Analisis Bifurkasi Pada Model Siklus Bisnis Is-Lm (Investment Saving-Liquidity Money)
ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM
(INVESTMENT SAVING-LIQUIDITY MONEY)
ROSMELY
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Bifurkasi pada
Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money) adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2016
Rosmely
G551130201
RINGKASAN
ROSMELY. Analisis Bifurkasi pada Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment
Saving-Liquidity Money). Dibimbing oleh ENDAR H NUGRAHANI dan PAIAN
SIANTURI.
Ekonomi makro merupakan studi tentang perekonomian secara keseluruhan,
yaitu menjelaskan perubahan yang terjadi pada perekonomian yang memengaruhi
setiap orang atau masyarakat secara keseluruhan, serta perusahaan, dan pasar.
Untuk menjelaskan hubungan antar variabel dalam ekonomi, para ekonom
menggunakan model matematika, yang ditulis dalam bentuk sistem persamaan
differensial. Salah satunya adalah model siklus bisnis IS-LM (Investment SavingLiquidity Money).
Model siklus bisnis IS-LM merupakan model ekonomi makro yang
dipresentasikan dalam bentuk sistem persamaan differensial, yang terdiri dari
variabel pendapatan, stok modal, dan suku bunga, serta melibatkan fungsi investasi,
fungsi simpanan, dan fungsi likuiditas atau permintaan akan uang. Model siklus
bisnis pertamakali diperkenalkan oleh Kalecki tahun 1935 dengan asumsi bahwa
keuntungan yang diperoleh akan disimpan untuk dipergunakan sebagai modal awal
investasi, sehingga menyebabkan adanya keterlambatan dalam proses investasi.
Keterlambatan ini disebut dengan waktu tunda. Penambahan waktu tunda pada
sistem persamaan differensial menyebabkan perubahan kestabilan pada titik
kesetimbangan sehingga terjadi bifurkasi.
Dalam penelitian ini akan dianalisis model siklus bisnis IS-LM tak linear.
Model ini merupakan model modifikasi yang diformulasikan dari model siklus
bisnis Zhou dan Li, dengan mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi investasi,
simpanan dan likuiditas menurut De Casare dan Sportelli.
Analisis model dilakukan dengan menentukan titik tetap, kemudian dilakukan
analisis kestabilan dari titik tetap tersebut dengan mengaplikasikan teori bifurkasi
Hopf. Model yang diteliti pada penelitian ini adalah model siklus bisnis IS-LM tak
linear dengan dua waktu tunda pada akumulasi stok modal. Waktu tunda
merupakan waktu yang dibutuhkan bagi pendapatan dan stok modal agar dapat
digunakan sebagai investasi. Model ini diamati pada empat kasus yang berbeda
berdasarkan waktu tunda. Kasus 1 adalah model tanpa waktu tunda, diperoleh dua
titik tetap, yaitu titik tetap pertama bersifat tak terisolasi dikarenakan adanya nilai
eigen bernilai nol, dan titik tetap kedua bersifat stabil asimtotik lokal jika memenuhi
kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Kasus 2 waktu tunda diberikan dalam persamaan
stok modal. Kasus 3 waktu tunda diberikan dalam persamaan pendapatan. Kasus 4
waktu tunda diberikan ke dalam kedua persamaan stok modal dan pendapatan. Pada
kasus dengan waktu tunda diperoleh nilai kritis tundaan, yang merupakan waktu
toleransi keterlambatan bagi pendapatan dan stok modal agar tetap sesuai dengan
keadaan yang rencanakan. Bifurkasi Hopf terjadi ketika nilai waktu tunda sama
dengan nilai kritis tundaan dan juga memenuhi kondisi transversalitas.
Pengamatan pada simulasi model dilakukan dengan menvariasikan nilai
waktu tunda. Saat bifurkasi Hopf terjadi, grafik pada bidang solusi memperlihatkan
pergerakan osilasi yang konstan dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok
modal. Apabila nilai waktu tunda yang diberikan kurang dari nilai kritis tundaan,
solusi sistem dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal memunyai solusi
sistem yang terkontrol menuju kondisi yang seimbang. Kemudian ketika nilai
waktu tunda diberikan lebih besar dari nilai kritis tundaan, solusi sistem dari tingkat
pendapatan, suku bunga, dan stok modal akan terus berfluktuasi sehingga
menyebabkan kondisi sistem yang tidak stabil.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, model IS-LM, waktu tunda
SUMMARY
ROSMELY. Bifurcation Analysis in IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money)
Business Cycle Models. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and PAIAN
SIANTURI.
Macroeconomics is the study of the overall economy, which explains the
changes in the economy affecting everyone or society as a whole, companies and
markets. To explain the relationship between the variables in the economy,
economists use mathematical models. This mathematical model is written in the
form of a system of differential equations. One of them is the business cycle model
IS-LM (Investment-Liquidity Saving Money).
IS-LM business cycle model is a macroeconomic model presented in the form
of differential equations system consisting of variable earnings, capital stock, and
interest rates, as well as involving the investment function, saving function, and the
function of liquidity or demand for money. Business cycle model is firstly
introduced by Kalecki in 1935 with the assumption that the profits will be stored to
be used as the initial capital investment, so that causes the delay in the investment
process. This delay is called the delay time. Extra time delay in the system of
differential equations lead to changes in the stability of the equilibrium point
resulting in a bifurcation.
In this study, we will be analyzing the nonlinear business cycle model IS-LM.
This model is a modified model formulated from the business cycle models of Zhou
and Li, by substituting the shape of a nonlinear function of investment, savings and
liquidity by De Casare and Sportelli.
Model analysis is done by determining the fixed points, then doing the
stability analysis of fixed points by applying the Hopf bifurcation theory. The
models examined in this study are the models of the IS-LM business cycle which is
not linear with two times delay on the accumulation of capital stock. The time delay
is the time required for revenue and capital stock which will be used as investments.
This model was observed in four different cases based on the time delay, i.e: Case
1 model without time delay, obtained two fixed point, namely the first fixed point
is not isolated because of the eigenvalues is zero, and another fixed point is
asymptotically stable local given that the Routh-Hurwitz stability criteria is
satisfied. Case 2 delay time is given in the equation of the capital stock. Case 3
delay time given in the income equation. Cases 4 delay time is given to the second
equation of the stock capital and income. In the delay time cases, we obtain delay
critical values. Value of the critical the delay is the tolerance time delay for income
and capital stock in keeping with the plan. The Hopf bifurcation occurs when the
value of the delay time equal to the critical value and also meet the conditions
transversalitas.
Observations on model simulations are carried out by varying the value of the
time delay. If the Hopf bifurcation occurs, then the graphics on the field of the
solution showed a constant oscillation movement of income levels, interest rates,
and stock capital. If the given value of a delay time is less than the value critical
delay, then system solutions from income levels, interest rates, and stock capital
will be controlled and towards to balanced conditions. In the other hand, if the given
value of the time delay is greater than the value critical delay, then the solution
systems of income levels, interest rates, and capital stock will continue to fluctuate.
Hence, the system would be unstable.
Keywords: Hopf bifurcation, IS-LM model, time delays
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM
(INVESTMENT SAVING-LIQUIDITY MONEY)
ROSMELY
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
PRAKATA
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga penulisan tesis ini berhasil diselesaikan. Sebesar
apapun kesyukran kita, tidak akan pernah bisa menyamai kenikmatan yang telah
Allah SWT berikan. Maha suci Engkau dengan segala Kuasa-Mu. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini ialah sistem persamaan differensial, dengan judul
Analisis Bifurkasi pada Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity
Money). Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor.
Dalam proses penulisan tesis ini, penulis menyadari bahwa telah memperoleh
dukungan dan bantuan dari banyak pihak. Mulai dari material, moral, spiritual, dan
juga psikologis. Untuk itu melalui kesempatan ini penulis ingin mengucapkan
terimakasih dan rasa hormat yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Erman S dan Ibu Yusda selaku orang tua penulis.
2. Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku Ketua Komisi Pembimbing.
3. Bapak Dr Paian Sianturi selaku Anggota Komisi Pembimbing.
4. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan
dan penguji luar komisi pada ujian tesis.
5. Seluruh dosen dan staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika.
6. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).
7. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dukungan dan do’a untuk
keberhasilan penulis.
8. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika dan Gugusan Mahasiswa
Pascasarjana Matematika Terapan IPB (GUMAPASTIKA), khususnya temanteman Angkatan Tahun 2013 Program Studi S2 Matematika Terapan.
9. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bimbingan, bantuan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.
Bogor, April 2016
Rosmely
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Differensial
Sistem Persamaan Differensial Tundaan
Persamaan Karakteristik Tundaan
Titik Tetap
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Bifurkasi Hopf
Nilai Kritis Tundaan
Model Siklus Bisnis IS-LM
Fungsi , , dan
3 METODE PENELITIAN
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Siklus Bisnis IS-LM Tak Linear
Penentuan Titik Tetap
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Analisis Kestabilan
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠ 0, � = 0
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠ 0, � ≠ 0
5 SIMULASI MODEL
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠ 0, � = 0
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠ 0, � ≠ 0
6 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
vi
vi
1
1
2
2
3
3
3
3
4
5
5
6
8
10
10
11
11
12
12
13
13
14
16
19
20
20
20
22
24
27
27
27
28
29
43
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Bidang solusi sistem tanpa waktu tunda pada titik tetap
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 3.994
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 4.5
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 2.610
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 3.5
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 6, � = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 7.39,� = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 7.7, � = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5, � = 4
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5, � = 5.56
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5, � = 6
20
21
21
22
22
23
23
24
24
25
25
26
26
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan Titik Tetap
2 Pelinearan Model dan Penentuan Persamaan Karakteristik dengan Waktu
Tunda
3 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠ 0 setelah disubstitusi =
4 Bukti Lemma 2
5 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � = 0, � ≠ 0
6 Bukti Lemma 1
7 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠ 0 setelah disubstitusi =
8 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � ≠ 0, � = 0
9 Program Plot Bidang Solusi (Gambar 1)
31
33
35
36
37
38
40
41
42
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Ekonomi makro (makroekonomi) merupakan studi tentang perekonomian
secara keseluruhan, yaitu menjelaskan perubahan yang terjadi pada perekonomian
yang memengaruhi setiap orang atau masyarakat secara keseluruhan, serta
perusahaan, dan pasar. Untuk memudahkan pekerjaannya para ekonom
menggunakan model matematika untuk menjelaskan hubungan antar variabel
dalam ekonomi. Model makroekonomi mengasumsikan bahwa harga bersifat
fleksibel atau harga bersifat kaku. Harga bersifat kaku artinya harga tidak
menanggapi perubahan pada kebijakan yang dikeluarkan oleh pemerintah. Modelmodel dengan harga fleksibel menjelaskan perekonomian dalam jangka panjang,
sedangkan model-model dengan harga kaku menjelaskan perekonomian dalam
jangka pendek. Salah satu model makroekonomi jangka pendek adalah model siklus
bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money). Siklus bisnis merupakan teori
yang menjelaskan fluktuasi pertumbuhan ekonomi. Kemudian model yang
digunakan untuk menganalisis interaksi antara pasar barang dan pasar uang adalah
model IS-LM. Dua bagian dari model IS-LM adalah kurva IS dan kurva LM. IS
menyatakan investasi dan simpanan, serta kurva IS menunjukan hubungan negatif
antara tingkat bunga dan tingkat pendapatan yang terjadi pada pasar barang dan jasa.
Sedangkan LM menyatakan likuiditas dan uang, serta kurva LM menunjukkan
hubungan positif antara tingkat bunga dan tingkat pendapatan sambil
mempertahankan tingkat bunga tetap yang terjadi pada pasar uang dan modal
(Mankiw 2007).
Ada beberapa model siklus bisnis, yaitu model siklus bisnis IS-LM yang
pertama kali diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dan Kaldor (1940), model siklus
bisnis Torre (1977), model siklus bisnis Gabrisch dan Lorenz (1987), model siklus
bisnis Cai (2005), dan model siklus bisnis Zhou dan Li (2009).
Model siklus bisnis IS-LM merupakan model makroekonomi yang
dipresentasikan dalam bentuk sistem persamaan differensial, yang terdiri dari
variabel pendapatan, stok modal, dan suku bunga. Serta melibatkan fungsi investasi,
fungsi simpanan, dan fungsi likuiditas atau permintaan akan uang. Model siklus
bisnis yang diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dengan asumsi bahwa keuntungan
yang diperoleh akan disimpan untuk dipergunakan sebagai modal awal investasi.
Sehingga menyebabkan adanya keterlambatan dalam proses investasi.
Keterlambatan ini disebut dengan waktu tunda. Penambahan waktu tunda pada
sistem persamaan differensial menyebabkan perubahan kestabilan pada titik
kesetimbangan sehingga terjadi bifurkasi (Tu 1994). Pada model siklus bisnis Zhou
dan Li (2009) waktu tunda diberikan dalam persamaan akumulasi modal yang
dipertimbangkan dalam proses investasi sesuai dengan ide Kalecki.
