Metode Numerik Untuk Menentukan Nilai Opsi Dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology (Rapm).

METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI
DENGAN MODEL VOLATILITAS RISK ADJUSTED PRICING
METHODOLOGY (RAPM)

ILHAM SYATA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Metode Numerik untuk
Menentukan Nilai Opsi dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology
(RAPM) adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2015
Ilham Syata
G551130061

RINGKASAN
ILHAM SYATA. Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model
Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM). Dibimbing oleh DONNY CITRA
LESMANA dan HADI SUMARNO.
Fisher Black dan Myron Scholes (1973) menunjukkan bahwa harga opsi
merupakan solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP) yang disebut
persamaan Black Scholes. Fisher Black dan Myron Scholes dalam merumuskan
persamaan Black-Scholes standar menggunakan asumsi bahwa tidak ada biaya
transaksi dalam jual beli aset atau opsi. Asumsi tersebut tidak relevan, karena
sebenarnya dalam jual beli aset selalu ada biaya transaksi. Dengan memasukkan
biaya transaksi ke dalam model, Jandacka & Sevcovic (2005) menunjukkan
bahwa volatilitas menjadi tidak konstan, yaitu suatu fungsi yang bergantung pada
harga saham dan turunan parsial kedua harga opsi terhadap harga saham.
Dengan mengasumsikan bahwa terdapat biaya transaksi untuk pembelian
dan penjualan aset atau opsi, persamaan Black-Scholes dengan volatilitas konstan

berubah menjadi Persamaan Black-Scholes taklinear sebagai berikut

dengan adalah harga opsi,
suku bunga bebas risiko,
adalah volatilitas termodifikasi,
dengan adalah waktu dan
adalah waktu jatuh tempo, adalah harga saham.
Jandacka dan Sevcovic (2005) dalam tulisannya berargumentasi bahwa
harga opsi adalah solusi dari persamaan diferensial parsial taklinear pada
persamaan di atas dengan volatilitas termodifikasi sebagai berikut

adalah turunan parsial kedua U terhadap S,
adalah ukuran biaya transaksi dan
adalah ukuran premi risiko,
adalah volatilitas sebagai fungsi dari dan
.
Secara umum persamaan diferensial parsial taklinear tidak memiliki solusi
analitik, termasuk pada kasus ini, sehingga diperlukan metode numerik untuk
menyelesaikannya. Persamaan Black-Scholes taklinear diaproksimasi dengan
metode implisit untuk diskretisasi waktu, dan metode beda hingga upwind untuk

diskretisasi ruang (harga saham). Metode beda hingga upwind adalah suatu
metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear
dengan cara mengkombinasikan antara beda hingga maju dan beda hingga
mundur.
Skema diskretisasi metode beda hingga upwind dan metode implisit
menghasilkan matriks sistem berupa matriks M. Skema diskretisasi tersebut
terbukti monoton, konsisten dan stabil untuk penyelesaian persamaan BlackScholes taklinear dengan model volatilitas RAPM. Selanjutnya, ditentukan orde
kekonvergenan solusi hampiran persamaan Black-Scholes taklinear dengan
metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham dan metode implisit
dengan

untuk diskretisasi waktu. Orde kekonvergenan opsi call, opsi put, opsi butterfly,
dan opsi cash or nothing (CoN) yaitu berkisar antara
Kata kunci : Opsi Eropa, Metode Beda Hingga Upwind dan metode Implisit,
Persamaan Diferensial Parsial taklinear, Volatilitas RAPM.

SUMMARY
ILHAM SYATA. Numerical Method for Determining Option Price with Risk
Adjusted Pricing Methodology (RAPM) Model. Supervised by DONNY CITRA
LESMANA and HADI SUMARNO.

Fisher Black and Myron Scholes (1973) showed that option price is the
solution of partial differential equations (PDE) called Black-Scholes equation.
When formulating the standard Black-Scholes equation, they assume that there is
no transaction costs on buying and selling either assets or options. This is
irrelevant because buying and selling assets always involve transaction costs. By
applying the transaction costs into the model, Jandacka and Sevcovic (2005)
showed that the volatility becomes a function of stock prices and the second
derivative of the option price.
Assuming that the transaction costs exist, the Black-Scholes equation with
constant volatility turns into a nonlinear Black-Scholes equation as follow

where

is the option price,
is a constant riskless interest rate,
is a modified volatility,
with is time and
is the
expiry date, and is stock price.
Jandacka and Sevcovic (2005) argue that option price is the solution of

nonlinear partial differential equations in the equation above with modified
volatility as follow

is the second partial derivative of U,
is a measure of transaction costs and
is a measure of the risk
premium,
is the modified volatility as a function of and
.
In general, nonlinear partial differential equations do not have analytical
solutions, including this one, so we require numerical methods to solve the
equations. The nonlinear Black-Scholes equation is approximated using an
implicit methods for time discretization and an upwind finite difference method
for space discretization. An upwind finite difference method solves the nonlinear
partial differential equations in a way that combines forward and backward finite
difference. From its discretization scheme, we have an M-matrix for the system
matrix. We show that the discretization scheme converges to the viscosity solution
to the equation by showing that the scheme is monotone, consistent, and stable.
The convergence rates of the approximation solutions to the nonlinear
equatioan using an upwind finite difference method for space discretization and an

implicit method for time discretization are calculated, and the results for call
option, put option, butterfly option, and cash-or-nothing (CoN) option are shown
to be betwen
where

Keywords: European Options, Upwind Finite Difference and implicit methods,
nonlinear Partial Differential Equations, RAPM Volatility

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

METODE NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPSI
DENGAN MODEL VOLATILITAS RISK ADJUSTED PRICING

METHODOLOGI (RAPM)

ILHAM SYATA

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat
dan ridho-Nya, kesempatan, dan kesehatan yang dikaruniakan-Nya sehingga

karya ilmiah yang berjudul “Metode Numerik untuk Menentukan Nilai Opsi
dengan Model Risk Adjusted Pricing Methodology (RAPM)” ini dapat
terselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Ayahanda dan Ibunda tercinta Muhammad Syata dan Sitti Rahman yang
telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang.
2. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, MFinMath dan Dr Ir Hadi Sumarno MS
selaku pembimbing, atas kesediaan dan kesabaran untuk membimbing dan
membagi ilmunya kepada penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini.
3. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan
Institut Pertanian Bogor.
4. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji luar komisi.
5. Dosen Departemen Matematika Terapan IPB yang telah mengasuh dan
mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan
studi, serta seluruh staf Departemen Matematika Terapan IPB atas bantuan,
pelayanan, dan kerjasamanya selama ini.
6. Mahasiswa Pascasarjana Departemen Matematika Terapan IPB, Petapa
Timbul IPB, dan HIMMPAS IPB atas segala bantuan dan kebersamaannya
selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam menuntut
ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat penulis
sebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Bogor, Oktober 2015
Ilham Syata

