PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6 DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK
TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta
Graf G(V,E) dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik pada graf tersebut
terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang menghubungkan
antara kedua pasang titik di G maka G tidak terhubung. Suatu graf dikatakan graf
berlabel jika setiap titik atau sisinya diberi label atau nama tertentu (dengan dua titik
atau dua sisi tidak memiliki label yang sama). Loop adalah suatu garis yang titik awal
dan titik akhirnya sama. Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang
menghubungkan dua titik yang sama. Jika diberikan n titik dan m garis, maka banyak
graf yang dapat terbentuk baik terhubung atau tidak, sederhana atau tidak. Pada
penelitian ini dibahas tentang cara menentukan banyaknya graf terhubung berlabel
titik tanpa garis paralel jika diberikan = 6 dan
1. Hasil dari penelitian ini
adalah sebagai berikut :
′( ) , +
( , ,, )
′ , =
=
+ 15 ×
+ 150 ×
+ 530 ×
+ 1230 ×
+
1590 ×
dengan
′ , adalah jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6 dan
1
Kata kunci: graf, graf terhubung, loop, garis paralel
ABSTRACT
THE NUMBER OF DISCONNECTED VERTEX LABELLED GRAPHS
WITHOUT PARALEL EDGES WITH ORDER SIX AND
NUMBER OF EDGES m ≥ 1
By
Prisky Paraditta
A graph G(V,E) is connected if there exists at least one path between every pair of
vertices in G, otherwise, G is disconnected. A graph is called labelled graph if each
vertex or each edge is assigned a label or unique name (i.e., no two vertices or two
edges have the same labels). Loop is an edge that has the same initial and end point.
Parallel edges are two or more edges that connect the same vertices. If given n
vertices and m edges, there are many possible graphs that can be formed either
connected or disconnected, simple or not simple. In this research, we discussed about
how to determine and to count the number of disconnected vertex labelled graphs
without parallel edges with order six and the number of edges m ≥ 1. The result is :
′( ) , +
( , ,, )
′ , =
=
+ 15 ×
+ 150 ×
+ 530 ×
+ 1230 ×
+
1590 ×
′
for
is the number of disconnected vertex labelled graph without parallel edges
= 6 and
1
,
Keyword: graph, disconnected graph, loop, and parallel edges
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL
DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
(Skripsi)
Oleh
PRISKY PARADITTA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK
TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta
Graf G(V,E) dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik pada graf tersebut
terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang menghubungkan
antara kedua pasang titik di G maka G tidak terhubung. Suatu graf dikatakan graf
berlabel jika setiap titik atau sisinya diberi label atau nama tertentu (dengan dua titik
atau dua sisi tidak memiliki label yang sama). Loop adalah suatu garis yang titik awal
dan titik akhirnya sama. Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang
menghubungkan dua titik yang sama. Jika diberikan n titik dan m garis, maka banyak
graf yang dapat terbentuk baik terhubung atau tidak, sederhana atau tidak. Pada
penelitian ini dibahas tentang cara menentukan banyaknya graf terhubung berlabel
titik tanpa garis paralel jika diberikan
dan
. Hasil dari penelitian ini
adalah sebagai berikut :
(
)
(
) ∑
dengan
untuk
(
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
) adalah jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
dan
Kata kunci: graf, graf terhubung, loop, garis paralel
ABSTRACT
THE NUMBER OF DISCONNECTED VERTEX LABELLED GRAPHS
WITHOUT PARALEL EDGES WITH ORDER SIX AND
NUMBER OF EDGES m ≥ 1
By
Prisky Paraditta
A graph G(V,E) is connected if there exists at least one path between every pair of
vertices in G, otherwise, G is disconnected. A graph is called labelled graph if each
vertex or each edge is assigned a label or unique name (i.e., no two vertices or two
edges have the same labels). Loop is an edge that has the same initial and end point.
Parallel edges are two or more edges that connect the same vertices. If given n
vertices and m edges, there are many possible graphs that can be formed either
connected or disconnected, simple or not simple. In this research, we discussed about
how to determine and to count the number of disconnected vertex labelled graphs
without parallel edges with order six and the number of edges m ≥ 1. The result is :
(
)
(
) ∑
(
for
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
) is the number of disconnected vertex labelled graph without parallel edges
and
Keyword: graph, disconnected graph, loop, and parallel edges
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK
TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kelurahan Gunung Terang Kecamatan Tanjung Karang Barat,
Bandar Lampung pada 29April 1994, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara, dari
pasangan Bapak Suparman dan Ibu Nurhayati. Penulis memiliki satu orang adik lakilaki dan satu orang adik perempuan bernama Aditian Afriansyah dan Niken Adelia.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan penulis pada tahun 2006 di SDN 2
Gunung Terang Bandar Lampung, Sekolah Menengah Pertama (SMP) diselesaikan
pada tahun 2009 di SMPN 14 Bandar Lampung, dan Sekolah MenengahAtas (SMA)
diselesaikan pada tahun 2012 di SMAN 14 Bandar Lampung.
Pada pertengahan tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Selama menjadi mahasiswa, penulis tergabung dalam organisasi Himpunan
Mahasiswa Jurusan Metematika (Himatika) FMIPA Unila sebagai anggota Bidang
Kaderisasi dan Kepemimpinan pada periode 2013/2014 dan dan sebagai Anggota
Bidang Kesekretariatan pada periode 2014/2015.
Pada awal tahun 2015, penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Dinas
Pendidikan Provinsi Lampung. Pada Awal tahun 2016 penulis melaksanakan Kuliah
Kerja Nyata (KKN) di Desa Jaya Makmur, KecamatanBanjar Baru, Kabupaten
Tulang Bawang Barat.
PERSEMBAHAN
Dengan Penuh rasa syukur kepada Allah SWT, kupersembahkan hasil karyaku ini
untuk orang – orang yang selalu menyayangi dan memotivasiku dalam segala hal
yang menjadikan ku lebih baik .
Ibu dan Bapak tercinta yang telah membesarkan dan menyayangiku dengan penuh
kasih sayang yang tak terhingga dan selalu mendoakanku agar dipermudah dalam
langkah dan semua hal yang aku lakukan.
Adikku dan sepupu serta seluruh keluarga besar yang selalu memberikan motivasi,
semangat dan pengalaman hidup serta mendoakan kesuksesanku.
Dosen pembimbing dan penguji yang tidak henti – hentinya memberikan ilmu dan
pelajaran kepadaku selama ini.
Sahabat – sahabatku yang selalu menjadi semangatku untuk lebih baik lagi.
MOTTO
“Banyaknya kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang-orang tidak menyadari
betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan saat mereka menyerah”
(Thomas Alfa Edison)
“Mulailah bermimpi akan kesuksesanmu dan mulailah berusaha untuk menjadikan
mimpimu sebagai kenyataan”
(Penulis)
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL .............................................................................................. xiv
DAFTAR GAMBAR........................................................................................... xv
I.
PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
II.
Latar Belakang dan Masalah .............................................................. ..1
Batasan Masalah ................................................................................... 5
Tujuan Penelitian.................................................................................. 5
Manfaat Penelitian................................................................................ 6
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Teori Graf...................................................................... 7
2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan .....................................................10
2.3 Barisan Aritmatika Orde Tinggi .........................................................11
III.
