Bifurkasi hopf model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda
BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN
WAKTU TUNDA
NI NYOMAN SURYANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi Hopf Model
Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Ni Nyoman Suryani
NIM G54100076
ABSTRAK
NI NYOMAN SURYANI. Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan
Waktu Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan NGAKAN KOMANG
KUTHA ARDANA.
Dalam karya ilmiah ini dipelajari akibat dari waktu tunda dan tingkat
pemanenan konstan pada dinamika model mangsa-pemangsa Lotka-Volterra.
Dalam model ini, waktu tunda diberikan pada interaksi antar mangsa dari
persamaan mangsa. Selanjutnya mangsa dan pemangsa akan dipanen dengan
tingkat pemanenan yang konstan. Dalam model ini terdapat satu, dua, atau tiga
titik tetap. Ketika terdapat dua titik tetap positif, satu diantaranya stabil.
Perubahan parameter waktu tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda
kritis menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap stabil menjadi tidak stabil,
disertai adanya kemunculan limit cycle. Kemunculan limit cycle tersebut
menandakan bahwa model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan dan
waktu tunda terjadi Bifurkasi Hopf.
Kata kunci: mangsa-pemangsa, limit cycle, waktu tunda, tingkat pemanenan
konstan, bifurkasi Hopf.
ABSTRACT
NI NYOMAN SURYANI. Hopf Bifurcation of Prey-Predator Model with Time
Delay. Supervised by ALI KUSNANTO and NGAKAN KOMANG KUTHA
ARDANA.
In this paper the effects of time delay and constant rate of harvesting on the
dynamic of the Lotka-Volterra predator-prey model are studied. In this model,
time delay is given in prey interaction of the prey equation. Furthermore, prey and
predator are then harvested with constant rate of harvesting. In this model, the
number of equilibrium points can be one, two, or three equilibrium points. When
there exist two positive equilibrium points, one of them is stable. The change of
parameters of time delay from small to big from the limit critical value of time
delay causes stability switches from stable to unstable with existence of a limit
cycle. The presence of limit cycle shows that prey predator model with time delay
and constant rate of harvesting could lead to occurrence of Hopf bifurcation.
Keywords: prey-predator, limit cycle, time delay, constant rate of harvesting,
Hopf bifurcation.
BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN
WAKTU TUNDA
NI NYOMAN SURYANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda
Nama
: Ni Nyoman Suryani
NIM
: G54100076
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widhi Wasa atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Bifurkasi Hopf Model
Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada ayah, ibu, kakak, serta keluarga besar
atas doa, dukungan, dan kasih sayangnya. Ungkapan terima kasih juga penulis
sampaikan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan Bapak Ir Ngakan Komang
Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing, serta Dr Ir Endar H Nugrahani, MS yang
telah banyak memberi saran. Tak lupa juga ucapan terima kasih kepada seluruh
dosen dan staf Departemen Matematika IPB atas segala ilmu yang diberikan dan
bantuannya selama perkuliahan, serta teman-teman KMHD IPB 47, Brahmacarya
Bogor, Matematika 46 dan 47 yang telah banyak membantu dalam proses
penyusunan tugas akhir ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Ni Nyoman Suryani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Model Matematika
6
Analisis Model Tanpa Waktu Tunda
8
Simulasi Numerik Model Tanpa Waktu Tunda
9
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
9
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
10
Analisis Model dengan Waktu Tunda
11
Simulasi Numerik Model dengan Waktu Tunda
15
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
15
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
16
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3
17
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 4
18
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
RIWAYAT HIDUP
47
DAFTAR TABEL
1 Pemilihan nilai tingkat pemanenan konstan
2 Pemilihan nilai awal dan waktu tunda model
9
15
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang fase kasus 1
2 Bidang solusi kasus 1
3 Bidang fase kasus 2
4 Bidang solusi kasus 2
5 Bidang fase kasus 1
6 Bidang solusi mangsa kasus 1 (a) dan pemangsa kasus 1 (b)
7 Bidang fase kasus 2
8 Bidang solusi mangsa kasus 2 (a) dan pemangsa kasus 2 (b)
9 Bidang fase kasus 3
10 Bidang solusi mangsa kasus 3 (a) dan pemangsa kasus 3 (b)
11 Bidang fase kasus 4
12 Bidang solusi mangsa kasus 4 (a) dan pemangsa kasus 4 (b)
10
10
10
10
15
16
16
16
17
17
18
18
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Penentuan kondisi keberadaan titik tetap model (12)
Penentuan kestabilan titik tetap model (12)
Kode program simulasi numerik kasus 1 model (12)
Kode program simulasi numerik kasus 2 model (12)
Linearisasi model (11)
Penentuan persamaan karakteristik (14)
Penentuan akar persamaan karakteristik
(18)
Penentuan waktu tunda kritis
(21)
Penentuan turunan implisit persamaan karakteristik (14)
Penjabaran fungsi sign
Penjabaran kondisi transversalbilitas
Program plot bidang fase kasus 1 (Gambar 6 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 1 (Gambar 7 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 1 (Gambar 7 (b))
Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 8 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 2 (Gambar 9 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 9 (b))
Program plot bidang fase kasus 3 (Gambar 10 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 3 (Gambar 11 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 3 (Gambar 11 (b))
Program plot bidang fase kasus 4 (Gambar 11 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 4 (Gambar 12 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 4 (Gambar 12 (b))
21
22
23
24
25
26
28
29
31
32
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Peningkatan atau penurunan jumlah populasi makhluk hidup merupakan
fenomena yang sering terjadi di alam. Proses tersebut dapat dilihat dari proses
rantai makanan yang merupakan lintasan konsumsi makanan dan terdiri atas
beberapa spesies organisme. Bagian paling sederhana dari suatu rantai makanan
berupa interaksi dua spesies, yaitu interaksi antara spesies mangsa (prey) dan
pemangsa (predator). Kehadiran pemangsa tentunya akan memberikan pengaruh
terhadap jumlah mangsa, sehingga secara alami proses rantai makanan tersebut
mempengaruhi proses keseimbangan jumlah populasi di muka bumi.
Sistem interaksi mangsa-pemangsa dapat dimodelkan dalam suatu model
matematika. Dengan model mangsa-pemangsa, sebuah fenomena akan lebih
mudah dipahami dan dapat digunakan untuk memprediksikan populasi atau
spesies pada tahun tertentu. Pada tahun 1926, seorang ilmuan matematika Itali
bernama Vito Volterra untuk pertama kalinya menyusun sebuah persamaan
diferensial sederhana untuk menjelaskan dinamika populasi dua spesies yang
berinteraksi yaitu mangsa dan pemangsa. Model Lotka-Volterra merupakan salah
satu dari awal model mangsa-pemangsa dan dengan bentuk model yang cukup
sederhana menyebabkan model ini banyak digunakan sebagai dasar
pengembangan model yang lebih realistis. Dari waktu ke waktu bentuk model
mangsa-pemangsa dimodifikasi sehingga dapat menggambarkan dengan teliti
keadaan yang sebenarnya (Edelstein-Keshet 1988).
Dalam konteks interaksi mangsa-pemangsa, beberapa studi mengatakan
bahwa perlakuan kepada populasi lebih lanjut dapat mempertimbangkan proses
tingkat pemanenan dan waktu tunda. Model mangsa pemangsa dengan pemanenan
sering kali mengaitkan populasi dengan masalah ekonomi. Pengaruh dari tingkat
pemanenan konstan telah dipelajari oleh Holmberg dan hasilnya menunjukkan
bahwa kuota tangkapan dapat menyebabkan osilasi serta kekacauan dan
meningkatkan risiko eksploitasi (Toaha dan Hassan 2008).
Dalam masalah biologi, sering digunakan model matematika dengan waktu
tunda yang sering disebut dengan persamaan diferensial tundaan (delayed
differential equation). Pada suatu ekosistem, perubahan populasi tidak selalu
monoton (mendekati maupun menjauhi) kapasitas batas. Hal ini disebabkan
individu tidak dapat melahirkan terus menerus sepanjang hidupnya. Ada beberapa
individu yang belum mampu berkembang biak (individu belum dewasa). Gejala
ini merupakan suatu fenomena dimana suatu individu memerlukan tenggang
(tundaan) waktu (time delay) untuk berkembang biak. Penyebab lain adalah
karena area dan fasilitas hidup terbatas. Pada saat populasi melebihi kapasitas
batas, angka kematian cenderung lebih besar daripada angka kelahiran, maka
terjadilah penurunan populasi. Demikian drastisnya penurunan ini, sehingga
menyebabkan populasi turun sampai di bawah kapasitas batas. Pada saat ini secara
berangsur-angsur cenderung angka kematian turun dan angka kelahiran naik.
Untuk membentuk model matematika dari contoh permasalahan seperti ini,
digunakanlah model matematika dengan waktu tunda. Waktu tunda penting dalam
pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi
2
pada keadaan sebelumnya. Hal ini penting untuk dipertimbangkan dalam
memodelkan pertumbuhan populasi karena laju pertumbuhan populasi tidak hanya
bergantung pada jumlah populasi pada waktu t tetapi juga bergantung pada waktu
sebelumnya atau pada waktu
.
Berdasarkan permasalahan tersebut, dalam karya ilmiah ini akan dibahas
atau dikaji lebih jauh tentang model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan
konstan dan waktu tunda. Dari model ini akan dianalisis kestabilan serta dinamika
populasi mangsa pemangsa terhadap waktu.
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk :
1.
Merekonstruksi model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda dan tingkat
pemanenan konstan.
2.
Mempelajari pengaruh waktu tunda pada model mangsa-pemangsa dengan
tingkat pemanenan konstan.
3.
Menganalisis perubahan kestabilan titik tetap dari model mangsa-pemangsa
dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda.
4.
Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model mangsa-pemangsa
dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda.
TINJAUAN PUSTAKA
Suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai berikut:
dengan
̇
,
(1)
.
Jika sistem persamaan diferensial (1) tidak memuat variabel waktu t secara
eksplisit maka disebut persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:
̇
.
(2)
Titik
disebut titik tetap jika
. Titik tetap disebut juga titik
keseimbangan atau titik kritis. Menurut Verhulst (1990), jika merupakan titik
tetap sebuah SPD dan x(t) adalah solusi SPD dengan nilai awal
dengan
x0 ≠ , titik
dikatakan titik tetap stabil jika untuk sebarang radius ρ > 0
|
terdapat r > 0 sedemikian sehingga jika posisi awal x0 memenuhi |
|
maka solusi x(t) memenuhi |
, untuk setiap t > 0.
