Penilaian Investasi Menggunakan Pendekatan Teori-q dan Pendekatan Nilai Opsi

1

PENILAIAN INVESTASI MENGGUNAKAN PENDEKATAN TEORIDAN PENDEKATAN NILAI OPSI

DESIANA SYAHRUSANI
G 54104025

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008

2

ABSTRAK
DESIANA SYAHRUSANI. Penilaian Investasi Menggunakan Pendekatan Teori- dan
Pendekatan Nilai Opsi. Dibimbing oleh EFFENDI SYAHRIL dan DONNY CITRA
LESMANA.
Perusahaan yang memutuskan untuk berinvestasi harus mempertimbangkan keterbatasan
kemampuan perusahaan untuk menjual kembali investasinya (perampingan) atau melanjutkannya

(ekspansi). Karya ilmiah ini membahas bagaimana kesempatan ekspansi atau perampingan dapat
dilihat sebagai suatu pilihan. Pilihan-pilihan tersebut dapat ditentukan setelah mengetahui imbal
hasil investasi, yang akan mempengaruhi penghitungan nilai perusahaan.
Imbal hasil yang tidak pasti akan menyebabkan nilai perusahaan dari sudut pandang investasi
menjadi tidak pasti. Nilai perusahaan akan dianalisa dan dihitung menggunakan pendekatan teoridan pendekatan nilai opsi. Kemudian, pendekatan nilai opsi akan diperluas dengan
menggunakan metode pengganda nilai opsi untuk kasus-kasus khusus seperti yang terdapat dalam
literatur Irreversible Investment.
Pendekatan teori- dan pendekatan nilai opsi menghasilkan nilai marjinal perusahaan (NPV)
yang identik. Jika NPV yang dihasilkan positif, maka perusahaan dapat melakukan ekspansi. Jika
NPV bernilai negatif, maka perusahaan melakukan perampingan. Sedangkan jika NPV bernilai
nol, maka perusahaan dapat memilih untuk melakukan ekspansi, perampingan atau tidak
keduanya.

3

ABSTRACT
DESIANA SYAHRUSANI. Investment Valuation Using the -Theory Approach and Option
Value Approach. Supervised by EFFENDI SYAHRIL and DONNY CITRA LESMANA.
Capital investment decisions must recognize the limitations on firm’s ability to later sell of or
expand its capacity. This paper discusses how opportunities for future expansion or contraction

can be viewed as options. That options can be determined by considering the return of investment
which affects the incentive to invest (marginal valuation of the firm).
The uncertainty on return of investment will cause the value of the firm to be uncertain. This
value of the firm will be examined and interpreted in two ways: -theory approach and option
value approach. Then, we will use option value multiple method for special cases to some extent
as in Irreversible Investment literature.
The enumeration result of NPV (firm value) obtained using the -theory approach are identical
to those obtained using the option value approach. If NPV has a positif value, the firm can expand
its capacity. While if NPV has a negatif value, the firm do the contraction. On the other hand, if
NPV has zero value, the firm can do expansion, contraction, or nothing.

4

PENILAIAN INVESTASI MENGGUNAKAN PENDEKATAN TEORIDAN PENDEKATAN NILAI OPSI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Oleh:

DESIANA SYAHRUSANI
G54104025

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS METEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008

5

Judul
Nama
NRP

: Penilaian Investasi Menggunakan Pendekatan Teori- dan Pendekatan
Nilai Opsi
: Desiana Syahrusani

: G54104025

Menyetujui:
Pembimbing I,

Pembimbing II,

Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl.
NIP. 131 804 163

Donny Citra Lesmana, M. Fin. Math
NIP.132 311 927

Mengetahui:
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA
NIP. 131 578 806

Tanggal Lulus: ……………………..

6

KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-Nya penulis dapat
menyelesaikan karya ilmiah dengan judul Penilaian Investasi Menggunakan Pendekatan Teoridan Pendekatan Nilai Opsi. Perhatian terhadap investasi merupakan hal yang penting, karena
kegiatan investasi dapat menambah aset (kekayaan) yang kita miliki. Di samping itu, karya ilmiah
ini merupakan syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah
membantu penyelesaian karya ilmiah ini, terutama kepada Bapak Effendi Syahril selaku dosen
pembimbing I dan Bapak Donny Citra Lesmana selaku dosen pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan baik secara teknis maupun teoritis sehingga karya ilmiah ini dapat
diselesaikan dengan baik. Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada Ibu Retno Budiarti atas
kesediaannya menjadi moderator dalam seminar sekaligus menjadi dosen penguji. Semua saran
dan kritik beliau adalah hal yang berharga dalam penyempurnaan karya ilmiah ini. Terimakasih
kepada Handika, M. Asyar, dan Sri Purwati yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar
tugas akhir penulis.
Penulis mengucapkan terimakasih yang paling dalam kepada orang tua penulis, yaitu Syahroni

H. Anwar (Papa) dan Munajah (Mama) atas segala doa, restu, usaha, pengorbanan, serta curahan
kasih sayang yang telah diberikan hingga saat ini. Untuk adik-adik penulis; Bahri Ilman dan Abi
Rafdi, serta keluarga besar penulis. Kasih sayang dan dukungan mereka sangat berarti dalam
penyelesaian karya ilmiah ini.
Terima kasih untuk kakekQ Moi (Mojes) untuk segala yang telah diberikan, semua itu terlalu
manis untuk dilupakan. Terimakasih untuk Fitrie yang merupakan teman seperjuangan, senasib,
dan sepenanggungan penulis, dan Alfredho (KeshaQ) yang bersedia mendengarkan keluh kesah
penulis dan telah memberikan kritik serta saran yang membangun. Terimakasih kepada Wieke,
Ria, GustiaQ, Reni, Roma, Udin, dan Iboy atas persahabatan yang terjalin. Terimakasih untuk
Dian, Jali, Ayu, Fariz (kokom), Tities, dan Teh Jaja atas masukan-masukan yang telah diberikan.
Untuk seluruh penghuni Perwira 41, teman-teman Matematika 41, kakak-kakak kelas dan adikadik kelas lainnya yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Kalian semua adalah teman
yang telah dan akan selalu mengisi hari-hari penulis, terima kasih atas kebersamaannya. Penulis
juga mengucapkan terimakasih kepada Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas
ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staf Departemen Matematika: Bu Susi, Bu Ade, Mas
Deny, Mas Yono, Mas Bono, Bu Marisi, dan Mba Yanti terima kasih atas bantuan selama di
Departemen Matematika. Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang
ikut membantu dan tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan
saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis
adalah semoga penulisan karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis dan bagi para

pembacanya atau pihak lain yang membutuhkan.

