Metode Binomial untuk Menentukan Harga Opsi Call Indonesia dan Strategi Lindung Nilainya

(1)

JAENUDIN

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(2)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul “Metode Binomial untuk Menentukan Harga Opsi Call _{Indonesia dan Strategi Lindung Nilainya”} adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan oleh penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Pebruari 2009

Jaenudin NIM G551050091

(3)

Hedging Strategy. Under direction of I GUSTI PUTU PURNABA and DONNY CITRA LESMANA.

Indonesian stock option can be considered as an American style barrier option with forced exercise if the price hits or crosses the barrier before maturity. The payoff of the option is based on a weighted moving average (WMA) of the price of the underlying stock. This paper mainly focuses on investigating the theoretical value of Indonesian option. Binomial Lattice model and Monte Carlo simulation are used to price the Indonesian option with European style. However, in pricing Indonesian option with American style, we apply binomial lattice model because of its simplicity in handling early exercise.

The estimated option price from Indonesian compared to that of the ordinary options models confirms the condition that the Indonesian option price will be lower than the ordinary European option price. Regarding the sensitivity analysis of the Indonesian option models, the parameters show high sensitivity across several samples. Boyle and Lau method should be applied to get better and smoother outcome. The numerical algorithms for Indonesian option are rather straight forward and make sense. Moreover, they are consistent with related literature and analysts’ opinion, even though some algorithms such as delta hedging still need refinement.

Keywords: binomial models, option valuation, Indonesian Option, Monte Carlo simulation, binomial lattice.

(4)

JAENUDIN. Metode Binomial untuk Menentukan Harga Opsi CallIndonesia dan Strategi Lindung Nilainya. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA.

Opsi merupakan suatu kontrak antara seorang pembeli dan seorang penjual yang memberikan hak kepada pembeli (tetapi bukan kewajiban) untuk menjual atau membeli sesuatu pada waktu tertentu pada tingkat harga tertentu yang disepakati pada saat ini. Suatu opsi untuk membeli sesuatu disebut call; sedangkan suatu opsi untuk menjual sesuatu disebut put. Seseorang yang menerbitkan suatu opsi disebut writer. Untuk memperoleh opsi, pemegang opsi membayar premi kepada writer. Opsi dapat dieksekusi sebelum waktu jatuh tempo (expiration date) yang disebut eksekusi lebih awal (early exercise). Opsi juga dapat dijual kapanpun sebelum jatuh tempo.

Opsi tipe Amerika dan opsi tipe Eropa berbeda dalam hal kapan opsi dapat dieksekusi. Opsi tipe Amerika dapat dieksekusi kapan saja sampai waktu jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat jatuh tempo. Opsi tipe Amerika bernilai paling sedikit sebesar opsi tipe Eropa karena opsi tipe Amerika dapat dieksekusi lebih awal. Di Indonesia, terdapat opsi yang disebut opsi Indonesia, yang mempunyai ciri-ciri yang sangat mirip dengan opsi tipe Amerika, kecuali pada opsi Indonesia akan dieksekusi secara otomatis pada saat harga saham (stock price) mengenai atau melewati suatu batas (barrier).

Tujuan penelitian ini antara lain: (1) meneliti nilai opsi Indonesia secara teoritis; (2) menentukan harga opsi Indonesia dengan tipe Eropa menggunakan Model Binomial Lattice dan simulasi Monte Carlo; (3) menentukan harga opsi Indonesia dengan tipe Amerika menggunakan model Binomial Lattice; dan (4) menentukan strategi lindung nilai (hedging) menggunakan opsi Indonesia.

Metode penelitian yang digunakan adalah kajian literatur dan eksplorasi beberapa model dasar yang memberikan pondasi untuk model opsi Indonesia. Selain itu dilakukan analisis untuk menentukan strategi lindung nilai (hedging) menggunakan opsi Indonesia tersebut.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa estimasi opsi Eropa biasa dengan metode binomial dan Monte Carlo hampir sama atau masih terletak dalam selang kepercayaan Monte Carlo. Perbandingan hasil antara model Indonesia dan biasa (model Eropa dan Amerika) memperkuat pernyataan bahwa harga opsi Indonesia lebih rendah dari pada harga opsi biasa.

Kata kunci: Model binomial, Monte Carlo, opsi Indonesia, nilai opsi call, strategi hedging.

(5)

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

(6)

DAN STRATEGI LINDUNG NILAINYA

JAENUDIN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(7)

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. Ketua

Donny Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math. Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

Dekan Sekolah Pasca Sarjana

(8)

(9)

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2008 ini adalah Metode Binomial untuk Menentukan harga Opsi Call _{Indonesia dan Strategi Lindung} Nilainya. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. selaku pembimbing serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir penulis sampaikan terima kasih kepada Ayah, Ibu, Istri, serta seluruh keluarga, atas do’a dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Pebruari 2009

(10)

Abidin dan Ibu Emi Sukaemi. Penulis merupakan putra kelima dari enam bersaudara.

Tahun 1998 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tasikmalaya Jawa Barat dan

pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui Undangan Seleksi Masuk

IPB. Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada program

studi dan pada perguruan tinggi yang sama diperoleh pada tahun 2005.

Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah

Jakarta sejak Agustus 2006. Mata Kuliah yang diajarkan adalah Matematika Dasar,

Aljabar Linear, Kalkulus, Matematika Ekonomi dan Matematika Keuangan.

(11)

x

I

PENDAHULUAN

_...1

1.1 Latar Belakang ...2

1.2 Rumusan Masalah ...2

1.3 Tujuan Penelitian...2

1.4 Ruang Lingkup Penelitian ...3

1.5 Sistematika Pembahasan ...3

II

LANDASAN TEORI

_...4

2.1 Pengertian Opsi ...4

2.2 Aset yang Mendasari Opsi ...4

2.3 Nilai Opsi ...4

2.4 Tipe Opsi...5

2.5 Keuntungan Opsi...6

2.6 Faktor-faktor yang Mempengaruhi Opsi...7

2.7 Persamaan Black-Scholes ...7

2.8 Formulasi Harga Black-Scholes...11

2.9 Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) ...16

2.10 Pengertian Model Binomial ...16

2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret ...16

2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu ...19

III

PENENTUAN OPSI INDONESIA

_...22

3.1 Spesifikasi Opsi Indonesia ...22

3.2 Model...22

3.3 Opsi Tipe Eropa...23

3.4 Opsi Indonesia dengan Tipe Eropa ...26

3.5 Opsi Amerika ...28

3.6 Opsi Amerika dengan Batas (Opsi Indonesia) ...29

IV

HASIL EMPIRIS

_...31

4.1 Penilaian Numerik...31

4.2 Analisis Sensitivitas ...32

4.3 Delta Hedging

...38

V

KESIMPULAN DAN SARAN

_...40

DAFTAR PUSTAKA

_...41

(12)