Persamaan diferensial tundaan adalah salah satu bentuk persamaan
diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa waktu tundaan
yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan dengan nilai dari fungsi waktu
3
sebelumnya. Bentuk umum persamaan diferensial tundaan untuk
yaitu:
,
(3)
dengan
dan
.
merepresentasikan lintasan
solusi waktu lampau. Pada persamaan (3), f adalah operator fungsional yang
memiliki input waktu dan fungsi kontinu
dengan
dan
menghasilkan nilai real
sebagai output (Kuang 1993).
Dengan adanya persamaan tundaan yang berbentuk taklinear, perlu
dilakukan sebuah pelinearan agar dapat diselesaikan secara eksplisit. Misalkan
diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua persamaan dan dua peubah
seperti berikut:
̇
̇
Andaikan
dan
adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
. Misalkan,
dan
, maka didapatkan:
̇
̇
.
Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah maka
didapatkan sistem sebagai berikut:
̇
dengan
,
merupakan galat yang cukup kecil. Selanjutnya diperoleh:
̇
̇
.
Dengan melakukan ekspansi Taylor dua peubah maka didapatkan sistem sebagai
berikut:
̇
.
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan
(
Matriks
yaitu:
̇
̇
(
.
4
disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap
. Dengan
, maka dapat diabaikan sehingga didapatkan persamaan linear:
(
̇
̇
( ,
(4)
Bentuk (4) disebut model terlinearkan dari model taklinear (Strogatz 1994).
Misalkan matriks A berukuran
, maka suatu vektor taknol x di
disebut vektor eigen dari A. Jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen
dari A, berlaku:
.
(5)
Vektor x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran
, maka persamaan
(5) dapat ditulis sebagai berikut:
,
(6)
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (6) mempunyai solusi tak nol jika
dan hanya jika
.
(7)
Persamaan (7) disebut persamaan karakteristik dari matriks A (Tu 1994).
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu
matriks A. Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai
eigennya, yaitu dengan
yang diperoleh dari
.
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai
berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (
untuk semua i).
b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil
atau sama dengan nol (Re( )
utuk semua i).
2. Takstabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah positif (
untuk semua i).
b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar
atau sama dengan nol (Re( )
utuk semua i).
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
(
untuk i dan j sembarang). Titik tetap sadel ini bersifat tak stabil
(Tu 1994).
5
Sedangkan menurut Strogatz (1994) titik tetap dengan nilai eigen kompleks
yang dinotasikan sebagai berikut:
,
dengan asumsi
, bersifat spiral stabil jika
dan bersifat spiral tak stabil
jika
.
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari
suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter
sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah
perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem
dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi.
Salah satu jenis bifurkasi, yaitu bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari
kesetimbangan dalam sistem dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial
biasa, saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang
nilai eigen imajiner murni. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang
mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Limit cycle sendiri
merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di
sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Bifurkasi dapat bersifat
superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak
stabil.
Berdasarkan persamaan karakteristik untuk menentukan kestabilan suatu
titik tetap dapat menggunakan Routh-Hurwitz Criterion 1. Misalkan
adalah bilangan asli dan
jika
dengan persamaan
polinomial karakteristik:
. (8)
Nilai eigen dari persamaan (8) akan mempunyai bagian real negatif jika dan
hanya jika determinan matriks
untuk
dengan:
[
]
adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu
nilai i (untuk i=2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:
.
6
Cara yang digunakan untuk mengetahui kemungkinan adanya akar real
positif dari sebuah persamaan polinom berderajat n adalah dengan menggunakan
aturan tanda Descartes yang dinyatakan sebagai berikut, misalkan
merupakan polinomial derajat n dengan koefisien real dan adalah bilangan
bulat yang memenuhi
. Maka banyaknya akar real positif
dari
sama dengan banyaknya variasi tanda dari koefisien polinomialnya
( Wang 2004 ).
Dalam persamaan diferensial dengan waktu tunda ( digunakan beberapa
teorema dalam menentukan jenis kestabilan titik keseimbangan sebagai berikut
Teorema 1 (Kar 2003)
Syarat dan kondisi perlu untuk titik keseimbangan
menjadi stabil
asimtotik untuk semua
adalah sebagai berikut
1. Bagian real untuk setiap akar-akar dari
adalah negatif
2. Untuk setiap real dan
,
, dimana
√ .
Teorema 2 (Kar 2003)
Jika nilai eigen dari sebuah persamaan karakteristik bernilai positif dan
teorema 1 terpenuhi dan persamaan karakteristik dalam bentuk polinom berderajat
n mempunyai akar real positif, maka titik keseimbangan
adalah stabil
asimtotik untuk
.
dan akar karakteristik yang
Setelah menemukan nilai waktu tunda kritis
terdapat pada garis imajiner
, kemudian akan diselidiki kondisi
transversalbilitas. Menurut Kar (2003), kondisi transversalbilitas adalah kondisi
yang dapat menyebabkan perubahan sifat kestabilan dari titik tetap ketika waktu
tunda berubah. Untuk itu perlu diketahui bahwa akar karakterisik akan bergerak
menuju bidang imajiner yang positif ketika waktu tunda membesar melebihi
waktu tunda kritis . Kriteria untuk kondisi transversalbilitas adalah
|
dan
|
.
(9)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Matematika
Setiap makhluk hidup selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu,
dimulai dari adanya kelahiran, perkembangan, hingga kematian. Pada tahun 1838
Verhulst memperkenalkan suatu model pertumbuhan yang sering disebut model
pertumbuhan logistik, untuk menggambarkan pertumbuhan suatu populasi.
Persamaan logistik adalah persamaan yang menggambarkan pertumbuhan
populasi dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung
lingkungan terbatas. Dalam kenyataannya sepanjang waktu pertumbuhan keadaan
7
daya dukung lingkungan dapat berubah, akibatnya pertumbuhan populasi akan
mengalami penundaan. Penundaan tersebut menyebabkan penurunan populasi
tetapi kemudian terjadi peningkatan sehingga terjadi osilasi pada pertumbuhan
populasi. Persamaan Logistik tidak dapat mendeskripsikan pertumbuhan populasi
pada kasus keterlambatan (waktu tunda). Oleh karena itu dikembangkan suatu
model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda. Model logistik dengan
perlambatan dikenal sebagai persamaan perlambatan Hutchinson. Berikut adalah
model populasi predator prey dengan perlambatan yang diperkenalkan oleh May
(1974),
,
(10)
.
Dalam model (10), jika dimisalkan
adalah populasi mangsa pada waktu
dan
adalah populasi pemangsa pada waktu , maka dapat dilihat laju
pertumbuhan mangsa tumbuh secara logistik. laju pertumbuhan populasi mangsa
dipengaruhi oleh kematian alami yang berkurang sebesar
karena adanya
interaksi atau persaingan dengan individu sebelumnya (
) serta berkurang
sebesar
karena pemangsaan oleh populasi pemangsa. Laju pertumbuhan
populasi pemangsa akan terus berkurang secara eksponensial sebesar apabila
tidak ada kehadiran populasi mangsa dan akan bertambah sebesar
ketika
pemangsa menyerang mangsa. Selanjutnya model (10) dikembangkan dengan
mempertimbangkan asumsi tingkat pemanenan konstan.
(11)
di mana
adalah konstanta positif dengan :
r : laju pertumbuhan intrinsik mangsa,
K : daya dukung lingkungan
b : faktor logistik,
c : laju kematian pemangsa,
α : koefisien yang menunjukkan penurunan mangsa karena kehadiran satu
individu pemangsa,
β : koefisien yang menunjukkan penambahan pemangsa karena kehadiran satu
individu mangsa,
τ : waktu tunda,
Hx : tingkat pemanenan terhadap populasi mangsa,
Hy : tingkat pemanenan terhadap populasi pemangsa.
Pada model (11) kedua populasi diberikan asumsi pemanenan konstan
karena kedua populasi dianggap memiliki nilai komersil. Pemanenan konstan
8
merupakan pemanenan dengan hasil atau jumlah yang tetap pada populasi mangsa
dan pemangsa setiap periode waktu panen.
Analisis Model Tanpa Waktu Tunda
Berikut ini adalah sistem persamaan model (11) yang akan dianalisis tanpa
menggunakan waktu tunda yaitu
.
,
(12)
,
Model (12) menyatakan bahwa laju pertumbuhan mangsa terjadi secara
normal dan tidak adanya masa penundaan. Laju pertumbuhan mangsa berkurang
karena interaksi atau persaingan yang terjadi antara individu mangsa pada masa
yang sama. Hal pertama yang harus dilakukan dalam menganalisis persamaan (12)
adalah mencari titik tetap dengan membuat
dan
, sehingga
didapatkan sebuah hubungan
.
Dari persamaan
, bisa didapatkan
dengan
bernilai positif agar mendapatkan titik tetap yang berada di
. Jika
kuadran positif. Oleh karena itu, harus diasumsikan bahwa
bernilai positif, maka dari persamaan
perlu diasumsikan bahwa
Model (12) akan memiliki dua buah titik tetap pada saat
,
atau ekuivalen dengan
(
, untuk
.
Titik tetap
Titik tetap yang akan diperoleh adalah
dan
bersifat stabil asimtotik, sedangkan kestabilan titik tetap adalah tidak stabil,
bersifat titik sadel.
Selanjutnya untuk memeriksa kestabilan titik tetap
ditentukan dengan
terlebih dahulu melakukan linearisasi sistem (12) di sekitar titik tetap. Matriks
Jacobi pada titik tetap tersebut adalah
9
(
.
Persamaan karakteristik yang diperoleh dari matriks Jacobi adalah
,
dengan
,
,
,
.
Kestabilan titik tetap
> 0.
akan bersifat stabil asimtotik ketika
dan
Simulasi Numerik Model Tanpa Waktu Tunda
Dinamika populasi mangsa-pemangsa dapat digambarkan melalui kurva
dalam bidang fase dan bidang solusi yang menggambarkan populasi mangsa dan
pemangsa pada kurun waktu tertentu. Simulasi numerik dilakukan dengan cara
mensubtitusikan nilai yang ditentukan berdasarkan analisis kondisi persamaan
model populasi mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa
waktu tunda. Simulasi numerik dilakukan untuk menunjukkan hasil analisis model
(12) dan hanya akan ditunjukkan dengan dua kasus.
Dalam simulasi ini, nilai-nilai parameter yang digunakan harus terlebih
dahulu memenuhi batas keberadaan titik tetap. Nilai parameter yang bernilai tetap
untuk setiap simulasi yang digunakan, yaitu
. Nilai parameter yang akan berubah pada kedua kasus tersebut
adalah nilai parameter tingkat pemanenan konstan. Pemilihan nilai parameter
tingkat pemanenan konstan ditujukkan untuk memperlihatkan bahwa titik tetap
akan bersifat stabil.