Bogor, Juni 2008

Desiana Syahrusani

7

RIWAYAT HIDUP
Desiana Syahrusani lahir pada tanggal 09 Desember 1986 di Kabupaten Serang, Banten.
Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara, dari pasangan Syahroni H. Anwar dan Munajah.
Jenjang pendidikan penulis dilalui tanpa hambatan berarti. Penulis memulai pendidikan di Taman
Kanak-kanak Pembangunan Cilegon pada tahun 1991. Penulis menamatkan sekolah dasar di SD
YPWKS V Cilegon pada tahun 1998, kemudian melanjutkan pendidikan ke SLTP Negeri 2
Cilegon pada tahun yang sama. Setelahnya penulis diterima di SMU negeri 1 Cilegon untuk
melanjutkan pendidikannya dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004 penulis melanjutkan
pendidikannya ke Institut Pertanian Bogor (IPB). Penulis berhasil masuk IPB melalui jalur USMI
(Undangan Seleksi Masuk IPB) dan diterima sebagai Mahasiswi Program Studi Matematika pada
Fakultas MIPA angkatan 41.
Selama menjalani masa perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan. Beberapa

organisasi di antaranya adalah pengurus organisasi mahasiswa daerah Kumpulan Mahasiswa
Banten (KMB) dan pengurus himpunan profesi Gugusan Mahasiswa Matematika (GUMATIKA).
Pada kepengurusan GUMATIKA periode 2005/2006 penulis aktif sebagai staf Seni dan Olahraga,
Departemen Pengembangan Sumberdaya Mahasiswa (PSDM) dan pada kepengurusan
GUMATIKA periode 2006/2007 penulis aktif sebagai ketua Biro Kesekretariatan GUMATIKA.
Penulis aktif dalam beberapa kepanitiaan di antaranya adalah kepanitiaan dalam kegiatan
Matematika Ria pada tahun 2006 dan 2007, masing-masing sebagai seksi Konsumsi dan seksi
Logstran (Logistik dan Transportasi), Galaksi FMIPA pada tahun 2006 dan 2007 masing-masing
sebagai seksi Dana dan Usaha serta seksi Pemeriksaan Gigi, Ramah Tamah Civitas Matematika
pada tahun 2006 dan 2007 sebagai sekretaris dan koordinator Dokumentasi dan Dekorasi, LeMM2
(Let’s Make Money) pada tahun 2006 sebagai sekretaris, Musyawarah Wilayah IKAHIMATIKA
III pada tahun 2006 sebagai sekretaris, dan sebagainya. Dalam upaya mengamalkan ilmu yang
didapat, penulis aktif sebagai pengajar kalkulus di bimbingan belajar Eksacta pada tahun 2006 dan
pengajar kalkulus di bimbingan belajar Real Education Center (REC) pada tahun 2008.

8

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................

viii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................

viii

PENDAHULUAN ....................................................................................................................
Latar Belakang ................................................................................................................
Tujuan .............................................................................................................................
Metodologi ……………………………………………………………………………..
Sistematika Penulisan …………………………………………………………………..

1
1
1
1
1

LANDASAN TEORI ...............................................................................................................

Matematika .....................................................................................................................
Ekonomi dan Keuangan ..................................................................................................

2
2
3

PEMBAHASAN .......................................................................................................................
Pendekatan Teori- .........................................................................................................
Pendekatan Nilai Opsi .....................................................................................................
Pengganda Nilai Opsi ......................................................................................................
Pengilustrasian Grafik Opsi Jual dan Opsi Beli ..............................................................

4
5
6
8
9

KESIMPULAN ..……………………………………………………………………………..

10

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………………...

11

9

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Penerimaan Produk Marjinal dari Modal Periode-2 ............................................................
5
9
2 Hubungan antara Φ dan Perubahan Expandability dan Reversibility ..................................
10
3 Grafik Opsi Jual Marjinal dan Opsi Beli Marjinal ...............................................................

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Lampiran 1 ...........................................................................................................................
13
Nilai Perusahaan .............................................................................................................
13
Nilai Marjinal Perusahaan (NPV) ................................................................................... 13
Pengaruh Modal pada Dorongan Berinvestasi ...............................................................
14
Pengaruh Harga Jual pada Dorongan Berinvestasi ........................................................
15
Pengaruh Harga Beli pada Dorongan Berinvestasi ........................................................
15
2 Lampiran 2 ...........................................................................................................................
16
Nilai Marjinal Perusahaan pada Pendekatan Nilai Opsi ................................................. 16
Present Value Periode-1 dan Periode-2 .......................................................................... 16
Nilai Opsi Jual Marjinal .................................................................................................
16
Nilai Opsi Beli Marjinal .................................................................................................
17
NPV Pendekatan Nilai Opsi ...........................................................................................
17
Pengaruh Harga Jual pada Nilai Opsi Jual Marjinal ....................................................... 17
Pengaruh Harga Beli pada Nilai Opsi Beli Marjinal ......................................................
18
3 Lampiran 3 ...........................................................................................................................
19
Pengganda Nilai Opsi .....................................................................................................
19
Pengaruh Expandability dan Reversibility pada Pengganda Nilai Opsi .........................
19
4 Lampiran 4 ...........................................................................................................................
21
Nilai Opsi Jual Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif .......................................... 21
Nilai Opsi Beli Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif .........................................
21

viii

10

I. PENDAHULUAN
Latar Belakang
Secara
umum,
investasi
berarti
menggunakan sejumlah uang dalam rangka
menambah nilai dari uang tersebut di masa
mendatang. Esensi dari investasi adalah
menunda atau mengurangi konsumsi saat ini
dan merencanakan konsumsi untuk masa
mendatang. Istilah investasi sering ditemukan
dalam bidang ekonomi dan keuangan. Dalam
bidang ekonomi, investasi berkaitan dengan
investasi nyata seperti investasi pada pabrik,
mesin, atau gedung. Sedangkan dalam bidang
keuangan, investasi berkaitan dengan aset-aset
keuangan, sebagai contohnya investasi pada
saham, obligasi, dan aset-aset keuangan
lainnya.
Pada dasarnya, suatu perusahaan yang
memutuskan untuk melakukan investasi, harus
mempertimbangkan keterbatasan kemampuan
perusahaannya untuk melakukan ekspansi
atau sebaliknya melakukan perampingan
perusahaan di masa mendatang. Selain itu,
perusahaan juga harus mempertimbangkan
peluang yang akan terjadi dan biaya yang
akan terbentuk di masa mendatang, agar
perusahaan dapat mengubah persediaan
cadangan modalnya tanpa mengeluarkan
banyak biaya.
Dalam karya ilmiah ini, perusahaan
diasumsikan sudah melakukan investasi.
Karena imbal hasil investasi di masa
mendatang tidak menentu, maka ada dua
kemungkinan
yang
dapat
dilakukan
perusahaan,
yaitu
dengan
menjual
investasinya untuk mendapatkan modalnya
kembali
(reversibility)
atau
dengan
menambah
investasinya (expandability).
Reversibility akan menjadi mahal jika harga
jual investasi yang terbentuk kurang dari
harga awal ketika perusahaan melakukan
investasi. Sedangkan expandability akan
menjadi mahal jika harga beli yang terbentuk
lebih besar dari harga awal ketika perusahaan
melakukan investasi.
Kegiatan untuk melanjutkan atau menjual
investasi tersebut memiliki kemiripan dengan
opsi. Opsi merupakan suatu kontrak antara
dua pihak, yang memberikan hak kepada
pemegangnya untuk menjual atau membeli
aset pada harga tertentu dan dalam jangka
waktu tertentu. Saat perusahaan memutuskan
untuk menjual investasinya di masa
mendatang, walaupun merugi karena harga
jual modal lebih rendah dari harga awal ketika
investasi, perusahaan akan memiliki opsi jual.