METODE PENELITIAN
3.1 Penelitian yang Telah Dilakukan........................................................ 13
3.2 Tempat dan Waktu Penelitian..............................................................16
3.3 Metode Penelitian ...............................................................................16
IV.
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 0bservasi .............................................................................................17
4.2. Rumus Umum Graf Tak Terhubung Berlabel Titik Tanpa Garis
paralel untuk n = 6 dan m ≥ 1............................................................. 42
V.
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ...............................................................................................78
5.2 Saran .........................................................................................................80
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1.1 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, 1
10 ,1
10,
dan ℓ = 0 ..........................................................................................19
Tabel 4.1.2 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
= 6, 1
10, 1
10, dan ℓ = 0
dengan = 1,2, 9 ............................................................................21
Tabel 4.1.3 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, 1
10, = 0, dan 1 ℓ
6
dengan =1,2,...10...............................................................................21
Tabel 4.1.4 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, 1
10, = 0, dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 10..........................................................................23
Tabel 4.1.5 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 2 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................23
Tabel 4.1.6 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 3 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................23
Tabel 4.1.7 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 4 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................24
Tabel 4.1.8 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 5 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................25
Tabel 4.1.9 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 6 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................26
Tabel 4.1.10 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 7 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................27
Tabel 4.1.11 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 8 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................28
Tabel 4.1.12 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 9 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................29
Tabel 4.1.13 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 10 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan =1,2,...,9 .............................................................................30
Tabel 4.1.14 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 1 .........................................................................31
Tabel 4.1.15 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 2 .........................................................................31
Tabel 4.1.16 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 3 .........................................................................31
Tabel 4.1.17 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 4 .........................................................................32
Tabel 4.1.18 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 5 .........................................................................32
Tabel 4.1.19 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 6 .........................................................................33
Tabel 4.1.20 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 7 .........................................................................34
Tabel 4.1.21 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 8 .........................................................................35
Tabel 4.1.22 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 9 .........................................................................37
Tabel 4.1.23 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 10 .......................................................................39
Tabel 4.1.24 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, 1 m 10, 1
10 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................42
Tabel 4.2.1 Bentuk lain hasil total banyaknya graf tak terhubung berlabel titik
tanpa garis paralel untuk = 6..........................................................49
DAFTAR GAMBAR
.Halaman
Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Konigsberg..........................................................................2
Gambar 2. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 garis ................................................7
Gambar 3. Contoh graf dengan 3 titik dan 2 garis................................................8
Gambar 4. Contoh (a) graf sederhana, (b) dan (c)
graf tidak sederhana ...........................................................................8
Gambar 5. Contoh graf dengan 4 titik dan 7 garis................................................9
Gambar 6. Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung ...................................10
Gambar 7. Contoh dua graf yang isomorfis ..........................................................10
Gambar 8. Contoh graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6 dan = 5 ........................................................................18
1
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang dapat digunakan
untuk merepresentasikan suatu permasalahan. Representasi visual dari graf adalah
dengan menyatakan objek sebagai noktah, titik, bulatan, atau vertex, sedangkan
hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge. Teori graf secara
umum merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu yang bertujuan
untuk membantu objek-objek tertentu agar lebih mudah dipahami misalnya pada
beberapa permasalahan di lingkungan sekitar kita yang dapat diselesaikan dengan
menggunakan teori graf antara lain silsilah keluarga, struktur organisasi,
pemodelan distribusi pemasaran, rangkain listrik, rangkain aliran air pam dan lainlain.
Konsep teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun
1736, ketika menyelesaikan permasalahan jembatan Konigsberg, Kaliningrad,
Rusia. Di kota tersebut terdapat sungai Pregalyang membelah kota menjadi empat
daratan yang terpisah. Daratan tersebut dihubungkan oleh tujuh jembatan. Warga
kota tersebut ingin melewati setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke
tempat awal. Euler menyatakan dengan permodelan tertentu bahwa hal tersebut
2
tidak mungkin terjadi. Hal tersebut dapat terjadi jika banyaknya jembatan
berjumlah genap. Bentuk permodelan tersebut yang kemudian
menjadi latar
belakang munculnya konsep teori graf yang ada saat ini.
(a)
(b)
Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Konigsberg
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf
yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bilangan asli
yang disebut label. Graf berlabel adalah graf yang titik atau garisnya memiliki label.
Jika pelabelannya adalah titik, maka pelabelan disebut dengan pelabelan titik, jika
pelabelannya adalah garis maka pelabelannya disebut pelabelan garis. Jika
pelabelannya adalah titik dan garis maka pelabelannya disebut dengan pelabelan total
(Valdya dan Kanani, 2010).
3
Kini semakin banyak penelitian tentang graf yang telah dilakukan salah satunya
dilakukan oleh Agnarsson dan Raymond (2007), dari penelitian mereka diperoleh
rumus untuk menentukan banyaknya graf sederhana jika diberi n titikdan m garis.
Banyak graf sederhana dengan n titik yaitu gn= 2( ) dan banyak graf sederhana
dengan n titik dan m garis yaitu gn(m) =
.
Selanjutnya, dari penelitian Winarni (2015)tentang banyaknya graf tak terhubung
berlabel tanpa garis paralel diperoleh rumus untuk n titik dan m garis (loop
diperbolehkan), dengan n=3 ,4 dan m≥1. Untuk n=3 dan m≥1, banyaknya graf tak
terhubung berlabel tanpa garis paralel yaitu ( )
,
=
;untuk n=4 dan m=1,
banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralelyaitu untuk
()
,
=10,
untuk n=4 dan m>1 banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel
yaitu ( )
,
=
+
.
Pada tahun berikutnya Nagari (2016) juga melakukan penelitian graf tentang
menentukan banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel dengan
n=5 dan
1. Dari penelitian tersebut di perolehjumlah graf tak terhubung
= 5, 1
berlabel tanpa garis paralel untuk
dengan = 1,2,3,
10,
= 0, dan 1
5
,10 merupakan banyak loop pada satu titik dapat dirumuskan
secara umum, yakni:
(
,
)=
+4
4
4
dengan:
(
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk 5 titik
dan m garis.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis untuk n titik, m garis, dan
garis
bukan loop dapat dirumuskan secara umum, yakni:
Untuk
= 1,
, ,
= 10
;1
10
Untuk
= 2,
, ,
= 45
;2
10
Untuk
= 3,
, ,
= 120
Untuk
= 4,
, ,
= 85
Untuk
= 5,
, ,
= 30
Untuk
= 6,
, ,
= 5
;3
;4
10
10
;5
10
;6
10
dengan :
, ,
= jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel jika
diberikan n titik, m garis, dan g garis bukan loop.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5 dan m ≥ 1
adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel
untuk n = 5 , 1
10,
= 0, dan 1
ℓ
5 dengan = 1,2, … ,9 dengan
jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5, 1
1
6, dan 1
ℓ
10,
5 dengan = 1,2, … ,9 merupakan banyaknya loop pada
satu titik dapat dirumuskan secara umum, yakni:
5
N(
,
)=
,
+
+
=
, ,
=
30 ×
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+ 10 ×
+ 45 ×
+ 120 ×
+ 85 ×
+
+5×
dengan:
N(
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n=5 dan
m≥ 1.
