Metode Numerik Untuk Menentukan Harga Opsi Dengan Model Volatilitas Leland.
METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI
DENGAN MODEL VOLATILITAS LELAND
ARSYAD L
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Metode Numerik untuk
Menentukan Harga Opsi dengan Model Volatilitas Leland adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun
kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2015
Arsyad L
NIM G551130131
RINGKASAN
ARSYAD L. Metode Numerik untuk Menentukan Harga Opsi dengan Model
Volatilitas Leland. Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI
Salah satu hal penting dalam perdagangan opsi adalah penentuan harga jual
yang optimal. Teori penentuan harga opsi telah dikembangkan pada tahun 1973
oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah
penentuan harga opsi ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black
Scholes. Model Black scholes menggunakan beberapa asumsi, yang salah satunya
adalah tidak terdapat biaya transaksi. Model Black scholes tidak relevan sebab
pada kenyataannya terdapat biaya transaksi di pasar saham. Dengan memasukkan
biaya transaksi ke dalam model, Leland menunjukkan bahwa persaman diferensial
parsial (PDP) Black Scholes berubah menjadi persamaan diferensial parsial
taklinear. Selanjutnya dengan mengasumsikan biaya transaksi proporsional
dengan nilai uang dari aset yang dijual atau dibeli, Leland memodifikasi
persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes standar menjadi persamaan
diferensial parsial (PDP) Black Scholes taklinear.
PDP tak linier tersebut tidak mempunyai solusi analitik sehingga dibutuhkan
pendekatan metode numerik untuk menentukan solusi hampirannya. Pada
penelitian ini digunakan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi ruang
(harga saham) serta diskretisasi eksplisit dan implisit untuk diskretisasi waktu.
Pada penelitian ini dapat terlihat bahwa penggunaan metode beda hingga
upwind akan konvergen ketika menggunakan skema diskretisasi implisit terhadap
waktu. Skema diskretisasi ini terbukti monoton, konsisten dan stabil. Berdasarkan
hasil dari simulasi numerik, telah ditunjukkan bahwa orde kekonvergenan untuk
metode beda hingga upwind dengan model volatilitas Leland adalah sekitar 1.80
untuk opsi Call, 1.80 untuk opsi Put , 1.35 opsi Cash or Nothing, serta 1.84 untuk
opsi Butterfly.
Kata kunci: Harga opsi, Kekonvergenan, Metode beda hingga upwind, Model
volatilitas Leland, Persamaan differensial parsial takliniear.
SUMMARY
ARSYAD L. Metode Numerical Method for Determining The Price Of Option
With Leland Volatility Model. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and
ENDAR HASAFAH NUGRAHANI
One of the most important things in options trading is the determination of
the optimal sales price. Option pricing theory was developed in 1973 by Fisher
Black and Myron Scholes. They successfully formulated option pricing problems
into partial differential equations (PDE) form that called Black Scholes equation.
Black Scholes model uses several assumptions, one of which is there is no
transaction fee. Black-Scholes model is irrelevant because there is in fact the cost
of transactions in the stock market. Furthermore, assuming that the transaction
costs are proportionate to the value of money from assets being sold or purchased,
Leland modifies the standard equation into a nonlinear partial differential equation
(PDE).
Nonlinear PDE is hardly to solve by analytic method. Therefore Numerical
methods may be needed to determine the solutions. In this study we use upwind
finite difference method for discretizing space (stock price) and the implicit
discretization for discretizing time.
In this study, it can be seen that the use of upwind finite difference method
will converge when using implicit discretization scheme. The convergence is
shown by proving that the discretization is monotone, consistent and stable. Using
numerical simulations, it can be seen that the order of convergence for this
methode is about 1.80 for a call option and put option, 1.35 for cash or nothing
option, and 1.84 for butterfly option.
Keywords: Option value, Leland volatility model, Upwind finite difference
methode, Convergence, Nonlinear partial diferencial equation.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI
DENGAN MODEL VOLATILITAS LELAND
ARSYAD L
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis:
Dr Ir IGP Purnaba, DEA
Judul Tesis
: Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model
Volatilitas Leland
Nama
: Arsyad L
NIM
: G551130131
Program Studi : Matematika Terapan
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr. Donny C. Lesmana MFinMath
Ketua
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 9 September 2015
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan januari 2015 ini ialah
keuangan, dengan judul Metode Numerik untuk Menentukan Harga Opsi dengan
Model Volatilitas Leland
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Lahmuddin dan Ibu Baeyana selaku orang tua penulis.
2. Dr Donny C. Lesmana MFinMath selaku Ketua Komisi Pembimbing.
3. Dr Ir Endar H. Nugrahani MS selaku Anggota Komisi Pembimbing.
4. Dr Dr Ir IGP Purnaba, DEA selaku Penguji Luar Komisi Pembimbing.
5. Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan.
6. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pendidikan Pascasarjana dalam Negeri (BPP-DN).
7. Seluruh keluarga yang selalu memberi dorongan dan doa untuk keberhasilan
studi penulis.
8. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2013 di Program Studi S2 Matematika Terapan.
9. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga semua bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapatkan balasan dari Allah subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.
Bogor, November 2015
Arsyad L
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sekuritas
Teori Tentang Opsi
Faktor-faktor yang Memengaruhi Harga Opsi
Lemma Ito’
Proses Harga Saham
Persamaan Black-Scholes Standar
Model Volatilitas Leland
Metode Beda Hingga Upwind
Metode Iterasi Newton-Raphson
Matriks M
Solusi Viskositas
2
2
2
3
4
5
5
7
7
8
8
9
3 METODE PENELITIAN
9
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Syarat Awal dan Syarat Batas
Diskretisasi Implisit
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi
Simulasi Numerik
9
9
10
12
15
17
5 SIMPULAN
23
DAFTAR PUSTAKA
23
LAMPIRAN
25
RIWAYAT HIDUP
30
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi call
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi put
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi cash or nothing
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi butterfly
22
22
22
23
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
Harga dari opsi call Eropa dengan M =
dan N = .
Harga dari opsi call Eropa dengan M =
dan N =
.
Harga dari opsi put Eropa dengan M =
dan N = .
Harga dari opsi put Eropa dengan M =
dan N =
.
Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan M =
dan N =
Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan M =
dan N =
Harga dari opsi butterfly Eropa dengan M =
dan N = .
Harga dari opsi butterfly Eropa dengan M =
dan N =
.
.
.
18
18
19
19
20
20
21
21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks program untuk diskretisasi eksplisit
2 Sintaks program untuk diskretisasi implisit
25
26
1. PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pasar modal memiliki peran penting bagi perekonomian suatu negara karena
menjalankan dua fungsi. Fungsi yang pertama adalah sebagai sarana bagi
pendanaan usaha atau sebagai sarana bagi perusahaan untuk mendapatkan dana
dari masyarakat pemodal (investor). Dana yang diperoleh dari pasar modal dapat
digunakan untuk pengembangan usaha, ekspansi, penambahan modal kerja dan
lain sebagainya. Kemudian, fungsi yang kedua adalah menjadi sarana bagi
masyarakat untuk berinvestasi pada instrumen keuangan seperti saham, obligasi,
reksa dana, dan lain-lain. Dengan demikian, masyarakat dapat menempatkan dana
yang dimilikinya sesuai dengan karakteristik keuntungan dan risiko masingmasing instrumen.
Peran pasar modal dalam pembangunan perekonomian bangsa ataupun
pembangunan nasional dapat membawa keuntungan yang sangat besar jika
dilakukan dalam koridor yang baik, adil, benar, dan efisien. Keikutsertaan
masyarakat investor melalui instrumen pasar modal menjadi harapan bersama
untuk memberikan sumbangan bagi pembangunan ekonomi secara nasional.
Produk-produk yang diperdagangkan pada industri pasar modal mengalami
perkembangan yang sangat pesat. Jika dulu hanya ada produk dasar seperti saham
dan obligasi, sekarang juga meliputi produk turunannya (derivatif). Salah satu
produk derivatif yang sering diperdagangkan adalah opsi.Opsi adalah suatu
kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli
atau menjual suatu aset tertentu dengan harga dan waktu yang telah ditentukan
(Zhao 2007).
Hal terpenting dalam perdagangan opsi adalah penentuan harga jual yang
optimal. Teori penentuan harga opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh
Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan
harga opsi ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes.
Model ini menggunakan beberapa asumsi, yang salah satunya adalah tidak
terdapat biaya transaksi (Black & Scholes 1973).
Model Black Scholes standar tidak relevan sebab pada kenyataannya
terdapat biaya transaksi di pasar saham. Adanya biaya transaksi akan
memengaruhi harga suatu opsi (Company et al. 2008). Dengan memasukkan
biaya transaksi ke dalam model, Leland (1985) menunjukkan bahwa persaman
diferensial parsial (PDP) Black Scholes berubah menjadi persamaan diferensial
parsial tak linear.
Akibat adanya biaya transaksi, volatililitas dari harga saham menjadi tidak
konstan dan merupakan fungsi dari turunan kedua opsi terhadap harga saham. Hal
itu menyebabkan PDP menjadi tidak linear. PDP tak linear tersebut tidak
mempunyai solusi analitik sehingga dibutuhkan pendekatan metode numerik
untuk menentukan solusi hampirannya.
Beberapa pendekatan secara numerik dapat dilakukan untuk menentukan
harga opsi yaitu dengan metode beda hingga (finite difference method), metode
elemen hingga, metode volume hingga (finite volume method) (Zhang & Wang
2009), dan lain-lain. Pada penelitian ini akan dikembangkan metode beda hingga
upwind (Lesmana & Wang 2013).
2
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah:
1. mengembangkan metode numerik untuk mencari harga opsi ketika terdapat
biaya transaksi. Metode tersebut didasarkan pada metode implisit untuk
diskretisasi waktu, serta metode beda hingga upwind untuk diskretisasi ruang
(harga saham).
2. menentukan orde kekonvergenan dari metode beda hingga upwind.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Sekuritas
Definisi 2.1 Sekuritas Primitif
Sekuritas primitif (primitive security) adalah instrumen seperti saham atau
obligasi yang pembayarannya hanya bergantung pada status keuangan pihak
penerbit (Bodie et al. 2003).
Definisi 2.2 Sekuritas Derivatif
Sekuritas derivatif (derivative security) dibentuk dari perangkat sekuritas primitif
yang menghasilkan imbal hasil yang bergantung pada faktor-faktor di luar
karakteristik pihak penerbit dan mungkin dikaitkan dengan harga aset lain (Bodie
et al. 2003).
Teori Tentang Opsi
Definisi 2.3 Opsi
Opsi pada suatu aset adalah suatu kontrak antara dua pihak, yang memberikan
hak, tetapi bukan kewajiban, untuk melakukan jual atau beli aset pada harga
tertentu yang disebut strike price atau exercise price dan dalam jangka waktu
tertentu (jatuh tempo).
