperoleh
persamaan berikut:
( )2 + 1 ( ) + 2 + − � 2 ( 1 ( ) + 2 ) = 0.
Karena − � = cos � − sin( �), persamaan menjadi
−
2
+
+
1
1
2
+ 1 cos �2 + 2 cos
�2 − 2 sin �2 = 0.
�2 +
(14)
12
Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (14)
sehingga diperoleh
− 2 + 2 + 2 cos �2 + 1 sin �2 = 0,
2
1
+
−
2
=
�2 −
cos
1
=
1
sin
1
�2 +
2 sin
�2 −
2 sin
1
�2 .
2 cos
�2 = 0,
cos
(15)
�2 .
(16)
2
(17)
Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian
menguadratkan kedua ruas masing-masing sehingga diperoleh persamaan
sebagai berikut:
( 2 − 2 )2 = ( 1 sin �2 + 2 cos �2 )2 ,
4
− 2 2 2 + 2 2 = 1 2 2 sin2 �2 + 2 2 cos 2 �2 +
2 2 1 sin �2 cos �2 .
( 1 )2 = ( 2 sin �2 − 1 cos �2 )2 ,
2 2
=
1
2
2
sin
�2 + 1 2 2 cos 2 �2 − 2 2 1 sin �2 cos �2 .
2
Kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat
dengan cos 2 �1 + sin2 �1 = 1 . Akibatnya diperoleh polinomial
berderajat empat
4
+
1
2
−2
2
−
1
2
2
+
2
2
−
2
= 0.
Dari persamaan (17) dapat dilihat bahwa persamaan tersebut
2
merupakan polinomial berderajat genap. Bila didefinisikan ±
sebagai akar
persamaan (17) akan diperoleh
2
±
−
1
2 −2
2− 1
2
±
1
2 −2
2− 1
2 2
−4( 2 2 − 2 2 )
.
=
2
Selanjutnya, untuk mengetahui nilai tundaan kritis dilakukan pengubahan
dalam bentuk secan pada persamaan (15) dan (16) dan disamadengankan.
Sehingga diperoleh nilai tundaan kritis sebagai berikut:
�± =
1
±
tan−1
±( 2 1
1 1
−
2
±
1
−(
2
± 2 1 − 1 2)
2
± − 2) 2
+
2 �
±
,
= 0,1,2,3, …
(18)
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7)
Bifurkasi Hopf
Teorema 1 (Kar 2003)
Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga
berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika � ∈
0, �0 + ∪ �0 +, �0 − ∪ … ∪ (� −1 −, � +) titik tetap bersifat stabil dan
� ∈ �0 +, �0 − ∪ �1 +, �1 − ∪ … ∪ (� −1 +, � −1 −) titik tetap bersifat tidak
stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk
� = � ± , = 0,1,2, …
Untuk membuktikan Teorema 1 Kar (2003) cukup dilakukan uji
kebenaran kondisi transversabilitas, yaitu kondisi yang menyebabkan
perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang
digunakan adalah
13
Re
�
Re
> 0 dan
�=� +
�
�=� −
< 0.
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema 1 Kar (2003), persamaan
+ 1 + 2 + − � 2 ( 1 + 2 ) = 0 diturunkan terhadap � , sehingga
diperoleh
2
+ 1
+ 1 − �2
+ 1 − � 2 − − �2
+ 2 − �2 − −
2
�2
�2
atau
�2
=0
�2
�2
−1
�2
�2
�2
2 + 1
( 1 + 2)
=
1
+
( 1 + 2)
�2
−
(19)
.
�2
Dari persamaan 2 + 1 + 2 + − � 2 ( 1 + 2 ) = 0 , didapat
=
−( 1 + 2 )
. Kemudian disubstitusikan pada persamaan (19) sehingga
2
(
+ 1 + 2)
diperoleh
Oleh karena itu,
−1
�2
Re
�2
sign
−2 + 1
2+
1 + 2
2
2 + 1 2 −2 2
= sign Re
= sign
= sign
−2 + 1
( 2+ 1 + 2)
=
+
1
( 1 + 2)
= sign Re
=
+ Re
=
1
( 1 + 2)
2
−
�2
=
− 2+ 2 2
( 2 − 2 )2 + 1 2 2
2
1
2
2
2
2 + 1 − 1 −2 2
( 2 − 2 )2 + 1 2 2
2
= sign 2
Untuk nilai
+
=
sign
1
2
2
−
+
1
1
−2
Re
�2
sign
=
+ Re −
�2
=
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 8)
= sign 2
=
�2
2
+
+
1
2
+
1
2
Re
−
−1
.
2
sehingga terpenuhi bahwa
=
.
diperoleh
= sign
Untuk nilai
�2
� 2 =� +
−2
2
−
2 2
1
−
− 4(
2
1
2
2
−2
−
2
2
2
) ,
> 0.
diperoleh
Re
�2
= sign 2
=
−
2
−
+
1
2
−
2
1
−2
2
14
= sign −
1
2
−2
2
−
2 2
1
sehingga terpenuhi bahwa
Re
�2
� 2 =� −
− 4(
2
2
−
2
2
) ,
< 0.
Oleh karena itu, kondisi transversabilitas terpenuhi. Jadi, � ±
merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (10)
sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 9)
SIMULASI NUMERIK
Simulasi numerik digunakan untuk memberikan ilustrasi secara visual
dari hasil analisis kestabilan kasus 4. Analisis kestabilan pada model virus
komputer ini, digambarkan oleh kurva bidang fase dan bidang solusi pada
waktu . Solusi numerik dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai
parameter yang telah ditentukan berdasarkan analisis ke dalam persamaan
model matematika virus komputer dengan waktu tunda.
I.
Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda
Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus
komputer tanpa waktu tunda (persamaan (3)) menggunakan beberapa nilai
parameter tetap, yaitu: = 10, = 5, = 3, = 2, = 5 dengan nilai
awal 0 = 0.4, 0 = 0.4, dan 0 = 0.2 . Nilai-nilai ini diasumsikan
sebagai nilai dari ratusan komputer.
Simulasi dilakukan dengan menggunakan software Matematica 10.0
pada model virus komputer tanpa waktu tunda sesuai parameter yang telah
ditetapkan sebelumnya. Dari hasil simulasi ini diperoleh bidang solusi yang
menunjukkan komputer rentan, terinfeksi dan pulih (
). Dalam simulasi
ini, nilai titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilannya dapat dilihat pada
Tabel 2 berikut ini.
Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi
Titik Tetap
Luaran
1
1
2
3
Jenis kestabilan
3. 33333
0
0
-3
-8
11.66667
Sadel
2
1
1.86667
0.46667
-3
-8.66667 + 4.26875i
-8.66667 - 4.26875i
Spiral Stabil
15
Gambar 1 Bidang fase model virus komputer (
)
Gambar 2 Bidang solusi komputer yang rentan
Gambar 3 Bidang solusi komputer yang terinfeksi
Gambar 4 Bidang solusi komputer yang pulih
16
Gambar 1 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan
pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.
Gambar 2 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan
sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat yang
kemudian mengalami penurunan dan stabil pada titik 1. Gambar 3
menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami peningkatan yang
pesat dan akhirnya stabil pada titik 1.87. Sedangkan Gambar 4 menyatakan
bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih
mengalami peningkatan dan setelah itu stabil di titik 0.47.
II.
Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda � > 0, � =
Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus
komputer dengan waktu tunda terinfeksi (persamaan (4)) menggunakan
beberapa nilai parameter tetap, yaitu: = 10, = 5, = 3, = 2, = 5
dengan nilai awal 0 = 0.4, 0 = 0.4, dan 0 = 0.2. Nilai-nilai ini
diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.
Kasus 1 (� = , � = )
Gambar 5 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 2 dan �2 = 0
Gambar 6 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 2 dan �2 = 0
17
Gambar 7 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 2 dan �2 = 0
Gambar 8 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 2 dan �2 = 0
Gambar 5 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan
pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.
Gambar 6 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan
sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil
pada titik 3.33. Gambar 7 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi
mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar 8
menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang
pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0.
Kasus 2 (� = �, � = )
Gambar 9 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 5 dan �2 = 0
18
Gambar 10 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 5 dan �2 = 0
Gambar 11 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 5 dan �2 = 0
Gambar 12 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 5 dan �2 = 0
Gambar 9 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan
pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.
Gambar 10 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan
sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil
pada titik 3.33. Gambar 11 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi
mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar
12 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang
pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0.
III. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda � = , � > 0
Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus
komputer dengan waktu tunda pemulihan (persamaan (4)) menggunakan
beberapa nilai parameter tetap, yaitu: = 10, = 5, = 3, = 2, = 5
19
dengan nilai awal 0 = 0.4, 0 = 0.4, dan 0 = 0.2. Nilai-nilai ini
diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.
Pada model virus komputer dengan waktu tunda �1 = 0 dan �2 > 0
untuk menetapkan pilihan nilai �2 menggunakan hasil yang telah diperoeh
sebelumnya yaitu persamaan (18) dengan memasukkan nilai parameter yang
telah ditetapkan tersebut ditunjukkan dengan hasil pada Tabel 3.
Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda
0
1
2
3
4
5
�+
-0.152045
1.37608
2.90421
4.43233
5.96046
7.48858
Kasus 1 (� = , � = )
Gambar 13 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 1
Gambar 14 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 1
20
Gambar 15 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 1
Gambar 16 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 1
Gambar 13 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya
komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih. Namun demikian, Gambar 13
stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan. Gambar 14
menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya,
komputer rentan mengalami osilasi dan stabil pada titik 1. Gambar 15
menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi dan stabil
pada titik 1.87. Sedangkan Gambar 16 menyatakan bahwa dari nilai awal
yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi dan stabil di
titik 0.47.
Kasus 2 (� = , � = �)
Gambar 17 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 7
21
Gambar 18 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 7
Gambar 19 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 7
Gambar 20 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 7
Gambar 17 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya
komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih secara terus menerus atau
tertutup sehingga menyebabkan adanya limit cycle. Gambar 18 menyatakan
bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan
mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil. Gambar 19
menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi secara terus
menerus dan tidak stabil. Sedangkan Gambar 20 menyatakan bahwa dari
nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi
secara terus menerus dan tidak stabil.
Berdasarkan hasil simulasi pada kasus 1 dan 2 yang telah diperoleh,
diketahui bahwa pada masing-masing komputer terjadi perubahan kestabilan
yaitu dari spiral stabil (saat �2 = 1) menjadi spiral tak stabil (saat �2 = 7).
