Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Hutchinson Dengan Waktu Tunda Dan Upaya Pemanenan Konstan
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA
HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN
PEMANENAN KONSTAN
LILIS SAODAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan Model
Mangsa-Pemangsa Hutchinson dengan Waktu Tunda dan Pemanenan Konstan
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Lilis Saodah
NIM G54100068
ABSTRAK
LILIS SAODAH. Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Hutchinson
dengan Waktu Tunda dan Upaya Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI
KUSNANTO dan JAHARUDDIN.
Model dalam tulisan ini disusun dari modifikasi model Lotka-Volterra
dengan mempertimbangkan waktu tunda terhadap populasi mangsa dan sebuah
parameter pemanenan konstan pada kedua populasi mangsa-pemangsa. Analisis
kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda.
Untuk model tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap yang bersifat sadel dan
simpul/spiral stabil, sedangkan titik tetap pada model dengan waktu tunda terdapat
titik tetap yang bersifat sadel atau spiral stabil/tidak stabil. Untuk model dengan
waktu tunda, semakin besar nilai waktu tunda mengakibatkan munculnya limit
cycle dan terjadi bifurkasi Hopf. Dengan mengupayakan nilai pemanenan jatuh
pada selang tertentu, maka kestabilan sistem dapat dipertahankan.
Kata kunci: model Lotka-Volterra, waktu tunda, pemanenan, bifurkasi Hopf,
mangsa-pemangsa
ABSTRACT
LILIS SAODAH. Stability Analysis of Hutchinson Prey-Predator Population
Model with Time Delay and Constant Effort of Harvesting. Supervised by ALI
KUSNANTO and JAHARUDDIN.
In this paper we discussed a modified Lotka-Volterra model by
considering a time delay to prey population and a constant harvesting parameter in
both prey-predator populations. We performed stability analyzes to both models
without time delay and with time delay. For one without time delay we obtained
three equilibrium points which are saddle and nodes/spiral stable, while model
with time delay possesses equilibrium point which is either saddle or spiral
stable/unstable. In addition to the model with time delay, increasing value of time
delay resulted in the appearance of a limit-cycle and Hopf bifurcation. By
maintaining the value of harvesting parameter on a certain interval, then the
stabilty of the system can be sustained.
Keywords: Lotka-Volterrra model, time delay, harvesting, Hopf bifurcation, preypredator
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA
HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN
PEMANENAN KONSTAN
LILIS SAODAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan karya ilmiah dengan judul
Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Hutchinson dengan Waktu Tunda
dan Pemanenan Konstan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Mama, kakak serta seluruh keluarga
saya atas segala doa dan dukungan yang telah diberikan selama menulis karya
ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga saya sampaikan kepada Bapak Drs Ali
Kusnanto, MSi selaku pembimbing skripsi pertama, Bapak Dr Jaharuddin, MS
selaku pembimbing skripsi kedua dan Bapak Drs Siswandi, MSi selaku penguji.
Tidak lupa juga untuk teman-teman seperjuangan Matematika 47 dan kakakkakak Matematika 46 atas bantuan dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Lilis Saodah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Model Matematika
1 Model Tanpa Waktu Tunda (
5
)
6
Penentuan Titik Tetap
6
Penentuan Nilai Eigen dengan Menggunakan Analisis Kestabilan
7
2 Model dengan Waktu Tunda (
)
9
Bifurkasi Hopf
11
Upaya Pemanenan
13
Simulasi
14
SIMPULAN
20
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
34
DAFTAR TABEL
1 Kondisi kestabilan titik tetap pada
2 Kondisi kestabilan titik tetap
3 Nilai parameter
4 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi 1
5 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 2
6 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 3
7 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 4
8 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 5
9 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 6
10 Pemilihan nilai waktu tunda
8
9
14
14
15
15
16
17
17
18
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 1
2 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 2
3 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 3
4 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 4
5 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 5
6 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 6
7 Bidang fase dengan waktu tunda (a)
(b)
8 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
9 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
15
15
16
17
17
18
19
19
19
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan titik tetap model
2 Batas nilai upaya pemanenan
3 Penentuan Nilai Eigen Model
4 Penyederhanaan Model dengan Metode Linearisasi
5 Kode Program Gambar 1
6 Kode Program Gambar 2
7 Kode Program Gambar 3
8 Kode Program Gambar 4
9 Kode Program Gambar 5
10 Kode Program Gambar 6
11 Kode Gambar 7(a)
12 Kode Program Gambar 7(b)
13 Kode Program Gambar (8)
14 Kode Program Gambar 9
22
22
23
25
26
27
27
28
28
29
29
30
30
32
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tidak ada makhluk hidup yang dapat hidup terisolasi atau hidup tersendiri.
Setiap makhluk hidup pasti akan berinteraksi dengan makhluk hidup
lainnya. Seiring dengan interaksi tersebut terdapat rangkaian peristiwa memakan
(predator) dan dimakan (prey) yang menjadikan ekosistem tetap seimbang.
Predator merupakan spesies pemangsa, sedangkan prey adalah spesies yang
dimangsa. Peristiwa ini memberikan ide untuk membuat model matematika,
sehingga dapat menentukan perbandingan pemangsa dengan mangsa agar
ekosistem tetap seimbang.
Pada dasarnya, pertumbuhan makhluk hidup pada suatu populasi
merupakan proses yang berlangsung secara diskret, di mana pengukurannya
dilakukan setiap selang waktu tertentu seperti tiap satu minggu, satu bulan, atau
satu tahun. Untuk menggambarkan proses tersebut secara matematis, digunakan
persamaan diferensial yang dapat menggambarkan hubungan ketergantungan
antara jumlah populasi pada waktu yang berturut-turut. Sebagian besar model
perkembangan dan pertumbuhan makhluk hidup mengikuti kaidah yang berkaitan
dengan bentuk-bentuk dari fungsi taklinear, salah satu contoh model pertumbuhan
ini adalah model pertumbuhan logistik, yaitu model pertumbuhan yang
memperhitungkan faktor logistik berupa ketersediaan makanan dan ruang hidup.
Salah satu model mangsa-pemangsa yang paling terkenal dinamai setelah
dua ilmuwan, Alfred Lotka dan Vito Volterra memperkenalkannya pada tahun
1926. Asumsi dasar dari model mangsa-pemangsa Lotka-Volterra adalah bahwa
setiap populasi mengalami pertumbuhan atau peluruhan eksponensial. Kemudian
model mangsa-pemangsa Lotka-Volterra dimodifikasi dengan menambahkan
asumsi jumlah populasi juga dipengaruhi oleh adanya tingkat kompetisi di dalam
populasi tersebut (Olinick 2006).
Kemudian untuk membangun model yang lebih realistis Baretta dan Kuang
(1996) dan Ruan (2009) menambahkan waktu tunda untuk jangka respons
pemangsa terhadap mangsa. Dalam hal ini diasumsikan bahwa penggunaan waktu
tunda pada sistem ini disebabkan karena adanya waktu yang diperlukan populasi
pemangsa dalam memangsa mangsanya.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang analisis kestabilan model
mangsa-pemangsa dengan perlambatan. Di dalam model mangsa-pemangsa
dengan perlambatan dipertimbangkan waktu tunda dari mangsa pada saat
memasuki masa sebelum melahirkan. Dengan adanya waktu perlambatan inilah
menyebabkan titik kesetimbangan model tidak stabil. Selanjutnya dibahas pula
upaya pemanenan optimal yang digunakan dalam mengeksploitasi populasi.
Pengaruh pemanenan dengan upaya konstan menurut Holmberg (1995) ditunjukan
bahwa tangkapan dengan kuota konstan dapat mengakibatkan osilasi serta
menaikkan resiko eksploitasi yang berlebihan.
2
Tujuan
1.
2.
3.
4.
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
merekonstruksi model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda dan
pemanenan konstan yang dituliskan oleh Toaha et al. (2006),
menganalisis kestabilan model mangsa-pemangsa dengan dan tanpa waktu
tunda serta pemanenan konstan,
mempelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, dan,
mempelajari keberadaan bifurkasi Hopf pada model mangsa-pemangsa.
LANDASAN TEORI
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai
̇
dengan
(1)
] dan
[
[
].
Jika
fungsi tak linear pada
disebut sistem persamaan diferensial tak linear.
, maka sistem persamaan (1)
Diberikan sistem persamaan diferensial taklinear
Titik ̅
̅
maka
̇
.
(2)
disebut titik tetap atau titik kritis atau titik kesetimbangan, jika
. Jika
(
yaitu matriks yang berukuran
[
]
[
]
(3)
dan disebut matriks Jacobian.
Sistem linear ̇
disebut linearisasi sistem (2) di sekitar titik ̅ . Misal
adalah matriks
. Vektor taknol di dalam
dinamakan vektor eigen dari ,
jika
adalah kelipatan skalar dari , yakni
3
untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen matriks
dituliskan kembali
sebagai
yang berukuran
dan
, maka dapat
atau
dengan merupakan matriks identitas. Persamaan di atas akan mempunyai
penyelesaian taknol (tak trivial) jika dan hanya jika
.