Berdasarkan jenisnya opsi dibagi menjadi dua yaitu opsi call dan opsi put.
Definisi 2.4 Opsi Call
Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset pada
harga eksekusi pada saat atau sebelum tanggal jatuh tempo (maturity) yang
ditentukan.
Definisi 2.5 Opsi Put
Opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan
harga eksekusi tertentu pada saat atau sebelum tanggal jatuh temponya.
Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi Eropa (European
option) dan opsi Amerika (American option).
3
Definisi 2.6 Opsi Eropa
Opsi Eropa (European option) adalah opsi yang memberikan hak kepada
pemegangnya untuk membeli atau menjual underlying asset dengan harga tertentu
hanya pada waktu jatuh tempo.
Definisi 2.7 Opsi Amerika
Opsi Amerika (American option) memberikan hak kepada pemegangnya untuk
membeli atau menjual underlying asset pada harga tertentu pada saat atau sebelum
waktu jatuh tempo.
Faktor-faktor yang Memengaruhi Harga Opsi
Harga opsi dipengaruhi oleh berbagai faktor, di antaranya adalah harga aset
yang mendasari, harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga
bebas risiko.
a. Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi
Harga aset yang mendasari (saham) adalah harga jual atau beli yang
berlaku pada pasar dari perdagangan aset yang mendasari (saham). Harga
eksekusi merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak
opsi, biasa juga disebut sebagai harga exercise atau harga strike.
b. Tanggal jatuh tempo
Semakin lama waktu jatuh tempo maka semakin tinggi nilai dari suatu
opsi call, karena semakin besar nilai waktunya. Sementara nilai waktu (time
value) akan menurun ketika mendekati masa jatuh tempo dengan begitu nilai
dari opsi call juga akan menurun. Demikian juga dengan opsi put, semakin
lama waktu jatuh tempo semakin tinggi nilai dari opsi put, karena semakin
besar nilai waktunya. Nilai waktu akan menurun ketika mendekati waktu jatuh
tempo, oleh karena itu harga opsi put akan turun nilainya ketika mendekati
waktu jatuh tempo.
c. Volatilitas
Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai penyimpangan harga aset dari nilai harapan aset yang
mendasari tersebut di masa datang. Jika volatilitas meningkat maka akan
meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan
atau penurunan terhadap suatu opsi.
d. Suku Bunga Bebas Risiko (Risk Free Interest Rate)
Suku bunga bebas risiko memengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat
suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan, maka akan
mempengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini
saham). Dengan mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi
put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu
pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan
peningkatan suku bunga bebas risiko.
Untuk memodelkan persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan
beberapa istilah berikut:
4
Definisi 2.8 Proses Stokastik
Proses stokastik
={
, ∈ } adalah suatu koleksi (gugus, himpunan, atau
kumpulan) dari peubah acak (random variables). Untuk setiap t pada himpunan
indeks H, W(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai
waktu (Ross 1996).
Definisi 2.9 Gerak Brown
Proses stokastik
={
, ∈
persyaratan berikut (Ross 1996):
1.
=
2. Untuk
<
<
<
, , , … , saling bebas.
3. Untuk setiap
> ,
variansi � .
} disebut gerak Brown jika memenuhi
<
peubah acak
−
−
, =
berdistribusi normal dengan rataan 0 dan
Definisi 2.10 Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).
Definisi 2.11 Proses Wiener Umum
Proses Wiener Umum (Generalized Wiener Process) untuk suatu peubah acak S
dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2006):
=
+
(1)
disebut sebagai komponen deterministik dan
menyatakan komponen
stokastik, serta
adalah proses Wiener, sedangkan dan masing-masing
menyatakan rataan dan standar deviasi dari S.
Definisi 2.12 Proses Ito’
Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi
dari peubah acak S dan waktu t. Secara aljabar proses Ito’ dapat dinyatakan
sebagai berikut (Hull 2006):
=
,
+
,
(2)
Lemma Ito’
Lemma 2.1
Misalkan fungsi
�,
merupakan fungsi kontinu yang dapat diturunkan secara
�� �� � �
parsial terhadap x dan t, yaitu , �� , �� ada. Selanjutnya didefinisikan persamaan
�
differensial stokastik dari variabel � dengan drift rate �, dan variansi rate
�, ,
�=
�,
di mana
merupakan gerak Brown,
fungsi �, akan mengikuti proses:
+
dan
�,
(3)
adalah fungsi dari x dan t, maka
5
={
�
��
�,
+
�
+
�
�,
�
}
��
Proses Harga Saham
+
�,
�
��
(4)
Harga saham merupakan variabel stokastik, karena harga saham pada waktu
yang akan datang tidak bisa ditentukan sekarang. Harga saham dapat dipengaruhi
oleh faktor-faktor yang tidak dapat ditentukan secara pasti. Faktor-faktor ini
dipandang sebagai komponen stokastik yang tidak dapat ditentukan sebelumnya.
Oleh karena itu, perubahan harga saham dapat dipandang sebagai persamaan
diferensial stokastik berikut:
= �
+ �
.
(5)
dengan � dan � sebagai konstanta yang berturut-turut menyatakan ekspektasi dari
return dan volatilitas saham. Persamaan ini juga dikenal sebagai model
pergerakan harga saham.
Selanjutnya dari Lemma Itô, diketahui bahwa sebuah fungsi (S,t) akan
mengikuti proses:
�
�
�
�
(6)
= �
+
+ �
+ �
.
�
�
�
�
Solusi dari persamaan (5) adalah:
=
exp { � −
�
+ �
}.
(7)
dengan , , �, �, dan T berturut-turut adalah harga saham pada awal kontrak,
harga saham pada akhir kontrak, tingkat suku bunga bebas resiko, volatilitas harga
saham dan waktu sampai dengan jatuh tempo.
Persamaan Black-Scholes Standar
Fischer Black dan Myron Scholes (1973) dalam merumuskan nilai suatu
opsi mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:
1. Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu
jatuh tempo.
2. Dimungkinkan adanya short selling terhadap aset (saham) yaitu menjual
aset tanpa harus memiliki aset terlebih dahulu.
3. Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
4. Tidak terdapat peluang arbitrage.
5. Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
6. Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang lognormal.
7. Tidak ada biaya transaksi dalam pembelian atau penjualan aset atau opsi
dan tidak ada pajak.
Misalkan
, menyatakan harga opsi pada harga saham S dan pada
waktu t, serta dari persamaan (5) diketahui bahwa perubahan harga saham S
bergerak mengikuti proses
6
= �
+ �
.
Berdasarkan Lemma Ito’, proses untuk U yang berubah pada interval waktu dt
yang sangat kecil adalah
,
=
�
�
+
+
�
�
�
�
Versi diskret dari persamaan (5) dan (9) adalah
dan
∆ =
�
�
�
∆ = � ∆ + � ∆
�
�
+
+
�
�
�
�
.
(8)
(9)
�
�
�
+ �
∆ + �
�
∆ ,
�
(10)
di mana ∆ dan ∆ adalah perubahan harga saham S dan harga opsi U pada
selang waktu ∆ . Adapun ∆ pada persamaan (9) dan (10) adalah proses Wiener
yang didefinisikan sebagai ∆ = √∆ karena proses Wiener pada persamaan
(9) dan (10) adalah sama. Selanjutnya dipilih sebuah portofolio dari saham S dan
opsi U sehingga proses Wiener ∆ dapat dihilangkan.Portofolio tersebut adalah
�
saham. Pemegang portofolio ini akan menjual satu opsi dan
− opsi dan +
�
membeli saham sebanyak
dengan
�
�
. Nilai dari portofolio tersebut adalah sebesar x,
�
�=− +
.
�
Perubahan nilai portfolio ∆�, dalam selang waktu ∆ adalah
�
∆� = −∆ +
∆ .
�
Substitusi (9) dan (10) ke dalam (12), menghasilkan
∆� = −
�
�
− �
�
∆ .
�
(11)
(12)
(13)
Portofolio ini dikatakan tidak berisiko karena tidak ada faktor ketidakpastian.
portofolio ini mempunyai pendapatan yang sama dengan aset yang bebas risiko.
Perubahan nilai portofolio bebas risiko dapat dinyatakan dengan ∆� = �∆ , dengan
r adalah suku bunga bebas risiko. Dengan menggunakan persamaan (11) dan ∆� =
�∆ ke persamaan (13) diperoleh
(
−
�
�
)∆ =
�
�
+ �
�
�
∆
�
�
�
+
+
−
= .
�
�
�
Persamaan (15) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes standar.
Dengan melakukan transformasi � = − , maka
� ��
�
�
=
= −
�� �
��
�
sehingga persamaan (15) dapat dituliskan sebagai berikut:
�
(14)
(15)
(16)
7
�
�
�
�
− �
��
+
�
�
�
�
−
−
�
��
�
+
�
−
(17)
= .
= .
(18)
Model Volatilitas Leland
Seperti yang dijelaskan sebelumnya volatilitas menyatakan tingkat risiko
penyimpangan harga suatu aset dari nilai harapannya. Semakin besar nilai
volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin
kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut
(Morgenson dan Harvey 2002).
Volatilitas harga saham bisa berupa konstanta atau merupakan sebuah
fungsi. Pada saat terdapat biaya transaksi, volatilitas harga saham tidak konstan
tapi merupakan fungsi dari turunan kedua harga opsi terhadap harga saham.
Selanjutnya dengan mengasumsikan biaya transaksi proporsional dengan
nilai uang dari aset yang dijual atau dibeli, Leland memodifikasi persamaan
diferensial parsial (PDP) Black Scholes menjadi persamaan diferensial parsial
(PDP) Black Scholes tak linear
dengan �=
�
=
�
+
−
,
− dan volatitas termodifikasi sebagai berikut
� =�
+√
�
�
√�
Sign
(19)
,
di mana σ adalah volatilitas termodifikasi, k adalah biaya transaksi dan
periode transaksi (Leland 1985).
(20)
adalah
Metode Beda Hingga Upwind
Metode beda hingga upwind adalah suatu metode numerik untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear dengan cara
mengkombinasikan metode beda hingga maju dan beda hingga mundur untuk
diskretisasi ruang (harga saham).
Persamaan Black-Scholes taklinear akan diaproksimasi dengan diskretisasi
harga dan waktu. Untuk diskretisasi harga, misalkan = , �� dibagi menjadi
sub-interval, di mana
= , ,…., −
= , + ,
dengan =
< < <
= �� , dan untuk setiap = , , … . , −
dimisalkan ℎ = + − . Untuk diskretisasi waktu, misalkan � = ,
dibagi
menjadi sub-interval, di mana
= , ,…., −
� = � ,� + ,
dengan
= � ,
<
| |+| |
(40)
+
Untuk matriks
, dari persamaan (34) - (36) dapat dilihat bahwa syarat
maka:
(39) terpenuhi. Selanjutnya syarat (40), karena
dan ∆�
+
|
+
|+|
+
|+ +
�
∆��
12
=(
Dari definisi
| + |+| + |
) dan berdasarkan (41), diperoleh:
,
≠ ,
−
> ,
> ∑|
=
(41)
|
Dengan demikian,
merupakan matriks-M karena matriks tridiagonal
memiliki diagonal utama yang bernilai positif dan dua diagonal di atas dan di
bawah diagonal utama bernilai negatif.