Sebaliknya, jika perusahaan melanjutkan
investasi di masa mendatang, walaupun
harganya mungkin saja lebih tinggi dari harga
saat ini, perusahaan tersebut memiliki opsi
beli. Dua opsi tersebut berpengaruh pada
dorongan untuk berinvestasi pada saat ini.
Pada karya ilmiah ini, masalah investasi
tersebut dianalisa dan ditafsirkan dengan
menggunakan
dua
metode,
yaitu
menggunakan pendekatan teori- , dengan
melambangkan dorongan untuk berinvestasi,
dan menggunakan pendekatan nilai opsi.
Kemudian pendekatan nilai opsi akan
diperluas dengan menggunakan metode
pengganda nilai opsi, untuk kasus-kasus di
masa mendatang seperti yang terdapat dalam
literatur Irreversible Investment.
Metodologi
Metode yang digunakan dalam karya
ilmiah ini adalah studi pustaka. Di mana karya
tulis ini menggunakan jurnal yang ditulis oleh
Andrew BA, Avinash KD, Janice CE, dan
Robert SP dengan judul Options, the Value of
Capital, and Investment. Selain itu, bahanbahan yang menunjang penulisan karya ilmiah
ini diperoleh dari buku, jurnal, dan situs-situs
internet yang terkait dengan tulisan.
Tujuan Penulisan
Tujuan dari karya tulis ini adalah:
1. Mempelajari penggunaan pendekatan
teori- dan pendekatan nilai opsi dalam
penghitungan investasi yang bersifat
reversible dan expandable.
2. Mempelajari pengganda nilai opsi sebagai
perluasan dari pendekatan nilai opsi.
Sistematika Penulisan
Tulisan ini terdiri atas empat bab. Bab
Pertama berupa pendahuluan yang memuat
latar belakang, tujuan penulisan, dan
sistematika penulisan. Bab Kedua berupa
landasan teori yang memuat definisi dan teoriteori
yang
akan
digunakan
dalam
pembahasan. Bab Ketiga memuat pembahasan
yang berisi tentang penilaian investasi dengan
menggunakan pendekatan teoridan
pendekatan nilai opsi, kemudian pendekatan
nilai opsi akan diperluas menggunakan
pengganda nilai opsi, dan mengilustrasikan
opsi beli dan opsi jual dalam grafik.
Sedangkan Bab Keempat berupa penutup,
yang memuat kesimpulan dari karya ilmiah
ini.

2

II. LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa
definisi dan teori penunjang yang akan
digunakan di dalam pembahasan.

Matematika
Definisi 1 [Fungsi Naik]
Fungsi yang terdefinisi pada himpunan
bilangan real disebut naik pada selang jika
,
bila
di .
(Stewart 1998)
Teorema 1 [Fungsi Naik]
Misalkan ′ adalah turunan pertama dari
yang terdefinisi pada himpunan bilangan real.
Jika
pada suatu selang, maka
naik pada selang tersebut.
(bukti lihat Stewart 1998)
Definisi 2 [Fungsi Turun]
Fungsi yang terdefinisi pada himpunan
bilangan real disebut turun pada selang jika
,
di .
bila
(Stewart 1998)
Teorema 2 [Fungsi turun]
Misalkan ′ adalah turunan pertama dari
yang terdefinisi pada himpunan bilangan real.
pada suatu selang, maka
Jika
turun pada selang tersebut.
(bukti lihat Stewart 1998)

Definisi 4 [Turunan Total]
Jika
adalah fungsi dari
variabel
, ,…,
dan
terdiferensialkan pada
( ′
ada), turunan total dari adalah fungsi
yang mempunyai nilai yang diberikan oleh
,∆ ,∆ ,…,∆
∆
∆
∆ .
, ,…,
merupakan notasi lain
dengan
dari turunan. Misalkan
, ,…,
,
kemudian dengan mendefinisikan
,
∆ ,…,
∆
dan
maka turunan total dari

adalah

.

(Leithold 1990)
Definisi 5 [Aturan Rantai]
Jika
dan
keduanya dapat
didiferensialkan, dan
adalah fungsi
komposisi yang didefinisikan oleh
, maka
dapat didiferensialkan
menjadi yang diberikan oleh hasil kali
.
Dalam notasi Leibniz, jika
dan
keduanya fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
.

(Stewart 1998)

Definisi 3 [Himpunan dan Fungsi Konkaf]
adalah himpunan vektor,
Misalkan
maka disebut sebagai himpunan konkaf jika
untuk semua ,
dan
, sehingga
.
Misalkan merupakan fungsi dengan peubah
yang terdefinisi pada himpunan konkaf ,
maka disebut sebagai fungsi konkaf jika
memenuhi persamaan
.
(Osborn 1997)

Definisi 6 [Integral Parsial]
Aturan yang berkaitan dengan Aturan
Hasil Kali untuk turunan disebut Aturan
Pengintegralan Parsial. Misalkan, jika
dan
, maka turunannya
adalah
dan
.
Dengan demikian, menurut Aturan Substitusi,
rumus pengintegralan parsial menjadi

Teorema 3 [Fungsi Konkaf]
Misalkan
memiliki turunan kedua
terhadap . Fungsi adalah fungsi konkaf jika
dan hanya jika
,
,
dan merupakan strictly concave jika
,
.
(bukti lihat Osborn 1997)

Definisi 7 [Pertaksamaan (Inequality)]
Aturan untuk pertaksamaan
1. Jika
, maka
.
2. Jika
dan
, maka
.
3. Jika
dan
, maka
.
4. Jika
dan
, maka
.
5. Jika
, maka /
/ .

.

(Stewart 1998)

3

Relasi di atas disebut juga sebagai strict
inequality.
(Stewart 1998)
Definisi 8 [Uji Turunan Kedua]
Andaikan ′′ kontinu dekat .
dan ′
(a) Jika ′
, maka
mempunyai minimum lokal pada .
(b) Jika ′
, maka
dan ′
mempunyai maksimum lokal pada .
(Stewart 1998)
Definisi 9 [Fungsi Sebaran]
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak
adalah fungsi :
, dinyatakan oleh

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Lema 1 [Sifat-Sifat Fungsi Sebaran]
Fungsi sebaran memiliki sifat-sifat berikut:
1.
karena
.
2. Jika
, maka
.
3. lim F ( x) disimbolkan oleh
∞ dan
x →−∞

∞ .

lim F ( x) disimbolkan oleh

x →∞

4.

∞
dan ∞
.
kontinu kanan
(bukti lihat Hogg & Craig 1995)

Definisi 10 [Fungsi Sebaran Kumulatif]
Jika
merupakan akumulasi dari
semua nilai peluang
, maka
disebut fungsi sebaran kumulatif dari .
Jika adalah peubah acak kontinu, maka
.

