Bifurkasi Hopf pada siklus bisnis IS-LM tanpa dan dengan waktu tunda
BIFURKASI HOPF PADA SIKLUS BISNIS IS-LM
TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA
PURI MAHESTYANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi Hopf pada
Siklus Bisnis IS-LM tanpa dan dengan Waktu Tunda adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2015
Puri Mahestyanti
NIM G54100030
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Fermentasi in Vitro dan
in Sacco Hijauan Tropika pada Media Cairan Rumen Domba adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
disertasi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2011
Ainissya Fitri
NIM D24052885
ABSTRAK
PURI MAHESTYANTI. Bifurkasi Hopf pada Siklus Bisnis IS-LM tanpa dan
dengan Waktu Tunda. Dibimbing oleh ENDAR H NUGRAHANI dan ALI
KUSNANTO.
Salah satu model siklus bisnis dalam dinamika di bidang ekonomi adalah
model siklus bisnis IS-LM yang memuat waktu tunda. Waktu tunda dalam model
Cai (2005) terletak pada variabel stok modal, yaitu waktu tunda antara tersedianya
modal untuk investasi dengan kesiapan untuk berinvestasi. Dalam model tanpa
waktu tunda, dengan mengubah parameter tingkat pertumbuhan investasi terhadap
pendapatan dapat mengubah kestabilan sistem. Pada model dengan waktu tunda,
dapat muncul sebuah parameter nilai kritis tundaan, di mana sistem akan
mengalami perubahan kestabilan di sekitar parameter tersebut. Dengan demikian
sistem akan mengalami limit cycle pada nilai parameter tertentu yang
membuktikan terjadinya bifurkasi Hopf.
Kata kunci: model siklus bisnis, bifurkasi Hopf, waktu tunda
ABSTRACT
PURI MAHESTYANTI. Hopf Bifurcation in IS-LM Business Cycle with and
without Time Delay. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and ALI
KUSNANTO.
One of business cycle models in dynamical economics is the IS-LM
business cycle model with time delay, where the time delay lies in stock capital
variables. It is a time delay between the existence of stock capital and the time to
get ready to invest. In a model without time delay, changing the parameter of
investment rate on income could affect the system stability. On the other hand, in
a model with time delay, there exists critical time delay changing the system
stability. This shows limit cycle, which can be concluded that Hopf bifurcation
occurs.
Keywords: business cycle model, Hopf bifurcation, time delay
BIFURKASI HOPF PADA SIKLUS BISNIS IS-LM
TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA
PURI MAHESTYANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2014 ini ialah
bifurkasi, dengan judul Bifurkasi Hopf pada Siklus Bisnis IS-LM dengan dan
tanpa Waktu Tunda. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 Ibu Dr Endar H Nugrahani MS dan Bapak Drs Ali Kusnanto MSi selaku
pembimbing atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama masa
bimbingan, dan kepada Bapak Dr Paian Sianturi selaku penguji.
2 Ayahanda Djoko Nurprianto dan Ibunda Titi Suryani yang banyak
memberikan nasihat, doa serta dukungan. Adikku Galuh Maharani yang
selalu menjadi pengingat dan pemberi keceriaan.
3 Keluarga besar dan staf Departemen Matematika IPB.
4 Saudara Imam Ekowicaksono atas segala dukungan dan masukan yang
tak hentinya.
5 Saudari Kurniawati sahabat terbaikku untuk semua penyemangat dan
dorongan di setiap saat.
6 Teman-teman terdekatku Putri Thamara, Shoviatun Nisa, Lailatul
Qodariah, dan Andi Fitrianah.
7 Seluruh rekan-rekan mahasiswa Matematika 47.
8 Teman-teman lainnya yang telah memberikan dukungan moril yang tak
bisa disebutkan satu persatu
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2015
Puri Mahestyanti
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Model IS-LM tanpa Waktu Tunda
9
Analisis Titik Tetap Model IS-LM tanpa Waktu Tunda
10
Model IS-LM dengan Waktu Tunda
11
Analisis Titik Tetap Model IS-LM dengan Waktu Tunda
11
Simulasi Model tanpa Waktu Tunda
15
Simulasi Model dengan Waktu Tunda
17
SIMPULAN
20
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
31
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
2 Bidang
fase
untuk
[
]
3 Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
4 Bidang
fase
untuk
[
]
5 Bidang solusi dan bidang fase dengan
dengan nilai awal
15
dengan
nilai
awal
15
dengan nilai awal
16
dengan
nilai
awal
16
dengan nilai awal
17
6 Bidang
fase
dengan
dengan
nilai
awal
17
7 Bidang solusi dan bidang fase dengan
dengan nilai awal
18
8 Bidang
fase
dengan
dengan
nilai
awal
18
9 Bidang solusi dan bidang fase dengan
dengan nilai awal
19
10 Bidang
fase
dengan
dengan
nilai
awal
19
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
Penentuan Titik Tetap
Persamaan Karakteristik tanpa Waktu Tunda
Persamaan Karakteristik dengan Waktu Tunda
Kestabilan Titik Tetap
Pembuktian Ruan dan Wei
Penentuan Nilai Kritis Tunda
Kode Pemrograman tanpa Waktu Tunda
Kode Pemrograman dengan Waktu Tunda
22
24
25
26
26
27
28
29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Ekonomi adalah ilmu yang memelajari cara penggunaan sumber daya yang
langka dengan berbagai alternatif penggunaan. Dalam Ekonomi, dinamika
merupakan salah situasi yang pasti dialami oleh para pelaku ekonomi. Salah satu
contoh dinamika perekonomian adalah pada bidang bisnis, yang dituangkan dalam
sebuah model siklus bisnis IS-LM (Investment Savings-Liquidity Money
Preferences). Model siklus bisnis IS-LM merupakan sistem dinamik yang
melibatkan fungsi investasi (I), fungsi simpanan (S), dan fungsi permintaan uang
(L). Salah satu model siklus bisnis IS-LM yang diperkenalkan oleh Gabisch dan
Lorenz (1987) dipengaruhi oleh variabel pendapatan, suku bunga, dan stok modal.
Dalam model bisnis yang diperkenalkan oleh Kalecki (1935) diasumsikan bahwa
keuntungan yang diperoleh akan disimpan untuk digunakan sebagai modal awal
investasi, sehingga timbul adanya keterlambatan dalam proses investasi. Waktu
tunda dalam siklus bisnis merupakan hasil dari interval waktu yang diperlukan
aantara keputusan berinvestasi dan pemasangan investasi modal (Cai 2005).
Berangkat dari ide Kalecki (1935), Cai (2005) berpendapat bahwa ketika
investor memiliki sejumlah uang, akan timbul waktu tunda antara ketersedianya
modal hingga kesiapan investor untuk menginvestasikan uangnya, sehingga Cai
(2005) menambahkan elemen waktu tunda khususnya pada variabel stok modal.
Waktu tunda pada model siklus bisnis IS-LM juga mempertimbangkan bahwa
investasi bergantung pada pendapatan saat investasi pertama kali dilakukan dan
juga pada stok modal pada saat berinvestasi berakhir.
Dalam karya ilmiah ini dianalisis model siklus bisnis IS-LM dengan
variabel pendapatan, suku bunga, dan stok modal tanpa dan dengan adanya waktu
tunda. Model dengan waktu tunda mengimplikasikan adanya waktu tunda dalam
proses investasi, sedangkan model tanpa nilai waktu tunda menyatakan bahwa
tidak ada masa persiapan atau penundaan sampai modal tersedia dan siap
digunakan.
Teori bifurkasi digunakan untuk memelajari dinamika sistem dan
menggambarkan beberapa perubahan perilaku dari sistem dengan beberapa nilai
parameter yang bervariasi. Dalam menganalisis model siklus bisnis IS-LM salah
satu teori bifurkasi yang digunakan adalah bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf
digunakan untuk menentukan eksistensi limit cycle dari suatu sistem, serta dapat
digunakan untuk menunjukkan bahwa dinamika kondisi dari pendapatan, suku
bunga, dan stok modal dengan waktu tunda dapat digambarkan dengan model
siklus bisnis IS-LM oleh Cai (2005).
Tujuan Penelitian
1. Menganalisis dinamika model siklus bisnis IS-LM tanpa dan dengan waktu
tunda.
2. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis IS-LM.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Model IS-LM
Model IS-LM merupakan salah satu model dalam ekonomi makro. Model
ini menjelaskan hubungan antara fungsi investasi ( fungsi simpanan
fungsi
permintaan uang
dan konstanta persediaan uang
Kaldor (1940) dan
Kalecki (1935) memperkenalkan model siklus bisnis pertama kali dalam bentuk
sistem persamaan differensial dengan variable pendapatan
dan stok modal
, yaitu
dengan,
fungsi investasi,
fungsi simpanan,
percepatan akibat kelebihan atau kekurangan investasi.
Laju pendapatan
dipengaruhi oleh fungsi investasi dan fungsi simpanan serta
parameter Sedangkan laju stok modal
dipengaruhi oleh fungsi investasi
(Krawiec & Szydlowski 2001).
Torre (1997) mengganti variabel stok modal
pada persamaan (1)
dengan variabel suku bunga
sehingga
dengan,
fungsi permintaan uang,
konstanta persediaan uang,
percepatan yang disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan
permintaan akan uang.
Laju suku bunga
dipengaruhi oleh fungsi permintaan uang dan konstanta
persediaan serta parameter Ketika besar persediaan uang lebih besar dibanding
permintaan uang maka laju suku bunga akan bernilai negatif.
Gabisch & Lorenz (1987) menambahkan variabel stok modal
ke
dalam model bisnis IS-LM pada persamaan (2), sehingga model tersebut kini
memiliki tiga variabel yaitu variabel pendapatan
suku bunga
dan stok
modal
, yaitu sebagai berikut
3
dengan,
merupakan konstanta penyusutan modal. Laju stok modal
dipengaruhi oleh selisih antara fungsi investasi dengan stok modal yang sudah
dipengaruhi oleh parameter
Setelah itu Cai (2005) menambahkan elemen waktu tunda pada fungsi
investasi pada variable stok modal
pada persamaan (3), karena
mempertimbangkan bahwa adanya delay antara waktu di mana besar investasi
pada suatu stok modal siap untuk digunakan dan akan digunakan. Sehingga model
pada persamaan (3) akan berubah menjadi
Cai (2005) juga menambahkan asumsi-asumsi terhadap fungsi simpanan
fungsi investasi
dan fungsi permintaan uang
Besarnya investasi
bergantung secara linear terhadap selisih antara pendapatan
dikurangi stok
modal
dan suku bunga
Sedangkan fungsi simpanan
bergantung
pada penjumlahan pendapatan
dengan suku bunga
Fungsi permintaan
uang
bergantung pada selisih antara pendapatan
dengan suku bunga
Ketiga fungsi tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut
dengan,
tingkat pertumbuhan investasi terhadap pendapatan,
tingkat penurunan investasi terhadap stok modal,
tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
tingkat pertumbuhan permintaan akan uang terhadap pendapatan,
tingkat penurunan investasi terhadap suku bunga,
tingkat pertumbuhan simpanan terhadap suku bunga,
tingkat penurunan permintaan akan uang terhadap suku bunga,
di mana
adalah konstanta-konstanta positif dalam interval
.