Tabel 1 Pemilihan nilai tingkat pemanenan konstan
Kestabilan
Kasus
1
2
0.02
0.2
0.01
0.1
Spiral stabil
Spiral stabil
Titik sadel
Titik sadel
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
Pada kasus pertama, nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang
digunakan telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap positif yang diperoleh pada
10
kasus ini ada dua, yaitu
dan
.
Nilai eigen titik tetap pertama adalah
, sehingga kestabilan
titik tetap bersifat spiral stabil. Sedangkan nilai eigen yang diperoleh pada titik
tetap kedua adalah
dan
, sehingga kestabilan titik tetap
bersifat titik sadel.
Gambar 1 Bidang fase kasus 1
Gambar 2 Bidang solusi kasus 1
Pada Gambar 1, diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dimana
kedua populasi secara spiral menuju titik tetap serta diperlihatkan bahwa jenis
kestabilan titik tetapnya spiral stabil. Gambar 2 memperlihatkan bahwa interaksi
antara mangsa dan pemangsa mengalami osilasi di awal periode waktu kemudian
keduanya menuju nilai yang stabil.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
Pada kasus kedua, nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang
digunakan telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap positif yang diperoleh pada
kasus ini ada dua, yaitu
dan
.
Nilai eigen titik tetap pertama adalah
sehingga
kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil. Sedangkan nilai eigen yang diperoleh
pada titik tetap kedua adalah
dan
, sehingga kestabilan titik
tetap bersifat titik sadel.
Gambar 3 Bidang fase kasus 2
Gambar 4 Bidang solusi kasus 2
11
Pada Gambar 3, diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap yang
menunjukkan kedua populasi secara spiral menuju titik tetap serta diperlihatkan
bahwa jenis kestabilan adalah spiral stabil. Penurunan nilai parameter
dan
ini ternyata tidak menyebabkan perubahan kestabilan kedua titik tetap. Titik
tetap
akan selalu bersifat spiral stabil sedangkan titik tetap
akan selalu
bersifat titik sadel apabila kedua nilai parameter pemanenan diubah dan menuju
nilai nol. Sama halnya dengan Gambar 2, Gambar 4 memperlihatkan bahwa
interaksi antara mangsa dan pemangsa mengalami osilasi di awal periode waktu
dengan simpangan yang semakin kecil kemudian keduanya menuju nilai yang
stabil.
Analisis Model dengan Waktu Tunda
Hasil analisis dan simulasi model (12) menunjukkan bahwa titik tetap
bersifat stabil. Pemberian waktu tunda
akan menyebabkan perubahan
kestabilan titik tetap
dari stabil menjadi tidak stabil. Dalam menganalisa
kestabilan titik tetap
dengan waktu tunda perlu terlebih dahulu dilakukan
linearisasi sistem persamaan (11) dengan transformasi
dan
. Setelah dilakukan linearisasi diperoleh
̇
,
(13)
̇
.
Persamaan karakteristik dari persamaan (13) adalah sebagai berikut
,
(14)
dengan
,
,
,
.
Dalam keadaan ketika waktu tunda tidak ada atau
karakteristik (14) menjadi
, maka persamaan
Menurut kriteria Routh-Hurwitz, nilai eigen dari persamaan karakteristik akan
bernilai real dan negatif atau kompleks dengan bagian real negatif jika dan hanya
jika
dan –
(15)
12
Oleh sebab itu, dengan tanpa adanya waktu tunda maka titik tetap akan bersifat
stabil asimtotik jika dan hanya jika memenuhi kondisi (15).
Selanjutnya untuk menentukan sifat kestabilan ketika adanya waktu tunda
atau
adalah dengan memisalkan akar karakteristik. Kestabilan titik tetap
ditentukan oleh bagian real solusi persamaan karakteristik (14). Misalkan
adalah akar persamaan karakteristik (14), titik keseimbangan akan
stabil jika
. Jika terdapat suatu nilai tundaan kritis
yang dapat
menyebabkan
sehingga
merupakan akar imajiner murni
persamaan (14), maka titik tetap mengalami perubahan sifat kestabilan. Dengan
mensubtitusi
,
ke persamaan (14) maka diperoleh
.
Dengan mengganti suku eksponensial ke bentuk trigonometri, bentuk
persamaan tersebut berubah menjadi
.
Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama
dengan nol, sehingga didapatkan
,
,
atau ekuivalen dengan
(16)
.
Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing-masing
ruas persamaan (16) menjadi
,
.
Kemudian kedua persamaan dijumlahkan serta dikelompokkan sesuai pangkat
maka diperoleh polinomial derajat empat
.
,
(17)
Dari persamaan (17) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa bentuk
trigonometri menghilang dan waktu tunda juga tidak muncul. Kemudian,
13
persamaan (17) merupakan polinomial berderajat genap, bila didefinisikan
sebagai akar dari persamaan (17) maka akan diperoleh
√
{
}
(18)
Menurut aturan tanda Descrates, persamaan (17) akan memiliki paling tidak
satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien polinomnya lebih dari
satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (18) dapat diketahui jika
dan
,
(19)
menyebabkan persamaan polinom (17) tidak memiliki variasi perubahan tanda
koefisien sehingga persamaan (18) tidak memiliki akar real positif. Dalam hal ini
akan ditinjau jika
, (20)
, dan
,
akan ada dua solusi positif dari persamaan (18). Dengan demikian persamaan
(17) memiliki akar imajiner murni
. Sehingga dengan mensubtitusi
ke
persamaan (16) maka akan diperoleh nilai tunda kritis
{
(
(
}
(21)
Setelah menemukan nilai kritis tundaan
yang memuat akar karakteristik
yang terdapat pada garis imajiner maka dimungkinkan terjadi bifurkasi pada titik
tersebut, kemudian akan diselidiki kondisi transversalbilitas dengan membuktikan
bahwa akar karakteristik akan bergerak menuju bidang imajiner yang positif
ketika waktu tunda membesar melebihi waktu tunda
Bifurkasi terjadi apabila
persamaan (14) memenuhi kondisi transversalbilitas (9).
dapat dicari dengan
Jika
merupakan fungsi dalam ,
,
menggunakan turunan implisit dari persamaan karakteristik (14) sebagai berikut
sehingga,
(
Dari persamaan (14) diketahui bahwa
Dengan demikian,
, maka didapatkan
14
{
}
{
}
{
}
{
{
}
Dari persamaan (17), telah diketahui bahwa
,
maka diperoleh
{
}
{
}
}.
{
(22)
Persamaan (22) dan (18) tersebut menunjukkan bahwa
{
}
{
}
{√
sehingga
Lalu
{
akibatnya
}
{ √
{
|
|
},
.
}
.
},
Oleh karena itu, kondisi transversalbilitas terpenuhi dan karenanya terjadi
bifurkasi di
,
.
Teorema 3 (Kar 2003)
Misalkan
didefinisikan pada persamaan (21), jika persamaan (14) dan
(20) terpenuhi maka titik tetap adalah stabil ketika
}
15
[
dan tidak stabil ketika
,
[
,
untuk beberapa bilangan bulat positif m. Oleh karena itu terdapat bifurkasi di titik
tetap ketika
Simulasi Numerik Model dengan Waktu Tunda
Simulasi numerik model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan
konstan dan waktu tunda dilakukan untuk menunjukkan bahwa terdapat pengaruh
waktu tunda pada kestabilan titik tetap model. Proses komputasi ini menggunakan
sistem aljabar komputer Mathematica 9.
Nilai-nilai parameter yang akan digunakan harus terlebih dahulu memenuhi
batas keberadaan titik tetap dan sama seperti yang digunakan pada simulasi model
mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan dan tanpa waktu tunda. Nilai
parameter yang bernilai tetap untuk setiap simulasi yaitu
. Nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang akan
digunakan juga akan bernilai tetap yaitu
dan
. Selain
parameter yang telah disebutkan, perlu dilakukan pemilihan nilai awal dan
parameter waktu tunda yang ditujukkan untuk memperlihatkan perubahan
kestabilan titik tetap. Pada simulasi ini akan disediakan empat kasus untuk
menunjukkan keberadaan bifurkasi Hopf.
Tabel 2 Pemilihan nilai awal dan waktu tunda model
Kasus
1
2
3
4
0
1.2
1.53
1.37941
6.123
6.1
6.0715
6.0715
3.256
3.25
3.2642
3.2642
Kestabilan
Spiral stabil
Spiral stabil
Spiral tidak stabil
-
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
Kasus pertama menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal yang telah
diberikan pada Tabel 2. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
. Nilai eigen yang diperoleh adalah
,
sehingga kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil.
Gambar 5 Bidang fase kasus 1
kasus 1
16
(a)
(b)
Gambar 6 Bidang solusi mangsa kasus 1 (a) dan pemangsa kasus 1 (b)
Gambar 5 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap yang menunjukkan
kedua populasi stabil menuju titik tetap
dan diperlihatkan
bahwa jenis kestabilan titik tetapnya adalah spiral stabil.
Gambar 6 (a) dan 6 (b) memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi
mangsa dan pemangsa memiliki dinamika pertumbuhan yang tidak stabil. Setelah
itu, populasi mangsa dan pemangsa mengalami kestabilan pada titik (56.84,6.046)
dan (59.48,3.252). Hal ini menunjukkan bahwa jumlah populasi mangsa terlebih
dahulu mengalami kestabilan lalu diikuti dengan kestabilan jumlah populasi
pemangsa.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
Kasus kedua menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal yang telah
diberikan pada Tabel 2. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
.
Gambar 7 Bidang fase kasus 2
kkkkasus 2
(a)
(b)
Gambar 8 Bidang solusi mangsa kasus 2 (a) dan pemangsa kasus 2 (b)
17
Gambar 7 menunjukkan kurva bergerak secara spiral menuju titik tetap
. Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dapat
dilihat dalam bidang solusi Gambar 8 (a) dan 8 (b). Di awal pertumbuhan populasi
mangsa-pemangsa terjadi ketidakstabilan jumlah, lalu semakin lama akan menuju
kestabilan pada titik (371, 6.063) dan (388.9, 3.25). Hal ini menunjukkan bahwa
jumlah populasi mangsa terlebih dahulu mengalami kestabilan lalu diikuti dengan
kestabilan jumlah populasi pemangsa. Perbedaan bidang solusi kasus pertama dan
kedua terlihat jelas pada Gambar 6 dan Gambar 8, yaitu dengan memberikan
waktu tunda
akan menyebabkan kedua populasi membutuhkan waktu
yang lebih lama untuk mencapai kestabilan.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3
Kasus ketiga menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal yang
telah diberikan pada Tabel 1 . Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
.
Gambar 9 Bidang fase kasus 3
(a)
(a)
(b)
Gambar 10 Bidang solusi mangsa kasus 3 (a) dan pemangsa kasus 3 (b)
Gambar 9 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap
.