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang

Tujuan Penelitian

1
1
2

2 TINJAUAN PUSTAKA
Opsi
Aset yang Mendasari Opsi (Underlying Asset)
Persamaan Black-Scholes
Proses Harga Saham
Penurunan Persamaan Black-Scholes
Model Volatilitas RAPM
Metode Iteratif Newton
Matriks M
Solusi Viskositas
Operator Beda Hingga

2
2

5
5
7
7
9
9
10
10
11

3 METODE PENELITIAN
Langkah-langkah Penelitian

12
12

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Syarat awal dan Syarat Batas
Skema Diskretisasi
Kekonvergenan Skema Diskretisasi
Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi
Simulasi Numerik

12
12
13
14
18
21

5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan

25
25

DAFTAR PUSTAKA

25

LAMPIRAN

27

RIWAYAT HIDUP

32

DAFTAR TABEL
1
2
3
4

Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi call
Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put
Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi butterfly
Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi cash or nothing

22
23
24
25

DAFTAR GAMBAR
1 Payoff untuk opsi call dengan
pada
2 Payoff untuk opsi put dengan
pada
3 Payoff untuk opsi butterfly dengan
pada
4 Payoff untuk opsi cash or nothing dengan
5
6
7
8
9

Harga opsi call Eropa dengan
Harga opsi call Eropa dengan
Harga opsi put Eropa dengan
Harga opsi butterfly Eropa dengan
Harga opsi cash or nothing Eropa dengan

5
5
dan
5
dan

pada
5
21
21
23
24
24

DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian Lemma Ito’
2 Sintaks program

27
27

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pasar keuangan (financial market) terdiri atas pasar uang (money market)
dan pasar modal (capital market). Pasar uang adalah suatu tempat pertemuan di
mana para pemilik dana jangka pendek dapat menawarkan kepada calon pemakai
yang membutuhkannya, baik secara langsung maupun melalui perantara.
Sedangkan yang dimaksud dengan dana jangka pendek adalah dana-dana yang
dihimpun dari perusahaan maupun perorangan dengan batasan waktu dari satu
hari sampai satu tahun, yang dapat diperjualbelikan di dalam pasar uang.
Sedangkan untuk pasar modal terjadi jual beli aset keuangan untuk jangka panjang.
Pasar modal terdiri atas pasar obligasi, pasar saham, dan pasar derivatif (Bodie et
al 2003).
Derivatif digunakan oleh manajer investasi atau manajer portofolio,
perusahaan dan lembaga keuangan, serta investor perorangan untuk mengelola
posisi yang mereka miliki terhadap risiko dari pergerakan harga saham, komoditas,
suku bunga, atau nilai tukar valuta asing tanpa memengaruhi posisi fisik produk
yang menjadi acuannya (underlying). Produk derivatif merupakan suatu instrumen
keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya seperti
saham, obligasi, dan lain-lain. Salah satu produk derivatif adalah opsi. Opsi adalah
suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk
membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga dan waktu yang telah
ditentukan.
Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 menunjukkan bahwa
harga opsi merupakan solusi dari persamaan diferensial parsial (PDP) yang
disebut persamaan Black Scholes (Black & Scholes, 1973). Dalam merumuskan
persamaan Black-Scholes, salah satu asumsi yang digunakan adalah tidak ada
biaya transaksi dalam jual beli aset atau opsi. Asumsi tersebut sudah tidak relevan,
karena sebenarnya dalam jual beli aset selalu ada biaya transaksi. Dengan
memasukkan biaya transaksi ke dalam model, volatilitas menjadi tidak konstan
yaitu suatu fungsi yang bergantung pada turunan kedua dari harga saham,
persamaan Black-Scholes standar menjadi persamaan diferensial parsial taklinear
yang disebut persamaan Black-Scholes taklinear (Jandacka & Sevcovic, 2005;
Barles & Soner, 1998; Lesmana & Wang, 2013; Ankundinova & Ehrhardt, 2008;
Boyle & Vorst, 1992). Secara umum persamaan diferensial parsial taklinear sulit
diselesaikan secara analitik, termasuk pada kasus ini, sehingga diperlukan metode
numerik.
Beberapa pendekatan secara numerik dapat dilakukan untuk menentukan
harga opsi, antara lain pendekatan numerik dengan metode beda hingga (finite
difference method), metode volume hingga (finite volume method) (Wang 2004),
metode element hingga (finite element method) dan simulasi Monte Carlo (Monte
Carlo Simulation). Metode beda hingga upwind dan metode volume hingga
terbukti konsisten, stabil dan monoton (Zhang & Wang 2009; Lesmana & Wang
2013). Metode beda hingga (finite difference method) dengan metode diskretisasi
fully implisit monoton dan konvergen ke solusi viskositas, sedangkan CrankNicolson hanya monoton bersyarat (Pooley et al 2001).

2
Berdasarkan uraian di atas, pada penelitian ini akan dikaji perilaku dan
kecepatan kekonvergenan solusi numerik menggunakan metode beda hingga
upwind untuk diskretisasi harga dan metode implisit untuk diskretisasi waktu,
untuk model Black-Scholes dengan volatilitas RAPM.

Tujuan Penelitian
1.

2.

Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah:
mengembangkan metode numerik untuk mencari harga opsi ketika terdapat
biaya transaksi. Metode tersebut didasarkan pada metode implisit untuk
diskretisasi waktu, serta metode beda hingga upwind untuk diskretisasi
harga saham.
menentukan orde kekonvergenan solusi hampiran menggunakan metode
beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham, serta metode implisit
untuk diskretisasi waktu.

2 TINJAUAN PUSTAKA
Opsi
Definisi 1 (Opsi)
Opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian antara dua pihak, di mana salah satu
pihak (sebagai pembeli opsi) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu
aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang
ditentukan (Hull, 2006).
Nilai Opsi
Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk
mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat.
Ada beberapa hal yang memengaruhi nilai opsi, yaitu:
a) Harga underlying asset (S)
Underlying asset yang digunakan adalah saham. Harga saham berpengaruh
terhadap harga opsi. Jika harga saham naik maka harga opsi call akan
meningkat, sedangkan jika harga saham naik maka harga opsi put akan turun.
b) Harga strike (K)
Harga strike atau harga exercise merupakan harga jual atau harga beli saham
yang tercantum dalam kontrak opsi dan besarnya akan tetap selama masa
berlangsungnya opsi tersebut. Jika faktor lain diasumsikan tetap, maka
semakin rendah harga strike maka akan semakin tinggi harga opsi call,
sedangkan untuk opsi put semakin tinggi harga strike maka akan semakin
tinggi harga opsi tersebut.