Sistem Persamaan Differensial
Bentuk umum dari persamaan diferensial orde-1 adalah
di mana
adalah matriks koefisien
Persamaan (6) disebut homogen jika
semua yang memenuhi persamaan
dan
adalah matriks konstanta.
sehingga solusi dari sistem adalah
(Tu 1994).
4
Persamaan Diferensial Tundaan
Menurut Kuang (1993), persamaan diferensial tundaan dapat dinyatakan
dalam bentuk
Jika persamaan diferensialnya linear, maka persamaan (7) dapat dinyatakan dalam
bentuk
.
di mana adalah waktu tunda dan
Misalkan
, maka persamaan (8) dapat dituliskan sebagai
Karena
, maka
Persamaan (9) merupakan persamaan karakteristik dari persamaan diferensial
tundaan, jika persamaan (9) dimisalkan dengan
maka persamaan (9) dapat dituliskan kembali menjadi
Titik Tetap
Dari sistem dinamik (6), fungsi disebut titik tetap jika memenuhi
.
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik ekuilibrium. Sifat titik ekuilibrium
dapat dilihat dari nilai eigen atau akar karakteristik yang didapat dari persamaan
karakteristik yang setara dengan menyelesaikan persamaan (6) yaitu dengan
mencari
Kriteria untuk melihat sifat kestabilan dari titik ekuilibrium
tersebut adalah dengan melihat bagian real dari nilai eigen tersebut.
Misalkan
, dengan
. Kriteria kestabilan dinyatakan
dengan
1 Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif
untuk setiap
b. Setiap komponen bagian real nilai eigen kompleks lebih kecil atau sama
untuk setiap ).
dengan nol (Re
2 Tidak stabil, jika
a. Ada nilai eigen real yang postif
untuk suatu
b. Ada komponen nilai eigen kompleks lebih besar dari nol, (Re
untuk suatu ).
5
3
Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen bernilai negatif
Sadel hiperbolik, jika Re
, untuk setiap
(Tu 1994).
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Jika persamaan karakteristik dari sebuah sistem persamaan diferensial yang
didapat berbentuk seperti persamaan (10), tidak mudah menentukan kestabilan
titik tetap dengan hanya menggunakan tanda bagian real nilai eigen karena akarakar persamaan karakteristik tersebut akan susah dicari. Oleh karena itu,
diperlukan metode penentuan kestabilan titik tetap lain yang dapat menentukan
tanda bagian real nilai eigen suatu persamaan karakteristik. Salah satu metode
yang dapat digunakan adalah kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu suatu
kriteria untuk menunjukkan kestabilan dengan tidak harus menghitung akar-akar
persamaan karakteristik secara langsung. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
dinyatakan dalam Teorema 1 berikut:
Teorema 1. Misalkan
bilangan-bilangan real,
jika
.
Semua nilai dari persamaan karakteristik
,
(11)
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap i=1,2,…,k,
determinan dari matriks Mi
adalah positif. Menurut kondisi Routh-Hurwitz dalam Teorema 1, untuk suatu k,
disebutkan bahwa nilai eigen dari persamaan karakteristik (11) stabil
asimtotik lokal jika dan hanya jika
,
(Fisher 1990)
Bifurkasi
Bifurkasi adalah suatu kondisi di mana terjadi perubahan struktur pada
sistem persamaan diferensial, biasanya berupa perubahan banyaknya titik tetap
atau perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang mengalami kondisi ini disebut
titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus bifurkasi saddle node,
bifurkasi transcritical, bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical).
Sedangkan pada kasus dua-dimensi atau lebih ditemukan kasus bifurkasi Hopf
(Strogatz 1994).
6
Bifurkasi Hopf
Bifurkasi Hopf adalah berubahnya jenis kestabilan suatu titik kesetimbangan
suatu persamaan diferensial dikarenakan munculnya sepasang nilai eigen yang
bernilai imajiner murni. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi
kondisi tranversalitas, yaitu kondisi yang dapat menyebabkan perubahan
kestabilan titik kesetimbangan ketika waktu tunda berubah.
Kondisi ini menyatakan bahwa sepasang akar imajiner murni dari persamaan
karakteristik (10) melintasi sumbu imajiner dengan kecepatan yang tidak nol (Tu
1994). Dengan demikian akan terjadi perubahan nilai real akar persamaan
karakteristik dari negatif menuju positif atau sebaliknya.
Kriteria Liu
Liu (1994) menemukan sebuah kriteria untuk menunjukkan terjadinya
bifurkasi Hopf tanpa menggunakan nilai eigen, melainkan dengan memanfaatkan
koefisien dari persamaan karakteristik. Misalkan persamaan (6) dituliskan kembali
sebagai sebuah sistem yang memiliki kaitan dengan sebuah parameter sehingga
sistem di atas memiliki titik tetap yaitu
Diasumsikan bahwa ada sebuah
nilai eigen
dari matriks Jacobi
yang bernilai imajiner murni ketika
dan memenuhi kondisi tranversalitas.
Persamaan karakteristik yang dapat dibentuk dari sistem adalah
Polinomial
memiliki akar-akar yang memiliki bagian real bernilai
negatif ketika semua kriteria kestabilan Routh-Hurwitz terpenuhi, sehingga
kriteria untuk terjadinya bifurkasi Hopf menurut Liu (1994) untuk
adalah
1.
Nilai Kritis Tundaan
Menurut Forde & Nelson (2003) ketika nilai
akar karakteristik akan
mengalami perubahan. Akan ada suatu nilai kritis di mana nilai akar-akar dari
persamaan (9) akan mengalami transisi dari yang memiliki nilai real negatif ke
memiliki nilai real positif atau sebaliknya. Jika hal ini terjadi maka bisa
disebutkan bahwa ada sebuah nilai yang menyebabkan persamaan (9) memiliki
akar-akar imajiner murni.
Misal akar persamaan karakteristik (10) adalah
,
, oleh
karena itu persamaan (9) menjadi
Jika bagian polinomial dipisah menjadi bagian real dan imajiner serta suku
eksponennya diubah dalam bentuk trigonometri, maka diperoleh
7
dengan
Agar persamaan (12) dipenuhi, bagian real dan imajiner harus sama dengan
nol sehingga
,
atau
Jika persamaan (13) dikuadratkan, akan didapatkan
dan
Selanjutnya, kedua persamaan (14) dan (15) dijumlahkan sehingga diperoleh
Misal
memenuhi persamaan (16) dan
persamaan (13) dapat ditulis kembali dalam
Misal
dan
, maka
sebagai
, maka
Dengan menggunakan sifat-sifat trigonometri diperoleh
Nilai
dengan
dapat diperoleh dengan mengalikan (17) dengan
dan (18)
kemudian kedua persamaan dikurangkan, sehingga diperoleh
8
Persamaan (19) menunjukkan terdapat tak berhingga
yang memenuhi
persamaan (12). Karena terdapat tak berhingga nilai , dipilih
agar efektif.
Nilai
inilah yang merupakan titik kritis tundaan. Setelah titik kritis
tundaan ditemukan, selanjutnya akan ditentukan apakah memenuhi kondisi
transversalitas.
Berikut ini ditunjukkan Lema 1 yang menjamin terpenuhinya kondisi
transversal atau nondegeneracy.
Lema 1. (Forde & Nelson 2003)
Jika
dan
memenuhi persamaan karakteristik (10), maka
jika dan hanya jika
Bukti:
Persamaan karakteristik (10) dapat ditulis sebagai
sehingga
Misal
adalah
di mana
. Jika
. Untuk
. Karena
diturunkan terhadap maka diperoleh
dan
imajiner dan
, ruas kiri persamaan (20) adalah
adalah real, maka
imajiner jika dan
hanya jika
bernilai real. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa persamaan (21) bernilai real.
Persamaan (21) dipisah bagian real dan imajinernya,
9
Agar persamaan (21) bernilai real maka
atau
Karena persamaan (16) maka
Persamaan (22) ini merupakan syarat perlu dan cukup untuk menunjukkan bahwa
dengan kata lain,
jika dan hanya jika
Jika terdapat akar karakteristik dari persamaan (10), maka ditemukan suatu titik
kritis tundaan. Dengan demikian bagian real akar persamaan karakteristik dari
sistem (10) akan berubah dari negatif menjadi positif atau sebaliknya.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Bisnis IS-LM tanpa Waktu Tunda
Model bisnis ini merupakan model yang pertama kali diperkenalkan oleh
Gabisch dan Lorenz pada tahun 1987 dengan mensubstitusi fungsi investasi,
simpanan dan stok modal pada persamaan (5) ke dalam persamaan (3) dengan
parameter-parameter yang telah diberikan oleh Cai (2005), yaitu
10
Dari model tersebut akan dicari titik tetap beserta kestabilannya juga dianalisis
apakah bifurkasi Hopf bisa terjadi. Pada akhir pembahasan, simulasi akan
dilakukan dengan menggunakan berbagai nilai parameter yang sudah tertera pada
jurnal acuan untuk melihat kondisi kestabilan pada tiap kondisi yang diperoleh.
Analisis Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
Titik tetap pada persamaan (23) diperoleh dengan memenuhi sistem
sehingga diperoleh titik tetap dari persamaan (24)
(Lampiran 1)
dengan
bernilai positif jika dan hanya jika
dan
semua parameter merupakan konstanta positif.
dan titik tetap di atas akan
karena
Kestabilan dari titik tetap
diperoleh dengan melihat nilai eigen
dari persamaan karakteristik yang diperoleh dari model di atas, yaitu
sehingga didapat persamaan karakteristik
dengan
sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz nilai eigen dari persamaan (25) akan
membuat bersifat stabil jika
dan
Menurut kriteria Liu (1994) ada sebuah parameter yang terkait pada model tanpa
waktu tunda, dalam hal ini adalah parameter
yang mewakili tingkat
pertumbuhan investasi terhadap pendapatan. Jika
merupakan nilai parameter
saat terjadi bifurkasi Hopf di titik tetap
, maka dengan kondisi
, Liu (1994) membuktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar terjadi
bifurkasi Hopf, yaitu
11
Dengan demikian, titik tetap
mengalami bifurkasi Hopf pada
Model Bisnis IS-LM dengan Waktu Tunda
Persamaan waktu tunda yang linear bisa didapatkan dengan memasukkan
nilai parameter pada persamaan (5) ke persamaan (4) sehingga didapatkan model
bisnis IS-LM dengan waktu tunda sebagai berikut
Semua parameter yang digunakan pada persamaan (26) sama seperti parameter
yang digunakan pada persamaan (23), sedangkan melambangkan waktu tunda
untuk kesiapan modal sebelum diinvestasikan.