(Ghahramani 2005)

Ekonomi dan Keuangan
Investasi
Dalam keuangan, investasi dapat diartikan
sebagai pengeluaran untuk membeli suratsurat berharga seperti saham dan sekuritas
lainnya. Investasi tersebut dikenal juga
dengan sebutan investasi keuangan. Dalam
analisis ekonomi, istilah investasi sering
dihubungkan dengan investasi fisik atau
investasi pada aset nyata. Investasi fisik
menghasilkan aset baru yang akan menambah
kapasitas
produksi
suatu
perusahaan,
sementara
investasi
keuangan
hanya
memindahkan kepemilikan dari aset yang
sudah ada dari seseorang atau lembaga kepada
pihak yang lainnya.
(Pass et al. 1988)

Persamaan Present value
Present value (PV) suatu cash flow
merupakan jumlah cash flow (uang) yang
besarnya akan bertambah menjadi sama
dengan cash flow di masa mendatang jika
cash flow tersebut diinvestasikan pada saat ini
dengan persen per tahun selama tahun.
,

dengan
menyatakan cash flow di masa
mendatang, menyatakan suku bunga, dan
menyatakan tahun.
(Lee & Lee 2006)
Persamaan Net Present Value (NPV)
Net present value didefinisikan sebagai
selisih dari Present value pada cash flow yang
diharapkan dengan biaya proyeknya.
Secara umum,

,
,
, ,
dengan
menyatakan cash flow tahunan
yang dihasilkan oleh proyek pada Periode(
, , … , ),
,
menyatakan
present value pada persen dalam Periode- ,
menyatakan biaya proyek, dan menyatakan
suku bunga.
(Lee & Lee 2006)
Pendekatan teoriTeorimerupakan
teori
yang
dikemukakan oleh James Tobin. Teori
tersebut menyatakan bahwa tingkat investasi
adalah marjinal- (fungsi dari ), yaitu rasio
nilai pasar atas penambahan modal terhadap
biaya penggantiannya.
Misalkan
adalah present value dari
keuntungan di masa mendatang dikarenakan
tambahan investasi pada saat ini, dan adalah
biaya investasi. Nilai marjinal- yaitu
.

Teori- tidak berfungsi sepanjang tersebut
tidak teramati. Hal yang bisa teramati adalah
rataan-q, yaitu rasio nilai pasar atas modal
yang ada terhadap biaya penggantiannya.
Misalkan
adalah cadangan modal, dan
adalah penerimaan perusahaan. Rataan-q
dinyatakan sebagai
.

(Hayashi 1982)

4

Opsi Beli
Opsi beli memberikan hak kepada
pemegangnya untuk membeli suatu aset pada
harga tertentu yang disebut harga eksekusi
(exercise/strike price) pada atau sebelum
tanggal jatuh tempo (maturity) yang
ditentukan.
(Bodie, Kane & Marcus 2002)

Opsi Jual
Opsi jual memberikan hak kepada
pemegangnya untuk menjual suatu ast dengan
harga eksekusi tertentu pada atau sebelum
tanggal jatuh temponya.
(Bodie, Kane & Marcus 2002)

III. PEMBAHASAN
Pada
Bab Ketiga ini akan dibahas
mengenai reversibility, expandability, dan
irreversibility dalam dinamika model investasi
yang optimal di bawah ketidakpastian.
Dalam pembahasannya akan digunakan
dua kerangka periode yaitu, Periode-1 dan
Periode-2. Periode-1 merupakan periode di
mana suatu perusahaan melakukan investasi
untuk pertama kali dalam upaya menambah
cadangan modalnya. Sedangkan Periode-2
merupakan periode di mana suatu perusahaan
dapat melanjutkan atau menjual investasi yang
telah dilakukannya, hal tersebut dilihat dari
apakah investasi awal yang dilakukan berjalan
dengan baik atau tidak.
Pada Periode-1, perusahaan mempunyai
modal , pada harga , dan menerima total
, dengan
strictly
imbal hasil
increasing dan strictly concave terhadap .
Pada Periode-2, imbal hasil menjadi tidak
menentu dikarenakan harga beli di masa
mendatang mungkin melebihi harganya pada
saat ini (costly expandability) dan harga jual
di masa mendatang mungkin saja lebih rendah
dibandingkan dengan harganya saat ini (costly
reversibility). Imbal hasil pada periode ini
dilambangkan dengan
,
dengan
melambangkan goncangan (shock) terhadap
fungsi penerimaan.
merupakan variabel
,
kontinu
stokastik. Misalkan
dan strictly decreasing terhadap
serta
kontinu dan strictly increasing terhadap .
Dua nilai kritis dari didefinisikan untuk
,
,
,
,
(1)
dengan
: goncangan penjualan,
: goncangan pembelian,
: harga jual pada Periode-2,
: harga beli pada Periode-2.
,
merupakan penerimaan marjinal
produk dari modal.
, harga jual kurang dari
Pada saat
harga awal pada Periode-1, menyebabkan

reversibility yang semakin mahal pada
investasi yang dilakukan. Secara serupa,
ketika
, harga beli modal pada Periode2 lebih besar dari pada harga pada Periode-1,
menyebabkan expandability yang semakin
mahal pada cadangan modal yang ada.
Dalam Periode-2, setelah
diketahui,
cadangan modal akan disesuaikan menjadi
cadangan modal dengan tingkat optimal yang
.
baru, yang dilambangkan dengan
, merupakan
Kondisi pada saat
kondisi optimal bagi perusahaan untuk
membeli modal karena penerimaan marjinal
produk dari modal sama dengan harga beli
baru yang lebih tinggi, sehingga
dan
diberikan oleh persamaan
,
. Kondisi pada saat
,
merupakan kondisi optimal untuk menjual
modal karena penerimaan marjinal produk
dari modal sama dengan harga jual baru yang
dan
lebih rendah, sehingga
diberikan oleh persamaan
,
.
Sedangkan kondisi ketika
,
merupakan kondisi optimal bagi perusahaan
untuk tidak membeli atau menjual modal,
,
dan
nilai
sehingga
, .
,
melambangkan present
Misalkan
value yang diharapkan dari net cash flow
suatu perusahaan dengan cadangan modal
pada Periode-1.
dapat juga disebut
sebagai nilai perusahaan dan diberikan oleh
,
∞

,

,

,
(2)
dengan
merupakan faktor diskon dan
bernilai positif. [bukti lihat Lampiran 1].

5

Nilai perusahaan yang diberikan pada
Persamaan (2) sebelumnya merupakan
penjumlahan dari imbal hasil modal pada
Periode-1 dan imbal hasil modal pada
Periode-2. Imbal hasil modal dalam Periode-2
tersebut dihitung pada masing-masing
ketentuan, yaitu pada saat kurang dari ,
berada diantara
dan
, ataupun lebih
besar dari
. Pada saat
, cash flow
perusahaan
terdiri
atas
imbal
hasil
,
ditambah dengan
, yang merupakan hasil penjualan
modal. Pada saat
cash flow perusahaan
terdiri atas imbal hasil
, dikurangi
dengan biaya pembelian modal, yaitu
.
Decision problem pada Periode-1 adalah
memaksimumkan nilai perusahaan yang
dikurangi dengan biayanya. Hal tersebut
dirumuskan sebagai berikut
maks

.

