PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TAK TERHUBUNG TANPA LOOP DENGAN LIMA TITIK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TAK TERHUBUNG
TANPA LOOP DENGAN LIMA TITIK
(Skripsi)
Oleh
Gusti Kadek Sandika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2015
ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TAK TERHUBUNG
TANPA LOOP DENGAN LIMA TITIK
Oleh
Gusti Kadek Sandika
Graf G dikatakan tidak terhubung jika tidak ada path yang menghubungkan setiap
pasangan titik di G. Suatu garis yang berawal dan berakhir pada titik yang sama
disebut sebagai loop, sedangkan dua garis atau lebih yang menghubungkan dua titik
yang sama disebut sebagai garis paralel. Jika diberikan titik, garis, dan garis,
, dengan adalah banyaknya garis maksimal yang membuat graf tak terhubung
dengan garis paralel dihitung satu, maka dapat dibentuk berbagai bentuk graf berlabel
tak terhubung tanpa loop. Untuk
dan
banyaknya graf yang terbentuk
dapat dinyatakan sebagai:
(
)
Kata kunci: graf, teori garf, penghitungan graf, graf tak terhubung, garis paralel.
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TAK TERHUBUNG
TANPA LOOP DENGAN LIMA TITIK
Oleh
Gusti Kadek Sandika
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar
Sarjana Sains
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Darma Agung pada tanggal 21 Juni 1993 yang merupakan anak
kedua dari tiga bersaudara pasangan Bapak Gusti Kade Winata dan Ibu Made
Karini. Penulis memiliki satu orang kakak laki-laki bernama Gusti Putu Andita
dan satu adik laki-laki bernama Gusti Komang Heryawan.
Riwayat pendidikan penulis menyelesaikan Taman Kanak-Kanak (TK) pada tahun
1999 di TK Pertiwi Jati Datar, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan pada tahun 2005
di SDN I Darma Agung, Sekolah Menengah Pertama diselesaikan penulis pada
tahun 2008 di SMPN I Seputih Mataram, dan pada tahun 2011 penulis
menyelesaikan pendidikan Sekolah Menengah Atas di SMA Yayasan Pembina
(YP) Unila Tanjung Karang.
Pada tahun 2011 penulis terdaftar sebagai mahasiswa program studi S1
Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Lampung. Selama menjadi mahasiswa, penulis
merupakan
anggota
aktif
Himpunan
Mahasiswa
Jurusan
Matematika
(HIMATIKA) sebagai Anggota Bidang Eksternal pada tahun 2012-2013 dan
sebagai Kepala Bidang Eksternal pada tahun 2013-2014. Selain itu, penulis juga
aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa Hindu (UKM-H) Universitas Lampung sebagai
Anggota Kaderisasi dan Keorganisasian pada tahun 2012 dan sebagai Koordinator
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun 2013.
Pada tahun 2014, penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Badan Pusat
Statistik (BPS) Provinsi Lampung. Penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata
(KKN) di Pekon Padang Dalam, Kecamatan Bengkunat, Kabupaten Pesisir Barat
pada tahun 2015.
“Biarlah dia mengangkat jiwanya dengan jiwanya sendiri,
janganlah jiwanya menjerumuskan dirinya;
Sebab hanya jiwa lah teman jiwanya dan
hanya jiwalah musuh jiwanya”
(Bhagavad Gita VI-5)
“Hati yang gembira adalah obat yang manjur,
tetapi semangat yang patah mengeringkan tulang”
(Amsal 17:22)
“Kesejahteraan dilimpahkan atasmu,
Berbahagialah kamu”
(Qs. 39:73)
“Bangun! Jangan lengah!
Tempuhlah kehidupan dengan benar”
(Dhamapada: 168)
“Santai dalam pembawaan, serius dalam pemikiran.
Ya! Itu sangatlah baik”
(Pidi Baiq)
“Dengan segala kekurangan dan kerendahan hati,
saya persembahkan skripsi ini kepada
Putera Puteri Bangsa Indonesia.
