Rataan Simpangan, Ragam, dan Simpangan Baku
1.6.3 Rataan Simpangan, Ragam, dan Simpangan Baku
Jika kita mempunyai data, x 1 , x 2 , ..., x n dengan rataan x , maka kita dapat menentukan selisih dari setiap data dengan x , sehingga diperoleh urutan data
baru:
( x 1 − x ),( x 2 −… x ), ,( x n − x )
Urutan data itu tentu ada yang positif atau negatif. Karena jarak atau selisih tidak membedakan nilai yang bertanda positif atau negatif, maka nilai data itu dapat kita ambil harga mutlaknya,
x 1 − xx , 2 −… x , , x n − x
Jika urutan data di atas kita jumlahkan kemudian kita bagi dengan ukuran data (n), akan kita peroleh apa yang disebut rataan simpangan (RS),
Matematika Kelas XI - IPS SMA Matematika Kelas XI - IPS SMA
x i : nilai data amatan ke-i n : ukuran data.
Untuk data terkelompok rataan simpangan dirumuskan dengan:
dengan: RS : rataan simpangan
x : rataan x i : titik tengah kelas interval ke-i
f i : frekuensi dari kelas interval ke-i Kelemahan dari nilai rataan simpangan adalah kita bekerja dengan bilangan
harga mutlak, sehingga kita tidak dapat membedakan data yang mempunyai rentang yang lebih besar dengan rentang yang kecil meskipun mempunyai rataan simpangan yang sama. Sebagai contoh,
rentang data adalah 11. Tetapi lain halnya,
yang mempunyai rentang 5. Untuk mengatasi kelemahan rataan simpangan, kita menggunakan
simpangan baku, yang dinotasikan dengan S. Kuadrat dari simpangan baku disebut ragam atau variansi.
Misalkan x adalah rataan dari kelompok data, x 1 ,x 2 , ..., x n , maka ragam atau variansi dari kumpulan data itu ditentukan oleh rumus:
dengan: S 2 : ragam atau variansi
x : rataan x i : nilai data amatan ke-i n : ukuran data
BAB I ~ Statistika
Sedangkan simpangan baku atau deviasi baku didefinisikan sebagai akar dari ragam, sehingga:
Untuk data terkelompok simpangan baku diberikan oleh:
∑ 2 fx ( − x )
dengan: S : simpangan baku
x : rataan x i : titik tengah kelas interval ke-i
f i : frekuensi kelas interval ke-i Contoh 1.6.1
Misalkan diketahui data tersebar:
35, 47, 39, 45, 40, 32, 42 Tentukan rataan simpangan, ragam, dan simpangan bakunya.
Penyelesaian: Dengan rumus (1.14), kita memperoleh rataan simpangan:
Sedangkan ragam yang dapat kita peroleh dari rumus (1.16) adalah:
2 (3240) − 2 + (35 40) − 2 + (39 40) − 2 + (40 40) − 2 + (4240) − 2 (45 40) − 2 + S (47 40) + − 2 = 168 = = 24 7 7
Jadi, simpangan bakunya adalah s= 2 4 = 4,9 .
Contoh 1.6.2 Hitung rataan simpangan dari kelompok data berikut.
Tabel 1. 46
Kelas Interval
Matematika Kelas XI - IPS SMA
Penyelesaian: Kita gunakan rumus (1.15) ,
Tabel 1.47
Kelas Interval
181 ∑ fx i i 1.770
∑ fxx i i − x 181 = = = 44,25 RS = 4, 525
f 40 =
∑ f i 40 Jadi, rataan simpangan adalah 4,525.
W Contoh 1.6.3
Tentukan ragam dan simpangan baku dari kelompok data pada Contoh 1.6.2. Penyelesaian:
Untuk menghitung ragam dan simpangan baku, kita gunakan rumus (1.18) ,
Tabel 1.48
2 Kelas Interval 2 f
1.147,4 Kita peroleh,
= 1.147,4 = 28,685 dan S = 5,36. Jadi, ragam (S 2
2 ∑ = fx i ( i − x )
) = 28,685 dan simpangan baku (S) = 5,36.