Pada penelitian ini, penulis tertarik untuk melanjutkan penelitian menentukan
rumus umum dengan meneliti banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel untuk n=6.
1.2 Batasan Masalah
Dalam hal ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf tak terhubung berlabel titik
tanpa garis paralel dengan n = 6 serta 1 ≤ m ≤ 10, dengan n adalah banyaknya titik
dan m adalah banyaknya garis.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan banyaknya graf tak
terhubung berlabel titik tanpa garis paralel jika diberikan n titik dan m garis
dengan n = 6; 1 ≤ m ≤ 10agar dapat ditentukan rumus umumnya.
6
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menambah pengetahuan tentang teori graf terutama graf tak terhubung
tanpa garis paralel.
2. Sebagai rujukan bagi pembaca untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan
dengan graf tak terhubung.
7
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsepdasar teori graf, teknik pencacahan
serta barisan aritmatika orde tinggi yang berkaitan dengan penelitian yang akan
dilakukan.
2.1 Konsep Dasar Teori Graf
Istilah-istilah dan definisi yang digunakan pada sub bab ini diambil dari Deo(1989).
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G),E(G)) dengan V(G) = {v1,
v2, v3, ..., vn} menyatakan himpunan titik, dengan V(G) ≠ Ø, sedangkan E(G)= {e1,
e2, ..., en}, E(G) boleh kosong menyatakan himpunan garis yakni pasangan tak
terurut dari V(G).
V1
V2
V4
V3
Gambar 2. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 garis
8
Dua titik dikatakan adjacent (bertetangga) jika ada garis yang menghubungkan
keduanya. Suatu garis dikatakan incident (menempel) dengan suatu titik jika titik
tersebut merupakan salah satu ujung dari garis tersebut.
V1
e2
e1
V3
V2
Gambar 3. Contoh graf dengan 3 titik dan 2 garis
Pada Gambar 3, titik v2 bertetangga dengan titik v1 dan titik v1 bertetangga dengan
titik v3. Tetapi, titik v2 tidak bertetangga dengan v3 karena tidak ada garis yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Garis e1 menempel pada titik v1 dan v2,
sedangkan garis e2 menempel pada titik v1 dan v3.
Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama. Sedangkan, garis paralel
adalah dua garis atau lebih yang memiliki titik ujung yang sama. Graf sederhana
adalah suatu graf tanpa loop atau garis paralel.
(a)
(b)
(c)
Gambar 4. Contoh (a) graf sederhana, (b) dan (c) graf tidak sederhana
9
Misalkan
suatu titik
adalah suatu titik pada graf G. Banyaknya sisi yang menempel pada
, dengan sisi pada loop dihitung ganda, disebut sebagai derajat
(degree) dari titik
, dinotasikan dengan d(
). Misalkan pada Gambar 4 (b),
( 1) = 2, ( 2) = 2, dan ( 3) = 4. Titik yang berderajat nol atau dengan kata
lain tidak ada sisi yang menempel pada titik tersebut disebut titik isolasi,
sedangkan titik yang berderajat satu disebut titik pendant atau daun.
Walk adalah barisan berhingga dari titik dan garis yang dimulai dan diakhiri
dengan titik sedemikian sehingga setiap garis menempel pada titik sebelum dan
sesudahnya. Walk yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut closed
walk. Sedangkan path adalah walk yang memiliki atau melewati titik yang
berbeda-beda. Path yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut cycle.
v1
e5
e1
e4
v2
e2
e3
v4
e6
e7
v3
Gambar 5. Contoh graf dengan 4 titik dan 7 garis
Contoh walk dari Gambar 5 adalah (
1 1, 2 6, 2 7, 3 3, 4).
adalah (
Contoh path adalah (
1 1, 2 6, 2 7, 3 3, 4 4, 1).
sedangkan cycle contohnya adalah (
1 5, 4 3, 3 2, 2 1, 1).
Contoh closed walk
1 5, 4 3, 3 2, 2),
10
Suatu graf dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada
graf tersebut terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang
menghubungkan, maka G dikatakan graf tak terhubung.
Graf terhubung
Graf tak terhubung
Gambar 6. Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung
Dua graf dikatakan graf yang isomorfis jika memiliki banyaknya titik dan garis
yang sama dan mempertahankan sifat ketetanggaannya walaupun digambarkan
dengan cara yang berbeda, seperti dapat dilihat pada Gambar 7.
f
a
e
b
c
d
( )
( )
Gambar 7. Contoh dua graf yang isomorfis
2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan
Istilah-istilah pada subbab ini diambil dari Munir(2005).
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n! (dibaca “n faktorial”)
didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1.
n! =n(n-1)(n-2)(n-3) ... 1
11
Permutasi adalah sebaran pengaturan dari sekumpulan objek dalam suatu urutan
tertentu. Banyaknya permutasir dari n objek dengan menggunakan r objek dalam
setiap pengaturan dinotasikan
dengan r ≤ n . Secara umum, permutasi r objek
dari n buah objek dapat dihitung dengan persamaan :
=
!
(
)!
Dalam permutasi perulangan tidak diperbolehkan, berarti objek yang sudah dipilih
tidak bisa dipilih kembali.
Kombinasi dari n objek dengan pengambilan sebanyak r objek dalam setiap
pengambilannya terdiri dari semua kumpulan r objek yang mungkin tanpa
memandang urutan pengaturannya. Banyaknya n objek dengan pengambilan
dengan r ≤ n . Banyaknya kombinasi dari
sebanyak r objek dinyatakan dengan
n objek berbeda yang diambil sebanyak r objek yaitu :
=
untuk setiap ,
,0
!
(
)! !
.
2.3 Barisan Aritmatika Orde Tinggi
Penjelasan aritmatika ini di ambil dari Ismail (2014)
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang
berurutan selalu tetap.
Secara umum barisan bilangan dapat dinyatakan sebagai(
dan
merupakan suku ke-n.
)=(
,
,
,
)
12
Beda adalah selisih dari suku sesudah dan suku sebelumnya, seperti
dan seterusnya
,
.
Barisan aritmatika tingkat ke-n adalah sebuah barisan yang memiliki selisih yang
sama untuk setiap suku berurutannya setelah n tingkatan.
Bentuk umum suatu barisaritmatika tingkat dua
=
+
+
Maka, rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika tingkat dua ditentukan oleh
,
melalui substitusi suku pertama, kedua, dan ketiga ke pola umum (
,
).
Bentuk umum suatu barisan aritmetika tingkat tiga
=
+
+
+
Maka, rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika tingkat tiga ditentukan oleh
,
,
umum (
melalui substitusi suku pertama, kedua, ketiga, dan keempat ke pola
,
).
Sehingga bentuk umum untuk barisan aritmatika suku ke-n yaitu :
=
+
dengan,
= banyaknya suku ke-n
= suku ke-m, untuk
= 1,2,3
+
+
+
13
III. METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan dijelaskan teorema yang berhubungan dengan penelitian, tempat
dan waktu penelitian serta metode penelitian yang di gunakan.