Semoga skripsi ini turut serta mewujudkan
salah satu cita-cita bangsa Indonesia
sesuai dengan amanat pembukaan UUD 1945
-mencerdaskan kehidupan bangsa-”
SANWACANA
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas anugerah dan izin-Nya
skripsi dengan judul “Penentuan Banyaknya Graf Berlabel Tak Terhubung Tanpa
Loop dengan Lima Titik” dapat penulis selesaikan dengan baik.
Dapat diselesaikannya penelitian ini tidaklah terlepas dari bantuan, kerja sama,
dan dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan
terimakasih kepada:
1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Pembimbing Utama yang telah
banyak memberikan bimbingan, pelajaran, saran, dan dukungan dalam
penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. selaku Pembimbing Pembantu yang
memberikan pengarahan dan masukan untuk penulis.
3. Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc. selaku Penguji yang telah memberikan kritik dan
saran yang bermanfaat untuk penulis.
4. Bapak Drs. Tiyono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas
Lampung.
5. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si. selaku Pembimbing Akademik.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Unila yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Orang tua tercinta dan keluarga yang selalu mendoakan, memberikan
dukungan dan motivasi kepada penulis.
9. Sahabat dan kawan-kawan penulis, Haidir Alam, Khairil Walid, Jordian
Gevara, Erick Renaldi, Reno Saputra, Charissa Sudarisman, Umi Arifah,
Dhia Fadhilah, Ni Putu Udya, Anissa Rizky, dan Pusya Paradhita yang
selalu bersedia direpotkan dalam penyelesaian penelitian ini.
10. Nona Dela Dwi Antika yang menemani penulis melakukan penelitian
hingga proses penyelesaian skripsi ini.
11. Kawan-kawan Mahasiswa Matematika, terkhusus Angkatan 2011 dan
kawan-kawan HIMATIKA FMIPA Unila 2013-2014.
12. Seluruh pihak yang telah berperan dalam penyelesaian skripsi ini yang
tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Bandar Lampung, Agustus 2015
Penulis,
Gusti Kadek Sandika
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .............................................................................................................i
DAFTAR TABEL .....................................................................................................iii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................iv
BAB I PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang ......................................................................................................1
1.2.Batasan Masalah ...................................................................................................4
1.3.Tujuan Penelitian ..................................................................................................4
1.4.Manfaat Penelitian ................................................................................................4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1.Konsep Dasar Graf ................................................................................................5
2.2.Teknik Dasar Pencacahan ......................................................................................7
2.3.Penghitungan Graf (Graph Counting)....................................................................10
BAB III METODE PENELITIAN
3.1.Teorema Penghitungan Graf ..................................................................................11
3.2.Waktu dan Tempat Penelitian ................................................................................12
3.3.Metode Penelitian .................................................................................................12
i
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1.Observasi ..............................................................................................................14
4.2.Penentuan Rumus Umum untuk Graf dengan
dan
............................30
BAB V KESIMPULAN.............................................................................................36
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
ii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................15
Tabel 2. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................18
Tabel 3. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................21
Tabel 4. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................23
Tabel 5. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................26
Tabel 6. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................28
Tabel 7. Rekapitulasi hasil konstruksi untuk graf dengan
,
dan
............................................................31
iii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1. Jembatan Konigsberg (a) dan graf yang mempresentasikan
Jembatan Konigsberg (b) ...............................................................................1
Gambar 2.1. Contoh graf G dengan 5 titik dan 7 garis .................................................5
Gambar 2.2. Contoh graf tak terhubung (a) dan contoh graf terhubung (b) ..................6
Gambar 2.3. Contoh graf sederhana ............................................................................6
Gambar 3.1. Diagram alir prosedur penelitian .............................................................13
Gambar 4.1. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................20
Gambar 4.2. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................23
Gambar 4.3. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................25
Gambar 4.4. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................27
Gambar 4.5. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................30
Gambar 4.6. Pola-pola bentuk graf dengan
dan
iv
..........................32
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Suatu graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
objek-objek tersebut. Objek-objek tersebut disimbolkan dalam bentuk titik
(vertex) sedangkan hubungan antar objek dinyatakan sebagai garis (edge).