Dalam penelitian ini akan dianalisis model siklus bisnis IS-LM tak linear.
Model ini merupakan modifikasi dari model siklus bisnis Zhou dan Li (2009),
dengan mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi investasi, fungsi simpanan, dan
permintaan uang, berdasarkan ide De Casare dan Sportelli (2005).
Bentuk tak linear dari fungsi investasi merupakan hasil perkalian antara
tingkat produktivitas teknologi dengan tingkat pendapatan yang berbanding terbalik
2
dengan tingkat suku bunga. Bentuk tak linear dari fungsi simpanan merupakan hasil
perkalian tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan dengan tingkat suku
bunga. Bentuk tak linear dari fungsi permintaan uang merupakan jumlah dari
permintaan uang terhadap pendapatan dengan permintaan uang terhadap suku
bunga. Saat melakukan simulasi numerik dengan fungsi tak linear ini, jika diberikan
data yang tepat diharapkan mampu menghasilkan nilai yang lebih realistis.
Analisis pada model siklus bisnis IS-LM tak linear dilakukan dengan
menentukan titik kestabilan dan diperiksa apakah terjadi bifurkasi Hopf yang
memenuhi kondisi transversalitas. Simulasi model diberikan pada pembahasan
selanjutnya untuk memperlihatkan dinamika model yang disajikan dalam bentuk
grafik.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai dari
penelitian ini ialah sebagai berikut:
1. Memodifikasi model siklus bisnis Zhou dan Li dengan dua waktu tunda, yaitu
dengan mensubstitusi fungsi I, S, dan L tak linear sehingga diperoleh model baru
yang berbentuk model siklus bisnis IS-LM tak linear.
2. Menganalisis kestabilan pada model siklus bisnis IS-LM tak linear.
3. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis IS-LM tak
linear.
4. Melakukan simulasi numerik untuk memperlihatkan perubahan perilaku
kestabilan sistem.
Manfaat Penelitian
Penelititan ini diharapkan dapat membantu pelaku ekonomi untuk
mengetahui perilaku sistem ekonomi secara kualitatif, sehingga dapat membantu
dalam mempertimbangkan pembuatan kebijaksanaan. Penelitian ini juga
menambah kontribusi keilmuan dalam bidang sistem persamaan differensial.
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori pendukung yang
digunakan dalam penelitian ini, serta beberapa penelitian terdahulu dengan tema
model siklus bisnis.
Sistem Persamaan Differensial
Bentuk umum dari persamaan differensial orde satu adalah
�̇
=
�
+�
; � 0 =� ,
(2.1)
di mana adalah matriks koefisien n×n dan b adalah vektor konstan berukuran
n×1. Persamaan (2.1) disebut homogen jika b = 0 sehingga solusi dari sistem adalah
semua x yang memenuhi persamaan �̇ = � (Tu 1994).
Sistem Persamaan Differensial Tundaan
Kuang (1993) menyatakan persamaan differensial tundaan dapat ditulis
dalam bentuk
�̇
atau
di mana �
= (�
�̇
,�
= �
−� ,
adalah waktu tunda.
−�
(2.2)
Persamaan Karakteristik Tundaan
Secara umum, Kuang (1993) menyatakan bentuk linear persamaan
differensial tundaan orde tinggi sebagai berikut:
Misalkan �
=
�
�
∑
=
+∑
− � = 0.
�
=
, maka persamaan (2.3) dapat ditulis kembali menjadi
�
∑
=
∑
=
�
�
(∑
=
+∑
=
+∑
=
+∑
=
� −�
�
−��
−��
= 0,
= 0,
) = 0.
(2.3)
4
Karena
�
≠ 0, maka
=
=
= 0.
−��
+∑
∑
(2.4)
Persamaan (2.4) adalah persamaan karakteristik dengan waktu tunda. Misalkan
dan
=∑
=∑
=
=
maka persamaan (2.4) dapat ditulis kembali
−��
+
= 0.
(2.5)
Jika persamaan differensial tundaannya orde satu maka
=
= +
, sehingga persamaan karakteristik tundaan ialah
+
+
−��
+
+
dan
= 0.
Kemudian untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen ditentukan
dengan mencari solusi dari persamaan (2.2). Misalkan � = � � adalah solusi
dari persamaan (2.2) dengan � vektor berukuran × . Maka � = � �
memenuhi �̇
= � − � . Sehingga berlaku
�̇
−� ⟺ � � = � �
⟺ � � = � �
⟺ � = � −�� ,
= �
−�
−��
ini adalah persamaan nilai eigen. Setiap nilai dari memunyai solusi tak nol untuk
setiap �. � dinamakan vektor eigen. Jika ditulis kembali sebagai berikut:
(
−
−��
−��
=|
� = 0,
di mana adalah matriks identitas, jelas bahwa jika − −�� memunyai invers
maka satu-satunya solusi adalah � = 0. Kemudian jika memiliki solusi tak trivial
� ≠ 0 maka haruslah − −�� adalah singular, yaitu
(Robinson 2004).
det(
−
−
−��
|=0
Titik Tetap
Secara umum, titik � ∗ disebut titik tetap bagi �̇ = � jika � ∗ = 0 .
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan, yaitu suatu keadaan di
mana solusi dari persamaan differensial tersebut tidak lagi beubah terhadap waktu.
Sifat kestabilan titik tetap dapat dilihat dari bagian real dari nilai eigen atau akar
karakteristik dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det −
= 0. Sifat
kestabilan tersebut adalah stabil secara asimtotik atau tak stabil. Stabil asimtotik
5
adalah jika � merupakan solusi dari �̇ = � dengan �
= � maka �
∗
akan selalu konvergen ke titik � , dengan nilai awal , � sembarang (Robinson
2004).
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Jika akar karakteristik dari sistem (2.1) susah dicari atau tidak mudah untuk
menentukan kestabilan titik tetap dengan hanya menggunakan tanda bagian real
dari nilai eigen. Maka, diperlukan metode lain untuk menentukan kestabilan titik
tetap ini. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah kriteria kestabilan RouthHurwitz, yang dinyatakan dalam Teorema 1 berikut:
= 0 jika > . Semua
Teorema 1. Misalkan , , … , bilangan-bilangan real,
nilai dari persamaan karakteristik
=
+
−
+
+
−
+
−
+
= 0,
(2.6)
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap = 1,2, … , ,
determinan dari matriks :
1
0
=
0
[0
−
1
0
0
⋱
−
−
−
]
adalah positif. Untuk suatu = 2,3,4 disebutkan bahwa nilai eigen
persamaan karakteristik (2.6) stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika
=2
> 0 dan
> 0,
=3
> 0 dan
> 0 dan
> ,
=4
> 0 dan
> 0 dan
> 0 dan
>
+
,
(Fisher 1990).
dari
Bifurkasi Hopf
Strogatz (1994) menjelaskan bahwa bifurkasi adalah suatu kondisi di mana
terjadi perubahan struktur kualitatif, yaitu perubahan kestabilan titik tetap. Titik
yang mengalami kondisi perubahan ini disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satudimensi ditemukan kasus-kasus bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical,
bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus duadimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dalam suatu
sistem dinamis. Siklus batas merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi
artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus batas. Hal ini
terjadi pada saat kesetimbangan mengalami perubahan kestabilan. Titik bifurkasi
terjadi pada saat sistem melalui sepasang nilai eigen imajiner murni. Bifurkasi dapat
bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan siklus batas menjadi stabil
atau tidak stabil.
6
Nilai Kritis Tundaan
Forde dan Nelson (2004) mengatakan bahwa ketika waktu tunda tidak ada
atau � = 0 , maka titik tetap akan stabil jika akar dari persamaan karakteristik
memiliki bagian real yang negatif. Ketika � ≠ 0 maka akar karakteristik akan
mengalami perubahan kestabilan, yaitu mengalami transisi dari memiliki bagian
real negatif menjadi bagian real positif. Jika ini terjadi, maka harus ada kasus batas
dinamakan nilai kriris tundaan. Perubahan kestabilan ini terjadi ketika persamaan
(2.5) memiliki akar imajiner murni.
Misal akar persamaan (2.5) adalah = , > 0, ∈ ℝ, sehingga persamaan
(2.5) menjadi
− �
+
= 0.
Jika bagian polinomial dipisahkan menjadi bagian real dan imajiner, serta
suku ekspoensial diubah dalam bentuk trigonometri, maka diperoleh
dengan
+
+(
=∑ −
=∑ −
+
+
+
cos � − sin �
,
,
=∑ −
+
=∑ −
+
=0
+
+
(2.7)
,
,
di mana
dan
adalah polinomial genap dari .
dan
adalah polinomial
ganjil. Agar persamaan (2.7) berlaku, maka kedua bagian real dan imajiner harus
sama dengan nol, sehingga diperoleh persamaan
atau
+
−
{
{
−
cos � +
sin � +
=
=
sin � = 0
cos � = 0
cos � +
sin � −
sin �
cos � .
(2.8)
(2.9)
Kuadratkan persamaan (2.9) kemudian jumlahkan sehingga diperoleh hasil
+
=
+
,
(2.10)
dari persamaan (2.10) dapat dilihat dua hal. Pertama, bentuk trigonometri
menghilang dan waktu tunda � juga tidak muncul. Kedua, persamaan (2.10) ini
sama dengan polinomial genap. Definisikan variabel baru = , maka persamaan
(2.10) dapat ditulis kembali
=
+
+
+
+
+
= 0,
(2.11)
di mana adalah polinomial pada dan , , , , … , adalah koefisien fungsi
polinomial. Jika akar real dari adalah negatif, maka tidak terdapat solusi ∗ ∈ ℝ
7
secara simultan memenuhi persamaan (2.9). Sebaliknya, jika terdapat akar real
positif ∗ untuk , maka terdapat suatu nilai � yang bersesuaian ∗ = ±√ ∗ yang
merupakan solusi bagi kedua persamaan (2.9). Untuk melihat hal ini, misalkan
ditemukan ∗ sehingga
∗
∗
+
∗
=
∗
+
.
∗
∗
, dari persamaan sebelumnya dapat
Misalkan
=√
+
∗
∗
dinyatakan bahwa titik −
,
berada dalam suatu lingkaran dengan jarijari . Perhatikan persamaan (2.9) dapat ditulis kembali
∗
−
∗
Misal
∗
{
= cos dan
∗
=
=
−
∗
∗
∗
∗
cos
∗
sin
= sin , maka
∗
=
=
∗
� +
∗
� −
∗
sin
�
∗
cos
�
.
cos cos ∗ � + sin sin ∗ �
cos sin ∗ � − sin cos ∗ �
(2.12)
(2.13)
Menggunakan sifat trigonometri diperoleh
∗
−
{
∗
=
=
cos
sin
∗
∗
�−
�−
,
.
Nilai � ∗ dapat ditemukan dengan mengalikan persamaan (2.12) dengan cos
dan persamaan (2.13) dengan sin , yaitu
∗
−
∗
cos
sin
cos cos ∗ � + sin sin ∗ � cos ,
sin cos sin ∗ � − sin cos ∗ � ,
=
=
kemudian kurangkan kedua persamaan tersebut, sehingga diperoleh
sehingga
�
∗
=
−
−
∗
∗
∗
∗
cos −
cos −
{
−
∗
∗
sin =
sin =
−
cos
cos
∗
∗
cos
�,
}+
∗
�+
� ,
sin
cos
∗
�
= 0,1,2,…
(2.14)
Hasil pada (2.14) menunjukkan terdapat tak hingga � ∗ yang memenuhi
persamaan (2.5). Oleh karena itu, pilih = 0 agar efektif. Jadi nilai � ∗ = � inilah
yang merupakan titik kritis tundaan.
Setelah menemukan nilai kritis tundaan � ∗ dan titik � = ∗ di mana suatu
akar persamaan karakteristik bernilai imajiner murni, ini adalah yang diperlukan
untuk mengkonfirmasi terjadinya perubahan akar dari memiliki bagian negatif
menjadi positif di karenakan � meningkat. Kondisi ini dinamakan kondisi
8
transversalitas. Lemma 1 berikut menjamin terpenuhinya kondisi transversalitas
atau nondegeneracy.
Lemma 1
Jika � = � ∗ dan
∗
=
memenuhi persamaan karakteristik (2.5), maka
�
jika dan hanya jika
∗
′
∗
Re
|
′
∗
∗
+
�=�� ∗ ,�= ∗
Bukti diberikan pada Lampiran 6.
∗
≠
>0
′
∗
+
∗
′
∗
.
Model Siklus Bisnis IS-LM
Model IS-LM merupakan salah satu model dalam bidang ekonomi makro.
Model ini menjelaskan hubungan antara fungsi investasi , fungsi simpanan
,
dan fungsi permintaan uang atau likuiditas
. Model siklus bisnis pertama kali
diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dan Kaldor (1940) dalam bentuk sistem
persamaan differensial, yaitu
�
��
�
=
= (�
�
,
,
��
,
−
�
,
(2.18)
adalah laju pendapatan, � adalah laju stok modal, � ,
dan
� ,
adalah fungsi investasi dan fungsi simpanan yang bergantung pada
pendapatan dan stok modal, dan > 0 adalah percepatan akibat kelebihan atau
kekurangan investasi.