3
c) Waktu jatuh tempo (T)
Waktu jatuh tempo akan memengaruhi perubahan harga opsi. Semakin lama
jangka waktu jatuh tempo suatu opsi maka akan semakin besar peluang harga
saham mempengaruhi harga opsi.
d) Volatilitas (σ)
Volatilitas merupakan suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga
berfluktuasi dalam suatu periode (Lo 2003). Volatilitas atas saham ini
mengukur tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham tersebut di masa
yang akan datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka kemungkinan
menyimpang dari nilai harapan juga semakin tinggi.
e) Suku bunga bebas risiko ( )
Pada tingkat suku bunga bebas risiko yang tinggi, investor akan lebih tertarik
untuk membeli opsi daripada membeli saham karena:
1. pemegang opsi dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau
tidak hingga masa jatuh tempo berakhir,
2. serta para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan
dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga
naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung
turun maka akan membeli opsi put.
Hal ini akan menyebabkan harga opsi naik.
f) Dividen ( )
Dividen merupakan bagian dari keuntungan perusahaan yang dibagikan
kepada para pemegang saham. Dividen menyebabkan harga saham turun
sesaat setelah pembagian dividen, sehingga memengaruhi harga opsi.
Beberapa istilah yang berhubungan dengan harga saham (S) dan harga strike
(K), yaitu:
1. opsi call
a) jika
, maka opsi call dikatakan dalam keadaan in the money.
Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan membeli saham
dengan harga strike (K), yang lebih kecil dari harga saham (S), kemudian
menjualnya di pasar dengan harga sebesar (S), sehingga pemegang opsi
tersebut akan mendapatkan imbalan sejumlah
,
b) jika
, maka opsi call dikatakan dalam keadaan at the money,
c) jika
, maka opsi call dikatakan out of the money dan investor tidak
akan mengeksekusi hak atas opsinya.
2. opsi put
a) jika
, maka opsi put dikatakan in the money. Pemegang opsi akan
mengeksekusi opsi put, yaitu dengan menjual saham dengan harga strike
(K), yang lebih besar dari harga saham (S), kemudian membelinya di pasar
dengan harga sebesar (S), sehingga pemegang opsi tersebut akan
mendapatkan imbalan sejumlah
b) jika
, maka opsi put dikatakan dalam keadaan at the money,
c) jika
, maka opsi put dikatakan dalam keadaan out of the money dan
investor tidak akan mengeksekusi hak atas opsinya.

4
Jenis-jenis opsi
Jenis-jenis opsi yaitu:
1. opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu
dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price)
pada atau sebelum waktu jatuh tempo.
2. opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu
dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo.
3. opsi butterfly merupakan strategi spread yang melibatkan kombinasi antara
empat opsi call dengan 2 harga strike yang berbeda dan dua harga strike
yang sama, di mana investor tidak bisa menentukan nantinya harga saham
naik atau turun.
4. opsi cash or nothing merupakan opsi yang memberikan imbalan sebesar 1
satuan jika harga saham lebih besar dari harga strike dan memberikan
imbalan sebesar 0 jika harga saham lebih kecil harga strike. Opsi cash or
nothing disebut juga opsi call digital atau opsi biner.
Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi
tipe Amerika.
1. opsi tipe Eropa (European option) adalah opsi yang memberikan hak kepada
pemegangnya untuk membeli atau menjual underlying asset hanya pada
waktu jatuh tempo.
2. opsi tipe Amerika (American option) memberikan hak kepada pemegangnya
untuk membeli atau menjual underlying asset pada saat atau sebelum waktu
jatuh tempo.
(Hull, 2006).
Payoff harga opsi
Payoff adalah imbalan yang diperoleh dari jual beli opsi ketika opsi tersebut
dieksekusi. Payoff opsi tipe Eropa sebagai berikut
untuk call
untuk put
untuk butterfly
untuk CoN

{

dengan adalah fungsi heaviside,
harga strike, dan

(Lesmana & Wang 2013).

adalah konstanta,

,

,

, dan

adalah

{

Diagram payoff untuk opsi call, opsi put, opsi butterfly dan opsi cash or nothing
(CoN) digambarkan pada Gambar 1 – 4.

5

Aset yang Mendasari (Underlying Asset)
Aset yang mendasari (underlying asset) adalah aset yang dijadikan sebagai
objek atau dasar transaksi. Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang
dapat digunakan sebagai aset dasar, antara lain indeks (index), valuta asing
(foreign currency), surat berjangka (future) dan saham (stock). Opsi indeks adalah
suatu opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah
suatu opsi dengan aset berbasis mata uang asing dengan kurs tertentu, opsi
berjangka adalah suatu opsi dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan
opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham.
Dalam tulisan ini, underlying asset yang digunakan adalah saham.
Bursa Amerika yang memperdagangkan opsi saham antara lain The Chicago
Board Option Exchange (CBOE), The Philadephia Stock Exchange (PHLX), The
American Stock Exchange (AMEX), dan New York Stock Exchange (NYSE).
Bursa Indonesia yang memperdagangkan opsi saham adalah Bursa Efek Jakarta
(BEJ).
Persamaan Black-Scholes
Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi
mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:

6
1. suku bunga bebas risiko ( ) adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh
tempo.
2. dimungkinkan adanya short selling terhadap aset (saham). Short shelling yaitu
meminjam suatu aset kepada seseorang kemudian menjualnya dengan harapan
bahwa bisa membeli kembali aset tersebut dengan harga yang lebih murah
kemudian mengembalikannya.
3. perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
4. tidak terdapat peluang arbitrage.
5. tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
6. harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang lognormal.
7. tidak ada biaya transaksi dalam pembelian atau penjualan aset atau opsi.
Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan
beberapa istilah berikut:
Definisi 2 (Proses Stokastik)
Proses stokastik
adalah suatu koleksi (gugus, himpunan, atau
kumpulan) dari peubah acak (random variables). Untuk setiap t pada himpunan
indeks H, W(t) adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai waktu
(Ross, 1996).
Definisi 3 (Gerak Brown)
Proses stokastik
disebut gerak Brown jika memenuhi
persyaratan berikut (Ross, 1996):
1.
di mana
=
2. untuk
peubah acak
saling bebas.
3. untuk setiap
berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi
.
Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).
Definisi 4 (Proses Wiener Umum (Generalized Wiener Process))
Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak S dapat dinyatakan sebagai berikut
(Hull 2006):
(1)
dengan
disebut sebagai komponen deterministik dan
menyatakan
komponen stokastik, serta
adalah proses Wiener, sedangkan
dan
masing-masing menyatakan rataan (drift rate) dan standar deviasi (variance rate)
dari S.
Definisi 5 (Proses Ito’)
Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari
peubah acak S dan waktu t. Secara aljabar proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai
berikut (Hull, 2006).
.
(2)

7
Lemma Ito’
Misalkan fungsi

merupakan fungsi kontinu yang dapat diturunkan secara

ada. Selanjutnya didefinisikan persamaan
parsial terhadap x dan t, yaitu , ,
diferensial stokastik dari variabel x dengan drift rate
dan variansi rate
(3)