(3)
Kondisi orde satu untuk pemaksimuman
pada Persamaan (3) diperoleh dengan uji
turunan
kedua
yaitu
dengan
mendiferensialkan
Persamaan
tersebut
sehingga diperoleh
terhadap
,
(4)
dengan
merupakan nilai marjinal
perusahaan
dan
merupakan
penerimaan marjinal produk dari modal pada
Periode-1. [bukti lihat Lampiran 1].

Kondisi orde satu di atas dapat disebut
juga sebagai persamaan nilai marjinal
perusahaan. Nilai marjinal perusahaan ini
akan dianalisa dan ditafsirkan dengan
menggunakan
dua
pendekatan,
yaitu
pendekatan teoriuntuk menunjukkan
pengaruh expandability dan reversibility serta
pendekatan nilai opsi yang akan memberikan
analisis yang berbeda, yaitu dengan opsi yang
ditimbulkan
oleh
expandability
dan
reversibility tersebut. Namun demikian, kedua
pendekatan ini akan menghasilkan penilaian
yang identik.
Pendekatan TeoriNilai marjinal atau the shadow value pada
Periode-1, berhubungan dengan persamaan
teori- yang dirumuskan oleh James Tobin.
Teori tersebut mendefinisikan
sebagai
⁄
, di mana rasio ini dikenal juga
sebagai “rataan ”, kemudian
akan
dibedakan dengan yang definisikan sebagai
⁄
dan dikenal dengan sebutan
“marjinal
”.
Oleh karena itu, pada
pembahasan ini akan digunakan notasi
yang menunjukkan nilai marjinal.
Persamaan (4) menyatakan
sebagai penjumlahan dari penerimaan
marjinal produk dari modal pada Periode-1
, dan nilai present value yang
(
diharapkan dari penerimaan marjinal produk
dari
modal
pada
Periode-2
(
.
Penerimaan
,
marjinal produk dari modal Periode-2 dihitung
pada tingkat maksimumnya. Penerimaan
marjinal produk dari modal pada Periode-2
diilustrasikan pada Gambar 1.

,

Gambar 1 Penerimaan produk marjinal dari modal periode-2.

6

Garis horizontal yang lebih rendah pada
kurva yang bergaris tebal menunjukkan nilai
. Pada bagian ini perusahaan
dari
menjual modalnya pada Periode-2 sampai
penerimaan marjinal produk dari modal sama
, yaitu harga yang diterima
dengan
perusahaan dari penjualan modal di Periode-2.
Sebaran dari
, adalah
yaitu,
sebaran goncangan penjualan. Sedangkan
garis horizontal yang lebih tinggi pada kurva
.
bergaris tebal menunjukkan nilai dari
Pada bagian ini perusahaan membeli modal
sampai penerimaan marjinal produk dari
, yaitu harga yang
modal sama dengan
dikeluarkan perusahaan untuk pembelian
modal di Periode-2. Sebaran dari
.
adalah sebaran
adalah
goncangan pembelian. Untuk nilai
, perusahaan tidak membeli atau menjual
modal dalam Periode-2, sehingga cadangan
, dan
modal Periode-2 sama dengan
penerimaan marjinal produk adalah
, .
Jika diturunkan terhadap , maka akan
diperoleh
,

.

(5)
[bukti lihat Lampiran 1].
Dari hasil tersebut, untuk nilai sembarang
yang diberikan, hanya ada satu nilai
yang
.
membuat
Persamaan
menentukan
pada dorongan
pengaruh perubahan dan
berinvestasi pada Periode-1. Hal tersebut
dapat dilihat dengan menurunkan
secara
dan
. Sehingga akan
parsial terhadap
diperoleh
,
(6)
dan

.

(7)

[bukti lihat Lampiran 1].
merupakan fungsi
Perhatikan bahwa
naik (increasing function) terhadap harga
penjualan dan pembelian modal di masa
mendatang ( dan ). Peningkatan dalam
meningkatkan harga minimum di bawah
penerimaan marjinal produk dari modal pada
Periode-2 (sesuai dengan bagian datar yang
lebih rendah pada Gambar 1) yang kemudian
akan meningkatkan present value yang
diharapkan pada penerimaan marjinal produk
dari modal. Peningkatan dalam
meningkatkan harga maksimum di atas
penerimaan marjinal produk dari modal di
masa mendatang (sesuai dengan bagian datar

yang lebih tinggi) yang kemudian akan
meningkatkan present value yang diharapkan
pada penerimaan marjinal produk dari modal.
Dengan demikian, peningkatan reversibility
yang lebih tinggi) atau pengurangan
(
yang lebih tinggi)
expandability (
meningkatkan
yaitu dorongan untuk
berinvestasi dan mengoptimalkan investasi.
Persamaan (4) dapat ditafsirkan sebagai
aturan Net Present Value (NPV). Dengan kata
dalam
lain, pernyataan untuk
Persamaan (4) adalah NPV dari penerimaan
marjinal produk dari modal Periode-1 di masa
mendatang, yang dihitung dengan ketentuan
bahwa cadangan modal dalam Periode-2 akan
berubah menjadi cadangan modal dengan
tingkat optimal yang baru, sehingga
penerimaan marjinal produk dari modal juga
berubah seiring dengan berubahnya cadangan
modal tersebut. Walaupun pernyataan aturan
NPV secara teoritis benar, hal tersebut sangat
sulit
untuk
diimplementasikan
dalam
praktiknya. Sehingga timbul aturan NPV baru
yang telah umum digunakan dan disebut
sebagai “naive NPV rule” yaitu
,
. (8)
Hubungan antara kedua NPV ini dan cara
memperbaiki penghitungan yang naive
kemudian membuatnya sesuai dengan kondisi
maksimum pada Persamaan (4) dapat dilihat
dengan menggunakan pendekatan nilai opsi
untuk penilaian investasi.
Pendekatan Nilai Opsi
Perbedaan antara penghitungan nilai
pada Periode-1 yang dihitung
marjinal
pada
pada Persamaan (4) dan
Persamaan (8), terletak pada opsi beli dan opsi
jual marjinal yang timbul karena reversibility
dan expandability dalam Periode-2. Untuk
mengilustrasikan hal ini dan untuk
membuatnya
sesuai
dengan
kondisi
maksimum pada Persamaan (4), Persamaan
(2) akan dituliskan sebagai

,
,

,
,

,

,

(9)

7

Persamaan tersebut akan diuraikan sebagai
berikut
,
(10a)
dengan
,
,
,

,

,

(10b)

,
(10c)

,

,
(10d)
melambangkan present value yang
diharapkan dari penerimaan dalam Periode-1
dan Periode-2, dengan cadangan modal dalam
Periode-2 dihitung dengan asumsi bahwa
perusahaan tidak membeli ataupun menjual
modal pada periode tersebut sehingga nilai
akan sama dengan nilai .
dari
melambangkan nilai dari opsi jual,
yakni opsi untuk menjual modal dalam
Periode-2 pada harga , di mana perusahaan
akan melakukan opsi jual ini pada kondisi
.
melambangkan nilai dari opsi beli,
yakni opsi untuk membeli modal pada harga
, di mana perusahaan akan melaksanakan
opsi beli ini pada kondisi
.
Jika Persamaan (10) diturunkan terhadap
, maka akan diperoleh nilai marjinal modal,
yang melambangkan
yaitu
dorongan untuk berinvestasi.
, (11a)
dengan