22
Perubahan kestabilan ini menggambarkan adanya bifurkasi Hopf pada
model virus komputer.
SIMPULAN
Model tanpa waktu tunda diperoleh dua titik tetap, di mana keduanya
bersifat stabil dan tidak stabil. Kondisi ini tidak akan menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf. Model virus komputer dengan waktu tunda
memiliki dua jenis waktu tunda yaitu waktu tunda terinfeksi dan waktu
tunda pemulihan. Ketika model menggunakan waktu tunda terinfeksi,
komputer yang terinfeksi tidak langsung menginfeksi komputer lain dan
ketika model menggunakan waktu tunda pemulihan, komputer yang pulih
mengalami perlambatan proses pemulihannya. Model virus komputer
dengan waktu tunda terinfeksi memiliki jenis kestabilan yang bersifat stabil
karena kestabilan sistem tidak berubah ketika waktu tunda terinfeksi yang
diberikan semakin besar. Sedangkan pada model virus komputer dengan
waktu tunda pemulihan, semakin besar nilai waktu tunda pemulihan yang
diberikan, sistem semakin tidak stabil sehingga sistem memiliki perubahan
kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Hal ini menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf.
DAFTAR PUSTAKA
Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York:
Springer-Verlag.
Driessche PVD, Watmough J. 2002. Reproduction numbers ada subthreshold endemic equilibria for compartemental models of disease
transmission. Mathematical Biosciences. 180:29-48.
Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York:
Random House.
Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time
Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458.
doi:10.1016/S0895-7177(03)00232-2.
Ma W, Song M, Takeuchi Y. 2004. Global stability of an SIR epidemic
model with time delay, Applied Mathematics Letters, vol. 17, no. 10,
pp. 1141–1145. doi:10.1016/j.aml.2003.11.005.
Perko L. 1991. Differential Equations and Dynamical System, Texts in
Applied Mathematics, vol. 7. Springer-Verlag, New York.
Song H, Jiang W, Wang Q. 2014. Stability and Hopf bifurcation of
computer virus model with infection delay and decovery Delay.
Applied Mathematics, vol. 2014, Artikel ID 929580, 10 pages.
doi:10.1155/2014/929580.
23
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to
Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US):
Addison-Wesley Publishing Company.
Wang W, Zhao XQ. 2012. Basic reproduction numbers for reactiondiffusion epidemic models. SIAM Journal on Applied Dynamical
Systems, vol. 11, no. 4, pp. 1652–1673. doi:10.1137/120872942.
Yang LX, Yang X, Zhu Q, Wen L. 2013. A computer virus model with
graded cure rates. Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol.
14, no. 1, pp. 414–422. doi:10.1016/j.nonrwa.2012.07.005.
Zhang C, Zhao Y, Wu Y. 2012. An impulse model for computer viruses.
Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2012, Article ID
260962, 13 pages. doi:10.1155/2012/260962.
24
LAMPIRAN
Lampiran 1
Model Tanpa Waktu Tunda
( )
=
( )
−
−
=
( )
( )−
+
−
=
+
( )
( )−
( )
( )
Penentuan Titik Tetap
Titik tetap diperoleh dengan menentukan
(3)
( )
= 0,
= 0 dan
= 0 terhadap persamaan (3),
Mencari titik tetap 1
( )
=0
−
( )−
=0
+
= + ( )
+ = + ( )
+ ( )
=
+
+
=0
−
=0
−
+
−
+
=0
( )−
=
sehingga didapat
=
+0
.0+
=0
+
=
{ + }=
=
Karena
=0
Maka
=0
Kemudian substitusi ke
=0
=0
+
+
( )
+
=
Jadi titik tetap 1
1
( ), ( ), ( ) =
, 0,0
(6)
25
Mencari titik tetap 2
( )
=0
−
( )−
+
+
+
=
=
+
=
=0
+
+
=
+
=
=0
−
−
=
=
+
+
=
dan
=0
+
+
=
Substitusi
−
−
=0
−
=0
ke persamaan
+
=
+
+
+
−
+
=
( + )
+
2+
+
=
( + )
+
2+
=
+
( + )
+
−
−
1−
2
=
+
2
( + )
+
=
2
+
=
2+
=
1−
+
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
26
2+
=
2
−
+
=
−
+
−
−
−
2
+
+
+
)
+ )
)
+
)
)
− )
)
( +
( − +
( 2+
−
=
2
( −
+ +
2
( +
−
=
( −
− 2−
2
( +
−
=
−
+ 2+
−( − 2 − )
=
−
+ 2+
( − 2− )
=
+ 2+
=
Kemudian dari
yang telah didapat, disubstitusikan ke
+
=
=
=
( + )
− 2− )
+ 2+
2
− − )( + )
+ 2+
( + ) (
=
(
Jadi titik tetap 2 sebagai berikut:
2
( ), ( ), ( ) =
+
,
(
− 2 − )( + ) (
,
+ 2+
− 2−
+ 2+
)
(7)
Kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks Jacobi sebagai
berikut :
=
−
0
−
−
−
+
0
− −
(8)
27
Lampiran 2
Analisis Kestabilan di Titik Tetap �
Titik tetap 1 = , 0,0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8)
1
−
=
−
0
0
−
=
−
−
0
0
−
=
−
−
0
0
−
+
0
− −
+
0
− −
+
0
− −
Untuk memperoleh nilai eigen dengan menggunakan rumus
Nilai eigen
−
=0
1
− −
−
0
0
− −
− −
−
−
+
−
−
Dari persamaan tersebut, diperoleh nilai eigen
1 =−
atau
2 =− −
atau
( + )
−
3 =
Ketika
3
= 0, diperoleh nilai
−
( + )
=
0
−
−
=0
dengan penjabaran seperti berikut:
=0
( + )
( + )
=1
−
=0
0
− −
+
1
⇒
0
=
( + )
= 0.
28
Lampiran 3
Analisis Kestabilan Di Titik Tetap �
Titik
tetap
2
+
=
,
− 2−
)( + ) (
− 2−
)
(
+
− 2−
,
2+
)
2+
+
disubstitusikan ke dalam persamaan (8), seperti berikut
( − 2 − )( + )
+
−
−
−
+ 2+
=
+
( − 2 − )( + )
2
− +
0
2
+ +
0
− −
( − 2 − )( + )
−
−
− +
+ 2+
=
( − 2 − )( + )
+ − +
0
+ 2+
0
− −
2
( − − )( + )
−
−
− +
+ 2+
=
( − 2 − )( + )
0
0
+ 2+
0
− −
Untuk memperoleh nilai eigen pada titik tetap 2 menggunakan
software seperti berikut
∶
:
:
�
:
�≔
− . . + . − . , . . − +
, . − . −
.
− ,
1
4
2
12
4 2
, ,
1
3
−2
2
3
+
3 3
8
2 2
4
4
+ 28
4
3 3
−8
2 2
+ 13
4
4
6
+4
4 2
+ 20
1
2
]
−
)( + ) (
3 3
+6
+2
4
3 3
2
−8
3 2
5
3
+4
4 2
+ 13
−8
2
+ 12
−4
2 3
1
2
3
5
5
3
3 2
−4
−8
2
+ 12
− 10
+ 20
∶
+ 2+
+ −16
2
2 2
+4
+ 12
,
2+
−
+ 28
− 10
2 2
+2
3
−8
+ −16
2
− 2−
(
4 2
2 2 2
+
+6
,
+
−4
2 2 2
+8
+
4 2
(�)
[−
−
2 3
+4
+
+
=
2
2 ( + + )
2 2 2
20
,
+4
] ,−
−4
1
2 ( + + )
+4
−2
+
2 2 2
3
2
+8
+
−
+
+
1
2
+
2 2
2 3
4 2
+ 20
5
+ 12
+ 12
2 2
2
[
2
2 3
3
+
−
2 2 2
2 2 2
+
−
+4
6
+
29
Kemudian dilakukan penyederhanaan parameter dan dipeoleh seperti
berikut:
1 =− ,
1
1
[− 2 −
−
− 2 + −16 2
−8 2
−
2 =2
( + + )
2
4
+4 2 3 + 4
5
12
+ 12 4 2 − 2 3
4 2 2 + 2 2 2+ 2
2 3
4
=
=
1
1
2 ( + + )
2 2
2
2
16
12
2
20
3
3
4
2
[−
+
+2 2
4 2
) − 4( 3
2
4
+2
2 2
+ 4
=
1
1
2 ( + + )
2
4(
2
=
1
1
[−
+
=−
4
−
+
6
2
[
3
+ 20
1
[
3
4 2
1
=−
2
3 3
+4
4 2
+
+
−8
1
2
3
2 2 2
]
2 2 2
+
6
+4
+
3 3
2
2
−
+
2
+
−8
+ (
1
2
3
4 2
]
2 2 2
+
+
+
2
+
−3
+
−
2
+
−2 3
2 2
+ 2
2
2
2
+8
+
2
+
−
2 2
)(
+
4 2
2
3 3
+6
−8 2
2
−4
2
4
+
2
−
2
+ −16
2
+
−2
+
−
+
2 2 2
+
2
+
+
+
4 2
3
3
+
−
1
2
4 2
1
5
3
−
) 2]
],
−8
2
−
2
−
2
5
+ 13
+ 12
+
3
+ 2 2 2 − 10
−
4
3 2
+ 28
+ 20
+
+4 6+4
+ 2 +
3 3
4
−8
2
+
1
2
3
2 2 2
]
+
+2
+2 3
−4 3
+4 2 2 −
3
3
3 3
+2
− 12
+2
+4 3 3+ 4 2+
2
− 16 2
−8 2
−4 2
+ 4 2 3 + 12 5 +
4 2
2 2
4
+ 12
−4
−4
+ 28 4 + 20 3 2 +
2 2
4
+
]
2
+
2 3
3
1
2
3
+
2 2
+
+ 4 2 2 − 12 2 2 +
+ 4 3 3 + 4 2 + 12 4 2 −
2
+ 4 2 3 + 12 5 + 12 5 +
+ 28 4 + 20 3 2 + 4 2 3 +
( + )+
2 ( + + )
2 2 2
2 2
12
12
12
6
3
+2
+
2
+
+
4
+4
12 5 + 12 4
4 2 2 + 2
4 2
1
=−
3 3
+
2 ( + + )
2
4
+ 13 4 2 + 12 5 +
3
+ 2 2 2 − 10
−
4
3 2
+ 28
+ 20
+
3
+2 3
+4 2 2 +2
+2 3
3
+3 2 2 +3
− 3 3−3 4 2+
2
2
2 3
+
−
−3 5 −3 5 −3
−7 4 −5 3 2 − 2 3 −5 3 2−
−2
1
1
2
+4
+
+4
+
3
2
+2
−
2 ( + + )
4
3
−
[−
2 2 2
+6 3
−8 2
2
−4
2 2 2
+8
+
2 2 2
+8
2 ( + + )
2 2 2
2
2
2
+2 3
−4 3
3
− 12
+2 3
−8 2
−4
2
−4 2 2 −4 4
2
1
1
+ 20 3
[− 2 +
2
+ 20
1
[
3
2
2 ( + + )
2 2 2
2 2
+2
2
+8
+
2 2 2
+
+2
3
+4 6+4 3
+ 2 + (
+4
2 2
3
4
+2
−8
2
+
3
1
2
3
2 2 2
+2
]
+
3 3
+
30
) − 4( 3
+2
2
+ 4
4 2
2
4
2
2 2 2
2
1
=−
1
−
6
[
2
1
− 4(
−
2
) 2]
=−
1
1
2 ( + + )
4
+
−
2
2 ( + + )
2 2
2
3
2
+3
+
−7 4
3 3
+
2 2
2
−5
+2 3
+
+2
− 4−2
[
+
+
+
−
3
+3
−
3 2
1
2
+
2
2 2
− 3 3−3
−3 5 −3
− 2 3 −5 3
3
2 3
]
2
2
+
−3
2
( + )+
2
+
+
2
dan
=
3,
1
2
+ +
+
−
+
0
+
=
+
( + )
+
+ +
0
+
0+
( + )
.
