Tunjukkan bahwa † + 1 M5 † − 2 tidak komutatif!
1. Jika u M M − M ) − 4M M & >0 , maka W , adalah dua akar Real yang
berbeda maka solusi umumnya:
z=¡
: Ú{ + Û) +¡ - Ú{ + Û)
2. Jika u M M − M ) − 4M M & >0=0 , maka W=W maka solusi umumnya: z = Ú{ + Û) î : ´¡ : +¡ - Ü„ Ú{ + Û)µ
3. Jika u M M − M ) − 4M M & <0 , maka W , = α ± i β maka solusi umumnya:
z = Ú{ + Û) α ¸¡ : ¡¹ºÍβÜ„ Ú{ + Û)Î + ¡ - ºÉ„ βÜ„ Ú{ + Û))»
Contoh:
Tentukan persamaan karakterisik pada persamaan Cauchy-euler jika a=1 dan b=0! Penyelesaian:
persamaan Cauchy-Euler: M + b) HH + M M + b) H +M & =0
jika a=1 dan b=0, persamaan menjadi:
M) HH +MM) H +M & =0
persamaan karakteristik:
M W + M M − M )W + M & =0 M W + M M − 1)W + M & =0
Contoh: Tentukan penyelesaian PD berikut:
HH −4 H +6=0
Penyelesaian: misal solusi umum PD => í@ dengan = m5 persamaan karakteristik: W − 5W + 6 = 0, W = 2, W = 3 penyelesaian umum PD:
Contoh: Tentukan penyelesaian PD berikut:
Penyelesaian: misal solusi umum PD => í@ dengan = m5 persamaan karakteristik: W + 2W + 1 = 0, W , = −1 penyelesaian umum PD:
= 3 ´ + m5 )µ
Contoh: Tentukan penyelesaian PD berikut:
3 2 − 5) HH − 2 − 5) H +2=0
Penyelesaian: misal solusi umum PD => í@ dengan = m5 2 − 5)
persamaan karakteristik: 6W 2 − 7W + 1 = 0, W 1 = 1, W 2 =6 persamaan karakteristik: 6W 2 − 7W + 1 = 0, W 1 = 1, W 2 =6
Latihan Soal: Tentukan solusi umum PD Cauchy-Euler berikut:
1. HH − H −
2. HH + H −=0
3. HH −7 H + 16 = 0
HH + 12 H +3=0
5. HH +3 H +5=0
6. HH + 1,25 = 0
7. + 2) HH − + 2) H +=0
8. + 1) HH + 5 + 1) H +3=0
9. 2 − 3) HH + 7 2 − 3) H +4=0
10. 1 − ) HH −1−) H +=0
11. 2 1 − 2 ) HH + 11 2 − 1) H −2=0
4.7 PD Linier Homogen orde-n dengan Koefisien Konstan
Persamaan Diferensial Linier Homogen orde-n dengan koefisien konstan mempunyai bentuk umum:
M ) +M
3 +…+M H +M &
M≠0
Jika
adalah penyelesaian khusus PD Linier homogen, maka kombinasi liniernya juga penyelesaian PD Linier homogen, dirumuskan:
= + +…+ =ï ðð , , , … , = #5$ M5 M
Penyelesaian PD Linier homogen orde-n dengan substitusi
=> í sehingga
didapatkan persamaan karakteristik:
MW+M
+…+MW+M & =0
Untuk selanjutnya dengan teknik faktorisasi dapat ditentukan akar-akar persamaan karakteristik, yaitu:
MW+M
3 W +…+MW+M & =MW−W)W−W)…W−W)=0
Akar-akar persamaan karakteristik di atas dapat bernilai sama atau disebut akar rangkap (multiplicity). Dua kasus akar rangkap untuk solusi PD Linier Homegen orde-n, yaitu:
Kasus I. Jika Akar rangkap adalah r=bilangan riil, terdapat k penyelesaian bebas linier. k solusi bebas linier:
solusi umumnya:
z=¡ ¬ î{ +¡ {¬ î{ +…+¡ { —3: : - — ¬ î{
= #5$ M5 M > −
Kasus II. Jika Akar rangkap adalah r=bilangan komplek (r= α± i β ). terdapat k penyelesaian bebas linier.
k solusi bebas linier:
solusi umumnya:
z=¬ α { ¸¡ : ¡¹º β{ + ¡ - ºÉ„ β{) + { ¡ ó ¡¹º β{ + ¡ Ë ºÉ„ β{) + ⋯ +{ —3: ¡ —3: ¡¹º β{ + ¡ — ºÉ„ β{)µ
Contoh: Selesaikan persamaan diferensial berikut:
−3 ′′′ G)
Penyelesaian: persamaan karakteristik:
W ½ − 3W G + 3W − W = 0
akar-akar persamaan karakteristik W = W = 0, W = W G =W ½ =1
solusi bebas linier:
Jadi solusi umumnya:
+ G + ½ )>
Contoh: Tentukan penyelesaian PD berikut:
persamaan karakteristik:
W − 2W + W + 2 = 0
akar-akar persamaan karakteristik W = −1, W = 1, W = 2 solusi bebas linier:
Jadi solusi umumnya:
Contoh: Tentukan penyelesaian PD berikut:
G)
persamaan karakteristik:
W G − 4W + 14W − 20W + 25 = 0
akar-akar persamaan karakteristik W = W = 1 + 24, W = W G = 1 − 24
solusi bebas linier:
Jadi solusi umumnya:
=> #$ 2 ) + > #$ 2 ) + > $45 2 ) + G > $45 2 )
Latihan Soal: Tentukan penyelesaian umum PD berikut:
G)
3. G) −=0
G) ′′′ ′′
Untuk soal berikut tentukan solusi PD dengan syarat awal berikut: ′′′
G)
G) ′′
4.8 Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen
Prosedur umum penyelesaian PD Liner Tak Homogen adalah Langkah I
: Menentukan solusi umum PD Linier Homogen, ô )
Langkah II
: Menentukan solusi umum PD Linier Tak-Homogen, õ )
Langkah III
: Menentukan solusi umum PD, = ô )+ õ )
Contoh: Tentukan solusi umum PD berikut:
HH +=1
Langkah I : Menentukan solusi umum PD Linier Homogen.
HH +=0
solusi umum: ô =
Langkah II
: Menentukan solusi umum PD Linier Tak-Homogen.