(4)
Persamaan (4) dinamakan persamaan karakteristik
(Anton 1987).
Misalkan suatu SPD memiliki bentuk seperti berikut:
̇
̇
sehingga matriks koefisien dari SPD di atas ialah
Berdasarkan persamaan
, maka persamaan karakteristiknya menjadi
sedemikian sehingga diperoleh persamaan
dengan
dan
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah
√
4
Nilai eigen
akan memenuhi kondisi:
0
o Jika
, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda
sehingga titik tetap merupakan titik sadel.
o Jika 0 , maka nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan tanda yang
sama (titik tetap berupa simpul) atau bilangan kompleks conjugate (titik
2
2
tetap berupa spiral atau center). Jika 4 0 dan 4 0 , maka
2
spiral. Persamaan parabola 4 0 adalah garis batas antara nodes
dan spiral; star nodes dan degenerate nodes berada pada parabola ini.
Stabilitas simpul dan spiral ditentukan oleh τ. Ketika τ 0, kedua nilai
eigen memiliki tanda yang negatif, sehingga titik tetap stabil. Spiral dan
simpul takstabil memiliki τ 0. Titik stabil netral atau center berada pada
garis τ = 0, dimana nilai eigen adalah imajiner murni.
o Jika = 0, setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol. Maka
titik tetap merupakan titik terisolasi (Strogatz 1994).
Berdasarkan persamaan karakteristik, kriteria Routh-Hurwitz dapat
digunakan untuk menentukan kestabilan suatu titik kesetimbangan. Secara umum
menurut Fisher (1990), misalkan a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli dan aj = 0 jika j
> k dengan persamaan karakteristik berupa polinomial berikut:
(5)
Nilai eigen dari matriks akan mempunyai bagian real negatif jika dan
hanya jika determinan matriks M n x n untuk n = 1,2,3,...,k positif dengan
[
]
Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian riil yang
negatif (titik kesetimbangan ̅ stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua
matriks Hourwitz positif, yaitu
, untuk
.
Menurut kriteria Routh-Hourwitz di atas, untuk suatu nilai n (untuk n =
2,3) disebutkan bahwa titik kesetimbangan ̅ stabil jika dan hanya jika
n = 2; a1 > 0, a2 > 0,
n = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3,
Khusus untuk kasus n = 2, bagian real nilai eigen dari persamaan karakteristik
berikut:
5
adalah negatif jika dan hanya jika A positif, B positif sehingga AB > 0 (Fisher
1990).
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari
suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter
sistem tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan
jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik.
Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu
jenis bifurkasi, yaitu bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari
kesetimbangan dalam sistem dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial
biasa, saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang
nilai eigen murni imajiner. Bifurkasi mengakibatkan limit cycle menjadi stabil
atau tidak stabil. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang terisolasi.
Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Matematika
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model Lotka Voltera mangsapemangsa dengan mengasumsikan model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
yang diambil dari model waktu tunda logistik Hutchinson’s oleh May (1974)
dengan sebuah konstanta pemanenan (Toaha et al. 2006). Berikut ini adalah
model Lotka-Volterra dengan waktu tunda:
(6)
di mana
, dan konstanta
, dengan
: banyaknya populasi mangsa pada waktu t,
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t,
: laju instrinsik dari mangsa,
: daya dukung lingkungan untuk populasi mangsa dalam ketiadaan
pemangsanya,
: waktu tunda atau perlambatan,
: laju instrinsik dari pemangsa,
: tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi mangsa,
: tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi pemangsa,
: koefisien “kemudahan penangkapan” populasi mangsa,
6
: koefisien “kemudahan penangkapan” populasi pemangsa,
: upaya pemanenan populasi mangsa,
: upaya pemanenan populasi pemangsa.
Untuk menganalisis model, akan diasumsikan pemanenan populasi
mangsa-pemangsa konstan sehingga diasumsikan
dengan positif . Sistem persamaan (6) menjadi:
(7)
dengan skala parameter yang digunakan adalah
Selanjutnya, diasumsikan
yang merepresentasikan laju pertumbuhan
instrinsik populasi pemangsa lebih besar dibanding upaya pemanenannya.
1
Model tanpa waktu tunda (
Penentuan Titik Tetap Model
Titik tetap didapat dari
diperoleh
)
dan
, sehingga dari persamaan (7)
(
(bukti lampiran 1)
Terdapat tiga titik tetap yang mungkin, yaitu
.
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai positif,
maka
. Pada titik tetap
, batasan upaya pemanenan yang
dinyatakan oleh diberikan sebagai berikut
(bukti lampiran 2)
7
Penentuan Nilai Eigen dengan menggunakan Analisis Kestabilan
Analisis Kestabilan dilakukan dengan mencari nilai eigen pada masingmasing titik tetap. Nilai eigen dilakukan dengan menggunakan matriks Jacobi dari
persamaan (7), yaitu
(
Jika titik tetap
diperoleh matriks Jacobi
disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi, maka
Penyelesaian persamaan karakteristik
eigen untuk matriks
, yaitu
(
(
, memberikan nilai
Karena semua parameter diasumsikan bernilai positif, maka
dan
Jadi, kedua nilai eigen berbeda tanda sehingga titik tetap merupakan titik sadel.
Jika titik tetap
diperoleh
.
disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi, maka
(
Penyelesaian persamaan karakteristik
eigen untuk matriks
, yaitu
(
, memberikan nilai
Karena semua parameter diasumsikan bernilai positif, maka
dan
bergantung pada nilai parameter
dan yang digunakan. Jika
,
maka kestabilan titik tetap
bersifat sadel, dan bersifat simpul stabil, jika
.
Jika titik tetap
disubstitusikan ke matriks Jacobian, maka diperoleh
(
)
8
Jika persamaan karakteristik dari matriks jacobian digunakan, maka diperoleh
dengan
. Jadi nilai eigen titik
tetap
, yaitu
√
atau
√
(8)
(bukti lampiran 3)
Berdasarkan nilai eigen pada persamaan
kemungkinan, yaitu:
i)
(8) dengan
terdapat 2
sehingga
Dalam hal ini titik tetap bersifat simpul stabil.
sehingga
ii)
Dalam hal ini titik tetap bersifat spiral stabil.
Agar titik tetap
stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga
√(
Selanjutnya, titik tetap
atau
dimana
.
dan
, maka
sehingga
. Jadi diperoleh nilai eigen yang negatif, maka titik tetap
stabil. Jenis kestabilan titik tetap didasarkan pada kedua kemungkinan di atas
dan diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap pada
Kondisi
Simpul Stabil
Spiral Stabil
9
Jenis kestabilan semua titik tetap berdasarkan kondisi nilai eigen dapat dilihat
pada Tabel 2.
Tabel 2 Kondisi kestabilan titik tetap
Sadel
Sadel
Sadel
Simpul Stabil
Menurut Ho dan Ou (2002), jika
dan
Stabil
, maka semua
nilai eigen pada persamaan (8) bernilai negatif, yaitu
√
sehingga titik tetap
2
bersifat stabil asimtotik.
Model dengan waktu tunda (
)
Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada
persamaan (7) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di titik
tetap . Untuk itu dimisalkan
Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7) dan
menyederhanakannya, maka diperoleh
(
(bukti lampiran 4)
Analisis kestabilan di titik tetap pada model (9) ekivalen dengan analisis
kestabilan dari titik tetap model persamaan (7) setelah dilinearisasi. Berikut ini
akan ditentukan persamaan karakteristik untuk model persamaan (9). Jika
persamaan pertama pada persamaan (9) diturunkan terhadap
kemudian
menggunakan persamaan kedua pada persamaan (9), maka diperoleh
10
Jika penyelesaian
digunakan, maka diperoleh
(10)
dengan
, dan
. Berdasarkan persamaan (10) dapat
disimpulkan bahwa matriks Jacobi dari persamaan (7) di titik tetap
berbentuk
(
Model mangsa-pemangsa untuk waktu tunda
pada persamaan (7)
titik tetapnya bersifat stabil, sehingga nilai eigen dari matriks Jacobi dimisalkan
dengan
dan
(
. Untuk memperoleh nilai ,
maka nilai eigen
disubstitusikan ke dalam persamaan (10) sehingga
didapatkan persamaan karakteristik
atau
(11)
Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (11)
diperoleh
(12)
Berdasarkan persamaan (12) diperoleh
sehingga
atau
(13)
dengan
adalah nilai waktut tunda pada jarak
.