Misalkan
−
( + )
− 4(
− 1)
0
3
] .
pada nilai eigen
+ +
+
2
+
+
− 4(
− 1)
0
+ +
+
2
+
+
2
=
dan
1
2
−
( + )+
2
+
sehingga
−
+ +
2 2
( + )+
2
0
1
2
0
2
2
=−
=
1
2
+ +
1
2
+ +
+
+
0+
2
−
+
+
+
0
( + ) − 4(
+
,
0
+
+
0
( + )+
( + )+
.
+
+
2
+
−
+
−
)(
2
4 2
sehingga diperoleh
dan
3 =
−
+
−
+
−3
2
−
+
+
Selanjutnya dilakukan penyederhanaan dengan
2
+
4 2
5
− 1)
+ +
31
Lampiran 4
Model dengan Waktu Tunda
( )
−
=
( )
− �1
− �1
=
( )
−
=
Pelinearan
Misal:
−
−
−
=
=
=
( )
−
=
∗
+
=
−[
=
+
−
∗
∗
∗
− �1
( − �2 ) −
+
− �1
−
+
( − �2 ) −
⇔
⇔
⇔
=
=
=
− �1
−
+
∗
]− [
+ ∗ ][
−
− �1
∗
( )
− �1
∗
∗
(9)
∗
( − �2 ) −
+
∗
− �1 +
[
+ ∗]
− �1 +
− �1
(4)
( )
+
+
+
∗
( )
∗
− �1
]
]
− �1
+[
∗ − �1
∗
( )
− �2
+ [
− �2 +
− ∗
− �1 −
− ∗ ∗ − �1 +
−
− ∗
− �2 +
∗ − �1
∗ − �1
=−
−
−
− �2
− �1 +
− − �1
− �1 + [ − ∗ ∗ − � 1 + ∗ −
Karena linearisasi maka − ∗ ∗ − � 1 + ∗ − ∗ = 0
Jadi
=−
− ∗ − �1
− ∗ − �1
− �2
− �1 +
− − �1
− �1
−
=
( )
[
+
∗
]
= [
=
+
=
− �1
=
∗ − �1
( )
=
− �1
][
− �1
∗ ∗ − �1
− �1
−
− �1
+
Karena linearisasi maka [
Jadi
= ∗ − �1
+
∗
+
−
−
+
−
− �1 +
+
−
+
− �1
∗
]
( − �2 ) −
− �1
∗ − �1
− �1 + [
− +
+
− �1
−
+ ∗
− +
+
[
− �1
∗
∗ − �1
− �1
∗ ∗ − �1
+
( )
]
�1
∗
]
∗
]
( )
+
∗ ∗ − �1
−
+
∗
∗
]=0
∗ − �1
−
+
− �1
+
− �1
∗
]
32
[
+
∗
]
= [
+
=
+
=
−
Karena linearisasi maka [
Jadi
=
Jacobi
=
− −
∗ − �1
∗ − �1
0
∗
∗
]− [
−
−
∗
−
∗
]− [
− �2 − ∗ −
− �2 + [ ∗ −
∗
− ∗] = 0
−
− ∗
− − +
− �2 +
−
−
−
∗
∗
∗
]
]
− �2
− �1 − �1
∗ − �1 − �1
∗
+
− �2
0
− −
− �2
(
(11)
33
Lampiran 5
Persamaan Karakteristik
− −
∗ − �1
∗ − �1
0
−
−
− − +
−
=0
∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
−
− �2
0
− −
− �2
−
=0
− − − + ∗ − �1 − �1 − − − − �2 −
∗ − �1
− �2
+
− [− ∗ − � 1 − � 1 ] ∗ − � 1 − − − � 2 − = 0
2
∗ − �1 − �1
∗ − �1
∗ − �1
+
−
+
+
+
∗ − �1
− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 +
+
+
∗ − �1 − �1
−
+ 2 − − − �2 −
− �1 − �2
+ ∗
− [− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 ] − − − � 2 − = 0
− �2
− 3 − 2 − �2 − 2 − 2 −
−
+ 2 ∗ − �1 − �1
∗
− �1 − �1 − �2
∗ − �1 − �1
+
+
− 2
− �2
2
2
∗ − �1
∗
− �1 − �2
−
−
−
−
∗ − �1
∗ − �1
∗
− �1 − �2
−
−
−
∗ − �1
2 ∗ ∗ −2 � 1− � 1
−
+
− − − �2 −
∗ − �1
∗
− �1 − �2
−
−
− 2 ∗ − �1 − 2
− �2
− �2
−
− 2 −
−
− 2
∗ − �1 − �1
∗
− �1 − �1 − �2
+
+
+ 2 ∗ − �1 − �1 − 2 − 2 − �2 − 3
∗
− �1 − �2
+
+ [− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 ] − − − � 2 − = 0
3
2
− −
− 2 −
− 2− 2 − 2− 2 −
− 2 − 2
− �2
− �2
− �2
− 3 − 2 − �2 −
−
−
− �2
−
− 2 − �2 + 2 ∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
+
+
+ 2 ∗ − �1 − �1
∗
− �1 − �1 − �2
∗
− �1 − �1 − �2
+
+
2
∗ − �1
∗ − �1
∗ − �1
∗ − �1
−
−
−
−
∗ − �1
∗
− �1 − �2
− 2 ∗ − �1 −
−
∗
− �1 − �2
∗
− �1 − �2
∗
− �1 − �2
−
−
+
+ 2 ∗ ∗ −2 � 1− � 1 − − − � 2 −
− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 − − − � 2 − = 0
− 3−3 2 −3 2− 3− 2 −2
− 2
− − �2 2 +
+
+
+
+ 2
∗ − �1 − �1 2
2
+
+
+
+
+ ∗ − �1 − �1 − �2 +
− ∗ − �1 2 +
+
+
+
+ 2
∗
− �1 − �2
−
+ =0
− −
∗ − �1
34
3
+ 2 +2
+3 2 +3 2
− �2 2
+
+ 2+
+
+2
∗ −
DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA
ANIF LAILIL ACHADIYAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan
Model Virus Komputer dengan Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Anif Lailil Achadiyah
NIM G54110010
ABSTRAK
ANIF LAILIL ACHADIYAH. Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan
Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan
ENDAR H NUGRAHANI.
Model dinamik dalam tulisan ini disusun dari model virus komputer dengan
mempertimbangkan waktu tunda terhadap komputer yang terinfeksi dan komputer
yang pulih. Analisis kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan
dengan waktu tunda. Model tanpa waktu tunda memiliki dua titik tetap, salah
satunya bersifat stabil dan lainnya tidak stabil. Sedangkan model dengan waktu
tunda memiliki titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil. Jika nilai
waktu tunda yang digunakan relatif besar, maka dapat berakibat terjadinya
perubahan kestabilan dari spiral stabil ke spiral tak stabil sehingga muncul limit
cycle dan terjadi bifurkasi Hopf.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, model virus komputer, waktu tunda
ABSTRACT
ANIF LAILIL ACHADIYAH. Stability Analysis of Computer Virus Model with
Infection Delay and Recovery Delay. Supervised by ALI KUSNANTO and
ENDAR H NUGRAHANI.
In this paper, a dynamical model is composed of computer virus model that
considers time delay of infection and recovery processes. Stability analysis is
performed to both models, i.e. the models with and without time delay. The model
without time delay has two fixed points, which one of them is stable and the other
is unstable. On the other hand, the model with time delay has fixed points which
one of them is spiral stable. If the value of time delay is sufficiently large, then it
will imply the stability changes from spiral stable to spiral unstable and
subsequently the appearance of limit-cycle and Hopf bifurcation.
Keywords: computer virus model, Hopf bifurcation, time delay
ANALISIS KESTABILAN MODEL VIRUS KOMPUTER
DENGAN INFEKSI TUNDA DAN PEMULIHAN TUNDA
ANIF LAILIL ACHADIYAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi
Nama
NIM
Anal isis Kestabilan Model Virus Komputer clengan Infeksi
Tunda dan Pemulihan Tunda
Anif Lailil Achacliyah
G5411 0010
Disetujui oleh
Ｔｾ＠
Drs Ali Kusnanto. MSi
Pembimbing 1
Dr Ir Endar H. Nugrahani. MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
...
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
"
Tanggal Lulus:
ｾ＠
I. ::J
.... ·..