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Barles (1997) telah menunjukkan bahwa metode numerik dikatakan
konvergen ke solusi viskositas jika metode tersebut terbukti konsisten, stabil dan
monoton. Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa skema diskretisasi metode
beda hingga upwind yang digunakan memenuhi syarat konvergen tersebut.
Untuk
− dan
− didefinisikan suatu fungsi +
di mana
+
+
(
+
+
,
+
−
,
,
)= −
�
ℎ
−
∆��
ℎ
+
+
+
�
∆��
+
Γ
+
ℎ
Γ
+
+
.
+
−
(42)
Kemonotonan
Skema diskretisasi (33) akan ditunjukkan monoton melalui Lemma 4.1.
Lemma 4.1
Skema diskretisasi pada persamaan (33) monoton yaitu untuk sembarang >
dan = , , … , − ,
+
+
+
+
+
+
+
+
(43)
(
, + + , − + ,
+ )
(
, + , − , )
dan
+
+
+
+
+
+
+
+
(44)
(
, + , − , )
(
, + + , − + ,
+ )
Bukti:
+
=−
−
Karena −
ℎ
�
ℎ
+
+
�
,
+
+
∆�
+
>
∆�
�
+
dan
+
+
ℎ
.
+
∆�
ℎ
−
+
(45)
∆�
> , maka tiga bagian pertama pada
+
+
ruas kanan dari persamaan (42) secara berturut-turut taknaik terhadap
+
terhadap
dan turun terhadap .
=
Misalkan
, ,…,⏟, ,…,
Berdasarkan definisi
(
+
+
−
+
′
−
adalah suatu matriks berukuran
, diperoleh
+
)
=
ℎ
=
ℎ
(
+
−
+
−
+ )−
+
ℎ
ℎ
−
ℎ
(
+
+
)+
+
ℎ
ℎ
(
+
+
, naik
× .
+
+
+
+ )
ℎ
13
=(
= Γ
dan
(
+
+
)
=
ℎ
=
+
(
ℎ
=(
= Γ
Lebih
lanjut
+
− � Γ
Γ +
volatilitas Leland, yaitu
diperiksa
, dimana
+√
� =�
Misalkan C = √
�
�
+
+
+
ℎ
+
+
− )−
ℎ
+
−
−
ℎ
+
)
tanda
� Γ
�
�
)
√�
−
(
ℎ
�
,� � − �
+
+
−
ℎ
.
+ )+
+
ℎ
ℎ
ℎ
(
+
+
+
+
)
(47)
sign
.
, dan 0 C
� > >�
+ � +
− � >
={
� > >�
−
� −� − � <
sign � > , untuk 0 C dan = , , … , − diperoleh
gabungan bagian linear dan bagian taklinear dari persamaan (50) sebagai berikut:
+
+
,
= −
ℎ
+
+
− �
+ ,
+
+
+
+
+ ,
+
+
,
+
−
+ ,
+
+√
+
+
,
+
+
−
∆��
dengan cara yang sama diperoleh
+
+
= (−
ℎ
)
,
+
+
+
−
,
+
+
� √
,
.
ℎ
+
+
sign
+(
+
+ )
∆�
ℎ
−
∆��
(
+
+
+
−
+
∆�
+
ℎ
)
14
− �
+
+
+√
+
+
,
� √
+
−
,
sign
.∎
,
+
(
−
)
ℎ
Kestabilan
Skema diskretisasi (33) akan ditunjukkan stabil melalui Lemma 4.2
Lemma 4.2
′
+
+
di mana
Untuk setiap = , , … , − , misalkan + =
, (̂ + ) ,
+
+
̂
adalah solusi dari (38), maka
memenuhi
+
∥
∥∞
�{∥
∥∞ , ∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ }
dengan � , � dan � adalah syarat awal dan syarat batas (27– 29) dan ‖. ‖∞
adalah norma ∞ .
Bukti:
Untuk sembarang
berikut:
+
+
=−
|
−
− , persamaan (33) dapat dituliskan sebagai
+
+
−
−
+
|−
+
+
+
untuk tiap
− . Perlu diingat kembali bahwa
+
> .
Dari bentuk di atas diperoleh:
+
untuk
Jika ∥
+
+
dengan =
|
+
−
− .
∥∞ = | + | untuk
‖
+
‖∞
menjadi:
+
−
+
dengan demikian, karena
pertidaksamaan berikut ini:
‖
+
+
‖∞
+
‖
+
+
+
‖∞ −
∈ { , ,…,
+
+
+
/∆�
−
+
‖
‖
+
+
−
|
+
+
<
+
+
dan
+
‖
‖
+
+
∆�
+
|+
+
+
< ,
∆�
‖∞ +
|
∆�
|
‖
<
dan
‖∞
− }, maka persamaan berikut:
+
‖∞ −
‖
+
|
+
+
‖
‖∞
+
‖∞ +
∆�
‖
‖∞
‖ ‖∞
∆�
< maka diperoleh bentuk
‖∞
‖
‖∞
(48)
‖∞
‖ ‖∞ ‖� ‖∞ .
‖∞ = | + | atau ‖ + ‖∞ = | + |maka berdasarkan
Selanjutnya jika ‖
persamaan (28), (29) dan (37) dapat dilihat bahwa:
(49)
�{∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ }
∥ + ∥∞
�{| + |, | + | }
Dengan menggabungkan (36) dan (37), diperoleh:
∥ + ∥∞
�{∥
∥∞ , | + |, | + |}
�{∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ }. ∎
Diskretisasi (33) terbukti stabil.
+
15
Kekonsistenan
Skema diskretisasi (33) akan ditunjukkan konsisten melalui Lemma 4.3.
Lemma 4.3
Skema diskretisasi (33) konsisten.
Bukti:
Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten untuk
masalah nilai awal yang diberikan (Strikwerda 1989). ∎
Teorema 4.2 Kekonvergenan
Skema diskretisasi (33) konvergen ke solusi (19) dengan syarat batas (27) - (29)
ketika ℎ, ∆� → .
Bukti:
Barles (1997) membuktikan bahwa jika suatu diksretisasi dari PDP taklinear orde2 konsisten, stabil dan monoton, maka konvergen ke solusi viskositas. Karena
diksretisasi (33) terbukti konsisten, stabil dan monoton, maka diskretisasi (33)
konvergen. Teorema 4.5 merupakan akibat dari Teorema 4.2, 4.3 dan 4.4. ∎
Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi
Untuk menyelesaikan sistem taklinear skema diskretisasi (38) disusun
sebuah metode iterasi pada setiap langkah waktu. Diketahui diskretisasi (38)
berbentuk
+
+
Misalkan
+
+
=
+
+
+
komponen ke-i dari
+
�
+
=
−
+
dengan
dan
dinotasikan sebagai
+
+
+
+
+
=
[
+
̂
+
= (�
+
∆�
̂
+
+
+
+
+
+
+
−
=
∆��
̂ −
−
+
+
̂ +
,�
+
+
+
+
+
+
,
= , dengan
+
+
−
,…,�
+
+
didefinisikan pada (37). Matriks Jacobi dari
+
, dengan
+
+
+
+
+
…
…
…
⋱
…
…
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
=
−
−
−
+
∆��
)
∙
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
−
]
16
�� �+
+
di mana
=�
untuk semua dan . Dengan menggunakan persamaan
�+
(21) - (23), dan (20), serta menggunakan notasi Lemma 4.1, diperoleh persamaan
untuk turunan berikut
+
,−
=
+
+
,−
=
+
+
=
=
+
+
,−
+
−
+
−
�
(
+
�
�
+
−
ℎ
+
−
−
ℎ
= +
Dengan cara yang serupa, diperoleh
,
+
,+
+
=
= ̂
4.
5.
+
+
+
ℎ
�
�
+
+
+
+
−
)
��
��
� �+
−
, diberikan algoritma metode Newton
, evaluasi syarat awal ̂ =
+
Hitung
+
+
−
+
+
Menggunakan matriks Jacobi
sebagai berikut
Algoritma 1
1. Pilih > . Untuk
menggunakan (37).
2. Ambil = dan
3. Selesaikan
+
�
�
+
+
+
=−
+
untuk
,…,
−
,
.
=
+
‖∞
Jika ‖
, set : = + dan kembali ke langkah 3. Jika sebaliknya,
lanjutkan ke langkah berikutnya.
+
. Jika < − . Set : = + dan kembali ke
Tentukan ̂ + =
langkah 2. Jika sebaliknya berhenti.
+
Dengan menggunakan matriks Jacobi
, diperoleh Teorema 3 berikut.
Teorema 4.3
Untuk sembarang + dengan = , , . , − , + adalah matriks M.
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema 3, harus ditunjukkan bahwa
,−
Untuk matriks
,−
=
+
+
=−
< ,
,
> ,
| ,− |+|
,
, diperoleh
�
Hal yang sama untuk
ℎ
+√
,+
,+
� √
|.
< ,
Sign
(50)
(51)
< .
17
,
=
=
,+
+
∆�
=
=−
+
+
ℎ
ℎ
−
�
+ +
�
ℎ
ℎ
+√
Selanjutnya karena
>
+√
�
dan
,
+
�
∆��
=|
|
+
,−
+
,−
untuk sembarang
= , ,…,
+
. Oleh karena itu, matriks
− ,
Sign
√�
>
� √
|+|
−
+
+
,+
+
,+
> .
< .
maka
|+|
Sign
|+ +
|.
∆�
,
dengan ketentuan bahwa
adalah matriks M. ∎
,
+
=
=
Sistem linear pada langkah 3 dari Algoritma 1 biasanya berskala besar dan
teorema di atas menjamin bahwa sistem linear tersebut memiliki solusi khusus.
Solusi untuk sistem linear dengan dekomposisi LU atau metode iteratif akan stabil
secara numerik.
Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan disajikan hasil pendekatan numerik dari empat jenis
harga opsi tipe Eropa untuk melihat perilaku dan kekonvergenan dari metode beda
hingga upwind baik dengan skema eksplisit maupun implisit. Pada simulasi
numerik ini akan ditentukan derajat kekonvergenan dari metode iteratif untuk
penyelesaian persamaan taklinear dengan memilih serangkaian mesh yang
dibangkitkan dengan membagi-dua parameter mesh pada iterasi sebelumnya.
a) Opsi call
1. Perhitungan harga opsi call menggunakan parameter
= , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 1.