,
,
,

,

(11b)
,

(11c)
,

(11d)
[bukti lihat Lampiran 2].
Persamaan (11a) menyatakan terdiri atas
tiga komponen, yaitu:
1. Present value yang diharapkan dari
penerimaan marjinal produk dari modal
pada saat ini dan di masa mendatang

yang dihitung pada cadangan modal
yang diberikan (
).
2. Nilai opsi jual marjinal (
), yang
mempunyai nilai yang sama dengan
, , .
), yang
3. Nilai opsi beli marjinal (
mempunyai nilai yang sama dengan
,
, .
Kondisi optimal untuk modal pada
Periode-1 adalah
, yang akan
dituliskan kembali sebagai berikut
, (12)
[bukti lihat Lampiran 2].
Pembelian satu atau beberapa unit modal
pada Periode-1 menghilangkan opsi beli
marjinal untuk membeli modal tersebut dalam
Periode-2. Present value dari biaya
penghilangan opsi ini (
) harus di
tambahkan ke . Di lain pihak, dengan
membeli satu atau beberapa modal dalam
Periode-1, perusahaan akan mendapatkan opsi
jual untuk menjual unit modal tersebut pada
dalam Periode-2. Perolehan opsi jual
harga
marjinal ini mengurangi biaya efektif investasi
.
sebesar
Pengaruh
perubahan
dalam
harga
penjualan modal pada nilai opsi jual marjinal
dapat dihitung dengan menurunkan nilai opsi
ini terhadap sehingga akan diperoleh
.

(13)

[bukti lihat Lampiran 2].
Peningkatan harga pada level di mana modal
dapat dijual di masa mendatang meningkatkan
nilai opsi jual marjinal untuk menjual modal,
kemudian mengurangi biaya efektif modal dan
meningkatkan nilai optimal .
Pengaruh
perubahan
dalam
harga
pembelian modal pada nilai opsi beli marjinal
dapat dihitung dengan menurunkan nilai opsi
beli marjinal terhadap harga beli
sehingga akan diperoleh
.

(14)

[bukti lihat Lampiran 2].
Peningkatan harga pada level di mana modal
dapat dibeli di masa mendatang mengurangi
nilai opsi beli marjinal sampai habis dan oleh
karenanya mengurangi biaya efektif investasi.
meningkat
Sebagai hasilnya, nilai optimal
dalam menanggapi peningkatan dalam .
Tentu saja hasil penilaian investasi yang
diperoleh dengan menggunakan pendekatan
nilai opsi serupa atau identik dengan hasil
penilaian investasi yang diperoleh dengan
menggunakan pendekatan teori- .

8

Pengganda nilai opsi
Dalam literatur Irreversible Investment,
kondisi optimal investasi tidak digolongkan
secara umum oleh persamaan present value
yang diharapkan dari penerimaan marjinal
produk dari modal yang dinyatakan oleh
dan biaya marjinal investasi yang
dinyatakan oleh . Dalam kasus irreversible
investment, tidak ada opsi jual, dan karena itu,
optimal,
melebihi
pada saat
sebesar
yaitu present value dari opsi
beli marjinal. Rasio dari
dan yang
melebihi satu dalam kasus ini adalah
pengganda nilai opsi. Pengganda nilai opsi
didefinisikan sebagai
⁄ ,
(15)
adalah cadangan modal dalam
dengan
Periode-1.
Jika kondisi optimal pada Persamaan (12)
disubstitusikan ke dalam definisi pengganda
nilai opsi, maka kita akan memperoleh
.
(16)
[bukti lihat Lampiran 3].
Pada Persamaan (15), nilai optimal
dipilih untuk memenuhi persamaan
. Dalam pembahasan ini akan dijelaskan
bagaimana pengganda nilai opsi bergantung
pada reversibility dan expandability dalam
Periode-2. Reversability dan ekspandability
ini diukur menggunakan dua definisi,
⁄ , kemudian
⁄
dan
pengganda nilai opsi tersebut akan dinyatakan
sebagai
; ,
untuk memperlihatkan
kebergantungan pengganda nilai opsi pada
rasio harga
dan
, dan tentunya pada
di
tingkat optimal cadangan modal
Periode-1.
Dalam pembahasan ini terdapat empat
kasus yang terjadi pada Periode-2. Pertama
adalah
kasus di mana investasi yang
dilakukan adalah investasi yang bersifat
completely
irreversible
(
)
dan
tak terbatas),
completely unexpandable (
yang mengakibatkan
. Dalam
kasus ini, opsi jual dan opsi beli bernilai nol
karena tidak dimungkinkan untuk menjual
ataupun membeli modal dalam Periode-2.
Oleh karena itu,
; ,
.
Kasus yang kedua adalah kasus dengan
investasi yang bersifat completely irreversible
) dan sekurang-kurangnya partially
(
terbatas).
Hal
ini
expandable
(
mengakibatkan
, dan
. Dalam
kasus ini, opsi jual tetap bernilai nol tetapi
opsi beli akan bernilai positif pada kondisi
. Oleh karena itu, nilai dari
bahwa
; ,
, dengan strict inequality

. Hasil perolehan tersebut sama
jika
atau sesuai dengan hasil yang ada dalam
literatur
Irreversible
Investment
yang
menekankan bahwa pengganda nilai opsi
bernilai lebih besar dari satu, dan karenanya
nilai optimal cadangan modal yang akan
didapatkan lebih rendah dari pada yang akan
didapatkan dengan pengaplikasian aturan
naive NPV. Dari kasus ini dapat dilihat,
pengganda nilai opsi yang bernilai lebih dari
satu disebabkan oleh opsi beli marjinal yang
berkaitan dengan expandability, tidak selalu
disebabkan oleh irreversibility. Dua hal
tersebut dibutuhkan untuk menghasilkan
pengganda nilai opsi yang melebihi satu.
Tentu saja dalam kasus sebelumnya (kasus
pertama), investasi bersifat irreversible dan
penyebab pengganda nilai opsi bernilai satu
adalah karena ketiadaan dari expandability.
Pengganda nilai opsi bisa juga bernilai
kurang dari satu. Kasus yang membuat
pengganda nilai opsi bernilai kurang dari satu
adalah kasus dengan investasi yang bersifat
sekurang-kurangnya
partially
reversible
) tetapi completely unexpandable (
(
tak terbatas) mengakibatkan
dan
. Dalam investasi yang bersifat
partially reversible, opsi jual bernilai positif
. Sedangkan
pada kondisi bahwa
dalam investasi yang bersifat completely
unexpandable, opsi beli bernilai nol. Oleh
; ,
karena itu, nilai dari
dengan strict inequality jika
.
Dalam kasus ini, modal boleh saja dijual pada
harga yang telah ditentukan, tetapi tidak ada
tambahan modal yang boleh dibeli pada harga
yang terbatas. Oleh karena itu, perusahaan
lebih berkeinginan untuk berinvestasi pada
awalnya dari pada pengaplikasian aturan
naive NPV yang diusulkan. Untuk
mendapatkan hasil ini investasi yang bersifat
partially reversible dibutuhkan, ketiadaan dari
expandability tidaklah cukup.
Kasus yang terakhir merupakan kasus
khusus di mana investasi bersifat completely
)
dan
completely
reversible
(
expandable (
) yang mengakibatkan
. Pada kasus ini, nilai opsi jual
marjinal melebihi opsi beli marjinal (
) sebesar
,
sehingga
Persamaan (16) dapat dituliskan kembali
sebagai
,
, dengan
; ,
demikian,
; , mempunyai nilai yang
melebihi, sama dengan atau kurang dari satu,
bergantung pada apakah nilai opsi jual
marjinal kurang dari, sama dengan, atau lebih

9

dari nilai opsi beli marjinal. Hubungan antara
dan perubahan expandability dan

reversability diilustrasikan dalam Gambar 2
yang menunjukkan beberapa “iso- ” kurva.