Selanjutnya persamaan (12) dikuadratkan, maka diperoleh
(14)
11
Jika kedua persamaan pada persamaan (14) dijumlahkan, maka diperoleh
persamaan polinomial untuk sebagai berikut
(15)
dengan akar-akar penyelesaian berbentuk:
√
(16)
Dari persamaan (16), didapatkan solusi positif pada
. Selanjutnya dapat
ditemukan nilai
dengan mensubstitusikan
ke dalam persamaan (13).
Bifurkasi Hopf
Teorema 1 (Kar 2003)
Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif
sedemikian sehingga
berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika
titik tetap bersifat stabil dan
titik tetap bersifat tidak stabil, maka sistem akan terjadi
bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk
,
.
Berdasarkan persamaan (7), titik tetap
stabil untuk
. Untuk
membuktikan Teorema 1 Kar (2004) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi
transversabilitas, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap
dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah
|
dan
|
(17)
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema 1 Kar (2004), persamaan (10)
diturunkan terhadap
atau
(
(18)
, lalu disubstitusikan
Dari persamaan karakteristik (10), didapatkan
pada persamaan (18) didapatkan
. Oleh karena itu,
(
12
[
]
[
(
Dari persamaan (15), diperoleh
(
Untuk nilai
]
(
(
, sehingga
(
, diperoleh
(
√
sehingga terpenuhi bahwa
|
Untuk nilai
, diperoleh
(
√
sehingga terpenuhi bahwa
|
Oleh karena itu, kondisi transversabilitas terpenuhi. Jadi,
merupakan
perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (9) sehingga terjadi bifurkasi
Hopf.
13
Upaya Pemanenan
Teorema 2 (Toaha 2008)
Diberikan
dan titik tetap pada model (7) bersifat stabil, jika upaya
pemanenan
memenuhi
dimana
dan
adalah
himpunan
dengan
Untuk membuktikan Teorema 2, misalkan titik tetap
(7) berada pada kuadran pertama dengan asumsi
Teorema 1 (Kar 2003), titik tetap
stabil ketika
atau
atau
Jadi
atau
atau
sehingga
.
√
Dari persamaan (14) diperoleh
atau
pada persamaan
. Berdasarkan
.
√
√
(
atau
Parameter
dan
bergantung pada
sehingga mempunyai nilai
pertaksamaan yang dapat diselesaikan oleh upaya pemanenan
atau dapat
berbentuk
sehingga titik tetap
stabil ketika upaya pemanenan
memenuhi
.
14
Simulasi
Dinamika populasi mangsa-pemangsa ini digambarkan oleh kurva dalam
bidang fase dan bidang solusi untuk memudahkan kita melihat kestabilan populasi
mangsa-pemangsa
pada waktu t. Penyelesaian numerik dilakukan dengan
cara mensubstitusikan nilai parameter yang ditentukan berdasarkan analisis
kedalam persamaan model matematika mangsa-pemangsa Lotka-Volterra dengan
menyesuaikan kondisi dinamika populasi mangsa-pemangsa tanpa dan dengan
waktu tunda serta upaya pemanenan.
Dinamika Populasi Mangsa-pemangsa Tanpa Waktu Tunda
Terdapat dua kasus dalam dinamika populasi mangsa-pemangsa tanpa
waktu tunda dimana nilai parameter untuk setiap simulasi yang digunakan dapat
dilihat pada Tabel 3, dengan parameter lain yang bernilai tetap dalam setiap
simulasi yaitu:
dengan nilai awal
dan
.
Simulasi
Tabel 3 Nilai parameter
2
3
4
0. 1
0.1
0.001
0.01
0.01
0.2
0.1
0.001
0.1
1
0.1
0.2
0.1
5
0.001
0.0001
0.1
6
0.001
0.2
0.001
Simulasi-simulasi diatas akan memperlihatkan pengaruh tingkat interaksi
mangsa-pemangsa (laju penyerangan) dan upaya pemanenan dengan memenuhi
kasus 1:
dan kasus 2:
. Kestabilan titik tetap setiap simulasi
dapat dilihat sebagai berikut
Tabel 4 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi 1
Kasus 1
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
100
0
-1
9
Sadel
10
4.5
-0.5+0.947364766i
-0.5-0.947364766i
Spiral Stabil
15
T3
T1
T2
Gambar 1 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 1
Kondisi
Tabel 5 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 2
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
100
0
-1
9
Sadel
10
90
-0.05+0.947364766i
-0.05-0.947364766i
Spiral stabil
T3
T2
T1
Gambar 2 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 2
Kondisi
Tabel 6 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 3
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1.099
-0.901
Sadel
109.9
0
-1.099
10.089
Sadel
9.01
100.89
-0.04505+0.952359909i
-0.04505-0.952359909i
Spiral stabil
16
T3
T1
T2
Gambar 3 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 3
Berdasarkan kasus 1:
, ilustrasi bidang fase pada ketiga simulasi
bersifat spiral stabil menuju titik tetap . Sedangkan berdasarkan gambar bidang
solusi, ketika tingkat interaksi mangsa ( lebih besar dibanding tingkat interaksi
pemangsa ( mengakibatkan kedua populasi mangsa berosilasi.
Pada Tabel 4 menunjukan ketika nilai parameter tingkat interaksi mangsa
( lebih besar dibandingkan parameter tingkat interaksi pemangsa ( , terjadi
osilasi antara kedua populasi ditunjukan pada gambar 1. Percepatan populasi
pemangsa lebih cepat dibandingkan populasi mangsa. Sedangkan pada Tabel 5,
ketika parameter tingkat interaksi pemangsa
lebih kecil dibanding parameter
tingkat interaksi pemangsa ( , osilasi populasi mangsa akan semakin kecil
sehinga lebih cepat menuju kestabilan titik tetap. Hal ini ditunjukan pada gambar
2, kedua populasi tidak akan mengalami kepunahan dalam jangka panjang. Selain
itu, pada Tabel 6 ketika nilai parameter upaya pemanenan diperkecil keadaan
populasi akan sama dengan upaya pemanenan yang lebih besar pada gambar 3,
sehingga upaya pemanenan tidak berpengaruh terhadap pertumbuhan populasi
namun berpengaruh pada kestabilan populasi sehingga pemenanan bersifat
konstan.
Selanjutnya pengaruh tingkat interaksi mangsa-pemangsa dan upaya
pemanenan dengan memenuhi kondisi
. Nilai diperkecil untuk melihat
pengaruhnya pada simulasi. Kestabilan titik tetap yang diperoleh dapat dilihat
pada Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9.
Kondisi
Tabel 7 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 4
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
100
0
-1
-0.9
Stabil
1000
-45
0.830951894
-10.83
-
17
T1
T2
Gambar 4 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 4
Kondisi
Tabel 8 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 5
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
T1
100
0
-1
-0.9
Stabil
1000
-90000
0.830951894
-10.83
-
T2
Gambar 5 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 5
Kondisi
Tabel 9 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 6
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1.099
-0.901
Sadel
109.9
0
-1.099
-0.7911
Stabil
901
39.555
-0.731681774
9.741681774
-
18
T1
T2
Gambar 6 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 6
Berdasarkan kasus 2:
, diberikan ilustrasi bidang fase pada titik
tetap bernilai negatif. Gambar 4, Gambar 5 , dan Gambar 6 untuk simulai kasus
ini memperlihatkan keadaan kedua populasi memiliki kesenjangan. Populasi
mangsa mengalami pertumbuhan lalu mengalami kestabilan dalam jangka waktu
panjang sedangkan populasi pemangsa dalam jangka panjang akan mengalami
kepunahan. Hal ini disebabkan karena tingkat interaksi pemangsa dengan populasi
mangsa semakin kecil sehingga sumber makanan yang didapat semakin kecil pula.
Oleh karena itu, populasi pemangsa akan mengalami laju kematian karena tingkat
kelaparan yang tinggi sehingga populasi punah dalam jangka panjang. Upaya
pemenanan dalam kasus ini tidak mempengaruhi pertumbuhan kedua populasi
sehingga pemanenan bersifat konstan.
Dinamika Populasi Mangsa-pemangsa dengan Waktu Tunda
Pada kasus ini, nilai parameter yang digunakan sama dengan tanpa waktu
tunda yaitu
, serta nilai
awal
dan
. Selanjutkan, nilai kondisi
. Untuk
memenuhi teorema maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda pada Tabel 10
yang sesuai dengan mensubstitusikan ke persamaan .
Tabel 10 Pemilihan nilai waktu tunda
0
1
2
3
4
5
1.57080
7.85398
14.13717
20.42035
26.70354
32.98672
Menurut teorema Kar, titik tetap
5.23599
12.21730
19.19862
26.17994
33.16126
40.14257
dikatakan stabil ketika
.
Selanjutnya, titik tetap
dikatakan tidak stabil ketika
19
,
sehingga titik tetap
merupakan bifurkasi Hopf.