Perkembangan teori graf berawal ketika Leonhard Euler, seorang matematikawan
berkebangsaan Swiss pada tahun 1736. Melalui tulisannya, Euler memberi solusi
untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di
Eropa. Masalah jembatan Konigsberg adalah mungkin atau tidaknya melewati
tujuh jembatan yang ada di Kota Konigsberg masing-masing tepat satu kali dan
kembali ketempat semula. Untuk memecahkan masalah tersebut, Euler
memisalkan daratan dengan titik (vertex) dan jembatan dinyatakan dengan garis
atau sisi (edge).
C
D
A
B
(b)
(a)
Gambar 1.1. Jembatan Konigsberg (a) dan graf yang mempresentasikan jembatan
Konigsberg (b)
Euler berkesimpulan bahwa tidak mungkin seeorang dapat melalui tujuh jembatan
masing-masing tepat satu kali dan kembali ketempat semula jika derajat tiap titik
jumlahnya tidak genap. Derajat titik adalah banyaknya garis yang menempel pada
satu titik. Kisah jembatan Konigsberg ini menjadi sejarah lahirnya teori graf.
Setelah masa Euler bermunculan peneliti-peneliti yang mengkaji tentang teori
graf. Pada tahun 1847, G.R. Kirchoff berhasil mengembangkan teori pohon
(Theory of trees) yang digunakan pada persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun
kemudian, A. Cayley juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan
permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Pada masa ini juga lahir hal penting bagi
teori graf yaitu konjektur empat warna, yang menyatakan bahwa untuk mewarnai
sebuah atlas hanya dibutuhkan empat warna yang berbeda sedemikian sehingga
setiap negara yang berbatasan memiliki warna yang berbeda. Para ahli teori graf
berkeyakinan bahwa yang pertama kali mengemukakan masalah empat warna
adalah A.F. Mobius pada tahun 1840. Pada tahun 1859 W.R. Hamilton berhasil
menemukan suatu permainan yang diberi nama prominent cities yang
menggunakan konsep-konsep teori graf.
Kurang lebih setengah abad setelah masa Hamilton, aktifitas dalam teori graf
dapat dikatakan relatif kecil. Hingga pada tahun 1920-an kegiatan tersebut muncul
kembali dipelopori oleh D. Konig. Konig berusaha mengumpulkan hasil-hasil
pemikiran para ahli matematika tentang teori graf termasuk pemikirannya sendiri,
kemudia dikemasnya sendiri dalam bentuk buku yang diterbitkan pada tahun
1936. Tiga puluh tahun terakhir merupakan periode yang sangat intensif dalam
aktifitas pengembangan teori graf baik murni maupun terapan.
2
Salah satu penelitian tentang teori graf selanjutnya adalah penelitian yang
dilakukan oleh Harary dan Palmer yang dipublikasikan pada tahun 1973 tentang
penghitungan banyaknya graf (graph enumeration). Dalam bukunya tentang
penghitungan graf tersebut menjadi panduan bagi peneliti-peneliti selanjutnya
dalam cara-cara penghitungan graf. Namun dalam tulisannya tersebut masih
banyak hal-hal yang belum terpecahkan seperti banyaknya graf yang berlabel tak
terhubung tanpa loop yang dapat dibentuk dari
titik dan
garis.
Selanjutnya, Rohandi pada tahun 2014 berhasil menentukan banyaknya graf tak
terhubung tanpa loop untuk titik sebanyak 3 dan 4. Berdasarkan Rohandi (2014),
banyaknya graf berlabel yang dapat dibentuk dengan 3 dan 4 titik adalah sebagai
berikut:
1. Untuk n = 3; m ≥ 1; r = 1, 2.
2. Untuk n = 4; m ≥ 1; r = 1, 2, 3.
m≤n
∑
∑
Untuk m ≥ n
∑
∑
dengan:
banyaknya titik pada graf
banyaknya garis pada graf
3
garis maksimal yang membuat graf tidak terhubung tanpa adanya garis
rangkap yang terbentuk
Penelitian yang dilakukan oleh Rohandi hanya terbatas pada titik sebanyak 3 dan
4 dengan garis sebanyak
, oleh sebab itu penulis tertarik untuk meneliti
banyaknya graf berlabel tak terhubung tanpa loop yang dapat terbentuk dengan
titik sebanyak
dan garis sebanyak
.