Completely Reversible, Expandable

Irreversible, Expandable

,

⁄
Φ

Φ
Φ
,

⁄

Irreversible, Non-expandable
Gambar 2 Hubungan antara

Reversible, Non-Expandable
dan perubahan expandability dan reversibility.

Kurva di atas diperoleh dengan
menurunkan
dalam Persamaan (16) secara
total untuk mendapatkan

.

(17)
[bukti lihat Lampiran 3].
Dengan menetapkan
pada Persamaan
(17), perubahan nilai
dan
akan
menyebabkan nilai
tidak berubah jika dan
dan
membuat nilai optimal
hanya jika
tetap. Kemudian dengan menetapkan nilai
dalam Persamaan (17) akan
menghasilkan
,

(18)

dan
dengan strict inequality ketika
∞. [bukti lihat Lampiran 3].
Dengan demikian kemiringan kurva isosemakin naik dari kiri ke kanan seperti yang

diilustrasikan
dalam
Gambar
2.
Kecembungan dan kecekungan kurva ini tidak
bisa ditentukan secara umum. Nilai
meningkat dalam
dan menurun dalam .
Kurva
dibentuk mulai dari titik 0 dan
karena
; ,
melalui
seperti
yang
dijelaskan
sebelumnya.
Kemudian kurva-kurva yang terbentuk dapat
bergerak melalui atas, bersinggungan atau
melalui bawah kurva
dalam daerah segi
empat tersebut, dan kurva tersebut bergantung
pada nilai dari pengganda nilai opsi, apakah
; , kurang dari, sama dengan, ataupun
lebih dari satu.
Pengilustrasian grafik opsi jual dan opsi
beli
Didefinisikan penerimaan marjinal produk
dari modal Periode-2 pada modal Periode-1
yang diinvestasikan sebagai
, ,
(19)
Pada
yang telah diberikan, sebaran dari
akan menghasilkan sebaran untuk . Dan
misalkan Φ
adalah fungsi sebaran
kumulatif yang dihasilkan oleh
, dengan
pengintegralan parsial, opsi jual marjinal dan

10

opsi beli marjinal akan diperoleh secara
terurut sebagai berikut

,

,,

Φ

Φ

Φ

|

Φ
,

(20)

Φ

Φ

|
,

Φ

(21)
[bukti lihat Lampiran 4].
Pengilustrasian grafik dari opsi jual marjinal
dan opsi beli marjinal ini akan ditunjukkan
dalam Gambar 3.

dan

1 

Φ

 

Opsi beli 

Opsi jual

 

0 

Gambar 3 Grafik opsi jual dan opsi beli.
Nilai dari opsi jual marjinal adalah daerah
di bawah pangkal kurva, di bagian kiri dari
, seperti yang ditunjukkan dalam
titik
Gambar 3. Peningkatan dalam harga jual ( )
menambah luas daerah ini. Di lain pihak, nilai
dari opsi beli marjinal adalah daerah di atas

di antara
kurva, di bagian kanan dari
bagian ujung dari kurva dan garis horizontal
sepanjang satu satuan. Peningkatan dalam
harga beli ( ) mengurangi luas daerah ini.

IV. KESIMPULAN
Penilaian investasi (penghitungan NPV)
dengan menggunakan pendekatan teori- ,
hanya dipengaruhi oleh harga-harga yang
terbentuk dan peluang-peluang yang terjadi di
masa mendatang, tidak ada pengaruh nilai
opsi yang muncul. Sedangkan pada

pendekatan nilai opsi, penghitungan NPV
dipengaruhi oleh nilai opsi yang muncul
akibat reversibility dan expandability.
Jika NPV
, maka investasi yang
dilakukan memberikan imbal hasil yang dapat
menambah nilai perusahaan, kemudian

11

perusahaan dapat melakukan ekspansi untuk
menjaga keberlangsungannya. Sebaliknya,
jika nilai NPV
, maka investasi yang
dilakukan akan mengurangi nilai perusahaan.
Pada kemungkinan terburuk, perusahaan akan
melakukan perampingan. Sedangkan jika nilai
NPV
, maka investasi yang dilakukan tidak
menambah
ataupun
mengurangi
nilai
perusahaan.
Perusahaan
harus
dapat
mempertimbangkan apakah akan melakukan
ekspansi atau perampingan berdasarkan
strategi-strategi lain atau faktor lain yang
digunakan dalam penghitungan NPV.

Metode pengganda nilai opsi (Φ)
merupakan perluasan dari pendekatan nilai
opsi. Nilai Φ dapat bernilai lebih besar, sama
dengan, atau kurang dari satu. Nilai tersebut
bergantung dari kasus investasi yang terjadi.
Jika Φ
, maka perusahaan tidak
dimungkinkan untuk menjual ataupun
membeli modal. Jika Φ
, maka perusahaan
lebih baik menjual modalnya. Kemudian jika
Φ
, maka perusahaan lebih baik membeli
modal.

V. DAFTAR PUSTAKA
Abel BA, Avinash KD, Eberly JC, Pindyck
RS. 1995. Options, The Value of Capital
and Investment. Quarterly Journal of
Economics 111:753-777.
http://dspace.mit.edu/bitsteam/1721.1/259
2/1/SWP-3843-33475229.pdf
[12 Jul 2007]
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2002.
Investments, Sixth Edition. New York: The
McGraw-Hill Companies, Inc.
Cox JC, Mark R. 1985. Options Markets. New
Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Dixit AK dan Pyndick RS. 1994. Investment
Under Uncertainty. New Jersey: Princeton
University Press.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of
Probability with Stochastic Processes.
Edisi Ke-3. New Jersey: Pearson
Education, Inc.
Grimmet GR dan Strizaker DR. 1992.
Probability and Random Processes.
Second Edition. New York: Clarendon
Press Oxford.
Hayashi F. 1982. Tobin’s Marginal
and
Average : A Neoclassical Interpretation.
Econometrica, 50(1):213-224.
Hogg RV dan Craig AT. 1955. Introduction to
Mathematical Statistics, Fifth Edition.
New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Lee CF, Lee AC, editor. 2006. Encyclopedia
of Finance. Springer Science+Business
Media, Inc.
Leithold L. 1990. The Calculus with Analytic
Geometri, Sixth Edition. New York:
HarperCollinsPublisher.
Osborne MJ. 1997-2003. Mathematical
Methods for Economic Theory: A Tutorial
by Martin J. Osborn.
http://www.economics.utoronto.ca/osborn
e/MathTutorial/CVNF.HTM
[8 Mei 2008]
Pass C, Bryne L, Davies L. 1988. Kamus
Lengkap Ekonomi. Edisi Ke-2. Rumapea
T, Haloho P, penerjemah; Sihombing D,
editor.
New
York:
HarperCollins
Publishing. Terjemahan dari: Dictionary of
Economics, Second Edition.
Pindyck RS. 1988. Irreversibility, Uncertainty
and Investment. Journal of economic
literature 78(5):969-985.
http://www-wds.worldbank.org
[31 Jan 2008 ]
Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Edisi Ke-4.
Susila IN, Gunawan H, penerjemah;
Mahanani N, Hardani W, editor. A
Division of International Thomson
Publishing Inc. Terjemahan dari: Calculus,
Fourth Edition.
Wikipedia. 2007. The Free Encyclopedia.
http://www.wikipedia.org/

