3 an� � 2� + 1 , jika � = 3.
Bukti
Misalkan � adalah pelabelan antipodal pada � . Maka menurut Definisi 2.3, rentang
� adalah �
−1
. �
−1
= 0 + �
1
− �
1
+ �
2
− �
2
+ + �
−2
− �
−2
+ �
−1
− �
−1
Karena �
= 0, akibatnya �
−1
= �
1
− � + �
2
− �
1
+ + �
−2
− �
−3
+ [ �
−1
− �
−2
] Menurut Definisi 2.4 yang menyatakan
�
�
= �
�+1
− �
�
Akibatnya �
−1
= � +
�
1
+ … + �
−2
. Pembuktian selanjutnya dengan menggunakan beberapa teorema dan lemma berikut
untuk berbagai nilai yang berbeda.
A. Pelabelan Antipodal pada Graf Sikel � untuk ≡ ���
Pada sikel �
4 �
, diameter sikel dinotasikan � = diam �
4 �
= 2�. Langkah-langkah pelabelan antipodal pada sikel
�
4 �
didefinisikan sebagai berikut. i.
Beri urutan setiap titik pada �
4 �
dengan ,
1
,
2
, … ,
4 �−2
,
4 �−1
. Dengan ketentuan
� 0 = 0, dan untuk 1 � 2�, � 2� =
� 2� − 2 + � mod , jika
� bilangan ganjil; � 2� − 2 + � + 1mod , jika � bilangan genap.
� 2� + 1 = � 2� + 2� mod , untuk 1 � 2� − 1. ii.
Beri label setiap titik pada �
4 �
dengan �
, �
1
, …, �
4 �−2
, �
4 �−1
. Untuk
1 � 2� berlaku ketentuan sebagai berikut.
� = 0 dan �
2 �
= �
2 �−2
+ �, jika � bilangan ganjil
�
2 �−2
+ � + 1, jika � bilangan genap
�
2 �+1
= �
2 �
, untuk 1 � 2� − 1.
Bukti Akibat 2.7 1
Misalkan = 4
� maka adalah bilangan genap. Menurut Lemma 2.6 yang menyatakan bahwa untuk kasus
= 4 � berlaku �
�
+ �
�+1
�, akibatnya berlaku pertidaksamaan berikut ini,
� +
�
1
� �
2
+ �
3
�
�
−4
+ �
−3
� Pada fungsi antipodal
�
−3
, bilangan indeks − 3 adalah bilangan ganjil, sebab
adalah bilangan genap. Jika pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dijumlahkan maka akan diperoleh,
� +
�
1
+ �
2
+ +
�
−4
+ �
−3
� − 3 + 1
2 �
− 2 2
Menurut Definisi 2.4 yang menyatakan �
�
= �
�+1
− �
�
. Sehingga diperoleh
�
−2
= �
−1
− �
−2
= �
4 �−1
− �
4 �−2
= �
2 2�−1 +1
− �
22 � −1
Menurut bahasan
sebelumnya diperoleh
�
2 �+1
= �
2 �
, akibatnya �
−2
= �
4 � −2
= �
2 2�−1 +1
− �
22 � −1
= 0. Sehingga diperoleh,
� +
�
1
+ �
2
+ �
3
+ �
4
+ �
5
+ +
�
−8
+ �
−7
+ �
−6
+ �
−5
+ �
−4
+ �
−3
+ �
−2
� − 2
2 + 0 �
− 2 2
� 4
� − 2 2
� 2� − 1 Akibatnya,
an �
4 �
�2� − 1.
B. Pelabelan Antipodal pada Graf Sikel � untuk ≡
�
Pada sikel �
4 � +1
, diameter sikel dinotasikan � = diam �
4 �+1
= 2�. Pelabelan antipodal pada sikel
�
4 �+1
dibagi menjadi dua kasus. Langkah- langkah pelabelan antipodal pada sikel
�
4 �+1
didefinisikan sebagai berikut. 1.
Jika � adalah bilangan ganjil. i.
Beri urutan setiap titik pada �
4 �+1
dengan ,
1
,
2
, …,
4 �
,
4 �+1
. Dengan ketentuan sebagai berikut.
� 2� = �� mod untuk � = 0,1, 2, … , 2� � 1 = � 4� + � = 3� −
� − 1 2
� 2� + 1 = � 2� − 1 + � mod untuk � = 1,2, …,2� − 1 ii.
Beri label
setiap titik
pada �
4 �+1
dengan �
, �
1
, �
2
, …, �
4 �
, �
4 �+1
. Dengan ketentuan sebagai berikut. �
2 �
= �� untuk � = 0, 1,2, … , 2� �
2 �+1
=
� −1 2
+ �� untuk � = 0,1, 2, … , 2� − 1
2. Jika � adalah bilangan genap
i. Beri urutan setiap titik pada �
4 �+1
dengan ,
1
,
2
, …,
4 �
,
4 �+1
. Dengan ketentuan sebagai berikut.
� 2� = �� mod untuk � = 0, 1, 2, … , 2� � 1 = 2� + 1
� 2� + 1 = � 2� − 1 + � mod , jika � bilangan ganjil
� 2� − 1 + � + 1 mod , jika � bilangan genap ii. Beri
label setiap
titik pada
�
4 �+1
dengan �
, �
1
, �
2
, …, �
4 �
, �
4 �+1
. Dengan ketentuan sebagai berikut. �
2 �
= �� untuk � = 0, 1, 2, … , 2� �
1
= 0 �
2 �+1
= �
2 �−1
+ �, jika � adalah bilangan ganjil �
2 �−1
+ � + 1,
jika � adalah bilangan genap
Bukti Akibat 2.7 2
Misalkan = 4
� + 1, akibatnya bilangan adalah suatu bilangan ganjil. Menurut Lemma 2.6 yang menyatakan bahwa untuk kasus
= 4 � + 1 berlaku �
�
+ �
�+1
�. Akibatnya berlaku pertidaksamaan berikut ini,
� +
�
1
� �
2
+ �
3
�
�
−3
+ �
−2
�
Pada fungsi antipodal �
−2
, bilangan indeks − 2 adalah bilangan ganjil, sebab
adalah bilangan ganjil. Jika pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dijumlahkan maka akan diperoleh,
� +
�
1
+ �
2
+ �
3
+ +
�
−3
+ �
−2
� − 2 + 1
2 �
− 1 2
Rentang fungsi � dinyatakan dengan,
�
−1
= � +
�
1
+ …+ �
−3
+ �
−2
� − 1
2 = �
4 �
2 � 2� 2�
2
Akibatnya, an
�
4 �+1
2 �
2
.
C. Pelabelan Antipodal pada Graf Sikel � untuk ≡