18
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 1 Harga dari opsi call Eropa dengan
=
dan
=
.
2. Perhitungan harga opsi call menggunakan parameter = , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar
2.
(a) Skema eksplisit
Gambar 2 Harga dari opsi call Eropa dengan
(b) Skema implisit
=
dan
=
.
Dengan memasukkan nilai parameter, dapat dilihat hubungan antara harga
opsi call, harga saham dan waktu. Pada Gambar 1 terlihat hasil dari skema
implisit dan eksplisit tidak jauh berbeda. Pada Gambar 2, setelah jumlah
partisinya diperbesar maka hasil yang ditampilkan jauh berbeda antara skema
ekplisit dan implisit, yaitu skema eksplisit menjadi tidak stabil.
b) Opsi put
1. Perhitungan harga opsi put menggunakan parameter = , , � = , ,
= ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan = .
�� =
Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 3.
(a) Skema eksplisit
Gambar 3 Harga dari opsi put Eropa dengan
(b) Skema implisit
=
dan = .
19
2. Perhitungan harga opsi put menggunakan parameter = , , � = , ,
= ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan = .
�� =
Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 4.
(a) Skema eksplisit
Gambar 4 Harga dari opsi put Eropa dengan
(b) Skema implisit
=
dan =
.
Gambar 3 dan 4 memperlihatkan hubungan antara harga opsi put, harga
saham dan waktu dengan menggunakan parameter yang sama pada perhitungn
opsi call. Seperti yang terjadi pada opsi call dari Gambar 3 dapat dilihat untuk
opsi put perbedaan yang terjadi pada kedua skema yang digunakan tidak
signifikan. Pada Gambar 4, karena metode eksplisit tidak stabil maka hasilnya
memiliki pola yang tidak beraturan.
c) Opsi cash or nothing
1. Perhitungan harga opsi cash or nothing menggunakan parameter = , ,
� = , , = ,
= ,
, k = 0,01 , = 0,02, =
dan
�� =
= . Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada
Gambar 5.
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 5 Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan =
dan
= .
20
2. Perhitungan harga opsi cash or nothing menggunakan parameter = , ,
� = , , = ,
= ,
, k = 0,01 ,
= 0,02, =
dan
�� =
= . Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada
Gambar 6.
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 6 Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan =
dan
=
.
d) Opsi butterfly
1. Perhitungan harga opsi butterfly menggunakan parameter = , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0,01 ,
= 0,02, =
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 7.
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 7 Harga dari opsi butterfly Eropa dengan =
dan =
.
2. Perhitungan harga opsi butterfly menggunakan parameter = , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0.01 ,
= 0,02, =
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 8.
21
(a) Skema eksplisit
Gambar 8 Harga dari opsi butterfly dengan
(b) Skema implisit
=
dan =
.
Dari Gambar 1-8 dapat dilihat untuk semua jenis opsi call. put, cash or
nothing dan butterfly pada saat
=
=
hasil yang diperlihatkan
metode eksplisit dan implisit tidak jauh berbeda. Namun ketika jumlah partisinya
diperbesar menjadi
=
=
perbedaan yang terjadi antara kedua
metode tersebut sangat signifikan, hal ini di sebabkan karena metode ekplisit tidak
stabil sehingga polanya tidak beraturan untuk partisi yang lebih besar.
Selanjutnya akan dihitung orde kekonvergenan metode tersebut dengan
membandingkan solusi eksaknya. Dalam menghitung orde kekonverenan metode
tersebut, dipilih serangkaian mesh yang dibangkitkan secara berurutan dengan
membagi dua ukuran mesh sebelumnya. Karena solusi eksak tidak diketahui,
maka digunakan solusi numerik dari mesh seragam dengan ℎ = ,
,
=
dan ∆� = ,
,
=
sebagai solusi “eksak”, dilambangkan
dengan � � . Selanjutnya dengan menggunakan solusi “eksak” tersebut,
dihitung rasio dari solusi numerik dari mesh yang berurutan dengan
‖ h∆τ − eksak ‖∞
Rasio =
⁄
‖ h∆τ⁄ − eksak ‖
∞
di mana ℎ∆� adalah solusi pada mesh dengan ℎ ukuran mesh saham dan ∆� ukuran
mesh waktu, serta
, � |.
‖ ℎ∆� − � � ‖∞ ≔
max | − � �
≤≤ ; ≤ ≤
Untuk orde kekonvergenan metode numeriknya dihitung dengan
Orde kekonvergenan = rata-rata rasio
Tabel 1 Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi call
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
0,6848
11
6
0,3821
1,79
21
11
0,2121
1,80
41
21
0,1219
1,74
81
41
0,073
1,67
161
81
0,0442
1,65
321
161
0,0253
1,75
641
321
22
0,0114
2,22
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 1 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi call adalah sekitar 1,80 .
Tabel 2 Hasil perhitungan norma dan rasio opsi put
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
0,6798
11
6
0,3808
1,79
21
11
0,2118
1,80
41
21
0,1218
1,74
81
41
0,0729
1,67
161
81
0,0442
1,65
321
161
0,0253
1,75
641
321
0,0114
2,23
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 2 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi put adalah sekitar 1,80.
Tabel 3 Hasil perhitungan norma dan rasio opsi cash or nothing
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
0,4013
11
6
0,3326
1,21
21
11
0,2594
1,28
41
21
0,1922
1,35
81
41
0,1438
1,34
161
81
0,1155
1,25
321
161
0,0852
1,36
641
321
0,0512
1,66
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 3 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi cash or nothing adalah sekitar 1,35.
Tabel 4 Hasil perhitungan norma dan rasio opsi butterfly
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
1,2637
11
6
0,7017
1,80
21
11
0,3866
1,82
41
21
0,2142
1,80
81
41
0,1223
1,75
161
81
0,0712
1,72
321
161
0,0398
1,79
641
321
0,0176
2,26
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 4 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi butterfly adalah sekitar 1,84 .
23
5. SIMPULAN
Pada penelitian ini dapat dilihat bahwa penggunaan metode beda hingga
upwind akan konvergen ketika menggunakan skema diskretisasi implisit terhadap
waktu. Skema diskretisasi ini terbukti monoton, konsisten dan stabil. Berdasarkan
hasil dari simulasi numerik, dapat ditunjukkan bahwa orde kekonvergenan untuk
metode beda hingga upwind dengan model volatilitas Leland adalah sekitar 1,80
untuk opsi call dan opsi put, 1,35 opsi cash or nothing, serta 1,84 untuk opsi
butterfly.
DAFTAR PUSTAKA
Bermon A, Robert J & Plemmons. 1994. Nonnegative Matrices in the
Mathematical Sciences, Philadelphia: Society for Industrial and Applied
Mathematics.
Barles G. 1997. Convergence of Numerical Schemes for Degenerate Parabolic
Equations Arising in Finance, in: L.C.G. Rogers, D. Talay (Eds.),
Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge University Press.
Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. J.
Political Economy. 81: 637-659.
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2003. Invesment. United State of America: The
McGraw-Hill.
Company R, Navarro E, Pintos JR. 2008. Numerical solution of linear and
nonlinear Black–Scholes option pricing equations. J. Computers and
Mathematics with Applications. 56 :813–821.
Dragoni F. 2009. Introduction to Viscosity Solutions for Nonlinear PDEs.
London: Notes Imperial College London.
Fujimoto T, Ranade R. 2004. Two characterizations of inverse-positive matrices:
the Hawkins-Simon condition and the Le Chatelier-Braun principle.
Electronic Journal of Linear Algebra 11: 59–65.
Hull J, White A. 2006. Option. Future. and Other Derivatives. 6th edition. New
Jersey: Prentice – Hall.
Hull J, White A. 1987. The pricing of option on asset with stochastic volatilities.
J. Finance. 42:281-300.
Leland HE. 1985. Option pricing and replication with transaction costs. J.
Finance. 40: 1283-1301.
Lesmana DC, Wang S. 2013. An upwind finite difference for a taklinear BlackScholes equation governing European option valuation under transaction
costs. J. Applied Mathematics and Computation. 219: 8811-8828
Niwiga DB. 2005. Numerical method for valuation of financial derivatives.
[Thesis]. South Africa : University of Werstern Cape.
Morgenson G, Harvey CR. 2002. The New York Times Dictionary of Money and
Investing: The Essential A-to-Z Guide to The Language of The New
Market. New York: Times Book.
Ross SM, 1996. Sthochastic Process. New York : John Wiley & Son Inc.
24
Strikwerda JC. 1989. Finite Difference Schemes and Partial Differential
Equations. 1st Ed. Madison: Wadsworth & Brooks.
Zhang K, Wang S. 2009. A Computational scheme for options under jump
diffusion processes. J. Numerical Analysis and Modeling 6 : 110-123.
Zhao Jichao. 2007. Compact finite difference method for American option pricing.
J. Computational and Applied Mathematics 206 : 306–321.
LAMPIRAN
1.
Sintaks program untuk diskretisasi eksplisit
function D=ExplisitAr(u0,g1,g2,S_end,T,nS,nt)
format long
nS1 = nS + 1;
%% jumlah titik S
nt1 = nt + 1;
%% jumlah titik t
hS = S_end/nS;
%% panjang sub-interval S
hS2 = hS*hS;
ht = T/nt;
%% panjang sub-interval t
sigma0 = 0.2;
r = 0.08;
%% tingkat suku bunga bebas
risiko
%k = 0.01;
%% biaya transaksi
%dt = 0.02;
%% periode transaksi
%%%% Grid untuk variabel S dan t
25
Svec = hS*(0:nS);
tvec = ht*(0:nt);
%% size = 1x(nS+1)
%% size = 1x(nt+1)
%%%% Batas
U= zeros(nt1, nS1);
%% size = (nt+1)x(nS+1)
for p = 1:nS1
U(1,p) = feval(u0,Svec(p)); %%Syarat awal
end
for k = 1:nt1
U(k,1) = feval(g1,tvec(k)); %% Syarat batas 1
U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k)); %% syarat batas 2
end
for m = 2:nt1
%% iterasi waktu
Vtemp = U(m-1,:);
U_SS = zeros (1, nS1-2);
for j = 2:nS1-1
U_SS(j-1) = (Vtemp(j-1)-2*Vtemp(j)+
Vtemp(j+1))/hS2;
end
%%%% Volatilitas Leland
sigma2 = zeros(nS1-2, 1);
for i = 1:nS1-2
if U_SS(i)>0
sigma2(i) =
sigma0^2*(1+((2/3.14)^0.5)*0.01/(sigma0*(0.02)^0.5));
elseif U_SS(i)
DENGAN MODEL VOLATILITAS LELAND
ARSYAD L
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Metode Numerik untuk
Menentukan Harga Opsi dengan Model Volatilitas Leland adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun
kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, November 2015
Arsyad L
NIM G551130131
RINGKASAN
ARSYAD L. Metode Numerik untuk Menentukan Harga Opsi dengan Model
Volatilitas Leland. Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan ENDAR
HASAFAH NUGRAHANI
Salah satu hal penting dalam perdagangan opsi adalah penentuan harga jual
yang optimal. Teori penentuan harga opsi telah dikembangkan pada tahun 1973
oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah
penentuan harga opsi ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black
Scholes. Model Black scholes menggunakan beberapa asumsi, yang salah satunya
adalah tidak terdapat biaya transaksi. Model Black scholes tidak relevan sebab
pada kenyataannya terdapat biaya transaksi di pasar saham. Dengan memasukkan
biaya transaksi ke dalam model, Leland menunjukkan bahwa persaman diferensial
parsial (PDP) Black Scholes berubah menjadi persamaan diferensial parsial
taklinear. Selanjutnya dengan mengasumsikan biaya transaksi proporsional
dengan nilai uang dari aset yang dijual atau dibeli, Leland memodifikasi
persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes standar menjadi persamaan
diferensial parsial (PDP) Black Scholes taklinear.