3.1 Model binomial untuk harga saham... 24

3.2 Nilai opsi callsatu periode pada binomial ... 25

4.1 Grafik nilai opsi call Indonesia vs jumlah periode (tanpa mempertimbangkan metode Boyle dan Lau) ... 32

4.2 Grafik nilai opsi call Indonesia vs jumlah periode (dengan mempertimbangkan metode Boyle dan Lau) ... 33

4.3 Grafik nilai opsi callIndonesia vsharga saham sekarang ... 33

4.4 Grafik nilai opsi callIndonesia vstingkat suku bunga ... 34

4.5 Grafik nilai opsi callIndonesia vsharga eksekusi... 35

4.6 Grafik nilai opsi call Indonesia vsvolatilitas (tanpa mempertimbangkan metode Boyle dan Lau)... 36

4.7 Grafik nilai opsi call Indonesia vs volatilitas (dengan mempertimbangkan metode Boyle dan Lau) ... 36

4.8 Grafik nilai opsi call Indonesia vs waktu jatuh tempo (tanpa mempertimbangkan metode Boyle dan Lau) ... 37

4.9 Grafik nilai opsi call Indonesia vs waktu jatuh tempo (dengan mempertimbangkan metode Boyle dan Lau) ... 37

4.10 Delta hedgingharga opsi vsnilai portofolio ... 38

(13)

xii 1 Penurunan persamaan (2.8) ... 43

2 Penurunan persamaan (2.15) ... 44

3 Program dengan software Matlab 7.0 untuk gambar dan perhitungan nilai pada tabel ... 46

(14)

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Terdapat banyak

cashflow

dalam pasar finansial dunia setiap hari, dan para

analis pasar ingin sekali memahami bagaimana menaksir secara akurat nilai produk

finansial. Tidak seperti pasar aset, pasar derivatif merupakan pasar untuk instrumen

kontraktual di mana kinerjanya ditentukan oleh bagaimana kinerja instrumen atau

aset lainnya. Produk derivatif dapat digunakan sebagai instrumen untuk mengelola

risiko (risk management) dan spekulasi, serta untuk mengurangi biaya transaksi atau

untuk menghindari pajak dan regulasi (McDonald 2006).

Salah satu jenis produk derivatif adalah opsi. Opsi merupakan suatu kontrak

antara seorang pembeli dan seorang penjual yang memberikan hak kepada pembeli

(tetapi bukan kewajiban) untuk menjual atau membeli sesuatu pada waktu tertentu

pada tingkat harga tertentu yang disepakati pada saat ini. Suatu opsi untuk membeli

sesuatu disebut

call; sedangkan suatu opsi untuk menjual sesuatu disebut

put.

Seseorang yang menerbitkan suatu opsi disebut

writer. Untuk memperoleh opsi,

pemegang opsi membayar premi kepada writer. Opsi dapat dieksekusi sebelum waktu

jatuh tempo (expiration date) yang disebut eksekusi lebih awal (early exercise). Opsi

juga dapat dijual kapanpun sebelum jatuh tempo.

Opsi tipe Amerika dan opsi tipe Eropa berbeda dalam hal kapan opsi dapat

dieksekusi. Opsi tipe Amerika dapat dieksekusi kapan saja sampai waktu jatuh

tempo, sedangkan opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat jatuh tempo. Opsi

tipe Amerika bernilai paling sedikit sebesar opsi tipe Eropa karena opsi tipe Amerika

dapat dieksekusi lebih awal.

Simulasi nilai opsi dapat dilakukan untuk memperoleh nilai opsi yang sesuai

dengan menerapkan metode komputasi yang tepat. Tulisan ini berusaha untuk

mencapai hal tersebut dengan menggunakan teknik pemodelan pada matematika

(15)

finansial. Keberhasilan pendekatan ini bergantung pada apakah model memberikan

hasil yang logis dan relevan atau tidak. Tulisan ini juga mencoba untuk mendapatkan

prosedur komputasi yang paling reliable

untuk menjelaskan nilai opsi Indonesia.

Di Indonesia, terdapat opsi yang disebut opsi Indonesia, yang mempunyai

ciri-ciri yang sangat mirip dengan opsi tipe Amerika, kecuali pada opsi Indonesia akan

dieksekusi secara otomatis pada saat harga saham (stock price) mengenai atau

melewati suatu batas (barrier).

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah dapat dituliskan sebagai

berikut:

1 Bagaimana karakteristik nilai opsi Indonesia secara teoritis?

2 Bagaimana nilai opsi Indonesia yang diperoleh dari pendekatan nilai opsi biasa

baik tipe Eropa maupun tipe Amerika?

3 Bagaimana strategi lindung nilai (hedging) menggunakan opsi Indonesia

tersebut?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1 Meneliti nilai opsi Indonesia secara teoritis.

2 Penentuan harga opsi Indonesia dengan tipe Eropa menggunakan Model Binomial

Lattice dan simulasi Monte Carlo.

3 Penentuan harga opsi Indonesia dengan tipe Amerika menggunakan model

Binomial Lattice.

(16)

1.4 Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup penelitian ini adalah sebagai berikut:

1 Model penentuan harga opsi menggunakan formula Black-Scholes.

2 Model penentuan harga opsi dengan metode binomial.

3 Konstruksi model opsi Indonesia.

4 Penentuan nilai opsi Indonesia.

1.5 Sistematika Pembahasan

Karya ilmiah ini terdiri atas lima bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan

mengenai opsi Indonesia. Secara singkat, tinjauan beberapa literatur yang relevan

pada metodologi penentuan harga produk derivatif disajikan pada bagian dua. Pada

bagian ketiga dilakukan eksplorasi beberapa model dasar yang memberikan pondasi

untuk model opsi Indonesia. Sementara itu, bagian keempat menyajikan hasil

numerik. Kesimpulan dan saran untuk penelitian berikutnya diberikan pada bagian

terakhir.

(17)

II LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Opsi

Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi merupakan suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan. Pemegang opsi tidak diharuskan untuk menggunakan haknya atau menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut.

2.2 Aset yang Mendasari Opsi

Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain: opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option), opsi berjangka (future option), dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan opsi saham adalah suatu opsi dengan saham sebagai aset yang mendasarinya.

2.3 Nilai Opsi 2.3.1 Nilai Intrinsik

Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis yang menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari harga eksekusi (K). Sedangkan nilai intrinsik opsi put akan bernilai positif jika harga saham yang terjadi (ST) kurang dari harga eksekusi (K).

2.3.2 Nilai Waktu

Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat.

(18)

Opsi tipe Eropa tidak mempunyai nilai waktu karena eksekusi dilaksanakan hanya pada saat jatuh tempo.

2.4 Tipe Opsi

Terdapat dua tipe opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan (strike/exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada tingkat harga tertentu sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi, terdapat empat hal utama, yaitu (1) harga aset yang mendasari yang akan dibeli; (2) jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli; (3) harga eksekusi aset yang mendasari; (4) tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date.

Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua tipe, yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Misalkan harga awal (pada saat dibuat kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T, dan harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo) adalah K, serta c f(t,S) menyatakan harga opsi call tipe Eropa, dan p f(t,S) menyatakan harga opsi put tipe Eropa. Nilai intrinsik opsi call tipe Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbalan (payoff) atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi, yaitu

) 0 , max(S K

c _T  .

Jika ST > K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan membeli saham dengan harga K yang lebih kecil dari ST, dan akan mendapatkan hasil sebesar ST–K. Jika S_T K, opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST < K, opsi call dikatakan dalam keadaan out of money. Kondisi payoffdari opsi putEropa adalah

) 0 , max(K S_T

p  .

Jika ST > K, opsi put tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak akan menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi calltipe Eropa dengan puttipe Eropa yang dikenal dengan put-call parity, dapat dinyatakan sebagai berikut:

(19)

S p Ke

c rT   dengan rmenyatakan suku bunga bebas risiko.

Jika C f(t,S) menyatakan harga opsi call tipe Amerika dan P f(t,S) menyatakan harga opsi put tipe Amerika, maka payoff pada waktu jatuh tempo untuk calladalah

) 0 , max(S K

C  _T  ,

sedangkan untuk opsi putadalah

) 0 , max(K S_T

P  .

2.5 Keuntungan Opsi

Beberapa manfaat yang diperoleh dengan melakukan perdagangan opsi antara lain:

1 Manajemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga risiko kerugian dapat dihindari.

2 Memberi waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hinggga masa jatuh tempo.

3 Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya jika harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.

4 Diversifikasi: dengan melakukan perdagangan opsi dapat memberikan kesempatan kepada investor untuk melakukan diversifikasi portofolio untuk tujuan memperkecil risiko investasi portofolio.

5 Tambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.

(20)

2.6 Faktor-faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi 2.6.1 Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi

Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasarinya meningkat dan akan menjadi kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sedangkan pada opsi put, pembayaran atas eksekusi opsi sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.

2.6.2 Tanggal Jatuh Tempo

Pada tipe Amerika, opsi call maupun opsi putakan menjadi lebih berharga jika jatuh temponya semakin meningkat. Sedangkan pada opsi tipe Eropa, nilainya tidak terpengaruh dengan waktu jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak.

2.6.3 Volatilitas

Volatilitas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa yang akan datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan. Pemilik dari suatu opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko penurunan harga. Begitu pula bagi pemegang opsi putyang memperoleh manfaat dari penurunan harga tetapi dibatasi oleh risiko kenaikan harga.

2.6.4 Dividen

Dividen yang diharapkan selama opsi masih berlaku akan mempunyai pengaruh terhadap pengurangan harga aset yang mendasari pada tanggal pembagian dividen. Tanggal pembagian dividen dapat memberikan sentimen negatif bagi nilai opsi call, tetapi berdampak baik untuk meningkatkan nilai opsi put.

2.7 Persamaan Black-Scholes

Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:

(21)

1 Harga aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai fungsi kepekatan peluang lognormal.

2 Tidak ada biaya transaksi dan pajak.

3 Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku. 4 Tidak terdapat peluang arbitrage.

5 Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu. 6 Short sellingdiijinkan.

7 Suku bunga bebas risiko adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.

Untuk memodelkan persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah, yaitu:

Definisi 2.1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik X 



X(t),tT



adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh (sample space) Ωke suatu ruang state(state space) S.

Definisi 2.2 (Gerak Brown)

Proses stokastik X 



X(t),tT



disebut gerak Brown jika: 1 X(0) = 0.

2 Untuk 0t₁t₂...t_n, peubah acak X(t_i)X(t_i_₁), i = 1,2,..,n saling bebas.

3 Untuk setiap t > 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian 2t (Ross 1996).

Definisi 2.3 (Gerak Brown Geometris)

Jika



X(t),t0



adalah gerak brown, maka proses stokastik



Z(t),t0



yang didefinisikan ()

) (t eX t

(22)

Definisi 2.4 (Proses Wiener)

Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1 (Niwiga 2005).

Definisi 2.5 (Proses Wiener Umum)

Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak Xdapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):

) ( )

(t adt bdW t

dX   (2.1)

a disebut sebagai komponen deterministik dan bdW(t) menyatakan komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan drift ratedan varian ratedari X.

Definisi 2.6 (Proses Ito’)

Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):



(),





(),



() )

(t a X t t dt b X t t dW t

dX   (2.2)

Lema 2.1 (Lema Ito’)

Misalkan proses X(t) memenuhi persamaan (2.2) dan fungsi )

), ( ( )

(t f X t t

Y  adalah kontinu serta turunan-turunan f_t(X(t),t), f_X(X(t),t), )

), ( (X t t

f_XX kontinu, maka Y(t) f(X(t),t) memenuhi persamaan berikut (Gihman, 1972):





) ( ) ), ( ( 2 1 ) ( ) ), ( ( )

), ( ( )

(t f X t t dt f X t t dX t f X t t dX t

dY  _t  _X  _XX (2.3)

dengan

2 2

, ,

dX f d f dX

df f dt df

(23)

Model Harga Saham

Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan  volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003):

) ( ) ( ) ( )

(t S t dt S t dW t

dS   . (2.4)

Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate µS. Parameter µmenyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µS(t)dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah S(t)dW(t), dengan  menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4), yaitu: dS(t)S(t)dtS(t)dW(t).

Dengan persamaan (2.4) ini, dapat diterapkan lema Ito’ untuk suatu fungsi )

, (t S

V , yaitu nilai opsi dengan harga saham Spada waktu t, sehingga diperoleh: ) ( 2 1 2 2 2 2 t dW S V S dt S V S t V S V S dV                 

    . (2.5)

Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli suatu opsi dan menjual

S V  

saham. Misalkan  adalah nilai portofolio yang didefinisikan oleh S S V V    

 . (2.6)

Perubahan portofolio pada selang waktu dtdidefinisikan sebagai dS S V dV d    

(24)

Dengan menyubstitusikan persamaan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh dt S V S t V d _          

 2 2 2₂

2 1



 . (2.8)

(penurunan dapat dilihat pada lampiran 1).

Return dari investasi sebesar  pada saham tidak berisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt. Agar tidak terdapat peluang arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari persamaan (2.8), yaitu: . 2 1 2 2 2 2 dt S V S t V dt r _              (2.9)

Substitusi persamaan (2.6) ke dalam persamaan (2.9), diperoleh . 2 1 2 2 2 2 dt S V S t V dt S t V V r _                      sehingga . 0 2 1 2 2 2

2 _ _

        rV t V S V rS S V S  (2.10)

Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan diferensial Black-Scholes-Merton (Hull 2003).