,

dengan
fungsi

merupakan gerak Brown,
akan mengikuti proses:
{

dan

adalah fungsi dari x dan t. Maka
}

(4)

Proses Harga Saham
Dengan kondisi pasar yang tidak menentu menyebabkan terjadinya perubahan
harga saham. Harga saham merupakan variabel stokastik karena dipengaruhi oleh
faktor-faktor yang tidak dapat ditentukan secara pasti. Sehingga perubahan harga
saham dapat dimodelkan menggunakan persamaan diferensial stokastik berikut:
(5)
dengan
adalah komponen deterministik,
adalah komponen
stokastik dan
adalah proses Wiener. Sedangkan dan masing-masing
menyatakan nilai harapan dan volatilitas dari harga saham tersebut. Persamaan ini
juga dikenal sebagai model pergerakan harga saham.
Selanjutnya dari Lemma Ito’, diketahui bahwa jika harga saham
mengikuti model saham pada persamaan (5), maka bentuk persamaan diferensial
stokastik untuk sebuah fungsi U(S(t), t) dengan
dapat dinyatakan dalam
bentuk
.

(6)

Solusi dari persamaan (5) adalah:
{

}

(7)

dengan
dan T berturut-turut adalah harga saham pada awal kontrak,
harga saham pada saat jatuh tempo, suku bunga bebas risiko, volatilitas harga
saham, dan waktu jatuh tempo (Hull, 2006).
Penurunan Persamaan Black-Scholes Standar
Misalkan
menyatakan harga opsi pada harga saham S dan pada
waktu t, serta dari persamaan (5) diketahui bahwa perubahan harga saham S
bergerak mengikuti proses
(8)
,

8
berdasarkan Lemma Ito’, proses untuk U berubah atas interval waktu dt yang
sangat kecil, akan diperoleh
(9)
Versi diskret dari persamaan (8) dan (9) adalah
(10)
dan
(11)
di mana
dan
adalah perubahan harga saham S dan harga opsi U pada
selang waktu . Adapun
pada persamaan (10) dan (11) adalah
√
karena proses Wiener pada persamaan (10) dan (11) adalah sama. Selanjutnya
dipilih sebuah portofolio dari saham S dan opsi U sehingga proses Wiener
dapat dihilangkan.
saham. Pemegang portofolio
Portofolio tersebut adalah
opsi dan
ini akan menjual satu opsi dan membeli saham sebanyak . Nilai dari portofolio
tersebut adalah sebesar x, dengan
(12)
.
Perubahan nilai portfolio
dalam selang waktu
adalah
(13)
.
Substitusi (10) dan (11) ke dalam (13), menghasilkan
.

(14)

Portofolio ini dikatakan tidak berisiko karena tidak ada faktor ketidakpastian.
Portofolio ini dikatakan konstan sehingga portofolio ini mempunyai pendapatan yang
sama dengan saham jangka pendek lainnya yang bebas risiko.
Perubahan nilai portofolio bebas risiko dapat dinyatakan dengan
, dengan
r adalah suku bunga bebas risiko. Dengan mensubstitusi persamaan (12) dan
ke persamaan (14) diperoleh

(

)

(15)
(16)

Persamaan (16) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes standar.
Dengan melakukan transformasi
, maka
(17)
sehingga persamaan (16) dapat dituliskan sebagai berikut:

9
(18)

Model Volatilitas RAPM
Dengan mengasumsikan bahwa terdapat biaya transaksi untuk pembelian
dan penjualan aset atau opsi, volatilitas menjadi suatu fungsi yang bergantung
pada saham dan turunan parsial kedua harga opsi terhadap harga saham. Sehingga
persamaan Black-Scholes standar berubah menjadi persamaan Black-Scholes
taklinear sebagai berikut
(19)
dengan adalah harga opsi,
suku bunga bebas risiko,
adalah volatilitas,
dengan adalah waktu dan
adalah waktu
jatuh tempo, adalah harga saham.
Jandacka dan Sevcovic (2005) dalam tulisannya berargumentasi bahwa
harga opsi adalah solusi dari persamaan diferensial parsial taklinear pada
persamaan (19) dengan volatilitas termodifikasi sebagai berikut:
(20)
dengan

adalah ukuran biaya transaksi dan

adalah ukuran premi risiko,
adalah turunan parsial kedua U terhadap
S,
adalah volatilitas sebagai fungsi dari dan
. Persamaan BlackScholes taklinear tersebut yang akan dibahas dalam tesis ini.

Metode Iteratif Newton
Metode iteratif Newton digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
taklinear yang memiliki bentuk sebagai berikut:

(21)

Untuk menyederhanakan notasi, definisikan
sebagai vektor x
dan
dengan adalah vektor nol. Dengan notasi tersebut,
sistem persamaan (21) dapat ditulis dalam notasi matriks menjadi
.
Berikut ini adalah pendekatan yang dilakukan dengan metode iteratif Newton
(22)
dengan,

10
bilangan cacah
adalah turunan parsial dari yaitu

serta elemen-elemen

(23)

(24)
(

dengan metode iteratif Newton, akan dicari vektor
ke vektor nol, sehingga

)

yang membuat

konvergen
(25)
(26)
(27)

di mana
adalah matriks segi dan
adalah vektor yang diketahui.
Untuk langkah selanjutnya, penentuan solusi memiliki proses berikut:
1. Selesaikan
2.
dengan adalah
3. Ulangi proses iterasi sampai konvergen dengan | |
bilangan positif yang sangat kecil.
Matriks M
Definisi 6 (Matriks M)
Matriks
merupakan matriks dengan invers
diagonal utama bernilai positif dan elemen
Misalkan adalah suatu matriks taksingular
untuk setiap
dan
∑
| | maka matriks disebut matriks

matriks bernilai positif di mana
yang lainnya bernilai takpositif.
berukuran
dengan
≤ 0
untuk setiap
dan
(Fujimoto & Ranade 2004).

Solusi Viskositas
Misalkan diberikan PDP orde-2 sebagai berikut
,

(28)

Solusi viskositas diberikan pada definisi berikut
Definisi 7 (Solusi Viskositas)
Misalkan
adalah himpunan terbuka dan kontinu di
i. Dikatakan bahwa adalah subsolusi viskositas persamaan (28) pada titik
, jika dan hanya jika, untuk setiap fungsi uji
sedemikian
sehingga
yang mencapai maksimum lokal di , dan
(29)

11
ii.

iii.

Dikatakan bahwa adalah supersolusi viskositas persamaan (28) pada titik
jika dan hanya jika, untuk setiap fungsi uji
sedemikian
sehingga
yang mencapai minimum lokal di , dan
(30)
Dikatakan bahwa adalah solusi viskositas pada himpunan terbuka jika
adalah subsolusi viskositas dan supersolusi viskositas, pada setiap titik

(Dragoni, 2009).