(a)
Gambar 7 Bidang fase dengan waktu tunda (a)
(b)
(b)
Gambar 8 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
Pada gambar 7 menunjukkan bidang fase terjadi perubahan kestabilan
untuk
bersifat stabil dan
bersifat tidak stabil sehingga menurut
teorema terjadi bifurkasi Hopf. Gambar 8 memperlihatkan kedua populasi
berosilasi sehingga terjadi penurunan jumlah populasi karena adanya
pertumbuhan mangsa yang mengalami penundaan
pada masa kelahiran
sehingga berkurangnya populasi mangsa sebagai sumber makanan populasi
pemangsa. Namun kedua populasi akan stabil dan mendekati titik
keseimbangannya.
(a)
(b)
Gambar 9 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
Gambar 9 bidang solusi saat
menunjukkan kedua populasi terjadi
osilasi yang semakin besar sehingga populasi mengalami kenaikan jumlah
20
populasi karena adanya laju kelahiran mangsa yang ditentukan oleh tingkat
interaksi pemangsa. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam
pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan,
dalam hal ini dapat mengakibatkan ledakan populasi dan juga penuruan populasi
hingga akhirnya mengalami kepunahan. Namun dalam kasus ini populasi akan
menjauhi titik keseimbangannya sehingga kedua populasi akan terus berosilasi.
Dinamika Populasi Mangsa-pemangsa dengan Upaya Pemanenan
Pada kasus ini, nilai parameter yang digunakan adalah
dengan asumsi nilai waktu tunda
.
Diperoleh titik tetap
, lalu didapatkan nilai
dan diperoleh
Dari persamaan fungsi tersebut didapatkan solusi positif yaitu
.
Berdasarkan teorema 2, solusi diatas mengakibatkan titik tetap bersifat stabil
dengan nilai waktu tunda
ketika nilai upaya pemanenan berada pada
.
SIMPULAN
Model dalam tulisan ini disusun dari modifikasi model Lotka-Volterra
dengan mempertimbangkan waktu tunda terhadap populasi mangsa dan sebuah
parameter pemanenan konstan pada kedua populasi mangsa-pemangsa. Analisis
kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda.
Untuk model tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap. Kestabilan titik tetap
pertama selalu bersifat sadel, sedangkan titik tetap kedua akan bersifat sadel pada
kondisi
dan bersifat simpul stabil pada kondisi
. Hal ini dapat
disimpulkan, semakin kecil tingkat interaksi pemangsa terhadap mangsa
maka akan mempengaruhi nilai titik tetap kedua. Dan untuk titik tetap ketiga akan
bersifat simpul/spiral stabil bergantung pada kondisi yang diberikan. Model
dengan waktu tunda titik tetap yang mempengaruhi hanya titik tetap ketiga, yaitu
bersifat sadel dan spiral stabil/tidak stabil.
Populasi mangsa-pemangsa pada model juga dipengaruhi oleh adanya
waktu tunda terhadap mangsa dan upaya pemanenan. Waktu tunda ini
mempengaruhi masa sebelum kelahiran populasi mangsa sehingga akan
mengalami perubahan kestabilan dari stabil ke tidak stabil. Semakin besar nilai
waktu tunda mengakibatkan munculnya limit cycle sehingga model akan terjadi
bifurkasi Hopf. Dengan mengupayakan nilai pemanenan jatuh pada selang
tertentu, maka kestabilan sistem dapat dipertahankan.
21
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1987.Aljabar Linear Elementer. Jakarta(ID): Erlangga.
Baretta E, Kuang Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed
Predator-Prey System. Journal Mathematics Analysis 204:840-853.
Cushing JM. 1977. Integrodifferential Equations and Delay Models in
Population Dynamics. Heidelberg: Springer-Verlag.
Fisher SD. 1990. Complex Variables. California (US): Wadsworth & Brooks.
Ho CP, Ou YL. 2002. Influence of time delay on local stability for a predatorprey system. Journal of Tunghai Sciences 4:47:62.
Holmberg J. 1995. Socio-ecological Principles and Indicators for sustainability,
PhD Thesis, Goteborg University, Sweden.
Kar TK. 2003. Harvesting in a Two-prey One Predator Fishery: A Bioeconomic
Model. J. ANZIAM 45:443-456.
Olinick M. 2006. Modelling the Predator-Prey Relationship. MAA Session on
Environmental Mathematics.
Ruan S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete
Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusets (US): Addison- Wesley
Publishing Company.
Toaha S, Hasan MA, Ismail F, June LW. 2008. Stability Analysis and
Maximum Profit of Predator-Prey Population Model with Time Delay and
Constant Effort of Harvesting. Malaysian Journal of Mathematical
Sciences 2(2):147-159.
22
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan titik tetap model
Titik tetap persamaan (7) berdasarkan
dan
(
atau
dan
dan
Jadi, titik tetap
.
dan
(tidak memenuhi)
dan
atau
atau
Jadi, titik tetap
atau
.
dan
atau
atau
atau
Jadi, titik tetap
atau
.
Lampiran 2 Batas nilai upaya pemanenan
Berdasarkan dari titik tetap
atau
, diperoleh
atau
atau
atau
atau
, yaitu
23
atau
Karena
atau
, maka
.
Lampiran 3 Penentuan Nilai Eigen Model
Misalkan
(
maka diperoleh matriks Jacobi berikut:
(
(
)
Pelinearan titik tetap
Substitusikan titik tetap
ke dalam matriks Jacobi di atas, diperoleh
(
Nilai eigen dan vektor eigen ditentukan berdasarkan persamaan karakteristik
(
, yaitu
|
|
|
|
Karena parameter dan diasumsikan bernilai positif, maka
Nilai eigen yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa kestabilan
karena kedua nilai eigen berbeda tanda (Strogatz 1994).
Pelinearan titik tetap
Substitusikan titik tetap ke dalam matriks Jacobi di atas, diperoleh
dan
.
bersifat sadel
24
Nilai eigen dan vektor eigen ditentukan berdasarkan persamaan karakteristik
(
, yaitu
|
|
|
|
Karena parameter
diasumsikan bernilai positif, maka
bergantung pada nilai parameter
dan
yang digunakan. Jika
maka titik tetap
bersifat sadel, dan bersifat simpul stabil jika
(Strogatz 1994).
dan
,
Pelinearan titik tetap
Misalkan
dan
Substitusikan titik tetap
ke dalam matriks Jacobi diperoleh
(
)
Nilai eigen dan vektor eigen ditentukan berdasarkan persamaan karakteristik
(
, yaitu
|
|
|
(
|
(
(
25
√
dimana
Lampiran 4 Penyederhanaan Model dengan Metode Linearisasi
Tinjau persamaan (7) berikut:
Berikut persamaan (7) akan dilinearisasi dengan memisalkan variabel berikut:
Dengan
dan
,
pertama dari persamaan (7) berikut:
Jika variabel
dan
parameter pertubasi. Tinjau persamaan
disubstitusikan kedalam persamaan pertama, maka diperoleh
26
Dengan
dan
dari persamaan (7) berikut:
Jika variabel
dan
,
parameter pertubasi. Tinjau persamaan kedua
disubstitusikan kedalam persamaan kedua, maka diperoleh
Lampiran 5 Kode Program Gambar 1
27
Lampiran 6 Kode Program Gambar 2
Lampiran 7 Kode Program Gambar 3
28
Lampiran 8 Kode Program Gambar 4
Lampiran 9 Kode Program Gambar 5
29
Lampiran 10 Kode Program Gambar 6
Lampiran 11 Kode Gambar 7(a)
30
Lampiran 12 Kode Program Gambar 7(b)
Lampiran 13 Kode Program Gambar (8)
Bidang solusi
31
Bidang solusi
32
Lampiran 14 Kode Program Gambar 9
Bidang solusi
Bidang solusi
33
34
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 30 April 1992 dari ayah Muhamad
Soleh (alm) dan ibu Nyai. Penulis adalah putri keempat dari empat bersaudara.
Pada tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Bogor dan pada tahun yang
sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan mendapatkan beasiswa
Bidikmisi.
Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus Gumatika
sebagai Staf Math Event periode 2011-2012 dan Staf Biro Kesekertariatan periode
2012-2013. Penulis pernah menjadi pengajar KUMON dan bimbel untuk SMA
pada tahun 2012-2013. Bulan Juni-Juli 2013 penulis mengikuti IPB Goes to Field
2013 dengan Tema Pengembangan Agrowisata Durian di Kabupaten
Banjarnegara yang diselenggarakan oleh Lembaga Penelitian dan Pengabdian
Masyarakat (LPPM) IPB. Bulan Juli-Agustus 2013 penulis melaksanakan Praktek
Kerja Lapang di Departemen Pengembangan Akses Keuangan dan UMKM, Bank
Indonesia. Penulis juga pernah menjadi panitia Seminar Rapat Tahunan 2014 yang
diselenggarakan oleh FMIPA IPB.
HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN
PEMANENAN KONSTAN
LILIS SAODAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan Model
Mangsa-Pemangsa Hutchinson dengan Waktu Tunda dan Pemanenan Konstan
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Lilis Saodah
NIM G54100068
ABSTRAK
LILIS SAODAH. Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Hutchinson
dengan Waktu Tunda dan Upaya Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI
KUSNANTO dan JAHARUDDIN.
Model dalam tulisan ini disusun dari modifikasi model Lotka-Volterra
dengan mempertimbangkan waktu tunda terhadap populasi mangsa dan sebuah
parameter pemanenan konstan pada kedua populasi mangsa-pemangsa. Analisis
kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda.
Untuk model tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap yang bersifat sadel dan
simpul/spiral stabil, sedangkan titik tetap pada model dengan waktu tunda terdapat
titik tetap yang bersifat sadel atau spiral stabil/tidak stabil. Untuk model dengan
waktu tunda, semakin besar nilai waktu tunda mengakibatkan munculnya limit
cycle dan terjadi bifurkasi Hopf. Dengan mengupayakan nilai pemanenan jatuh
pada selang tertentu, maka kestabilan sistem dapat dipertahankan.
Kata kunci: model Lotka-Volterra, waktu tunda, pemanenan, bifurkasi Hopf,
mangsa-pemangsa
ABSTRACT
LILIS SAODAH. Stability Analysis of Hutchinson Prey-Predator Population
Model with Time Delay and Constant Effort of Harvesting. Supervised by ALI
KUSNANTO and JAHARUDDIN.
In this paper we discussed a modified Lotka-Volterra model by
considering a time delay to prey population and a constant harvesting parameter in
both prey-predator populations. We performed stability analyzes to both models
without time delay and with time delay. For one without time delay we obtained
three equilibrium points which are saddle and nodes/spiral stable, while model
with time delay possesses equilibrium point which is either saddle or spiral
stable/unstable. In addition to the model with time delay, increasing value of time
delay resulted in the appearance of a limit-cycle and Hopf bifurcation. By
maintaining the value of harvesting parameter on a certain interval, then the
stabilty of the system can be sustained.
Keywords: Lotka-Volterrra model, time delay, harvesting, Hopf bifurcation, preypredator
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA
HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN
PEMANENAN KONSTAN
LILIS SAODAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan karya ilmiah dengan judul
Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Hutchinson dengan Waktu Tunda
dan Pemanenan Konstan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Mama, kakak serta seluruh keluarga
saya atas segala doa dan dukungan yang telah diberikan selama menulis karya
ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga saya sampaikan kepada Bapak Drs Ali
Kusnanto, MSi selaku pembimbing skripsi pertama, Bapak Dr Jaharuddin, MS
selaku pembimbing skripsi kedua dan Bapak Drs Siswandi, MSi selaku penguji.
Tidak lupa juga untuk teman-teman seperjuangan Matematika 47 dan kakakkakak Matematika 46 atas bantuan dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Lilis Saodah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Model Matematika
1 Model Tanpa Waktu Tunda (
5
)
6
Penentuan Titik Tetap
6
Penentuan Nilai Eigen dengan Menggunakan Analisis Kestabilan
7
2 Model dengan Waktu Tunda (
)
9
Bifurkasi Hopf
11
Upaya Pemanenan
13
Simulasi
14
SIMPULAN
20
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
34
DAFTAR TABEL
1 Kondisi kestabilan titik tetap pada
2 Kondisi kestabilan titik tetap
3 Nilai parameter
4 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi 1
5 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 2
6 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 3
7 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 4
8 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 5
9 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 6
10 Pemilihan nilai waktu tunda
8
9
14
14
15
15
16
17
17
18
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 1
2 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 2
3 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 3
4 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 4
5 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 5
6 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 6
7 Bidang fase dengan waktu tunda (a)
(b)
8 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
9 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
15
15
16
17
17
18
19
19
19
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan titik tetap model
2 Batas nilai upaya pemanenan
3 Penentuan Nilai Eigen Model
4 Penyederhanaan Model dengan Metode Linearisasi
5 Kode Program Gambar 1
6 Kode Program Gambar 2
7 Kode Program Gambar 3
8 Kode Program Gambar 4
9 Kode Program Gambar 5
10 Kode Program Gambar 6
11 Kode Gambar 7(a)
12 Kode Program Gambar 7(b)
13 Kode Program Gambar (8)
14 Kode Program Gambar 9
22
22
23
25
26
27
27
28
28
29
29
30
30
32
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tidak ada makhluk hidup yang dapat hidup terisolasi atau hidup tersendiri.
Setiap makhluk hidup pasti akan berinteraksi dengan makhluk hidup
lainnya. Seiring dengan interaksi tersebut terdapat rangkaian peristiwa memakan
(predator) dan dimakan (prey) yang menjadikan ekosistem tetap seimbang.
Predator merupakan spesies pemangsa, sedangkan prey adalah spesies yang
dimangsa. Peristiwa ini memberikan ide untuk membuat model matematika,
sehingga dapat menentukan perbandingan pemangsa dengan mangsa agar
ekosistem tetap seimbang.
Pada dasarnya, pertumbuhan makhluk hidup pada suatu populasi
merupakan proses yang berlangsung secara diskret, di mana pengukurannya
dilakukan setiap selang waktu tertentu seperti tiap satu minggu, satu bulan, atau
satu tahun. Untuk menggambarkan proses tersebut secara matematis, digunakan
persamaan diferensial yang dapat menggambarkan hubungan ketergantungan
antara jumlah populasi pada waktu yang berturut-turut. Sebagian besar model
perkembangan dan pertumbuhan makhluk hidup mengikuti kaidah yang berkaitan
dengan bentuk-bentuk dari fungsi taklinear, salah satu contoh model pertumbuhan
ini adalah model pertumbuhan logistik, yaitu model pertumbuhan yang
memperhitungkan faktor logistik berupa ketersediaan makanan dan ruang hidup.
Salah satu model mangsa-pemangsa yang paling terkenal dinamai setelah
dua ilmuwan, Alfred Lotka dan Vito Volterra memperkenalkannya pada tahun
1926. Asumsi dasar dari model mangsa-pemangsa Lotka-Volterra adalah bahwa
setiap populasi mengalami pertumbuhan atau peluruhan eksponensial. Kemudian
model mangsa-pemangsa Lotka-Volterra dimodifikasi dengan menambahkan
asumsi jumlah populasi juga dipengaruhi oleh adanya tingkat kompetisi di dalam
populasi tersebut (Olinick 2006).
Kemudian untuk membangun model yang lebih realistis Baretta dan Kuang
(1996) dan Ruan (2009) menambahkan waktu tunda untuk jangka respons
pemangsa terhadap mangsa. Dalam hal ini diasumsikan bahwa penggunaan waktu
tunda pada sistem ini disebabkan karena adanya waktu yang diperlukan populasi
pemangsa dalam memangsa mangsanya.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang analisis kestabilan model
mangsa-pemangsa dengan perlambatan. Di dalam model mangsa-pemangsa
dengan perlambatan dipertimbangkan waktu tunda dari mangsa pada saat
memasuki masa sebelum melahirkan. Dengan adanya waktu perlambatan inilah
menyebabkan titik kesetimbangan model tidak stabil. Selanjutnya dibahas pula
upaya pemanenan optimal yang digunakan dalam mengeksploitasi populasi.
Pengaruh pemanenan dengan upaya konstan menurut Holmberg (1995) ditunjukan
bahwa tangkapan dengan kuota konstan dapat mengakibatkan osilasi serta
menaikkan resiko eksploitasi yang berlebihan.
2
Tujuan
1.
2.
3.
4.
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
merekonstruksi model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda dan
pemanenan konstan yang dituliskan oleh Toaha et al. (2006),
menganalisis kestabilan model mangsa-pemangsa dengan dan tanpa waktu
tunda serta pemanenan konstan,
mempelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, dan,
mempelajari keberadaan bifurkasi Hopf pada model mangsa-pemangsa.
LANDASAN TEORI
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai
̇
dengan
(1)
] dan
[
[
].
Jika
fungsi tak linear pada
disebut sistem persamaan diferensial tak linear.
, maka sistem persamaan (1)
Diberikan sistem persamaan diferensial taklinear
Titik ̅
̅
maka
̇
.
(2)
disebut titik tetap atau titik kritis atau titik kesetimbangan, jika
. Jika
(
yaitu matriks yang berukuran
[
]
[
]
(3)
dan disebut matriks Jacobian.
Sistem linear ̇
disebut linearisasi sistem (2) di sekitar titik ̅ . Misal
adalah matriks
. Vektor taknol di dalam
dinamakan vektor eigen dari ,
jika
adalah kelipatan skalar dari , yakni
3
untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen matriks
dituliskan kembali
sebagai
yang berukuran
dan
, maka dapat
atau
dengan merupakan matriks identitas. Persamaan di atas akan mempunyai
penyelesaian taknol (tak trivial) jika dan hanya jika
.