2.8 Formulasi Harga Black-Scholes

Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoffdari opsi callpada saat jatuh tempo adalah



max( ,0)



ˆ _S _K

E _T  (2.11)

Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari ST, maka









_









T T T

T K S K g S dS S

Emax( ,0) ( ) . (2.12)

Misalkan Gln(S), maka 1, ₂ 1₂ dan 0.

2           t G S S G S S G

Berdasarkan Lema Ito’ diperoleh

(25)

dz S S dt S S S S

G 1 1

2 1 0 1 2 2 2           _ _   . 2 1 2 dz dt            

Karena µdan konstan maka Gln(S) mengikuti gerak Brown dengan rataan 

  



  2

2 1



 dan varian2.

Berdasarkan persamaan (2.3), S dS

merupakan tingkat pengembalian dari harga saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga diganti dengan r. Karena Gln(S)berubah dari 0 sampai T dan

) ln(S

G mengikuti gerak Brown, maka ln(S)berdistribusi normal dengan rataan (r– 1/22)Tdan varian2T.

Misalkan pada waktu t0, nilai Gln(S₀)dan pada waktu T nilai )

ln(S_T

G , maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, (ln(S_T)ln(S₀)) adalah berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:



lnST lnS0



           

 r T T

N  ,

2 1 2

atau dapat dituliskan lnSTberdistribusi normal dengan

T S

ln  _

           

 r T T

N  ,

2 1

ln ₀ 2 .

Dengan demikian lnSTberdistribusi normal dengan rataan T r S m          2 0 2 1 ln 

dan standar deviasi

s (2.13)

(26)

T m S Q T  

 ln . (2.14)

Substitusi m dari Persamaan (2.13) ke dalam Persamaan (2.14), sehingga diperoleh





r T

T S

S T

Q _T _

        2 1 ln ln 1 2 0   

maka peubah Qjuga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Qdinyatakan dengan h(Q), yaitu

2 / 2 2 1 )

(Q e Q

h  

 (2.15)

(lihatlampiran 2)

Persamaan (2.14) dinyatakan menjadi

m T Q T e

S    . (2.16)

Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (2.12), dari integral menurut STmenjadi integral menurut Qadalah sebagai berikut:

Jika ST= , maka Q= . Jika ST= K, maka Q T m

K    sehingga

T m K Q  

 ln .

Dengan menggunakan persamaan (2.15), (2.16), perubahan batas integral dan misalkan s T , maka persamaan (2.12) menjadi:











_





  _   s m K m Qs

T K e K h Q dQ S E / ) (ln ) ( 0 , max ˆ



     _  s m K s m K m Qs dQ Q h K dQ Q h e / ) (ln / ) (ln ) ( ) (



      _  s m K s m K Q m

Qs _e _dQ _K _h _Q _dQ e / ) (ln / ) (ln 2 / ₍ ₎ 2 1 2 



       _  s m K s m K m Qs Q dQ Q h K dQ e / ) (ln / ) (ln 2 / ) 2 2 ( ) ( 2 1 2 



        _  s m K s m K m s s Q dQ Q h K dQ e / ) (ln / ) (ln 2 / ) 2 ) ( ( ) ( 2

1 2 2

(27)



       _  s m K s m K s Q s m dQ Q h K dQ e e / ) (ln / ) (ln 2 / ) ( ) 2 / ( ) ( 2 1 2 2 



     _ _  s m K s m K s m dQ Q h K dQ s Q h e / ) (ln / ) (ln ) 2 / ( ) ( ) ( 2 ,

Sehingga persamaan (2.12) dapat dinyatakan dengan









_

     _ _   s m K s m K s m

T K e hQ s dQ K hQ dQ

S E / ) (ln / ) (ln ) 2 / ( ) ( ) ( 0 , max ˆ 2 (2.17)

Jika N(x) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka











N K m s s



dQ s Q h

e m T

s m K

m _ _  _ _ _



 



( ) /21 ln /

/ ) (ln ) 2 /

(2 _2











N K m s s



em T   

  / ln 2 / 2  .

Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas disubstitusikan dengan persamaan (2.13) dan s T , maka diperoleh

                                    



T T T r S K N e dQ s Q h

e m T

s m K s m     2 ln ln ) ( 2 0 2 / / ) (ln 2 / 2 2                                      T T T r K S N em T

    2 2 0 2 / 2 ln 2                           _          T T r K S N em T

   2 ln 2 0 2 / 2

 

1 2 /

d N em T

 , dengan                                    T T r K S d   2 ln 2 0 1 .

(28)

Dengan alasan yang serupa di atas, maka



                s m K s m K N K dQ Q h K / ) (ln ln 1 ) (         s m K KN ln

Dengan mensubstitusikan m dan spada persamaan (2.13) ke dalam persamaan di atas diperoleh



                            _     s m K T T r S K KN dQ Q h K / ) (ln 2 0 2 ln ln ) (                                      T T r K S KN   2 ln 2 0

=KN(d2),

dengan T T r K S d                        2 ln 2 0 2 ,

Sehingga persamaan (2.12) menjadi





 

2 / 2 ) 0 , max(

ˆ _S _K _e _N _d _KN _d

E _T   m T  . (2.18)

Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa yang dilambangkan dengan cadalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai



max( ,0



ˆ _S _K

E e

c rT _T  . (2.19)

Dengan substitusi persamaan (2.18) dan (2.19) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi calltipe Eropa tanpa membayar dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu

 

₁ ( ₂)

0N d Ke N d

c  rT . (2.20)

(29)

                          _         T T r K S d   2 ln 2 0 1 dan T T r K S d               _         2 ln 2 0 2 .

2.9 Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio)

Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah

0 0 dS

uS c c_u _d

  

 (2.21)

Dengan cu dan cd adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau turun, sedangkan uS0dan dS0merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah

terjadi perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan memegang  lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh harga saham akhir. Portofolio itu sering disebut portofolio bebas risiko (riskless portofolio).

2.10 Pengertian Model Binomial

Model binomial merupakan suatu bentuk cara penentuan harga opsi, yang mengasumsikan bahwa sebuah saham hanya dapat memiliki dua nilai yang mungkin pada saat opsi kadaluwarsa. Saham tersebut mungkin meningkat (up) hingga harga tertinggi atau turun (down) hingga harga terendah (Bodie 1997). Meskipun tampaknya merupakan penyederhanaan yang berlebihan, tetapi cara ini memungkinkan untuk lebih dekat memahami model-model yang lebih rumit dan realistik.

2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret

Penghitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga diskret, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga saham sekarang saat T– 1 maka harga saham pada saat Takan bergerak naik dengan faktor u atau akan bergerak turun dengan faktor ddengan 1d 11u, d<0 dan u>0.