Operator Beda Hingga
Persamaan Black-Scholes taklinear akan diaproksimasi dengan diskretisasi
menggunakan metode implisit untuk diskretisasi waktu, serta metode beda hingga
upwind untuk diskretisasi harga saham. Metode beda hingga upwind adalah suatu
metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial taklinear
dengan cara mengkombinasikan antara beda hingga maju dan beda hingga
mundur.
Untuk diskretisasi harga, misalkan
dibagi menjadi
subinterval, di mana
dengan
, dan untuk setiap
dimisalkan
. Untuk diskretisasi waktu, misalkan
menjadi sub-interval, di mana

dibagi

dengan
dan untuk setiap
dimisalkan
.
Aproksimasi turunan parsial pertama dan kedua diperoleh dari ekspansi
deret Taylor sebagai berikut:
dan
dengan
Untuk sembarang
dan
, didefinisikan turunan pertama dan turunan
kedua mengikuti operator beda hingga berikut:
(31)
,

(32)
(33)

12

3 METODE PENELITIAN
Langkah-langkah Penelitian
Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. melakukan diskretisasi untuk persamaan Black-Scholes taklinear dengan
metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham, dan metode
implisit untuk diskretisasi waktu.
2. memeriksa kekonvergenan skema diskretisasi yaitu dengan membuktikan
Lemma monoton, konsisten, dan stabil.
3. membandingkan hasil numerik yang diperoleh dari metode implisit dan
eksplisit.
4. melakukan simulasi numerik untuk menunjukkan akurasi dari metode beda
hingga upwind untuk diskretisasi variabel harga saham, dan metode implisit
untuk diskretisasi variabel waktu.

4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Syarat Awal dan Syarat Batas
Persamaaan Black-Scholes taklinear mempunyai domain
. Untuk
perhitungan komputasi perlu dibatasi menjadi
, dengan
merupakan nilai yang cukup besar yang menjamin akurasi dari solusi. Syarat batas
untuk persamaaan Black-Scholes taklinear dapat ditentukan sebagai berikut:
(34)
(35)
(36)

dengan , , dan
adalah suatu fungsi sedemikian sehingga
. Fungsi , , dan
dipilih berdasarkan jenis opsi tipe
dan
Eropa yaitu opsi call, opsi put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing (CoN).
Syarat awal dan syarat batas untuk opsi tersebut yaitu sebagai berikut:
untuk call
untuk put
untuk butterfly
untuk CoN

{
{

untuk call
untuk put
untuk butterfly
untuk CoN

13
untuk call
untuk put
untuk butterfly
untuk CoN

{

dengan
adalah fungsi heaviside,
harga strike, dan

adalah konstanta,

,

,

, dan

adalah

{

(Lesmana & Wang 2013).

Skema Diskretisasi
Dengan menggunakan operator (31-33) dan dengan mengaplikasikan
metode beda hingga upwind, persamaan Black-Scholes taklinear (19)
diaproksimasi menjadi sebagai berikut:
.
Dalam model jandacka dan Sevcovic (2005) diketahui bahwa nilai
sehingga persamaan (37) menjadi

(37)

(38)

,

(39)
.
Selanjutnya, diperoleh:
(40)
.
Untuk penyederhanaan, persamaan (40) dapat dituliskan menjadi bentuk berikut:
,
untuk

dan

(41)

di mana:
(42)

,
,
.

(43)
(44)

Berdasarkan (34-36), didefinisikan syarat awal dan syarat batas untuk
persamaan (41) sebagai berikut
(45)

14
untuk
dan
Dengan syarat awal dan syarat batas di
atas, persamaan (41) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks berikut
di mana

̂

̂

̂

[

,

(46)

]

untuk

Teorema 1. Matriks M
Untuk sembarang
, matriks
( ) adalah matriks M untuk
yang diberikan.
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema 1, harus ditunjukkan bahwa
(47)
(48)
|
| |
|
untuk
.
Untuk matriks
, dari persamaan (42) - (44) dapat dilihat bahwa syarat
maka:
(47) terpenuhi. Selanjutnya, karena
dan
|
Dari definisi

|

(

|

|

|

| |
|
), diperoleh:

|

|

|
∑|

|

(49)

|

Sehingga
merupakan matriks M karena matriks tridiagonal
memiliki
diagonal utama yang bernilai positif dan dua diagonal atas dan bawah bernilai
takpositif.

Kekonvergenan Skema Diskretisasi
Persamaan (19) memiliki solusi unik yang disebut solusi viskositas. Barles
(1997) telah menunjukkan bahwa metode numerik dikatakan konvergen ke solusi
viskositas jika metode tersebut terbukti konsisten, stabil dan monoton. Pada

15
bagian ini akan ditunjukkan bahwa skema diskretisasi memenuhi syarat
kekonvergenan tersebut.
Untuk
dan
didefinisikan suatu fungsi
yaitu
(50)
di mana
.
Kemudian, persamaan (41) dapat ditulis dalam bentuk
(51)

.
Untuk skema diskretisasi ini, diberikan lemma berikut:
Kemonotonan
Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan monoton melalui Lemma 2.
Lemma 2
Skema diskretisasi (41) monoton yaitu untuk sembarang

dan
(52)

dan
(

Bukti:

(

Karena

,

(

)

)(

dan

).

)

(53)

(54)
, maka tiga bagian pertama pada

ruas kanan dari persamaan (50) secara berturut-turut taknaik terhadap
terhadap
dan turun terhadap .
Misalkan
Berdasarkan definisi

⏟

adalah suatu matriks berukuran

, diperoleh
)

(

dan
(

)

, naik

.

16

Selanjutnya,

diperiksa

tanda
, di mana

pada

bagian
taklinear
didefinisikan sebagai berikut

(55)
maka,
(

misalkan

) (

(56)

)

(

dan

),

(57)
(58)
Diketahui
dan
selanjutnya akan dibuktikan bahwa

jelas karena

dan

(59)
karena

maka

Dari persamaan di atas diperoleh bahwa

(

)

(60)

(61)
Dengan demikian

adalah fungsi naik pada

dengan syarat bahwa

Dengan demikian untuk sembarang
dan
diperoleh
gabungan bagian linear dan bagian taklinear dari persamaan (50) sebagai berikut:

17

(

(

))

(

)

))

(

)

dengan cara yang sama diperoleh
(

)

(

(

(

)
∎

Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti monoton.
Kestabilan
Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan stabil melalui Lemma 3.
Lemma 3
Skema diskretisasi (41) stabil, yaitu untuk setiap
(̂
memenuhi
dengan ,
adalah norm

di mana ̂

)

misalkan

adalah solusi dari (46), maka

adalah syarat awal dan syarat batas (34 – 36) dan ‖ ‖

dan
.