PDP tak linier tersebut tidak mempunyai solusi analitik sehingga dibutuhkan
pendekatan metode numerik untuk menentukan solusi hampirannya. Pada
penelitian ini digunakan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi ruang
(harga saham) serta diskretisasi eksplisit dan implisit untuk diskretisasi waktu.
Pada penelitian ini dapat terlihat bahwa penggunaan metode beda hingga
upwind akan konvergen ketika menggunakan skema diskretisasi implisit terhadap
waktu. Skema diskretisasi ini terbukti monoton, konsisten dan stabil. Berdasarkan
hasil dari simulasi numerik, telah ditunjukkan bahwa orde kekonvergenan untuk
metode beda hingga upwind dengan model volatilitas Leland adalah sekitar 1.80
untuk opsi Call, 1.80 untuk opsi Put , 1.35 opsi Cash or Nothing, serta 1.84 untuk
opsi Butterfly.
Kata kunci: Harga opsi, Kekonvergenan, Metode beda hingga upwind, Model
volatilitas Leland, Persamaan differensial parsial takliniear.
SUMMARY
ARSYAD L. Metode Numerical Method for Determining The Price Of Option
With Leland Volatility Model. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and
ENDAR HASAFAH NUGRAHANI
One of the most important things in options trading is the determination of
the optimal sales price. Option pricing theory was developed in 1973 by Fisher
Black and Myron Scholes. They successfully formulated option pricing problems
into partial differential equations (PDE) form that called Black Scholes equation.
Black Scholes model uses several assumptions, one of which is there is no
transaction fee. Black-Scholes model is irrelevant because there is in fact the cost
of transactions in the stock market. Furthermore, assuming that the transaction
costs are proportionate to the value of money from assets being sold or purchased,
Leland modifies the standard equation into a nonlinear partial differential equation
(PDE).
Nonlinear PDE is hardly to solve by analytic method. Therefore Numerical
methods may be needed to determine the solutions. In this study we use upwind
finite difference method for discretizing space (stock price) and the implicit
discretization for discretizing time.
In this study, it can be seen that the use of upwind finite difference method
will converge when using implicit discretization scheme. The convergence is
shown by proving that the discretization is monotone, consistent and stable. Using
numerical simulations, it can be seen that the order of convergence for this
methode is about 1.80 for a call option and put option, 1.35 for cash or nothing
option, and 1.84 for butterfly option.
Keywords: Option value, Leland volatility model, Upwind finite difference
methode, Convergence, Nonlinear partial diferencial equation.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI
DENGAN MODEL VOLATILITAS LELAND
ARSYAD L
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis:
Dr Ir IGP Purnaba, DEA
Judul Tesis
: Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model
Volatilitas Leland
Nama
: Arsyad L
NIM
: G551130131
Program Studi : Matematika Terapan
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr. Donny C. Lesmana MFinMath
Ketua
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Jaharuddin, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 9 September 2015
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan januari 2015 ini ialah
keuangan, dengan judul Metode Numerik untuk Menentukan Harga Opsi dengan
Model Volatilitas Leland
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Lahmuddin dan Ibu Baeyana selaku orang tua penulis.
2. Dr Donny C. Lesmana MFinMath selaku Ketua Komisi Pembimbing.
3. Dr Ir Endar H. Nugrahani MS selaku Anggota Komisi Pembimbing.
4. Dr Dr Ir IGP Purnaba, DEA selaku Penguji Luar Komisi Pembimbing.
5. Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan.
6. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pendidikan Pascasarjana dalam Negeri (BPP-DN).
7. Seluruh keluarga yang selalu memberi dorongan dan doa untuk keberhasilan
studi penulis.
8. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2013 di Program Studi S2 Matematika Terapan.
9. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga semua bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapatkan balasan dari Allah subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.
Bogor, November 2015
Arsyad L
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Sekuritas
Teori Tentang Opsi
Faktor-faktor yang Memengaruhi Harga Opsi
Lemma Ito’
Proses Harga Saham
Persamaan Black-Scholes Standar
Model Volatilitas Leland
Metode Beda Hingga Upwind
Metode Iterasi Newton-Raphson
Matriks M
Solusi Viskositas
2
2
2
3
4
5
5
7
7
8
8
9
3 METODE PENELITIAN
9
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Syarat Awal dan Syarat Batas
Diskretisasi Implisit
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi
Simulasi Numerik
9
9
10
12
15
17
5 SIMPULAN
23
DAFTAR PUSTAKA
23
LAMPIRAN
25
RIWAYAT HIDUP
30
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi call
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi put
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi cash or nothing
Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi butterfly
22
22
22
23
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
Harga dari opsi call Eropa dengan M =
dan N = .
Harga dari opsi call Eropa dengan M =
dan N =
.
Harga dari opsi put Eropa dengan M =
dan N = .
Harga dari opsi put Eropa dengan M =
dan N =
.
Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan M =
dan N =
Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan M =
dan N =
Harga dari opsi butterfly Eropa dengan M =
dan N = .
Harga dari opsi butterfly Eropa dengan M =
dan N =
.
.
.
18
18
19
19
20
20
21
21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks program untuk diskretisasi eksplisit
2 Sintaks program untuk diskretisasi implisit
25
26
1. PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pasar modal memiliki peran penting bagi perekonomian suatu negara karena
menjalankan dua fungsi. Fungsi yang pertama adalah sebagai sarana bagi
pendanaan usaha atau sebagai sarana bagi perusahaan untuk mendapatkan dana
dari masyarakat pemodal (investor). Dana yang diperoleh dari pasar modal dapat
digunakan untuk pengembangan usaha, ekspansi, penambahan modal kerja dan
lain sebagainya. Kemudian, fungsi yang kedua adalah menjadi sarana bagi
masyarakat untuk berinvestasi pada instrumen keuangan seperti saham, obligasi,
reksa dana, dan lain-lain. Dengan demikian, masyarakat dapat menempatkan dana
yang dimilikinya sesuai dengan karakteristik keuntungan dan risiko masingmasing instrumen.
Peran pasar modal dalam pembangunan perekonomian bangsa ataupun
pembangunan nasional dapat membawa keuntungan yang sangat besar jika
dilakukan dalam koridor yang baik, adil, benar, dan efisien. Keikutsertaan
masyarakat investor melalui instrumen pasar modal menjadi harapan bersama
untuk memberikan sumbangan bagi pembangunan ekonomi secara nasional.
Produk-produk yang diperdagangkan pada industri pasar modal mengalami
perkembangan yang sangat pesat. Jika dulu hanya ada produk dasar seperti saham
dan obligasi, sekarang juga meliputi produk turunannya (derivatif). Salah satu
produk derivatif yang sering diperdagangkan adalah opsi.Opsi adalah suatu
kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli
atau menjual suatu aset tertentu dengan harga dan waktu yang telah ditentukan
(Zhao 2007).
Hal terpenting dalam perdagangan opsi adalah penentuan harga jual yang
optimal. Teori penentuan harga opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh
Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan
harga opsi ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes.
Model ini menggunakan beberapa asumsi, yang salah satunya adalah tidak
terdapat biaya transaksi (Black & Scholes 1973).
Model Black Scholes standar tidak relevan sebab pada kenyataannya
terdapat biaya transaksi di pasar saham. Adanya biaya transaksi akan
memengaruhi harga suatu opsi (Company et al. 2008). Dengan memasukkan
biaya transaksi ke dalam model, Leland (1985) menunjukkan bahwa persaman
diferensial parsial (PDP) Black Scholes berubah menjadi persamaan diferensial
parsial tak linear.
Akibat adanya biaya transaksi, volatililitas dari harga saham menjadi tidak
konstan dan merupakan fungsi dari turunan kedua opsi terhadap harga saham. Hal
itu menyebabkan PDP menjadi tidak linear. PDP tak linear tersebut tidak
mempunyai solusi analitik sehingga dibutuhkan pendekatan metode numerik
untuk menentukan solusi hampirannya.
Beberapa pendekatan secara numerik dapat dilakukan untuk menentukan
harga opsi yaitu dengan metode beda hingga (finite difference method), metode
elemen hingga, metode volume hingga (finite volume method) (Zhang & Wang
2009), dan lain-lain. Pada penelitian ini akan dikembangkan metode beda hingga
upwind (Lesmana & Wang 2013).
2
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah:
1. mengembangkan metode numerik untuk mencari harga opsi ketika terdapat
biaya transaksi. Metode tersebut didasarkan pada metode implisit untuk
diskretisasi waktu, serta metode beda hingga upwind untuk diskretisasi ruang
(harga saham).
2. menentukan orde kekonvergenan dari metode beda hingga upwind.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Sekuritas
Definisi 2.1 Sekuritas Primitif
Sekuritas primitif (primitive security) adalah instrumen seperti saham atau
obligasi yang pembayarannya hanya bergantung pada status keuangan pihak
penerbit (Bodie et al. 2003).
Definisi 2.2 Sekuritas Derivatif
Sekuritas derivatif (derivative security) dibentuk dari perangkat sekuritas primitif
yang menghasilkan imbal hasil yang bergantung pada faktor-faktor di luar
karakteristik pihak penerbit dan mungkin dikaitkan dengan harga aset lain (Bodie
et al. 2003).
Teori Tentang Opsi
Definisi 2.3 Opsi
Opsi pada suatu aset adalah suatu kontrak antara dua pihak, yang memberikan
hak, tetapi bukan kewajiban, untuk melakukan jual atau beli aset pada harga
tertentu yang disebut strike price atau exercise price dan dalam jangka waktu
tertentu (jatuh tempo).
Berdasarkan jenisnya opsi dibagi menjadi dua yaitu opsi call dan opsi put.
Definisi 2.4 Opsi Call
Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset pada
harga eksekusi pada saat atau sebelum tanggal jatuh tempo (maturity) yang
ditentukan.
