TUGAS MATRIK 6

NAMA : RIDHO ICHWAN
NIM : 09121001027
KELAS : SK3A
1. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Secara geometris vector digambarkan sebagai segmen garis terarah atau
panah-panah di ruang-3. Arah panah menyatakan arah vector dan panjang
panah menyatakan panjangnya. Ekor panah dinamakan titik awal(initial
point) dan ujung panah menyatakan titik akhir(terminal point).
Contoh :

Titik awal vector u adalah A dan titik akhirnya adalah B, maka vector u dapat
ditulis: AB
Dua vektor u dan v disebut sama jika hanya jika kedua vector tersebut
mempunyai panjang dan arah yang sama. Vektor yang tidak mempunyai
panjang disebut vector nol (zero vector) ditulis: 0
Sifat: 0 + u = u + 0
Jika u adalah sembarang vector tak nol, maka –u adalah negative u
didefinisikan sebagai vector yang mempunyai panjang sama dengan u tetapi
arahnya berlawanan.
Sifat: u+ (-u) = 0
Jika u dan v adalah sembarang dua vector, maka jumlah u + v adalah

vector yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan v sehingga titik awalnya
berimpit dengan titik akhir u. vector u + v dinyatakan oleh panah dari titik
awal uterhadap titik akhir v. Pengurangan v dari u didefinisikan oleh: u–v = u
+ (-v). Jika u adalah sembarang vector dan k adalah bilangan riil yang tak
nol, maka hasil kali ku didefinisikan sebagai vector yang panjangnya ǀkǀ kali
panjang u dan arahnya sama dengan ujika k > 0 dan berlawanan dengan
ujika k < 0.
Seperti halnya vector dalam bidang dapat digambarkan oleh pasangan
bilangan riil, maka vector di ruang 3 dapat digambarkan oleh tripel bilangan
real. Jika vector v dilokasikan sedemikian sehingga titik awalnya berada

pada titik awal koordinat siku-siku, maka koordinat titik akhir vector v disebut
komponen-komponen v dan ditulis sebagai v= (v1,v2,v3)

Misal u= (u1,u2,u3) dan v= (v1,v2,v3) adalah vector di ruang 3, maka:
1. u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2dan u3 = v3
2. u + v= (u1,u2,u3) + (v1,v2,v3) = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
3. ku = (ku1,ku2,ku3)
4. u – v= (u1-v1, u2-v2, u3–v3)
Contoh: u= (1,-3,2), v= (4,2,1), maka:

u + v = (1,-3,2) + (4,2,1) = (1+4,-3+2,2+1) = (5,-1,3)
Jika suatu vector titik awalnya tidak dititik asal koordinat, misal vector AB
dengan titik awal A (x1,y1) dan titik akhir B (x2,y2) , maka:
AB = OB - OA = (x2,y2) – (x1,y1) = (x2-x1, y2- y1)
Dengan cara yang sama, untuk vector di ruang 3, jika A(x1,y1,z1) dan
B(x2,y2,z2), maka:
AB = OB - OA = (x2,y2,z2) – (x1,y1,z1) = (x2- x1,y2- y1,z2– z1)
Contoh:
Vector AB adalah vector dengan titik awal A = (2,-1,4) dan titik akhir B =
(7,5,-8), maka:
AB = (7,5,-8) – (2,-1,4) = (5,6,-12).
Besar Vektor Dalam Ruang

Perhatikan OL dan OP =
OL² = a² + b²
OP² = OL² + c²
OP² = [a² + b²] + c²
Maka : OP = √a² + b² + c²

Contoh :

r = 5i + 8j +1k
Maka |r| = √a² + b² + c²
= √5² + 8² + 10²
= √25 + 64 + 100
= √189 atau = 13,74

2. Operasi-opersi dalam vector
a) Penjumlahan vector
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang
yang sama ,maka vektor ( u + v ) didefinisikan sebagai vektor
yang titik awalnya = titik awal u dan titik akhirnya = titik akhir v
.
Perhatikan gambar pada contoh 4.1.1 . Misalkan u = AB dan v =
BC , jika vektor w didefinisikan sebagai w = u + v , maka w akan

memiliki titik awal = A dan titik akhir = C, jadi w merupakan
segmen garis berarah AC.
b) Perkalian vektor dengan scalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang =
0. Misalkan u

vektor tak nol dan k adalah skalar , k

∈ R . Perkalian vektor u

dengan scalar k , k u didefinisikan sebagai vektor yang
panjangnya u kali panjang u
dengan arah :
Jika k > 0

searah dengan u

Jika k < 0  berlawanan arah dengan u
Contoh 4.2.2
Y
2u
u
-2u

X

c) Perhitungan vector
Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen –
komponennya
adalah a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 )
Maka
a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )
a −b = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3 )
k . a = ( ka1, ka2, ka3 )

Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B =
( b1,b2,b3 )
maka
c = (b1   a1 , b2  a2, b3  a3 )
3. Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vector
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya
Diketahui a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 ) , Hasil kali titik antara
vektor
a dan b didefinisikan sebagai :
a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) +(a3.b3)
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan

sudut antara
dua vector
Diketahui a dan b dua buah vektor yang memiliki panjang berturut –
turut ||a||
dan ||b|| sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah
θ , sudut

θ

ini

terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor pada titik awal
yang sama.
Hasil kali titik antara vektor a dan b didefinisikan sebagai :
a . b = ||a|| ||b|| cos

θ ,

θ

 ∈ [ 0, π ]

Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.
Dengan mengetahui besarnya

θ , akan diketahui apakah hasil kali

titik akan
bernilai positif atau negatif
a . b 0   θ lancip , 0 ≤ θ  90o
a . b = 0  θ

a . b 0  θ

= 90o , a dan b saling tegak lurus
tumpul, 90o  θ ≤180o

Contoh 4.3.1
Diketahui a = ( 1, 3 ) dan b = ( 3k, 1 )

Tentukan nilai k agar a dan b saling tegak lurus !
Jawab
Agar a dan b saling tegak lurus, maka haruslah a . b = 0
a . b = 3k +3 = 0 =,k = 1
Panjang ( norm ) vektor dan jarak antara dua vector Panjang
vector
Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen
a = ( a1,a2,a3 ) didapatkan bahwa
a . a = a12,a22,a32 ……(1)
a.a=

||a|| ||a|| cos 0 ….(2) , dalam hal ini sudut antara a dan a

pastilah
bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit.
Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut :
||a||2 = a . a = ||a|| = ( a . a )1/2 =

√ a2 +a2 +a2