Pada tahun 1977, Torre mengubah model ini dengan mengganti variabel stok
modal
dengan variabel suku bunga
yang kemudian ini menjadi model
siklus bisnis IS-LM standar,
dengan
�
�
=
�
= ( (�
,
,
−
�
− ̅ ,
,
(2.19)
adalah fungsi permintaan uang yang
dengan � adalah tingkat bunga, (� ,
bergantung pada pendapatan dan suku bunga, > 0 adalah percepatan yang
disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan permintaan akan uang, dan ̅ > 0
adalah konstanta persediaan uang.
Kemudian pada tahun 1987, Gabisch dan Lorenz menambahkan variabel stok
modal
ke dalam model siklus bisnis Torre, sehingga model pada persamaan
(2.19) menjadi
9
�
=
,
(�
= ( (�
= (�
,
,
,
,
− (�
− ̅
−�
,
(2.20)
,
dengan � > 0 adalah konstanta penyusutan modal.
Berdasarkan ide Kalecki dengan asumsi bahwa bagian yang disimpan dari
investasi dan pertumbuhan modal adalah karena keputusan investasi pada masa lalu,
Cai (2005) menambahkan elemen waktu tunda pada fungsi investasi pada
persamaan stok modal
dengan mempertimbangkan bahwa adanya
keterlambatan/waktu tunda (delay) antara waktu di mana besar investasi pada suatu
stok modal siap untuk digunakan dan akan digunakan. Sehingga model persamaan
(2.20) menjadi
�
=
,
(�
= ( (�
,
,
= (�
−� ,
,
=
− ̅
− (�
,
−�
,
,
(2.21)
dengan � adalah waktu tunda.
Selanjutnya pada tahun 2009, Zhou dan Li menambahkan dua waktu tunda
pada proses investasi dalam akumulasi stok modal pada model persamaan (2.21).
Dengan asumsi bahwa fungsi investasi pada akumulasi modal bergantung pada
pendapatan dan stok modal, kedua-duanya bergantung pada keadaan masa lalu dan
masa persiapan yang berbeda, sehingga fungsi investasi menjadi
(�
,
(�
,
+
,
(
sehingga pendapatan dan stok modal harus menjadi pertimbangan jika akan
melakukan investasi yang baru, dan karena dibutuhkan masa persiapan yang disebut
dengan waktu tunda agar investasi dapat digunakan sebagai stok modal maka
(�
+
,
(
=
(�
−� ,
+
(
−�
.
adalah
Fungsi investasi
hanya bergantung pada stok modal
dan (
= , di mana −1 <
< 0 adalah penurunan investasi
linear, misal (
terhadap stok modal
, sehingga dapat ditulis ulang
(�
,
+
(
=
(�
−� ,
+
−� .
Berdasarkan uraian di atas maka persamaan akumulasi stok modal menjadi:
=
(�
−� ,
− �−
−� ,
di mana � dan � adalah waktu tunda.
Berdasarkan uraian di atas model siklus bisnis Zhou dan Li adalah
10
�
,
= [ (�
=
=
[ �
(�
+
− ̅]
,
−� ,
− (�
,
− �−
]
(2.22)
−� .
Ketika � = 0, sistem persamaan (2.22) adalah sama dengan sistem persamaan
(2.21) kecuali bahwa asumsi yang berbeda pada fungsi investasi (Zhou & Li 2009).
Fungsi �, �, dan �
Pada tahun 2005, De Casare dan Sportelli merumuskan fungsi , dan dalam
bentuk tak linear, dengan harapan bahwa ketika dilakukan simulasi numerik
dengan fungsi tak linear dan diberikan data yang tepat mampu menghasilkan nilai
yang lebih realistis. Berikut adalah bentuk tak linear dari fungsi , dan :
dengan
(�
,
(�
=
(�
,
(�
,
=
+
[� ]
,
[
]
[� ] [
] ,
=
(
= �
+
(2.23)
ℎ
− ̂
,
produktivitas teknologi,
>0
koefisien penyesuaian pada pasar barang,
>0
koefisien penyesuaian pada pasar uang,
>0
0 < < 1 tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
>0
jumlah permintaan uang terhadap pendapatan,
ℎ>0
jumlah permintaan uang terhadap suku bunga,
̂ >0
tingkat tetap paling rendah dari suku bunga.
3 METODE PENELITIAN
Penelitian ini menyajikan tinjauan matematis model siklus bisnis IS-LM tak
linear. Analisis dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan yang diambil dalam
penelitian ini. Langkah-langkah yang dilakukan adalah menetukan titik tetap atau
titik kesetimbangan dari sistem. Kemudian menunjukkan terjadinya perubahan
kestabilan pada titik kesetimbangan karena adanya waktu tunda dengan
mengaplikasikan teori bifurkasi Hopf. Hasil analisis disajikan pada simulasi
numerik dalam bentuk grafik.
11
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dan pembahasan dari model siklus bisnis IS-LM tak linear.
Analisis dilakukan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan pada perumusan
masalah.
Model Siklus Bisnis IS-LM Tak Linear
Model siklus bisnis IS-LM tak linear merupakan model modifikasi yang
diformulasikan dari model siklus bisnis Zhou dan Li pada persamaan (2.22) dengan
mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi , , dan berdasarkan ide De Casare
dan Sportelli pada persamaan (2.23) sehingga diperoleh model baru sebagai berikut:
�̇
dengan
̇
̇
=
=
=
[
�
[ �
�
−�
+
+
ℎ
−
− ̂
− �−
�
− ̅]
]
(3.1)
−� ,
�
pendapatan,
suku bunga,
stok modal,
investasi,
tabungan/simpanan,
likuiditas/permintaan uang,
produktivitas teknologi,
>0
>0
percepatan akibat kelebihan atau kekurangan investasi,
>0
percepatan yang disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan
permintaan akan uang,
�>0
konstanta penyusutan modal,
̅>0
konstanta persediaan uang,
−1 <
< 0 tingkat penurunan invetasi terhadap stok modal,
koefisien penyesuaian pada pasar barang,
>0
koefisien penyesuaian pada pasar uang,
>0
tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
0< 0
jumlah permintaan uang terhadap pendapatan,
jumlah permintaan uang terhadap suku bunga,
ℎ>0
̂ >0
tingkat tetap paling rendah dari suku bunga.
Pada pembahasan selanjutnya dari model siklus bisnis IS-LM tak linear ini
akan dicari titik tetap dan dianalisis kestabilan dari titik tetap tersebut. Karena ada
waktu tunda, maka akan ditunjukkan apakah terjadi bifurkasi Hopf. Kemudian
dilakukan simulasi model untuk melihat dinamika perubahan kestabilan sistem.
12
Simulasi disajikan dalam bentuk grafik dengan menggunakan parameter yang
memenuhi kriteria kestabilan sistem.
Penentuan Titik Tetap
��
�
Titik tetap dari persamaan (3.1) diperoleh dari
ditentukan saat � = � = 0, yaitu
[
�
+
−
[ �
+
�
�
ℎ
− ̂
− �−
=
�
�
=
��
�
= 0 dan
]=0
(3.2)
− ̅] = 0
= 0,
dengan menyelesaikan persamaan (3.2) diperoleh dua titik tetap, yaitu
= 0,
dengan
�∗
=
1
̅−
∗
ℎ
̅̂ +ℎ
,0 dan
̅
− ̂
,
∗
=(
= �∗ ,
�
�−
∗
) ,
,
∗
(3.3)
,
∗
=
�
�∗
∗
.
Secara lengkap langkah-langkah untuk memperoleh nilai titik tetap (3.3) dapat
dilihat pada Lampiran 1.
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Titik tetap pada model siklus bisnis IS-LM tak linear dengan waktu tunda
diasumsikan sama dengan titik tetap tanpa waktu tunda. Analisis model siklus
bisnis IS-LM tak linear dengan waktu tunda yang diberikan pada persamaan (3.1)
dianalisis menggunakan pendekatan linear berikut:
�̇
̇
̇
=
�
− �∗
− ∗ +
− ∗
�
−�
−�
−�
− �∗
− ∗ +
− ∗
�
−�
−�
−�
− �∗
− ∗ ,
− ∗
(3.4)
di mana , dan adalah matriks Jacobi (Zhou & Li 2009). adalah matriks
Jacobi dari persamaan (3.1) yang diturunkan terhadap variabel � ,
, dan
.
adalah matriks Jacobi dari persamaan (3.1) yang diturunkan terhadap variabel
� −� ,
− � , dan
− � . adalah matriks Jacobi dari persamaan (3.1)
yang diturunkan terhadap variabel � − � ,
− � , dan
− � . Oleh karena
itu, matriks Jacobi , dan adalah
13
=[
0
0 ],
0
0
= [0
0 0
0 0] ,
0 0
0 0
0
0
0
0 0 −� +
= [0
dengan
�
=
=−
−
−
ℎ
( − ̂
−
�
,
�
=−
,
�
=−
+
,
=
+
�
−
−
.
atau
,� ,�
= −
= +
=−
= �−
+
+
+
+
+
+
+
+
;
=
(
+
−
−��
−��
+
+
< 0,
=
+
+
+
+
−��
−
;
+
−
�
Selanjutnya dengan menyelesaikan det( − −
diperoleh persamaan karakteristik tundaan sebagai berikut:
+
−� �
> ,
−
(3.5)
,
−� �
−
−��
+
= 0 dengan
−
],
=0
=0
(3.6)
,
> 0,
=
+
+
;
> 0.
Secara lengkap penjabaran dari peliniearan dari model dengan waktu tunda
diberikan pada Lampiran 2.
Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan titik tetap dilihat dari akar karakteristik atau nilai eigen
yang diperoleh pada setiap titik tetap. Titik tetap akan bersifat stabil jika akar dari
persamaan (3.6) memunyai bagian real bernilai negatif (Tu 1994). Analisis
kestabilan diberikan dalam 4 kasus berbeda berdasarkan nilai waktu tunda berikut:
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Pada kasus ini kestabilan titik tetap dianalisis saat waktu tunda tidak ada atau
� = � = 0, sehingga persamaan karakteristik (3.6) menjadi
+
Terdapat
= 0,
+
+
= 0.
+ +
+
+
+
̅ ̂ +ℎ
�
,0
̅
�
+
= 0.
, dengan menyelesaikan det( −
= 0 diperoleh nilai eigen untuk titik tetap
adalah
1. Untuk titik tetap
−
+
= 0,
=−
̅
ℎ
,
= −� +
.
= 0, sehingga disimpulkan bahwa titik tetap
tak terisolasi.
−
14
, dengan menyelesaian det( −
= 0 diperoleh persamaan karakteristik tundaan berikut:
= �∗,
2. Untuk titik tetap
−
+
+
+
∗
∗
,
+
+
+
+
−
= 0.
+
(3.7)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk persamaan karakteristik berderajat tiga,
agar titik tetap
= � ∗ , ∗ , ∗ stabil asimtotik lokal harus memenuhi kriteria
berikut:
+ > 0 dan + + > 0 dan
+
+ +
−
+ +
> 0.
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk waktu tunda � dalam persamaan
stok modal. Kembali pada persamaan (3.6) dengan � = 0 dan � ≠ 0 sehingga
persamaan karakteristik tundaan menjadi
+
+
+
= 0.
+
−��
+
+
+ + +
+
= 0.
−��
(3.8)
Karena pada sistem terdapat waktu tunda � ≠ 0 , maka titik tetap akan
mengalami perubahan sifat kestabilan ketika akar karakteristik bernilai imajiner
murni (Forde & Nelson 2004). Misalkan persamaan karakteristik (3.8) memiliki
akar bernilai imajiner murni, yaitu = , > 0, ℝ , substitusi ke dalam
persamaan (3.8) diperoleh
�
+
�
= 0.
+
+
�
+
+
+
�
+
Kemudian ubah bentuk eksponen menjadi bentuk trigonometri, yaitu
cos � − sin � , sehingga diperoleh
�
+
�
+
cos � − sin �
+
= 0.
�
+
+
+
�
− ��
� +
+
− ��
=
� +
Pisahkan bagian polinomial menjadi bagian real dan imajiner. Bagian real dari
persamaan (3.8) adalah
−
+
+
+ −
+
cos � +
dan bagian imajiner dari persamaan (3.8) adalah
−
+
+
+
cos � − −
+
sin � = 0,
(3.9)
sin � = 0.
(3.10)
Selanjutnya untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � , dapat
dilakukan dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan (3.9) dan (3.10)
sehingga diperoleh
+
+
−
−
+
−
= 0,
+
+
−
+
−
−
+
(3.11)
15
atau
ℎ
dengan
=
=
=
=
+
−
+
+
+
−
−
+
.
−
+
,
+
=
−
−
,
Penjabaran dari persamaan (3.11) dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akar-akar dari persamaan (3.11) dapat diketahui dengan memisalkan
sehingga persamaan (3.11) menjadi
ℎ
=
+
+
+
= .