(4)
Persamaan (4) dinamakan persamaan karakteristik
(Anton 1987).
Misalkan suatu SPD memiliki bentuk seperti berikut:
̇
̇
sehingga matriks koefisien dari SPD di atas ialah
Berdasarkan persamaan
, maka persamaan karakteristiknya menjadi
sedemikian sehingga diperoleh persamaan
dengan
dan
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah
√
4
Nilai eigen
akan memenuhi kondisi:
0
o Jika
, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda
sehingga titik tetap merupakan titik sadel.
o Jika 0 , maka nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan tanda yang
sama (titik tetap berupa simpul) atau bilangan kompleks conjugate (titik
2
2
tetap berupa spiral atau center). Jika 4 0 dan 4 0 , maka
2
spiral. Persamaan parabola 4 0 adalah garis batas antara nodes
dan spiral; star nodes dan degenerate nodes berada pada parabola ini.
Stabilitas simpul dan spiral ditentukan oleh τ. Ketika τ 0, kedua nilai
eigen memiliki tanda yang negatif, sehingga titik tetap stabil. Spiral dan
simpul takstabil memiliki τ 0. Titik stabil netral atau center berada pada
garis τ = 0, dimana nilai eigen adalah imajiner murni.
o Jika = 0, setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol. Maka
titik tetap merupakan titik terisolasi (Strogatz 1994).
Berdasarkan persamaan karakteristik, kriteria Routh-Hurwitz dapat
digunakan untuk menentukan kestabilan suatu titik kesetimbangan. Secara umum
menurut Fisher (1990), misalkan a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli dan aj = 0 jika j
> k dengan persamaan karakteristik berupa polinomial berikut:
(5)
Nilai eigen dari matriks akan mempunyai bagian real negatif jika dan
hanya jika determinan matriks M n x n untuk n = 1,2,3,...,k positif dengan
[
]
Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian riil yang
negatif (titik kesetimbangan ̅ stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua
matriks Hourwitz positif, yaitu
, untuk
.
Menurut kriteria Routh-Hourwitz di atas, untuk suatu nilai n (untuk n =
2,3) disebutkan bahwa titik kesetimbangan ̅ stabil jika dan hanya jika
n = 2; a1 > 0, a2 > 0,
n = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3,
Khusus untuk kasus n = 2, bagian real nilai eigen dari persamaan karakteristik
berikut:
5
adalah negatif jika dan hanya jika A positif, B positif sehingga AB > 0 (Fisher
1990).
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari
suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter
sistem tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan
jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik.
Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu
jenis bifurkasi, yaitu bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari
kesetimbangan dalam sistem dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial
biasa, saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang
nilai eigen murni imajiner. Bifurkasi mengakibatkan limit cycle menjadi stabil
atau tidak stabil. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang terisolasi.
Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Matematika
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model Lotka Voltera mangsapemangsa dengan mengasumsikan model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
yang diambil dari model waktu tunda logistik Hutchinson’s oleh May (1974)
dengan sebuah konstanta pemanenan (Toaha et al. 2006). Berikut ini adalah
model Lotka-Volterra dengan waktu tunda:
(6)
di mana
, dan konstanta
, dengan
: banyaknya populasi mangsa pada waktu t,
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu t,
: laju instrinsik dari mangsa,
: daya dukung lingkungan untuk populasi mangsa dalam ketiadaan
pemangsanya,
: waktu tunda atau perlambatan,
: laju instrinsik dari pemangsa,
: tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi mangsa,
: tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi pemangsa,
: koefisien “kemudahan penangkapan” populasi mangsa,
6
: koefisien “kemudahan penangkapan” populasi pemangsa,
: upaya pemanenan populasi mangsa,
: upaya pemanenan populasi pemangsa.
Untuk menganalisis model, akan diasumsikan pemanenan populasi
mangsa-pemangsa konstan sehingga diasumsikan
dengan positif . Sistem persamaan (6) menjadi:
(7)
dengan skala parameter yang digunakan adalah
Selanjutnya, diasumsikan
yang merepresentasikan laju pertumbuhan
instrinsik populasi pemangsa lebih besar dibanding upaya pemanenannya.
1
Model tanpa waktu tunda (
Penentuan Titik Tetap Model
Titik tetap didapat dari
diperoleh
)
dan
, sehingga dari persamaan (7)
(
(bukti lampiran 1)
Terdapat tiga titik tetap yang mungkin, yaitu
.
Agar titik tetap
memiliki komponen-komponen yang bernilai positif,
maka
. Pada titik tetap
, batasan upaya pemanenan yang
dinyatakan oleh diberikan sebagai berikut
(bukti lampiran 2)
7
Penentuan Nilai Eigen dengan menggunakan Analisis Kestabilan
Analisis Kestabilan dilakukan dengan mencari nilai eigen pada masingmasing titik tetap. Nilai eigen dilakukan dengan menggunakan matriks Jacobi dari
persamaan (7), yaitu
(
Jika titik tetap
diperoleh matriks Jacobi
disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi, maka
Penyelesaian persamaan karakteristik
eigen untuk matriks
, yaitu
(
(
, memberikan nilai
Karena semua parameter diasumsikan bernilai positif, maka
dan
Jadi, kedua nilai eigen berbeda tanda sehingga titik tetap merupakan titik sadel.
Jika titik tetap
diperoleh
.
disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi, maka
(
Penyelesaian persamaan karakteristik
eigen untuk matriks
, yaitu
(
, memberikan nilai
Karena semua parameter diasumsikan bernilai positif, maka
dan
bergantung pada nilai parameter
dan yang digunakan. Jika
,
maka kestabilan titik tetap
bersifat sadel, dan bersifat simpul stabil, jika
.
Jika titik tetap
disubstitusikan ke matriks Jacobian, maka diperoleh
(
)
8
Jika persamaan karakteristik dari matriks jacobian digunakan, maka diperoleh
dengan
. Jadi nilai eigen titik
tetap
, yaitu
√
atau
√
(8)
(bukti lampiran 3)
Berdasarkan nilai eigen pada persamaan
kemungkinan, yaitu:
i)
(8) dengan
terdapat 2
sehingga
Dalam hal ini titik tetap bersifat simpul stabil.
sehingga
ii)
Dalam hal ini titik tetap bersifat spiral stabil.
Agar titik tetap
stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga
√(
Selanjutnya, titik tetap
atau
dimana
.
dan
, maka
sehingga
. Jadi diperoleh nilai eigen yang negatif, maka titik tetap
stabil. Jenis kestabilan titik tetap didasarkan pada kedua kemungkinan di atas
dan diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap pada
Kondisi
Simpul Stabil
Spiral Stabil
9
Jenis kestabilan semua titik tetap berdasarkan kondisi nilai eigen dapat dilihat
pada Tabel 2.
Tabel 2 Kondisi kestabilan titik tetap
Sadel
Sadel
Sadel
Simpul Stabil
Menurut Ho dan Ou (2002), jika
dan
Stabil
, maka semua
nilai eigen pada persamaan (8) bernilai negatif, yaitu
√
sehingga titik tetap
2
bersifat stabil asimtotik.
Model dengan waktu tunda (
)
Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada
persamaan (7) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di titik
tetap . Untuk itu dimisalkan
Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7) dan
menyederhanakannya, maka diperoleh
(
(bukti lampiran 4)
Analisis kestabilan di titik tetap pada model (9) ekivalen dengan analisis
kestabilan dari titik tetap model persamaan (7) setelah dilinearisasi. Berikut ini
akan ditentukan persamaan karakteristik untuk model persamaan (9). Jika
persamaan pertama pada persamaan (9) diturunkan terhadap
kemudian
menggunakan persamaan kedua pada persamaan (9), maka diperoleh
10
Jika penyelesaian
digunakan, maka diperoleh
(10)
dengan
, dan
. Berdasarkan persamaan (10) dapat
disimpulkan bahwa matriks Jacobi dari persamaan (7) di titik tetap
berbentuk
(
Model mangsa-pemangsa untuk waktu tunda
pada persamaan (7)
titik tetapnya bersifat stabil, sehingga nilai eigen dari matriks Jacobi dimisalkan
dengan
dan
(
. Untuk memperoleh nilai ,
maka nilai eigen
disubstitusikan ke dalam persamaan (10) sehingga
didapatkan persamaan karakteristik
atau
(11)
Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner pada persamaan (11)
diperoleh
(12)
Berdasarkan persamaan (12) diperoleh
sehingga
atau
(13)
dengan
adalah nilai waktut tunda pada jarak
.
Selanjutnya persamaan (12) dikuadratkan, maka diperoleh
(14)
11
Jika kedua persamaan pada persamaan (14) dijumlahkan, maka diperoleh
persamaan polinomial untuk sebagai berikut
(15)
dengan akar-akar penyelesaian berbentuk:
√
(16)
Dari persamaan (16), didapatkan solusi positif pada
. Selanjutnya dapat
ditemukan nilai
dengan mensubstitusikan
ke dalam persamaan (13).