3.1 Penelitian yang Telah Dilakukan
Penelitian dari Agnarsson dan Raymond (2007)
Diberikan m, n dengan 0 ≤ m ≤
, m, n
N
a. Graf gn merupakan graf sederhana dengan n titik. Banyaknya graf gn
adalah gn =2
b. Graf gn(m) merupakan graf sederhana dengan n titik dan m
garis.Banyaknya graf gn(m) adalah gn(m) =
Winarni (2015) melakukan penelitian tentang graf tak terhubung berlabel tanpa
garis paralel, dengan n=3 ,4 dan m≥1. ( )
,
adalah jumlah graf tak terhubung
berlabel tanpa garis paralel, maka :
1) Untuk n=3 dan m≥1, banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel yaitu ( )
,
=
2) Untuk n=4 dan m=1, banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel yaitu untuk ( )
,
=10
14
3) Untuk n=4 dan m>1 banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel
yaitu ( )
,
=
+
.
Selanjutnya Nagari (2016) melakukan penelitian tentang penentuang jumlah graf
tak terhubung berlabel berorde lima tanpa garis paralel dengan n=5 dan
1.
Dari penelitian tersebut di peroleh Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel untuk
= 5, 1
10,
= 0, dan 1
5 dengan i = 1,2,..., 10
merupakan banyak loop pada satu titik dapat dirumuskan secara umum, yakni:
(
)=
,
+4
4
dengan:
(
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk 5 titik
dan m garis.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis untuk n titik, m garis, dan
bukan loop dapat dirumuskan secara umum, yakni:
Untuk
= 1,
, ,
= 10
;1
10
Untuk
= 2,
, ,
= 45
;2
10
Untuk
= 3,
, ,
= 120
Untuk
= 4,
, ,
= 85
Untuk
= 5,
, ,
= 30
Untuk
= 6,
, ,
= 5
;3
;4
;5
;6
10
10
10
10
garis
15
dengan :
= jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel jika
, ,
diberikan n titik, m garis, dan g garis bukan loop.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5 dan m ≥ 1
adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paraleluntuk
= 5, 1
10,
= 0, dan 1
5 dengan i = 1,2, ... 9
dengan jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5,
1
10, 1
6, dan 1
5 dengan = 1,2, … ,9 merupakan
ℓ
banyaknya loop pada satu titik, dapat dirumuskan secara umum, yakni:
N(
,
)=
=
,
+
, ,
=
30 ×
+
, ,
, ,
+
+ 10 ×
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+ 45 ×
+ 120 ×
+ 85 ×
+
+5×
dengan:
N(
,
m≥ 1.
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n=5 dan
16
3.2 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung tahun akademik 2015-2016.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah
1. Menggambar pola dasar graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel dengan n = 6 dan 1 ≤ m ≤ 10, dengan n adalah banyaknya titik dan
m adalah banyaknya garis.
2. Mengelompokkan setiap graf tak terhubung berdasarkan n titik dan m garis
yang sama.
3. Menghitung jumlah graf tak terhubung yang telah di kelompokan untuk
setiap n titik dengan m garis.
4. Melihat pola yang terbentuk dari banyaknya graf yang telah di bentuk
berdasarkan n titik dan m garis.
5. Menentukan rumus secara umum untuk menentukan jumlah graf tak
terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan n titik dan m.
6. Membuktikan rumus yang terbentuk apakah dapat di jadikan sebagai
rumus umum dengan menggunakan teori perhitungan graf.
78
V.
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan observasi dan hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa
garis paralel dengan
=
dan
✧ ✁ maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Untuk jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan
diberikan
= 6, 1 ≤
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan
≤ 10,
= 1,2, …,10
merupakan banyak loop pada suatu titik dapat dirumuskan secara umum
yakni :
′✂ ✄ ☎
=
✆✝
✝
dengan :
✂ ′✂ ✄ ☎ ✄: jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk
6 titik dan m garis, m ≥ 1
2. Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis untuk n titik, m garis,
garis bukan loop yang membuat graf tak terhubung, dan
dirumuskan secara umum, yakni:
Untuk
= ✁✞
✂ ✄ ☎ ☎☎
= ✁✝
Untuk
= ✡✞
✂✄ ☎ ☎☎
= ✁✝✠
;✡ ✟
✟ ✁✠
Untuk
= ☛✞
✂✄ ☎ ☎☎
= ✝☛✠
;☛✟
✟ ✁✠
;✁ ✟
✟ ✁✠
loop dapat
79
Untuk
= ☞✌
✍✎ ✏ ✏✏
= ✑✒✓✔
Untuk
= ✖✌
✍✎ ✏ ✏✏
= ✑✖ 90
;☞✕
;5
✕ ✑✔
10
dengan :
, ,,
= Graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel dengan n titik,
m garis, g garis bukan loop yang membuat graf tak terhubung,
dan loop dengan
=
+
3. Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk
= 6 dan
1 adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa
= 6, 1
garisn paralel untuk
= 1,2,3,
= 0, dan 1
ℓ
6 dengan
,10 dan jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
= 6, 1
paralel untuk
= 1,2,3,
10,
10, 1
10, dan 1
ℓ
6 dengan
,9 merupakan banyaknya loop pada suatu titik dapat dirumuskan
secara umum, yakni:
′
,
′( )
=
=
,
+
(
, ,,
=
+
, ,,
(
+
, ,,
)
, ,,
+
, ,,
+
, ,,
+
)
+ 15 ×
+ 150 ×
+ 530 ×
+ 1230 ×
+ 1590 ×
dengan:
′
,
= 6 dan
adalah jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk
1
80
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan untuk menentukan rumus umum jumlah graf tak
terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk
7 dan
= 1,2,3,4,5,
DAFTAR PUSTAKA
Ismail, S. 2014.Suku Ke-n Barisan Aritmatika Tingkat Dua, Tiga, Empat Dengan
Pendekatan Akar Karakteristik. Jurnal Saintek Vol 7 No 5.
http://repository.ung.ac.id/data/person/0029116204
Agnarsson, G. and Raymond, G. 2007. Graph Theory Modelling, Application, and
Algorithms. Pearson/Prentice Education, Inc., New Jersey.
Deo, N. 1989. Graph Theory with Application to Engineering and Computer
Science. Prentice-Hall of India Private Limited, New Delhi.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Informatika, Bandung.
Nagari, G.T. 2016. Penentuan Jumlah Graf Tak Terhubung Berlabel Berorde
Lima Tanpa Garis Paralel. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Lampung, Bandar Lampung.
Winarni, Y.D.S. 2015. Penentuan Banyaknya Graf Tak Terhubung Berlabel
Tanpa Garis Paralel. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung, Bandar Lampung.
Valdya, S. K. dan Kanani K. Some New Results on Cordial Labeling in the
Contest of Arditrary Super sub division of Graph, Applied Matematical
Sciences, Vol. 4 (2010) No. 47, 2323 – 2329.