Gambar bidang fase memperlihatkan bahwa penaikan nilai menjadi
menyebabkan perubahan jenis kestabilan menjadi tidak stabil. Kestabilan
dinamika populasi mangsa pemangsa dapat dilihat dalam bidang solusi gambar 10
(a) dan 10 (b). Di awal pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa terjadi osilasi
dengan simpangan yang kecil, namun semakin lama nilai simpangannya semakin
besar sehingga menyebabkan kedua populasi tidak stabil.
18
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 4
Kasus keempat menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal
yang telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
penaikan nilai
.
Gambar 11 Bidang fase kasus 4
(a)
(b)
Gambar 12 Bidang solusi mangsa kasus 4 (a) dan pemangsa kasus 4 (b)
Kemunculan limit cycle pada Gambar 11 menunjukkan bahwa pada saat
terjadi bifurkasi Hopf. Gambar 11 juga menunjukkan bahwa sistem
kehilangan kestabilannya, yang berarti kedua populasi tidak menuju ataupun
menjauhi titik tetap . Gambar 12 menunjukkan bahwa kedua populasi akan terus
berosilasi dengan nilai simpangan yang sangat besar selama peroide waktu t. Oleh
karena itu,
merupakan titik kritis dari waktu tunda. Pada saat
kestabilan akan selalu bersifat stabil tetapi apabila
maka titik tetap akan kehilangan sifat kestabilannya dan menyebabkan munculnya
limit cycle. Pada saat
tetapi kurang dari titik kritis yang kedua,
kestabilan menjadi tidak stabil dan terdapat periode bifurkasi. Dengan mengikuti
Teorema 3, akan didapatkan titik kritis waktu tunda sebagai berikut,
,
,
,
,
,
.
19
SIMPULAN
Model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa
waktu tunda menghasilkan dua buah titik tetap positif yaitu dan . Kestabilan
titik tetap bersifat spiral stabil dan titik tetap bersifat sadel, sehingga tidak
akan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Dengan adanya pemberian waktu
tunda tak nol serta penyesuaian nilai parameter lainnya, maka akan diperoleh
suatu nilai waktu tunda saat terjadi bifurkasi Hopf. Perubahan parameter waktu
tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda kritis menyebabkan
perubahan kestabilan titik tetap stabil menjadi tidak stabil, disertai adanya
kemunculan limit cycle. Hal tersebut menandakan bahwa pada model mangsa
pemangsa dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda terjadi bifurkasi Hopf.
20
DAFTAR PUSTAKA
Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematica Models in Biology. New York (US):
Random House.
Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time Delay.
Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458.
Kuang Y. 1993. Delay Differential Equation with Application in Population
Dynamics. Boston: Academic Press.
May RM. 1974. Stability and Complexity of Model Ecosystems. New Jersey (US):
Princeton University Press.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamic and Chaos with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley
Publishing Company.
Toaha S, Hassan MA. 2008. Stability Analysis of Predator-Prey Population Model
with Time Delay and Constant Rate of Harvesting. Punjab University of
Mathematics. 40:37-48.
Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in
Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equations and Dynamical System. New
York (US): Springer-Verlag.
Wang X. 2004. A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs. The American
Mathematical Monthly. 111: 525-526.
21
Lampiran 1 Penentuan kondisi keberadaan titik tetap model (12)
Model persamaan (12) :
Titik tetap persamaan (12) ditentukan dengan membuat persamaan menjadi
dan
, sehingga didapatkan sebuah hubungan berikut
Agar
maka
Dari persamaan
Nilai
diperoleh:
Dari persamaan
dan
diperoleh:
jika
Model (12) akan memiliki dua buah titik tetap yang positif apabila
memenuhi kondisi seperti diatas dan
untuk
22
Lampiran 2 Penentuan kestabilan titik tetap model (12)
Misalkan
Dengan melakukan pelinearan model (12) didapat matriks Jacobi seperti berikut
(
=
)
=
=
=
Misalkan
(
(
(
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan
karakteristik
sehingga diperoleh:
|
|
|
Menurut aturan Routh-Hurwitz, titik tetap
dan
.
|
akan bersifat stabil jika
23
Lampiran 3 Kode program simulasi numerik kasus 1 model (12)
Misalkan
[
dan
Kode untuk mencari titik tetap
][
Kode untuk matriks Jacobi
[
]
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk gambar bidang fase kasus 1 (Gambar 1)
{
[
]
}
[
][
]
[
]
Kode untuk gambar bidang solusi kasus 1 (Gambar 2)
][
]
]]
([
[[
([
[
]
[
[
][
]
]
]
[[
[
[
]]
]
]
24
Lampiran 4 Kode program simulasi numerik kasus 2 model (12)
[
Kode untuk mencari titik tetap
][
Kode untuk matriks Jacobi
[
]
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk gambar bidang fase kasus 2 (Gambar3)
{
[
]
}
[
][
]
[
]
Kode untuk gambar bidang solusi kasus 2 (Gambar 4)
][
]
]]
([
[[
([
[
]
[
[
][
]
]
]
[[
[
[
]]
]
]
25
Lampiran 5 Linearisasi model (11)
Sistem persamaan model (11) :
Sistem persamaan (11) akan dilinearisasi dengan transformasi
dan
. Subtitusi
dan
ke persamaan (11)
sehingga didapatkan persamaan
̇
Dengan mengabaikan perkalian antar variabel dan antar konstanta, maka
didapatkan persamaan berikut:
̇
Atau ekuivalen dengan
̇
̇
Dengan mengabaikan perkalian antar variabel dan antar konstanta, maka
didapatkan persamaan berikut:
̇
Atau ekuivalen dengan
̇
26
Lampiran 6 Penentuan persamaan karakteristik (14)
Misalkan
̇
̇
)
(
(
(
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan
karakteristik
sehingga diperoleh:
|
|
(
|
|
27
Dengan
,
,
,
.
28
Lampiran 7 Penentuan akar persamaan karakteristik
(18)
Persamaan karakteristik (14)
Misalkan akar persamaan karakteristik (14)
menjadi
,
maka persamaan (14)
Dengan mengganti suku eksponensial menjadi trigonometri maka persamaannya
menjadi
.
Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama
dengan nol, sehingga didapatkan
,
,
atau ekuivalen dengan
.
Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing-masing
ruas persamaan menjadi
,
.
Kemudian kedua persamaan dijumlahkan serta dikelompokkan sesuai pangkat
+
=
maka diperoleh polinomial derajat empat
.
Lalu didapatkan
{
√
}
,
29
Lampiran 8 Penentuan waktu tunda kritis
(21)
Dari persamaan (16) didapatkan
Subtitusi
Misalkan
ke persamaan (16) untuk mendapatkan nilai τ
Dengan menggunakan kaidah sistem persamaan linear, maka untuk mendapatkan
dan adalah dengan cara berikut
|
|
maka
|
|
|
|
|
|
Serta
|
|
Maka
|
|
|
|
|
|
30
Untuk mendapatkan nilai , maka dilakukan cara manipulasi aljabar seperti
berikut
{
}
{
}
31
Lampiran 9 Penentuan turunan implisit persamaan karakteristik (14)
Persamaan karakteristik (14)
Persamaan (14) didiferensialkan terhadap
menjadi
(
(
(
Dari persamaan
diperoleh
.
Sehingga
(
(
,
32
Lampiran 10 Penjabaran fungsi sign
}
{
{
}
{
}
Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar mendapatkan
bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign
Bagian
(
(
(
[
Bagian
(
]
33
Sehingga
{
Dari persamaan (17), telah diketahui bahwa
}
maka diperoleh
{
}
{
{
}.
}
Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji pembilangnya saja
karena penyebutnya dalam bentuk kuadratik berderajat genap yang akan selalu
bernilai positif
}
{
34
Lampiran 11 Penjabaran kondisi transversalbilitas
{
{ (
{
}
}
{√
sehingga
√
|
Lalu
{
{ (
{ √
akibatnya
{
}
}
}
},
.
}
√
|
},
.
35
Lampiran 12 Program plot bidang fase kasus 1 (Gambar 5)
36
Lampiran 13 Program plot bidang solusi mangsa kasus 1 (Gambar 6 (a))
37
Lampiran 14 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 1 (Gambar 6 (b))
Lampiran 15 Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 7)
38
Lampiran 15 Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 7)
39
Lampiran 16 Program plot bidang solusi mangsa kasus 2 (Gambar 8 (a))
Lampiran 17 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 8 (b))
40
Lampiran 17 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 8(b))
41
Lampiran 18 Program plot bidang fase kasus 3 (Gambar 9 )
42
Lampiran 19 Program plot bidang solusi mangsa kasus 3 (Gambar 10 (a))
43
Lampiran 20 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 3 (Gambar 10 (b))
44
Lampiran 21 Program plot bidang fase kasus 4 (Gambar 11 )
45
Lampiran 22 Program plot bidang solusi mangsa kasus 4 (Gambar 12 (a))
46
Lampiran 23 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 4 (Gambar 12 (b))
47
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 29 Oktober 1992. Penulis
merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Putu Seneng dan Ni Made
Warsika. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Danau Batur
pada tahun 2004, Sekolah Menengah Pertama di SMP Nusantara 1 Tangerang
pada tahun 2007, Sekolah Menengah Atas di SMAN 5 Tangerang pada tahun
2010, dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian
Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama perkuliahan penulis aktif di beberapa organisasi kampus maupun
luar kampus, yaitu Kesatuan Mahasiswa Hindu Dharma (KMHD) IPB, Gugus
Mahasiswa Matematika (Gumatika), dan Brahmacarya Bogor. Pada tahun 20102011, penulis aktif sebagai anggota KMHD IPB dan Brahmacarya Bogor. Pada
tahun 2011-2012, penulis aktif sebagai Bendahara II KMHD IPB. Pada tahun
2012-2013, penulis aktif sebagai Bendahara Umum KMHD IPB dan Staf Divisi
Math Event Gumatika. Selain itu penulis juga aktif dalam kepanitiaan acara
nasional sebagai Bendahara Umum dalam IPB Mathematics Challenge pada
tahun 2013.
Penulis juga aktif mengikuti lomba tingkat mahasiswa. Beberapa prestasi
yang pernah diraih oleh penulis antara lain Juara 1 volley putri SPIRIT FMIPA
IPB pada tahun 2012 dan Juara 1 volley putri SPIRIT FMIPA IPB pada tahun
2013.
WAKTU TUNDA
NI NYOMAN SURYANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi Hopf Model
Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Ni Nyoman Suryani
NIM G54100076
ABSTRAK
NI NYOMAN SURYANI. Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan
Waktu Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan NGAKAN KOMANG
KUTHA ARDANA.