(30)

Jika cTmenyatakan nilai opsi callpada waktuT, maka:

Pada waktu T– 1 dapat dibentuk portofolio leverageyang terdiri atas saham Sdan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi callpada waktu T:

Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage pada waktu Tdiperoleh:

(1+u)ST-1+(1+r)B= cT,u (2.22)

(1+d)ST-1+(1+r)B= cT,d (2.23)

Setelah diselesaikan sistem persamaan linear pada (2.22) dan (2.23) di atas diperoleh:





, ,

 

  

T d T u T

S d u

c c

(2.24)

) 1 )( (

) 1 ( ) 1

( _, _,

r d u

c d c

B T d Tu

 

  

 (2.25)

ST-1

ST,u= (1+u)ST-1

ST,d= (1+d)ST-1

c(T-1)

cT,u= max{0, (1+u)ST-1–K}

cT,d= max{0, (1+d)ST-1–K}

ST-1+B

(1+u)ST-1+(1+r)B

(31)

dengan  menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah  saham dan satu opsi call.

Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage memberikan payoff yang sama, maka pada T-1 harus memiliki nilai yang sama pula. Maka substitusikan persamaan (2.24) dan (2.25) dalam persamaan berikut, diperoleh

B S c_T_₁ _T_₁

) 1 )( ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( , , 1 1 , , r d u c d c u S S d u c

c _T_d _T_u

T T d T u T            ) 1 )( ( ) ( ) ( _, _, r d u c r u c d

r _T_u _T_d

      (2.26) Dengan mensubstitusikan d u d r p  

 , dan

d u r u p     1 diperoleh ) 1 ( ) 1 ( _, , 1 r c p pc

c_T Tu Td

   

 . (2.27)

Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call tipe Eropa dengan metode binomial 2 periode, 3 periode dan nperiode, yaitu

2 , 2 , , 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 r c p c p p c p

c_T Tuu Tud Tdd

       (2.28)





3 , 3 , 2 , 2 , 3 3 ) 1 ( ) 1 ( 1 3 ) 1 ( 3 r c p c p p c p p c p

c_T Tuuu Tuud Tudd Tddd

         (2.29) n n j T j n j n T r K S p p j n c ) 1 ( ) ( ) 1 ( 0          



    (2.30)

(32)

2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu

Perhitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga kontinu, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T–1 maka harga saham pada saat Takan naik dengan faktor kenaikan udan akan turun dengan faktor penurunan ddengan d< 1 < u, demikian juga terhadap nilai opsinya yaitu dari fmenjadi fudan fd

dengan S0merupakan harga saham saat waktu T – 1, fudan fd adalah harga opsi

pada waktu T yang didefinisikan sebagai f_u max(0,S₀uK) dan )

, 0

max( S₀d K

f_d   dengan Kmerupakan harga eksekusi pada waktu T.

Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah  saham dan posisi short untuk satu opsi call

Portofolio akan menjadi bebas risiko ketika S0u – fu= S0d –fd, sehingga

diperoleh nilai

d S u S

f f_u _d

0 0 

 

 . (2.31)

Nilai portofolio pada waktu Tadalah S0u–fu, sehingga nilai portofolio pada saat

ini merupakan present value dari S0u – fuyaitu (S0u – fu)e-rT, dengan radalah

suku bunga bebas risiko. Ekspresi lain dari portofolio pada saat ini adalah S0–f.

Sehingga dengan membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh S0–f= (S0u–fu)e-rT

f= S0– (S0u–fu)e-rT (2.32)

S0u

S0d

S0-f

S0u -fu

(33)

substitusikan nilai pada persamaan (2.32) rT u d u d

u _S _u _f _e

d S u S f f S d S u S f f

f _ 

            0 0 0 0 0 0 rT d rT u rT e f d u d e f d u d e

f _ 

            1





d u p f e pf

f  (1 )  (2.33)

dengan d u d e p rT  

 dan untuk pembahasan selanjutnya p disebut sebagai peluang risiko netral.

Dengan langkah-langkah yang dilakukan seperti di atas, untuk metode binomial dengan dua periode, diperoleh





ud uu

u pf p f e

f  (1 )  (2.34)





dd du

d pf p f e

f  (1 )  (2.35)





d u p f e pf

f  (1 )  (2.36)

dengan d u d e p rT    .

Substitusikan persamaan (2.34) dan (2.35) ke dalam persamaan (2.36) diperoleh harga opsi calldengan model binomial dua periode adalah

f= [p2fuu+ p(1 –p)fud + (1 –p)2fdd]e-2rt. (2.37) Untuk penentuan harga opsi call dengan metode binomial tiga periode dirumuskan

f= [p3fuuu+ 3p2(1 –p)fuud +3p(1 –p)2fudd + (1 –p)3fddd]e-3rt. (2.38) Sehingga untuk nperiode pada metode binomial dengan waktu kontinu diperoleh

(34)





nrt n

n j n j

e K S p p j n

f  



 

   

 

 

     





) 1

( (2.39)

(35)

III

PENENTUAN NILAI OPSI INDONESIA

3.1

Spesifikasi Opsi Indonesia

Opsi saham Indonesia mulai diperjualbelikan pada Bursa Saham Indonesia pada tanggal 9 September 1994. Opsi saham Indonesia dapat dipertimbangkan sebagai opsi berbatas tipe Amerika di mana akan dieksekusi secara otomatis jika harga menyentuh atau melalui batas sebelum jatuh tempo (maturity). Imbalan (payoff) berdasarkan weigthed moving Average (WMA) harga saham yang diperjualbelikan (underlying stock). Batas tetap pada tingkat harga eksekusi (strike) ditambah atau dikurang 10 persen.

Contoh kontrak: Kontrak ini membolehkan pemegang saham untuk membeli 1 saham ABC dengan harga Rp. 100.000 sebelum atau pada saat 28 Agustus 2009. Kontrak opsi dapat dieksekusi kapan saja selama periode opsi saham, sampai waktu jatuh tempo T atau sampai harga WMA menyentuh atau melalui batas B= 0.9 untuk put, B= 1.1 untuk call.

Gunardi, et. al (2006) telah mengkaji penentuan harga opsi Indonesia pada ekonomi Black-Scholes. Mereka menghasilkan aproksimasi secara analitik untuk harga opsi. Akan tetapi mereka tidak mengkonstruksi strategi hedging

menggunakan opsi. Dalam karya ilmiah ini, pertama mempertimbangkan opsi Indonesia dengan tipe Eropa menggunakan simulasi Monte Carlo serta model binomial. Pada tingkatan selanjutnya, diperbolehkan eksekusi lebih awal pada model sebelumnya dan menyelesaikannya dengan model binomial. Pada saat menentukan harga opsi berbatas (barrier option) menggunakan model binomial, Boyle dan Lau (1994) memprediksi bahwa konvergensi metode sangat lambat, dan menemukan bahwa hasilnya cenderung mempunyai bias tetap. Untuk menyelesaikan masalah ini, mereka mengemukakan suatu metode untuk mendapatkan langkah waktu yang tepat untuk mengurangi bias.