ｾＮ
｟＠
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga
karya ilmiah yang berjudul Analisis Kestabilan Model Virus Komputer dengan
Infeksi Tunda dan Pemulihan Tunda dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah
ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan
terimakasih kepada:
1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,
2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,
3 Almarhum Ayahanda Suyatmin tercinta yang senantiasa menjadi inspirasi dan
motivasi penulis untuk semangat menyelesaikan karya ilmiah ini. Ibunda
Sulistiyaningsih tersayang, Mas Eko, Mbak Devi, dan Dika yang penulis
sayangi yang selalu memberikan doa, semangat, motivasi dan kasih sayang
yang tiada henti,
4 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku
dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama
membimbing penulis, serta Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc
selaku dosen penguji,
5 staf tata usaha Departemen Matematika IPB,
6 sahabat-sahabat: Zunita, Aring, Rifa, Riris, Septian, Zaenal, dan ppj (Dini,
Rika, Arinda, Sabila, Disti, Siti) yang telah memberikan motivasi, bantuan,
keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis,
7 teman-teman satu bimbingan: Hasan dan Mula yang senantiasa saling
mengingatkan, membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya
ilmiah ini,
8 saudara ipar: Mbak Resty dan Mas Argo atas doa dan dukungannya,
9 teman-teman ikmp 48, mahasiswa Matematika 48, PB Gumatika, PSDM
Gumatika 2013/2014, tim basket Matematika, Gemilang, dan Erna atas doa,
semangat, serta kebersamaannya selama ini,
10 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Bogor, Juli 2015
Anif Lailil Achadiyah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Pemodelan
4
Pembahasan
6
A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda
6
Penentuan Titik Tetap Model
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap
1
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap
2
7
B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
9
9
Penentun Nilai eigen Model
10
Kasus 1 (�1 > 0, �2 = 0)
10
11
Bifurkasi Hopf
12
Kasus 2 (�1 = 0, �2 > 0)
SIMULASI NUMERIK
14
SIMPULAN
22
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
24
RIWAYAT HIDUP
48
DAFTAR TABEL
1 Titik tetap model tanpa waktu tunda
2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi
3 Pemilihan nilai waktu tunda
9
14
19
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Bidang fase model virus komputer (
)
Bidang solusi komputer yang rentan
Bidang solusi komputer yang terinfeksi
Bidang solusi komputer yang pulih
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 2 dan �2 = 0
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 5 dan �2 = 0
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 1
Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 7
Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 7
Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 7
Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 7
15
15
15
15
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
20
20
20
21
21
21
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Penentuan titik tetap model tanpa waktu tunda
Analisis kestabilan titik tetap 1
Analisis kestabilan titik tetap 2
Pelinearan dan penentuan matriks Jacobi
Persamaan karakteristik
Penjabaran kasus 1 (�1 > 0, �2 = 0)
Penjabaran kasus 2 (�1 = 0, �2 > 0)
Bifurkasi Hopf
Penjabaran kondisi transversabilitas
Program plot bidang fase model virus komputer tanpa waktu tunda
(Gambar 1)
24
27
28
31
33
35
37
40
43
44
11 Program plot bidang solusi model virus komputer rentan tanpa waktu
tunda (Gambar 2)
12 Program plot bidang solusi model virus komputer terinfeksi tanpa
waktu tunda (Gambar 3)
13 Program plot bidang solusi model virus komputer pulih tanpa waktu
tunda (Gambar 4)
45
46
47
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Komputer merupakan salah satu alat penting yang digunakan dalam
kehidupaan sehari-hari. Seiring berkembangnya teknologi sekarang ini,
jaringan komputer telah menjadi populer di kalangan masyarakat. Jaringan
komputer terdiri atas sejumlah komputer dan perangkat jaringan lainnya
yang bekerja bersama-sama dan terhubung satu sama lain baik dengan
maupun tanpa kabel. Melalui jaringan komputer, masyarakat dapat
menemukan banyak hal maupun informasi yang baru dan berguna. Namun,
hal itu tidak lepas dengan adanya virus komputer yang ada pada jaringan
komputer.
Virus komputer merupakan ancaman besar pada jaringan komputer.
Sama halnya seperti virus biologi, virus komputer bekerja dengan cara
menggandakan dirinya sendiri dan menyebar dengan cara menyisipkan
dirinya ke sel makhluk hidup. Penggunaan sistem jaringan komputer,
menyebabkan virus komputer dapat menyebar dari komputer satu ke
komputer lainnya yang saling terhubung. Komputer yang sudah terjangkit
virus tidak dapat bekerja secara optimum karena semakin lama virus
tersebut dapat menyebabkan kerusakan pada software maupun hardware
komputer. Oleh karena itu, perlu adanya pengontrolan perkembangbiakan
virus komputer pada jaringan komputer.
Pengontrolan perkembangbiakan virus komputer dapat dilakukan
dengan model matematika. Zhang et al. (2012) mempelajari tentang sebuah
model impuls untuk virus komputer dan menentukan dinamika global pada
model. Yang et al. (2013) menganalisis model virus komputer dengan
gradasi tingkat kesembuhan komputer dan menunjukkan bahwa dinamika
global ditentukan dengan bilangan reproduksi dasar. Selain itu,
pengontrolan juga dapat menggunakan nilai ambang epidemiologi. Ada
beberapa penelitian tentang model epidemiologi. Misalnya, Ma et al. (2004)
menganalisis stabilitas global model epidemi SIR dengan waktu tunda.
Wang dan Zhao (2012) memperoleh bilangan reproduksi dasar model
epidemi reaksi-difusi dengan struktur kompartemen yang dianggap
mempengaruhi heterogenitas spasial dan mobilitas penduduk pada penyakit
transmisi dengan model spasial.
Salah satu cara yang digunakan untuk mengontrol perkembangbiakan
virus komputer adalah dengan model matematika. Model matematika
tentang virus komputer ini terdiri dari tiga kategori komputer, yaitu
komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih
(recovered). Untuk melihat perkembangan virus komputer dengan model
matematika ini akan digunakan dua waktu tunda, yaitu waktu tunda
terinfeksi dan waktu tunda pemulihan. Model virus komputer ini
digambarkan dalam suatu persamaan matematika yang telah dikembangkan
sebelumnya oleh Song et al. (2014) dalam jurnal Stability and Hopf
Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery
Delay. Dalam karya ilmiah ini akan direkonstruksi model Song et al. ini dan
2
selanjutnya akan dibahas pengaruh waktu tunda pada infeksi virus komputer
dan pemulihan komputer yang terkena virus terhadap kestabilan model virus
komputer ini.
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
mengkonstruksi model virus komputer tanpa dan dengan waktu tunda
yang dituliskan oleh Song et al. (2014),
menganalisis kestabilan model virus komputer tanpa dan dengan
waktu tunda,
menentukan pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem,
menentukan keberadaan bifurkasi Hopf pada model virus komputer.
1.
2.
3.
4.
LANDASAN TEORI
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai :
(1)
= ( , )
dengan
1(
)
=
1(
dan
,
,
=
( )
( ,
1, 2, … ,
)
.
1, 2, … ,
)
Jika ( , ) fungsi tak linear pada 1 , 2 , … , , maka sistem persamaan
diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear. Jika ( , )
fungsi linear maka sistem persamaan diferensial (1) disebut persamaan
diferensial linear (Braun 1983).
Misalkan juga, suatu model populasi dengan
spesies yang
berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :
1
=
2
=
=
1( 1, 2, … ,
),
2, … ,
),
2( 1, 2, … ,
( 1,
atau dapat ditulis dalam notasi vektor
dengan � = ( 1 ,
.
1, 2, … ,
2, … ,
�
(2)
= (�)
) dan
= ( 1,
),
2, … ,
) fungsi taklinear pada
3
Kestabilan sistem (2) tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai
berikut:
1 menentukan titik tetap ( ) yang memenuhi
= 0.
2 pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu:
= ( ) atau
1
1
1
2
=
1
2
1
⋱
.
menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikan
−
=0.
Nilai eigen ( ) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut:
+ 1 −1 + 2 −2 + … +
= 0.
(Edelstein-Keshet 1998)
Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem dapat menggunakan kriteria
perilaku kestabilan titik tetap sebagai brikut:
1 stabil, jika
a. setiap nilai eigen real adalah negatif ( < 0 untuk setiap ),
b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil
atau sama dengan nol ( ( ) ≤ 0 untuk setiap ),
2 tak stabil, jika
a. setiap nilai eigen real adalah positif ( > 0 untuk setiap ),
b. setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar
> 0 untuk setiap ),
dari nol (
3 sadel, jika
ada perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah ngatif (
1 maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih
dari 1 individu baru dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi
sehingga menjadi wabah.
(Driessche dan Watmough 2002)
HASIL DAN PEMBAHASAN
PEMODELAN
Dalam penelitian ini akan dikonstruksi model virus komputer tanpa
dan dengan waktu tunda yang diambil dari jurnal Stability and Hopf
Bifurcation of Computer Virus Model with Infection Delay and Recovery
Delay (Song et al. 2014). Asumsi yang digunakan dalam model adalah
semua nilai parameter positif. Model virus komputer tanpa dan dengan
waktu tunda mendeskripsikan tentang penyebaran virus komputer pada
berbagai komputer. Ada tiga kategori komputer dalam model tersebut yaitu
komputer yang rentan (suspectible), terinfeksi (infected), dan pulih
(recovered) sehingga model disebut juga dengan model dinamik
.
Suspectible
Infected
Recovered
1. Model virus komputer tanpa waktu tunda
Model virus komputer tanpa waktu tunda berbentuk:
( )
=
( )
−
+
=
( )
=
−
−
+
( )−
−
( ),
( ),
(3)
( ),
dengan
( )
: laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu,
: komputer yang rentan,
( ) : komputer yang terinfeksi,
( ) : komputer yang pulih,
: tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan,
5
: tingkat terinfeksi,
: tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada
kelas
,
,
,
: tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan
antivirus pada jaringan,
: tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan.
2. Model virus komputer dengan waktu tunda
Model virus komputer dengan waktu tunda berbentuk:
( )
=
−
( )
− �1
=
( )
=
− �1
−
− �1
+
− �1
−
( − �2 ) −
( − �2 ) −
+
( ),
( ),
(4)
( ),
dengan
( )
: laju pertumbuhan komputer yang rentan terhadap virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang terinfeksi oleh virus komputer
per satuan waktu,
( )
: laju pertumbuhan komputer yang pulih per satuan waktu,
: komputer yang rentan,
( ) : komputer yang terinfeksi,
( ) : komputer yang pulih,
: tingkat pertumbuhan komputer yang terhubung ke jaringan,
: tingkat terinfeksi,
: tingkat kematian (komputer tidak dapat digunakan kembali) pada
kelas
,
,
,
: tingkat pemulihan komputer yang terinfeksi karena kemampuan
antivirus pada jaringan,
: tingkat dimana satu komputer pulih beralih ke rentan,
�1 : waktu tunda terinfeksi,
�2 : waktu tunda pemulihan,
− �1
: peluang kelangsungan hidup komputer yang terinfeksi pada selang
(0,1].
Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah menentukan
titik keseimbangan model, melinearisasi model, menganalisis kestabilan dari
titik keseimbangan, dan melakukan simulasi numerik. Software komputasi
yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Wolfram
Mathematica 10.0.
6
PEMBAHASAN
A. Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda
Penentuan Titik Tetap
Titik tetap diperoleh dengan menentukan
( )
= 0,
= 0 dan
= 0 terhadap persamaan (3), sehingga persamaan menjadi
−
+
−
−
( )−
( )−
= 0,
+
= 0,
(5)
= 0.
Berdasarkan persamaan (5) diperoleh dua titik tetap (bukti dapat dilihat pada
Lampiran 1), yaitu
( ), ( ), ( ) =
1
2
( ), ( ), ( ) =
+
− 2−
,
(
2+
, 0,0 ,
( + )
+
)
(6)
,
− 2−
( 2+
+
)
.
(7)
Kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks Jacobi sebagai
berikut :
=
−
0
−
−
−
+
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
.
0
− −
(8)
Pada pembahasan sebelumnya terhadap model tanpa waktu tunda
telah diperoleh dua titik tetap pada persamaan (6) dan (7). Analisis
kestabilan dilakukan dengan cara mencari nilai eigen pada masing-masing
titik tetap.
Analisis kestabilan di titik tetap �
Titik tetap 1 = , 0,0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8),
sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
1
=
−
0
0
−
−
+
0
− −
.
7
Nilai eigen ditentukan dari persamaan
nilai eigen sebagai berikut:
1
=− ,
1
2
−
= 0. Dari sini diperoleh
= − − , atau
( + )
−
=
3
.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2)
Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif
( , , , > 0), analisis kestabilan yang akan diperoleh sebagai berikut:
1. Jika
<
+ , maka 1 < 0 , 2 < 0 , 3 < 0 sehingga titik tetap
bersifat simpul stabil.
2. Jika
>
+ , maka 1 < 0 , 2 < 0 , 3 > 0 sehingga titik tetap
bersifat sadel.
3. Jika
=
+
, maka 3 = 0 sehingga diperoleh bilangan
reproduksi dasar ( 0 ) sebagai berikut: 0 =
. (Bukti dapat dilihat
( + )
pada Lampiran 2)
Berdasarkan kriteria yang ketiga, diperoleh kriteria untuk bilangan
reproduksi dasar ( 0 ) :
1. Jika
<
+ , maka 0 < 1 sehingga virus akan menghilang.
2. Jika
>
+ , maka 0 > 1 sehingga virus akan meningkat dan
menjadi wabah.
Analisis kestabilan di titik tetap �
Titik
tetap
2
+
=
− 2−
,
(
( + )
2+
+
)
− 2−
,
( 2+
disubstitusikan ke dalam persamaan (8), sehingga diperoleh :
=
2
− 2−
−
( + )
( 2+
+
− 2−
(
2+
)
−
− −
( + )
+
)
0
+
)
.
0
− −
0
Nilai eigen pada titik tetap 2 diperoleh dengan menggunakan software dan
disederhanakan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 3) sebagai berikut:
1 =− ,
2
=
2 ( + + )
4
3
1
1
=−
4
[−
+ +
1
1
2 ( + + )
+ +
+
+
[
2
( + )+
+
+
−
+
+
+
( + )+
2
+
+
eigen
2
dan
3,
sehingga diperoleh
2
+
−
Kemudian dilakukan penyederhanaan dengan
2
+
2
0
−
1
2
=
2
+
1
2
−
( + )
],
−
] .
−
pada nilai
8
2
=
1
2
+ +
+
−
+
+
0
( + )+
2
0
+
( + )
dan
3 =
−
1
2
+
+ +
0
+
0+
( + )
.
Misalkan
− 4(
2
=
+
+
sehingga
dan
3
2
=−
0
+
( + )
,
=
1
2
+ +
1
2
+ +
0
− 1)
+ +
+
2
+
+
+ +
+
2
+
+
( + )+
2
+
− 4(
−
+
− 1)
− 4(
+
0
0
0
+
0
+
− 1)
+ +
+
2
+
( + )+
( + )+
.
Karena semua nilai parameternya positif ( , , , > 0), diperoleh kriteria
untuk analisis kestabilan sebagai berikut:
1. Jika 0 < 1 maka
>0
2. Jika 0 > 1 maka ada ketentuan yang memungkinkan mendapatkan
nilai dari sebagai berikut:
Jika
2
+
( + ) > 4( 0 − 1)
0+
2
+ +
, maka nilai > 0.
Jika
2
+ +
+
+
( + ) < 4( 0 − 1) + +
+
0+
2
+ +
, maka nilai < 0.
Selanjutnya, untuk mengetahui kestabilan dari 2 digunakan ketentuan
seperti berikut:
1.
> 0,
+
( + ) > 0.
0+
Jika
+
( + )<
maka 2 > 0.
0+
maka 2 < 0.
Jika
+
( + )>
0+
Jika
+
( + )=
maka 2 = 0.
0+
2.
< 0,
+
( + ) > 0 maka 2 imajiner.
0+
Sedangkan, untuk mengetahui kestabilan dari 3 digunakan ketentuan
seperti berikut:
1.
Jika > 0 maka 3 < 0.
2.
Jika < 0 maka 3 imajiner.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)
9
Berdasarkan ketentuan yang telah dijabarkan sebelumnya, diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika
>0,
+
( + )<
maka 1 < 0 , 2 > 0 ,
0+
3 < 0, sehingga titik tetap bersifat sadel.
2. Jika
>0,
+
( + )>
maka 1 < 0 , 2 < 0 ,
0+
3 < 0, sehingga titik tetap bersifat simpul stabil.
3. Jika < 0,
+
+ > 0, maka 1 < 0, 2 imajiner,
0+
3 imajiner, sehingga titik tetap bersifat spiral stabil.
Ringkasan kriteria untuk menentukan kestabilan 1 dan 2 dapat dilihat
dalam Tabel 1 berikut.
Tabel 1 Titik tetap model tanpa waktu tunda
Kriteria
1
0
< 1,
> 0,
+
0
+
( + )<
0
< 1,
> 0,
+
0
+
+
>
0
> 1,
> 0,
+
0
+
+
>
0
> 1,
< 0,
+
0
+
+
>0
2
Simpul
stabil
Sadel
Simpul
stabil
Simpul
stabil
Sadel
Simpul
stabil
Sadel
Spiral
stabil
B. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Model virus komputer dengan waktu tunda pada persamaan (4),
dianalisis menggunakan pendekatan model linear. Misalkan
=
=
=
−
−
−
∗
∗
⇔
⇔
∗
=
=
⇔
=
−
∗ − �1
+
+
+
∗
∗
,
(9)
,
∗
.
Kemudian mensubstitusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (4),
sehingga didapat hasil pelinearan (bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)
sebagai berikut:
=−
=
=
− ∗
− �2 −
∗ − �1
− �1
−
− �1
− �1
− +
− �1 ,
−
− �2 .
− �1 ,
+ ∗ −
− �1 +
�1
− �1 +
(10)
10
Berdasarkan persamaan (10) yang telah diperoleh, matriks Jacobi dapat
dikonstruksi menjadi
− −
=
∗ − �1
− ∗
− − +
∗ − �1
0
− �1 − �1
∗ − �1 − �1
− �2
∗ − �1
∗ − �1
0
−
−
− − +
= 0.
∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
(11)
− �2
− −
Penentuan Nilai Eigen Model
Penentuan nilai eigen model menggunakan rumus
persamaan yang diperoleh berikut:
− −
.
0
−
= 0 seperti
− �2
−
0
− −
− �2
−
Akibatnya didapatkan persamaan karakteristik (bukti dapat dilihat pada
Lampiran 5) sebagai berikut:
+ 2 + + ∗ − �1 + 2 +
− �1
− ∗ − �1 −
]+ +
− �2
+
+ ∗ − �1 +
+
− � 1 +� 2
− ∗ − �1 = 0 .
+
∗ − �1
+
+
[
+
2
∗
− �1
∗ − �1
+
+
(12)
Ada dua kasus yang akan dibahas untuk model virus komputer dengan
waktu tunda pada persamaan (4), yaitu saat �1 > 0, �2 = 0 dan saat
�1 = 0, �2 > 0.
Kasus 1 ( � > 0, � =
)
Pada kasus 1 ini, dimasukkan nilai �1 > 0, �2 = 0 ke dalam
persamaan (12) sehingga didapatkan nilai eigen seperti berikut:
2
=− ∨
+ 1 + 0 + − �1 1 + 0 = 0
dengan
+ + + + ∗ − �1 ,
1 =
∗ − �1
+ + + + + +
,
0 =
∗ − �1
,
1 =−
∗ − �1
=
−
+
.
0
Untuk = − selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai dari
persamaan 2 + 1 + 0 + − � 1 1 + 0 = 0 , dilakukan dengan cara
mensubstitusikan = , > 0 ke dalam persamaan sehingga diperoleh
persamaan berikut:
( )2 + 1 ( ) + 0 + − � 1 1 ( ) + 0 = 0.
Karena − � = cos � − sin( �), persamaan menjadi
−
2
+
1
1
+
sin
0
+ 1 cos �1 + 0 cos
�1 − 0 sin �1 = 0.
�1 +
(13)
Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (13),
sehingga diperoleh
− 2 + 0 + 0 cos �1 + 1 sin �1 = 0,
2
− 0 = 1 sin �1 + 0 cos �1 .
11
+ 1 cos �1 − 0 sin �1 = 0,
= 0 sin �1 − 1 cos �1 .
1
Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian
menguadratkan kedua ruas masing-masing, sehingga diperoleh persamaan
sebagai berikut:
( 2 − 0 )2 = ( 1 sin �1 + 0 cos �1 )2 ,
4
− 2 2 0 + 0 2 = 1 2 2 sin2 �1 + 0 2 cos 2 �1 +
2 0 1 sin �1 cos �1 .
2
( 1 ) = ( 0 sin �1 − 1 cos �1 )2 ,
2 2
=
1
2
2
�1 + 1 2 2 cos2 �1 − 2 0 1 sin �1 cos �1 .
0 sin
Kemudian kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan
sesuai pangkat
dengan cos 2 �1 + sin2 �1 = 1 sehingga diperoleh
polinomial berderajat empat
4
+ 1 2 − 2 0 − 1 2 2 + 0 2 − 0 2 = 0.