Definisi 2.5 Opsi Put
Opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan
harga eksekusi tertentu pada saat atau sebelum tanggal jatuh temponya.
Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi Eropa (European
option) dan opsi Amerika (American option).
3
Definisi 2.6 Opsi Eropa
Opsi Eropa (European option) adalah opsi yang memberikan hak kepada
pemegangnya untuk membeli atau menjual underlying asset dengan harga tertentu
hanya pada waktu jatuh tempo.
Definisi 2.7 Opsi Amerika
Opsi Amerika (American option) memberikan hak kepada pemegangnya untuk
membeli atau menjual underlying asset pada harga tertentu pada saat atau sebelum
waktu jatuh tempo.
Faktor-faktor yang Memengaruhi Harga Opsi
Harga opsi dipengaruhi oleh berbagai faktor, di antaranya adalah harga aset
yang mendasari, harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga
bebas risiko.
a. Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi
Harga aset yang mendasari (saham) adalah harga jual atau beli yang
berlaku pada pasar dari perdagangan aset yang mendasari (saham). Harga
eksekusi merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak
opsi, biasa juga disebut sebagai harga exercise atau harga strike.
b. Tanggal jatuh tempo
Semakin lama waktu jatuh tempo maka semakin tinggi nilai dari suatu
opsi call, karena semakin besar nilai waktunya. Sementara nilai waktu (time
value) akan menurun ketika mendekati masa jatuh tempo dengan begitu nilai
dari opsi call juga akan menurun. Demikian juga dengan opsi put, semakin
lama waktu jatuh tempo semakin tinggi nilai dari opsi put, karena semakin
besar nilai waktunya. Nilai waktu akan menurun ketika mendekati waktu jatuh
tempo, oleh karena itu harga opsi put akan turun nilainya ketika mendekati
waktu jatuh tempo.
c. Volatilitas
Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai penyimpangan harga aset dari nilai harapan aset yang
mendasari tersebut di masa datang. Jika volatilitas meningkat maka akan
meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan
atau penurunan terhadap suatu opsi.
d. Suku Bunga Bebas Risiko (Risk Free Interest Rate)
Suku bunga bebas risiko memengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat
suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan, maka akan
mempengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini
saham). Dengan mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi
put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu
pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan
peningkatan suku bunga bebas risiko.
Untuk memodelkan persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan
beberapa istilah berikut:
4
Definisi 2.8 Proses Stokastik
Proses stokastik
={
, ∈ } adalah suatu koleksi (gugus, himpunan, atau
kumpulan) dari peubah acak (random variables). Untuk setiap t pada himpunan
indeks H, W(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai
waktu (Ross 1996).
Definisi 2.9 Gerak Brown
Proses stokastik
={
, ∈
persyaratan berikut (Ross 1996):
1.
=
2. Untuk
<
<
<
, , , … , saling bebas.
3. Untuk setiap
> ,
variansi � .
} disebut gerak Brown jika memenuhi
<
peubah acak
−
−
, =
berdistribusi normal dengan rataan 0 dan
Definisi 2.10 Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).
Definisi 2.11 Proses Wiener Umum
Proses Wiener Umum (Generalized Wiener Process) untuk suatu peubah acak S
dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2006):
=
+
(1)
disebut sebagai komponen deterministik dan
menyatakan komponen
stokastik, serta
adalah proses Wiener, sedangkan dan masing-masing
menyatakan rataan dan standar deviasi dari S.
Definisi 2.12 Proses Ito’
Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi
dari peubah acak S dan waktu t. Secara aljabar proses Ito’ dapat dinyatakan
sebagai berikut (Hull 2006):
=
,
+
,
(2)
Lemma Ito’
Lemma 2.1
Misalkan fungsi
�,
merupakan fungsi kontinu yang dapat diturunkan secara
�� �� � �
parsial terhadap x dan t, yaitu , �� , �� ada. Selanjutnya didefinisikan persamaan
�
differensial stokastik dari variabel � dengan drift rate �, dan variansi rate
�, ,
�=
�,
di mana
merupakan gerak Brown,
fungsi �, akan mengikuti proses:
+
dan
�,
(3)
adalah fungsi dari x dan t, maka
5
={
�
��
�,
+
�
+
�
�,
�
}
��
Proses Harga Saham
+
�,
�
��
(4)
Harga saham merupakan variabel stokastik, karena harga saham pada waktu
yang akan datang tidak bisa ditentukan sekarang. Harga saham dapat dipengaruhi
oleh faktor-faktor yang tidak dapat ditentukan secara pasti. Faktor-faktor ini
dipandang sebagai komponen stokastik yang tidak dapat ditentukan sebelumnya.
Oleh karena itu, perubahan harga saham dapat dipandang sebagai persamaan
diferensial stokastik berikut:
= �
+ �
.
(5)
dengan � dan � sebagai konstanta yang berturut-turut menyatakan ekspektasi dari
return dan volatilitas saham. Persamaan ini juga dikenal sebagai model
pergerakan harga saham.
Selanjutnya dari Lemma Itô, diketahui bahwa sebuah fungsi (S,t) akan
mengikuti proses:
�
�
�
�
(6)
= �
+
+ �
+ �
.
�
�
�
�
Solusi dari persamaan (5) adalah:
=
exp { � −
�
+ �
}.
(7)
dengan , , �, �, dan T berturut-turut adalah harga saham pada awal kontrak,
harga saham pada akhir kontrak, tingkat suku bunga bebas resiko, volatilitas harga
saham dan waktu sampai dengan jatuh tempo.
Persamaan Black-Scholes Standar
Fischer Black dan Myron Scholes (1973) dalam merumuskan nilai suatu
opsi mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:
1. Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu
jatuh tempo.
2. Dimungkinkan adanya short selling terhadap aset (saham) yaitu menjual
aset tanpa harus memiliki aset terlebih dahulu.
3. Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
4. Tidak terdapat peluang arbitrage.
5. Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
6. Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang lognormal.
7. Tidak ada biaya transaksi dalam pembelian atau penjualan aset atau opsi
dan tidak ada pajak.
Misalkan
, menyatakan harga opsi pada harga saham S dan pada
waktu t, serta dari persamaan (5) diketahui bahwa perubahan harga saham S
bergerak mengikuti proses
6
= �
+ �
.
Berdasarkan Lemma Ito’, proses untuk U yang berubah pada interval waktu dt
yang sangat kecil adalah
,
=
�
�
+
+
�
�
�
�
Versi diskret dari persamaan (5) dan (9) adalah
dan
∆ =
�
�
�
∆ = � ∆ + � ∆
�
�
+
+
�
�
�
�
.
(8)
(9)
�
�
�
+ �
∆ + �
�
∆ ,
�
(10)
di mana ∆ dan ∆ adalah perubahan harga saham S dan harga opsi U pada
selang waktu ∆ . Adapun ∆ pada persamaan (9) dan (10) adalah proses Wiener
yang didefinisikan sebagai ∆ = √∆ karena proses Wiener pada persamaan
(9) dan (10) adalah sama. Selanjutnya dipilih sebuah portofolio dari saham S dan
opsi U sehingga proses Wiener ∆ dapat dihilangkan.Portofolio tersebut adalah
�
saham. Pemegang portofolio ini akan menjual satu opsi dan
− opsi dan +
�
membeli saham sebanyak
dengan
�
�
. Nilai dari portofolio tersebut adalah sebesar x,
�
�=− +
.
�
Perubahan nilai portfolio ∆�, dalam selang waktu ∆ adalah
�
∆� = −∆ +
∆ .
�
Substitusi (9) dan (10) ke dalam (12), menghasilkan
∆� = −
�
�
− �
�
∆ .
�
(11)
(12)
(13)
Portofolio ini dikatakan tidak berisiko karena tidak ada faktor ketidakpastian.
portofolio ini mempunyai pendapatan yang sama dengan aset yang bebas risiko.
Perubahan nilai portofolio bebas risiko dapat dinyatakan dengan ∆� = �∆ , dengan
r adalah suku bunga bebas risiko. Dengan menggunakan persamaan (11) dan ∆� =
�∆ ke persamaan (13) diperoleh
(
−
�
�
)∆ =
�
�
+ �
�
�
∆
�
�
�
+
+
−
= .
�
�
�
Persamaan (15) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes standar.
Dengan melakukan transformasi � = − , maka
� ��
�
�
=
= −
�� �
��
�
sehingga persamaan (15) dapat dituliskan sebagai berikut:
�
(14)
(15)
(16)
7
�
�
�
�
− �
��
+
�
�
�
�
−
−
�
��
�
+
�
−
(17)
= .
= .
(18)
Model Volatilitas Leland
Seperti yang dijelaskan sebelumnya volatilitas menyatakan tingkat risiko
penyimpangan harga suatu aset dari nilai harapannya. Semakin besar nilai
volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin
kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut
(Morgenson dan Harvey 2002).
Volatilitas harga saham bisa berupa konstanta atau merupakan sebuah
fungsi. Pada saat terdapat biaya transaksi, volatilitas harga saham tidak konstan
tapi merupakan fungsi dari turunan kedua harga opsi terhadap harga saham.
Selanjutnya dengan mengasumsikan biaya transaksi proporsional dengan
nilai uang dari aset yang dijual atau dibeli, Leland memodifikasi persamaan
diferensial parsial (PDP) Black Scholes menjadi persamaan diferensial parsial
(PDP) Black Scholes tak linear
dengan �=
�
=
�
+
−
,
− dan volatitas termodifikasi sebagai berikut
� =�
+√
�
�
√�
Sign
(19)
,
di mana σ adalah volatilitas termodifikasi, k adalah biaya transaksi dan
periode transaksi (Leland 1985).
(20)
adalah
Metode Beda Hingga Upwind
Metode beda hingga upwind adalah suatu metode numerik untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear dengan cara
mengkombinasikan metode beda hingga maju dan beda hingga mundur untuk
diskretisasi ruang (harga saham).
Persamaan Black-Scholes taklinear akan diaproksimasi dengan diskretisasi
harga dan waktu. Untuk diskretisasi harga, misalkan = , �� dibagi menjadi
sub-interval, di mana
= , ,…., −
= , + ,
dengan =
< < <
= �� , dan untuk setiap = , , … . , −
dimisalkan ℎ = + − . Untuk diskretisasi waktu, misalkan � = ,
dibagi
menjadi sub-interval, di mana
= , ,…., −
� = � ,� + ,
dengan
= � ,
<
| |+| |
(40)
+
Untuk matriks
, dari persamaan (34) - (36) dapat dilihat bahwa syarat
maka:
(39) terpenuhi. Selanjutnya syarat (40), karena
dan ∆�
+
|
+
|+|
+
|+ +
�
∆��
12
=(
Dari definisi
| + |+| + |
) dan berdasarkan (41), diperoleh:
,
≠ ,
−
> ,
> ∑|
=
(41)
|
Dengan demikian,
merupakan matriks-M karena matriks tridiagonal
memiliki diagonal utama yang bernilai positif dan dua diagonal di atas dan di
bawah diagonal utama bernilai negatif.