=
(3.12)
Nilai akar dari persamaan (3.12) dapat diketahui dengan menggunakan
lemma yang diberikan oleh Ruang dan Wei (2001), yaitu
Lemma 2
Definisikan ∆= − 3 .
i. Untuk < 0, persamaan (3.12) paling sedikit memiliki satu akar positif.
ii. Untuk
0 dan ∆< 0, persamaan (3.12) tidak memiliki akar positif.
iii. Untuk
0 dan ∆ 0, persamaan (3.12) memiliki akar positif jika dan hanya
1
jika = 3 − + √∆ > 0 dan ℎ
0.
Pembuktian dari Lemma 2 diberikan pada Lampiran 4.
,
Misalkan persamaan (3.12) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan
dan , maka akar-akar positif dari persamaan (3.11) adalah
,
=√
=√
, dan
=√
.
Perubahan nilai dari akar karakteristik terjadi karena � meningkat sehingga
diperlukan nilai batas, yang disebut nilai kritis tundaan dilambangkan dengan � , .
Selanjutnya dengan memanfaatkan persamaan (3.9) dan (3.10) yang dijabarkan
dalam Lampiran 5 diperoleh nilai kritis tundaan � , , yaitu
�
,
=
arccos −
(−
+
= 0,1,2,… , = 1,2,3.
+
(−
(−
+
+
+ (
+
+
−
+
�
;
(3.14)
Ada tak hingga banyaknya nilai � , yang memenuhi persamaan (3.8). Pilih nilai � ∗
yang merupakan nilai terkecil dari tak terhingga � , sebagai nilai kritis tundaan
yang dinyatakan dalam bentuk � ∗ =
min
� , . Nilai
dipilih dari ketiga
= , , ,…, = , ,
akar positif persamaan (3.12).
Saat nilai tundaan � meningkat mengakibatkan terjadinya perubahan nilai
akar karakteristik persamaan (3.11) dari memiliki bagian real negatif menjadi real
positif. Jika hal ini terjadi pada saat titik kritis tundaan � ∗ , maka akar-akar
persamaan (3.11) bernilai imajiner murni. Keadaan ini mengidentifikasi terjadinya
16
bifurkasi Hopf. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi kondisi
tranversalitas berikut:
�
Re
|
> 0.
�=� ∗ ,�= ∗
Menurut Forde dan Nelson (2004) kondisi tersebut terpenuhi jika dan hanya jika
∗
′
∗
′
∗
+
∗
′
∗
≠
∗
+
Misal = sebagai akar dari persamaan (3.8) memenuhi
persamaan (3.9) dan (3.10) diperoleh
=−
=−
+
+
+
+
,
,
kemudian dengan menurunkan terhadap , yaitu
′
′
= −2
= −3
,
+
+
+
= −2
= .
,
′
Oleh karena itu, sisi kiri adalah sebagai berikut:
−
+ +
−2
+ − +
= 3 + −4 + 2
−4
= 3 + −4 + 2
−4
Sisi kanan sebagai berikut:
−
+
−2
+
+(
+(
=2
=2
+
+
+
−3
−2
−2
+
+
=
=−
=
,
′
,
∗
+
+2
+2
′
∗
∗
.
, sehingga dari
,
+
−
−
−
−
.
.
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan,
sehingga kondisi tranversalitas terpenuhi yang mengakibatkan terjadinya
perubahan kestabilan titik kesetimbangan, yaitu terjadi bifurkasi Hopf saat � = � ∗ .
Di mana sistem akan stabil saat � < � ∗ dan menjadi tidak sabil saat � > � ∗ . Jadi
� ∗ (nilai kritis tundaan) merupakan perubahan nilai waktu tunda sehingga terjadi
bifurkasi Hopf.
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠ 0, � = 0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk watku tunda � dalam persamaan
pendapatan. Kembali pada persamaan (3.6) dengan � ≠ 0 dan � = 0, sehingga
persamaan karakteristik tundaan menjadi
+
+
+
+
+
−��
+
+
+
= 0.
+
+
−��
= 0.
(3.16)
Karena pada sistem terdapat waktu tunda � ≠ 0 , maka titik tetap akan
mengalami perubahan sifat kestabilan ketika akar karakteristik bernilai imajiner
17
murni (Forde & Nelson 2004). Misalkan persamaan karakteristik (3.16) memiliki
akar bernilai imajiner murni, yaitu = , > 0, ℝ , substitusi ke dalam
persamaan (3.16) diperoleh
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
− ��
+
= 0.
− ��
Kemudian ubah bentuk eksponen menjadi bentuk trigonometri dengan
cos � − sin � sehingga diperoleh
−
+
+
+
+
+
+
cos � − sin �
=
= 0.
Pisahkan bagian polinomial menjadi bagian real dan imajiner. Bagian real dari
persamaan (3.16) adalah
−
+
+
+
+
cos � = 0,
sin � +
dan bagian imajiner dari persamaan (3.16) adalah
−
+
+
+
(3.17)
sin � = 0.
cos � −
(3.18)
Selanjutnya untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � , dapat
dilakukan dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan (3.17) dan (3.18)
sehingga diperoleh
6
+ ((
atau
+
+(
− (
+
+
−
+ (
+
− (
=
+
+
+
−
−
−
+
+
= 0,
dengan
=
=
=
)
+
+
+
.
,
(
+
+
−
=
+
−
,
Penjabaran dari persamaan (3.19) dapat dilihat pada Lampiran 7.
Akar-akar dari persamaan (3.19) dapat diketahui dengan misalkan
sehingga persamaan (3.19) menjadi
=
+
+
=√
, dan
(3.19)
+
= .
=
(3.20)
Nilai akar dari persamaan (3.20) dapat diketahui dengan menggunakan
kembali Lemma 2 yang diberikan oleh Ruang dan Wei (2001). Misalkan persamaan
(3.20) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan , dan , maka akar-akar
positif dari persamaan (3.19) adalah
=√
,
=√
.
18
Perubahan nilai dari akar karakteristik terjadi karena � meningkat sehingga
diperlukan nilai batas, yang disebut nilai kritis tundaan � , . Selanjutnya dengan
memanfaatkan persamaan (3.17) dan (3.18) yang dijabarkan dalam Lampiran 8
diperoleh nilai kritis tundaan � , , yaitu
�
,
arccos (
=
(
−(
+(
+
)
+
+
= 0,1,2,…, = 1,2,3.
−(
+
�
)+
,
(3.21)
Ada tak hingga banyaknya nilai � , yang memenuhi persamaan (3.16). Pilih nilai
� ∗ yang merupakan nilai terkecil dari tak terhingga � , sebagai nilai kritis tundaan
yang dinyatakan dalam bentuk � ∗ =
min
� , . Nilai
dipilih dari ketiga
= , , ,…, = , ,
akar positif persamaan (3.20).
Saat nilai kritis tundaan � meningkat mengakibatkan terjadinya perubahan
nilai akar karakteristik persamaan (3.19) dari memiliki bagian real negatif menjadi
real positif. Jika hal ini terjadi pada saat titik kritis tundaan � ∗ , maka akar-akar
persamaan (3.19) bernilai imajiner murni. Keadaan ini mengidentifikasi terjadinya
bifurkasi Hopf. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi kondisi
tranversalitas berikut:
�
Re
|
�=� ∗ ,�= ∗
> 0.
Menurut Forde dan Nelson (2004) kondisi tersebut terpenuhi jika dan hanya jika
∗
′
∗
′
∗
+
∗
=−
=−
+
+
+
= −2
= −3
+
+
′
∗
≠
∗
+
Misal = sebagai akar dari persamaan (3.16) memenuhi
persamaan (3.17) dan (3.18) diperoleh
+
+
,
,
=
=
kemudian dengan menurunkan terhadap , yaitu
′
′
+
,
′
′
,
Oleh karena itu, sisi kiri adalah sebagai berikut:
−
+
=
+
+
+
−2
+
+
+
+
+
+
Sisi kanan sebagai berikut:
=
.
−
.
+ −
+
+
∗
∗
=
,
′
∗
.
, sehingga dari
,
= 0,
= .
+
+
+
−
+
+
+
−
19
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan,
sehingga kondisi tranversalitas terpenuhi yang mengakibatkan terjadinya
perubahan kestabilan titik kesetimbangan, yaitu terjadi bifurkasi Hopf saat � = � ∗ .
Di mana sistem akan stabil saat � < � ∗ dan menjadi tidak sabil saat � > � ∗ . Jadi
� ∗ (nilai kritis tundaan) merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan
model sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠ 0, � ≠ 0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk waktu tunda � dan � secara berturut
berada dalam persamaan pendapatan dan stok modal. Persamaan karakteristik
tundaan (Persamaan (3.6)), ialah
+
+
+
+
+
−��
+
+
+
−��
= 0.
Analisis kestabilan dilakukan dengan simulasi numerik berdasarkan hasil analisis
kestabilan sebelumnya yaitu pada Kasus 2 dan Kasus 3. Simulasi dilakukan (lihat
bab simulasi model) menggunakan Lemma 2.a dan Lemma 2.b yang diberikan
Zhou dan Li (2009) sebagai berikut:
Lemma 3.a
Jika semua akar persamaan (3.8) memiliki bagian real negatif untuk � > 0, maka
terdapat suatu � ∗ yang bergantung pada � , dinotasikan � ∗ � > 0. Demikian
sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian
real negatif.
Berdasarkan Kasus 2 diketahui bahwa � > 0 berada dalam keadaan stabil
ketika � < � ∗ . Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
� ∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
Lemma 3.b
Jika semua akar persamaan (3.16) memiliki bagian real negatif untuk � > 0, maka
terdapat suatu � ∗ yang mergantung pada � , dinotasikan � ∗ � > 0 . Demikian
sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian
real negatif.
Berdasarkan Kasus 3 diketahui bahwa � > 0 berada dalam keadaan stabil
ketika � < � ∗ . Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
� ∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
Bukti dari Lemma 3.a dan Lemma 3.b diberikan oleh Ruan dan Wei (2003).
20
5 SIMULASI MODEL
Simulasi dilakukan untuk memperlihatkan perubahan kestabilan sistem (3.1)
saat nilai waktu tunda divariasikan. Simulasi model ini disajikan dalam bentuk
grafik, dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter yang memenuhi kriteria
kestabilan sistem.
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Dinamika sistem digambarkan oleh kurva bidang solusi untuk memudahkan
melihat kestabilan sistem pada waktu . Simulasi dilakukan dengan mensubstitusi
nilai parameter = 0.1 , = 1 , = 1 , = 1.03 , = 0.6 , = -0.1 , � = 0.1 , =
0.08 , = 0.05 , ℎ = 0.01 , ̂ = 0.001, dan ̅ = 0.1. Diperoleh titik tetap = (0.,
0.101, 0.) dengan nilai eigen = (-0.1, 0, -0.2), = 1,2,3. Karena terdapat nilai
eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi. Kemudian titik tetap
= (1.704, 0.676, 1.095) berifat stabil asimtotik karena memenuhi kriteria
kestabilan Routh-Hurwitz. Berikut adalah gambar bidang solusi untuk model tanpa
waktu tunda pada titik tetap dengan nilai awal � = 1.5, = 0.5 dan = 1.
Y,R,K
2.0
1.5
t
50
100
150
200
250
300
1.0
Pendapatan �
Suku bunga
Stok modal
0.5
Gambar 1 Bidang solusi sistem tanpa waktu tunda pada titik tetap
Tingkat pendapatan, tingkat suku bunga, dan tingkat stok modal berosilasi di awal
kemudian menuju kestabilan pada titik
= (1.704, 0.676, 1.095). Dengan
demikian model tanpa waktu tunda bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Simulasi model dengan waktu tunda � ≠ 0 , titik kesetimbangan bersifat
stabil saat � < � ∗ dan menjadi tidak sabil saat � < � ∗ . Bifurkasi Hopf terjadi saat
� = � ∗ , di mana � ∗ adalah nilai kritis tundaan. Simulasi model dilakukan dengan
mensubstitusi nilai parameter = 0.1, = , = 1, = 1.03, = 0.6, = −0.2,
� = 0.1 ,
= 0.1 , = 0.05 , ℎ = 0.09 , ̂ = 0.001 , dan ̅ = 0.3 . Diperoleh titik
tetap = 1.492, 0.400, 0.872 bersifat stabil asimtotik karena memenuhi kriteria
kestabilan Routh-Hurwitz serta kriteria
0, ∆ 0,
> 0 dan ℎ
0. Nilai
21
kritis tundaan � ∗ = 3.994. Pengamatan dilakukan pada nilai � = 2, � = 3.994, dan
� = 4.5, dengan nilai awal � = 1.5, = 0.5 dan = 1.
Y,R,K
t
50
100
150
200
250
300
1.2
1.0
Pendapatan �
Suku bunga
Stok modal
0.8
0.6
0.4
Gambar 2 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 2
Nilai � = 2 merupakan nilai yang lebih kecil dari nilai kritis tundaan � ∗ = 3.994.