Dalam karya ilmiah ini dipelajari akibat dari waktu tunda dan tingkat
pemanenan konstan pada dinamika model mangsa-pemangsa Lotka-Volterra.
Dalam model ini, waktu tunda diberikan pada interaksi antar mangsa dari
persamaan mangsa. Selanjutnya mangsa dan pemangsa akan dipanen dengan
tingkat pemanenan yang konstan. Dalam model ini terdapat satu, dua, atau tiga
titik tetap. Ketika terdapat dua titik tetap positif, satu diantaranya stabil.
Perubahan parameter waktu tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda
kritis menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap stabil menjadi tidak stabil,
disertai adanya kemunculan limit cycle. Kemunculan limit cycle tersebut
menandakan bahwa model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan dan
waktu tunda terjadi Bifurkasi Hopf.
Kata kunci: mangsa-pemangsa, limit cycle, waktu tunda, tingkat pemanenan
konstan, bifurkasi Hopf.
ABSTRACT
NI NYOMAN SURYANI. Hopf Bifurcation of Prey-Predator Model with Time
Delay. Supervised by ALI KUSNANTO and NGAKAN KOMANG KUTHA
ARDANA.
In this paper the effects of time delay and constant rate of harvesting on the
dynamic of the Lotka-Volterra predator-prey model are studied. In this model,
time delay is given in prey interaction of the prey equation. Furthermore, prey and
predator are then harvested with constant rate of harvesting. In this model, the
number of equilibrium points can be one, two, or three equilibrium points. When
there exist two positive equilibrium points, one of them is stable. The change of
parameters of time delay from small to big from the limit critical value of time
delay causes stability switches from stable to unstable with existence of a limit
cycle. The presence of limit cycle shows that prey predator model with time delay
and constant rate of harvesting could lead to occurrence of Hopf bifurcation.
Keywords: prey-predator, limit cycle, time delay, constant rate of harvesting,
Hopf bifurcation.
BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN
WAKTU TUNDA
NI NYOMAN SURYANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Bifurkasi Hopf Model Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda
Nama
: Ni Nyoman Suryani
NIM
: G54100076
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widhi Wasa atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Bifurkasi Hopf Model
Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada ayah, ibu, kakak, serta keluarga besar
atas doa, dukungan, dan kasih sayangnya. Ungkapan terima kasih juga penulis
sampaikan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan Bapak Ir Ngakan Komang
Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing, serta Dr Ir Endar H Nugrahani, MS yang
telah banyak memberi saran. Tak lupa juga ucapan terima kasih kepada seluruh
dosen dan staf Departemen Matematika IPB atas segala ilmu yang diberikan dan
bantuannya selama perkuliahan, serta teman-teman KMHD IPB 47, Brahmacarya
Bogor, Matematika 46 dan 47 yang telah banyak membantu dalam proses
penyusunan tugas akhir ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
Ni Nyoman Suryani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Model Matematika
6
Analisis Model Tanpa Waktu Tunda
8
Simulasi Numerik Model Tanpa Waktu Tunda
9
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
9
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
10
Analisis Model dengan Waktu Tunda
11
Simulasi Numerik Model dengan Waktu Tunda
15
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
15
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
16
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3
17
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 4
18
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
20
RIWAYAT HIDUP
47
DAFTAR TABEL
1 Pemilihan nilai tingkat pemanenan konstan
2 Pemilihan nilai awal dan waktu tunda model
9
15
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang fase kasus 1
2 Bidang solusi kasus 1
3 Bidang fase kasus 2
4 Bidang solusi kasus 2
5 Bidang fase kasus 1
6 Bidang solusi mangsa kasus 1 (a) dan pemangsa kasus 1 (b)
7 Bidang fase kasus 2
8 Bidang solusi mangsa kasus 2 (a) dan pemangsa kasus 2 (b)
9 Bidang fase kasus 3
10 Bidang solusi mangsa kasus 3 (a) dan pemangsa kasus 3 (b)
11 Bidang fase kasus 4
12 Bidang solusi mangsa kasus 4 (a) dan pemangsa kasus 4 (b)
10
10
10
10
15
16
16
16
17
17
18
18
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Penentuan kondisi keberadaan titik tetap model (12)
Penentuan kestabilan titik tetap model (12)
Kode program simulasi numerik kasus 1 model (12)
Kode program simulasi numerik kasus 2 model (12)
Linearisasi model (11)
Penentuan persamaan karakteristik (14)
Penentuan akar persamaan karakteristik
(18)
Penentuan waktu tunda kritis
(21)
Penentuan turunan implisit persamaan karakteristik (14)
Penjabaran fungsi sign
Penjabaran kondisi transversalbilitas
Program plot bidang fase kasus 1 (Gambar 6 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 1 (Gambar 7 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 1 (Gambar 7 (b))
Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 8 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 2 (Gambar 9 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 9 (b))
Program plot bidang fase kasus 3 (Gambar 10 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 3 (Gambar 11 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 3 (Gambar 11 (b))
Program plot bidang fase kasus 4 (Gambar 11 )
Program plot bidang solusi mangsa kasus 4 (Gambar 12 (a))
Program plot bidang solusi pemangsa kasus 4 (Gambar 12 (b))
21
22
23
24
25
26
28
29
31
32
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Peningkatan atau penurunan jumlah populasi makhluk hidup merupakan
fenomena yang sering terjadi di alam. Proses tersebut dapat dilihat dari proses
rantai makanan yang merupakan lintasan konsumsi makanan dan terdiri atas
beberapa spesies organisme. Bagian paling sederhana dari suatu rantai makanan
berupa interaksi dua spesies, yaitu interaksi antara spesies mangsa (prey) dan
pemangsa (predator). Kehadiran pemangsa tentunya akan memberikan pengaruh
terhadap jumlah mangsa, sehingga secara alami proses rantai makanan tersebut
mempengaruhi proses keseimbangan jumlah populasi di muka bumi.
Sistem interaksi mangsa-pemangsa dapat dimodelkan dalam suatu model
matematika. Dengan model mangsa-pemangsa, sebuah fenomena akan lebih
mudah dipahami dan dapat digunakan untuk memprediksikan populasi atau
spesies pada tahun tertentu. Pada tahun 1926, seorang ilmuan matematika Itali
bernama Vito Volterra untuk pertama kalinya menyusun sebuah persamaan
diferensial sederhana untuk menjelaskan dinamika populasi dua spesies yang
berinteraksi yaitu mangsa dan pemangsa. Model Lotka-Volterra merupakan salah
satu dari awal model mangsa-pemangsa dan dengan bentuk model yang cukup
sederhana menyebabkan model ini banyak digunakan sebagai dasar
pengembangan model yang lebih realistis. Dari waktu ke waktu bentuk model
mangsa-pemangsa dimodifikasi sehingga dapat menggambarkan dengan teliti
keadaan yang sebenarnya (Edelstein-Keshet 1988).
Dalam konteks interaksi mangsa-pemangsa, beberapa studi mengatakan
bahwa perlakuan kepada populasi lebih lanjut dapat mempertimbangkan proses
tingkat pemanenan dan waktu tunda. Model mangsa pemangsa dengan pemanenan
sering kali mengaitkan populasi dengan masalah ekonomi. Pengaruh dari tingkat
pemanenan konstan telah dipelajari oleh Holmberg dan hasilnya menunjukkan
bahwa kuota tangkapan dapat menyebabkan osilasi serta kekacauan dan
meningkatkan risiko eksploitasi (Toaha dan Hassan 2008).
Dalam masalah biologi, sering digunakan model matematika dengan waktu
tunda yang sering disebut dengan persamaan diferensial tundaan (delayed
differential equation). Pada suatu ekosistem, perubahan populasi tidak selalu
monoton (mendekati maupun menjauhi) kapasitas batas. Hal ini disebabkan
individu tidak dapat melahirkan terus menerus sepanjang hidupnya. Ada beberapa
individu yang belum mampu berkembang biak (individu belum dewasa). Gejala
ini merupakan suatu fenomena dimana suatu individu memerlukan tenggang
(tundaan) waktu (time delay) untuk berkembang biak. Penyebab lain adalah
karena area dan fasilitas hidup terbatas. Pada saat populasi melebihi kapasitas
batas, angka kematian cenderung lebih besar daripada angka kelahiran, maka
terjadilah penurunan populasi. Demikian drastisnya penurunan ini, sehingga
menyebabkan populasi turun sampai di bawah kapasitas batas. Pada saat ini secara
berangsur-angsur cenderung angka kematian turun dan angka kelahiran naik.
Untuk membentuk model matematika dari contoh permasalahan seperti ini,
digunakanlah model matematika dengan waktu tunda. Waktu tunda penting dalam
pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi
2
pada keadaan sebelumnya. Hal ini penting untuk dipertimbangkan dalam
memodelkan pertumbuhan populasi karena laju pertumbuhan populasi tidak hanya
bergantung pada jumlah populasi pada waktu t tetapi juga bergantung pada waktu
sebelumnya atau pada waktu
.
Berdasarkan permasalahan tersebut, dalam karya ilmiah ini akan dibahas
atau dikaji lebih jauh tentang model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan
konstan dan waktu tunda. Dari model ini akan dianalisis kestabilan serta dinamika
populasi mangsa pemangsa terhadap waktu.
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk :
1.
Merekonstruksi model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda dan tingkat
pemanenan konstan.
2.
Mempelajari pengaruh waktu tunda pada model mangsa-pemangsa dengan
tingkat pemanenan konstan.
3.
Menganalisis perubahan kestabilan titik tetap dari model mangsa-pemangsa
dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda.
4.
Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model mangsa-pemangsa
dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda.
TINJAUAN PUSTAKA
Suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai berikut:
dengan
̇
,
(1)
.
Jika sistem persamaan diferensial (1) tidak memuat variabel waktu t secara
eksplisit maka disebut persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:
̇
.
(2)
Titik
disebut titik tetap jika
. Titik tetap disebut juga titik
keseimbangan atau titik kritis. Menurut Verhulst (1990), jika merupakan titik
tetap sebuah SPD dan x(t) adalah solusi SPD dengan nilai awal
dengan
x0 ≠ , titik
dikatakan titik tetap stabil jika untuk sebarang radius ρ > 0
|
terdapat r > 0 sedemikian sehingga jika posisi awal x0 memenuhi |
|
maka solusi x(t) memenuhi |
, untuk setiap t > 0.
Persamaan diferensial tundaan adalah salah satu bentuk persamaan
diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa waktu tundaan
yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan dengan nilai dari fungsi waktu
3
sebelumnya. Bentuk umum persamaan diferensial tundaan untuk
yaitu:
,
(3)
dengan
dan
.
merepresentasikan lintasan
solusi waktu lampau. Pada persamaan (3), f adalah operator fungsional yang
memiliki input waktu dan fungsi kontinu
dengan
dan
menghasilkan nilai real
sebagai output (Kuang 1993).