3.2 Model

Dalam karya ilmiah ini, dikonstruksi model opsi Indonesia sebagai suatu proses kendala fleksibel (relaxing contraints) dari opsi tipe Eropa Plain Vanilla.

(36)

Pertama, dibangun suatu algoritma untuk harga opsi Eropa menggunakan simulasi Monte Carlo serta model Binomial. Kemudian, membandingkan hasil dari dua pendekatan tersebut. Kedua, menempatkan batas ke dalam model opsi tipe Eropa untuk memperoleh opsi Indonesia dengan tipe Eropa. Harga opsi Indonesia dengan tipe Eropa akan lebih rendah daripada harga opsi Eropa Plain Vanilla

karena pembatasan pada kenaikan saham. Setelah itu, dikonstruksi suatu algoritma untuk harga opsi tipe Amerika. Karena opsi Amerika mempunyai ciri dapat dieksekusi lebih awal, hal ini lebih mudah untuk menentukan harga opsi menggunakan model binomial lattice. Setelah berhasil menentukan harga opsi tipe Amerika menggunakan model binomial, ditempatkan batas ke dalam model opsi tipe Amerika untuk menghasilkan model opsi Indonesia. Seperti yang diprediksi oleh Boyle dan Lau (1994), dengan memilih setiap jumlah langkah waktu (time step), hasilnya mempunyai bias tetap. Sehingga, digunakan metode yang dikemukakan oleh mereka dalam memilih banyaknya langkah waktu.

3.3

Opsi Tipe Eropa

Suatu opsi call tipe Eropa memberikan pemiliknya hak, tetapi bukan kewajiban untuk membeli dari writeraset tertentu pada tingkat harga tertentu pada waktu tertentu. Sedangkan opsi puttipe Eropa memberikan pemiliknya hak, tetapi bukan kewajiban, untuk menjual kepada writer suatu aset tertentu pada tingkat harga tertentu pada waktu tertentu.

Imbalan dari suatu opsi call pada waktu jatuh tempo: Cmax



S(T)K,0



, dimana,

S(T) : harga saham pada waktu jatuh tempo;

K: harga eksekusi (exercise/strike);

C: harga call.

Suatu opsi tipe Eropa jika imbalannya dapat diekspresikan sebagai suatu fungsi

 





 dari harga asset S

 

T pada waktu jatuh tempo T. Sehingga, imbalan

untuk call Eropa dengan harga strike K dapat ditulis sebagai



S(T)



max



S(T)K,0



(37)

Dalam model Black-Scholesdiasumsikan

 

 /2 , 0

Z T T d

e S T

S    Z ~N

 

0,1 .

Harga opsi tipe Eropa dengan fungsi imbalan (x)dapat diberikan sebagai nilai harapan suatu peubah acak:







r T TZ



S E e S

V ₀,0    ₀ 2/2  .

Matematika model Black-Scholes sangat sulit karena harga dapat bergerak ke nilai harga tak terbatas pada waktu yang tak terbatas juga. Model binomial membatasi pergerakan harga pada dua pilihan dalam satu periode. Karena model binomial konvergen ke model Black-Scholes pada saat panjang periode menuju nol. Model binomial membawa pada algoritma numerik yang efisien untuk menentukan harga opsi (Lyu 2002).

Pada model binomial, waktu merupakan waktu diskret dan diukur dalam periode. Model mengasumsikan bahwa jika harga sekarang S, maka harga akan berubah menjadi Sudengan peluang qdan Sddengan peluang 1-q, dengan 0< q <1 dan d <

u. Misalkan waktu jatuh tempo hanya satu periode dari sekarang. Misalkan C_u

harga pada saat harga saham bergerak menjadi Sudan C_d harga pada saat harga saham bergerak menjadi Sd, sehingga diperoleh C_u max



0,SuK



dan



Sd K



C_d max 0,  . Lihat gambar 1 dan gambar 2 untuk ilustrasi.

Gambar 3.1 Model binomial untuk harga saham

Sd Su

1-q q S

(1)

89 55.1509014

150.150901

1

53.52

150.15 -96.63

90 56.3787003

2 151.3787

1

54.74

151.38 -96.64

91 52.5394695

1 147.53947

1

50.89

147.54 -96.65

92 50.1909577

7 145.190958

1

48.53

145.19 -96.66

93 49.1493268

3 144.149327

1

47.48

144.15 -96.67

94 45.2748359

2 140.274836

1

43.59

140.27 -96.68

95 45.3645283

8 140.364528

1

43.67

140.36 -96.69

96 44.1801666

7 139.180167

1

42.48

139.18 -96.70

97 41.7577753

8 136.757775

1

40.04

136.76 -96.71

98 40.4613240

9 135.461324

1

38.74

135.46 -96.73

99 37.7034349

5 132.703435

1

35.97

132.70 -96.74

100 36.5320604

131.53206

1

34.79

131.53 -96.75

101 36.3526823

3 131.352682

1

34.60

131.35 -96.76

102 37.5222213

1 132.522221

1

35.76

132.52 -96.77

103 39.7266680

9 134.726668

1

37.95

134.73 -96.78

104 40.6673278

3 135.667328

1

38.88

135.67 -96.79

105 40.3282334

4 135.328233

1

38.53

135.33 -96.80

106 41.4705821

6 136.470582

1

39.66

136.47 -96.81

107 42.4409048

8 137.440905

1

40.62

137.44 -96.82

108 44.1141697

5 139.11417

1

42.28

139.11 -96.83

109 44.5591494

4 139.559149

1

42.72

139.56 -96.84

110 42.9694793

3 137.969479

1

41.12

137.97 -96.85

111 43.0390068

9 138.039007

1

41.18

138.04 -96.86

112 43.1525124

7 138.152512

1

41.28

138.15 -96.87

113 40.0605552

5 135.060555

1

38.18

135.06 -96.88

114 40.6259964

7 135.625996

1

38.73

135.63 -96.89

115 41.6274265

5 136.627427

1

39.72

136.63 -96.90

116 42.1791608

137.179161

1

40.27

137.18 -96.91

117 40.4318447

7 135.431845

1

38.51

135.43 -96.92

118 45.2423675

140.242367

1

43.31

140.24 -96.93

119 42.1931231

2 137.193123

1

40.25

137.19 -96.94

120 42.6618840

7 137.661884

1

40.71

137.66 -96.95

121 41.3212511

8 136.321251

1

39.36

136.32 -96.97

122 41.2953183

6 136.295318

1

39.32

136.30 -96.98

123 37.0664655

2 132.066466

1

35.08

132.07 -96.99

124 39.3786019

134.378602

1

37.38

134.38 -97.00

125 42.8875751

1 137.887575

1

40.88

137.89 -97.01

126 42.7969425

9 137.796943

1

40.78

137.80 -97.02

127 44.1747963

8 139.174796

1

42.15

139.17 -97.03

128 43.7731450

6 138.773145

1

41.73

138.77 -97.04

129 46.0052865

6 141.005287

1

43.96

141.01 -97.05

130 47.6416155

4 142.641616

1

45.58

142.64 -97.06

131 46.1693885

141.169389

1

44.10

141.17 -97.07

132 45.1620777

8 140.162078

1

43.08

140.16 -97.08

133 49.2599391

7 144.259939

1

47.17

144.26 -97.09

134 51.0959271

1 146.095927

1

48.99

146.10 -97.10

135 52.9374342

3 147.937434

1

50.83

147.94

(2)