Bifurkasi Hopf
Teorema 1 (Kar 2003)
Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif
sedemikian sehingga
berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika
titik tetap bersifat stabil dan
titik tetap bersifat tidak stabil, maka sistem akan terjadi
bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk
,
.
Berdasarkan persamaan (7), titik tetap
stabil untuk
. Untuk
membuktikan Teorema 1 Kar (2004) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi
transversabilitas, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap
dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah
|
dan
|
(17)
Langkah pertama untuk memenuhi Teorema 1 Kar (2004), persamaan (10)
diturunkan terhadap
atau
(
(18)
, lalu disubstitusikan
Dari persamaan karakteristik (10), didapatkan
pada persamaan (18) didapatkan
. Oleh karena itu,
(
12
[
]
[
(
Dari persamaan (15), diperoleh
(
Untuk nilai
]
(
(
, sehingga
(
, diperoleh
(
√
sehingga terpenuhi bahwa
|
Untuk nilai
, diperoleh
(
√
sehingga terpenuhi bahwa
|
Oleh karena itu, kondisi transversabilitas terpenuhi. Jadi,
merupakan
perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (9) sehingga terjadi bifurkasi
Hopf.
13
Upaya Pemanenan
Teorema 2 (Toaha 2008)
Diberikan
dan titik tetap pada model (7) bersifat stabil, jika upaya
pemanenan
memenuhi
dimana
dan
adalah
himpunan
dengan
Untuk membuktikan Teorema 2, misalkan titik tetap
(7) berada pada kuadran pertama dengan asumsi
Teorema 1 (Kar 2003), titik tetap
stabil ketika
atau
atau
Jadi
atau
atau
sehingga
.
√
Dari persamaan (14) diperoleh
atau
pada persamaan
. Berdasarkan
.
√
√
(
atau
Parameter
dan
bergantung pada
sehingga mempunyai nilai
pertaksamaan yang dapat diselesaikan oleh upaya pemanenan
atau dapat
berbentuk
sehingga titik tetap
stabil ketika upaya pemanenan
memenuhi
.
14
Simulasi
Dinamika populasi mangsa-pemangsa ini digambarkan oleh kurva dalam
bidang fase dan bidang solusi untuk memudahkan kita melihat kestabilan populasi
mangsa-pemangsa
pada waktu t. Penyelesaian numerik dilakukan dengan
cara mensubstitusikan nilai parameter yang ditentukan berdasarkan analisis
kedalam persamaan model matematika mangsa-pemangsa Lotka-Volterra dengan
menyesuaikan kondisi dinamika populasi mangsa-pemangsa tanpa dan dengan
waktu tunda serta upaya pemanenan.
Dinamika Populasi Mangsa-pemangsa Tanpa Waktu Tunda
Terdapat dua kasus dalam dinamika populasi mangsa-pemangsa tanpa
waktu tunda dimana nilai parameter untuk setiap simulasi yang digunakan dapat
dilihat pada Tabel 3, dengan parameter lain yang bernilai tetap dalam setiap
simulasi yaitu:
dengan nilai awal
dan
.
Simulasi
Tabel 3 Nilai parameter
2
3
4
0. 1
0.1
0.001
0.01
0.01
0.2
0.1
0.001
0.1
1
0.1
0.2
0.1
5
0.001
0.0001
0.1
6
0.001
0.2
0.001
Simulasi-simulasi diatas akan memperlihatkan pengaruh tingkat interaksi
mangsa-pemangsa (laju penyerangan) dan upaya pemanenan dengan memenuhi
kasus 1:
dan kasus 2:
. Kestabilan titik tetap setiap simulasi
dapat dilihat sebagai berikut
Tabel 4 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan untuk simulasi 1
Kasus 1
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
100
0
-1
9
Sadel
10
4.5
-0.5+0.947364766i
-0.5-0.947364766i
Spiral Stabil
15
T3
T1
T2
Gambar 1 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 1
Kondisi
Tabel 5 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 2
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
100
0
-1
9
Sadel
10
90
-0.05+0.947364766i
-0.05-0.947364766i
Spiral stabil
T3
T2
T1
Gambar 2 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 2
Kondisi
Tabel 6 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 3
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1.099
-0.901
Sadel
109.9
0
-1.099
10.089
Sadel
9.01
100.89
-0.04505+0.952359909i
-0.04505-0.952359909i
Spiral stabil
16
T3
T1
T2
Gambar 3 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 3
Berdasarkan kasus 1:
, ilustrasi bidang fase pada ketiga simulasi
bersifat spiral stabil menuju titik tetap . Sedangkan berdasarkan gambar bidang
solusi, ketika tingkat interaksi mangsa ( lebih besar dibanding tingkat interaksi
pemangsa ( mengakibatkan kedua populasi mangsa berosilasi.
Pada Tabel 4 menunjukan ketika nilai parameter tingkat interaksi mangsa
( lebih besar dibandingkan parameter tingkat interaksi pemangsa ( , terjadi
osilasi antara kedua populasi ditunjukan pada gambar 1. Percepatan populasi
pemangsa lebih cepat dibandingkan populasi mangsa. Sedangkan pada Tabel 5,
ketika parameter tingkat interaksi pemangsa
lebih kecil dibanding parameter
tingkat interaksi pemangsa ( , osilasi populasi mangsa akan semakin kecil
sehinga lebih cepat menuju kestabilan titik tetap. Hal ini ditunjukan pada gambar
2, kedua populasi tidak akan mengalami kepunahan dalam jangka panjang. Selain
itu, pada Tabel 6 ketika nilai parameter upaya pemanenan diperkecil keadaan
populasi akan sama dengan upaya pemanenan yang lebih besar pada gambar 3,
sehingga upaya pemanenan tidak berpengaruh terhadap pertumbuhan populasi
namun berpengaruh pada kestabilan populasi sehingga pemenanan bersifat
konstan.
Selanjutnya pengaruh tingkat interaksi mangsa-pemangsa dan upaya
pemanenan dengan memenuhi kondisi
. Nilai diperkecil untuk melihat
pengaruhnya pada simulasi. Kestabilan titik tetap yang diperoleh dapat dilihat
pada Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9.
Kondisi
Tabel 7 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 4
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
100
0
-1
-0.9
Stabil
1000
-45
0.830951894
-10.83
-
17
T1
T2
Gambar 4 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 4
Kondisi
Tabel 8 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 5
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1
-1
Sadel
T1
100
0
-1
-0.9
Stabil
1000
-90000
0.830951894
-10.83
-
T2
Gambar 5 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 5
Kondisi
Tabel 9 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan simulasi 6
Titik Tetap
Jenis kestabilan
0
0
1.099
-0.901
Sadel
109.9
0
-1.099
-0.7911
Stabil
901
39.555
-0.731681774
9.741681774
-
18
T1
T2
Gambar 6 Bidang fase dan bidang solusi simulasi 6
Berdasarkan kasus 2:
, diberikan ilustrasi bidang fase pada titik
tetap bernilai negatif. Gambar 4, Gambar 5 , dan Gambar 6 untuk simulai kasus
ini memperlihatkan keadaan kedua populasi memiliki kesenjangan. Populasi
mangsa mengalami pertumbuhan lalu mengalami kestabilan dalam jangka waktu
panjang sedangkan populasi pemangsa dalam jangka panjang akan mengalami
kepunahan. Hal ini disebabkan karena tingkat interaksi pemangsa dengan populasi
mangsa semakin kecil sehingga sumber makanan yang didapat semakin kecil pula.
Oleh karena itu, populasi pemangsa akan mengalami laju kematian karena tingkat
kelaparan yang tinggi sehingga populasi punah dalam jangka panjang. Upaya
pemenanan dalam kasus ini tidak mempengaruhi pertumbuhan kedua populasi
sehingga pemanenan bersifat konstan.
Dinamika Populasi Mangsa-pemangsa dengan Waktu Tunda
Pada kasus ini, nilai parameter yang digunakan sama dengan tanpa waktu
tunda yaitu
, serta nilai
awal
dan
. Selanjutkan, nilai kondisi
. Untuk
memenuhi teorema maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda pada Tabel 10
yang sesuai dengan mensubstitusikan ke persamaan .
Tabel 10 Pemilihan nilai waktu tunda
0
1
2
3
4
5
1.57080
7.85398
14.13717
20.42035
26.70354
32.98672
Menurut teorema Kar, titik tetap
5.23599
12.21730
19.19862
26.17994
33.16126
40.14257
dikatakan stabil ketika
.
Selanjutnya, titik tetap
dikatakan tidak stabil ketika
19
,
sehingga titik tetap
merupakan bifurkasi Hopf.