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK
TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta
Graf G(V,E) dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik pada graf tersebut
terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang menghubungkan
antara kedua pasang titik di G maka G tidak terhubung. Suatu graf dikatakan graf
berlabel jika setiap titik atau sisinya diberi label atau nama tertentu (dengan dua titik
atau dua sisi tidak memiliki label yang sama). Loop adalah suatu garis yang titik awal
dan titik akhirnya sama. Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang
menghubungkan dua titik yang sama. Jika diberikan n titik dan m garis, maka banyak
graf yang dapat terbentuk baik terhubung atau tidak, sederhana atau tidak. Pada
penelitian ini dibahas tentang cara menentukan banyaknya graf terhubung berlabel
titik tanpa garis paralel jika diberikan = 6 dan
1. Hasil dari penelitian ini
adalah sebagai berikut :
′( ) , +
( , ,, )
′ , =
=
+ 15 ×
+ 150 ×
+ 530 ×
+ 1230 ×
+
1590 ×
dengan
′ , adalah jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6 dan
1
Kata kunci: graf, graf terhubung, loop, garis paralel
ABSTRACT
THE NUMBER OF DISCONNECTED VERTEX LABELLED GRAPHS
WITHOUT PARALEL EDGES WITH ORDER SIX AND
NUMBER OF EDGES m ≥ 1
By
Prisky Paraditta
A graph G(V,E) is connected if there exists at least one path between every pair of
vertices in G, otherwise, G is disconnected. A graph is called labelled graph if each
vertex or each edge is assigned a label or unique name (i.e., no two vertices or two
edges have the same labels). Loop is an edge that has the same initial and end point.
Parallel edges are two or more edges that connect the same vertices. If given n
vertices and m edges, there are many possible graphs that can be formed either
connected or disconnected, simple or not simple. In this research, we discussed about
how to determine and to count the number of disconnected vertex labelled graphs
without parallel edges with order six and the number of edges m ≥ 1. The result is :
′( ) , +
( , ,, )
′ , =
=
+ 15 ×
+ 150 ×
+ 530 ×
+ 1230 ×
+
1590 ×
′
for
is the number of disconnected vertex labelled graph without parallel edges
= 6 and
1
,
Keyword: graph, disconnected graph, loop, and parallel edges
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK TANPA GARIS PARALEL
DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
(Skripsi)
Oleh
PRISKY PARADITTA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK
TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta
Graf G(V,E) dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik pada graf tersebut
terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang menghubungkan
antara kedua pasang titik di G maka G tidak terhubung. Suatu graf dikatakan graf
berlabel jika setiap titik atau sisinya diberi label atau nama tertentu (dengan dua titik
atau dua sisi tidak memiliki label yang sama). Loop adalah suatu garis yang titik awal
dan titik akhirnya sama. Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang
menghubungkan dua titik yang sama. Jika diberikan n titik dan m garis, maka banyak
graf yang dapat terbentuk baik terhubung atau tidak, sederhana atau tidak. Pada
penelitian ini dibahas tentang cara menentukan banyaknya graf terhubung berlabel
titik tanpa garis paralel jika diberikan
dan
. Hasil dari penelitian ini
adalah sebagai berikut :
(
)
(
) ∑
dengan
untuk
(
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
) adalah jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
dan
Kata kunci: graf, graf terhubung, loop, garis paralel
ABSTRACT
THE NUMBER OF DISCONNECTED VERTEX LABELLED GRAPHS
WITHOUT PARALEL EDGES WITH ORDER SIX AND
NUMBER OF EDGES m ≥ 1
By
Prisky Paraditta
A graph G(V,E) is connected if there exists at least one path between every pair of
vertices in G, otherwise, G is disconnected. A graph is called labelled graph if each
vertex or each edge is assigned a label or unique name (i.e., no two vertices or two
edges have the same labels). Loop is an edge that has the same initial and end point.
Parallel edges are two or more edges that connect the same vertices. If given n
vertices and m edges, there are many possible graphs that can be formed either
connected or disconnected, simple or not simple. In this research, we discussed about
how to determine and to count the number of disconnected vertex labelled graphs
without parallel edges with order six and the number of edges m ≥ 1. The result is :
(
)
(
) ∑
(
for
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
) is the number of disconnected vertex labelled graph without parallel edges
and
Keyword: graph, disconnected graph, loop, and parallel edges
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG BERLABEL TITIK
TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA TITIK n = 6
DAN BANYAKNYA GARIS m ≥ 1
Oleh
Prisky Paraditta
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kelurahan Gunung Terang Kecamatan Tanjung Karang Barat,
Bandar Lampung pada 29April 1994, sebagai anak pertama dari tiga bersaudara, dari
pasangan Bapak Suparman dan Ibu Nurhayati. Penulis memiliki satu orang adik lakilaki dan satu orang adik perempuan bernama Aditian Afriansyah dan Niken Adelia.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan penulis pada tahun 2006 di SDN 2
Gunung Terang Bandar Lampung, Sekolah Menengah Pertama (SMP) diselesaikan
pada tahun 2009 di SMPN 14 Bandar Lampung, dan Sekolah MenengahAtas (SMA)
diselesaikan pada tahun 2012 di SMAN 14 Bandar Lampung.
Pada pertengahan tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Selama menjadi mahasiswa, penulis tergabung dalam organisasi Himpunan
Mahasiswa Jurusan Metematika (Himatika) FMIPA Unila sebagai anggota Bidang
Kaderisasi dan Kepemimpinan pada periode 2013/2014 dan dan sebagai Anggota
Bidang Kesekretariatan pada periode 2014/2015.
Pada awal tahun 2015, penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Dinas
Pendidikan Provinsi Lampung. Pada Awal tahun 2016 penulis melaksanakan Kuliah
Kerja Nyata (KKN) di Desa Jaya Makmur, KecamatanBanjar Baru, Kabupaten
Tulang Bawang Barat.
PERSEMBAHAN
Dengan Penuh rasa syukur kepada Allah SWT, kupersembahkan hasil karyaku ini
untuk orang – orang yang selalu menyayangi dan memotivasiku dalam segala hal
yang menjadikan ku lebih baik .
Ibu dan Bapak tercinta yang telah membesarkan dan menyayangiku dengan penuh
kasih sayang yang tak terhingga dan selalu mendoakanku agar dipermudah dalam
langkah dan semua hal yang aku lakukan.
Adikku dan sepupu serta seluruh keluarga besar yang selalu memberikan motivasi,
semangat dan pengalaman hidup serta mendoakan kesuksesanku.
Dosen pembimbing dan penguji yang tidak henti – hentinya memberikan ilmu dan
pelajaran kepadaku selama ini.
Sahabat – sahabatku yang selalu menjadi semangatku untuk lebih baik lagi.
MOTTO
“Banyaknya kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang-orang tidak menyadari
betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan saat mereka menyerah”
(Thomas Alfa Edison)
“Mulailah bermimpi akan kesuksesanmu dan mulailah berusaha untuk menjadikan
mimpimu sebagai kenyataan”
(Penulis)
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL .............................................................................................. xiv
DAFTAR GAMBAR........................................................................................... xv
I.
PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
II.
Latar Belakang dan Masalah .............................................................. ..1
Batasan Masalah ................................................................................... 5
Tujuan Penelitian.................................................................................. 5
Manfaat Penelitian................................................................................ 6
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Teori Graf...................................................................... 7
2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan .....................................................10
2.3 Barisan Aritmatika Orde Tinggi .........................................................11
III.
METODE PENELITIAN
3.1 Penelitian yang Telah Dilakukan........................................................ 13
3.2 Tempat dan Waktu Penelitian..............................................................16
3.3 Metode Penelitian ...............................................................................16
IV.