136 52.7074497

7 147.70745

1

50.59

147.71 -97.12

137 55.8185055

8 150.818506

1

53.69

150.82 -97.13

138 60.9808425

1 155.980843

1

58.84

155.98 -97.14

139 55.2532336

5 150.253234

1

53.10

150.25 -97.15

140 57.1377397

2 152.13774

1

54.97

152.14 -97.16

141 56.8666439

5 151.866644

1

54.69

151.87 -97.17

142 57.4936332

9 152.493633

1

55.31

152.49 -97.18

143 58.9172019

1 153.917202

1

56.72

153.92 -97.20

144 59.0618527

7 154.061853

1

56.86

154.06 -97.21

145 62.1979049

9 157.197905

1

59.98

157.20 -97.22

146 61.0231419

156.023142

1

58.80

156.02 -97.23

147 58.0174445

7 153.017445

1

55.78

153.02 -97.24

148 58.3935747

7 153.393575

1

56.15

153.39 -97.25

149 53.8715390

2 148.871539

1

51.61

148.87 -97.26

150 50.4168459

3 145.416846

1

48.15

145.42 -97.27

151 47.4811614

6 142.481161

1

45.20

142.48 -97.28

152 46.1373658

2 141.137366

1

43.85

141.14 -97.29

153 48.0169766

143.016977

1

45.72

143.02 -97.30

154 45.7553769

1 140.755377

1

43.44

140.76 -97.31

155 43.8508247

2 138.850825

1

41.53

138.85 -97.32

156 45.7235924

140.723592

1

43.39

140.72 -97.33

157 47.8064169

8 142.806417

1

45.46

142.81 -97.34

158 45.6851592

2 140.685159

1

43.33

140.69 -97.35

159 47.8366203

142.83662

1

45.47

142.84 -97.36

160 49.2176906

4 144.217691

1

46.84

144.22 -97.37

161 49.3673219

6 144.367322

1

46.98

144.37 -97.38

162 46.2598835

6 141.259884

1

43.87

141.26 -97.39

163 43.5228076

6 138.522808

1

41.12

138.52 -97.41

164 40.7587775

3 135.758778

1

38.34

135.76 -97.42

165 42.4471087

5 137.447109

1

40.02

137.45 -97.43

166 41.3374462

3 136.337446

1

38.90

136.34 -97.44

167 42.2901026

7 137.290103

1

39.84

137.29 -97.45

168 41.0848708

5 136.084871

1

38.63

136.08 -97.46

169 39.6972862

9 134.697286

1

37.23

134.70 -97.47

170 38.0137947

5 133.013795

1

35.54

133.01 -97.48

171 35.8255623

130.825562

1

33.34

130.83 -97.49

172 37.3191894

6 132.319189

1

34.82

132.32 -97.50

173 36.7593499

1 131.75935

1

34.25

131.76 -97.51

174 38.6940404

2

(3)

Lampiran 3.19:

Delta hedging

pada saat harga saham disimulasikan

menggunakan Black-Scholes (Simulasi kedua)

Waktu

Harga Opsi

Harga Saham

Delta

Nilai Portofolio

Saham

Kas

0

7.83

100 0.3719

7.83

37.19 -29.35

1

7.94 100.137227

0.3772

7.88

37.77 -29.89

2

7.83 100.023195

0.3737

7.84

37.38 -29.54

3

7.49 98.0889046

0.4002

7.11

39.25 -32.14

4

7.05 97.5498129

0.3820

6.89

37.26 -30.37

5

6.67 96.3580011

0.3827

6.43

36.88 -30.45

6

6.94 97.4434392

0.3786

6.84

36.89 -30.05

7

7.31 97.9391507

0.3963

7.03

38.81 -31.78

8

6.87 96.6950858

0.3948

6.53

38.17 -31.64

9

6.81 96.6377957

0.3929

6.51

37.97 -31.46

10

7.23 97.2336767

0.4138

6.74

40.23 -33.49

11

6.60 95.7841227

0.4025

6.13

38.55 -32.42

12

6.36 96.1111124

0.3746

6.26

36.00 -29.74

13

6.67 95.9294767

0.4075

6.19

39.09 -32.90

14

6.65 95.9395495

0.4078

6.19

39.13 -32.94

15

6.29 95.4561112

0.3913

5.99

37.36 -31.37

16

5.90 94.9376636

0.3732

5.78

35.43 -29.65

17

5.21 92.7625906

0.3669

4.97

34.03 -29.06

18

5.83 94.3069743

0.3869

5.53

36.48 -30.95

19

5.22 92.8521729

0.3693

4.97

34.29 -29.33

20

5.47 93.8222108

0.3692

5.32

34.64 -29.32

21

4.62 90.9403206

0.3613

4.25

32.86 -28.60

22

4.21 89.8146967

0.3484

3.84

31.29 -27.45

23

3.30 87.1937085

0.3059

2.93

26.67 -23.74

24

3.95 89.3923095

0.3328

3.60

29.75 -26.15

25

4.20 90.3452275

0.3388

3.91

30.61 -26.69

26

3.56 88.2806008

0.3175

3.21

28.03 -24.82

27

3.09 86.8987814

0.2927

2.77

25.44 -22.67

28

2.84 85.9928659

0.2820

2.50

24.25 -21.74

29

3.20 87.2519859

0.3022

2.85

26.36 -23.51

30

3.12 87.133447

0.2974

2.82

25.91 -23.09

31

3.36 88.0989208

0.3071

3.10

27.06 -23.96

32

3.59 88.6338916

0.3241

3.26

28.73 -25.47

33

3.75 89.0081624

0.3357

3.38

29.88 -26.50

34

3.81 89.193117

0.3410

3.44

30.42 -26.98

35

3.76 89.5024962

0.3283

3.54

29.38 -25.84

36

3.73 89.4900114

0.3270

3.54

29.27 -25.73

37

3.77 89.6347885

0.3313

3.58

29.70 -26.12

38

4.12 90.7634524

0.3450

3.95

31.32 -27.36

39

4.95 92.7024237

0.3869

4.62

35.87 -31.25

40

5.04 93.309004

0.3788

4.85

35.34 -30.49

(4)