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal berosilasi di awal kemudian
menuju kestabila
(INVESTMENT SAVING-LIQUIDITY MONEY)
ROSMELY
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Bifurkasi pada
Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money) adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2016
Rosmely
G551130201
RINGKASAN
ROSMELY. Analisis Bifurkasi pada Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment
Saving-Liquidity Money). Dibimbing oleh ENDAR H NUGRAHANI dan PAIAN
SIANTURI.
Ekonomi makro merupakan studi tentang perekonomian secara keseluruhan,
yaitu menjelaskan perubahan yang terjadi pada perekonomian yang memengaruhi
setiap orang atau masyarakat secara keseluruhan, serta perusahaan, dan pasar.
Untuk menjelaskan hubungan antar variabel dalam ekonomi, para ekonom
menggunakan model matematika, yang ditulis dalam bentuk sistem persamaan
differensial. Salah satunya adalah model siklus bisnis IS-LM (Investment SavingLiquidity Money).
Model siklus bisnis IS-LM merupakan model ekonomi makro yang
dipresentasikan dalam bentuk sistem persamaan differensial, yang terdiri dari
variabel pendapatan, stok modal, dan suku bunga, serta melibatkan fungsi investasi,
fungsi simpanan, dan fungsi likuiditas atau permintaan akan uang. Model siklus
bisnis pertamakali diperkenalkan oleh Kalecki tahun 1935 dengan asumsi bahwa
keuntungan yang diperoleh akan disimpan untuk dipergunakan sebagai modal awal
investasi, sehingga menyebabkan adanya keterlambatan dalam proses investasi.
Keterlambatan ini disebut dengan waktu tunda. Penambahan waktu tunda pada
sistem persamaan differensial menyebabkan perubahan kestabilan pada titik
kesetimbangan sehingga terjadi bifurkasi.
Dalam penelitian ini akan dianalisis model siklus bisnis IS-LM tak linear.
Model ini merupakan model modifikasi yang diformulasikan dari model siklus
bisnis Zhou dan Li, dengan mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi investasi,
simpanan dan likuiditas menurut De Casare dan Sportelli.
Analisis model dilakukan dengan menentukan titik tetap, kemudian dilakukan
analisis kestabilan dari titik tetap tersebut dengan mengaplikasikan teori bifurkasi
Hopf. Model yang diteliti pada penelitian ini adalah model siklus bisnis IS-LM tak
linear dengan dua waktu tunda pada akumulasi stok modal. Waktu tunda
merupakan waktu yang dibutuhkan bagi pendapatan dan stok modal agar dapat
digunakan sebagai investasi. Model ini diamati pada empat kasus yang berbeda
berdasarkan waktu tunda. Kasus 1 adalah model tanpa waktu tunda, diperoleh dua
titik tetap, yaitu titik tetap pertama bersifat tak terisolasi dikarenakan adanya nilai
eigen bernilai nol, dan titik tetap kedua bersifat stabil asimtotik lokal jika memenuhi
kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Kasus 2 waktu tunda diberikan dalam persamaan
stok modal. Kasus 3 waktu tunda diberikan dalam persamaan pendapatan. Kasus 4
waktu tunda diberikan ke dalam kedua persamaan stok modal dan pendapatan. Pada
kasus dengan waktu tunda diperoleh nilai kritis tundaan, yang merupakan waktu
toleransi keterlambatan bagi pendapatan dan stok modal agar tetap sesuai dengan
keadaan yang rencanakan. Bifurkasi Hopf terjadi ketika nilai waktu tunda sama
dengan nilai kritis tundaan dan juga memenuhi kondisi transversalitas.
Pengamatan pada simulasi model dilakukan dengan menvariasikan nilai
waktu tunda. Saat bifurkasi Hopf terjadi, grafik pada bidang solusi memperlihatkan
pergerakan osilasi yang konstan dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok
modal. Apabila nilai waktu tunda yang diberikan kurang dari nilai kritis tundaan,
solusi sistem dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal memunyai solusi
sistem yang terkontrol menuju kondisi yang seimbang. Kemudian ketika nilai
waktu tunda diberikan lebih besar dari nilai kritis tundaan, solusi sistem dari tingkat
pendapatan, suku bunga, dan stok modal akan terus berfluktuasi sehingga
menyebabkan kondisi sistem yang tidak stabil.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, model IS-LM, waktu tunda
SUMMARY
ROSMELY. Bifurcation Analysis in IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money)
Business Cycle Models. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and PAIAN
SIANTURI.
Macroeconomics is the study of the overall economy, which explains the
changes in the economy affecting everyone or society as a whole, companies and
markets. To explain the relationship between the variables in the economy,
economists use mathematical models. This mathematical model is written in the
form of a system of differential equations. One of them is the business cycle model
IS-LM (Investment-Liquidity Saving Money).
IS-LM business cycle model is a macroeconomic model presented in the form
of differential equations system consisting of variable earnings, capital stock, and
interest rates, as well as involving the investment function, saving function, and the
function of liquidity or demand for money. Business cycle model is firstly
introduced by Kalecki in 1935 with the assumption that the profits will be stored to
be used as the initial capital investment, so that causes the delay in the investment
process. This delay is called the delay time. Extra time delay in the system of
differential equations lead to changes in the stability of the equilibrium point
resulting in a bifurcation.
In this study, we will be analyzing the nonlinear business cycle model IS-LM.
This model is a modified model formulated from the business cycle models of Zhou
and Li, by substituting the shape of a nonlinear function of investment, savings and
liquidity by De Casare and Sportelli.
Model analysis is done by determining the fixed points, then doing the
stability analysis of fixed points by applying the Hopf bifurcation theory. The
models examined in this study are the models of the IS-LM business cycle which is
not linear with two times delay on the accumulation of capital stock. The time delay
is the time required for revenue and capital stock which will be used as investments.
This model was observed in four different cases based on the time delay, i.e: Case
1 model without time delay, obtained two fixed point, namely the first fixed point
is not isolated because of the eigenvalues is zero, and another fixed point is
asymptotically stable local given that the Routh-Hurwitz stability criteria is
satisfied. Case 2 delay time is given in the equation of the capital stock. Case 3
delay time given in the income equation. Cases 4 delay time is given to the second
equation of the stock capital and income. In the delay time cases, we obtain delay
critical values. Value of the critical the delay is the tolerance time delay for income
and capital stock in keeping with the plan. The Hopf bifurcation occurs when the
value of the delay time equal to the critical value and also meet the conditions
transversalitas.
Observations on model simulations are carried out by varying the value of the
time delay. If the Hopf bifurcation occurs, then the graphics on the field of the
solution showed a constant oscillation movement of income levels, interest rates,
and stock capital. If the given value of a delay time is less than the value critical
delay, then system solutions from income levels, interest rates, and stock capital
will be controlled and towards to balanced conditions. In the other hand, if the given
value of the time delay is greater than the value critical delay, then the solution
systems of income levels, interest rates, and capital stock will continue to fluctuate.
Hence, the system would be unstable.
Keywords: Hopf bifurcation, IS-LM model, time delays
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM
(INVESTMENT SAVING-LIQUIDITY MONEY)
ROSMELY
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
PRAKATA
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga penulisan tesis ini berhasil diselesaikan. Sebesar
apapun kesyukran kita, tidak akan pernah bisa menyamai kenikmatan yang telah
Allah SWT berikan. Maha suci Engkau dengan segala Kuasa-Mu. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini ialah sistem persamaan differensial, dengan judul
Analisis Bifurkasi pada Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity
Money). Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor.
Dalam proses penulisan tesis ini, penulis menyadari bahwa telah memperoleh
dukungan dan bantuan dari banyak pihak. Mulai dari material, moral, spiritual, dan
juga psikologis. Untuk itu melalui kesempatan ini penulis ingin mengucapkan
terimakasih dan rasa hormat yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Erman S dan Ibu Yusda selaku orang tua penulis.
2. Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku Ketua Komisi Pembimbing.
3. Bapak Dr Paian Sianturi selaku Anggota Komisi Pembimbing.
4. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan
dan penguji luar komisi pada ujian tesis.
5. Seluruh dosen dan staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika.
6. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).
7. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dukungan dan do’a untuk
keberhasilan penulis.
8. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika dan Gugusan Mahasiswa
Pascasarjana Matematika Terapan IPB (GUMAPASTIKA), khususnya temanteman Angkatan Tahun 2013 Program Studi S2 Matematika Terapan.
9. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bimbingan, bantuan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.
Bogor, April 2016
Rosmely
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Differensial
Sistem Persamaan Differensial Tundaan
Persamaan Karakteristik Tundaan
Titik Tetap
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Bifurkasi Hopf
Nilai Kritis Tundaan
Model Siklus Bisnis IS-LM
Fungsi , , dan
3 METODE PENELITIAN
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Siklus Bisnis IS-LM Tak Linear
Penentuan Titik Tetap
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Analisis Kestabilan
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠ 0, � = 0
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠ 0, � ≠ 0
5 SIMULASI MODEL
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠ 0, � = 0
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠ 0, � ≠ 0
6 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
vi
vi
1
1
2
2
3
3
3
3
4
5
5
6
8
10
10
11
11
12
12
13
13
14
16
19
20
20
20
22
24
27
27
27
28
29
43
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Bidang solusi sistem tanpa waktu tunda pada titik tetap
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 3.994
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 4.5
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 2.610
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 3.5
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 6, � = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 7.39,� = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 7.7, � = 2
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5, � = 4
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5, � = 5.56
Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 1.5, � = 6
20
21
21
22
22
23
23
24
24
25
25
26
26
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan Titik Tetap
2 Pelinearan Model dan Penentuan Persamaan Karakteristik dengan Waktu
Tunda
3 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠ 0 setelah disubstitusi =
4 Bukti Lemma 2
5 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � = 0, � ≠ 0
6 Bukti Lemma 1
7 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠ 0 setelah disubstitusi =
8 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � ≠ 0, � = 0
9 Program Plot Bidang Solusi (Gambar 1)
31
33
35
36
37
38
40
41
42
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Ekonomi makro (makroekonomi) merupakan studi tentang perekonomian
secara keseluruhan, yaitu menjelaskan perubahan yang terjadi pada perekonomian
yang memengaruhi setiap orang atau masyarakat secara keseluruhan, serta
perusahaan, dan pasar. Untuk memudahkan pekerjaannya para ekonom
menggunakan model matematika untuk menjelaskan hubungan antar variabel
dalam ekonomi. Model makroekonomi mengasumsikan bahwa harga bersifat
fleksibel atau harga bersifat kaku. Harga bersifat kaku artinya harga tidak
menanggapi perubahan pada kebijakan yang dikeluarkan oleh pemerintah. Modelmodel dengan harga fleksibel menjelaskan perekonomian dalam jangka panjang,
sedangkan model-model dengan harga kaku menjelaskan perekonomian dalam
jangka pendek. Salah satu model makroekonomi jangka pendek adalah model siklus
bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money). Siklus bisnis merupakan teori
yang menjelaskan fluktuasi pertumbuhan ekonomi. Kemudian model yang
digunakan untuk menganalisis interaksi antara pasar barang dan pasar uang adalah
model IS-LM. Dua bagian dari model IS-LM adalah kurva IS dan kurva LM. IS
menyatakan investasi dan simpanan, serta kurva IS menunjukan hubungan negatif
antara tingkat bunga dan tingkat pendapatan yang terjadi pada pasar barang dan jasa.
Sedangkan LM menyatakan likuiditas dan uang, serta kurva LM menunjukkan
hubungan positif antara tingkat bunga dan tingkat pendapatan sambil
mempertahankan tingkat bunga tetap yang terjadi pada pasar uang dan modal
(Mankiw 2007).
Ada beberapa model siklus bisnis, yaitu model siklus bisnis IS-LM yang
pertama kali diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dan Kaldor (1940), model siklus
bisnis Torre (1977), model siklus bisnis Gabrisch dan Lorenz (1987), model siklus
bisnis Cai (2005), dan model siklus bisnis Zhou dan Li (2009).
Model siklus bisnis IS-LM merupakan model makroekonomi yang
dipresentasikan dalam bentuk sistem persamaan differensial, yang terdiri dari
variabel pendapatan, stok modal, dan suku bunga. Serta melibatkan fungsi investasi,
fungsi simpanan, dan fungsi likuiditas atau permintaan akan uang. Model siklus
bisnis yang diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dengan asumsi bahwa keuntungan
yang diperoleh akan disimpan untuk dipergunakan sebagai modal awal investasi.
Sehingga menyebabkan adanya keterlambatan dalam proses investasi.
Keterlambatan ini disebut dengan waktu tunda. Penambahan waktu tunda pada
sistem persamaan differensial menyebabkan perubahan kestabilan pada titik
kesetimbangan sehingga terjadi bifurkasi (Tu 1994). Pada model siklus bisnis Zhou
dan Li (2009) waktu tunda diberikan dalam persamaan akumulasi modal yang
dipertimbangkan dalam proses investasi sesuai dengan ide Kalecki.
Dalam penelitian ini akan dianalisis model siklus bisnis IS-LM tak linear.