Bukti:
Untuk sembarang
berikut:

persamaan (41) dapat dituliskan sebagai
(62)

untuk

Perlu diingat kembali bahwa
. Sehingga diperoleh:

|

|

|

untuk
Jika

dengan

‖

‖

|

‖

menjadi:

|

|

‖

| untuk
‖

|

‖

‖
‖

‖
‖

‖

|

,
|

‖

‖

dan

(63)

, maka persamaan berikut:
‖
‖

‖
‖

‖

(64)

(65)

Sehingga, dengan menggunakan persamaan (48) maka pertidaksamaan (65)
menjadi sebagai berikut:

18
‖

‖

‖

‖

‖

‖

‖

‖ ‖
‖ ‖ .
‖
| atau ‖
|
‖
|
Selanjutnya jika ‖
persamaan (35), (36) dan (45) dapat dilihat bahwa:
|
||
|
dari persamaan (66) dan (67), diperoleh:
||
|
Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti stabil.

‖

(66)
|maka berdasarkan

(67)

|

.∎

Kekonsistenan
Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan konsisten melalui Lemma 4.
Lemma 4
Skema diskretisasi (41) konsisten.
Bukti
Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten untuk
persamaan diferensial parsial dengan masalah nilai awal yang diberikan
(Strikwerda 1989). ∎

Teorema 2. Kekonvergenan
Solusi numerik dari skema diskretisasi (41) konvergen ke solusi viskositas
persamaan (19) dengan syarat batas yang diberikan oleh (34)-(36) ketika
.

Bukti:
Barles (1997), membuktikan bahwa jika suatu diksretisasi dari PDP taklinear
orde-2 konsisten, stabil dan monoton, maka konvergen ke solusi viskositas.
Berdasarkan Lemma 2, Lemma 3, dan Lemma 4 maka diskretisasi terbukti
konsisten, stabil dan monoton, maka skema diskretisasi (46) konvergen ke solusi
viskositas persamaan (19). ∎
Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi
Untuk menyelesaikan sistem taklinear skema diskretisasi (46) disusun
sebuah metode iterasi pada setiap langkah waktu. Diketahui diskretisasi (46)
berbentuk
̂
̂
,
Misalkan
komponen ke-i dari

(

̂

̂

dengan

)

19

dengan
dan
dinotasikan sebagai

di mana

didefinisikan pada (45). Matriks Jacobi dari
dengan

[

]

untuk semua dan . Dengan menggunakan persamaan

(31) - (33), dan (20), serta menggunakan notasi Lemma 1, diperoleh persamaan
untuk turunan berikut

(

)

Dengan cara yang serupa, diperoleh

Menggunakan matriks Jacobi
berikut

, diberikan algoritma metode Newton sebagai

Algoritma 1
1.
2.
3.

Pilih
Untuk
menggunakan (45).
Ambil
dan
Selesaikan
Hitung

̂

, evaluasi syarat awal ̂

,

20
4.
5.

‖
Jika ‖
set
dan kembali kelangkah 3. Jika sebaliknya,
lanjutkan ke langkah berikutnya.
Jika
. Set
dan kembali ke
Tentukan ̂
langkah 2. Jika sebaliknya berhenti.

Dengan menggunakan matriks Jacobi

, diperoleh Teorema 3 berikut.

Teorema 3
Untuk sembarang
dengan
,
adalah matriks M.
Bukti
Untuk membuktikan Teorema 3, harus ditunjukkan bahwa

Untuk matriks

|

|

, diperoleh

|

(68)
(69)

|

(menggunakan persamaan 61).
Hal yang sama untuk

.
Selanjutnya karena

dan

maka
|

|

untuk sembarang
. Oleh karena itu, matriks

|

|

|

|

|

|

dengan ketentuan bahwa
adalah matriks M. ∎

Sistem linear pada langkah 3 dari Algoritma 1 biasanya berskala besar dan
teorema di atas menjamin bahwa sistem linear tersebut memiliki solusi khusus.
Solusi untuk sistem linear dengan dekomposisi LU atau metode iteratif akan stabil
secara numerik.

21
Simulasi Numerik
Simulasi numerik dengan metode beda hingga upwind dan implisit untuk
menentukan harga opsi empat jenis tipe Eropa dilakukan dengan mengambil contoh
kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati perbandingan harga opsi metode implisit dan
metode eksplisit, serta dihitung orde kekonvergenan dari metode implisit dengan
memilih serangkaian mesh yang dibangkitkan dengan membagi-dua parameter
mesh pada iterasi sebelumnya.

a) Opsi Call
Misalkan diberikan

nilai

parameter
dengan mesh seragam
Perbandingan harga opsi call pada metode implisit
dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat
dilihat pada Gambar 5.

(a) metode implisit
Gambar 5 Harga opsi call Eropa dengan

(b) metode eksplisit
dan

Dengan mengganti mesh seragam
Perbandingan harga opsi call pada metode implisit dan metode eksplisit untuk
posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 6.

(a) metode implisit
(b) metode eksplisit
Gambar 6 Harga opsi call Eropa dengan
dan

22
Pada Gambar 6, metode implisit masih memberikan solusi, sedangkan
metode eksplisit tidak memberikan solusi (tidak stabil).
Untuk menghitung norm dan rasio skema tersebut, dipilih serangkaian
mesh yang dibangkitkan secara berurutan dengan membagi dua ukuran mesh
sebelumnya. Selanjutnya akan dihitung norm dan rasio metode tersebut dengan
membandingkan solusi “eksaknya” (“
”). Dalam menentukan solusi “eksak”
(“
”) digunakan solusi numerik dengan mengambil ukuran mesh yang sangat
kecil, yaitu
dan
Selanjutnya dengan menggunakan solusi “eksak” tersebut, dihitung rasio dari
solusi numerik dari mesh yang berurutan dengan
‖

‖

⁄

⁄

‖

‖

di mana
adalah solusi pada mesh dengan ukuran mesh saham dan
mesh waktu, serta rumus untuk menghitung norm sebagai berikut
‖‖

‖

‖

|

ukuran
|.

Orde kekonvergenan metode numerik dihitung dengan menghitung rata-rata dari
rasio.
Tabel 1 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi call
Metode implisit
M
N
‖‖
Rasio
20
10
0.680475
40
20
0.576298
1.18
80
40
0.399196
1.44
160
80
0.249871
1.60
320
160
0.103894
2.41
640
320
0.054964
1.89
1280 640
0.034690
1.58
Hasil perhitungan di Tabel 1 menunjukkan orde kekonvergenan pada opsi call
adalah sekitar 1.7.
b) Opsi Put
Misalkan diberikan nilai parameter
dengan mesh seragam
Perbandingan harga opsi put pada metode implisit dan metode
eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada
Gambar 7.

23

(a) metode implisit
(b) metode eksplisit
Gambar 7 Harga opsi put Eropa dengan
dan
Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan
norm dan rasio untuk opsi put sebagai berikut
Tabel 2 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put
Metode implisit
M
N
‖‖
Rasio
20
10
0.688835
40
20
0.579316
1.19
80
40
0.400468
1.45
160
80
0.250274
1.60
320
160
0.104061
2.41
640
320
0.054532
1.91
1280 640
0.034709
1.57
Hasil perhitungan di Tabel 2 menunjukkan orde kekonvergenan opsi put adalah
sekitar 1.7.
c) Opsi Butterfly
Misalkan diberikan nilai parameter
dengan mesh
seragam
Perbandingan harga opsi
butterfly pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai
pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 8.