Untuk kasus ini,
jika
2
2
∗ − �1
+
+ + + +
+ +
0 − 0 = 2
∗ − �1
>0
dan
2
2
∗ − �1
+ 2 + ( ∗ − � 1 )2 + 2
> 0,
1 −2 0− 1 =
maka tidak ada akar realnya.
Jika tidak ada akar real, maka =
tidak berlaku. Dengan demikian
titik tetap tidak mungkin spiral. Jadi kasus ini bersifat asimtotik stabil.
Berdasarkan teorema, jika 0 > 0, maka kesetimbangan infeksi virus E*
adalah asimtotik lokal stabil sehingga tidak ada Bifurkasi Hopf.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 6)
1
Kasus 2 (� = , � > 0)
Pada kasus 2 dimasukkan nilai �1 = 0 , �2 > 0 ke dalam persamaan
(12) sehingga diperoleh nilai eigen seperti berikut:
=−
∨ 2 + 1 + 2 + − �2 ( 1 + 2 ) = 0
dengan
∗
− ∗,
1 =2 + +
+ + ∗− ∗ + ∗ ,
2 =
1 = ,
+ + ∗− ∗ .
2 =
Untuk = − selalu bernilai negatif. Sedangkan untuk mencari nilai
dari persamaan 2 + 1 + 2 + − � 2 ( 1 + 2 ) = 0 , dilakukan dengan
cara mensubstitusikan = , > 0 ke dalam persamaa sehingga diperoleh
persamaan berikut:
( )2 + 1 ( ) + 2 + − � 2 ( 1 ( ) + 2 ) = 0.
Karena − � = cos � − sin( �), persamaan menjadi
−
2
+
+
1
1
2
+ 1 cos �2 + 2 cos
�2 − 2 sin �2 = 0.
�2 +
(14)
12
Selanjutnya memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (14)
sehingga diperoleh
− 2 + 2 + 2 cos �2 + 1 sin �2 = 0,
2
1
+
−
2
=
�2 −
cos
1
=
1
sin
1
�2 +
2 sin
�2 −
2 sin
1
�2 .
2 cos
�2 = 0,
cos
(15)
�2 .
(16)
2
(17)
Setelah memisahkan bagian real dan imajiner, kemudian
menguadratkan kedua ruas masing-masing sehingga diperoleh persamaan
sebagai berikut:
( 2 − 2 )2 = ( 1 sin �2 + 2 cos �2 )2 ,
4
− 2 2 2 + 2 2 = 1 2 2 sin2 �2 + 2 2 cos 2 �2 +
2 2 1 sin �2 cos �2 .
( 1 )2 = ( 2 sin �2 − 1 cos �2 )2 ,
2 2
=
1
2
2
sin
�2 + 1 2 2 cos 2 �2 − 2 2 1 sin �2 cos �2 .
2
Kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat
dengan cos 2 �1 + sin2 �1 = 1 . Akibatnya diperoleh polinomial
berderajat empat
4
+
1
2
−2
2
−
1
2
2
+
2
2
−
2
= 0.
Dari persamaan (17) dapat dilihat bahwa persamaan tersebut
2
merupakan polinomial berderajat genap. Bila didefinisikan ±
sebagai akar
persamaan (17) akan diperoleh
2
±
−
1
2 −2
2− 1
2
±
1
2 −2
2− 1
2 2
−4( 2 2 − 2 2 )
.
=
2
Selanjutnya, untuk mengetahui nilai tundaan kritis dilakukan pengubahan
dalam bentuk secan pada persamaan (15) dan (16) dan disamadengankan.
Sehingga diperoleh nilai tundaan kritis sebagai berikut:
�± =
1
±
tan−1
±( 2 1
1 1
−
2
±
1
−(
2
± 2 1 − 1 2)
2
± − 2) 2
+
2 �
±
,
= 0,1,2,3, …
(18)
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7)
Bifurkasi Hopf
Teorema 1 (Kar 2003)
Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga
berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika � ∈
0, �0 + ∪ �0 +, �0 − ∪ … ∪ (� −1 −, � +) titik tetap bersifat stabil dan
� ∈ �0 +, �0 − ∪ �1 +, �1 − ∪ … ∪ (� −1 +, � −1 −) titik tetap bersifat tidak
stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk
� = � ± , = 0,1,2, …
Untuk membuktikan Teorema 1 Kar (2003) cukup dilakukan uji
kebenaran kondisi transversabilitas, yaitu kondisi yang menyebabkan
perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang
digunakan adalah
13
Re
�
Re
> 0 dan
�=� +
�
�=� −
< 0.
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema 1 Kar (2003), persamaan
+ 1 + 2 + − � 2 ( 1 + 2 ) = 0 diturunkan terhadap � , sehingga
diperoleh
2
+ 1
+ 1 − �2
+ 1 − � 2 − − �2
+ 2 − �2 − −
2
�2
�2
atau
�2
=0
�2
�2
−1
�2
�2
�2
2 + 1
( 1 + 2)
=
1
+
( 1 + 2)
�2
−
(19)
.
�2
Dari persamaan 2 + 1 + 2 + − � 2 ( 1 + 2 ) = 0 , didapat
=
−( 1 + 2 )
. Kemudian disubstitusikan pada persamaan (19) sehingga
2
(
+ 1 + 2)
diperoleh
Oleh karena itu,
−1
�2
Re
�2
sign
−2 + 1
2+
1 + 2
2
2 + 1 2 −2 2
= sign Re
= sign
= sign
−2 + 1
( 2+ 1 + 2)
=
+
1
( 1 + 2)
= sign Re
=
+ Re
=
1
( 1 + 2)
2
−
�2
=
− 2+ 2 2
( 2 − 2 )2 + 1 2 2
2
1
2
2
2
2 + 1 − 1 −2 2
( 2 − 2 )2 + 1 2 2
2
= sign 2
Untuk nilai
+
=
sign
1
2
2
−
+
1
1
−2
Re
�2
sign
=
+ Re −
�2
=
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 8)
= sign 2
=
�2
2
+
+
1
2
+
1
2
Re
−
−1
.
2
sehingga terpenuhi bahwa
=
.
diperoleh
= sign
Untuk nilai
�2
� 2 =� +
−2
2
−
2 2
1
−
− 4(
2
1
2
2
−2
−
2
2
2
) ,
> 0.
diperoleh
Re
�2
= sign 2
=
−
2
−
+
1
2
−
2
1
−2
2
14
= sign −
1
2
−2
2
−
2 2
1
sehingga terpenuhi bahwa
Re
�2
� 2 =� −
− 4(
2
2
−
2
2
) ,
< 0.
Oleh karena itu, kondisi transversabilitas terpenuhi. Jadi, � ±
merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (10)
sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 9)
SIMULASI NUMERIK
Simulasi numerik digunakan untuk memberikan ilustrasi secara visual
dari hasil analisis kestabilan kasus 4. Analisis kestabilan pada model virus
komputer ini, digambarkan oleh kurva bidang fase dan bidang solusi pada
waktu . Solusi numerik dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai
parameter yang telah ditentukan berdasarkan analisis ke dalam persamaan
model matematika virus komputer dengan waktu tunda.
I.
Model Virus Komputer tanpa Waktu Tunda
Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus
komputer tanpa waktu tunda (persamaan (3)) menggunakan beberapa nilai
parameter tetap, yaitu: = 10, = 5, = 3, = 2, = 5 dengan nilai
awal 0 = 0.4, 0 = 0.4, dan 0 = 0.2 . Nilai-nilai ini diasumsikan
sebagai nilai dari ratusan komputer.
Simulasi dilakukan dengan menggunakan software Matematica 10.0
pada model virus komputer tanpa waktu tunda sesuai parameter yang telah
ditetapkan sebelumnya. Dari hasil simulasi ini diperoleh bidang solusi yang
menunjukkan komputer rentan, terinfeksi dan pulih (
). Dalam simulasi
ini, nilai titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilannya dapat dilihat pada
Tabel 2 berikut ini.
Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi
Titik Tetap
Luaran
1
1
2
3
Jenis kestabilan
3. 33333
0
0
-3
-8
11.66667
Sadel
2
1
1.86667
0.46667
-3
-8.66667 + 4.26875i
-8.66667 - 4.26875i
Spiral Stabil
15
Gambar 1 Bidang fase model virus komputer (
)
Gambar 2 Bidang solusi komputer yang rentan
Gambar 3 Bidang solusi komputer yang terinfeksi
Gambar 4 Bidang solusi komputer yang pulih
16
Gambar 1 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan
pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.
Gambar 2 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan
sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat yang
kemudian mengalami penurunan dan stabil pada titik 1. Gambar 3
menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami peningkatan yang
pesat dan akhirnya stabil pada titik 1.87. Sedangkan Gambar 4 menyatakan
bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih
mengalami peningkatan dan setelah itu stabil di titik 0.47.
II.
Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda � > 0, � =
Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus
komputer dengan waktu tunda terinfeksi (persamaan (4)) menggunakan
beberapa nilai parameter tetap, yaitu: = 10, = 5, = 3, = 2, = 5
dengan nilai awal 0 = 0.4, 0 = 0.4, dan 0 = 0.2. Nilai-nilai ini
diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.
Kasus 1 (� = , � = )
Gambar 5 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 2 dan �2 = 0
Gambar 6 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 2 dan �2 = 0
17
Gambar 7 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 2 dan �2 = 0
Gambar 8 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 2 dan �2 = 0
Gambar 5 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan
pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.
Gambar 6 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan
sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil
pada titik 3.33. Gambar 7 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi
mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar 8
menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang
pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0.
Kasus 2 (� = �, � = )
Gambar 9 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 5 dan �2 = 0
18
Gambar 10 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 5 dan �2 = 0
Gambar 11 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 5 dan �2 = 0
Gambar 12 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 5 dan �2 = 0
Gambar 9 menyatakan bahwa komputer yang rentan, terinfeksi, dan
pulih akan stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan.
Gambar 10 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan
sebelumnya, komputer rentan mengalami peningkatan yang pesat dan stabil
pada titik 3.33. Gambar 11 menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi
mengalami penurunan dan akhirnya stabil pada titik 0. Sedangkan Gambar
12 menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang
pulih mengalami penurunan dan stabil di titik 0.