Analisis Titik Tetap Model dengan Waktu Tunda
Titik tetap pada persamaan (23) diperoleh dengan memenuhi sistem
Titik tetap yang diperoleh dari persamaan (27) diasumsikan sama dengan titik
tetap pada model tanpa waktu tunda, yaitu sebesar
(Lampiran 1)
dengan
bernilai positif jika dan hanya jika
dan
semua parameter merupakan konstanta positif.
dan titik tetap di atas akan
karena
Kestabilan dari titik tetap
diperoleh dengan melihat nilai eigen
dari persamaan karakteristik yang diperoleh dari model pada persamaan (26),
yaitu
12
sehingga didapat persamaan karakteristik
dengan,
(Lampiran 2)
Titik tetap
akan bersifat stabil apabila akar persamaan dari
persamaan karakterisitik (28) bernilai negatif. Untuk mengetahui kestabilan pada
titik
mula-mula yaitu dengan menentukan ketika nilai waktu tunda
sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (28) diperoleh bentuk
sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz titik tetap
dan
Misalkan
diperoleh
bersifat stabil jika
merupakan akar dari persamaan (28) sehingga
yang merupakan bagian real dari persamaan (28), dengan bagian imajinernya
adalah
(Lampiran 3)
Perubahan kestabilan terjadi ketika akar persamaan karakteristik bernilai imajiner
murni, yaitu saat
, sehingga jika disubstitusikan pada persamaan (29) dan
(30) didapatkan
13
Selanjutnya untuk mengeliminasi persamaan (31) dan (32) dapat dikuadratkan
kemudian dijumlahkan sehingga diperoleh
(Lampiran 4)
dengan
Untuk menentukan kestabilan dari persamaan (33) nilai eigen perlu dicari dengan
mengetahui akar-akar dari persamaan (33) yaitu, dengan memisalkan
persamaan (33) menjadi
Menurut Ruan dan Wei (2001) nilai akar dari persamaan (34) dapat diketahui
dengan memanfaatkan lema berikut
Lema 2
Didefinisikan
1. Jika
maka persamaan (34) paling tidak memiliki satu akar positif.
2. Jika
dan
maka persamaan (34) tidak memiliki akar positif.
3. Jika
dan
maka persamaan (34) memunyai akar-akar positif jika
dan
dan hanya jika
Misalkan persamaan (34) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan dengan
dan
Persamaan (33) memiliki akar positif yaitu
dan
.
(Lampiran 5)
Nilai
yaitu titik dimana terjadi perubahan kestabilan dapat dicari dengan
memanfaatkan persamaan (31) dan (32), didapat
(Lampiran 6)
Ada tak hingga banyaknya nilai yang memenuhi persamaan (35). Nilai
dipilih dari ketiga akar positif dari persamaan (33), kemudian dipilih yang
merupakan nilai terkecil dari tak terhingga
sebagai nilai kritis tundaan yang
dinyatakan dalam bentuk
Nilai kritis tundaan yang didapat dari persamaan (36) akan menyebabkan nilai
eigen dari persamaan (28) mengalami perubahan yang dapat memengaruhi
14
kestabilan (Forde & Nelson 2003). Kriteria kestabilan di sekitar nilai kritis
tundaan dapat diketahui dengan menggunakan Lema 3 berikut.
Lema 3
Misal
eksis, dan syarat kestabilan
pada saat
terpenuhi, maka
(i) Jika salah satu dari tiga syarat di bawah ini:
(1)
dan
(2)
dan
(3)
dan
terpenuhi, maka semua akar dari persamaan (28) memunyai bagian real yang
bernilai negatif untuk semua
(ii) Jika
atau
dan
maka semua akar dari persamaan
(28) memunyai bagian akar real yang bernilai negatif pada
Pada
saat
terjadi perubahan kestabilan dikarenakan munculnya sepasang akar
imajiner murni. Pada saat
maka bagian real akar-akar persamaannya
akan menjadi positif sehingga terjadi perubahan kestabilan.
Perubahan nilai eigen pada persamaan (28) dari bernilai real negatif ke
memiliki nilai real positif terjadi akibat suatu nilai kritis tundaan
Jika hal ini
terjadi akar-akar persamaan (28) bernilai imajiner murni pada saat titik kritis
tundaan
Kasus ini mengindikasikan terjadinya bifurkasi Hopf. Proses
identifikasi melalui kondisi tranversalitas dilakukan sebagai syarat terjadinya
bifurkasi Hopf.
Menurut Forde & Nelson (2003) kondisi di atas tepenuhi jika dan hanya jika
Misal
dan
sebagai akar dari persamaan (28) memenuhi
Dari persamaan (31) dan (32) diperoleh
dengan menurunkan persamaan (38) terhadap
Sehingga dengan memanfaatkan persamaan (39) akan diperoleh,
Kemudian mensubstitusikan
akan didapat
15
maka diperoleh bahwa kondisi (37) terpenuhi, sehingga terjadi perubahan nilai
real akar persamaan karakteristik dari negatif ke positif yang menyebabkan
berubahnya kestabilan sistem.
Simulasi Model tanpa Waktu Tunda
Simulasi sistem dilakukan untuk menganalisis kestabilan yang diperoleh dengan
menggunakan parameter
Pada sistem tanpa waktu tunda
titik tetap yang diperoleh berdasarkan nilai parameter adalah
Nilai parameter memenuhi syarat eksistensi titik
kesetimbangan dan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Pada model tanpa waktu
tunda, nilai-nilai parameter tersebut akan dimasukan ke dalam model pada
persamaan (23). Parameter merupakan parameter yang menggambarkan tingkat
pertumbuhan investasi terhadap pendapatan. Dilakukan pengamatan untuk nilai
dan
dengan 3 nilai awal yang berbeda yaitu
dan
Gambar 1. Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
Gambar 2. Bidang fase untuk
awal [
dengan nilai awal
dengan nilai
]
16
Pada Gambar 1 terlihat bahwa sistem bergerak menuju suatu titik kestabilan
sehingga sistem bersifat stabil. Pada bidang fase yang ditunjukkan pada Gambar 2
terlihat sistem berbentuk spiral stabil. Oleh karena itu, ketika nilai
maka
sistem bersifat stabil.
Gambar 3. Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
Gambar 4. Bidang fase untuk
awal [
dengan nilai awal
dengan nilai
]
Pada Gambar 3 ketika nilai
di mana
grafik solusi tidak
menuju ke titik kesetimbangan dari nilai awal yang digunakan yaitu sebesar
dan
sistem selalu menjauhi titik kesetimbangan
Bidang fase yang ditunjukkan pada Gambar 4 menunjukkan spiral tak stabil.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi pada titik kesetimbangan
dengan adanya perubahan nilai parameter Titik kesetimbangan bersifat stabil
ketika
dan menjadi takstabil ketika
17
Simulasi Model dengan Waktu Tunda
Pada simulasi dengan waktu tunda digambarkan perilaku bahwa
bersifat
stabil untuk semua
dan bersifat tak stabil untuk nilai
. Sedangkan
untuk simulasi dengan waktu tunda akan dipilih parameter yaitu
Titik tetap yang diperoleh untuk model dengan waktu tunda adalah
dengan waktu tunda yang
diperoleh dari persamaan (35) yaitu sebesar
Nilai parameter
memenuhi syarat eksistensi titik kesetimbangan
kriteria Routh-Hurwitz, dan
dan
terpenuhi. Bifurkasi Hopf terjadi ketika nilai
parameter melebihi
Dilakukan pengamatan untuk nilai
dan
dengan 3 nilai awal yang berbeda yaitu
dan
Gambar 5. Bidang solusi dan bidang fase dengan
Gambar 6. Bidang fase dengan
dengan nilai awal
dengan nilai awal
18
Pada Gambar 5 di mana waktu tunda sebesar
dijelaskan bahwa
dengan adanya waktu tunda
pada stok modal mengakibatkan tingkat
pendapatan, suku bunga, dan stok modal menurun, akibatnya sistem akan
bergerak menuju sebuah nilai tertentu di mana pada saat itu sistem dalam
keadaaan stabil, yaitu pada saat . Bidang fase yang dihasilkan pada Gambar 6
berupa spiral stabil yang disebabkan karena nilai eigen dari persamaan (28)
berbentuk kompleks dengan bagian realnya bernilai negatif. Titik awal sebesar
dan
pada Gambar 6 ditunjukkan bahwa
sistem bergerak menuju titik kesetimbangan
Gambar 7. Bidang solusi dan bidang fase dengan
Gambar 8. Bidang fase dengan
dengan nilai awal
dengan nilai awal
Pada saat
sistem menunjukkan pergerakan osilasi yang konstan.
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal terlihat tidak bergerak menuju
sebuah nilai tertentu pada Gambar 7. Hal ini disebabkan karena ada perubahan
19
nilai eigen menjadi bentuk imajiner murni, sehingga kestabilan sistem ikut
berubah. Nilai eigen yang berbentuk imajiner murni mengindikasikan adanya
sebuah limit cycle, pada Gambar 8 terlihat solusi bidang fase sistem yang
menunjukkan adanya limit cycle. Limit cycle ini menggambarkan bahwa ketika
nilai tundaan sebesar
maka sistem tidak akan menuju ke suatu nilai
tertentu melainkan hanya berosilasi sepanjang waktu yang hanya akan berubah
ketika nilai waktu tundaan semakin membesar.
Gambar 9. Bidang solusi dan bidang fase dengan
Gambar 10. Bidang fase dengan
dengan nilai awal
dengan nilai awal
20
Berdasarkan Gambar 9 yaitu bidang solusi saat
ditunjukkan
perubahan osilasi yang sangat besar terutama pada variabel pendapatan, akibatnya
pendapatan, suku bunga, dan stok modal akan mengalami peningkatan karena
waktu tunda yang semakin besar. Nilai eigen akan bernilai positif, akibatnya
sistem tidak akan menuju ke kestabilan. Pada Gambar 10 potret fase tidak menuju
ke titik kesetimbangan
dari nilai awal yang digunakan yaitu sebesar
dan
sehingga membentuk spiral takstabil.
Semakin besar waktu tundaan maka akan semakin menyebabkan ketidakstabilan
pada siklus bisnis ini.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa terjadi perubahan kestabilan pada
saat
dan
sehingga menurut teorema bifurkasi terjadi. Perubahan
kestabilan terjadi ketika nilai
yaitu ketika timbul nilai eigen yang
berbentuk imajiner murni sehingga terjadi limit cycle yang membukitkan bahwa
ada bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf pada titik kesetimbangan menggambarkan
adanya suatu nilai batas yang disebut nilai titik kritis tundaan. Nilai pendapatan,
suku bunga, dan stok modal memunyai solusi sistem yang terkontrol menuju
kondisi yang seimbang apabila diberi nilai tundaan yang kurang dari nilai titik
kritis tundaan. Apabila nilai tundaan yang diberikan lebih dari nilai titik kritis
tundaan, solusi sistem menunjukkan nilai pendapatan, suku bunga, dan stok modal
akan terus berfluktuasi sehingga menyebabkan kondisi ekonomi yang tidak stabil.
SIMPULAN
Dalam pembahasan pada skripsi ini, dapat ditarik kesimpulan bahwa model
siklus bisnis IS-LM dengan waktu tunda pada stok modal merupakan sistem
persamaan diferensial linear non homogen dengan tiga variabel tak bebas dan
sebelas parameter. Pada model IS-LM dengan waktu tunda pada stok modal
diperoleh satu titik kesetimbangan yaitu
.
Pada simulasi tanpa waktu tunda didapatkan bahwa model akan selalu
menuju kestabilan, kecuali saat munculnya parameter
di mana parameter
tersebut yang menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Sistem akan bersifat stabil
jika nilai
dan akan bersifat takstabil ketika
Parameter
merupakan parameter yang mewakili tingkat pertumbuhan investasi terhadap
pendapatan. Adanya sebuah nilai kritis tunda
mengakibatkan terjadinya
perubahan kestabilan di mana ketika nilai
muncul sebuah limit cycle.