Dengan adanya persamaan tundaan yang berbentuk taklinear, perlu
dilakukan sebuah pelinearan agar dapat diselesaikan secara eksplisit. Misalkan
diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua persamaan dan dua peubah
seperti berikut:
̇
̇
Andaikan
dan
adalah titik tetap dari persamaan di atas, maka
. Misalkan,
dan
, maka didapatkan:
̇
̇
.
Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah maka
didapatkan sistem sebagai berikut:
̇
dengan
,
merupakan galat yang cukup kecil. Selanjutnya diperoleh:
̇
̇
.
Dengan melakukan ekspansi Taylor dua peubah maka didapatkan sistem sebagai
berikut:
̇
.
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan
(
Matriks
yaitu:
̇
̇
(
.
4
disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap
. Dengan
, maka dapat diabaikan sehingga didapatkan persamaan linear:
(
̇
̇
( ,
(4)
Bentuk (4) disebut model terlinearkan dari model taklinear (Strogatz 1994).
Misalkan matriks A berukuran
, maka suatu vektor taknol x di
disebut vektor eigen dari A. Jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen
dari A, berlaku:
.
(5)
Vektor x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran
, maka persamaan
(5) dapat ditulis sebagai berikut:
,
(6)
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (6) mempunyai solusi tak nol jika
dan hanya jika
.
(7)
Persamaan (7) disebut persamaan karakteristik dari matriks A (Tu 1994).
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu
matriks A. Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai
eigennya, yaitu dengan
yang diperoleh dari
.
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai
berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (
untuk semua i).
b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil
atau sama dengan nol (Re( )
utuk semua i).
2. Takstabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah positif (
untuk semua i).
b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar
atau sama dengan nol (Re( )
utuk semua i).
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
(
untuk i dan j sembarang). Titik tetap sadel ini bersifat tak stabil
(Tu 1994).
5
Sedangkan menurut Strogatz (1994) titik tetap dengan nilai eigen kompleks
yang dinotasikan sebagai berikut:
,
dengan asumsi
, bersifat spiral stabil jika
dan bersifat spiral tak stabil
jika
.
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari
suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter
sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah
perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem
dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi.
Salah satu jenis bifurkasi, yaitu bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari
kesetimbangan dalam sistem dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial
biasa, saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang
nilai eigen imajiner murni. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang
mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Limit cycle sendiri
merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di
sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Bifurkasi dapat bersifat
superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak
stabil.
Berdasarkan persamaan karakteristik untuk menentukan kestabilan suatu
titik tetap dapat menggunakan Routh-Hurwitz Criterion 1. Misalkan
adalah bilangan asli dan
jika
dengan persamaan
polinomial karakteristik:
. (8)
Nilai eigen dari persamaan (8) akan mempunyai bagian real negatif jika dan
hanya jika determinan matriks
untuk
dengan:
[
]
adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu
nilai i (untuk i=2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:
.
6
Cara yang digunakan untuk mengetahui kemungkinan adanya akar real
positif dari sebuah persamaan polinom berderajat n adalah dengan menggunakan
aturan tanda Descartes yang dinyatakan sebagai berikut, misalkan
merupakan polinomial derajat n dengan koefisien real dan adalah bilangan
bulat yang memenuhi
. Maka banyaknya akar real positif
dari
sama dengan banyaknya variasi tanda dari koefisien polinomialnya
( Wang 2004 ).
Dalam persamaan diferensial dengan waktu tunda ( digunakan beberapa
teorema dalam menentukan jenis kestabilan titik keseimbangan sebagai berikut
Teorema 1 (Kar 2003)
Syarat dan kondisi perlu untuk titik keseimbangan
menjadi stabil
asimtotik untuk semua
adalah sebagai berikut
1. Bagian real untuk setiap akar-akar dari
adalah negatif
2. Untuk setiap real dan
,
, dimana
√ .
Teorema 2 (Kar 2003)
Jika nilai eigen dari sebuah persamaan karakteristik bernilai positif dan
teorema 1 terpenuhi dan persamaan karakteristik dalam bentuk polinom berderajat
n mempunyai akar real positif, maka titik keseimbangan
adalah stabil
asimtotik untuk
.
dan akar karakteristik yang
Setelah menemukan nilai waktu tunda kritis
terdapat pada garis imajiner
, kemudian akan diselidiki kondisi
transversalbilitas. Menurut Kar (2003), kondisi transversalbilitas adalah kondisi
yang dapat menyebabkan perubahan sifat kestabilan dari titik tetap ketika waktu
tunda berubah. Untuk itu perlu diketahui bahwa akar karakterisik akan bergerak
menuju bidang imajiner yang positif ketika waktu tunda membesar melebihi
waktu tunda kritis . Kriteria untuk kondisi transversalbilitas adalah
|
dan
|
.
(9)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Matematika
Setiap makhluk hidup selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu,
dimulai dari adanya kelahiran, perkembangan, hingga kematian. Pada tahun 1838
Verhulst memperkenalkan suatu model pertumbuhan yang sering disebut model
pertumbuhan logistik, untuk menggambarkan pertumbuhan suatu populasi.
Persamaan logistik adalah persamaan yang menggambarkan pertumbuhan
populasi dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung
lingkungan terbatas. Dalam kenyataannya sepanjang waktu pertumbuhan keadaan
7
daya dukung lingkungan dapat berubah, akibatnya pertumbuhan populasi akan
mengalami penundaan. Penundaan tersebut menyebabkan penurunan populasi
tetapi kemudian terjadi peningkatan sehingga terjadi osilasi pada pertumbuhan
populasi. Persamaan Logistik tidak dapat mendeskripsikan pertumbuhan populasi
pada kasus keterlambatan (waktu tunda). Oleh karena itu dikembangkan suatu
model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda. Model logistik dengan
perlambatan dikenal sebagai persamaan perlambatan Hutchinson. Berikut adalah
model populasi predator prey dengan perlambatan yang diperkenalkan oleh May
(1974),
,
(10)
.
Dalam model (10), jika dimisalkan
adalah populasi mangsa pada waktu
dan
adalah populasi pemangsa pada waktu , maka dapat dilihat laju
pertumbuhan mangsa tumbuh secara logistik. laju pertumbuhan populasi mangsa
dipengaruhi oleh kematian alami yang berkurang sebesar
karena adanya
interaksi atau persaingan dengan individu sebelumnya (
) serta berkurang
sebesar
karena pemangsaan oleh populasi pemangsa. Laju pertumbuhan
populasi pemangsa akan terus berkurang secara eksponensial sebesar apabila
tidak ada kehadiran populasi mangsa dan akan bertambah sebesar
ketika
pemangsa menyerang mangsa. Selanjutnya model (10) dikembangkan dengan
mempertimbangkan asumsi tingkat pemanenan konstan.
(11)
di mana
adalah konstanta positif dengan :
r : laju pertumbuhan intrinsik mangsa,
K : daya dukung lingkungan
b : faktor logistik,
c : laju kematian pemangsa,
α : koefisien yang menunjukkan penurunan mangsa karena kehadiran satu
individu pemangsa,
β : koefisien yang menunjukkan penambahan pemangsa karena kehadiran satu
individu mangsa,
τ : waktu tunda,
Hx : tingkat pemanenan terhadap populasi mangsa,
Hy : tingkat pemanenan terhadap populasi pemangsa.
Pada model (11) kedua populasi diberikan asumsi pemanenan konstan
karena kedua populasi dianggap memiliki nilai komersil. Pemanenan konstan
8
merupakan pemanenan dengan hasil atau jumlah yang tetap pada populasi mangsa
dan pemangsa setiap periode waktu panen.
Analisis Model Tanpa Waktu Tunda
Berikut ini adalah sistem persamaan model (11) yang akan dianalisis tanpa
menggunakan waktu tunda yaitu
.
,
(12)
,
Model (12) menyatakan bahwa laju pertumbuhan mangsa terjadi secara
normal dan tidak adanya masa penundaan. Laju pertumbuhan mangsa berkurang
karena interaksi atau persaingan yang terjadi antara individu mangsa pada masa
yang sama. Hal pertama yang harus dilakukan dalam menganalisis persamaan (12)
adalah mencari titik tetap dengan membuat
dan
, sehingga
didapatkan sebuah hubungan
.
Dari persamaan
, bisa didapatkan
dengan
bernilai positif agar mendapatkan titik tetap yang berada di
. Jika
kuadran positif. Oleh karena itu, harus diasumsikan bahwa
bernilai positif, maka dari persamaan
perlu diasumsikan bahwa
Model (12) akan memiliki dua buah titik tetap pada saat
,
atau ekuivalen dengan
(
, untuk
.
Titik tetap
Titik tetap yang akan diperoleh adalah
dan
bersifat stabil asimtotik, sedangkan kestabilan titik tetap adalah tidak stabil,
bersifat titik sadel.
Selanjutnya untuk memeriksa kestabilan titik tetap
ditentukan dengan
terlebih dahulu melakukan linearisasi sistem (12) di sekitar titik tetap. Matriks
Jacobi pada titik tetap tersebut adalah
9
(
.
Persamaan karakteristik yang diperoleh dari matriks Jacobi adalah
,
dengan
,
,
,
.
Kestabilan titik tetap
> 0.
akan bersifat stabil asimtotik ketika
dan
Simulasi Numerik Model Tanpa Waktu Tunda
Dinamika populasi mangsa-pemangsa dapat digambarkan melalui kurva
dalam bidang fase dan bidang solusi yang menggambarkan populasi mangsa dan
pemangsa pada kurun waktu tertentu. Simulasi numerik dilakukan dengan cara
mensubtitusikan nilai yang ditentukan berdasarkan analisis kondisi persamaan
model populasi mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa
waktu tunda. Simulasi numerik dilakukan untuk menunjukkan hasil analisis model
(12) dan hanya akan ditunjukkan dengan dua kasus.
Dalam simulasi ini, nilai-nilai parameter yang digunakan harus terlebih
dahulu memenuhi batas keberadaan titik tetap. Nilai parameter yang bernilai tetap
untuk setiap simulasi yang digunakan, yaitu
. Nilai parameter yang akan berubah pada kedua kasus tersebut
adalah nilai parameter tingkat pemanenan konstan. Pemilihan nilai parameter
tingkat pemanenan konstan ditujukkan untuk memperlihatkan bahwa titik tetap
akan bersifat stabil.
Tabel 1 Pemilihan nilai tingkat pemanenan konstan
Kestabilan
Kasus
1
2
0.02
0.2
0.01
0.1
Spiral stabil
Spiral stabil
Titik sadel
Titik sadel
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
Pada kasus pertama, nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang
digunakan telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap positif yang diperoleh pada
10
kasus ini ada dua, yaitu
dan
.