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Barles (1997) telah menunjukkan bahwa metode numerik dikatakan
konvergen ke solusi viskositas jika metode tersebut terbukti konsisten, stabil dan
monoton. Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa skema diskretisasi metode
beda hingga upwind yang digunakan memenuhi syarat konvergen tersebut.
Untuk
− dan
− didefinisikan suatu fungsi +
di mana
+
+
(
+
+
,
+
−
,
,
)= −
�
ℎ
−
∆��
ℎ
+
+
+
�
∆��
+
Γ
+
ℎ
Γ
+
+
.
+
−
(42)
Kemonotonan
Skema diskretisasi (33) akan ditunjukkan monoton melalui Lemma 4.1.
Lemma 4.1
Skema diskretisasi pada persamaan (33) monoton yaitu untuk sembarang >
dan = , , … , − ,
+
+
+
+
+
+
+
+
(43)
(
, + + , − + ,
+ )
(
, + , − , )
dan
+
+
+
+
+
+
+
+
(44)
(
, + , − , )
(
, + + , − + ,
+ )
Bukti:
+
=−
−
Karena −
ℎ
�
ℎ
+
+
�
,
+
+
∆�
+
>
∆�
�
+
dan
+
+
ℎ
.
+
∆�
ℎ
−
+
(45)
∆�
> , maka tiga bagian pertama pada
+
+
ruas kanan dari persamaan (42) secara berturut-turut taknaik terhadap
+
terhadap
dan turun terhadap .
=
Misalkan
, ,…,⏟, ,…,
Berdasarkan definisi
(
+
+
−
+
′
−
adalah suatu matriks berukuran
, diperoleh
+
)
=
ℎ
=
ℎ
(
+
−
+
−
+ )−
+
ℎ
ℎ
−
ℎ
(
+
+
)+
+
ℎ
ℎ
(
+
+
, naik
× .
+
+
+
+ )
ℎ
13
=(
= Γ
dan
(
+
+
)
=
ℎ
=
+
(
ℎ
=(
= Γ
Lebih
lanjut
+
− � Γ
Γ +
volatilitas Leland, yaitu
diperiksa
, dimana
+√
� =�
Misalkan C = √
�
�
+
+
+
ℎ
+
+
− )−
ℎ
+
−
−
ℎ
+
)
tanda
� Γ
�
�
)
√�
−
(
ℎ
�
,� � − �
+
+
−
ℎ
.
+ )+
+
ℎ
ℎ
ℎ
(
+
+
+
+
)
(47)
sign
.
, dan 0 C
� > >�
+ � +
− � >
={
� > >�
−
� −� − � <
sign � > , untuk 0 C dan = , , … , − diperoleh
gabungan bagian linear dan bagian taklinear dari persamaan (50) sebagai berikut:
+
+
,
= −
ℎ
+
+
− �
+ ,
+
+
+
+
+ ,
+
+
,
+
−
+ ,
+
+√
+
+
,
+
+
−
∆��
dengan cara yang sama diperoleh
+
+
= (−
ℎ
)
,
+
+
+
−
,
+
+
� √
,
.
ℎ
+
+
sign
+(
+
+ )
∆�
ℎ
−
∆��
(
+
+
+
−
+
∆�
+
ℎ
)
14
− �
+
+
+√
+
+
,
� √
+
−
,
sign
.∎
,
+
(
−
)
ℎ
Kestabilan
Skema diskretisasi (33) akan ditunjukkan stabil melalui Lemma 4.2
Lemma 4.2
′
+
+
di mana
Untuk setiap = , , … , − , misalkan + =
, (̂ + ) ,
+
+
̂
adalah solusi dari (38), maka
memenuhi
+
∥
∥∞
�{∥
∥∞ , ∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ }
dengan � , � dan � adalah syarat awal dan syarat batas (27– 29) dan ‖. ‖∞
adalah norma ∞ .
Bukti:
Untuk sembarang
berikut:
+
+
=−
|
−
− , persamaan (33) dapat dituliskan sebagai
+
+
−
−
+
|−
+
+
+
untuk tiap
− . Perlu diingat kembali bahwa
+
> .
Dari bentuk di atas diperoleh:
+
untuk
Jika ∥
+
+
dengan =
|
+
−
− .
∥∞ = | + | untuk
‖
+
‖∞
menjadi:
+
−
+
dengan demikian, karena
pertidaksamaan berikut ini:
‖
+
+
‖∞
+
‖
+
+
+
‖∞ −
∈ { , ,…,
+
+
+
/∆�
−
+
‖
‖
+
+
−
|
+
+
<
+
+
dan
+
‖
‖
+
+
∆�
+
|+
+
+
< ,
∆�
‖∞ +
|
∆�
|
‖
<
dan
‖∞
− }, maka persamaan berikut:
+
‖∞ −
‖
+
|
+
+
‖
‖∞
+
‖∞ +
∆�
‖
‖∞
‖ ‖∞
∆�
< maka diperoleh bentuk
‖∞
‖
‖∞
(48)
‖∞
‖ ‖∞ ‖� ‖∞ .
‖∞ = | + | atau ‖ + ‖∞ = | + |maka berdasarkan
Selanjutnya jika ‖
persamaan (28), (29) dan (37) dapat dilihat bahwa:
(49)
�{∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ }
∥ + ∥∞
�{| + |, | + | }
Dengan menggabungkan (36) dan (37), diperoleh:
∥ + ∥∞
�{∥
∥∞ , | + |, | + |}
�{∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ , ∥ � ∥∞ }. ∎
Diskretisasi (33) terbukti stabil.
+
15
Kekonsistenan
Skema diskretisasi (33) akan ditunjukkan konsisten melalui Lemma 4.3.
Lemma 4.3
Skema diskretisasi (33) konsisten.
Bukti:
Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten untuk
masalah nilai awal yang diberikan (Strikwerda 1989). ∎
Teorema 4.2 Kekonvergenan
Skema diskretisasi (33) konvergen ke solusi (19) dengan syarat batas (27) - (29)
ketika ℎ, ∆� → .
Bukti:
Barles (1997) membuktikan bahwa jika suatu diksretisasi dari PDP taklinear orde2 konsisten, stabil dan monoton, maka konvergen ke solusi viskositas. Karena
diksretisasi (33) terbukti konsisten, stabil dan monoton, maka diskretisasi (33)
konvergen. Teorema 4.5 merupakan akibat dari Teorema 4.2, 4.3 dan 4.4. ∎
Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi
Untuk menyelesaikan sistem taklinear skema diskretisasi (38) disusun
sebuah metode iterasi pada setiap langkah waktu. Diketahui diskretisasi (38)
berbentuk
+
+
Misalkan
+
+
=
+
+
+
komponen ke-i dari
+
�
+
=
−
+
dengan
dan
dinotasikan sebagai
+
+
+
+
+
=
[
+
̂
+
= (�
+
∆�
̂
+
+
+
+
+
+
+
−
=
∆��
̂ −
−
+
+
̂ +
,�
+
+
+
+
+
+
,
= , dengan
+
+
−
,…,�
+
+
didefinisikan pada (37). Matriks Jacobi dari
+
, dengan
+
+
+
+
+
…
…
…
⋱
…
…
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
=
−
−
−
+
∆��
)
∙
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
−
]
16
�� �+
+
di mana
=�
untuk semua dan . Dengan menggunakan persamaan
�+
(21) - (23), dan (20), serta menggunakan notasi Lemma 4.1, diperoleh persamaan
untuk turunan berikut
+
,−
=
+
+
,−
=
+
+
=
=
+
+
,−
+
−
+
−
�
(
+
�
�
+
−
ℎ
+
−
−
ℎ
= +
Dengan cara yang serupa, diperoleh
,
+
,+
+
=
= ̂
4.
5.
+
+
+
ℎ
�
�
+
+
+
+
−
)
��
��
� �+
−
, diberikan algoritma metode Newton
, evaluasi syarat awal ̂ =
+
Hitung
+
+
−
+
+
Menggunakan matriks Jacobi
sebagai berikut
Algoritma 1
1. Pilih > . Untuk
menggunakan (37).
2. Ambil = dan
3. Selesaikan
+
�
�
+
+
+
=−
+
untuk
,…,
−
,
.
=
+
‖∞
Jika ‖
, set : = + dan kembali ke langkah 3. Jika sebaliknya,
lanjutkan ke langkah berikutnya.
+
. Jika < − . Set : = + dan kembali ke
Tentukan ̂ + =
langkah 2. Jika sebaliknya berhenti.
+
Dengan menggunakan matriks Jacobi
, diperoleh Teorema 3 berikut.
Teorema 4.3
Untuk sembarang + dengan = , , . , − , + adalah matriks M.
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema 3, harus ditunjukkan bahwa
,−
Untuk matriks
,−
=
+
+
=−
< ,
,
> ,
| ,− |+|
,
, diperoleh
�
Hal yang sama untuk
ℎ
+√
,+
,+
� √
|.
< ,
Sign
(50)
(51)
< .
17
,
=
=
,+
+
∆�
=
=−
+
+
ℎ
ℎ
−
�
+ +
�
ℎ
ℎ
+√
Selanjutnya karena
>
+√
�
dan
,
+
�
∆��
=|
|
+
,−
+
,−
untuk sembarang
= , ,…,
+
. Oleh karena itu, matriks
− ,
Sign
√�
>
� √
|+|
−
+
+
,+
+
,+
> .
< .
maka
|+|
Sign
|+ +
|.
∆�
,
dengan ketentuan bahwa
adalah matriks M. ∎
,
+
=
=
Sistem linear pada langkah 3 dari Algoritma 1 biasanya berskala besar dan
teorema di atas menjamin bahwa sistem linear tersebut memiliki solusi khusus.
Solusi untuk sistem linear dengan dekomposisi LU atau metode iteratif akan stabil
secara numerik.
Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan disajikan hasil pendekatan numerik dari empat jenis
harga opsi tipe Eropa untuk melihat perilaku dan kekonvergenan dari metode beda
hingga upwind baik dengan skema eksplisit maupun implisit. Pada simulasi
numerik ini akan ditentukan derajat kekonvergenan dari metode iteratif untuk
penyelesaian persamaan taklinear dengan memilih serangkaian mesh yang
dibangkitkan dengan membagi-dua parameter mesh pada iterasi sebelumnya.
a) Opsi call
1. Perhitungan harga opsi call menggunakan parameter
= , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 1.
18
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 1 Harga dari opsi call Eropa dengan
=
dan
=
.
2. Perhitungan harga opsi call menggunakan parameter = , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar
2.
(a) Skema eksplisit
Gambar 2 Harga dari opsi call Eropa dengan
(b) Skema implisit
=
dan
=
.
