Setiap kegagalan failure menyumbang sebuah faktor, oleh karena itu bentuk fungsi partial likelihood adalah sebagai berikut:
∏ ∑
∑ ∑
Misalkan, ∑
, maka ∏
∑
E. Estimasi Parameter Model Cox
Untuk mengestimasi parameter pada model Cox proportional hazard
digunakan metode Maximum Partial Likelihood Estimator MPLE yang dapat diselesaikan dengan memaksimumkan natural log dari fungsi partial
likelihood. Dari persamaan 2.17 didapatkan fungsi log partial likelihood, yaitu sebagai berikut:
∏ ∑
∑ ∑
∑ [ ∑ ∑
∑ ]
∑ [ ∑ ∑
∑ ]
Setelah diperoleh fungsi log partial likelihood, maka langkah selanjutnya adalah mencari turunan pertama dari
terhadap , yaitu
sebagai berikut: ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Pendugaan dapat diperoleh dengan memaksimukan turunan pertama
fungsi log partial likelihood, yaitu sebagai berikut:
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Persamaan 2.20 di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan iterasi Newton-Raphson.Turunan kedua dari
terhadap , yaitu sebagai
berikut:
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
Negatif turunan kedua dari log partial likelihood yaitu sebagai berikut:
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
F. Prosedur Newton Raphson
Prosedur Newton-Raphson digunakan untuk memaksimalkan fungsi partial likelihood. Misalkan
merupakan fungsi partial likelihood dimensional vektor
dan merupakan vektor
berukuran dari turunan parsial pertama , sehingga
] 2.23
dengan memisalkan
Misalkan merupakan matrik Hessian berukuran dari turunan
partial likelihood kedua , yaitu
2.24
dengan memisalkan , maka
[ ]
Algoritma yang digunakan dalam metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:
̂ ̂
̂ ̂
2.25
dengan memisalkan dan ̂
adalah invers dari ̂
. Langkah-langkah iterasi dengan menggunakan metode Newton
Raphson adalah sebagai berikut: 1.
Menentukan nilai awal, ̂ .
2. Memasukan ke dalam persamaan 2.25, yaitu: ̂
̂ ̂
̂ .
3. Iterasi dilakukan sampai diperoleh nilai yang konvergen, ̂
̂ .
Menurut Hosmer dan Lemeshow 2008:72 varians dari ̂
dapat didefinisikan sebagai:
̂ ̂ 2.26
sedangkan standar deviasi dari ̂
merupakan akar kuadrat dari varians ̂
, yaitu sebagai berikut:
̂ √ ̂ √ ̂ .
2.27
Standar deviasi dapat digunakan untuk mencari selang kepercayaan ̂
yaitu . Selang kepercayaan untuk ̂
adalah sebagai berikut: ̂
̂ ̂ ̂
G. Pengujian Parameter
