Kelas XII SMAMA
150
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan pernyataan Pk itu bernilai benar. Artinya, kita anggap bahwa 3 membagi kk + 1k + 2.
Akan ditunjukkan bahwa Pk + 1 bernilai benar, yaitu 3 membagi k + 1 k + 1 + 1k + 1 + 2 atau 3 membagi k + 1k + 2k + 3.
Dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, maka bentuk k + 1 k + 2k + 3 dapat diubah menjadi [k + 1k + 2k] + [k + 1k + 23]
yang merupakan penjumlahan dari kk + 1k + 2 dan 3k + 1k + 2. Dari pemisalan, sudah diketahui bahwa 3 membagi kk + 1k + 2.
Karena 3 juga membagi 3k + 1k + 2, maka 3 juga membagi kk + 1 k + 2 + 3k + 1k + 2.
Dengan demikian, Pk + 1 3 membagi k + 1k + 1 + 1k + 1 + 2 bernilai benar.
Jadi, jika 3 membagi kk + 1k + 2 maka 3 membagi k + 1k + 1 + 1 k + 1 + 2.
3. Kesimpulan
Pn : 3 membagi nn + 1n + 2 benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh 3.10
Buktikan bahwa pertidaksamaan 3
n
n
3
berlaku untuk semua bilangan asli n
t 4.
Bukti
Misalkan Pn : 3
n
n
3
untuk bilangan asli n t 4
Matematika Kurikulum 2013
151
1. Langkah Dasar
Untuk n 4, maka seperti pada penyelidikan Contoh 3.4, P4 : 81 = 3
4
4
3
= 64 bernilai benar. Jadi pertidaksamaan Pn : 3
n
n
3
berlaku untuk n 4.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k t 4, misalkan pertidaksamaan Pn : 3
n
n
3
bernilai benar. Ini berarti 3
k
n
k
untuk k t 4.
Akan ditunjukkan bahwa pertidaksamaan Pn : 3
n
n
3
juga berlaku untuk n
k + 1, yaitu Pk + 1 : 3
k+1
k + 1
3
= k
3
+ 3k
2
+ 3k + 1. Untuk menunjukkan ini, dengan menggunakan 3
k
k
3
untuk k t 4, perhatikan
bahwa 3
k+1
= 3
k
3
1
= 33
k
t 3k
3
= k
3
+ 2k
3
......................................... 1 .DUHQDNPDNDXQWXN
2k
3
= k
3
+ k
3
= k k
2
+ k
2
k 3
k
2
+ 3
2
k =
3k
2
+ 9k = 3k
2
+ 3k + 6k
3k
2
+ 3k + 1. 2
Dengan memsubstitusikan persamaan
2
ke persamaan
1
, diperoleh 3
k+1
k
3
+ 3k
2
+ 3k + 1 = k + 1
3
Ini berarti pertidaksamaan Pn : 3
n
n
3
berlaku untuk n = k + 1.
3. Kesimpulan
Pn : 3
n
n
3
berlaku untuk semua bilangan asli n t 4.
Ayo Menanya
? ?
Kalau Anda telah mengamati dengan sempurna, bayangkan ada orang lain yang Anda sayangi yang juga ingin tahu tentang penerapan prinsip induksi
matematis ini dalam pembuktian. Tentu mereka akan ingin tahu dan akan menanyakan sesuatu kepada Anda. Kira-kira pertanyaan apa saja yang akan
Kelas XII SMAMA
152
mereka ajukan, dan tuliskan pertanyaan mereka itu pada tempat kosong berikut.
Ayo Menggali Informasi
+
=
+
Guru Anda sebenarnya telah menyediakan beberapa contoh pernyataan dan bukti kebenaran dari pernyataan tersebut dengan induksi matematis. Mintalah
contoh-contoh tersebut kepada guru Anda. Anda juga dapat memperoleh contoh-contoh pengggunaan induksi matematiks
di dalam buku-buku matematika tingkat lanjut, atau di internet. Cobalah kumpulkan contoh-contoh pembuktian itu, baik yang Anda peroleh dari guru
Anda maupun yang dari internet, menjadi satu kumpulan contoh pembuktian dengan induksi matematis. Tata contoh-contoh tersebut sedemikian rupa mulai
berdasarkan tingkat kesulitannya atau berdasarkan jenis materinya.
Kategori