1.2.Batasan Masalah
Penelitian ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf berlabel tak terhubung tanpa
loop dengan titik sebanyak
dan garis sebanyak
.
1.3.Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan banyaknya graf
berlabel tak terhubung tanpa loop dengan titik sebanyak
sebanyak
dan garis
.
1.4.Manfaat Penelitian
1. Memperluas pengetahuan pengembangan keilmuan khususnya dalam
bidang ilmu matematika mengenai perkembangan dari teori graf, yaitu
tentang graf tak terhubung.
2. Sebagai rujukan atau sumber referensi bagi pembaca untuk melakukan
penelitian selanjutnya dan dapat memberikan motivasi dalam mempelajari
dan mengembangkan ilmu matematika di bidang teori graf.
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan
penelitian yang dilakukan.
2.1. Konsep Dasar Graf
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut (V(G),E(G)) dengan
menyatakan himpunan titik dengan
dan
menyatakan himpunan garis yaitu pasangan tak terurut dari
(Deo, 1989).
v1
v2
e1
v3
e3
e2
e7
e4
e6
v4
e5
v5
G
Gambar 2.1. Contoh graf G dengan 5 titik dan 7 garis
Walk adalah barisan berhingga dari titik dan garis, dimulai dan diakhiri dengan
titik, sedemikian sehingga setiap garis menempel dengan titik sebelum dan
sesudahnya. Tidak ada sisi yang muncul lebih dari sekali dalam satu walk.
Lintasan (path) merupakan walk yang semua titiknya berbeda. Suatu graf G
dikatakan terhubung jika terdapat lintasan (path) yang menghubungkan setiap
pasangan titik di G. Jika tidak, maka G tidak terhubung (Deo, 1989).
(a)
(b)
Gambar 2.2. Contoh graf tak terhubung (a) dan contoh graf terhubung (b)
Suatu garis yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut sebagai loop,
sedangkan dua garis atau lebih yang menghubungkan dua titik yang sama disebut
sebagai garis paralel. Sebagai contoh pada Gambar 2.1, garis
dan garis
dan
merupakan loop
merupakan garis paralel. Graf sederhana adalah graf yang
tidak mengandung loop atau garis paralel (Deo, 1989).
Gambar 2.3. Contoh graf sederhana
Jika suatu garis
berujung di titik
maka
dan
sama lain. Sebagai contoh, pada Gambar 2.1, garis
dikatakan saling incident satu
dan
incident dengan titik
. Dua atau lebih garis tidak paralel yang incident dengan titik yang sama disebut
sebagai garis yang bertetangga (adjacent). Contohnya, pada Gambar 2.1, garis
dan
adalah garis-garis yang bertetangga. Dua titik dikatakan bertetangga jika
titik tersebut menjadi titik-titik ujung dari suatu garis. Pada Gambar 2.1, salah satu
contoh titik-titik yang bertetangga adalah titik
dan
.
6
Banyaknya garis yang menempel (incident) dalam satu titik dengan loop dihitung
sebagai 2 garis disebut sebagai derajat (degree) dari suatu titik, dinotasikan
sebagai
,
. Sebagai contoh dalam Gambar 2.1,
,
dan
Suatu graf G dikatakan graf berlabel jika titik atau garisnya di berikan suatu nilai
atau data tertentu. Jika tidak maka graf G dikatakan graf tak berlabel. Pelabelan
graf dapat berupa pelabelan titik, pelabelan garis, atau pelabelan titik dan garis.
Jika pelabelan tersebut merupakan pelabelan titik dan garis, maka pelabelan
tersebut disebut dengan pelabelan total (Deo, 1989).
2.2. Teknik Dasar Pencacahan
Jika suatu aktivitas dapat dibentuk dalam langkah berurutan dan langkah 1 dapat
dilakukan dengan
cara, langkah 2 dapat dilakukan dalam
seterusnya sampai langkah ke
dapat dilakukan dalam
aktivitas berbeda yang mungkin adalah
cara dan
cara, maka banyaknya
(Johnsonbaugh, 1997).