Sistem bersifat stabil ketika nilai
dan bersifat takstabil ketika nilai
Simulasi numerik yang dilakukan pada model tanpa waktu tunda mengambil
parameter
di mana sistem berbentuk spiral stabil ketika
dan
bersifat spiral takstabil ketika nilai dan
Pada simulasi dengan waktu
tunda nilai kritis tunda yang diperoleh adalah sebesar
dan sistem
bersifat spiral stabil ketika nilai
dan berbentuk spiral takstabil ketika
Simulasi numerik yang dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai
dengan hasil analisis.
21
DAFTAR PUSTAKA
Cai JP. 2005. Hopf bifurcation in the IS-LM business cycle model with time delay.
Electronic Journal of Differential Equations. 5(15): 1-6.
Forde J, Nelson P. 2003. Application of Sturm sequences to bifurcation analysis
of delay differential equation models. Journal of Mathematical Analysis
and Applications. 300(4): 273-284. doi: 10.1016/j.jmaa.2004.02.063.
Fisher SD. 1990. Complex Variables Second Edition. California (US): Wadsworth
& Brooks/Cole Brooks & Software, Pacific Grove.
Gabisch G, Lorenz HW. 1987. Business Cycle Theory A Survey of Methods and
Concepts. Berlin(DE): Springer-Verlag.
Kaldor N. 1940. A model of the trade cycle. Economic Journal. 50(197): 78-92
Kalecki M. 1935. A macrodynamic theory of business cycle. Econometrica. 3(3):
327-344.
Krawiec A, Szydlowski M. 2001. The Kaldor-Kalecki model of business cycle as
two-dimensional dynamical system. Nonlinear Mathematic Physic.1
Sisipan 8: 288-271. doi: 10.2991/jnmp.2001.8.s.46.
Kuang Y. 1993. Delay Differential Equation with Application in Population
Dynamics. Boston(US): Academic Press.
Liu WM. 1994. Criterion of hopf bifurcations without using eigenvalues. Journal
of Mathematical Analysis and Applications. 182(1): 250–256. doi:
10.1006/jmaa.1994.1079.
Ruan S, Wei J. 2001. On the zeros of a third degree exponential polynomial with
applications to a delayed model for the control of testosterone secretion.
IMA Journal of Applied in Medicine and Biology. 1 Sisipan 18: 41-52. doi:
10.1093/imammb18.1.41.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley
Publishing Company.
Tu PNV. 1994. Dynamic System: An Introduction with Application in Economics
and Biology. Hiedelberg (DE): Springer-Verlag.
Torre V. 1977. Existence of limit cycles and control in complete Keynesian
system by theory of bifurcations. Econometrica. 45(6): 1457-1466.
doi: 10.2307/1912311.
22
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Untuk Model dengan Waktu Tunda
Mencari titik tetap yaitu dengan mencari solusi dari tiap sistem (23)
Substitusi persamaan (41) ke persamaan (42)
Substitusi persamaan (41) ke persamaan (40)
Substitusi persamaan (43) ke persaman (44)
23
Substitusi persamaan (45) ke persamaan (41)
Substitusi persamaan (45) ke persamaan (43)
24
Lampiran 2 Persamaan Karakteristik Model tanpa Waktu Tunda
Persamaan karakteristik (25) diperoleh dari
Kemudian setiap koefisien akan dikelompokkan menurut variabel
Kalikan semua koefisien dengan
dengan
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
, sehingga
25
Lampiran 3 Persamaan Karakteristik
Persamaan (24) didapatkan dengan mencari nilai dari
didapat
Kemudian setiap koefisien akan dikelompokkan menurut variabel
Kalikan semua koefisien dengan
dengan,
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
, sehingga
26
Lampiran 4 Kestabilan Titik Tetap Ketika
Asumsikan persamaan karakteristik (27) memiliki solusi imajiner murni
berbentuk
. Substitusikan nilai eigen
pada persamaan (27) dan
pisahkan bagian real dan imajiner dari persamaan yang diperoleh
Kemudian didapat bagian real,
bagian imajiner,
Untuk titik pertama bifurkasi dimisalkan
(54) dan (55)
untuk mendapatkan persamaan
Apabila keduanya dikuadratkan akan diperoleh
Jika dijumlahkan akan diperoleh
atau dapat dinyatakan dalam bentuk seperti pada persamaan (34), yaitu
dengan
Lampiran 5 Pembuktian Ruan dan Wei
Lema 2
Misalkan
Jika
maka persamaan (56) paling tidak memunyai satu akar yang
bernilai positif.
Bukti.
Jelas bahwa,
dan
.sehingga, terdapat
yang menyebabkan
Jika
dan
bernilai positif.
Bukti.
maka persamaan (56) tidak memunyai akar yang
27
Dengan menurunkan persamaan
terhadap , diperoleh
dengan membuat
sehingga akar-kara dari persamaan (54) adalah
Jika nilai
, maka persamaan (56) tidak memiliki akar–akar real. Nilai dari
akan selalu lebih besar dari 0 sehingga menyebabkan persamaan (56) selalu
monoton naik di , hal ini dikarenakan
merupakan syarat definit positif dari
fungsi tersebut. Selanjutnya karena nilai dari
, maka menyebabkan
persamaan (56) tidak memunyai akar real positif.
Jika
dan
maka persamaan (56) memunyai akar-akar yang
bernilai positif jika dan hanya jika
dan
.
Bukti.
Jika
, maka
Selanjutnya kita membuktikan
dan
. Jika
dan
, sehingga
merupakan minimum lokal dari
.
secara kontradiksi, yaitu untuk
atau
, karena
monoton naik pada saat
tidak memunyai akar positif. Sedangkan untuk
merupakan maksimum lokal dari
,
, karena
dan
. Oleh karena
, sehingga
, tidak
menyebabkan
memunyai akar real.
Lampiran 6 Penentuan Titik Kritis Tunda
Penentuan titik kritis tunda diperoleh dengan memisalkan
Misal
dalam bentuk
memenuhi persamaan (57) dan (58), serta dengan memisalkan
maka kedua persamaan di atas dapat ditulis kembali
28
Misal
, dan
maka diperoleh
dengan menggunakan sifat trigonometri
Nilai dapat diperoleh dengan cara mengalikan persamaan (59) dengan
dan persamaan (60) dengan
, kemudian kedua persamaan tersebut
dijumlahkan, sehingga diperoleh
Lampiran 7 Kode Pemrograman Model tanpa Waktu Tunda
[nodelay.m]
function d = nodelay(t,Y)
d = zeros(3,1);
alpha = 1.5; beta = 1; delta = 0.3; delta1 = 0.25;
M = 0.25; l1 = 0.15; l2 = 0.2; beta1 =0.3; beta2 =0.2; beta3 =
0.3; eta = 0.55;
d(1) = alpha*((eta-l1)*Y(1)-delta1*Y(2)-(beta1+beta2)*Y(3));
d(2) = beta*(l2*Y(1)-beta3*Y(2)-M);
d(3) = eta*Y(1)-beta1*Y(2)-(delta+delta1)*Y(3);
end
[nodelayplot.m]
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);
[T,Y] = ode45(@nodelay,[0 200],[1.6 0.8 1],options);
plot(T,Y(:,1),T,Y(:,2),T,Y(:,3)),legend('Pendapatan','Suku
bunga','Stok modal')
xlabel('time t');
ylabel('nilai');
29
Lampiran 8 Kode Pemrograman Model dengan Waktu Tunda
[bisnistunda.m]
function v = bisnistunda(t,Y,Z)
Ylag1 = Z(:,1);
v = zeros(3,1);
alpha = 1.5; beta = 2; delta = 0.2; delta1 = 0.5;
M = 0.25; l1 = 0.1; l2 = 0.2; beta1 =0.2; beta2 =0.3; beta3 = 0.2;
eta = 0.4;
v(1) = alpha*((eta-l1)*Y(1)-delta1*Y(2)-(beta1+beta2)*Y(3));
v(2) = beta*(l2*Y(1)-beta3*Y(2)-M);
v(3) = eta*Ylag1(1)-beta1*Y(2)-(delta+delta1)*Y(3);
end
[titiktetap.m]
function p = titiktetap (t)
alpha = 1.5; beta = 2; delta = 0.2; delta1 = 0.5;
M = 0.25; l1 = 0.1; l2 = 0.2; beta1 =0.2; beta2 =0.3; beta3 = 0.2;
eta = 0.4;
theta = delta*(beta3*eta-beta1*l2)(delta+delta1)*(beta2*l2+beta3*l1);
p(1)=(-M*(delta*(beta1+beta2)+delta1*beta2))/theta;
p(2)=(M*((delta+delta1)*l1-delta*eta))/theta;
p(3)=(-M*(beta1*l1+beta2*eta))/theta;
end
[bisnistundaplot.m]
options = ddeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-7,'InitialY',[1.6 0.8
1])
sol = dde23(@bisnistunda,0.9,@titiktetap,[0, 100],options);
figure;
plot(sol.x,sol.y);
legend('pendapatan','suku bunga','stok modal');
xlabel('time t');
ylabel('nilai');
[delay.m]
function delay
alpha = 1.5; beta = 2; delta = 0.2; delta1 = 0.5;
M = 0.25; l1 = 0.1; l2 = 0.2; beta1 =0.2; beta2 =0.3; beta3 = 0.2;
eta = 0.4;
A=(delta+delta1)+(beta*beta3)-(alpha*(eta-l1));
B=(delta+delta1)*((beta*beta3)-alpha*(etal1))+(beta*l2*alpha*(beta1+beta2)-alpha*beta*beta3*(eta-l1));
C=-(alpha*beta*beta1*l2*delta1)(delta+delta1)*(alpha*beta)*(beta3*(eta-l1)-l2*(beta1+beta2));
D=alpha*eta*delta1;
E=alpha*beta*beta3*eta*delta1;
vo=sqrt(0.2943242197);
to=(1/vo)*acos(((A*vo^2-C)*E+(vo^3-B*vo)*D*vo)/(D^2*vo^2+E^2))
figure (5);
theta = delta*(beta3*eta-beta1*l2)(delta+delta1)*(beta2*l2+beta3*l1);
q=(-M*(delta*(beta1+beta2)+delta1*beta2))/theta;
30
w=(M*((delta+delta1)*l1-delta*eta))/theta;
r=(-M*(beta1*l1+beta2*eta))/theta;
options = ddeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-7,'InitialY',[1.6 0.8
1]);
sol =dde23(@bisnistunda,0.6251,@titiktetap,[0 1500],options);
plot3(sol.y(1,:),sol.y(2,:),sol.y(3,:),'m','linewidth',2);
hold on;
plot3(q,w,r,'black.','linewidth',5);
ylabel('R(t)');
xlabel('Y(t)');
zlabel('K(t)');grid;hold on;
legend('nilai awal [1.6 0.8 1]','titik tetap E');
31
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Februari 1992, anak pertama
dari dua bersaudara dari Bapak Djoko Nurprianto dan Ibu Titi Suryani. Tahun
2010 Penulis lulus dari SMAN 61 Jakarta dan melanjutkan pendidikan di jurusan
Matematika, fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA), Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SNMPTN Undangan.
Tahun 2012-2013 Penulis mengikuti Unit Kegiatan Mahasiswa IPB, yaitu
IPB Debate Community (IDC). Pada periode 2011-2013 Penulis aktif dalam
kegiatan Rohis Matematika Angkatan 47 dan terakhir menjabat sebagai bendahara
umum. Tahun 2012 Penulis sempat mendapatkan beasiswa Bank Indonesia
kemudian tahun 2013-2014 mendapatkan beasiswa PPA.
TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA
PURI MAHESTYANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi Hopf pada
Siklus Bisnis IS-LM tanpa dan dengan Waktu Tunda adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2015
Puri Mahestyanti
NIM G54100030
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Fermentasi in Vitro dan
in Sacco Hijauan Tropika pada Media Cairan Rumen Domba adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
disertasi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2011
Ainissya Fitri
NIM D24052885
ABSTRAK
PURI MAHESTYANTI. Bifurkasi Hopf pada Siklus Bisnis IS-LM tanpa dan
dengan Waktu Tunda. Dibimbing oleh ENDAR H NUGRAHANI dan ALI
KUSNANTO.
Salah satu model siklus bisnis dalam dinamika di bidang ekonomi adalah
model siklus bisnis IS-LM yang memuat waktu tunda. Waktu tunda dalam model
Cai (2005) terletak pada variabel stok modal, yaitu waktu tunda antara tersedianya
modal untuk investasi dengan kesiapan untuk berinvestasi. Dalam model tanpa
waktu tunda, dengan mengubah parameter tingkat pertumbuhan investasi terhadap
pendapatan dapat mengubah kestabilan sistem. Pada model dengan waktu tunda,
dapat muncul sebuah parameter nilai kritis tundaan, di mana sistem akan
mengalami perubahan kestabilan di sekitar parameter tersebut. Dengan demikian
sistem akan mengalami limit cycle pada nilai parameter tertentu yang
membuktikan terjadinya bifurkasi Hopf.
Kata kunci: model siklus bisnis, bifurkasi Hopf, waktu tunda
ABSTRACT
PURI MAHESTYANTI. Hopf Bifurcation in IS-LM Business Cycle with and
without Time Delay. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and ALI
KUSNANTO.
One of business cycle models in dynamical economics is the IS-LM
business cycle model with time delay, where the time delay lies in stock capital
variables. It is a time delay between the existence of stock capital and the time to
get ready to invest. In a model without time delay, changing the parameter of
investment rate on income could affect the system stability. On the other hand, in
a model with time delay, there exists critical time delay changing the system
stability. This shows limit cycle, which can be concluded that Hopf bifurcation
occurs.
Keywords: business cycle model, Hopf bifurcation, time delay
BIFURKASI HOPF PADA SIKLUS BISNIS IS-LM
TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA
PURI MAHESTYANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2014 ini ialah
bifurkasi, dengan judul Bifurkasi Hopf pada Siklus Bisnis IS-LM dengan dan
tanpa Waktu Tunda. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 Ibu Dr Endar H Nugrahani MS dan Bapak Drs Ali Kusnanto MSi selaku
pembimbing atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama masa
bimbingan, dan kepada Bapak Dr Paian Sianturi selaku penguji.
2 Ayahanda Djoko Nurprianto dan Ibunda Titi Suryani yang banyak
memberikan nasihat, doa serta dukungan. Adikku Galuh Maharani yang
selalu menjadi pengingat dan pemberi keceriaan.
3 Keluarga besar dan staf Departemen Matematika IPB.
4 Saudara Imam Ekowicaksono atas segala dukungan dan masukan yang
tak hentinya.
5 Saudari Kurniawati sahabat terbaikku untuk semua penyemangat dan
dorongan di setiap saat.
6 Teman-teman terdekatku Putri Thamara, Shoviatun Nisa, Lailatul
Qodariah, dan Andi Fitrianah.
7 Seluruh rekan-rekan mahasiswa Matematika 47.
8 Teman-teman lainnya yang telah memberikan dukungan moril yang tak
bisa disebutkan satu persatu
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2015
Puri Mahestyanti
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Model IS-LM tanpa Waktu Tunda
9
Analisis Titik Tetap Model IS-LM tanpa Waktu Tunda
10
Model IS-LM dengan Waktu Tunda
11
Analisis Titik Tetap Model IS-LM dengan Waktu Tunda
11
Simulasi Model tanpa Waktu Tunda
15
Simulasi Model dengan Waktu Tunda
17
SIMPULAN
20
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
22
RIWAYAT HIDUP
31
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
2 Bidang
fase
untuk
[
]
3 Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
4 Bidang
fase
untuk
[
]
5 Bidang solusi dan bidang fase dengan
dengan nilai awal
15
dengan
nilai
awal
15
dengan nilai awal
16
dengan
nilai
awal
16
dengan nilai awal
17
6 Bidang
fase
dengan
dengan
nilai
awal
17
7 Bidang solusi dan bidang fase dengan
dengan nilai awal
18
8 Bidang
fase
dengan
dengan
nilai
awal
18
9 Bidang solusi dan bidang fase dengan
dengan nilai awal
19
10 Bidang
fase
dengan
dengan
nilai
awal
19
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
Penentuan Titik Tetap
Persamaan Karakteristik tanpa Waktu Tunda
Persamaan Karakteristik dengan Waktu Tunda
Kestabilan Titik Tetap
Pembuktian Ruan dan Wei
Penentuan Nilai Kritis Tunda
Kode Pemrograman tanpa Waktu Tunda
Kode Pemrograman dengan Waktu Tunda
22
24
25
26
26
27
28
29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Ekonomi adalah ilmu yang memelajari cara penggunaan sumber daya yang
langka dengan berbagai alternatif penggunaan. Dalam Ekonomi, dinamika
merupakan salah situasi yang pasti dialami oleh para pelaku ekonomi. Salah satu
contoh dinamika perekonomian adalah pada bidang bisnis, yang dituangkan dalam
sebuah model siklus bisnis IS-LM (Investment Savings-Liquidity Money
Preferences). Model siklus bisnis IS-LM merupakan sistem dinamik yang
melibatkan fungsi investasi (I), fungsi simpanan (S), dan fungsi permintaan uang
(L). Salah satu model siklus bisnis IS-LM yang diperkenalkan oleh Gabisch dan
Lorenz (1987) dipengaruhi oleh variabel pendapatan, suku bunga, dan stok modal.
Dalam model bisnis yang diperkenalkan oleh Kalecki (1935) diasumsikan bahwa
keuntungan yang diperoleh akan disimpan untuk digunakan sebagai modal awal
investasi, sehingga timbul adanya keterlambatan dalam proses investasi. Waktu
tunda dalam siklus bisnis merupakan hasil dari interval waktu yang diperlukan
aantara keputusan berinvestasi dan pemasangan investasi modal (Cai 2005).
Berangkat dari ide Kalecki (1935), Cai (2005) berpendapat bahwa ketika
investor memiliki sejumlah uang, akan timbul waktu tunda antara ketersedianya
modal hingga kesiapan investor untuk menginvestasikan uangnya, sehingga Cai
(2005) menambahkan elemen waktu tunda khususnya pada variabel stok modal.
Waktu tunda pada model siklus bisnis IS-LM juga mempertimbangkan bahwa
investasi bergantung pada pendapatan saat investasi pertama kali dilakukan dan
juga pada stok modal pada saat berinvestasi berakhir.
Dalam karya ilmiah ini dianalisis model siklus bisnis IS-LM dengan
variabel pendapatan, suku bunga, dan stok modal tanpa dan dengan adanya waktu
tunda. Model dengan waktu tunda mengimplikasikan adanya waktu tunda dalam
proses investasi, sedangkan model tanpa nilai waktu tunda menyatakan bahwa
tidak ada masa persiapan atau penundaan sampai modal tersedia dan siap
digunakan.
Teori bifurkasi digunakan untuk memelajari dinamika sistem dan
menggambarkan beberapa perubahan perilaku dari sistem dengan beberapa nilai
parameter yang bervariasi. Dalam menganalisis model siklus bisnis IS-LM salah
satu teori bifurkasi yang digunakan adalah bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf
digunakan untuk menentukan eksistensi limit cycle dari suatu sistem, serta dapat
digunakan untuk menunjukkan bahwa dinamika kondisi dari pendapatan, suku
bunga, dan stok modal dengan waktu tunda dapat digambarkan dengan model
siklus bisnis IS-LM oleh Cai (2005).
Tujuan Penelitian
1. Menganalisis dinamika model siklus bisnis IS-LM tanpa dan dengan waktu
tunda.
2. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis IS-LM.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Model IS-LM
Model IS-LM merupakan salah satu model dalam ekonomi makro. Model
ini menjelaskan hubungan antara fungsi investasi ( fungsi simpanan
fungsi
permintaan uang
dan konstanta persediaan uang
Kaldor (1940) dan
Kalecki (1935) memperkenalkan model siklus bisnis pertama kali dalam bentuk
sistem persamaan differensial dengan variable pendapatan
dan stok modal
, yaitu
dengan,
fungsi investasi,
fungsi simpanan,
percepatan akibat kelebihan atau kekurangan investasi.
Laju pendapatan
dipengaruhi oleh fungsi investasi dan fungsi simpanan serta
parameter Sedangkan laju stok modal
dipengaruhi oleh fungsi investasi
(Krawiec & Szydlowski 2001).
Torre (1997) mengganti variabel stok modal
pada persamaan (1)
dengan variabel suku bunga
sehingga
dengan,
fungsi permintaan uang,
konstanta persediaan uang,
percepatan yang disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan
permintaan akan uang.
Laju suku bunga
dipengaruhi oleh fungsi permintaan uang dan konstanta
persediaan serta parameter Ketika besar persediaan uang lebih besar dibanding
permintaan uang maka laju suku bunga akan bernilai negatif.
Gabisch & Lorenz (1987) menambahkan variabel stok modal
ke
dalam model bisnis IS-LM pada persamaan (2), sehingga model tersebut kini
memiliki tiga variabel yaitu variabel pendapatan
suku bunga
dan stok
modal
, yaitu sebagai berikut
3
dengan,
merupakan konstanta penyusutan modal. Laju stok modal
dipengaruhi oleh selisih antara fungsi investasi dengan stok modal yang sudah
dipengaruhi oleh parameter
Setelah itu Cai (2005) menambahkan elemen waktu tunda pada fungsi
investasi pada variable stok modal
pada persamaan (3), karena
mempertimbangkan bahwa adanya delay antara waktu di mana besar investasi
pada suatu stok modal siap untuk digunakan dan akan digunakan. Sehingga model
pada persamaan (3) akan berubah menjadi
Cai (2005) juga menambahkan asumsi-asumsi terhadap fungsi simpanan
fungsi investasi
dan fungsi permintaan uang
Besarnya investasi
bergantung secara linear terhadap selisih antara pendapatan
dikurangi stok
modal
dan suku bunga
Sedangkan fungsi simpanan
bergantung
pada penjumlahan pendapatan
dengan suku bunga
Fungsi permintaan
uang
bergantung pada selisih antara pendapatan
dengan suku bunga
Ketiga fungsi tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut
dengan,
tingkat pertumbuhan investasi terhadap pendapatan,
tingkat penurunan investasi terhadap stok modal,
tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
tingkat pertumbuhan permintaan akan uang terhadap pendapatan,
tingkat penurunan investasi terhadap suku bunga,
tingkat pertumbuhan simpanan terhadap suku bunga,
tingkat penurunan permintaan akan uang terhadap suku bunga,
di mana
adalah konstanta-konstanta positif dalam interval
.
Sistem Persamaan Differensial
Bentuk umum dari persamaan diferensial orde-1 adalah
di mana
adalah matriks koefisien
Persamaan (6) disebut homogen jika
semua yang memenuhi persamaan
dan
adalah matriks konstanta.
sehingga solusi dari sistem adalah
(Tu 1994).