Model ini merupakan modifikasi dari model siklus bisnis Zhou dan Li (2009),
dengan mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi investasi, fungsi simpanan, dan
permintaan uang, berdasarkan ide De Casare dan Sportelli (2005).
Bentuk tak linear dari fungsi investasi merupakan hasil perkalian antara
tingkat produktivitas teknologi dengan tingkat pendapatan yang berbanding terbalik
2
dengan tingkat suku bunga. Bentuk tak linear dari fungsi simpanan merupakan hasil
perkalian tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan dengan tingkat suku
bunga. Bentuk tak linear dari fungsi permintaan uang merupakan jumlah dari
permintaan uang terhadap pendapatan dengan permintaan uang terhadap suku
bunga. Saat melakukan simulasi numerik dengan fungsi tak linear ini, jika diberikan
data yang tepat diharapkan mampu menghasilkan nilai yang lebih realistis.
Analisis pada model siklus bisnis IS-LM tak linear dilakukan dengan
menentukan titik kestabilan dan diperiksa apakah terjadi bifurkasi Hopf yang
memenuhi kondisi transversalitas. Simulasi model diberikan pada pembahasan
selanjutnya untuk memperlihatkan dinamika model yang disajikan dalam bentuk
grafik.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai dari
penelitian ini ialah sebagai berikut:
1. Memodifikasi model siklus bisnis Zhou dan Li dengan dua waktu tunda, yaitu
dengan mensubstitusi fungsi I, S, dan L tak linear sehingga diperoleh model baru
yang berbentuk model siklus bisnis IS-LM tak linear.
2. Menganalisis kestabilan pada model siklus bisnis IS-LM tak linear.
3. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis IS-LM tak
linear.
4. Melakukan simulasi numerik untuk memperlihatkan perubahan perilaku
kestabilan sistem.
Manfaat Penelitian
Penelititan ini diharapkan dapat membantu pelaku ekonomi untuk
mengetahui perilaku sistem ekonomi secara kualitatif, sehingga dapat membantu
dalam mempertimbangkan pembuatan kebijaksanaan. Penelitian ini juga
menambah kontribusi keilmuan dalam bidang sistem persamaan differensial.
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori pendukung yang
digunakan dalam penelitian ini, serta beberapa penelitian terdahulu dengan tema
model siklus bisnis.
Sistem Persamaan Differensial
Bentuk umum dari persamaan differensial orde satu adalah
�̇
=
�
+�
; � 0 =� ,
(2.1)
di mana adalah matriks koefisien n×n dan b adalah vektor konstan berukuran
n×1. Persamaan (2.1) disebut homogen jika b = 0 sehingga solusi dari sistem adalah
semua x yang memenuhi persamaan �̇ = � (Tu 1994).
Sistem Persamaan Differensial Tundaan
Kuang (1993) menyatakan persamaan differensial tundaan dapat ditulis
dalam bentuk
�̇
atau
di mana �
= (�
�̇
,�
= �
−� ,
adalah waktu tunda.
−�
(2.2)
Persamaan Karakteristik Tundaan
Secara umum, Kuang (1993) menyatakan bentuk linear persamaan
differensial tundaan orde tinggi sebagai berikut:
Misalkan �
=
�
�
∑
=
+∑
− � = 0.
�
=
, maka persamaan (2.3) dapat ditulis kembali menjadi
�
∑
=
∑
=
�
�
(∑
=
+∑
=
+∑
=
+∑
=
� −�
�
−��
−��
= 0,
= 0,
) = 0.
(2.3)
4
Karena
�
≠ 0, maka
=
=
= 0.
−��
+∑
∑
(2.4)
Persamaan (2.4) adalah persamaan karakteristik dengan waktu tunda. Misalkan
dan
=∑
=∑
=
=
maka persamaan (2.4) dapat ditulis kembali
−��
+
= 0.
(2.5)
Jika persamaan differensial tundaannya orde satu maka
=
= +
, sehingga persamaan karakteristik tundaan ialah
+
+
−��
+
+
dan
= 0.
Kemudian untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen ditentukan
dengan mencari solusi dari persamaan (2.2). Misalkan � = � � adalah solusi
dari persamaan (2.2) dengan � vektor berukuran × . Maka � = � �
memenuhi �̇
= � − � . Sehingga berlaku
�̇
−� ⟺ � � = � �
⟺ � � = � �
⟺ � = � −�� ,
= �
−�
−��
ini adalah persamaan nilai eigen. Setiap nilai dari memunyai solusi tak nol untuk
setiap �. � dinamakan vektor eigen. Jika ditulis kembali sebagai berikut:
(
−
−��
−��
=|
� = 0,
di mana adalah matriks identitas, jelas bahwa jika − −�� memunyai invers
maka satu-satunya solusi adalah � = 0. Kemudian jika memiliki solusi tak trivial
� ≠ 0 maka haruslah − −�� adalah singular, yaitu
(Robinson 2004).
det(
−
−
−��
|=0
Titik Tetap
Secara umum, titik � ∗ disebut titik tetap bagi �̇ = � jika � ∗ = 0 .
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan, yaitu suatu keadaan di
mana solusi dari persamaan differensial tersebut tidak lagi beubah terhadap waktu.
Sifat kestabilan titik tetap dapat dilihat dari bagian real dari nilai eigen atau akar
karakteristik dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det −
= 0. Sifat
kestabilan tersebut adalah stabil secara asimtotik atau tak stabil. Stabil asimtotik
5
adalah jika � merupakan solusi dari �̇ = � dengan �
= � maka �
∗
akan selalu konvergen ke titik � , dengan nilai awal , � sembarang (Robinson
2004).
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Jika akar karakteristik dari sistem (2.1) susah dicari atau tidak mudah untuk
menentukan kestabilan titik tetap dengan hanya menggunakan tanda bagian real
dari nilai eigen. Maka, diperlukan metode lain untuk menentukan kestabilan titik
tetap ini. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah kriteria kestabilan RouthHurwitz, yang dinyatakan dalam Teorema 1 berikut:
= 0 jika > . Semua
Teorema 1. Misalkan , , … , bilangan-bilangan real,
nilai dari persamaan karakteristik
=
+
−
+
+
−
+
−
+
= 0,
(2.6)
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap = 1,2, … , ,
determinan dari matriks :
1
0
=
0
[0
−
1
0
0
⋱
−
−
−
]
adalah positif. Untuk suatu = 2,3,4 disebutkan bahwa nilai eigen
persamaan karakteristik (2.6) stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika
=2
> 0 dan
> 0,
=3
> 0 dan
> 0 dan
> ,
=4
> 0 dan
> 0 dan
> 0 dan
>
+
,
(Fisher 1990).
dari
Bifurkasi Hopf
Strogatz (1994) menjelaskan bahwa bifurkasi adalah suatu kondisi di mana
terjadi perubahan struktur kualitatif, yaitu perubahan kestabilan titik tetap. Titik
yang mengalami kondisi perubahan ini disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satudimensi ditemukan kasus-kasus bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical,
bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus duadimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dalam suatu
sistem dinamis. Siklus batas merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi
artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus batas. Hal ini
terjadi pada saat kesetimbangan mengalami perubahan kestabilan. Titik bifurkasi
terjadi pada saat sistem melalui sepasang nilai eigen imajiner murni. Bifurkasi dapat
bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan siklus batas menjadi stabil
atau tidak stabil.
6
Nilai Kritis Tundaan
Forde dan Nelson (2004) mengatakan bahwa ketika waktu tunda tidak ada
atau � = 0 , maka titik tetap akan stabil jika akar dari persamaan karakteristik
memiliki bagian real yang negatif. Ketika � ≠ 0 maka akar karakteristik akan
mengalami perubahan kestabilan, yaitu mengalami transisi dari memiliki bagian
real negatif menjadi bagian real positif. Jika ini terjadi, maka harus ada kasus batas
dinamakan nilai kriris tundaan. Perubahan kestabilan ini terjadi ketika persamaan
(2.5) memiliki akar imajiner murni.
Misal akar persamaan (2.5) adalah = , > 0, ∈ ℝ, sehingga persamaan
(2.5) menjadi
− �
+
= 0.
Jika bagian polinomial dipisahkan menjadi bagian real dan imajiner, serta
suku ekspoensial diubah dalam bentuk trigonometri, maka diperoleh
dengan
+
+(
=∑ −
=∑ −
+
+
+
cos � − sin �
,
,
=∑ −
+
=∑ −
+
=0
+
+
(2.7)
,
,
di mana
dan
adalah polinomial genap dari .
dan
adalah polinomial
ganjil. Agar persamaan (2.7) berlaku, maka kedua bagian real dan imajiner harus
sama dengan nol, sehingga diperoleh persamaan
atau
+
−
{
{
−
cos � +
sin � +
=
=
sin � = 0
cos � = 0
cos � +
sin � −
sin �
cos � .
(2.8)
(2.9)
Kuadratkan persamaan (2.9) kemudian jumlahkan sehingga diperoleh hasil
+
=
+
,
(2.10)
dari persamaan (2.10) dapat dilihat dua hal. Pertama, bentuk trigonometri
menghilang dan waktu tunda � juga tidak muncul. Kedua, persamaan (2.10) ini
sama dengan polinomial genap. Definisikan variabel baru = , maka persamaan
(2.10) dapat ditulis kembali
=
+
+
+
+
+
= 0,
(2.11)
di mana adalah polinomial pada dan , , , , … , adalah koefisien fungsi
polinomial. Jika akar real dari adalah negatif, maka tidak terdapat solusi ∗ ∈ ℝ
7
secara simultan memenuhi persamaan (2.9). Sebaliknya, jika terdapat akar real
positif ∗ untuk , maka terdapat suatu nilai � yang bersesuaian ∗ = ±√ ∗ yang
merupakan solusi bagi kedua persamaan (2.9). Untuk melihat hal ini, misalkan
ditemukan ∗ sehingga
∗
∗
+
∗
=
∗
+
.
∗
∗
, dari persamaan sebelumnya dapat
Misalkan
=√
+
∗
∗
dinyatakan bahwa titik −
,
berada dalam suatu lingkaran dengan jarijari . Perhatikan persamaan (2.9) dapat ditulis kembali
∗
−
∗
Misal
∗
{
= cos dan
∗
=
=
−
∗
∗
∗
∗
cos
∗
sin
= sin , maka
∗
=
=
∗
� +
∗
� −
∗
sin
�
∗
cos
�
.
cos cos ∗ � + sin sin ∗ �
cos sin ∗ � − sin cos ∗ �
(2.12)
(2.13)
Menggunakan sifat trigonometri diperoleh
∗
−
{
∗
=
=
cos
sin
∗
∗
�−
�−
,
.
Nilai � ∗ dapat ditemukan dengan mengalikan persamaan (2.12) dengan cos
dan persamaan (2.13) dengan sin , yaitu
∗
−
∗
cos
sin
cos cos ∗ � + sin sin ∗ � cos ,
sin cos sin ∗ � − sin cos ∗ � ,
=
=
kemudian kurangkan kedua persamaan tersebut, sehingga diperoleh
sehingga
�
∗
=
−
−
∗
∗
∗
∗
cos −
cos −
{
−
∗
∗
sin =
sin =
−
cos
cos
∗
∗
cos
�,
}+
∗
�+
� ,
sin
cos
∗
�
= 0,1,2,…
(2.14)
Hasil pada (2.14) menunjukkan terdapat tak hingga � ∗ yang memenuhi
persamaan (2.5). Oleh karena itu, pilih = 0 agar efektif. Jadi nilai � ∗ = � inilah
yang merupakan titik kritis tundaan.
Setelah menemukan nilai kritis tundaan � ∗ dan titik � = ∗ di mana suatu
akar persamaan karakteristik bernilai imajiner murni, ini adalah yang diperlukan
untuk mengkonfirmasi terjadinya perubahan akar dari memiliki bagian negatif
menjadi positif di karenakan � meningkat. Kondisi ini dinamakan kondisi
8
transversalitas. Lemma 1 berikut menjamin terpenuhinya kondisi transversalitas
atau nondegeneracy.
Lemma 1
Jika � = � ∗ dan
∗
=
memenuhi persamaan karakteristik (2.5), maka
�
jika dan hanya jika
∗
′
∗
Re
|
′
∗
∗
+
�=�� ∗ ,�= ∗
Bukti diberikan pada Lampiran 6.
∗
≠
>0
′
∗
+
∗
′
∗
.
Model Siklus Bisnis IS-LM
Model IS-LM merupakan salah satu model dalam bidang ekonomi makro.
Model ini menjelaskan hubungan antara fungsi investasi , fungsi simpanan
,
dan fungsi permintaan uang atau likuiditas
. Model siklus bisnis pertama kali
diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dan Kaldor (1940) dalam bentuk sistem
persamaan differensial, yaitu
�
��
�
=
= (�
�
,
,
��
,
−
�
,
(2.18)
adalah laju pendapatan, � adalah laju stok modal, � ,
dan
� ,
adalah fungsi investasi dan fungsi simpanan yang bergantung pada
pendapatan dan stok modal, dan > 0 adalah percepatan akibat kelebihan atau
kekurangan investasi.