W Seperti pada perhitungan rataan yang dapat kita lakukan dengan
menentukan lebih dahulu rataan sementara, simpangan baku dapat pula kita hitung dengan cara ini. Dengan metode ini, kita gunakan rumus
dengan: S : simpangan baku
f i : frekuensi kelas interval ke-i
BAB I ~ Statistika
Contoh 1.6.4 Tentukan simpangan baku dari data pada Contoh 1.6.3 dengan rataan semen-
tara 42. Penyelesaian: Kita gunakan rumus (1.19),
Tabel 1.49
Kelas Interval
Jadi, simpangan bakunya adalah S = 5,36, yang sama seperti pada Contoh 1.6.3 W
Tugas Mandiri
Untuk menambah wawasan Anda tentang statistika lebih lanjut, kunjungilah: http://id.wikipedia.org/wiki/statistic
Latihan 1.6
1. Hitung rentang, simpangan kuartil, rataan simpangan, dan simpangan baku dari kelompok data berikut.
Tabel 1.50
a. Nilai
Frekuensi
Tabel 1.51
b. Tinggi
Banyak Anak 1 2 8 6 3 3 7
Matematika Kelas XI - IPS SMA
2. Hitung rataan simpangan dan simpangan baku dari data terkelompok berikut. Tabel 1.52Tabel 1.53
Kelas Interval
3. Hitung simpangan baku dari data-data pada soal no.2 dengan memakai rataan sementara.
4. Panjang papan diukur lima kali pengukuran dengan hasil pengukuran berbeda-beda, yaitu: 12,01 m, 11,97 m, 12,14 m, 11,97 m, 12,00 m. Tentukan interval yang memuat panjang papan sebenarnya.
5. Tentukan nilai data yang tidak konsisten dalam kelompoknya, dari kelompok data berikut ini.
a. 4, 5, 5, 7, 8, 4, 6, 6, 9, 3, 9, 12, 20, 10
b. 20, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 33, 32, 28, 29, 30, 30, 30
6. Tentukan nilai data yang tidak konsisten dalam kelompoknya, dari data pada soal no. 2.
7. Diberikan kelompok data berikut ini.
52 84 73 64 56 61 59 Buatlah diagram batang-daun untuk data di atas yang dilengkapi dengan kolom
frekuensi dan kolom frekuensi kumulatif.
8. Tabel 1.54-a menyajikan data nilai Ujian Kursus Bahasa Inggris dari 10 orang peserta pada Lembaga Kursus Pioner. Tabel 1.54-b adalah data nilai Ujian Kursus Bahasa Inggris dari 15 orang peserta pada Lembaga Kursus Pelopor.
Tabel 1.54-a
BAB I ~ Statistika
Tabel 1.54-b
a. Buatlah diagram batang-daun bersama untuk setiap kategori ujian Writing yang dicapai peserta kursus pada Lembaga Kursus Pioner dan peserta pada Lembaga Kursus Pelopor.
b. Ulangi pertanyaan pada soal (a), untuk nilai Reading.
c. Ulangi pertanyaan pada soal (a), untuk nilai Listening.
d. Dengan menggunakan diagram batang-daun yang Anda peroleh pada soal (a), (b), dan (c) di atas, hitunglah median-mediannya.
e. Seorang peserta dikatakan lulus kursus Bahasa Inggris apabila nilai untuk setiap kategori ujian nilainya tidak kurang dari 45. Berdasarkan ketentuan ini,
1) Berapa persen peserta dari Lembaga Kursus Pioner yang tidak lulus?
2) Adakah peserta dari Lembaga Kursus Pioner tidak lulus itu disebabkan oleh nilai Writing?
3) Berapa peserta Lembaga Kursus Pioner yang tidak lulus akibat nilai Listening?
4) Dari 15 peserta pada Lembaga Kursus Pelopor, adakah yang tidak lulus?
f. Berapakah nilai tertinggi yang dicapai untuk setiap kategori ujian untuk peserta pada Lembaga Kursus Pioner?
g. Ulangi pertanyaan (f) untuk peserta kursus pada Lembaga Kursus Pelopor.
h. Berapakah nilai terendah yang dicapai untuk setiap kategori ujian untuk peserta pada Lembaga Kursus Pioner?
i. Ulangi pertanyaan (h) untuk peserta pada Lembaga Kursus Pelopor.
Matematika Kelas XI - IPS SMA
9. Entertainment Berikut ini adalah data rating acara sinetron laga (dalam ribuan) dari stasiun TV
Merpati dan TV Rajawali selama tahun 2007.
Tabel 1.55
TV Rajawali Januari
Bulan
TV Merpati
a. Buatlah diagram kotak-garis bersama dari dua kelompok data tersebut.
b. Bandingkan karakteristik dari kelompok data tersebut.