24

(a) metode implisit
(b) metode eksplisit
Gambar 8 Harga opsi butterfly Eropa dengan
dan
Tabel 3 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi butterfly
Metode implisit
M
N
‖‖
Rasio
20
10
0.739988
40
20
0.406605
1.82
80
40
0.335519
1.21
160
80
0.270862
1.24
320
160
0.156669
1.73
640
320
0.091377
1.71
128
640
0.052516
1.74
Hasil perhitungan di Tabel 3 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi
butterfly adalah sekitar 1.6.
d) Opsi Cash or Nothing
Misalkan diberikan nilai parameter
dengan mesh seragam
Perbandingan harga opsi cash or nothing pada
metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long
position) dapat dilihat pada Gambar 9.

(a) metode implisit
(b) metode eksplisit
Gambar 9 Harga opsi cash or nothing Eropa dengan
dan
Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan
error dan rasio untuk opsi cash or nothing sebagai berikut:

25
Tabel 4 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi cash or nothing
Metode implisit
M
N
‖‖
Rasio
20
10
0.355600
40
20
0.233282
1.52
80
40
0.173773
1.34
160
80
0.127596
1.36
320
160
0.105250
1.21
640
320
0.077006
1.37
1280 640
0.046460
1.66
Hasil perhitungan di Tabel 4 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi cash
or nothing adalah sekitar 1.4.

SIMPULAN
Persamaan Black-Scholes taklinear diaproksimasi dengan metode implisit
untuk diskretisasi waktu dan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi
harga saham diperoleh:
1. suatu sistem matrix yang disebut matriks M yang menjamin solusi bernilai
positif.
2. skema diskretisasi terbukti monoton, konsisten, dan stabil. Sehingga, solusi
numerik skema diskretisasi konvergen ke solusi viskositas persamaan BlackScholes taklinear.
3. dengan sub-interval harga saham
dan sub-interval waktu
menghasilkan orde kekonvergenan opsi call, opsi
put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing bekisar antara

DAFTAR PUSTAKA

Ankudinova J, Ehrhardt M. 2008. On the numerical solution of nonlinear BlackScholes equations. Comput. Math. Appl. 56: 799-812.
Barles G. 1997. Convergence of Numerical Schemes for Degenerate Parabolic
Equations Arising in Finance, in: L.C.G. Rogers, D. Talay (Eds.),
Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge University Press.
Barles G, Soner HM. 1998. Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black-Scholes equation. Finance and Stochastics. 2(4):369-397.
Black F, Scholes M. 1973. The pricing of options and corporate liabilities. J.
Political Economy. 81(3):637-659.
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2003. Invesment. United State of America: The
McGraw-Hill.

26
Boyle P, Vorst T. 1992. Option replication in discrete time with transaction costs.
The Journal of Finance. XLVII(1):271-293.
Dragoni F. 2009. Introduction to Viscosity Solutions for Nonlinear PDEs.
London: Notes Imperial College London.
Fujimoto T, Ranade R. 2004. Two characterizations of inverse-positive matrices:
the Hawkins-Simon condition and the Le Chatelier-Braun principle.
Electronic Journal of Linear Algebra 11: 59–65.
Hull J. 2006. Option, Futures and Other Derivatives. 6th Ed. New Jersey:
Prentice – Hall.
Jandacka M, Sevcovic D. 2005. On the risk-adjusted pricing-methodology-based
valuation of vanilla options and explanations of the volatility smyle. J Appl.
Math. 3: 235-258.
Lesmana DC, Wang S. 2013. Numerical method for non-linear partial
differential equations and inequalities arising from option valuation under
transaction cost. Appl. Math. Comput. 219:8811–8828.
Lo MS. 2003. Generalized Autoregressive Conditional Heterscedasticity Time
Series Model [Thesis]. Burnaby: Department of Statistics and Actuaria
Science, Simon Fraser University.
Niwiga DB. 2005. Numerical Method for Valuation of Financial Derivatives,
[Thesis]. South Africa (tZA): University of Werstern Cape.
Pooley DM, Forsyth PA, Vetzal KR. 2001. Numerical convergence properties of
option pricing PDEs with uncertain volatility. IMA J. Numer. Anal. 23:
241-267.
Ross SM. 1996. Sthochastic Process. New York: John Wiley & Son Inc.
Strikwerda JC. 1989. Finite Difference Schemes and Partial Differential
Equations. 1st Ed. Madison: Wadsworth & Brooks.
Zang K, Wang S. 2009. A computational scheme for uncertain votality model in
option pricing. Appl. Numer. Math. 59:1754–1767.
Wang S. 2004. A novel fitted finite volume method for the Black-Scholes
equation governing option pricing. IMA J. Numer. Anal. 24:699-720.

27

LAMPIRAN
Lampiran 1 Pembuktian Lemma Ito’
Diasumsikan bahwa model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut:
(
1.a)
Misalkan U(S(t),t) dan berdasarkan ekspansi deret Taylor diperoleh
(

.

1.b)
Dengan menguadratkan kedua ruas pada persamaan (1.a), diperoleh
sebagai berikut

Diketahui bahwa

dan

maka
(1.c)

Dengan menyubstitusikan persamaan (1.a) dan (1.c) pada persamaan (1.b) akan
diperoleh:

.
Jadi, Lemma Ito’ terbukti.
Lampiran 2 Sintaks program
Beda Hingga Upwind dan Eksplisit

function B=ExplisitIL(u0,g1,g2,S_end,T,nS,nt)
format long
%% jumlah titik S
nS1 = nS + 1;
%% jumlah titik t
nt1 = nt + 1;
%% panjang sub-interval S
hS = S_end/nS;
hS2 = hS*hS;
%% panjang sub-interval t
ht = T/nt;
sigma0 = 0.2;
%% Sigma from standard BSM
%% tingkat suku bunga bebas risiko
r = 0.08;
b = 0.35;
%% Biaya Transaksi
%% Premi Resiko
p = 0.5;
%%%% Grid untuk variabel S dan t
Svec = hS*(0:nS);
%% size = 1x(nS+1)
%% size = 1x(nt+1)
tvec = ht*(0:nt);
%%%% Batas
U= zeros(nt1, nS1);
%% size = (nt+1)x(nS+1)
for h = 1:nS1
U(1,h) = feval(u0,Svec(h)); %%Syarat awal