III. Model Virus Komputer dengan Waktu Tunda � = , � > 0
Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku kestabilan model virus
komputer dengan waktu tunda pemulihan (persamaan (4)) menggunakan
beberapa nilai parameter tetap, yaitu: = 10, = 5, = 3, = 2, = 5
19
dengan nilai awal 0 = 0.4, 0 = 0.4, dan 0 = 0.2. Nilai-nilai ini
diasumsikan sebagai nilai dari ratusan komputer.
Pada model virus komputer dengan waktu tunda �1 = 0 dan �2 > 0
untuk menetapkan pilihan nilai �2 menggunakan hasil yang telah diperoeh
sebelumnya yaitu persamaan (18) dengan memasukkan nilai parameter yang
telah ditetapkan tersebut ditunjukkan dengan hasil pada Tabel 3.
Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda
0
1
2
3
4
5
�+
-0.152045
1.37608
2.90421
4.43233
5.96046
7.48858
Kasus 1 (� = , � = )
Gambar 13 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 1
Gambar 14 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 1
20
Gambar 15 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 1
Gambar 16 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 1
Gambar 13 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya
komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih. Namun demikian, Gambar 13
stabil menuju ke satu titik dari nilai awal yang telah ditetapkan. Gambar 14
menyatakan bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya,
komputer rentan mengalami osilasi dan stabil pada titik 1. Gambar 15
menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi dan stabil
pada titik 1.87. Sedangkan Gambar 16 menyatakan bahwa dari nilai awal
yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi dan stabil di
titik 0.47.
Kasus 2 (� = , � = �)
Gambar 17 Bidang fase model virus komputer saat �1 = 0 dan �2 = 7
21
Gambar 18 Bidang solusi komputer yang rentan saat �1 = 0 dan �2 = 7
Gambar 19 Bidang solusi komputer yang terinfeksi saat �1 = 0 dan �2 = 7
Gambar 20 Bidang solusi komputer yang pulih saat �1 = 0 dan �2 = 7
Gambar 17 menyatakan bahwa adanya osilasi atau naik turunnya
komputer yang rentan, terinfeksi, dan pulih secara terus menerus atau
tertutup sehingga menyebabkan adanya limit cycle. Gambar 18 menyatakan
bahwa dari nilai awal yang telah ditetapkan sebelumnya, komputer rentan
mengalami osilasi secara terus menerus dan tidak stabil. Gambar 19
menyatakan bahwa komputer yang terinfeksi mengalami osilasi secara terus
menerus dan tidak stabil. Sedangkan Gambar 20 menyatakan bahwa dari
nilai awal yang telah ditetapkan, komputer yang pulih mengalami osilasi
secara terus menerus dan tidak stabil.
Berdasarkan hasil simulasi pada kasus 1 dan 2 yang telah diperoleh,
diketahui bahwa pada masing-masing komputer terjadi perubahan kestabilan
yaitu dari spiral stabil (saat �2 = 1) menjadi spiral tak stabil (saat �2 = 7).
22
Perubahan kestabilan ini menggambarkan adanya bifurkasi Hopf pada
model virus komputer.
SIMPULAN
Model tanpa waktu tunda diperoleh dua titik tetap, di mana keduanya
bersifat stabil dan tidak stabil. Kondisi ini tidak akan menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf. Model virus komputer dengan waktu tunda
memiliki dua jenis waktu tunda yaitu waktu tunda terinfeksi dan waktu
tunda pemulihan. Ketika model menggunakan waktu tunda terinfeksi,
komputer yang terinfeksi tidak langsung menginfeksi komputer lain dan
ketika model menggunakan waktu tunda pemulihan, komputer yang pulih
mengalami perlambatan proses pemulihannya. Model virus komputer
dengan waktu tunda terinfeksi memiliki jenis kestabilan yang bersifat stabil
karena kestabilan sistem tidak berubah ketika waktu tunda terinfeksi yang
diberikan semakin besar. Sedangkan pada model virus komputer dengan
waktu tunda pemulihan, semakin besar nilai waktu tunda pemulihan yang
diberikan, sistem semakin tidak stabil sehingga sistem memiliki perubahan
kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Hal ini menyebabkan
terjadinya bifurkasi Hopf.
DAFTAR PUSTAKA
Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York:
Springer-Verlag.
Driessche PVD, Watmough J. 2002. Reproduction numbers ada subthreshold endemic equilibria for compartemental models of disease
transmission. Mathematical Biosciences. 180:29-48.
Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York:
Random House.
Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time
Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458.
doi:10.1016/S0895-7177(03)00232-2.
Ma W, Song M, Takeuchi Y. 2004. Global stability of an SIR epidemic
model with time delay, Applied Mathematics Letters, vol. 17, no. 10,
pp. 1141–1145. doi:10.1016/j.aml.2003.11.005.
Perko L. 1991. Differential Equations and Dynamical System, Texts in
Applied Mathematics, vol. 7. Springer-Verlag, New York.
Song H, Jiang W, Wang Q. 2014. Stability and Hopf bifurcation of
computer virus model with infection delay and decovery Delay.
Applied Mathematics, vol. 2014, Artikel ID 929580, 10 pages.
doi:10.1155/2014/929580.
23
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to
Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US):
Addison-Wesley Publishing Company.
Wang W, Zhao XQ. 2012. Basic reproduction numbers for reactiondiffusion epidemic models. SIAM Journal on Applied Dynamical
Systems, vol. 11, no. 4, pp. 1652–1673. doi:10.1137/120872942.
Yang LX, Yang X, Zhu Q, Wen L. 2013. A computer virus model with
graded cure rates. Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol.
14, no. 1, pp. 414–422. doi:10.1016/j.nonrwa.2012.07.005.
Zhang C, Zhao Y, Wu Y. 2012. An impulse model for computer viruses.
Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2012, Article ID
260962, 13 pages. doi:10.1155/2012/260962.
24
LAMPIRAN
Lampiran 1
Model Tanpa Waktu Tunda
( )
=
( )
−
−
=
( )
( )−
+
−
=
+
( )
( )−
( )
( )
Penentuan Titik Tetap
Titik tetap diperoleh dengan menentukan
(3)
( )
= 0,
= 0 dan
= 0 terhadap persamaan (3),
Mencari titik tetap 1
( )
=0
−
( )−
=0
+
= + ( )
+ = + ( )
+ ( )
=
+
+
=0
−
=0
−
+
−
+
=0
( )−
=
sehingga didapat
=
+0
.0+
=0
+
=
{ + }=
=
Karena
=0
Maka
=0
Kemudian substitusi ke
=0
=0
+
+
( )
+
=
Jadi titik tetap 1
1
( ), ( ), ( ) =
, 0,0
(6)
25
Mencari titik tetap 2
( )
=0
−
( )−
+
+
+
=
=
+
=
=0
+
+
=
+
=
=0
−
−
=
=
+
+
=
dan
=0
+
+
=
Substitusi
−
−
=0
−
=0
ke persamaan
+
=
+
+
+
−
+
=
( + )
+
2+
+
=
( + )
+
2+
=
+
( + )
+
−
−
1−
2
=
+
2
( + )
+
=
2
+
=
2+
=
1−
+
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
26
2+
=
2
−
+
=
−
+
−
−
−
2
+
+
+
)
+ )
)
+
)
)
− )
)
( +
( − +
( 2+
−
=
2
( −
+ +
2
( +
−
=
( −
− 2−
2
( +
−
=
−
+ 2+
−( − 2 − )
=
−
+ 2+
( − 2− )
=
+ 2+
=
Kemudian dari
yang telah didapat, disubstitusikan ke
+
=
=
=
( + )
− 2− )
+ 2+
2
− − )( + )
+ 2+
( + ) (
=
(
Jadi titik tetap 2 sebagai berikut:
2
( ), ( ), ( ) =
+
,
(
− 2 − )( + ) (
,
+ 2+
− 2−
+ 2+
)
(7)
Kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks Jacobi sebagai
berikut :
=
−
0
−
−
−
+
0
− −
(8)
27
Lampiran 2
Analisis Kestabilan di Titik Tetap �
Titik tetap 1 = , 0,0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8)
1
−
=
−
0
0
−
=
−
−
0
0
−
=
−
−
0
0
−
+
0
− −
+
0
− −
+
0
− −
Untuk memperoleh nilai eigen dengan menggunakan rumus
Nilai eigen
−
=0
1
− −
−
0
0
− −
− −
−
−
+
−
−
Dari persamaan tersebut, diperoleh nilai eigen
1 =−
atau
2 =− −
atau
( + )
−
3 =
Ketika
3
= 0, diperoleh nilai
−
( + )
=
0
−
−
=0
dengan penjabaran seperti berikut:
=0
( + )
( + )
=1
−
=0
0
− −
+
1
⇒
0
=
( + )
= 0.
28
Lampiran 3
Analisis Kestabilan Di Titik Tetap �
Titik
tetap
2
+
=
,
− 2−
)( + ) (
− 2−
)
(
+
− 2−
,
2+
)
2+
+
disubstitusikan ke dalam persamaan (8), seperti berikut
( − 2 − )( + )
+
−
−
−
+ 2+
=
+
( − 2 − )( + )
2
− +
0
2
+ +
0
− −
( − 2 − )( + )
−
−
− +
+ 2+
=
( − 2 − )( + )
+ − +
0
+ 2+
0
− −
2
( − − )( + )
−
−
− +
+ 2+
=
( − 2 − )( + )
0
0
+ 2+
0
− −
Untuk memperoleh nilai eigen pada titik tetap 2 menggunakan
software seperti berikut
∶
:
:
�
:
�≔
− . . + . − . , . . − +
, . − . −
.