Nilai eigen titik tetap pertama adalah
, sehingga kestabilan
titik tetap bersifat spiral stabil. Sedangkan nilai eigen yang diperoleh pada titik
tetap kedua adalah
dan
, sehingga kestabilan titik tetap
bersifat titik sadel.
Gambar 1 Bidang fase kasus 1
Gambar 2 Bidang solusi kasus 1
Pada Gambar 1, diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dimana
kedua populasi secara spiral menuju titik tetap serta diperlihatkan bahwa jenis
kestabilan titik tetapnya spiral stabil. Gambar 2 memperlihatkan bahwa interaksi
antara mangsa dan pemangsa mengalami osilasi di awal periode waktu kemudian
keduanya menuju nilai yang stabil.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
Pada kasus kedua, nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang
digunakan telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap positif yang diperoleh pada
kasus ini ada dua, yaitu
dan
.
Nilai eigen titik tetap pertama adalah
sehingga
kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil. Sedangkan nilai eigen yang diperoleh
pada titik tetap kedua adalah
dan
, sehingga kestabilan titik
tetap bersifat titik sadel.
Gambar 3 Bidang fase kasus 2
Gambar 4 Bidang solusi kasus 2
11
Pada Gambar 3, diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap yang
menunjukkan kedua populasi secara spiral menuju titik tetap serta diperlihatkan
bahwa jenis kestabilan adalah spiral stabil. Penurunan nilai parameter
dan
ini ternyata tidak menyebabkan perubahan kestabilan kedua titik tetap. Titik
tetap
akan selalu bersifat spiral stabil sedangkan titik tetap
akan selalu
bersifat titik sadel apabila kedua nilai parameter pemanenan diubah dan menuju
nilai nol. Sama halnya dengan Gambar 2, Gambar 4 memperlihatkan bahwa
interaksi antara mangsa dan pemangsa mengalami osilasi di awal periode waktu
dengan simpangan yang semakin kecil kemudian keduanya menuju nilai yang
stabil.
Analisis Model dengan Waktu Tunda
Hasil analisis dan simulasi model (12) menunjukkan bahwa titik tetap
bersifat stabil. Pemberian waktu tunda
akan menyebabkan perubahan
kestabilan titik tetap
dari stabil menjadi tidak stabil. Dalam menganalisa
kestabilan titik tetap
dengan waktu tunda perlu terlebih dahulu dilakukan
linearisasi sistem persamaan (11) dengan transformasi
dan
. Setelah dilakukan linearisasi diperoleh
̇
,
(13)
̇
.
Persamaan karakteristik dari persamaan (13) adalah sebagai berikut
,
(14)
dengan
,
,
,
.
Dalam keadaan ketika waktu tunda tidak ada atau
karakteristik (14) menjadi
, maka persamaan
Menurut kriteria Routh-Hurwitz, nilai eigen dari persamaan karakteristik akan
bernilai real dan negatif atau kompleks dengan bagian real negatif jika dan hanya
jika
dan –
(15)
12
Oleh sebab itu, dengan tanpa adanya waktu tunda maka titik tetap akan bersifat
stabil asimtotik jika dan hanya jika memenuhi kondisi (15).
Selanjutnya untuk menentukan sifat kestabilan ketika adanya waktu tunda
atau
adalah dengan memisalkan akar karakteristik. Kestabilan titik tetap
ditentukan oleh bagian real solusi persamaan karakteristik (14). Misalkan
adalah akar persamaan karakteristik (14), titik keseimbangan akan
stabil jika
. Jika terdapat suatu nilai tundaan kritis
yang dapat
menyebabkan
sehingga
merupakan akar imajiner murni
persamaan (14), maka titik tetap mengalami perubahan sifat kestabilan. Dengan
mensubtitusi
,
ke persamaan (14) maka diperoleh
.
Dengan mengganti suku eksponensial ke bentuk trigonometri, bentuk
persamaan tersebut berubah menjadi
.
Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama
dengan nol, sehingga didapatkan
,
,
atau ekuivalen dengan
(16)
.
Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing-masing
ruas persamaan (16) menjadi
,
.
Kemudian kedua persamaan dijumlahkan serta dikelompokkan sesuai pangkat
maka diperoleh polinomial derajat empat
.
,
(17)
Dari persamaan (17) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa bentuk
trigonometri menghilang dan waktu tunda juga tidak muncul. Kemudian,
13
persamaan (17) merupakan polinomial berderajat genap, bila didefinisikan
sebagai akar dari persamaan (17) maka akan diperoleh
√
{
}
(18)
Menurut aturan tanda Descrates, persamaan (17) akan memiliki paling tidak
satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien polinomnya lebih dari
satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (18) dapat diketahui jika
dan
,
(19)
menyebabkan persamaan polinom (17) tidak memiliki variasi perubahan tanda
koefisien sehingga persamaan (18) tidak memiliki akar real positif. Dalam hal ini
akan ditinjau jika
, (20)
, dan
,
akan ada dua solusi positif dari persamaan (18). Dengan demikian persamaan
(17) memiliki akar imajiner murni
. Sehingga dengan mensubtitusi
ke
persamaan (16) maka akan diperoleh nilai tunda kritis
{
(
(
}
(21)
Setelah menemukan nilai kritis tundaan
yang memuat akar karakteristik
yang terdapat pada garis imajiner maka dimungkinkan terjadi bifurkasi pada titik
tersebut, kemudian akan diselidiki kondisi transversalbilitas dengan membuktikan
bahwa akar karakteristik akan bergerak menuju bidang imajiner yang positif
ketika waktu tunda membesar melebihi waktu tunda
Bifurkasi terjadi apabila
persamaan (14) memenuhi kondisi transversalbilitas (9).
dapat dicari dengan
Jika
merupakan fungsi dalam ,
,
menggunakan turunan implisit dari persamaan karakteristik (14) sebagai berikut
sehingga,
(
Dari persamaan (14) diketahui bahwa
Dengan demikian,
, maka didapatkan
14
{
}
{
}
{
}
{
{
}
Dari persamaan (17), telah diketahui bahwa
,
maka diperoleh
{
}
{
}
}.
{
(22)
Persamaan (22) dan (18) tersebut menunjukkan bahwa
{
}
{
}
{√
sehingga
Lalu
{
akibatnya
}
{ √
{
|
|
},
.
}
.
},
Oleh karena itu, kondisi transversalbilitas terpenuhi dan karenanya terjadi
bifurkasi di
,
.
Teorema 3 (Kar 2003)
Misalkan
didefinisikan pada persamaan (21), jika persamaan (14) dan
(20) terpenuhi maka titik tetap adalah stabil ketika
}
15
[
dan tidak stabil ketika
,
[
,
untuk beberapa bilangan bulat positif m. Oleh karena itu terdapat bifurkasi di titik
tetap ketika
Simulasi Numerik Model dengan Waktu Tunda
Simulasi numerik model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan
konstan dan waktu tunda dilakukan untuk menunjukkan bahwa terdapat pengaruh
waktu tunda pada kestabilan titik tetap model. Proses komputasi ini menggunakan
sistem aljabar komputer Mathematica 9.
Nilai-nilai parameter yang akan digunakan harus terlebih dahulu memenuhi
batas keberadaan titik tetap dan sama seperti yang digunakan pada simulasi model
mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan dan tanpa waktu tunda. Nilai
parameter yang bernilai tetap untuk setiap simulasi yaitu
. Nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang akan
digunakan juga akan bernilai tetap yaitu
dan
. Selain
parameter yang telah disebutkan, perlu dilakukan pemilihan nilai awal dan
parameter waktu tunda yang ditujukkan untuk memperlihatkan perubahan
kestabilan titik tetap. Pada simulasi ini akan disediakan empat kasus untuk
menunjukkan keberadaan bifurkasi Hopf.
Tabel 2 Pemilihan nilai awal dan waktu tunda model
Kasus
1
2
3
4
0
1.2
1.53
1.37941
6.123
6.1
6.0715
6.0715
3.256
3.25
3.2642
3.2642
Kestabilan
Spiral stabil
Spiral stabil
Spiral tidak stabil
-
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
Kasus pertama menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal yang telah
diberikan pada Tabel 2. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
. Nilai eigen yang diperoleh adalah
,
sehingga kestabilan titik tetap bersifat spiral stabil.
Gambar 5 Bidang fase kasus 1
kasus 1
16
(a)
(b)
Gambar 6 Bidang solusi mangsa kasus 1 (a) dan pemangsa kasus 1 (b)
Gambar 5 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap yang menunjukkan
kedua populasi stabil menuju titik tetap
dan diperlihatkan
bahwa jenis kestabilan titik tetapnya adalah spiral stabil.
Gambar 6 (a) dan 6 (b) memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi
mangsa dan pemangsa memiliki dinamika pertumbuhan yang tidak stabil. Setelah
itu, populasi mangsa dan pemangsa mengalami kestabilan pada titik (56.84,6.046)
dan (59.48,3.252). Hal ini menunjukkan bahwa jumlah populasi mangsa terlebih
dahulu mengalami kestabilan lalu diikuti dengan kestabilan jumlah populasi
pemangsa.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
Kasus kedua menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal yang telah
diberikan pada Tabel 2. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
.
Gambar 7 Bidang fase kasus 2
kkkkasus 2
(a)
(b)
Gambar 8 Bidang solusi mangsa kasus 2 (a) dan pemangsa kasus 2 (b)
17
Gambar 7 menunjukkan kurva bergerak secara spiral menuju titik tetap
. Kestabilan dinamika populasi mangsa pemangsa dapat
dilihat dalam bidang solusi Gambar 8 (a) dan 8 (b). Di awal pertumbuhan populasi
mangsa-pemangsa terjadi ketidakstabilan jumlah, lalu semakin lama akan menuju
kestabilan pada titik (371, 6.063) dan (388.9, 3.25). Hal ini menunjukkan bahwa
jumlah populasi mangsa terlebih dahulu mengalami kestabilan lalu diikuti dengan
kestabilan jumlah populasi pemangsa. Perbedaan bidang solusi kasus pertama dan
kedua terlihat jelas pada Gambar 6 dan Gambar 8, yaitu dengan memberikan
waktu tunda
akan menyebabkan kedua populasi membutuhkan waktu
yang lebih lama untuk mencapai kestabilan.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3
Kasus ketiga menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal yang
telah diberikan pada Tabel 1 . Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
.
Gambar 9 Bidang fase kasus 3
(a)
(a)
(b)
Gambar 10 Bidang solusi mangsa kasus 3 (a) dan pemangsa kasus 3 (b)
Gambar 9 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol
bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap
.