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 0bservasi .............................................................................................17
4.2. Rumus Umum Graf Tak Terhubung Berlabel Titik Tanpa Garis
paralel untuk n = 6 dan m ≥ 1............................................................. 42
V.
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ...............................................................................................78
5.2 Saran .........................................................................................................80
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1.1 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, 1
10 ,1
10,
dan ℓ = 0 ..........................................................................................19
Tabel 4.1.2 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
= 6, 1
10, 1
10, dan ℓ = 0
dengan = 1,2, 9 ............................................................................21
Tabel 4.1.3 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, 1
10, = 0, dan 1 ℓ
6
dengan =1,2,...10...............................................................................21
Tabel 4.1.4 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, 1
10, = 0, dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 10..........................................................................23
Tabel 4.1.5 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 2 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................23
Tabel 4.1.6 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 3 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................23
Tabel 4.1.7 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 4 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................24
Tabel 4.1.8 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 5 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................25
Tabel 4.1.9 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 6 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9 ............................................................................26
Tabel 4.1.10 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 7 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................27
Tabel 4.1.11 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 8 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................28
Tabel 4.1.12 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 9 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................29
Tabel 4.1.13 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, = 10 ,1
9 dan 1 ℓ
6
dengan =1,2,...,9 .............................................................................30
Tabel 4.1.14 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 1 .........................................................................31
Tabel 4.1.15 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 2 .........................................................................31
Tabel 4.1.16 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 3 .........................................................................31
Tabel 4.1.17 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 4 .........................................................................32
Tabel 4.1.18 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 5 .........................................................................32
Tabel 4.1.19 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 6 .........................................................................33
Tabel 4.1.20 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 7 .........................................................................34
Tabel 4.1.21 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 8 .........................................................................35
Tabel 4.1.22 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 9 .........................................................................37
Tabel 4.1.23 Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6, = 10 .......................................................................39
Tabel 4.1.24 Hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel untuk = 6, 1 m 10, 1
10 dan 1 ℓ
6
dengan = 1,2, 9..........................................................................42
Tabel 4.2.1 Bentuk lain hasil total banyaknya graf tak terhubung berlabel titik
tanpa garis paralel untuk = 6..........................................................49
DAFTAR GAMBAR
.Halaman
Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Konigsberg..........................................................................2
Gambar 2. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 garis ................................................7
Gambar 3. Contoh graf dengan 3 titik dan 2 garis................................................8
Gambar 4. Contoh (a) graf sederhana, (b) dan (c)
graf tidak sederhana ...........................................................................8
Gambar 5. Contoh graf dengan 4 titik dan 7 garis................................................9
Gambar 6. Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung ...................................10
Gambar 7. Contoh dua graf yang isomorfis ..........................................................10
Gambar 8. Contoh graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel
untuk = 6 dan = 5 ........................................................................18
1
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang dapat digunakan
untuk merepresentasikan suatu permasalahan. Representasi visual dari graf adalah
dengan menyatakan objek sebagai noktah, titik, bulatan, atau vertex, sedangkan
hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge. Teori graf secara
umum merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu yang bertujuan
untuk membantu objek-objek tertentu agar lebih mudah dipahami misalnya pada
beberapa permasalahan di lingkungan sekitar kita yang dapat diselesaikan dengan
menggunakan teori graf antara lain silsilah keluarga, struktur organisasi,
pemodelan distribusi pemasaran, rangkain listrik, rangkain aliran air pam dan lainlain.
Konsep teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun
1736, ketika menyelesaikan permasalahan jembatan Konigsberg, Kaliningrad,
Rusia. Di kota tersebut terdapat sungai Pregalyang membelah kota menjadi empat
daratan yang terpisah. Daratan tersebut dihubungkan oleh tujuh jembatan. Warga
kota tersebut ingin melewati setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke
tempat awal. Euler menyatakan dengan permodelan tertentu bahwa hal tersebut
2
tidak mungkin terjadi. Hal tersebut dapat terjadi jika banyaknya jembatan
berjumlah genap. Bentuk permodelan tersebut yang kemudian
menjadi latar
belakang munculnya konsep teori graf yang ada saat ini.
(a)
(b)
Gambar 1. (a) Jembatan Konigsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Konigsberg
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf
yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bilangan asli
yang disebut label. Graf berlabel adalah graf yang titik atau garisnya memiliki label.
Jika pelabelannya adalah titik, maka pelabelan disebut dengan pelabelan titik, jika
pelabelannya adalah garis maka pelabelannya disebut pelabelan garis. Jika
pelabelannya adalah titik dan garis maka pelabelannya disebut dengan pelabelan total
(Valdya dan Kanani, 2010).
3
Kini semakin banyak penelitian tentang graf yang telah dilakukan salah satunya
dilakukan oleh Agnarsson dan Raymond (2007), dari penelitian mereka diperoleh
rumus untuk menentukan banyaknya graf sederhana jika diberi n titikdan m garis.
Banyak graf sederhana dengan n titik yaitu gn= 2( ) dan banyak graf sederhana
dengan n titik dan m garis yaitu gn(m) =
.
Selanjutnya, dari penelitian Winarni (2015)tentang banyaknya graf tak terhubung
berlabel tanpa garis paralel diperoleh rumus untuk n titik dan m garis (loop
diperbolehkan), dengan n=3 ,4 dan m≥1. Untuk n=3 dan m≥1, banyaknya graf tak
terhubung berlabel tanpa garis paralel yaitu ( )
,
=
;untuk n=4 dan m=1,
banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralelyaitu untuk
()
,
=10,
untuk n=4 dan m>1 banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel
yaitu ( )
,
=
+
.
Pada tahun berikutnya Nagari (2016) juga melakukan penelitian graf tentang
menentukan banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel dengan
n=5 dan
1. Dari penelitian tersebut di perolehjumlah graf tak terhubung
= 5, 1
berlabel tanpa garis paralel untuk
dengan = 1,2,3,
10,
= 0, dan 1
5
,10 merupakan banyak loop pada satu titik dapat dirumuskan
secara umum, yakni:
(
,
)=
+4
4
4
dengan:
(
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk 5 titik
dan m garis.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis untuk n titik, m garis, dan
garis
bukan loop dapat dirumuskan secara umum, yakni:
Untuk
= 1,
, ,
= 10
;1
10
Untuk
= 2,
, ,
= 45
;2
10
Untuk
= 3,
, ,
= 120
Untuk
= 4,
, ,
= 85
Untuk
= 5,
, ,
= 30
Untuk
= 6,
, ,
= 5
;3
;4
10
10
;5
10
;6
10
dengan :
, ,
= jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel jika
diberikan n titik, m garis, dan g garis bukan loop.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5 dan m ≥ 1
adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel
untuk n = 5 , 1
10,
= 0, dan 1
ℓ
5 dengan = 1,2, … ,9 dengan
jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5, 1
1
6, dan 1
ℓ
10,
5 dengan = 1,2, … ,9 merupakan banyaknya loop pada
satu titik dapat dirumuskan secara umum, yakni:
5
N(
,
)=
,
+
+
=
, ,
=
30 ×
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+ 10 ×
+ 45 ×
+ 120 ×
+ 85 ×
+
+5×
dengan:
N(
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n=5 dan
m≥ 1.