− ,
1
4
2
12
4 2
, ,
1
3
−2
2
3
+
3 3
8
2 2
4
4
+ 28
4
3 3
−8
2 2
+ 13
4
4
6
+4
4 2
+ 20
1
2
]
−
)( + ) (
3 3
+6
+2
4
3 3
2
−8
3 2
5
3
+4
4 2
+ 13
−8
2
+ 12
−4
2 3
1
2
3
5
5
3
3 2
−4
−8
2
+ 12
− 10
+ 20
∶
+ 2+
+ −16
2
2 2
+4
+ 12
,
2+
−
+ 28
− 10
2 2
+2
3
−8
+ −16
2
− 2−
(
4 2
2 2 2
+
+6
,
+
−4
2 2 2
+8
+
4 2
(�)
[−
−
2 3
+4
+
+
=
2
2 ( + + )
2 2 2
20
,
+4
] ,−
−4
1
2 ( + + )
+4
−2
+
2 2 2
3
2
+8
+
−
+
+
1
2
+
2 2
2 3
4 2
+ 20
5
+ 12
+ 12
2 2
2
[
2
2 3
3
+
−
2 2 2
2 2 2
+
−
+4
6
+
29
Kemudian dilakukan penyederhanaan parameter dan dipeoleh seperti
berikut:
1 =− ,
1
1
[− 2 −
−
− 2 + −16 2
−8 2
−
2 =2
( + + )
2
4
+4 2 3 + 4
5
12
+ 12 4 2 − 2 3
4 2 2 + 2 2 2+ 2
2 3
4
=
=
1
1
2 ( + + )
2 2
2
2
16
12
2
20
3
3
4
2
[−
+
+2 2
4 2
) − 4( 3
2
4
+2
2 2
+ 4
=
1
1
2 ( + + )
2
4(
2
=
1
1
[−
+
=−
4
−
+
6
2
[
3
+ 20
1
[
3
4 2
1
=−
2
3 3
+4
4 2
+
+
−8
1
2
3
2 2 2
]
2 2 2
+
6
+4
+
3 3
2
2
−
+
2
+
−8
+ (
1
2
3
4 2
]
2 2 2
+
+
+
2
+
−3
+
−
2
+
−2 3
2 2
+ 2
2
2
2
+8
+
2
+
−
2 2
)(
+
4 2
2
3 3
+6
−8 2
2
−4
2
4
+
2
−
2
+ −16
2
+
−2
+
−
+
2 2 2
+
2
+
+
+
4 2
3
3
+
−
1
2
4 2
1
5
3
−
) 2]
],
−8
2
−
2
−
2
5
+ 13
+ 12
+
3
+ 2 2 2 − 10
−
4
3 2
+ 28
+ 20
+
+4 6+4
+ 2 +
3 3
4
−8
2
+
1
2
3
2 2 2
]
+
+2
+2 3
−4 3
+4 2 2 −
3
3
3 3
+2
− 12
+2
+4 3 3+ 4 2+
2
− 16 2
−8 2
−4 2
+ 4 2 3 + 12 5 +
4 2
2 2
4
+ 12
−4
−4
+ 28 4 + 20 3 2 +
2 2
4
+
]
2
+
2 3
3
1
2
3
+
2 2
+
+ 4 2 2 − 12 2 2 +
+ 4 3 3 + 4 2 + 12 4 2 −
2
+ 4 2 3 + 12 5 + 12 5 +
+ 28 4 + 20 3 2 + 4 2 3 +
( + )+
2 ( + + )
2 2 2
2 2
12
12
12
6
3
+2
+
2
+
+
4
+4
12 5 + 12 4
4 2 2 + 2
4 2
1
=−
3 3
+
2 ( + + )
2
4
+ 13 4 2 + 12 5 +
3
+ 2 2 2 − 10
−
4
3 2
+ 28
+ 20
+
3
+2 3
+4 2 2 +2
+2 3
3
+3 2 2 +3
− 3 3−3 4 2+
2
2
2 3
+
−
−3 5 −3 5 −3
−7 4 −5 3 2 − 2 3 −5 3 2−
−2
1
1
2
+4
+
+4
+
3
2
+2
−
2 ( + + )
4
3
−
[−
2 2 2
+6 3
−8 2
2
−4
2 2 2
+8
+
2 2 2
+8
2 ( + + )
2 2 2
2
2
2
+2 3
−4 3
3
− 12
+2 3
−8 2
−4
2
−4 2 2 −4 4
2
1
1
+ 20 3
[− 2 +
2
+ 20
1
[
3
2
2 ( + + )
2 2 2
2 2
+2
2
+8
+
2 2 2
+
+2
3
+4 6+4 3
+ 2 + (
+4
2 2
3
4
+2
−8
2
+
3
1
2
3
2 2 2
+2
]
+
3 3
+
30
) − 4( 3
+2
2
+ 4
4 2
2
4
2
2 2 2
2
1
=−
1
−
6
[
2
1
− 4(
−
2
) 2]
=−
1
1
2 ( + + )
4
+
−
2
2 ( + + )
2 2
2
3
2
+3
+
−7 4
3 3
+
2 2
2
−5
+2 3
+
+2
− 4−2
[
+
+
+
−
3
+3
−
3 2
1
2
+
2
2 2
− 3 3−3
−3 5 −3
− 2 3 −5 3
3
2 3
]
2
2
+
−3
2
( + )+
2
+
+
2
dan
=
3,
1
2
+ +
+
−
+
0
+
=
+
( + )
+
+ +
0
+
0+
( + )
.
Misalkan
−
( + )
− 4(
− 1)
0
3
] .
pada nilai eigen
+ +
+
2
+
+
− 4(
− 1)
0
+ +
+
2
+
+
2
=
dan
1
2
−
( + )+
2
+
sehingga
−
+ +
2 2
( + )+
2
0
1
2
0
2
2
=−
=
1
2
+ +
1
2
+ +
+
+
0+
2
−
+
+
+
0
( + ) − 4(
+
,
0
+
+
0
( + )+
( + )+
.
+
+
2
+
−
+
−
)(
2
4 2
sehingga diperoleh
dan
3 =
−
+
−
+
−3
2
−
+
+
Selanjutnya dilakukan penyederhanaan dengan
2
+
4 2
5
− 1)
+ +
31
Lampiran 4
Model dengan Waktu Tunda
( )
−
=
( )
− �1
− �1
=
( )
−
=
Pelinearan
Misal:
−
−
−
=
=
=
( )
−
=
∗
+
=
−[
=
+
−
∗
∗
∗
− �1
( − �2 ) −
+
− �1
−
+
( − �2 ) −
⇔
⇔
⇔
=
=
=
− �1
−
+
∗
]− [
+ ∗ ][
−
− �1
∗
( )
− �1
∗
∗
(9)
∗
( − �2 ) −
+
∗
− �1 +
[
+ ∗]
− �1 +
− �1
(4)
( )
+
+
+
∗
( )
∗
− �1
]
]
− �1
+[
∗ − �1
∗
( )
− �2
+ [
− �2 +
− ∗
− �1 −
− ∗ ∗ − �1 +
−
− ∗
− �2 +
∗ − �1
∗ − �1
=−
−
−
− �2
− �1 +
− − �1
− �1 + [ − ∗ ∗ − � 1 + ∗ −
Karena linearisasi maka − ∗ ∗ − � 1 + ∗ − ∗ = 0
Jadi
=−
− ∗ − �1
− ∗ − �1
− �2
− �1 +
− − �1
− �1
−
=
( )
[
+
∗
]
= [
=
+
=
− �1
=
∗ − �1
( )
=
− �1
][
− �1
∗ ∗ − �1
− �1
−
− �1
+
Karena linearisasi maka [
Jadi
= ∗ − �1
+
∗
+
−
−
+
−
− �1 +
+
−
+
− �1
∗
]
( − �2 ) −
− �1
∗ − �1
− �1 + [
− +
+
− �1
−
+ ∗
− +
+
[
− �1
∗
∗ − �1
− �1
∗ ∗ − �1
+
( )
]
�1
∗
]
∗
]
( )
+
∗ ∗ − �1
−
+
∗
∗
]=0
∗ − �1
−
+
− �1
+
− �1
∗
]
32
[
+
∗
]
= [
+
=
+
=
−
Karena linearisasi maka [
Jadi
=
Jacobi
=
− −
∗ − �1
∗ − �1
0
∗
∗
]− [
−
−
∗
−
∗
]− [
− �2 − ∗ −
− �2 + [ ∗ −
∗
− ∗] = 0
−
− ∗
− − +
− �2 +
−
−
−
∗
∗
∗
]
]
− �2
− �1 − �1
∗ − �1 − �1
∗
+
− �2
0
− −
− �2
(
(11)
33
Lampiran 5
Persamaan Karakteristik
− −
∗ − �1
∗ − �1
0
−
−
− − +
−
=0
∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
−
− �2
0
− −
− �2
−
=0
− − − + ∗ − �1 − �1 − − − − �2 −
∗ − �1
− �2
+
− [− ∗ − � 1 − � 1 ] ∗ − � 1 − − − � 2 − = 0
2
∗ − �1 − �1
∗ − �1
∗ − �1
+
−
+
+
+
∗ − �1
− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 +
+
+
∗ − �1 − �1
−
+ 2 − − − �2 −
− �1 − �2
+ ∗
− [− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 ] − − − � 2 − = 0
− �2
− 3 − 2 − �2 − 2 − 2 −
−
+ 2 ∗ − �1 − �1
∗
− �1 − �1 − �2
∗ − �1 − �1
+
+
− 2
− �2
2
2
∗ − �1
∗
− �1 − �2
−
−
−
−
∗ − �1
∗ − �1
∗
− �1 − �2
−
−
−
∗ − �1
2 ∗ ∗ −2 � 1− � 1
−
+
− − − �2 −
∗ − �1
∗
− �1 − �2
−
−
− 2 ∗ − �1 − 2
− �2
− �2
−
− 2 −
−
− 2
∗ − �1 − �1
∗
− �1 − �1 − �2
+
+
+ 2 ∗ − �1 − �1 − 2 − 2 − �2 − 3
∗
− �1 − �2
+
+ [− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 ] − − − � 2 − = 0
3
2
− −
− 2 −
− 2− 2 − 2− 2 −
− 2 − 2
− �2
− �2
− �2
− 3 − 2 − �2 −
−
−
− �2
−
− 2 − �2 + 2 ∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
∗ − �1 − �1
+
+
+ 2 ∗ − �1 − �1
∗
− �1 − �1 − �2
∗
− �1 − �1 − �2
+
+
2
∗ − �1
∗ − �1
∗ − �1
∗ − �1
−
−
−
−
∗ − �1
∗
− �1 − �2
− 2 ∗ − �1 −
−
∗
− �1 − �2
∗
− �1 − �2
∗
− �1 − �2
−
−
+
+ 2 ∗ ∗ −2 � 1− � 1 − − − � 2 −
− 2 ∗ ∗ −2 � 1 − � 1 − − − � 2 − = 0
− 3−3 2 −3 2− 3− 2 −2
− 2
− − �2 2 +
+
+
+
+ 2
∗ − �1 − �1 2
2
+
+
+
+
+ ∗ − �1 − �1 − �2 +
− ∗ − �1 2 +
+
+
+
+ 2
∗
− �1 − �2
−
+ =0
− −
∗ − �1
34
3
+ 2 +2
+3 2 +3 2
− �2 2
+
+ 2+
+
+2
∗ −