(a)
Gambar 7 Bidang fase dengan waktu tunda (a)
(b)
(b)
Gambar 8 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
Pada gambar 7 menunjukkan bidang fase terjadi perubahan kestabilan
untuk
bersifat stabil dan
bersifat tidak stabil sehingga menurut
teorema terjadi bifurkasi Hopf. Gambar 8 memperlihatkan kedua populasi
berosilasi sehingga terjadi penurunan jumlah populasi karena adanya
pertumbuhan mangsa yang mengalami penundaan
pada masa kelahiran
sehingga berkurangnya populasi mangsa sebagai sumber makanan populasi
pemangsa. Namun kedua populasi akan stabil dan mendekati titik
keseimbangannya.
(a)
(b)
Gambar 9 Bidang solusi populasi mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
Gambar 9 bidang solusi saat
menunjukkan kedua populasi terjadi
osilasi yang semakin besar sehingga populasi mengalami kenaikan jumlah
20
populasi karena adanya laju kelahiran mangsa yang ditentukan oleh tingkat
interaksi pemangsa. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam
pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan,
dalam hal ini dapat mengakibatkan ledakan populasi dan juga penuruan populasi
hingga akhirnya mengalami kepunahan. Namun dalam kasus ini populasi akan
menjauhi titik keseimbangannya sehingga kedua populasi akan terus berosilasi.
Dinamika Populasi Mangsa-pemangsa dengan Upaya Pemanenan
Pada kasus ini, nilai parameter yang digunakan adalah
dengan asumsi nilai waktu tunda
.
Diperoleh titik tetap
, lalu didapatkan nilai
dan diperoleh
Dari persamaan fungsi tersebut didapatkan solusi positif yaitu
.
Berdasarkan teorema 2, solusi diatas mengakibatkan titik tetap bersifat stabil
dengan nilai waktu tunda
ketika nilai upaya pemanenan berada pada
.
SIMPULAN
Model dalam tulisan ini disusun dari modifikasi model Lotka-Volterra
dengan mempertimbangkan waktu tunda terhadap populasi mangsa dan sebuah
parameter pemanenan konstan pada kedua populasi mangsa-pemangsa. Analisis
kestabilan dilakukan terhadap model tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda.
Untuk model tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap. Kestabilan titik tetap
pertama selalu bersifat sadel, sedangkan titik tetap kedua akan bersifat sadel pada
kondisi
dan bersifat simpul stabil pada kondisi
. Hal ini dapat
disimpulkan, semakin kecil tingkat interaksi pemangsa terhadap mangsa
maka akan mempengaruhi nilai titik tetap kedua. Dan untuk titik tetap ketiga akan
bersifat simpul/spiral stabil bergantung pada kondisi yang diberikan. Model
dengan waktu tunda titik tetap yang mempengaruhi hanya titik tetap ketiga, yaitu
bersifat sadel dan spiral stabil/tidak stabil.
Populasi mangsa-pemangsa pada model juga dipengaruhi oleh adanya
waktu tunda terhadap mangsa dan upaya pemanenan. Waktu tunda ini
mempengaruhi masa sebelum kelahiran populasi mangsa sehingga akan
mengalami perubahan kestabilan dari stabil ke tidak stabil. Semakin besar nilai
waktu tunda mengakibatkan munculnya limit cycle sehingga model akan terjadi
bifurkasi Hopf. Dengan mengupayakan nilai pemanenan jatuh pada selang
tertentu, maka kestabilan sistem dapat dipertahankan.
21
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1987.Aljabar Linear Elementer. Jakarta(ID): Erlangga.
Baretta E, Kuang Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed
Predator-Prey System. Journal Mathematics Analysis 204:840-853.
Cushing JM. 1977. Integrodifferential Equations and Delay Models in
Population Dynamics. Heidelberg: Springer-Verlag.
Fisher SD. 1990. Complex Variables. California (US): Wadsworth & Brooks.
Ho CP, Ou YL. 2002. Influence of time delay on local stability for a predatorprey system. Journal of Tunghai Sciences 4:47:62.
Holmberg J. 1995. Socio-ecological Principles and Indicators for sustainability,
PhD Thesis, Goteborg University, Sweden.
Kar TK. 2003. Harvesting in a Two-prey One Predator Fishery: A Bioeconomic
Model. J. ANZIAM 45:443-456.
Olinick M. 2006. Modelling the Predator-Prey Relationship. MAA Session on
Environmental Mathematics.
Ruan S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete
Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusets (US): Addison- Wesley
Publishing Company.
Toaha S, Hasan MA, Ismail F, June LW. 2008. Stability Analysis and
Maximum Profit of Predator-Prey Population Model with Time Delay and
Constant Effort of Harvesting. Malaysian Journal of Mathematical
Sciences 2(2):147-159.
22
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan titik tetap model
Titik tetap persamaan (7) berdasarkan
dan
(
atau
dan
dan
Jadi, titik tetap
.
dan
(tidak memenuhi)
dan
atau
atau
Jadi, titik tetap
atau
.
dan
atau
atau
atau
Jadi, titik tetap
atau
.
Lampiran 2 Batas nilai upaya pemanenan
Berdasarkan dari titik tetap
atau
, diperoleh
atau
atau
atau
atau
, yaitu
23
atau
Karena
atau
, maka
.
Lampiran 3 Penentuan Nilai Eigen Model
Misalkan
(
maka diperoleh matriks Jacobi berikut:
(
(
)
Pelinearan titik tetap
Substitusikan titik tetap
ke dalam matriks Jacobi di atas, diperoleh
(
Nilai eigen dan vektor eigen ditentukan berdasarkan persamaan karakteristik
(
, yaitu
|
|
|
|
Karena parameter dan diasumsikan bernilai positif, maka
Nilai eigen yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa kestabilan
karena kedua nilai eigen berbeda tanda (Strogatz 1994).
Pelinearan titik tetap
Substitusikan titik tetap ke dalam matriks Jacobi di atas, diperoleh
dan
.
bersifat sadel
24
Nilai eigen dan vektor eigen ditentukan berdasarkan persamaan karakteristik
(
, yaitu
|
|
|
|
Karena parameter
diasumsikan bernilai positif, maka
bergantung pada nilai parameter
dan
yang digunakan. Jika
maka titik tetap
bersifat sadel, dan bersifat simpul stabil jika
(Strogatz 1994).
dan
,
Pelinearan titik tetap
Misalkan
dan
Substitusikan titik tetap
ke dalam matriks Jacobi diperoleh
(
)
Nilai eigen dan vektor eigen ditentukan berdasarkan persamaan karakteristik
(
, yaitu
|
|
|
(
|
(
(
25
√
dimana
Lampiran 4 Penyederhanaan Model dengan Metode Linearisasi
Tinjau persamaan (7) berikut:
Berikut persamaan (7) akan dilinearisasi dengan memisalkan variabel berikut:
Dengan
dan
,
pertama dari persamaan (7) berikut:
Jika variabel
dan
parameter pertubasi. Tinjau persamaan
disubstitusikan kedalam persamaan pertama, maka diperoleh
26
Dengan
dan
dari persamaan (7) berikut:
Jika variabel
dan
,
parameter pertubasi. Tinjau persamaan kedua
disubstitusikan kedalam persamaan kedua, maka diperoleh
Lampiran 5 Kode Program Gambar 1
27
Lampiran 6 Kode Program Gambar 2
Lampiran 7 Kode Program Gambar 3
28
Lampiran 8 Kode Program Gambar 4
Lampiran 9 Kode Program Gambar 5
29
Lampiran 10 Kode Program Gambar 6
Lampiran 11 Kode Gambar 7(a)
30
Lampiran 12 Kode Program Gambar 7(b)
Lampiran 13 Kode Program Gambar (8)
Bidang solusi
31
Bidang solusi
32
Lampiran 14 Kode Program Gambar 9
Bidang solusi
Bidang solusi
33
34
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 30 April 1992 dari ayah Muhamad
Soleh (alm) dan ibu Nyai. Penulis adalah putri keempat dari empat bersaudara.
Pada tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Bogor dan pada tahun yang
sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan mendapatkan beasiswa
Bidikmisi.
Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus Gumatika
sebagai Staf Math Event periode 2011-2012 dan Staf Biro Kesekertariatan periode
2012-2013. Penulis pernah menjadi pengajar KUMON dan bimbel untuk SMA
pada tahun 2012-2013. Bulan Juni-Juli 2013 penulis mengikuti IPB Goes to Field
2013 dengan Tema Pengembangan Agrowisata Durian di Kabupaten
Banjarnegara yang diselenggarakan oleh Lembaga Penelitian dan Pengabdian
Masyarakat (LPPM) IPB. Bulan Juli-Agustus 2013 penulis melaksanakan Praktek
Kerja Lapang di Departemen Pengembangan Akses Keuangan dan UMKM, Bank
Indonesia. Penulis juga pernah menjadi panitia Seminar Rapat Tahunan 2014 yang
diselenggarakan oleh FMIPA IPB.