Suatu permutasi dari elemen-elemen yang berbeda adalah penyusunan elemenelemen tersebut kedalam urutan yang dapat dibedakan. Suatu permutasi-r dari
unsur yang berbeda
unsur dari
merupakan sebuah pengurutan dari subhimpunan r. Banyaknya permutasi-r dari sebuah himpunan
yang berbeda dinyatakan dengan
himpunan
unsur
. Banyaknya permutasi-r dari sebuah
unsur yang berbeda adalah
atau
7
;
;
Misalkan terdapat sebanyak
kali, permutasi
(Johnsonbaugh, 1997)
unsur dan ada
unsur yang masing-masing muncul
unsur tersebut adalah:
dengan
Contoh:
Untuk menentukan banyaknya permutasi yang mungkin dari huruf-huruf yang
menyusun kata “MATEMATIKA” dapat menggunakan permutasi dengan
beberapa unsur yang sama. Banyaknya huruf dalam “MATEMATIKA” adalah
sedangkan ada 2 huruf M, 3 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf E, 1 huruf I dan 1 huruf
K. Maka banyaknya cara menyusun huruf-huruf tersebut adalah:
Jadi banyaknya cara untuk menyusun huruf-huruf dalam kata “MATEMATIKA”
adalah 15120 cara.
Diberikan suatu himpunan
yang mengandung
unsur yang
berbeda:
a. Suatu r-kombinasi dari
adalah seleksi tak terurut dari r-unsur
(yakni
subhimpunan r-unsur dari )
b. Banyaknya r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n unsur yang berbeda
dinotasikan dengan
atau
8
Banyaknya r-kombinasi dari sebuah himpunan dengan
unsur yang berbeda
adalah:
dengan
;
(Johnsonbaugh, 1997).
Misalkan terdapat
objek yang akan dibagikan kedalam
tempat yang berbeda.
Maka banyaknya cara untuk menempatkan objek tersebut adalah
Contoh:
Empat bola akan dibagikan seluruhnya ke dalam 3 kotak. Banyaknya cara untuk
menyusun bola-bola tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi
dengan perulangan. Misalkan
adalah banyak bola dan
adalah banyak kotak
maka banyaknya cara menyusun bola adalah:
Jadi banyaknya cara untuk menyusun 4 bola kedalam 3 kotak adalah 15 cara.
9
2.3. Penghitungan Graf (Graph Counting)
Misal
, dengan
.
a. Banyaknya
graf sederhana berlabel dengan
b. Banyaknya
graf sederhana dengan
titik dinyatakan sebagai
titik dan
garis dinyatakan
sebagai
(Agreusson dan Raymon, 2007).
10
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan diberikan teorema yang berhubungan dengan penelitian, waktu
dan tempat penelitian, dan metode yang digunakan dalam penelitian.
3.1. Teorema Penghitungan Graf
Misal
.
1. Banyaknya
dari graf berlabel dengan
titik,
garis dan tidak
mengandung loop dinyatakan sebagai:
2. Banyaknya
terbanyak
3. Banyaknya
dari graf berlabel dengan
titik, dengan garis
dan tidak mengandung loop dinyatakan sebagai:
dari graf berlabel dengan
titik,
garis dinyatakan
sebagai:
4. Banyaknya
terbanyak
dari graf berlabel dengan
dinyatakan sebagai:
titik, dengan garis
(Agreusson dan Raymon, 2007)
3.2. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2014 – 2015 di Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Lampung.
3.3. Metode Penelitian
Langkah - langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan graf.
2. Menggambar graf tak terhubung tanpa loop untuk
dan
dengan n adalah titik dan m adalah garis.
3. Mengelompokkan graf tak terhubung untuk garis maksimal yang sama.
4. Menghitung jumlah graf tak terhubung untuk setiap garis.
5. Melihat pola banyaknya graf yang terbentuk.
6. Menarik kesimpulan.
12
Penyajian metode penelitian dalam bentuk diagram alir:
Mulai
Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan graf
Menggambar graf tak terhubung tanpa loop untuk
dan
dengan n adalah titik dan m adalah garis
Mengelompokkan graf tak terhubung untuk garis maksimal yang sama
Menghitung jumlah graf tak terhubung untuk setiap garis
Melihat pola banyaknya graf yang terbentuk.