28
end
for k = 1:nt1
U(k,1) = feval(g1,tvec(k)); %% Syarat batas 1
U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k)); %% syarat batas 2
end
for m = 2:nt1
Vtemp = U(m-1,:);
U_SS = zeros (1, nS1-2);
for j = 2:nS1-1
U_SS(j-1) = (Vtemp(j-1)-2*Vtemp(j)+ Vtemp(j+1))/hS2;
end
%%%% Volatilitas RAPM
sigma2 = zeros(nS1-2, 1);
for i = 1:nS1-2
if Svec(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*b^2*p)&&
Svec(i)*U_SS(i)>0
sigma2(i) = sigma0^2*(13*(b^2*p*Svec(i)*U_SS(i)/(2*3.14))^(1/3));
else
sigma2(i) = sigma0^2;
end
end
%%%% Menentukan harga Opsi secara eksplisit
for j = 1:nt1-1
for i = 2:nS1-1
U(j+1,i) = ht*0.5*sigma2(i-1)*(Svec(i)^2)*((U(j,i-1)2*U(j,i)+ U(j,i+1))/hS2)+ ht*r*Svec(i)*((U(j,i+1)-U(j,i))/hS) +
ht*(1/ht - r)*U(j,i);
end
end
end
B = zeros(nt1,nS1);
for j = 1:nt1
B(j,:) = U((nt1+1)-j,:);
end
%%%%% Plot Solusi Numerik
surf(Svec,tvec,B)
ylabel('Waktu');
xlabel('Harga Saham');
zlabel('Harga Opsi');
s1=sprintf('h_t=%6.4f h_S=%6.4f', ht, hS);
title(s1);
end

Beda Hingga Upwind dan Implisit
function V=BedaHinggaUP(u0,g1,g2,S_end,T,nS,nt)
%
% INPUT
% u0 = u0(S)
: syarat awal
% g1 = g1(t)
: syarat batas 1 pada S=0
% g2 = g2(t)
: syarat batas 2 pada S=S_end
% S_end
: S_max
% T
: waktu jatuh tempo

29
% nS
: banyak sub-interval dari [0, S_end]
% nt
: banyak sub-interval dari [0, T]
%
% OUTPUT
% U : solusi (u(j,i)), j adalah indeks untuk waktu, i adalah
indeks untuk
% harga saham
format long
% Jumlah titik S (harga saham)
nS1 = nS+1;
hS = S_end/nS;
% panjang subinterval S
hS2 = hS*hS;
%
% Jumlah titik t (waktu)
nt1 = nt+1;
ht = T/nt;
% panjang subinterval t
sigma0 = 0.2;
%biaya_transaksi
bt = 0.35;
pr = 0.5;
%premi_risiko
% tingkat suku bunga bebas risiko
r = 0.08;
rat = 1/ht;
%
% titik untuk variabel S dan t
Svec = hS*(0:nS);
% size = 1x(nS+1)
% size = 1x(nt+1)
tvec = ht*(0:nt);
% mendefinisikan matriks U
% size = (nt+1)x(nS+1)
U = zeros(nt1, nS1);
for k = 1:nS1
U(1,k) = feval(u0,Svec(k));
end
for k = 1:nt1
U(k,1) = feval(g1,tvec(k));
U(k,nS1) = feval(g2,tvec(k));
end
for m = 2:nt1
% time-step iteration
Vtemp = U(m-1,:);
Vtemphit = U(m-1,2:nS1-1)';
Un = U(m-1,2:nS1-1);
tol = 1;
iter = 1;
while tol > 1.0e-5 && iter 0
sigma2(i) = (sigma0^2)*(13*(bt^2*pr*Svechit(i)*U_SS(i)/(2*3.14))^(1/3));
else
sigma2(i) = (sigma0^2);

30
end
end
%%%%%%%%%%%%********
b = r*Svechit;
A = zeros(nS1-2,3);
% entri dari koefisien matrix untuk systems tridiagonal (to be
% solved at each time level)
for i = 1:(nS1-2)
A(i,2) = rat+2*sigma2(i)*(Svechit(i)^2)/hS2 +
(1/(hS)*b(i))+ r;
end
for i = 1:(nS1-2)
A(i,1) = -sigma2(i)*(Svechit(i)^2)/hS2;
end
for i = 1:(nS1-2)
A(i,3) = -sigma2(i)*(Svechit(i)^2)/hS2 -(1/hS)*b(i);
end
F = zeros(nS1-2,1);
F(1) = A(1,1)*U(m,1) + A(1,2)*Vtemphit(1) +A(1,3)*Vtemphit(2)rat*Un(1);
F(nS1-2) = A(nS1-2,1)*Vtemphit(nS1-3)+A(nS1-2,2)*Vtemphit(nS12)+A(nS1-2,3)*U(m, nS1) - rat*Un(nS1-2);
for i = 2:(nS1-3)
F(i)=A(i,1)*Vtemphit(i-1) + A(i,2)*Vtemphit(i)
+A(i,3)*Vtemphit(i+1)-rat*Un(i);
end
% Generate Jacobian matrix
Jacval = zeros(nS1-2,1);
for i = 1:(nS1-2)
if Svechit(i)*U_SS(i) < 3.14/(32*bt^2*pr)&&
Svechit(i)*U_SS(i)>0
Jacval(i) =
((sigma0^2)/hS2)*Svechit(i)^2*((bt^2*pr*Svechit(i)*U_SS(i)/(2*3.14
))^(1/3));
else
Jacval(i) = 0;
end
end
% Matrix Jacobian
J = zeros(nS1-2,3);
for i = 1:(nS1-2)
J(i,2) = A(i,2)- Jacval(i);
end
for i = 2:(nS1-2);
J(i,1) = A(i,1)+ 0.5*Jacval(i);
end
for i = 1:(nS1-3)
J(i,3) = A(i,3)+ 0.5*Jacval(i);
end
%%%%% Menyelesaikan matrix tridiagonal J*y=-F menggunakan
Factorization Crout
lamb1 = zeros(nS1-2,1);
lamb1(1)=J(1,3)/J(1,2);
d = zeros(nS1-2,1);
d(1) = -F(1)/J(1,2);

31
for k = 2:(nS1-3)
lamb1(k) = J(k,3)/(J(k,2)-J(k,1)*lamb1(k-1));
d(k) = (-F(k)-J(k,1)*d(k-1))/(J(k,2)-J(k,1)*lamb1(k-1));
end
y = zeros(nS1-2,1);
y(nS1-2) = (-F(nS1-2)-J(nS1-2,1)*d(nS1-3))/(J(nS1-2,2)-J(nS12,1)*lamb1(nS1-3));
for k = (nS1-3):-1:1
y(k) = d(k) - lamb1(k)*y(k+1);
end
%%%%%%%%%%%%% End for Tridiagonal matrix %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Vtemphit = Vtemphit + y;
tol = max(y);
iter = iter + 1;
Vtemp = [U(m,1) Vtemphit' U(m,end)];
end %%%%% End for while
for i = 1:nS1
U(m,i) = Vtemp(i);
end
end
%%%%%%%%%%%% End untuk time-step iteration
V = zeros(nt1, nS1);
for j = 1:nt1
V(j,:) = U((nt