Pada penelitian ini, penulis tertarik untuk melanjutkan penelitian menentukan
rumus umum dengan meneliti banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel untuk n=6.
1.2 Batasan Masalah
Dalam hal ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf tak terhubung berlabel titik
tanpa garis paralel dengan n = 6 serta 1 ≤ m ≤ 10, dengan n adalah banyaknya titik
dan m adalah banyaknya garis.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan banyaknya graf tak
terhubung berlabel titik tanpa garis paralel jika diberikan n titik dan m garis
dengan n = 6; 1 ≤ m ≤ 10agar dapat ditentukan rumus umumnya.
6
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menambah pengetahuan tentang teori graf terutama graf tak terhubung
tanpa garis paralel.
2. Sebagai rujukan bagi pembaca untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan
dengan graf tak terhubung.
7
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsepdasar teori graf, teknik pencacahan
serta barisan aritmatika orde tinggi yang berkaitan dengan penelitian yang akan
dilakukan.
2.1 Konsep Dasar Teori Graf
Istilah-istilah dan definisi yang digunakan pada sub bab ini diambil dari Deo(1989).
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G),E(G)) dengan V(G) = {v1,
v2, v3, ..., vn} menyatakan himpunan titik, dengan V(G) ≠ Ø, sedangkan E(G)= {e1,
e2, ..., en}, E(G) boleh kosong menyatakan himpunan garis yakni pasangan tak
terurut dari V(G).
V1
V2
V4
V3
Gambar 2. Contoh graf dengan 4 titik dan 6 garis
8
Dua titik dikatakan adjacent (bertetangga) jika ada garis yang menghubungkan
keduanya. Suatu garis dikatakan incident (menempel) dengan suatu titik jika titik
tersebut merupakan salah satu ujung dari garis tersebut.
V1
e2
e1
V3
V2
Gambar 3. Contoh graf dengan 3 titik dan 2 garis
Pada Gambar 3, titik v2 bertetangga dengan titik v1 dan titik v1 bertetangga dengan
titik v3. Tetapi, titik v2 tidak bertetangga dengan v3 karena tidak ada garis yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Garis e1 menempel pada titik v1 dan v2,
sedangkan garis e2 menempel pada titik v1 dan v3.
Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama. Sedangkan, garis paralel
adalah dua garis atau lebih yang memiliki titik ujung yang sama. Graf sederhana
adalah suatu graf tanpa loop atau garis paralel.
(a)
(b)
(c)
Gambar 4. Contoh (a) graf sederhana, (b) dan (c) graf tidak sederhana
9
Misalkan
suatu titik
adalah suatu titik pada graf G. Banyaknya sisi yang menempel pada
, dengan sisi pada loop dihitung ganda, disebut sebagai derajat
(degree) dari titik
, dinotasikan dengan d(
). Misalkan pada Gambar 4 (b),
( 1) = 2, ( 2) = 2, dan ( 3) = 4. Titik yang berderajat nol atau dengan kata
lain tidak ada sisi yang menempel pada titik tersebut disebut titik isolasi,
sedangkan titik yang berderajat satu disebut titik pendant atau daun.
Walk adalah barisan berhingga dari titik dan garis yang dimulai dan diakhiri
dengan titik sedemikian sehingga setiap garis menempel pada titik sebelum dan
sesudahnya. Walk yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut closed
walk. Sedangkan path adalah walk yang memiliki atau melewati titik yang
berbeda-beda. Path yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut cycle.
v1
e5
e1
e4
v2
e2
e3
v4
e6
e7
v3
Gambar 5. Contoh graf dengan 4 titik dan 7 garis
Contoh walk dari Gambar 5 adalah (
1 1, 2 6, 2 7, 3 3, 4).
adalah (
Contoh path adalah (
1 1, 2 6, 2 7, 3 3, 4 4, 1).
sedangkan cycle contohnya adalah (
1 5, 4 3, 3 2, 2 1, 1).
Contoh closed walk
1 5, 4 3, 3 2, 2),
10
Suatu graf dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada
graf tersebut terdapat path yang menghubungkannya. Jika tidak ada path yang
menghubungkan, maka G dikatakan graf tak terhubung.
Graf terhubung
Graf tak terhubung
Gambar 6. Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung
Dua graf dikatakan graf yang isomorfis jika memiliki banyaknya titik dan garis
yang sama dan mempertahankan sifat ketetanggaannya walaupun digambarkan
dengan cara yang berbeda, seperti dapat dilihat pada Gambar 7.
f
a
e
b
c
d
( )
( )
Gambar 7. Contoh dua graf yang isomorfis
2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan
Istilah-istilah pada subbab ini diambil dari Munir(2005).
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n! (dibaca “n faktorial”)
didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1.
n! =n(n-1)(n-2)(n-3) ... 1
11
Permutasi adalah sebaran pengaturan dari sekumpulan objek dalam suatu urutan
tertentu. Banyaknya permutasir dari n objek dengan menggunakan r objek dalam
setiap pengaturan dinotasikan
dengan r ≤ n . Secara umum, permutasi r objek
dari n buah objek dapat dihitung dengan persamaan :
=
!
(
)!
Dalam permutasi perulangan tidak diperbolehkan, berarti objek yang sudah dipilih
tidak bisa dipilih kembali.
Kombinasi dari n objek dengan pengambilan sebanyak r objek dalam setiap
pengambilannya terdiri dari semua kumpulan r objek yang mungkin tanpa
memandang urutan pengaturannya. Banyaknya n objek dengan pengambilan
dengan r ≤ n . Banyaknya kombinasi dari
sebanyak r objek dinyatakan dengan
n objek berbeda yang diambil sebanyak r objek yaitu :
=
untuk setiap ,
,0
!
(
)! !
.
2.3 Barisan Aritmatika Orde Tinggi
Penjelasan aritmatika ini di ambil dari Ismail (2014)
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang
berurutan selalu tetap.
Secara umum barisan bilangan dapat dinyatakan sebagai(
dan
merupakan suku ke-n.
)=(
,
,
,
)
12
Beda adalah selisih dari suku sesudah dan suku sebelumnya, seperti
dan seterusnya
,
.
Barisan aritmatika tingkat ke-n adalah sebuah barisan yang memiliki selisih yang
sama untuk setiap suku berurutannya setelah n tingkatan.
Bentuk umum suatu barisaritmatika tingkat dua
=
+
+
Maka, rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika tingkat dua ditentukan oleh
,
melalui substitusi suku pertama, kedua, dan ketiga ke pola umum (
,
).
Bentuk umum suatu barisan aritmetika tingkat tiga
=
+
+
+
Maka, rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika tingkat tiga ditentukan oleh
,
,
umum (
melalui substitusi suku pertama, kedua, ketiga, dan keempat ke pola
,
).
Sehingga bentuk umum untuk barisan aritmatika suku ke-n yaitu :
=
+
dengan,
= banyaknya suku ke-n
= suku ke-m, untuk
= 1,2,3
+
+
+
13
III. METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan dijelaskan teorema yang berhubungan dengan penelitian, tempat
dan waktu penelitian serta metode penelitian yang di gunakan.