4
Persamaan Diferensial Tundaan
Menurut Kuang (1993), persamaan diferensial tundaan dapat dinyatakan
dalam bentuk
Jika persamaan diferensialnya linear, maka persamaan (7) dapat dinyatakan dalam
bentuk
.
di mana adalah waktu tunda dan
Misalkan
, maka persamaan (8) dapat dituliskan sebagai
Karena
, maka
Persamaan (9) merupakan persamaan karakteristik dari persamaan diferensial
tundaan, jika persamaan (9) dimisalkan dengan
maka persamaan (9) dapat dituliskan kembali menjadi
Titik Tetap
Dari sistem dinamik (6), fungsi disebut titik tetap jika memenuhi
.
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik ekuilibrium. Sifat titik ekuilibrium
dapat dilihat dari nilai eigen atau akar karakteristik yang didapat dari persamaan
karakteristik yang setara dengan menyelesaikan persamaan (6) yaitu dengan
mencari
Kriteria untuk melihat sifat kestabilan dari titik ekuilibrium
tersebut adalah dengan melihat bagian real dari nilai eigen tersebut.
Misalkan
, dengan
. Kriteria kestabilan dinyatakan
dengan
1 Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif
untuk setiap
b. Setiap komponen bagian real nilai eigen kompleks lebih kecil atau sama
untuk setiap ).
dengan nol (Re
2 Tidak stabil, jika
a. Ada nilai eigen real yang postif
untuk suatu
b. Ada komponen nilai eigen kompleks lebih besar dari nol, (Re
untuk suatu ).
5
3
Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen bernilai negatif
Sadel hiperbolik, jika Re
, untuk setiap
(Tu 1994).
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Jika persamaan karakteristik dari sebuah sistem persamaan diferensial yang
didapat berbentuk seperti persamaan (10), tidak mudah menentukan kestabilan
titik tetap dengan hanya menggunakan tanda bagian real nilai eigen karena akarakar persamaan karakteristik tersebut akan susah dicari. Oleh karena itu,
diperlukan metode penentuan kestabilan titik tetap lain yang dapat menentukan
tanda bagian real nilai eigen suatu persamaan karakteristik. Salah satu metode
yang dapat digunakan adalah kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu suatu
kriteria untuk menunjukkan kestabilan dengan tidak harus menghitung akar-akar
persamaan karakteristik secara langsung. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
dinyatakan dalam Teorema 1 berikut:
Teorema 1. Misalkan
bilangan-bilangan real,
jika
.
Semua nilai dari persamaan karakteristik
,
(11)
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap i=1,2,…,k,
determinan dari matriks Mi
adalah positif. Menurut kondisi Routh-Hurwitz dalam Teorema 1, untuk suatu k,
disebutkan bahwa nilai eigen dari persamaan karakteristik (11) stabil
asimtotik lokal jika dan hanya jika
,
(Fisher 1990)
Bifurkasi
Bifurkasi adalah suatu kondisi di mana terjadi perubahan struktur pada
sistem persamaan diferensial, biasanya berupa perubahan banyaknya titik tetap
atau perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang mengalami kondisi ini disebut
titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus bifurkasi saddle node,
bifurkasi transcritical, bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical).
Sedangkan pada kasus dua-dimensi atau lebih ditemukan kasus bifurkasi Hopf
(Strogatz 1994).
6
Bifurkasi Hopf
Bifurkasi Hopf adalah berubahnya jenis kestabilan suatu titik kesetimbangan
suatu persamaan diferensial dikarenakan munculnya sepasang nilai eigen yang
bernilai imajiner murni. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi
kondisi tranversalitas, yaitu kondisi yang dapat menyebabkan perubahan
kestabilan titik kesetimbangan ketika waktu tunda berubah.
Kondisi ini menyatakan bahwa sepasang akar imajiner murni dari persamaan
karakteristik (10) melintasi sumbu imajiner dengan kecepatan yang tidak nol (Tu
1994). Dengan demikian akan terjadi perubahan nilai real akar persamaan
karakteristik dari negatif menuju positif atau sebaliknya.
Kriteria Liu
Liu (1994) menemukan sebuah kriteria untuk menunjukkan terjadinya
bifurkasi Hopf tanpa menggunakan nilai eigen, melainkan dengan memanfaatkan
koefisien dari persamaan karakteristik. Misalkan persamaan (6) dituliskan kembali
sebagai sebuah sistem yang memiliki kaitan dengan sebuah parameter sehingga
sistem di atas memiliki titik tetap yaitu
Diasumsikan bahwa ada sebuah
nilai eigen
dari matriks Jacobi
yang bernilai imajiner murni ketika
dan memenuhi kondisi tranversalitas.
Persamaan karakteristik yang dapat dibentuk dari sistem adalah
Polinomial
memiliki akar-akar yang memiliki bagian real bernilai
negatif ketika semua kriteria kestabilan Routh-Hurwitz terpenuhi, sehingga
kriteria untuk terjadinya bifurkasi Hopf menurut Liu (1994) untuk
adalah
1.
Nilai Kritis Tundaan
Menurut Forde & Nelson (2003) ketika nilai
akar karakteristik akan
mengalami perubahan. Akan ada suatu nilai kritis di mana nilai akar-akar dari
persamaan (9) akan mengalami transisi dari yang memiliki nilai real negatif ke
memiliki nilai real positif atau sebaliknya. Jika hal ini terjadi maka bisa
disebutkan bahwa ada sebuah nilai yang menyebabkan persamaan (9) memiliki
akar-akar imajiner murni.
Misal akar persamaan karakteristik (10) adalah
,
, oleh
karena itu persamaan (9) menjadi
Jika bagian polinomial dipisah menjadi bagian real dan imajiner serta suku
eksponennya diubah dalam bentuk trigonometri, maka diperoleh
7
dengan
Agar persamaan (12) dipenuhi, bagian real dan imajiner harus sama dengan
nol sehingga
,
atau
Jika persamaan (13) dikuadratkan, akan didapatkan
dan
Selanjutnya, kedua persamaan (14) dan (15) dijumlahkan sehingga diperoleh
Misal
memenuhi persamaan (16) dan
persamaan (13) dapat ditulis kembali dalam
Misal
dan
, maka
sebagai
, maka
Dengan menggunakan sifat-sifat trigonometri diperoleh
Nilai
dengan
dapat diperoleh dengan mengalikan (17) dengan
dan (18)
kemudian kedua persamaan dikurangkan, sehingga diperoleh
8
Persamaan (19) menunjukkan terdapat tak berhingga
yang memenuhi
persamaan (12). Karena terdapat tak berhingga nilai , dipilih
agar efektif.
Nilai
inilah yang merupakan titik kritis tundaan. Setelah titik kritis
tundaan ditemukan, selanjutnya akan ditentukan apakah memenuhi kondisi
transversalitas.
Berikut ini ditunjukkan Lema 1 yang menjamin terpenuhinya kondisi
transversal atau nondegeneracy.
Lema 1. (Forde & Nelson 2003)
Jika
dan
memenuhi persamaan karakteristik (10), maka
jika dan hanya jika
Bukti:
Persamaan karakteristik (10) dapat ditulis sebagai
sehingga
Misal
adalah
di mana
. Jika
. Untuk
. Karena
diturunkan terhadap maka diperoleh
dan
imajiner dan
, ruas kiri persamaan (20) adalah
adalah real, maka
imajiner jika dan
hanya jika
bernilai real. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa persamaan (21) bernilai real.
Persamaan (21) dipisah bagian real dan imajinernya,
9
Agar persamaan (21) bernilai real maka
atau
Karena persamaan (16) maka
Persamaan (22) ini merupakan syarat perlu dan cukup untuk menunjukkan bahwa
dengan kata lain,
jika dan hanya jika
Jika terdapat akar karakteristik dari persamaan (10), maka ditemukan suatu titik
kritis tundaan. Dengan demikian bagian real akar persamaan karakteristik dari
sistem (10) akan berubah dari negatif menjadi positif atau sebaliknya.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Bisnis IS-LM tanpa Waktu Tunda
Model bisnis ini merupakan model yang pertama kali diperkenalkan oleh
Gabisch dan Lorenz pada tahun 1987 dengan mensubstitusi fungsi investasi,
simpanan dan stok modal pada persamaan (5) ke dalam persamaan (3) dengan
parameter-parameter yang telah diberikan oleh Cai (2005), yaitu
10
Dari model tersebut akan dicari titik tetap beserta kestabilannya juga dianalisis
apakah bifurkasi Hopf bisa terjadi. Pada akhir pembahasan, simulasi akan
dilakukan dengan menggunakan berbagai nilai parameter yang sudah tertera pada
jurnal acuan untuk melihat kondisi kestabilan pada tiap kondisi yang diperoleh.
Analisis Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda
Titik tetap pada persamaan (23) diperoleh dengan memenuhi sistem
sehingga diperoleh titik tetap dari persamaan (24)
(Lampiran 1)
dengan
bernilai positif jika dan hanya jika
dan
semua parameter merupakan konstanta positif.
dan titik tetap di atas akan
karena
Kestabilan dari titik tetap
diperoleh dengan melihat nilai eigen
dari persamaan karakteristik yang diperoleh dari model di atas, yaitu
sehingga didapat persamaan karakteristik
dengan
sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz nilai eigen dari persamaan (25) akan
membuat bersifat stabil jika
dan
Menurut kriteria Liu (1994) ada sebuah parameter yang terkait pada model tanpa
waktu tunda, dalam hal ini adalah parameter
yang mewakili tingkat
pertumbuhan investasi terhadap pendapatan. Jika
merupakan nilai parameter
saat terjadi bifurkasi Hopf di titik tetap
, maka dengan kondisi
, Liu (1994) membuktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar terjadi
bifurkasi Hopf, yaitu
11
Dengan demikian, titik tetap
mengalami bifurkasi Hopf pada
Model Bisnis IS-LM dengan Waktu Tunda
Persamaan waktu tunda yang linear bisa didapatkan dengan memasukkan
nilai parameter pada persamaan (5) ke persamaan (4) sehingga didapatkan model
bisnis IS-LM dengan waktu tunda sebagai berikut
Semua parameter yang digunakan pada persamaan (26) sama seperti parameter
yang digunakan pada persamaan (23), sedangkan melambangkan waktu tunda
untuk kesiapan modal sebelum diinvestasikan.