Menggunakan rumus kombinasi untuk menentukan banyaknya graf tak
terterhubung berdasaran
Menjumlahkan banyaknya graf dengan yang sama untuk seriap
terbentuk
yang
Memperoleh banyaknya graf tak terhubung untuk
Stop
Gambar 3.1. Diagram alir prosedur penelitian
13
BAB V
KESIMPULAN
Berdasarkan observasi dan konstruksi graf berlabel tak terhubung tanpa loop
dengan jumlah titik
, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Banyaknya graf dengan
dan
dapat ditentukan dengan
kaidah perkalian yaitu:
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
dengan:
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
: banyaknya titik
: banyaknya garis
: banyaknya garis maksimal yang membuat graf tak terhubung dengan garis
paralel dihitung satu
(
) banyaknya graf dengan
titik,
garis, dan
garis maksimal.
2. Banyaknya graf dengan
∑ (
(
)
dan
adalah:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
37
DAFTAR PUSTAKA
Agreusson, G. and Raymon, D. G. 2007. Graph Theory Modeling, Application,
and Algorithms. Pearson/Prentice Education Inc, New Jersey.
Deo, N. 1998. Graph Teori with Applications to Engineering and Cooputer
Science. Prentice Hall Inc, New York.
Harary, F. and Palmer, E.M. 1973. Graphical Enumeration. Academic Press, Inc.
(London) Ltd., London.
Johnsonbaugh, R. 1998. Matematika Diskrit (Edisi Indonesia). Prenhallindo,
Jakarta.
Liu, C.L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskret. Gramedia Pustaka Utama,
Jakarta.
Rohandi. 2014. Penentuan Banyaknya Graf Tak Terhubung Tanpa Loop. Skripsi.
Bandar Lampung: Unila.
TANPA LOOP DENGAN LIMA TITIK
(Skripsi)
Oleh
Gusti Kadek Sandika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2015
ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TAK TERHUBUNG
TANPA LOOP DENGAN LIMA TITIK
Oleh
Gusti Kadek Sandika
Graf G dikatakan tidak terhubung jika tidak ada path yang menghubungkan setiap
pasangan titik di G. Suatu garis yang berawal dan berakhir pada titik yang sama
disebut sebagai loop, sedangkan dua garis atau lebih yang menghubungkan dua titik
yang sama disebut sebagai garis paralel. Jika diberikan titik, garis, dan garis,
, dengan adalah banyaknya garis maksimal yang membuat graf tak terhubung
dengan garis paralel dihitung satu, maka dapat dibentuk berbagai bentuk graf berlabel
tak terhubung tanpa loop. Untuk
dan
banyaknya graf yang terbentuk
dapat dinyatakan sebagai:
(
)
Kata kunci: graf, teori garf, penghitungan graf, graf tak terhubung, garis paralel.
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF BERLABEL TAK TERHUBUNG
TANPA LOOP DENGAN LIMA TITIK
Oleh
Gusti Kadek Sandika
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar
Sarjana Sains
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Darma Agung pada tanggal 21 Juni 1993 yang merupakan anak
kedua dari tiga bersaudara pasangan Bapak Gusti Kade Winata dan Ibu Made
Karini. Penulis memiliki satu orang kakak laki-laki bernama Gusti Putu Andita
dan satu adik laki-laki bernama Gusti Komang Heryawan.
Riwayat pendidikan penulis menyelesaikan Taman Kanak-Kanak (TK) pada tahun
1999 di TK Pertiwi Jati Datar, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan pada tahun 2005
di SDN I Darma Agung, Sekolah Menengah Pertama diselesaikan penulis pada
tahun 2008 di SMPN I Seputih Mataram, dan pada tahun 2011 penulis
menyelesaikan pendidikan Sekolah Menengah Atas di SMA Yayasan Pembina
(YP) Unila Tanjung Karang.
Pada tahun 2011 penulis terdaftar sebagai mahasiswa program studi S1
Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Lampung. Selama menjadi mahasiswa, penulis
merupakan
anggota
aktif
Himpunan
Mahasiswa
Jurusan
Matematika
(HIMATIKA) sebagai Anggota Bidang Eksternal pada tahun 2012-2013 dan
sebagai Kepala Bidang Eksternal pada tahun 2013-2014. Selain itu, penulis juga
aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa Hindu (UKM-H) Universitas Lampung sebagai
Anggota Kaderisasi dan Keorganisasian pada tahun 2012 dan sebagai Koordinator
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun 2013.