12

LAMPIRAN

13

LAMPIRAN 1
Uraian Persamaan (2): Nilai Perusahaan
Berdasarkan persamaan present value:
,

) adalah penjumlahan dari imbal hasil modal pada Periode-1 dan PeriodeNilai perusahaan (
2. Imbal hasil dalam Periode-2 dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu:
1.

.
Jika
Nilai dari
diberikan oleh
Present value pada kondisi ini adalah
,

dengan
2.

,

adalah hasil penjualan modal.

.
Jika
Nilai dari
diberikan oleh
Present value pada kondisi ini adalah
,

dengan
3.

,

,

,

adalah biaya pembelian modal.
,

Jika
. Nilai
Present value pada kondisi ini adalah

Sehingga, nilai perusahaan diberikan oleh:

,

,

,

,

,

,

,

Penurunan Persamaan (4): Nilai Marjinal Perusahaan (NPV)
Decision problem perusahaan pada Periode-1 adalah
maks
1.

Untuk kondisi

,

,

,

,

,

,

(2)

14

Diturunkan terhadap

akan didapatkan:
,

2.

Untuk kondisi
,

,

,

,
Diturunkan terhadap

|

,

,

akan didapatkan:
,

3.

∞

Untuk kondisi

|

,

Jadi, kondisi orde pertama untuk

,

,

,

max

adalah:

∞

,

,

,

,

,

,

(4)

Penurunan Persamaan (5): Pengaruh Modal pada Dorongan Berinvestasi
,
,
Nilai dari
,

adalah karena

,
,

strictly increasing dan strictly concave di

kontinu dan strictly decreasing di

(5)
, sedangkan

serta kontinu dan strictly increasing di .

15

Penurunan Persamaan (6): Pengaruh Harga Jual pada Dorongan Berinvestasi
,

,
,

(6)

Penurunan Persamaan (6): Pengaruh Harga Beli pada Dorongan Berinvestasi
,

,
,

(7)

16

LAMPIRAN 2
Penurunan Persamaan (11a): Nilai Marjinal Perusahaan pada Pendekatan Nilai Opsi
Didefinisikan bahwa
,
Dengan menurunkan Persamaan (10) terhadap

Karena

(10a)

,

akan didapatkan:
,

, maka

,
,

(11a)

Penurunan persamaan (11b): Present Value Periode-1 dan Periode-2

Diturunkan terhadap

,

akan didapatkan :
,

Nilai
,

,

,

(10b)

,

,

(11b)
adalah karena
strictly increasing dan strictly concave di , sedangkan
kontinu dan strictly decreasing di serta kontinu dan strictly increasing di .

Penurunan Persamaan (11c): Nilai Opsi Jual Marjinal
,
Diturunkan terhadap

,

,

,

akan didapatkan:

,

,

,

(10c)

,

,
,
Nilai
adalah karena
dan strictly increasing di .

,

,

,

kontinu dan strictly decreasing di

,

(11c)
serta kontinu

17

Penurunan Persamaan (11d): Nilai Opsi Beli Marjinal
,

Diturunkan terhadap

,

,

,

,

(10d)

akan didapatkan:
,

,

,

,
,
,
Nilai
adalah karena
dan strictly increasing di .

,

,

,

kontinu dan strictly decreasing di

Penurunan Persamaan (12): NPV Pendekatan Nilai Opsi
Kondisi maksimum untuk modal pada Periode-1 adalah

(11d)
serta kontinu

.

,

,

(11a)

,

(12)

Penurunan Persamaan (13): Pengaruh Harga Jual pada Nilai Opsi Jual Marjinal
,
Diturunkan terhadap

,

(11c)

akan didapatkan:

|

,

∞

,

(13)

18

Penurunan Persamaan (14): Pengaruh Harga Beli pada Nilai Opsi Beli Marjinal
,

,
Diturunkan terhadap

(11d)

akan didapatkan:
,
,

|

∞
(14)

19

LAMPIRAN 3
Penurunan Persamaan (16): Pengganda Nilai Opsi
Pengganda nilai opsi didefinisikan sebagai
⁄ ,

(15)

Dengan mennyubtitusikan Persamaan (12) ke definisi pengganda nilai opsi di atas, maka akan
didapatkan:
,

⁄

(12)
,

(16)

Persamaan Pengaruh Expandability dan Reversibility pada Pengganda Nilai Opsi
Penurunan persamaan (17)
,

(16)

Didefinisikan
, dan

,

Sehingga
; ,
Dengan menurunkan Persamaan (16) secara total akan didapatkan:

1. Turunan

2. Turunan

3. Turunan

,

terhadap

terhadap

,

,

terhadap

,

20

Jadi turunan total dari Persamaan (16) adalah
—
,

(17)

Penurunan Persamaan (18)
Didefinisikan
, dan
,

dan

Dengan menetapkan

,

, dan

,

pada Persamaan (17) maka
,

,

(18)

21

LAMPIRAN 4
Penurunan Persamaan (20): Nilai Opsi Jual Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif
Didefinisikan persamaan penerimaan produk marjinal Periode-2 sebagai berikut
,

,

Dengan mengintegralkan persamaan opsi jual marjinal secara parsial akan didapatkan :

Untuk
Untuk

,

Æ
∞Æ

Æ
Æ

Misalkan:
Φ

,

,

, ∞

Φ
Φ

,
,

|

Φ

,

,

,

,

Φ

Φ

Φ

|

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

,

(20)

Penurunan Persamaan (21): Nilai Opsi Beli Marjinal dengan Fungsi Sebaran Kumulatif
Didefinisikan persamaan penerimaan produk marjinal Periode-2 pada modal Periode-1 yang
diinvestasikan sebagai berikut
,

,

(19)

Dengan mngintegralkan persamaan opsi jual marjinal secara parsial akan didapatkan:

Untuk
Untuk

Untuk
Misalkan:

,
,∞

Æ
∞Æ

Φ

Φ

Æ
Æ

,
Φ

∞,

,

,

,

,
,

Φ

Φ

Φ

Φ

,

2