Pada tahun 1977, Torre mengubah model ini dengan mengganti variabel stok
modal
dengan variabel suku bunga
yang kemudian ini menjadi model
siklus bisnis IS-LM standar,
dengan
�
�
=
�
= ( (�
,
,
−
�
− ̅ ,
,
(2.19)
adalah fungsi permintaan uang yang
dengan � adalah tingkat bunga, (� ,
bergantung pada pendapatan dan suku bunga, > 0 adalah percepatan yang
disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan permintaan akan uang, dan ̅ > 0
adalah konstanta persediaan uang.
Kemudian pada tahun 1987, Gabisch dan Lorenz menambahkan variabel stok
modal
ke dalam model siklus bisnis Torre, sehingga model pada persamaan
(2.19) menjadi
9
�
=
,
(�
= ( (�
= (�
,
,
,
,
− (�
− ̅
−�
,
(2.20)
,
dengan � > 0 adalah konstanta penyusutan modal.
Berdasarkan ide Kalecki dengan asumsi bahwa bagian yang disimpan dari
investasi dan pertumbuhan modal adalah karena keputusan investasi pada masa lalu,
Cai (2005) menambahkan elemen waktu tunda pada fungsi investasi pada
persamaan stok modal
dengan mempertimbangkan bahwa adanya
keterlambatan/waktu tunda (delay) antara waktu di mana besar investasi pada suatu
stok modal siap untuk digunakan dan akan digunakan. Sehingga model persamaan
(2.20) menjadi
�
=
,
(�
= ( (�
,
,
= (�
−� ,
,
=
− ̅
− (�
,
−�
,
,
(2.21)
dengan � adalah waktu tunda.
Selanjutnya pada tahun 2009, Zhou dan Li menambahkan dua waktu tunda
pada proses investasi dalam akumulasi stok modal pada model persamaan (2.21).
Dengan asumsi bahwa fungsi investasi pada akumulasi modal bergantung pada
pendapatan dan stok modal, kedua-duanya bergantung pada keadaan masa lalu dan
masa persiapan yang berbeda, sehingga fungsi investasi menjadi
(�
,
(�
,
+
,
(
sehingga pendapatan dan stok modal harus menjadi pertimbangan jika akan
melakukan investasi yang baru, dan karena dibutuhkan masa persiapan yang disebut
dengan waktu tunda agar investasi dapat digunakan sebagai stok modal maka
(�
+
,
(
=
(�
−� ,
+
(
−�
.
adalah
Fungsi investasi
hanya bergantung pada stok modal
dan (
= , di mana −1 <
< 0 adalah penurunan investasi
linear, misal (
terhadap stok modal
, sehingga dapat ditulis ulang
(�
,
+
(
=
(�
−� ,
+
−� .
Berdasarkan uraian di atas maka persamaan akumulasi stok modal menjadi:
=
(�
−� ,
− �−
−� ,
di mana � dan � adalah waktu tunda.
Berdasarkan uraian di atas model siklus bisnis Zhou dan Li adalah
10
�
,
= [ (�
=
=
[ �
(�
+
− ̅]
,
−� ,
− (�
,
− �−
]
(2.22)
−� .
Ketika � = 0, sistem persamaan (2.22) adalah sama dengan sistem persamaan
(2.21) kecuali bahwa asumsi yang berbeda pada fungsi investasi (Zhou & Li 2009).
Fungsi �, �, dan �
Pada tahun 2005, De Casare dan Sportelli merumuskan fungsi , dan dalam
bentuk tak linear, dengan harapan bahwa ketika dilakukan simulasi numerik
dengan fungsi tak linear dan diberikan data yang tepat mampu menghasilkan nilai
yang lebih realistis. Berikut adalah bentuk tak linear dari fungsi , dan :
dengan
(�
,
(�
=
(�
,
(�
,
=
+
[� ]
,
[
]
[� ] [
] ,
=
(
= �
+
(2.23)
ℎ
− ̂
,
produktivitas teknologi,
>0
koefisien penyesuaian pada pasar barang,
>0
koefisien penyesuaian pada pasar uang,
>0
0 < < 1 tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
>0
jumlah permintaan uang terhadap pendapatan,
ℎ>0
jumlah permintaan uang terhadap suku bunga,
̂ >0
tingkat tetap paling rendah dari suku bunga.
3 METODE PENELITIAN
Penelitian ini menyajikan tinjauan matematis model siklus bisnis IS-LM tak
linear. Analisis dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan yang diambil dalam
penelitian ini. Langkah-langkah yang dilakukan adalah menetukan titik tetap atau
titik kesetimbangan dari sistem. Kemudian menunjukkan terjadinya perubahan
kestabilan pada titik kesetimbangan karena adanya waktu tunda dengan
mengaplikasikan teori bifurkasi Hopf. Hasil analisis disajikan pada simulasi
numerik dalam bentuk grafik.
11
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dan pembahasan dari model siklus bisnis IS-LM tak linear.
Analisis dilakukan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan pada perumusan
masalah.
Model Siklus Bisnis IS-LM Tak Linear
Model siklus bisnis IS-LM tak linear merupakan model modifikasi yang
diformulasikan dari model siklus bisnis Zhou dan Li pada persamaan (2.22) dengan
mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi , , dan berdasarkan ide De Casare
dan Sportelli pada persamaan (2.23) sehingga diperoleh model baru sebagai berikut:
�̇
dengan
̇
̇
=
=
=
[
�
[ �
�
−�
+
+
ℎ
−
− ̂
− �−
�
− ̅]
]
(3.1)
−� ,
�
pendapatan,
suku bunga,
stok modal,
investasi,
tabungan/simpanan,
likuiditas/permintaan uang,
produktivitas teknologi,
>0
>0
percepatan akibat kelebihan atau kekurangan investasi,
>0
percepatan yang disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan
permintaan akan uang,
�>0
konstanta penyusutan modal,
̅>0
konstanta persediaan uang,
−1 <
< 0 tingkat penurunan invetasi terhadap stok modal,
koefisien penyesuaian pada pasar barang,
>0
koefisien penyesuaian pada pasar uang,
>0
tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
0< 0
jumlah permintaan uang terhadap pendapatan,
jumlah permintaan uang terhadap suku bunga,
ℎ>0
̂ >0
tingkat tetap paling rendah dari suku bunga.
Pada pembahasan selanjutnya dari model siklus bisnis IS-LM tak linear ini
akan dicari titik tetap dan dianalisis kestabilan dari titik tetap tersebut. Karena ada
waktu tunda, maka akan ditunjukkan apakah terjadi bifurkasi Hopf. Kemudian
dilakukan simulasi model untuk melihat dinamika perubahan kestabilan sistem.
12
Simulasi disajikan dalam bentuk grafik dengan menggunakan parameter yang
memenuhi kriteria kestabilan sistem.
Penentuan Titik Tetap
��
�
Titik tetap dari persamaan (3.1) diperoleh dari
ditentukan saat � = � = 0, yaitu
[
�
+
−
[ �
+
�
�
ℎ
− ̂
− �−
=
�
�
=
��
�
= 0 dan
]=0
(3.2)
− ̅] = 0
= 0,
dengan menyelesaikan persamaan (3.2) diperoleh dua titik tetap, yaitu
= 0,
dengan
�∗
=
1
̅−
∗
ℎ
̅̂ +ℎ
,0 dan
̅
− ̂
,
∗
=(
= �∗ ,
�
�−
∗
) ,
,
∗
(3.3)
,
∗
=
�
�∗
∗
.
Secara lengkap langkah-langkah untuk memperoleh nilai titik tetap (3.3) dapat
dilihat pada Lampiran 1.
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Titik tetap pada model siklus bisnis IS-LM tak linear dengan waktu tunda
diasumsikan sama dengan titik tetap tanpa waktu tunda. Analisis model siklus
bisnis IS-LM tak linear dengan waktu tunda yang diberikan pada persamaan (3.1)
dianalisis menggunakan pendekatan linear berikut:
�̇
̇
̇
=
�
− �∗
− ∗ +
− ∗
�
−�
−�
−�
− �∗
− ∗ +
− ∗
�
−�
−�
−�
− �∗
− ∗ ,
− ∗
(3.4)
di mana , dan adalah matriks Jacobi (Zhou & Li 2009). adalah matriks
Jacobi dari persamaan (3.1) yang diturunkan terhadap variabel � ,
, dan
.
adalah matriks Jacobi dari persamaan (3.1) yang diturunkan terhadap variabel
� −� ,
− � , dan
− � . adalah matriks Jacobi dari persamaan (3.1)
yang diturunkan terhadap variabel � − � ,
− � , dan
− � . Oleh karena
itu, matriks Jacobi , dan adalah
13
=[
0
0 ],
0
0
= [0
0 0
0 0] ,
0 0
0 0
0
0
0
0 0 −� +
= [0
dengan
�
=
=−
−
−
ℎ
( − ̂
−
�
,
�
=−
,
�
=−
+
,
=
+
�
−
−
.
atau
,� ,�
= −
= +
=−
= �−
+
+
+
+
+
+
+
+
;
=
(
+
−
−��
−��
+
+
< 0,
=
+
+
+
+
−��
−
;
+
−
�
Selanjutnya dengan menyelesaikan det( − −
diperoleh persamaan karakteristik tundaan sebagai berikut:
+
−� �
> ,
−
(3.5)
,
−� �
−
−��
+
= 0 dengan
−
],
=0
=0
(3.6)
,
> 0,
=
+
+
;
> 0.
Secara lengkap penjabaran dari peliniearan dari model dengan waktu tunda
diberikan pada Lampiran 2.
Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan titik tetap dilihat dari akar karakteristik atau nilai eigen
yang diperoleh pada setiap titik tetap. Titik tetap akan bersifat stabil jika akar dari
persamaan (3.6) memunyai bagian real bernilai negatif (Tu 1994). Analisis
kestabilan diberikan dalam 4 kasus berbeda berdasarkan nilai waktu tunda berikut:
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Pada kasus ini kestabilan titik tetap dianalisis saat waktu tunda tidak ada atau
� = � = 0, sehingga persamaan karakteristik (3.6) menjadi
+
Terdapat
= 0,
+
+
= 0.
+ +
+
+
+
̅ ̂ +ℎ
�
,0
̅
�
+
= 0.
, dengan menyelesaikan det( −
= 0 diperoleh nilai eigen untuk titik tetap
adalah
1. Untuk titik tetap
−
+
= 0,
=−
̅
ℎ
,
= −� +
.
= 0, sehingga disimpulkan bahwa titik tetap
tak terisolasi.
−
14
, dengan menyelesaian det( −
= 0 diperoleh persamaan karakteristik tundaan berikut:
= �∗,
2. Untuk titik tetap
−
+
+
+
∗
∗
,
+
+
+
+
−
= 0.
+
(3.7)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk persamaan karakteristik berderajat tiga,
agar titik tetap
= � ∗ , ∗ , ∗ stabil asimtotik lokal harus memenuhi kriteria
berikut:
+ > 0 dan + + > 0 dan
+
+ +
−
+ +
> 0.
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk waktu tunda � dalam persamaan
stok modal. Kembali pada persamaan (3.6) dengan � = 0 dan � ≠ 0 sehingga
persamaan karakteristik tundaan menjadi
+
+
+
= 0.
+
−��
+
+
+ + +
+
= 0.
−��
(3.8)
Karena pada sistem terdapat waktu tunda � ≠ 0 , maka titik tetap akan
mengalami perubahan sifat kestabilan ketika akar karakteristik bernilai imajiner
murni (Forde & Nelson 2004). Misalkan persamaan karakteristik (3.8) memiliki
akar bernilai imajiner murni, yaitu = , > 0, ℝ , substitusi ke dalam
persamaan (3.8) diperoleh
�
+
�
= 0.
+
+
�
+
+
+
�
+
Kemudian ubah bentuk eksponen menjadi bentuk trigonometri, yaitu
cos � − sin � , sehingga diperoleh
�
+
�
+
cos � − sin �
+
= 0.
�
+
+
+
�
− ��
� +
+
− ��
=
� +
Pisahkan bagian polinomial menjadi bagian real dan imajiner. Bagian real dari
persamaan (3.8) adalah
−
+
+
+ −
+
cos � +
dan bagian imajiner dari persamaan (3.8) adalah
−
+
+
+
cos � − −
+
sin � = 0,
(3.9)
sin � = 0.
(3.10)
Selanjutnya untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � , dapat
dilakukan dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan (3.9) dan (3.10)
sehingga diperoleh
+
+
−
−
+
−
= 0,
+
+
−
+
−
−
+
(3.11)
15
atau
ℎ
dengan
=
=
=
=
+
−
+
+
+
−
−
+
.
−
+
,
+
=
−
−
,
Penjabaran dari persamaan (3.11) dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akar-akar dari persamaan (3.11) dapat diketahui dengan memisalkan
sehingga persamaan (3.11) menjadi
ℎ
=
+
+
+
= .