Analisis Titik Tetap Model dengan Waktu Tunda
Titik tetap pada persamaan (23) diperoleh dengan memenuhi sistem
Titik tetap yang diperoleh dari persamaan (27) diasumsikan sama dengan titik
tetap pada model tanpa waktu tunda, yaitu sebesar
(Lampiran 1)
dengan
bernilai positif jika dan hanya jika
dan
semua parameter merupakan konstanta positif.
dan titik tetap di atas akan
karena
Kestabilan dari titik tetap
diperoleh dengan melihat nilai eigen
dari persamaan karakteristik yang diperoleh dari model pada persamaan (26),
yaitu
12
sehingga didapat persamaan karakteristik
dengan,
(Lampiran 2)
Titik tetap
akan bersifat stabil apabila akar persamaan dari
persamaan karakterisitik (28) bernilai negatif. Untuk mengetahui kestabilan pada
titik
mula-mula yaitu dengan menentukan ketika nilai waktu tunda
sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (28) diperoleh bentuk
sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz titik tetap
dan
Misalkan
diperoleh
bersifat stabil jika
merupakan akar dari persamaan (28) sehingga
yang merupakan bagian real dari persamaan (28), dengan bagian imajinernya
adalah
(Lampiran 3)
Perubahan kestabilan terjadi ketika akar persamaan karakteristik bernilai imajiner
murni, yaitu saat
, sehingga jika disubstitusikan pada persamaan (29) dan
(30) didapatkan
13
Selanjutnya untuk mengeliminasi persamaan (31) dan (32) dapat dikuadratkan
kemudian dijumlahkan sehingga diperoleh
(Lampiran 4)
dengan
Untuk menentukan kestabilan dari persamaan (33) nilai eigen perlu dicari dengan
mengetahui akar-akar dari persamaan (33) yaitu, dengan memisalkan
persamaan (33) menjadi
Menurut Ruan dan Wei (2001) nilai akar dari persamaan (34) dapat diketahui
dengan memanfaatkan lema berikut
Lema 2
Didefinisikan
1. Jika
maka persamaan (34) paling tidak memiliki satu akar positif.
2. Jika
dan
maka persamaan (34) tidak memiliki akar positif.
3. Jika
dan
maka persamaan (34) memunyai akar-akar positif jika
dan
dan hanya jika
Misalkan persamaan (34) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan dengan
dan
Persamaan (33) memiliki akar positif yaitu
dan
.
(Lampiran 5)
Nilai
yaitu titik dimana terjadi perubahan kestabilan dapat dicari dengan
memanfaatkan persamaan (31) dan (32), didapat
(Lampiran 6)
Ada tak hingga banyaknya nilai yang memenuhi persamaan (35). Nilai
dipilih dari ketiga akar positif dari persamaan (33), kemudian dipilih yang
merupakan nilai terkecil dari tak terhingga
sebagai nilai kritis tundaan yang
dinyatakan dalam bentuk
Nilai kritis tundaan yang didapat dari persamaan (36) akan menyebabkan nilai
eigen dari persamaan (28) mengalami perubahan yang dapat memengaruhi
14
kestabilan (Forde & Nelson 2003). Kriteria kestabilan di sekitar nilai kritis
tundaan dapat diketahui dengan menggunakan Lema 3 berikut.
Lema 3
Misal
eksis, dan syarat kestabilan
pada saat
terpenuhi, maka
(i) Jika salah satu dari tiga syarat di bawah ini:
(1)
dan
(2)
dan
(3)
dan
terpenuhi, maka semua akar dari persamaan (28) memunyai bagian real yang
bernilai negatif untuk semua
(ii) Jika
atau
dan
maka semua akar dari persamaan
(28) memunyai bagian akar real yang bernilai negatif pada
Pada
saat
terjadi perubahan kestabilan dikarenakan munculnya sepasang akar
imajiner murni. Pada saat
maka bagian real akar-akar persamaannya
akan menjadi positif sehingga terjadi perubahan kestabilan.
Perubahan nilai eigen pada persamaan (28) dari bernilai real negatif ke
memiliki nilai real positif terjadi akibat suatu nilai kritis tundaan
Jika hal ini
terjadi akar-akar persamaan (28) bernilai imajiner murni pada saat titik kritis
tundaan
Kasus ini mengindikasikan terjadinya bifurkasi Hopf. Proses
identifikasi melalui kondisi tranversalitas dilakukan sebagai syarat terjadinya
bifurkasi Hopf.
Menurut Forde & Nelson (2003) kondisi di atas tepenuhi jika dan hanya jika
Misal
dan
sebagai akar dari persamaan (28) memenuhi
Dari persamaan (31) dan (32) diperoleh
dengan menurunkan persamaan (38) terhadap
Sehingga dengan memanfaatkan persamaan (39) akan diperoleh,
Kemudian mensubstitusikan
akan didapat
15
maka diperoleh bahwa kondisi (37) terpenuhi, sehingga terjadi perubahan nilai
real akar persamaan karakteristik dari negatif ke positif yang menyebabkan
berubahnya kestabilan sistem.
Simulasi Model tanpa Waktu Tunda
Simulasi sistem dilakukan untuk menganalisis kestabilan yang diperoleh dengan
menggunakan parameter
Pada sistem tanpa waktu tunda
titik tetap yang diperoleh berdasarkan nilai parameter adalah
Nilai parameter memenuhi syarat eksistensi titik
kesetimbangan dan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Pada model tanpa waktu
tunda, nilai-nilai parameter tersebut akan dimasukan ke dalam model pada
persamaan (23). Parameter merupakan parameter yang menggambarkan tingkat
pertumbuhan investasi terhadap pendapatan. Dilakukan pengamatan untuk nilai
dan
dengan 3 nilai awal yang berbeda yaitu
dan
Gambar 1. Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
Gambar 2. Bidang fase untuk
awal [
dengan nilai awal
dengan nilai
]
16
Pada Gambar 1 terlihat bahwa sistem bergerak menuju suatu titik kestabilan
sehingga sistem bersifat stabil. Pada bidang fase yang ditunjukkan pada Gambar 2
terlihat sistem berbentuk spiral stabil. Oleh karena itu, ketika nilai
maka
sistem bersifat stabil.
Gambar 3. Bidang solusi dan bidang fase untuk
[
]
Gambar 4. Bidang fase untuk
awal [
dengan nilai awal
dengan nilai
]
Pada Gambar 3 ketika nilai
di mana
grafik solusi tidak
menuju ke titik kesetimbangan dari nilai awal yang digunakan yaitu sebesar
dan
sistem selalu menjauhi titik kesetimbangan
Bidang fase yang ditunjukkan pada Gambar 4 menunjukkan spiral tak stabil.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi pada titik kesetimbangan
dengan adanya perubahan nilai parameter Titik kesetimbangan bersifat stabil
ketika
dan menjadi takstabil ketika
17
Simulasi Model dengan Waktu Tunda
Pada simulasi dengan waktu tunda digambarkan perilaku bahwa
bersifat
stabil untuk semua
dan bersifat tak stabil untuk nilai
. Sedangkan
untuk simulasi dengan waktu tunda akan dipilih parameter yaitu
Titik tetap yang diperoleh untuk model dengan waktu tunda adalah
dengan waktu tunda yang
diperoleh dari persamaan (35) yaitu sebesar
Nilai parameter
memenuhi syarat eksistensi titik kesetimbangan
kriteria Routh-Hurwitz, dan
dan
terpenuhi. Bifurkasi Hopf terjadi ketika nilai
parameter melebihi
Dilakukan pengamatan untuk nilai
dan
dengan 3 nilai awal yang berbeda yaitu
dan
Gambar 5. Bidang solusi dan bidang fase dengan
Gambar 6. Bidang fase dengan
dengan nilai awal
dengan nilai awal
18
Pada Gambar 5 di mana waktu tunda sebesar
dijelaskan bahwa
dengan adanya waktu tunda
pada stok modal mengakibatkan tingkat
pendapatan, suku bunga, dan stok modal menurun, akibatnya sistem akan
bergerak menuju sebuah nilai tertentu di mana pada saat itu sistem dalam
keadaaan stabil, yaitu pada saat . Bidang fase yang dihasilkan pada Gambar 6
berupa spiral stabil yang disebabkan karena nilai eigen dari persamaan (28)
berbentuk kompleks dengan bagian realnya bernilai negatif. Titik awal sebesar
dan
pada Gambar 6 ditunjukkan bahwa
sistem bergerak menuju titik kesetimbangan
Gambar 7. Bidang solusi dan bidang fase dengan
Gambar 8. Bidang fase dengan
dengan nilai awal
dengan nilai awal
Pada saat
sistem menunjukkan pergerakan osilasi yang konstan.
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal terlihat tidak bergerak menuju
sebuah nilai tertentu pada Gambar 7. Hal ini disebabkan karena ada perubahan
19
nilai eigen menjadi bentuk imajiner murni, sehingga kestabilan sistem ikut
berubah. Nilai eigen yang berbentuk imajiner murni mengindikasikan adanya
sebuah limit cycle, pada Gambar 8 terlihat solusi bidang fase sistem yang
menunjukkan adanya limit cycle. Limit cycle ini menggambarkan bahwa ketika
nilai tundaan sebesar
maka sistem tidak akan menuju ke suatu nilai
tertentu melainkan hanya berosilasi sepanjang waktu yang hanya akan berubah
ketika nilai waktu tundaan semakin membesar.
Gambar 9. Bidang solusi dan bidang fase dengan
Gambar 10. Bidang fase dengan
dengan nilai awal
dengan nilai awal
20
Berdasarkan Gambar 9 yaitu bidang solusi saat
ditunjukkan
perubahan osilasi yang sangat besar terutama pada variabel pendapatan, akibatnya
pendapatan, suku bunga, dan stok modal akan mengalami peningkatan karena
waktu tunda yang semakin besar. Nilai eigen akan bernilai positif, akibatnya
sistem tidak akan menuju ke kestabilan. Pada Gambar 10 potret fase tidak menuju
ke titik kesetimbangan
dari nilai awal yang digunakan yaitu sebesar
dan
sehingga membentuk spiral takstabil.
Semakin besar waktu tundaan maka akan semakin menyebabkan ketidakstabilan
pada siklus bisnis ini.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa terjadi perubahan kestabilan pada
saat
dan
sehingga menurut teorema bifurkasi terjadi. Perubahan
kestabilan terjadi ketika nilai
yaitu ketika timbul nilai eigen yang
berbentuk imajiner murni sehingga terjadi limit cycle yang membukitkan bahwa
ada bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf pada titik kesetimbangan menggambarkan
adanya suatu nilai batas yang disebut nilai titik kritis tundaan. Nilai pendapatan,
suku bunga, dan stok modal memunyai solusi sistem yang terkontrol menuju
kondisi yang seimbang apabila diberi nilai tundaan yang kurang dari nilai titik
kritis tundaan. Apabila nilai tundaan yang diberikan lebih dari nilai titik kritis
tundaan, solusi sistem menunjukkan nilai pendapatan, suku bunga, dan stok modal
akan terus berfluktuasi sehingga menyebabkan kondisi ekonomi yang tidak stabil.
SIMPULAN
Dalam pembahasan pada skripsi ini, dapat ditarik kesimpulan bahwa model
siklus bisnis IS-LM dengan waktu tunda pada stok modal merupakan sistem
persamaan diferensial linear non homogen dengan tiga variabel tak bebas dan
sebelas parameter. Pada model IS-LM dengan waktu tunda pada stok modal
diperoleh satu titik kesetimbangan yaitu
.
Pada simulasi tanpa waktu tunda didapatkan bahwa model akan selalu
menuju kestabilan, kecuali saat munculnya parameter
di mana parameter
tersebut yang menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Sistem akan bersifat stabil
jika nilai
dan akan bersifat takstabil ketika
Parameter
merupakan parameter yang mewakili tingkat pertumbuhan investasi terhadap
pendapatan. Adanya sebuah nilai kritis tunda
mengakibatkan terjadinya
perubahan kestabilan di mana ketika nilai
muncul sebuah limit cycle.