42

4.32 91.2911305

0.3613

4.08

32.99 -28.91

43

4.65 91.9415945

0.3839

4.31

35.30 -30.99

44

4.72 92.5109062

0.3779

4.52

34.96 -30.44

45

5.23 93.8134716

0.3959

5.01

37.14 -32.13

46

5.13 93.682139

0.3907

4.96

36.60 -31.65

47

5.05 93.5895517

0.3870

4.92

36.22 -31.30

48

5.22 93.903733

0.3985

5.03

37.42 -32.38

49

6.04 95.6290339

0.4317

5.72

41.28 -35.57

50

6.66 97.0016467

0.4501

6.31

43.66 -37.36

51

7.06 98.0408014

0.4537

6.77

44.48 -37.71

52

6.37 97.1520478

0.4207

6.36

40.87 -34.50

53

5.76 95.3546621

0.4216

5.60

40.20 -34.60

54

5.23 94.1523657

0.4064

5.09

38.26 -33.17

55

4.91 93.6846205

0.3881

4.90

36.36 -31.46

56

5.14 94.0919638

0.4036

5.05

37.97 -32.92

57

5.33 94.4449892

0.4169

5.19

39.38 -34.18

58

5.18 94.2388668

0.4088

5.10

38.52 -33.42

59

5.49 95.1745552

0.4145

5.48

39.45 -33.97

60

5.38 94.634769

0.4237

5.25

40.10 -34.84

61

4.69 93.1777558

0.3952

4.63

36.82 -32.19

62

5.71 95.6116231

0.4312

5.59

41.23 -35.63

63

5.01 93.7967789

0.4178

4.81

39.19 -34.38

64

6.10 96.658138

0.4401

6.00

42.53 -36.54

65

6.03 96.1801432

0.4532

5.78

43.59 -37.81

66

6.25 96.9361081

0.4518

6.12

43.79 -37.67

67

5.98 96.1844278

0.4536

5.78

43.63 -37.85

68

4.94 94.2676922

0.4075

4.90

38.42 -33.51

69

5.03 94.4521699

0.4148

4.98

39.17 -34.20

70

5.15 94.6936292

0.4243

5.07

40.18 -35.11

71

5.14 94.3908286

0.4382

4.94

41.36 -36.42

72

5.50 95.3138061

0.4485

5.34

42.75 -37.41

73

5.59 95.4944255

0.4553

5.42

43.48 -38.06

74

4.82 93.9900184

0.4217

4.73

39.63 -34.90

75

5.08 94.4647817

0.4401

4.93

41.57 -36.65

76

4.93 94.2723991

0.4322

4.84

40.75 -35.91

77

5.11 94.9286053

0.4330

5.12

41.10 -35.98

78

5.04 94.5516379

0.4428

4.95

41.87 -36.92

79

5.15 95.0746893

0.4387

5.18

41.71 -36.53

80

4.93 94.4670887

0.4390

4.91

41.47 -36.56

81

4.81 94.3036198

0.4321

4.83

40.75 -35.92

82

4.10 92.5843744

0.4064

4.08

37.63 -33.54

83

4.39 93.4172704

0.4185

4.42

39.10 -34.68

84

5.13 95.2616699

0.4458

5.19

42.47 -37.28

85

4.99 94.8097145

0.4519

4.98

42.84 -37.86

86

4.62 93.9758416

0.4394

4.60

41.29 -36.69

87

3.96 92.6079591

0.4039

4.00

37.40 -33.41

88

3.51 91.5745284

0.3798

3.57

34.78 -31.21

(5)

89

2.70 89.2886085

0.3333

2.70

29.76 -27.06

90

2.62 89.1623354

0.3273

2.66

29.18 -26.52

91

1.96 86.9426267

0.2752

1.93

23.92 -21.99

92

2.43 88.6582879

0.3164

2.40

28.06 -25.66

93

2.75 89.6942684

0.3427

2.72

30.74 -28.02

94

2.26 88.3458641

0.3019

2.26

26.67 -24.42

95

2.94 90.4410001

0.3569

2.89

32.28 -29.39

96

2.55 89.2906534

0.3331

2.47

29.74 -27.27

97

2.27 88.6118363

0.3066

2.25

27.17 -24.93

98

2.27 88.7002965

0.3082

2.27

27.34 -25.07

99

2.24 88.5907006

0.3110

2.23

27.55 -25.32

100

1.88 87.5051507

0.2777

1.89

24.30 -22.41

101

1.72 86.9798172

0.2639

1.74

22.95 -21.21

102

1.74 87.1238496

0.2668

1.78

23.24 -21.46

103

1.67 86.9806267

0.2598

1.74

22.60 -20.86

104

1.96 88.1470414

0.2924

2.04

25.77 -23.73

105

1.59 86.8969847

0.2526

1.67

21.95 -20.28

106

1.93 88.2259597

0.2913

2.01

25.70 -23.69

107

2.27 89.3660547

0.3256

2.34

29.09 -26.76

108

2.81 91.0167554

0.3727

2.87

33.92 -31.05

109

2.42 90.0637955

0.3414

2.51

30.75 -28.24

110

1.74 87.9190481

0.2778

1.78

24.42 -22.65

111

1.35 86.5071393

0.2350

1.38

20.33 -18.95

112

1.63 87.7300215

0.2666

1.67

23.38 -21.72

113

1.55 87.523935

0.2614

1.61

22.87 -21.26

114

1.84 88.7139918

0.2928

1.92

25.97 -24.05

115

1.51 87.5811314

0.2586

1.58

22.65 -21.06

116

1.34 87.0143803

0.2398

1.44

20.86 -19.43

117

1.39 87.349572

0.2486

1.51

21.71 -20.20

118

1.67 88.4493703

0.2831

1.79

25.04 -23.26

119

2.52 91.1856247

0.3704

2.56

33.77 -31.22

120

2.14 90.2386042

0.3350

2.20

30.23 -28.03

121

2.03 89.9709553

0.3275

2.11

29.47 -27.36

122

2.46 91.3111269

0.3705

2.55

33.83 -31.28

123

2.12 90.4199049

0.3416

2.21

30.89 -28.67

124

2.77 92.3013342

0.4039

2.85

37.28 -34.43

125

2.51 91.7177392

0.3831

2.61

35.13 -32.52

126

1.84 89.9002534

0.3173

1.91

28.53 -26.61

127

2.59 92.1257773

0.3979

2.62

36.66 -34.04

128

2.89 92.925509

0.4270

2.93

39.68 -36.75

129

3.47 94.3129277

0.4759

3.52

44.88 -41.36

130

3.15 93.7198244

0.4550

3.23

42.64 -39.41

131

3.36 94.2075385

0.4776

3.45

44.99 -41.54

132

2.46 92.2848233

0.4016

2.53

37.06 -34.54

133

2.23 91.7543742

0.3790

2.31

34.77 -32.46

134

1.47 89.6597698

0.2905

1.51

26.04 -24.53

135

1.00 87.9132804

0.2216

1.00

19.48 -18.48

(6)