Pada tahun 2014, penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Badan Pusat
Statistik (BPS) Provinsi Lampung. Penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata
(KKN) di Pekon Padang Dalam, Kecamatan Bengkunat, Kabupaten Pesisir Barat
pada tahun 2015.
“Biarlah dia mengangkat jiwanya dengan jiwanya sendiri,
janganlah jiwanya menjerumuskan dirinya;
Sebab hanya jiwa lah teman jiwanya dan
hanya jiwalah musuh jiwanya”
(Bhagavad Gita VI-5)
“Hati yang gembira adalah obat yang manjur,
tetapi semangat yang patah mengeringkan tulang”
(Amsal 17:22)
“Kesejahteraan dilimpahkan atasmu,
Berbahagialah kamu”
(Qs. 39:73)
“Bangun! Jangan lengah!
Tempuhlah kehidupan dengan benar”
(Dhamapada: 168)
“Santai dalam pembawaan, serius dalam pemikiran.
Ya! Itu sangatlah baik”
(Pidi Baiq)
“Dengan segala kekurangan dan kerendahan hati,
saya persembahkan skripsi ini kepada
Putera Puteri Bangsa Indonesia.
Semoga skripsi ini turut serta mewujudkan
salah satu cita-cita bangsa Indonesia
sesuai dengan amanat pembukaan UUD 1945
-mencerdaskan kehidupan bangsa-”
SANWACANA
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas anugerah dan izin-Nya
skripsi dengan judul “Penentuan Banyaknya Graf Berlabel Tak Terhubung Tanpa
Loop dengan Lima Titik” dapat penulis selesaikan dengan baik.
Dapat diselesaikannya penelitian ini tidaklah terlepas dari bantuan, kerja sama,
dan dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan
terimakasih kepada:
1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Pembimbing Utama yang telah
banyak memberikan bimbingan, pelajaran, saran, dan dukungan dalam
penyelesaian skripsi ini.
2. Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. selaku Pembimbing Pembantu yang
memberikan pengarahan dan masukan untuk penulis.
3. Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc. selaku Penguji yang telah memberikan kritik dan
saran yang bermanfaat untuk penulis.
4. Bapak Drs. Tiyono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas
Lampung.
5. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si. selaku Pembimbing Akademik.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Unila yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Orang tua tercinta dan keluarga yang selalu mendoakan, memberikan
dukungan dan motivasi kepada penulis.
9. Sahabat dan kawan-kawan penulis, Haidir Alam, Khairil Walid, Jordian
Gevara, Erick Renaldi, Reno Saputra, Charissa Sudarisman, Umi Arifah,
Dhia Fadhilah, Ni Putu Udya, Anissa Rizky, dan Pusya Paradhita yang
selalu bersedia direpotkan dalam penyelesaian penelitian ini.
10. Nona Dela Dwi Antika yang menemani penulis melakukan penelitian
hingga proses penyelesaian skripsi ini.
11. Kawan-kawan Mahasiswa Matematika, terkhusus Angkatan 2011 dan
kawan-kawan HIMATIKA FMIPA Unila 2013-2014.
