Langkah Dasar Langkah Induksi

Matematika Kurikulum 2013 167 Ayo Menalar Sekarang saatnya Anda secara berkelompok mendiskusikan dan menjawab pertanyaan berikut. 1. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis? 2. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis kuat? 3. Kapan kita menggunakan prinsip induksi matematis dan kapan kita menggunakan induksi matematis kuat? Tuliskan jawaban pertanyaan-pertanyaan untuk masing-masing kelompok. Mintalah bantuan gurumu apabila Anda menemukan kesulitan atau permasalahan yang berkenaan dengan pertanyaan tersebut. Ayo Mengomunikasikan Setelah diskusi kelompok Anda lakukan, sekarang coba Anda diskusikan secara klasikan untuk mencocokkan jawaban kelompok yang telah Anda buat. Mintalah masukan atau penjelasan dari gurumu apabila dalam diskusi kelas menemukan permasalahan. Setelah diskusi kelas, tuliskan kesimpulan Anda tentang hasil diskusi kelas tersebut secara individu dalam kotak berikut. Kesimpulan Kelas XII SMAMA 168 DWLKDQ 1. a. Apakah kalian dapat membuktikan pernyataan n 4 n 2 habis dibagi 12 untuk semua bilangan asli n dengan menggunakan induksi matematis seperti biasanya ? b. Cobalah untuk membuktikan pernyataan n 4 n 2 habis dibagi 12 untuk semua bilangan asli n dengan menggunakan induksi matematis kuat. 2. Buktikan hasil-hasil berikut dengan menggunakan induksi kuat a. Misalkan 1 1 1 3 4 1, 2, 12 n n n x x x x x dengan n adalah bilangan asli. Buktikan : x n+1 d 1, untuk semua bilangan asli n. b. Misalkan x = 1, x 1 = 1, x n+1 = x n + x n 1 dengan n adalah bilangan asli. Buktikan : x n+1 d 2 n , untuk semua bilangan asli n. c. x + y adalah faktor dari x 2n y 2n , untuk setiap bilangan asli n. d. Misalkan barisan a 1 , a 2 , a 3 GLGH¿QLVLNDQVHEDJDLEHULNXW a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, dan a n = a n 1 + a n 2 + a n 3 . Buktikan bahwa a n 2 n . 3. Perhatikan kembali barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … di mana dua suku pertama adalah 1 dan 1, dan sebarang suku selanjutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya. Kita menyatakan suku ke-n dari barisan ini sebagai F n . Jadi, F 1 = 1, F 2 = 1, dan F n = F n-1 + F n-2 . Buktikan suku ke-n barisan ini dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai 1 1 1 5 1 5 2 2 5 n n n F § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ , untuk semua n bilangan asli. Amati: suku-suku barisan Fibonacci merupakan bilangan Asli, tapi dalam rumus tersebut memuat bilangan irasional 5 , mungkinkah?. Dalam matematika, dapat terjadi sesuatu yang kelihatannya secara intuisi tidak mungkin, namun dapat terjadi.