Dengan memasukkan nilai parameter, dapat dilihat hubungan antara harga
opsi call, harga saham dan waktu. Pada Gambar 1 terlihat hasil dari skema
implisit dan eksplisit tidak jauh berbeda. Pada Gambar 2, setelah jumlah
partisinya diperbesar maka hasil yang ditampilkan jauh berbeda antara skema
ekplisit dan implisit, yaitu skema eksplisit menjadi tidak stabil.
b) Opsi put
1. Perhitungan harga opsi put menggunakan parameter = , , � = , ,
= ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan = .
�� =
Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 3.
(a) Skema eksplisit
Gambar 3 Harga dari opsi put Eropa dengan
(b) Skema implisit
=
dan = .
19
2. Perhitungan harga opsi put menggunakan parameter = , , � = , ,
= ,
= ,
, k = 0,01,
= 0,02,
=
dan = .
�� =
Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 4.
(a) Skema eksplisit
Gambar 4 Harga dari opsi put Eropa dengan
(b) Skema implisit
=
dan =
.
Gambar 3 dan 4 memperlihatkan hubungan antara harga opsi put, harga
saham dan waktu dengan menggunakan parameter yang sama pada perhitungn
opsi call. Seperti yang terjadi pada opsi call dari Gambar 3 dapat dilihat untuk
opsi put perbedaan yang terjadi pada kedua skema yang digunakan tidak
signifikan. Pada Gambar 4, karena metode eksplisit tidak stabil maka hasilnya
memiliki pola yang tidak beraturan.
c) Opsi cash or nothing
1. Perhitungan harga opsi cash or nothing menggunakan parameter = , ,
� = , , = ,
= ,
, k = 0,01 , = 0,02, =
dan
�� =
= . Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada
Gambar 5.
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 5 Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan =
dan
= .
20
2. Perhitungan harga opsi cash or nothing menggunakan parameter = , ,
� = , , = ,
= ,
, k = 0,01 ,
= 0,02, =
dan
�� =
= . Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada
Gambar 6.
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 6 Harga dari opsi cash or nothing Eropa dengan =
dan
=
.
d) Opsi butterfly
1. Perhitungan harga opsi butterfly menggunakan parameter = , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0,01 ,
= 0,02, =
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 7.
(a) Skema eksplisit
(b) Skema implisit
Gambar 7 Harga dari opsi butterfly Eropa dengan =
dan =
.
2. Perhitungan harga opsi butterfly menggunakan parameter = , , � =
, , = ,
= ,
, k = 0.01 ,
= 0,02, =
dan =
�� =
. Perbandingan skema eksplisit dan implisit bisa dilihat pada Gambar 8.
21
(a) Skema eksplisit
Gambar 8 Harga dari opsi butterfly dengan
(b) Skema implisit
=
dan =
.
Dari Gambar 1-8 dapat dilihat untuk semua jenis opsi call. put, cash or
nothing dan butterfly pada saat
=
=
hasil yang diperlihatkan
metode eksplisit dan implisit tidak jauh berbeda. Namun ketika jumlah partisinya
diperbesar menjadi
=
=
perbedaan yang terjadi antara kedua
metode tersebut sangat signifikan, hal ini di sebabkan karena metode ekplisit tidak
stabil sehingga polanya tidak beraturan untuk partisi yang lebih besar.
Selanjutnya akan dihitung orde kekonvergenan metode tersebut dengan
membandingkan solusi eksaknya. Dalam menghitung orde kekonverenan metode
tersebut, dipilih serangkaian mesh yang dibangkitkan secara berurutan dengan
membagi dua ukuran mesh sebelumnya. Karena solusi eksak tidak diketahui,
maka digunakan solusi numerik dari mesh seragam dengan ℎ = ,
,
=
dan ∆� = ,
,
=
sebagai solusi “eksak”, dilambangkan
dengan � � . Selanjutnya dengan menggunakan solusi “eksak” tersebut,
dihitung rasio dari solusi numerik dari mesh yang berurutan dengan
‖ h∆τ − eksak ‖∞
Rasio =
⁄
‖ h∆τ⁄ − eksak ‖
∞
di mana ℎ∆� adalah solusi pada mesh dengan ℎ ukuran mesh saham dan ∆� ukuran
mesh waktu, serta
, � |.
‖ ℎ∆� − � � ‖∞ ≔
max | − � �
≤≤ ; ≤ ≤
Untuk orde kekonvergenan metode numeriknya dihitung dengan
Orde kekonvergenan = rata-rata rasio
Tabel 1 Hasil perhitungan norma dan rasio untuk opsi call
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
0,6848
11
6
0,3821
1,79
21
11
0,2121
1,80
41
21
0,1219
1,74
81
41
0,073
1,67
161
81
0,0442
1,65
321
161
0,0253
1,75
641
321
22
0,0114
2,22
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 1 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi call adalah sekitar 1,80 .
Tabel 2 Hasil perhitungan norma dan rasio opsi put
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
0,6798
11
6
0,3808
1,79
21
11
0,2118
1,80
41
21
0,1218
1,74
81
41
0,0729
1,67
161
81
0,0442
1,65
321
161
0,0253
1,75
641
321
0,0114
2,23
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 2 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi put adalah sekitar 1,80.
Tabel 3 Hasil perhitungan norma dan rasio opsi cash or nothing
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
0,4013
11
6
0,3326
1,21
21
11
0,2594
1,28
41
21
0,1922
1,35
81
41
0,1438
1,34
161
81
0,1155
1,25
321
161
0,0852
1,36
641
321
0,0512
1,66
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 3 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi cash or nothing adalah sekitar 1,35.
Tabel 4 Hasil perhitungan norma dan rasio opsi butterfly
Skema Implisit
M
N
‖. ‖∞
Rasio
1,2637
11
6
0,7017
1,80
21
11
0,3866
1,82
41
21
0,2142
1,80
81
41
0,1223
1,75
161
81
0,0712
1,72
321
161
0,0398
1,79
641
321
0,0176
2,26
1281
641
Hasil perhitungan rasio di Tabel 4 menunjukkan orde kekonvergenan
metode upwind pada opsi butterfly adalah sekitar 1,84 .
23
5. SIMPULAN
Pada penelitian ini dapat dilihat bahwa penggunaan metode beda hingga
upwind akan konvergen ketika menggunakan skema diskretisasi implisit terhadap
waktu. Skema diskretisasi ini terbukti monoton, konsisten dan stabil. Berdasarkan
hasil dari simulasi numerik, dapat ditunjukkan bahwa orde kekonvergenan untuk
metode beda hingga upwind dengan model volatilitas Leland adalah sekitar 1,80
untuk opsi call dan opsi put, 1,35 opsi cash or nothing, serta 1,84 untuk opsi
butterfly.
DAFTAR PUSTAKA
Bermon A, Robert J & Plemmons. 1994. Nonnegative Matrices in the
Mathematical Sciences, Philadelphia: Society for Industrial and Applied
Mathematics.
Barles G. 1997. Convergence of Numerical Schemes for Degenerate Parabolic
Equations Arising in Finance, in: L.C.G. Rogers, D. Talay (Eds.),
Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge University Press.
Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. J.
Political Economy. 81: 637-659.
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2003. Invesment. United State of America: The
McGraw-Hill.
Company R, Navarro E, Pintos JR. 2008. Numerical solution of linear and
nonlinear Black–Scholes option pricing equations. J. Computers and
Mathematics with Applications. 56 :813–821.
Dragoni F. 2009. Introduction to Viscosity Solutions for Nonlinear PDEs.
London: Notes Imperial College London.
Fujimoto T, Ranade R. 2004. Two characterizations of inverse-positive matrices:
the Hawkins-Simon condition and the Le Chatelier-Braun principle.
Electronic Journal of Linear Algebra 11: 59–65.
Hull J, White A. 2006. Option. Future. and Other Derivatives. 6th edition. New
Jersey: Prentice – Hall.
Hull J, White A. 1987. The pricing of option on asset with stochastic volatilities.
J. Finance. 42:281-300.
Leland HE. 1985. Option pricing and replication with transaction costs. J.
Finance. 40: 1283-1301.
Lesmana DC, Wang S. 2013. An upwind finite difference for a taklinear BlackScholes equation governing European option valuation under transaction
costs. J. Applied Mathematics and Computation. 219: 8811-8828
Niwiga DB. 2005. Numerical method for valuation of financial derivatives.
[Thesis]. South Africa : University of Werstern Cape.
Morgenson G, Harvey CR. 2002. The New York Times Dictionary of Money and
Investing: The Essential A-to-Z Guide to The Language of The New
Market. New York: Times Book.
Ross SM, 1996. Sthochastic Process. New York : John Wiley & Son Inc.
24
Strikwerda JC. 1989. Finite Difference Schemes and Partial Differential
Equations. 1st Ed. Madison: Wadsworth & Brooks.
Zhang K, Wang S. 2009. A Computational scheme for options under jump
diffusion processes. J. Numerical Analysis and Modeling 6 : 110-123.
Zhao Jichao. 2007. Compact finite difference method for American option pricing.
J. Computational and Applied Mathematics 206 : 306–321.
LAMPIRAN
1.
Sintaks program untuk diskretisasi eksplisit
function D=ExplisitAr(u0,g1,g2,S_end,T,nS,nt)
format long
nS1 = nS + 1;
%% jumlah titik S
nt1 = nt + 1;
%% jumlah titik t
hS = S_end/nS;
%% panjang sub-interval S
hS2 = hS*hS;
ht = T/nt;
%% panjang sub-interval t
sigma0 = 0.2;
r = 0.08;
%% tingkat suku bunga bebas
risiko
%k = 0.01;
%% biaya transaksi
%dt = 0.02;
%% periode transaksi
%%%% Grid untuk variabel S dan t
25
Svec = hS*(0:nS);
tvec = ht*(0:nt);
%% size = 1x(nS+1)
%% size = 1x(nt+1)
%%%% Batas
U= zeros(nt1, nS1);
%% size = (nt+1)x(nS+1)
for p = 1:nS1
U(1,p) = feval(u0,Svec(p)); %%Syarat awal
end
for k = 1:nt1
U(k,1) = feval(g1,tvec(k)); %% Syarat batas 1
U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k)); %% syarat batas 2
end
for m = 2:nt1
%% iterasi waktu
Vtemp = U(m-1,:);
U_SS = zeros (1, nS1-2);
for j = 2:nS1-1
U_SS(j-1) = (Vtemp(j-1)-2*Vtemp(j)+
Vtemp(j+1))/hS2;
end
%%%% Volatilitas Leland
sigma2 = zeros(nS1-2, 1);
for i = 1:nS1-2
if U_SS(i)>0
sigma2(i) =
sigma0^2*(1+((2/3.14)^0.5)*0.01/(sigma0*(0.02)^0.5));
elseif U_SS(i)