Gambar bidang fase memperlihatkan bahwa penaikan nilai menjadi
menyebabkan perubahan jenis kestabilan menjadi tidak stabil. Kestabilan
dinamika populasi mangsa pemangsa dapat dilihat dalam bidang solusi gambar 10
(a) dan 10 (b). Di awal pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa terjadi osilasi
dengan simpangan yang kecil, namun semakin lama nilai simpangannya semakin
besar sehingga menyebabkan kedua populasi tidak stabil.
18
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 4
Kasus keempat menggunakan nilai parameter
, serta nilai awal
yang telah diberikan pada Tabel 1. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
penaikan nilai
.
Gambar 11 Bidang fase kasus 4
(a)
(b)
Gambar 12 Bidang solusi mangsa kasus 4 (a) dan pemangsa kasus 4 (b)
Kemunculan limit cycle pada Gambar 11 menunjukkan bahwa pada saat
terjadi bifurkasi Hopf. Gambar 11 juga menunjukkan bahwa sistem
kehilangan kestabilannya, yang berarti kedua populasi tidak menuju ataupun
menjauhi titik tetap . Gambar 12 menunjukkan bahwa kedua populasi akan terus
berosilasi dengan nilai simpangan yang sangat besar selama peroide waktu t. Oleh
karena itu,
merupakan titik kritis dari waktu tunda. Pada saat
kestabilan akan selalu bersifat stabil tetapi apabila
maka titik tetap akan kehilangan sifat kestabilannya dan menyebabkan munculnya
limit cycle. Pada saat
tetapi kurang dari titik kritis yang kedua,
kestabilan menjadi tidak stabil dan terdapat periode bifurkasi. Dengan mengikuti
Teorema 3, akan didapatkan titik kritis waktu tunda sebagai berikut,
,
,
,
,
,
.
19
SIMPULAN
Model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa
waktu tunda menghasilkan dua buah titik tetap positif yaitu dan . Kestabilan
titik tetap bersifat spiral stabil dan titik tetap bersifat sadel, sehingga tidak
akan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Dengan adanya pemberian waktu
tunda tak nol serta penyesuaian nilai parameter lainnya, maka akan diperoleh
suatu nilai waktu tunda saat terjadi bifurkasi Hopf. Perubahan parameter waktu
tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda kritis menyebabkan
perubahan kestabilan titik tetap stabil menjadi tidak stabil, disertai adanya
kemunculan limit cycle. Hal tersebut menandakan bahwa pada model mangsa
pemangsa dengan tingkat pemanenan dan waktu tunda terjadi bifurkasi Hopf.
20
DAFTAR PUSTAKA
Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematica Models in Biology. New York (US):
Random House.
Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time Delay.
Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458.
Kuang Y. 1993. Delay Differential Equation with Application in Population
Dynamics. Boston: Academic Press.
May RM. 1974. Stability and Complexity of Model Ecosystems. New Jersey (US):
Princeton University Press.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamic and Chaos with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley
Publishing Company.
Toaha S, Hassan MA. 2008. Stability Analysis of Predator-Prey Population Model
with Time Delay and Constant Rate of Harvesting. Punjab University of
Mathematics. 40:37-48.
Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in
Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equations and Dynamical System. New
York (US): Springer-Verlag.
Wang X. 2004. A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs. The American
Mathematical Monthly. 111: 525-526.
21
Lampiran 1 Penentuan kondisi keberadaan titik tetap model (12)
Model persamaan (12) :
Titik tetap persamaan (12) ditentukan dengan membuat persamaan menjadi
dan
, sehingga didapatkan sebuah hubungan berikut
Agar
maka
Dari persamaan
Nilai
diperoleh:
Dari persamaan
dan
diperoleh:
jika
Model (12) akan memiliki dua buah titik tetap yang positif apabila
memenuhi kondisi seperti diatas dan
untuk
22
Lampiran 2 Penentuan kestabilan titik tetap model (12)
Misalkan
Dengan melakukan pelinearan model (12) didapat matriks Jacobi seperti berikut
(
=
)
=
=
=
Misalkan
(
(
(
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan
karakteristik
sehingga diperoleh:
|
|
|
Menurut aturan Routh-Hurwitz, titik tetap
dan
.
|
akan bersifat stabil jika
23
Lampiran 3 Kode program simulasi numerik kasus 1 model (12)
Misalkan
[
dan
Kode untuk mencari titik tetap
][
Kode untuk matriks Jacobi
[
]
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk gambar bidang fase kasus 1 (Gambar 1)
{
[
]
}
[
][
]
[
]
Kode untuk gambar bidang solusi kasus 1 (Gambar 2)
][
]
]]
([
[[
([
[
]
[
[
][
]
]
]
[[
[
[
]]
]
]
24
Lampiran 4 Kode program simulasi numerik kasus 2 model (12)
[
Kode untuk mencari titik tetap
][
Kode untuk matriks Jacobi
[
]
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
[
[
]
pada matriks Jacobi
][
]
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk mendapatkan nilai eigen titik tetap
Kode untuk gambar bidang fase kasus 2 (Gambar3)
{
[
]
}
[
][
]
[
]
Kode untuk gambar bidang solusi kasus 2 (Gambar 4)
][
]
]]
([
[[
([
[
]
[
[
][
]
]
]
[[
[
[
]]
]
]
25
Lampiran 5 Linearisasi model (11)
Sistem persamaan model (11) :
Sistem persamaan (11) akan dilinearisasi dengan transformasi
dan
. Subtitusi
dan
ke persamaan (11)
sehingga didapatkan persamaan
̇
Dengan mengabaikan perkalian antar variabel dan antar konstanta, maka
didapatkan persamaan berikut:
̇
Atau ekuivalen dengan
̇
̇
Dengan mengabaikan perkalian antar variabel dan antar konstanta, maka
didapatkan persamaan berikut:
̇
Atau ekuivalen dengan
̇
26
Lampiran 6 Penentuan persamaan karakteristik (14)
Misalkan
̇
̇
)
(
(
(
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan
karakteristik
sehingga diperoleh:
|
|
(
|
|
27
Dengan
,
,
,
.
28
Lampiran 7 Penentuan akar persamaan karakteristik
(18)
Persamaan karakteristik (14)
Misalkan akar persamaan karakteristik (14)
menjadi
,
maka persamaan (14)
Dengan mengganti suku eksponensial menjadi trigonometri maka persamaannya
menjadi
.
Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama
dengan nol, sehingga didapatkan
,
,
atau ekuivalen dengan
.
Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing-masing
ruas persamaan menjadi
,
.
Kemudian kedua persamaan dijumlahkan serta dikelompokkan sesuai pangkat
+
=
maka diperoleh polinomial derajat empat
.
Lalu didapatkan
{
√
}
,
29
Lampiran 8 Penentuan waktu tunda kritis
(21)
Dari persamaan (16) didapatkan
Subtitusi
Misalkan
ke persamaan (16) untuk mendapatkan nilai τ
Dengan menggunakan kaidah sistem persamaan linear, maka untuk mendapatkan
dan adalah dengan cara berikut
|
|
maka
|
|
|
|
|
|
Serta
|
|
Maka
|
|
|
|
|
|
30
Untuk mendapatkan nilai , maka dilakukan cara manipulasi aljabar seperti
berikut
{
}
{
}
31
Lampiran 9 Penentuan turunan implisit persamaan karakteristik (14)
Persamaan karakteristik (14)
Persamaan (14) didiferensialkan terhadap
menjadi
(
(
(
Dari persamaan
diperoleh
.
Sehingga
(
(
,
32
Lampiran 10 Penjabaran fungsi sign
}
{
{
}
{
}
Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar mendapatkan
bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign
Bagian
(
(
(
[
Bagian
(
]
33
Sehingga
{
Dari persamaan (17), telah diketahui bahwa
}
maka diperoleh
{
}
{
{
}.
}
Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji pembilangnya saja
karena penyebutnya dalam bentuk kuadratik berderajat genap yang akan selalu
bernilai positif
}
{
34
Lampiran 11 Penjabaran kondisi transversalbilitas
{
{ (
{
}
}
{√
sehingga
√
|
Lalu
{
{ (
{ √
akibatnya
{
}
}
}
},
.
}
√
|
},
.
35
Lampiran 12 Program plot bidang fase kasus 1 (Gambar 5)
36
Lampiran 13 Program plot bidang solusi mangsa kasus 1 (Gambar 6 (a))
37
Lampiran 14 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 1 (Gambar 6 (b))
Lampiran 15 Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 7)
38
Lampiran 15 Program plot bidang fase kasus 2 (Gambar 7)
39
Lampiran 16 Program plot bidang solusi mangsa kasus 2 (Gambar 8 (a))
Lampiran 17 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 8 (b))
40
Lampiran 17 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 2 (Gambar 8(b))
41
Lampiran 18 Program plot bidang fase kasus 3 (Gambar 9 )
42
Lampiran 19 Program plot bidang solusi mangsa kasus 3 (Gambar 10 (a))
43
Lampiran 20 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 3 (Gambar 10 (b))
44
Lampiran 21 Program plot bidang fase kasus 4 (Gambar 11 )
45
Lampiran 22 Program plot bidang solusi mangsa kasus 4 (Gambar 12 (a))
46
Lampiran 23 Program plot bidang solusi pemangsa kasus 4 (Gambar 12 (b))
47
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 29 Oktober 1992. Penulis
merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Putu Seneng dan Ni Made
Warsika. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Danau Batur
pada tahun 2004, Sekolah Menengah Pertama di SMP Nusantara 1 Tangerang
pada tahun 2007, Sekolah Menengah Atas di SMAN 5 Tangerang pada tahun
2010, dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian
Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama perkuliahan penulis aktif di beberapa organisasi kampus maupun
luar kampus, yaitu Kesatuan Mahasiswa Hindu Dharma (KMHD) IPB, Gugus
Mahasiswa Matematika (Gumatika), dan Brahmacarya Bogor. Pada tahun 20102011, penulis aktif sebagai anggota KMHD IPB dan Brahmacarya Bogor. Pada
tahun 2011-2012, penulis aktif sebagai Bendahara II KMHD IPB. Pada tahun
2012-2013, penulis aktif sebagai Bendahara Umum KMHD IPB dan Staf Divisi
Math Event Gumatika. Selain itu penulis juga aktif dalam kepanitiaan acara
nasional sebagai Bendahara Umum dalam IPB Mathematics Challenge pada
tahun 2013.
Penulis juga aktif mengikuti lomba tingkat mahasiswa. Beberapa prestasi
yang pernah diraih oleh penulis antara lain Juara 1 volley putri SPIRIT FMIPA
IPB pada tahun 2012 dan Juara 1 volley putri SPIRIT FMIPA IPB pada tahun
2013.