3.1 Penelitian yang Telah Dilakukan
Penelitian dari Agnarsson dan Raymond (2007)
Diberikan m, n dengan 0 ≤ m ≤
, m, n
N
a. Graf gn merupakan graf sederhana dengan n titik. Banyaknya graf gn
adalah gn =2
b. Graf gn(m) merupakan graf sederhana dengan n titik dan m
garis.Banyaknya graf gn(m) adalah gn(m) =
Winarni (2015) melakukan penelitian tentang graf tak terhubung berlabel tanpa
garis paralel, dengan n=3 ,4 dan m≥1. ( )
,
adalah jumlah graf tak terhubung
berlabel tanpa garis paralel, maka :
1) Untuk n=3 dan m≥1, banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel yaitu ( )
,
=
2) Untuk n=4 dan m=1, banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel yaitu untuk ( )
,
=10
14
3) Untuk n=4 dan m>1 banyaknya graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel
yaitu ( )
,
=
+
.
Selanjutnya Nagari (2016) melakukan penelitian tentang penentuang jumlah graf
tak terhubung berlabel berorde lima tanpa garis paralel dengan n=5 dan
1.
Dari penelitian tersebut di peroleh Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paralel untuk
= 5, 1
10,
= 0, dan 1
5 dengan i = 1,2,..., 10
merupakan banyak loop pada satu titik dapat dirumuskan secara umum, yakni:
(
)=
,
+4
4
dengan:
(
,
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk 5 titik
dan m garis.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis untuk n titik, m garis, dan
bukan loop dapat dirumuskan secara umum, yakni:
Untuk
= 1,
, ,
= 10
;1
10
Untuk
= 2,
, ,
= 45
;2
10
Untuk
= 3,
, ,
= 120
Untuk
= 4,
, ,
= 85
Untuk
= 5,
, ,
= 30
Untuk
= 6,
, ,
= 5
;3
;4
;5
;6
10
10
10
10
garis
15
dengan :
= jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel jika
, ,
diberikan n titik, m garis, dan g garis bukan loop.
Jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5 dan m ≥ 1
adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis
paraleluntuk
= 5, 1
10,
= 0, dan 1
5 dengan i = 1,2, ... 9
dengan jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n = 5,
1
10, 1
6, dan 1
5 dengan = 1,2, … ,9 merupakan
ℓ
banyaknya loop pada satu titik, dapat dirumuskan secara umum, yakni:
N(
,
)=
=
,
+
, ,
=
30 ×
+
, ,
, ,
+
+ 10 ×
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+
, ,
+ 45 ×
+ 120 ×
+ 85 ×
+
+5×
dengan:
N(
,
m≥ 1.
) = jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk n=5 dan
16
3.2 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung tahun akademik 2015-2016.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah
1. Menggambar pola dasar graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
paralel dengan n = 6 dan 1 ≤ m ≤ 10, dengan n adalah banyaknya titik dan
m adalah banyaknya garis.
2. Mengelompokkan setiap graf tak terhubung berdasarkan n titik dan m garis
yang sama.
3. Menghitung jumlah graf tak terhubung yang telah di kelompokan untuk
setiap n titik dengan m garis.
4. Melihat pola yang terbentuk dari banyaknya graf yang telah di bentuk
berdasarkan n titik dan m garis.
5. Menentukan rumus secara umum untuk menentukan jumlah graf tak
terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan n titik dan m.
6. Membuktikan rumus yang terbentuk apakah dapat di jadikan sebagai
rumus umum dengan menggunakan teori perhitungan graf.
78
V.
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan observasi dan hasil konstruksi graf tak terhubung berlabel titik tanpa
garis paralel dengan
=
dan
✧ ✁ maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Untuk jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel dengan
diberikan
= 6, 1 ≤
= 0, dan 1 ≤ ℓ ≤ 6 dengan
≤ 10,
= 1,2, …,10
merupakan banyak loop pada suatu titik dapat dirumuskan secara umum
yakni :
′✂ ✄ ☎
=
✆✝
✝
dengan :
✂ ′✂ ✄ ☎ ✄: jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk
6 titik dan m garis, m ≥ 1
2. Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis untuk n titik, m garis,
garis bukan loop yang membuat graf tak terhubung, dan
dirumuskan secara umum, yakni:
Untuk
= ✁✞
✂ ✄ ☎ ☎☎
= ✁✝
Untuk
= ✡✞
✂✄ ☎ ☎☎
= ✁✝✠
;✡ ✟
✟ ✁✠
Untuk
= ☛✞
✂✄ ☎ ☎☎
= ✝☛✠
;☛✟
✟ ✁✠
;✁ ✟
✟ ✁✠
loop dapat
79
Untuk
= ☞✌
✍✎ ✏ ✏✏
= ✑✒✓✔
Untuk
= ✖✌
✍✎ ✏ ✏✏
= ✑✖ 90
;☞✕
;5
✕ ✑✔
10
dengan :
, ,,
= Graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel dengan n titik,
m garis, g garis bukan loop yang membuat graf tak terhubung,
dan loop dengan
=
+
3. Jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis paralel untuk
= 6 dan
1 adalah penjumlahan dari jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa
= 6, 1
garisn paralel untuk
= 1,2,3,
= 0, dan 1
ℓ
6 dengan
,10 dan jumlah graf tak terhubung berlabel titik tanpa garis
= 6, 1
paralel untuk
= 1,2,3,
10,
10, 1
10, dan 1
ℓ
6 dengan
,9 merupakan banyaknya loop pada suatu titik dapat dirumuskan
secara umum, yakni:
′
,
′( )
=
=
,
+
(
, ,,
=
+
, ,,
(
+
, ,,
)
, ,,
+
, ,,
+
, ,,
+
)
+ 15 ×
+ 150 ×
+ 530 ×
+ 1230 ×
+ 1590 ×
dengan:
′
,
= 6 dan
adalah jumlah graf tak terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk
1
80
5.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan untuk menentukan rumus umum jumlah graf tak
terhubung berlabel tanpa garis paralel untuk
7 dan
= 1,2,3,4,5,
DAFTAR PUSTAKA
Ismail, S. 2014.Suku Ke-n Barisan Aritmatika Tingkat Dua, Tiga, Empat Dengan
Pendekatan Akar Karakteristik. Jurnal Saintek Vol 7 No 5.
http://repository.ung.ac.id/data/person/0029116204
Agnarsson, G. and Raymond, G. 2007. Graph Theory Modelling, Application, and
Algorithms. Pearson/Prentice Education, Inc., New Jersey.
Deo, N. 1989. Graph Theory with Application to Engineering and Computer
Science. Prentice-Hall of India Private Limited, New Delhi.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Informatika, Bandung.
Nagari, G.T. 2016. Penentuan Jumlah Graf Tak Terhubung Berlabel Berorde
Lima Tanpa Garis Paralel. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Lampung, Bandar Lampung.
Winarni, Y.D.S. 2015. Penentuan Banyaknya Graf Tak Terhubung Berlabel
Tanpa Garis Paralel. Skripsi. Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung, Bandar Lampung.
Valdya, S. K. dan Kanani K. Some New Results on Cordial Labeling in the
Contest of Arditrary Super sub division of Graph, Applied Matematical
Sciences, Vol. 4 (2010) No. 47, 2323 – 2329.