=
(3.12)
Nilai akar dari persamaan (3.12) dapat diketahui dengan menggunakan
lemma yang diberikan oleh Ruang dan Wei (2001), yaitu
Lemma 2
Definisikan ∆= − 3 .
i. Untuk < 0, persamaan (3.12) paling sedikit memiliki satu akar positif.
ii. Untuk
0 dan ∆< 0, persamaan (3.12) tidak memiliki akar positif.
iii. Untuk
0 dan ∆ 0, persamaan (3.12) memiliki akar positif jika dan hanya
1
jika = 3 − + √∆ > 0 dan ℎ
0.
Pembuktian dari Lemma 2 diberikan pada Lampiran 4.
,
Misalkan persamaan (3.12) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan
dan , maka akar-akar positif dari persamaan (3.11) adalah
,
=√
=√
, dan
=√
.
Perubahan nilai dari akar karakteristik terjadi karena � meningkat sehingga
diperlukan nilai batas, yang disebut nilai kritis tundaan dilambangkan dengan � , .
Selanjutnya dengan memanfaatkan persamaan (3.9) dan (3.10) yang dijabarkan
dalam Lampiran 5 diperoleh nilai kritis tundaan � , , yaitu
�
,
=
arccos −
(−
+
= 0,1,2,… , = 1,2,3.
+
(−
(−
+
+
+ (
+
+
−
+
�
;
(3.14)
Ada tak hingga banyaknya nilai � , yang memenuhi persamaan (3.8). Pilih nilai � ∗
yang merupakan nilai terkecil dari tak terhingga � , sebagai nilai kritis tundaan
yang dinyatakan dalam bentuk � ∗ =
min
� , . Nilai
dipilih dari ketiga
= , , ,…, = , ,
akar positif persamaan (3.12).
Saat nilai tundaan � meningkat mengakibatkan terjadinya perubahan nilai
akar karakteristik persamaan (3.11) dari memiliki bagian real negatif menjadi real
positif. Jika hal ini terjadi pada saat titik kritis tundaan � ∗ , maka akar-akar
persamaan (3.11) bernilai imajiner murni. Keadaan ini mengidentifikasi terjadinya
16
bifurkasi Hopf. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi kondisi
tranversalitas berikut:
�
Re
|
> 0.
�=� ∗ ,�= ∗
Menurut Forde dan Nelson (2004) kondisi tersebut terpenuhi jika dan hanya jika
∗
′
∗
′
∗
+
∗
′
∗
≠
∗
+
Misal = sebagai akar dari persamaan (3.8) memenuhi
persamaan (3.9) dan (3.10) diperoleh
=−
=−
+
+
+
+
,
,
kemudian dengan menurunkan terhadap , yaitu
′
′
= −2
= −3
,
+
+
+
= −2
= .
,
′
Oleh karena itu, sisi kiri adalah sebagai berikut:
−
+ +
−2
+ − +
= 3 + −4 + 2
−4
= 3 + −4 + 2
−4
Sisi kanan sebagai berikut:
−
+
−2
+
+(
+(
=2
=2
+
+
+
−3
−2
−2
+
+
=
=−
=
,
′
,
∗
+
+2
+2
′
∗
∗
.
, sehingga dari
,
+
−
−
−
−
.
.
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan,
sehingga kondisi tranversalitas terpenuhi yang mengakibatkan terjadinya
perubahan kestabilan titik kesetimbangan, yaitu terjadi bifurkasi Hopf saat � = � ∗ .
Di mana sistem akan stabil saat � < � ∗ dan menjadi tidak sabil saat � > � ∗ . Jadi
� ∗ (nilai kritis tundaan) merupakan perubahan nilai waktu tunda sehingga terjadi
bifurkasi Hopf.
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠ 0, � = 0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk watku tunda � dalam persamaan
pendapatan. Kembali pada persamaan (3.6) dengan � ≠ 0 dan � = 0, sehingga
persamaan karakteristik tundaan menjadi
+
+
+
+
+
−��
+
+
+
= 0.
+
+
−��
= 0.
(3.16)
Karena pada sistem terdapat waktu tunda � ≠ 0 , maka titik tetap akan
mengalami perubahan sifat kestabilan ketika akar karakteristik bernilai imajiner
17
murni (Forde & Nelson 2004). Misalkan persamaan karakteristik (3.16) memiliki
akar bernilai imajiner murni, yaitu = , > 0, ℝ , substitusi ke dalam
persamaan (3.16) diperoleh
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
− ��
+
= 0.
− ��
Kemudian ubah bentuk eksponen menjadi bentuk trigonometri dengan
cos � − sin � sehingga diperoleh
−
+
+
+
+
+
+
cos � − sin �
=
= 0.
Pisahkan bagian polinomial menjadi bagian real dan imajiner. Bagian real dari
persamaan (3.16) adalah
−
+
+
+
+
cos � = 0,
sin � +
dan bagian imajiner dari persamaan (3.16) adalah
−
+
+
+
(3.17)
sin � = 0.
cos � −
(3.18)
Selanjutnya untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � , dapat
dilakukan dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan (3.17) dan (3.18)
sehingga diperoleh
6
+ ((
atau
+
+(
− (
+
+
−
+ (
+
− (
=
+
+
+
−
−
−
+
+
= 0,
dengan
=
=
=
)
+
+
+
.
,
(
+
+
−
=
+
−
,
Penjabaran dari persamaan (3.19) dapat dilihat pada Lampiran 7.
Akar-akar dari persamaan (3.19) dapat diketahui dengan misalkan
sehingga persamaan (3.19) menjadi
=
+
+
=√
, dan
(3.19)
+
= .
=
(3.20)
Nilai akar dari persamaan (3.20) dapat diketahui dengan menggunakan
kembali Lemma 2 yang diberikan oleh Ruang dan Wei (2001). Misalkan persamaan
(3.20) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan , dan , maka akar-akar
positif dari persamaan (3.19) adalah
=√
,
=√
.
18
Perubahan nilai dari akar karakteristik terjadi karena � meningkat sehingga
diperlukan nilai batas, yang disebut nilai kritis tundaan � , . Selanjutnya dengan
memanfaatkan persamaan (3.17) dan (3.18) yang dijabarkan dalam Lampiran 8
diperoleh nilai kritis tundaan � , , yaitu
�
,
arccos (
=
(
−(
+(
+
)
+
+
= 0,1,2,…, = 1,2,3.
−(
+
�
)+
,
(3.21)
Ada tak hingga banyaknya nilai � , yang memenuhi persamaan (3.16). Pilih nilai
� ∗ yang merupakan nilai terkecil dari tak terhingga � , sebagai nilai kritis tundaan
yang dinyatakan dalam bentuk � ∗ =
min
� , . Nilai
dipilih dari ketiga
= , , ,…, = , ,
akar positif persamaan (3.20).
Saat nilai kritis tundaan � meningkat mengakibatkan terjadinya perubahan
nilai akar karakteristik persamaan (3.19) dari memiliki bagian real negatif menjadi
real positif. Jika hal ini terjadi pada saat titik kritis tundaan � ∗ , maka akar-akar
persamaan (3.19) bernilai imajiner murni. Keadaan ini mengidentifikasi terjadinya
bifurkasi Hopf. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi kondisi
tranversalitas berikut:
�
Re
|
�=� ∗ ,�= ∗
> 0.
Menurut Forde dan Nelson (2004) kondisi tersebut terpenuhi jika dan hanya jika
∗
′
∗
′
∗
+
∗
=−
=−
+
+
+
= −2
= −3
+
+
′
∗
≠
∗
+
Misal = sebagai akar dari persamaan (3.16) memenuhi
persamaan (3.17) dan (3.18) diperoleh
+
+
,
,
=
=
kemudian dengan menurunkan terhadap , yaitu
′
′
+
,
′
′
,
Oleh karena itu, sisi kiri adalah sebagai berikut:
−
+
=
+
+
+
−2
+
+
+
+
+
+
Sisi kanan sebagai berikut:
=
.
−
.
+ −
+
+
∗
∗
=
,
′
∗
.
, sehingga dari
,
= 0,
= .
+
+
+
−
+
+
+
−
19
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan,
sehingga kondisi tranversalitas terpenuhi yang mengakibatkan terjadinya
perubahan kestabilan titik kesetimbangan, yaitu terjadi bifurkasi Hopf saat � = � ∗ .
Di mana sistem akan stabil saat � < � ∗ dan menjadi tidak sabil saat � > � ∗ . Jadi
� ∗ (nilai kritis tundaan) merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan
model sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠ 0, � ≠ 0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk waktu tunda � dan � secara berturut
berada dalam persamaan pendapatan dan stok modal. Persamaan karakteristik
tundaan (Persamaan (3.6)), ialah
+
+
+
+
+
−��
+
+
+
−��
= 0.
Analisis kestabilan dilakukan dengan simulasi numerik berdasarkan hasil analisis
kestabilan sebelumnya yaitu pada Kasus 2 dan Kasus 3. Simulasi dilakukan (lihat
bab simulasi model) menggunakan Lemma 2.a dan Lemma 2.b yang diberikan
Zhou dan Li (2009) sebagai berikut:
Lemma 3.a
Jika semua akar persamaan (3.8) memiliki bagian real negatif untuk � > 0, maka
terdapat suatu � ∗ yang bergantung pada � , dinotasikan � ∗ � > 0. Demikian
sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian
real negatif.
Berdasarkan Kasus 2 diketahui bahwa � > 0 berada dalam keadaan stabil
ketika � < � ∗ . Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
� ∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
Lemma 3.b
Jika semua akar persamaan (3.16) memiliki bagian real negatif untuk � > 0, maka
terdapat suatu � ∗ yang mergantung pada � , dinotasikan � ∗ � > 0 . Demikian
sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian
real negatif.
Berdasarkan Kasus 3 diketahui bahwa � > 0 berada dalam keadaan stabil
ketika � < � ∗ . Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
� ∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
Bukti dari Lemma 3.a dan Lemma 3.b diberikan oleh Ruan dan Wei (2003).
20
5 SIMULASI MODEL
Simulasi dilakukan untuk memperlihatkan perubahan kestabilan sistem (3.1)
saat nilai waktu tunda divariasikan. Simulasi model ini disajikan dalam bentuk
grafik, dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter yang memenuhi kriteria
kestabilan sistem.
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0
Dinamika sistem digambarkan oleh kurva bidang solusi untuk memudahkan
melihat kestabilan sistem pada waktu . Simulasi dilakukan dengan mensubstitusi
nilai parameter = 0.1 , = 1 , = 1 , = 1.03 , = 0.6 , = -0.1 , � = 0.1 , =
0.08 , = 0.05 , ℎ = 0.01 , ̂ = 0.001, dan ̅ = 0.1. Diperoleh titik tetap = (0.,
0.101, 0.) dengan nilai eigen = (-0.1, 0, -0.2), = 1,2,3. Karena terdapat nilai
eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi. Kemudian titik tetap
= (1.704, 0.676, 1.095) berifat stabil asimtotik karena memenuhi kriteria
kestabilan Routh-Hurwitz. Berikut adalah gambar bidang solusi untuk model tanpa
waktu tunda pada titik tetap dengan nilai awal � = 1.5, = 0.5 dan = 1.
Y,R,K
2.0
1.5
t
50
100
150
200
250
300
1.0
Pendapatan �
Suku bunga
Stok modal
0.5
Gambar 1 Bidang solusi sistem tanpa waktu tunda pada titik tetap
Tingkat pendapatan, tingkat suku bunga, dan tingkat stok modal berosilasi di awal
kemudian menuju kestabilan pada titik
= (1.704, 0.676, 1.095). Dengan
demikian model tanpa waktu tunda bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠ 0
Simulasi model dengan waktu tunda � ≠ 0 , titik kesetimbangan bersifat
stabil saat � < � ∗ dan menjadi tidak sabil saat � < � ∗ . Bifurkasi Hopf terjadi saat
� = � ∗ , di mana � ∗ adalah nilai kritis tundaan. Simulasi model dilakukan dengan
mensubstitusi nilai parameter = 0.1, = , = 1, = 1.03, = 0.6, = −0.2,
� = 0.1 ,
= 0.1 , = 0.05 , ℎ = 0.09 , ̂ = 0.001 , dan ̅ = 0.3 . Diperoleh titik
tetap = 1.492, 0.400, 0.872 bersifat stabil asimtotik karena memenuhi kriteria
kestabilan Routh-Hurwitz serta kriteria
0, ∆ 0,
> 0 dan ℎ
0. Nilai
21
kritis tundaan � ∗ = 3.994. Pengamatan dilakukan pada nilai � = 2, � = 3.994, dan
� = 4.5, dengan nilai awal � = 1.5, = 0.5 dan = 1.
Y,R,K
t
50
100
150
200
250
300
1.2
1.0
Pendapatan �
Suku bunga
Stok modal
0.8
0.6
0.4
Gambar 2 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � = 2
Nilai � = 2 merupakan nilai yang lebih kecil dari nilai kritis tundaan � ∗ = 3.994.
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal berosilasi di awal kemudian
menuju kestabila