Sistem bersifat stabil ketika nilai
dan bersifat takstabil ketika nilai
Simulasi numerik yang dilakukan pada model tanpa waktu tunda mengambil
parameter
di mana sistem berbentuk spiral stabil ketika
dan
bersifat spiral takstabil ketika nilai dan
Pada simulasi dengan waktu
tunda nilai kritis tunda yang diperoleh adalah sebesar
dan sistem
bersifat spiral stabil ketika nilai
dan berbentuk spiral takstabil ketika
Simulasi numerik yang dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai
dengan hasil analisis.
21
DAFTAR PUSTAKA
Cai JP. 2005. Hopf bifurcation in the IS-LM business cycle model with time delay.
Electronic Journal of Differential Equations. 5(15): 1-6.
Forde J, Nelson P. 2003. Application of Sturm sequences to bifurcation analysis
of delay differential equation models. Journal of Mathematical Analysis
and Applications. 300(4): 273-284. doi: 10.1016/j.jmaa.2004.02.063.
Fisher SD. 1990. Complex Variables Second Edition. California (US): Wadsworth
& Brooks/Cole Brooks & Software, Pacific Grove.
Gabisch G, Lorenz HW. 1987. Business Cycle Theory A Survey of Methods and
Concepts. Berlin(DE): Springer-Verlag.
Kaldor N. 1940. A model of the trade cycle. Economic Journal. 50(197): 78-92
Kalecki M. 1935. A macrodynamic theory of business cycle. Econometrica. 3(3):
327-344.
Krawiec A, Szydlowski M. 2001. The Kaldor-Kalecki model of business cycle as
two-dimensional dynamical system. Nonlinear Mathematic Physic.1
Sisipan 8: 288-271. doi: 10.2991/jnmp.2001.8.s.46.
Kuang Y. 1993. Delay Differential Equation with Application in Population
Dynamics. Boston(US): Academic Press.
Liu WM. 1994. Criterion of hopf bifurcations without using eigenvalues. Journal
of Mathematical Analysis and Applications. 182(1): 250–256. doi:
10.1006/jmaa.1994.1079.
Ruan S, Wei J. 2001. On the zeros of a third degree exponential polynomial with
applications to a delayed model for the control of testosterone secretion.
IMA Journal of Applied in Medicine and Biology. 1 Sisipan 18: 41-52. doi:
10.1093/imammb18.1.41.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley
Publishing Company.
Tu PNV. 1994. Dynamic System: An Introduction with Application in Economics
and Biology. Hiedelberg (DE): Springer-Verlag.
Torre V. 1977. Existence of limit cycles and control in complete Keynesian
system by theory of bifurcations. Econometrica. 45(6): 1457-1466.
doi: 10.2307/1912311.
22
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Untuk Model dengan Waktu Tunda
Mencari titik tetap yaitu dengan mencari solusi dari tiap sistem (23)
Substitusi persamaan (41) ke persamaan (42)
Substitusi persamaan (41) ke persamaan (40)
Substitusi persamaan (43) ke persaman (44)
23
Substitusi persamaan (45) ke persamaan (41)
Substitusi persamaan (45) ke persamaan (43)
24
Lampiran 2 Persamaan Karakteristik Model tanpa Waktu Tunda
Persamaan karakteristik (25) diperoleh dari
Kemudian setiap koefisien akan dikelompokkan menurut variabel
Kalikan semua koefisien dengan
dengan
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
, sehingga
25
Lampiran 3 Persamaan Karakteristik
Persamaan (24) didapatkan dengan mencari nilai dari
didapat
Kemudian setiap koefisien akan dikelompokkan menurut variabel
Kalikan semua koefisien dengan
dengan,
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
koefisien dari
, sehingga
26
Lampiran 4 Kestabilan Titik Tetap Ketika
Asumsikan persamaan karakteristik (27) memiliki solusi imajiner murni
berbentuk
. Substitusikan nilai eigen
pada persamaan (27) dan
pisahkan bagian real dan imajiner dari persamaan yang diperoleh
Kemudian didapat bagian real,
bagian imajiner,
Untuk titik pertama bifurkasi dimisalkan
(54) dan (55)
untuk mendapatkan persamaan
Apabila keduanya dikuadratkan akan diperoleh
Jika dijumlahkan akan diperoleh
atau dapat dinyatakan dalam bentuk seperti pada persamaan (34), yaitu
dengan
Lampiran 5 Pembuktian Ruan dan Wei
Lema 2
Misalkan
Jika
maka persamaan (56) paling tidak memunyai satu akar yang
bernilai positif.
Bukti.
Jelas bahwa,
dan
.sehingga, terdapat
yang menyebabkan
Jika
dan
bernilai positif.
Bukti.
maka persamaan (56) tidak memunyai akar yang
27
Dengan menurunkan persamaan
terhadap , diperoleh
dengan membuat
sehingga akar-kara dari persamaan (54) adalah
Jika nilai
, maka persamaan (56) tidak memiliki akar–akar real. Nilai dari
akan selalu lebih besar dari 0 sehingga menyebabkan persamaan (56) selalu
monoton naik di , hal ini dikarenakan
merupakan syarat definit positif dari
fungsi tersebut. Selanjutnya karena nilai dari
, maka menyebabkan
persamaan (56) tidak memunyai akar real positif.
Jika
dan
maka persamaan (56) memunyai akar-akar yang
bernilai positif jika dan hanya jika
dan
.
Bukti.
Jika
, maka
Selanjutnya kita membuktikan
dan
. Jika
dan
, sehingga
merupakan minimum lokal dari
.
secara kontradiksi, yaitu untuk
atau
, karena
monoton naik pada saat
tidak memunyai akar positif. Sedangkan untuk
merupakan maksimum lokal dari
,
, karena
dan
. Oleh karena
, sehingga
, tidak
menyebabkan
memunyai akar real.
Lampiran 6 Penentuan Titik Kritis Tunda
Penentuan titik kritis tunda diperoleh dengan memisalkan
Misal
dalam bentuk
memenuhi persamaan (57) dan (58), serta dengan memisalkan
maka kedua persamaan di atas dapat ditulis kembali
28
Misal
, dan
maka diperoleh
dengan menggunakan sifat trigonometri
Nilai dapat diperoleh dengan cara mengalikan persamaan (59) dengan
dan persamaan (60) dengan
, kemudian kedua persamaan tersebut
dijumlahkan, sehingga diperoleh
Lampiran 7 Kode Pemrograman Model tanpa Waktu Tunda
[nodelay.m]
function d = nodelay(t,Y)
d = zeros(3,1);
alpha = 1.5; beta = 1; delta = 0.3; delta1 = 0.25;
M = 0.25; l1 = 0.15; l2 = 0.2; beta1 =0.3; beta2 =0.2; beta3 =
0.3; eta = 0.55;
d(1) = alpha*((eta-l1)*Y(1)-delta1*Y(2)-(beta1+beta2)*Y(3));
d(2) = beta*(l2*Y(1)-beta3*Y(2)-M);
d(3) = eta*Y(1)-beta1*Y(2)-(delta+delta1)*Y(3);
end
[nodelayplot.m]
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);
[T,Y] = ode45(@nodelay,[0 200],[1.6 0.8 1],options);
plot(T,Y(:,1),T,Y(:,2),T,Y(:,3)),legend('Pendapatan','Suku
bunga','Stok modal')
xlabel('time t');
ylabel('nilai');
29
Lampiran 8 Kode Pemrograman Model dengan Waktu Tunda
[bisnistunda.m]
function v = bisnistunda(t,Y,Z)
Ylag1 = Z(:,1);
v = zeros(3,1);
alpha = 1.5; beta = 2; delta = 0.2; delta1 = 0.5;
M = 0.25; l1 = 0.1; l2 = 0.2; beta1 =0.2; beta2 =0.3; beta3 = 0.2;
eta = 0.4;
v(1) = alpha*((eta-l1)*Y(1)-delta1*Y(2)-(beta1+beta2)*Y(3));
v(2) = beta*(l2*Y(1)-beta3*Y(2)-M);
v(3) = eta*Ylag1(1)-beta1*Y(2)-(delta+delta1)*Y(3);
end
[titiktetap.m]
function p = titiktetap (t)
alpha = 1.5; beta = 2; delta = 0.2; delta1 = 0.5;
M = 0.25; l1 = 0.1; l2 = 0.2; beta1 =0.2; beta2 =0.3; beta3 = 0.2;
eta = 0.4;
theta = delta*(beta3*eta-beta1*l2)(delta+delta1)*(beta2*l2+beta3*l1);
p(1)=(-M*(delta*(beta1+beta2)+delta1*beta2))/theta;
p(2)=(M*((delta+delta1)*l1-delta*eta))/theta;
p(3)=(-M*(beta1*l1+beta2*eta))/theta;
end
[bisnistundaplot.m]
options = ddeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-7,'InitialY',[1.6 0.8
1])
sol = dde23(@bisnistunda,0.9,@titiktetap,[0, 100],options);
figure;
plot(sol.x,sol.y);
legend('pendapatan','suku bunga','stok modal');
xlabel('time t');
ylabel('nilai');
[delay.m]
function delay
alpha = 1.5; beta = 2; delta = 0.2; delta1 = 0.5;
M = 0.25; l1 = 0.1; l2 = 0.2; beta1 =0.2; beta2 =0.3; beta3 = 0.2;
eta = 0.4;
A=(delta+delta1)+(beta*beta3)-(alpha*(eta-l1));
B=(delta+delta1)*((beta*beta3)-alpha*(etal1))+(beta*l2*alpha*(beta1+beta2)-alpha*beta*beta3*(eta-l1));
C=-(alpha*beta*beta1*l2*delta1)(delta+delta1)*(alpha*beta)*(beta3*(eta-l1)-l2*(beta1+beta2));
D=alpha*eta*delta1;
E=alpha*beta*beta3*eta*delta1;
vo=sqrt(0.2943242197);
to=(1/vo)*acos(((A*vo^2-C)*E+(vo^3-B*vo)*D*vo)/(D^2*vo^2+E^2))
figure (5);
theta = delta*(beta3*eta-beta1*l2)(delta+delta1)*(beta2*l2+beta3*l1);
q=(-M*(delta*(beta1+beta2)+delta1*beta2))/theta;
30
w=(M*((delta+delta1)*l1-delta*eta))/theta;
r=(-M*(beta1*l1+beta2*eta))/theta;
options = ddeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-7,'InitialY',[1.6 0.8
1]);
sol =dde23(@bisnistunda,0.6251,@titiktetap,[0 1500],options);
plot3(sol.y(1,:),sol.y(2,:),sol.y(3,:),'m','linewidth',2);
hold on;
plot3(q,w,r,'black.','linewidth',5);
ylabel('R(t)');
xlabel('Y(t)');
zlabel('K(t)');grid;hold on;
legend('nilai awal [1.6 0.8 1]','titik tetap E');
31
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 19 Februari 1992, anak pertama
dari dua bersaudara dari Bapak Djoko Nurprianto dan Ibu Titi Suryani. Tahun
2010 Penulis lulus dari SMAN 61 Jakarta dan melanjutkan pendidikan di jurusan
Matematika, fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA), Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SNMPTN Undangan.
Tahun 2012-2013 Penulis mengikuti Unit Kegiatan Mahasiswa IPB, yaitu
IPB Debate Community (IDC). Pada periode 2011-2013 Penulis aktif dalam
kegiatan Rohis Matematika Angkatan 47 dan terakhir menjabat sebagai bendahara
umum. Tahun 2012 Penulis sempat mendapatkan beasiswa Bank Indonesia
kemudian tahun 2013-2014 mendapatkan beasiswa PPA.