12. Seluruh pihak yang telah berperan dalam penyelesaian skripsi ini yang
tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Bandar Lampung, Agustus 2015
Penulis,
Gusti Kadek Sandika
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .............................................................................................................i
DAFTAR TABEL .....................................................................................................iii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................iv
BAB I PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang ......................................................................................................1
1.2.Batasan Masalah ...................................................................................................4
1.3.Tujuan Penelitian ..................................................................................................4
1.4.Manfaat Penelitian ................................................................................................4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1.Konsep Dasar Graf ................................................................................................5
2.2.Teknik Dasar Pencacahan ......................................................................................7
2.3.Penghitungan Graf (Graph Counting)....................................................................10
BAB III METODE PENELITIAN
3.1.Teorema Penghitungan Graf ..................................................................................11
3.2.Waktu dan Tempat Penelitian ................................................................................12
3.3.Metode Penelitian .................................................................................................12
i
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1.Observasi ..............................................................................................................14
4.2.Penentuan Rumus Umum untuk Graf dengan
dan
............................30
BAB V KESIMPULAN.............................................................................................36
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
ii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................15
Tabel 2. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................18
Tabel 3. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................21
Tabel 4. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................23
Tabel 5. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................26
Tabel 6. Hasil konstruksi graf dengan
dan
................28
Tabel 7. Rekapitulasi hasil konstruksi untuk graf dengan
,
dan
............................................................31
iii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1. Jembatan Konigsberg (a) dan graf yang mempresentasikan
Jembatan Konigsberg (b) ...............................................................................1
Gambar 2.1. Contoh graf G dengan 5 titik dan 7 garis .................................................5
Gambar 2.2. Contoh graf tak terhubung (a) dan contoh graf terhubung (b) ..................6
Gambar 2.3. Contoh graf sederhana ............................................................................6
Gambar 3.1. Diagram alir prosedur penelitian .............................................................13
Gambar 4.1. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................20
Gambar 4.2. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................23
Gambar 4.3. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................25
Gambar 4.4. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................27
Gambar 4.5. Pengelompokan graf dengan
dan
.......................................30
Gambar 4.6. Pola-pola bentuk graf dengan
dan
iv
..........................32
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Suatu graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
objek-objek tersebut. Objek-objek tersebut disimbolkan dalam bentuk titik
(vertex) sedangkan hubungan antar objek dinyatakan sebagai garis (edge).
Perkembangan teori graf berawal ketika Leonhard Euler, seorang matematikawan
berkebangsaan Swiss pada tahun 1736. Melalui tulisannya, Euler memberi solusi
untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di
Eropa. Masalah jembatan Konigsberg adalah mungkin atau tidaknya melewati
tujuh jembatan yang ada di Kota Konigsberg masing-masing tepat satu kali dan
kembali ketempat semula. Untuk memecahkan masalah tersebut, Euler
memisalkan daratan dengan titik (vertex) dan jembatan dinyatakan dengan garis
atau sisi (edge).
C
D
A
B
(b)
(a)
Gambar 1.1. Jembatan Konigsberg (a) dan graf yang mempresentasikan jembatan
Konigsberg (b)
Euler berkesimpulan bahwa tidak mungkin seeorang dapat melalui tujuh jembatan
masing-masing tepat satu kali dan kembali ketempat semula jika derajat tiap titik
jumlahnya tidak genap. Derajat titik adalah banyaknya garis yang menempel pada
satu titik. Kisah jembatan Konigsberg ini menjadi sejarah lahirnya teori graf.
Setelah masa Euler bermunculan peneliti-peneliti yang mengkaji tentang teori
graf. Pada tahun 1847, G.R. Kirchoff berhasil mengembangkan teori pohon
(Theory of trees) yang digunakan pada persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun
kemudian, A. Cayley juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan
permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Pada masa ini juga lahir hal penting bagi
teori graf yaitu konjektur empat warna, yang menyatakan bahwa untuk mewarnai
sebuah atlas hanya dibutuhkan empat warna yang berbeda sedemikian sehingga
setiap negara yang berbatasan memiliki warna yang berbeda. Para ahli teori graf
berkeyakinan bahwa yang pertama kali mengemukakan masalah empat warna
adalah A.F. Mobius pada tahun 1840. Pada tahun 1859 W.R. Hamilton berhasil
menemukan suatu permainan yang diberi nama prominent cities yang
menggunakan konsep-konsep teori graf.
Kurang lebih setengah abad setelah masa Hamilton, aktifitas dalam teori graf
dapat dikatakan relatif kecil. Hingga pada tahun 1920-an kegiatan tersebut muncul
kembali dipelopori oleh D. Konig. Konig berusaha mengumpulkan hasil-hasil
pemikiran para ahli matematika tentang teori graf termasuk pemikirannya sendiri,
kemudia dikemasnya sendiri dalam bentuk buku yang diterbitkan pada tahun
1936. Tiga puluh tahun terakhir merupakan periode yang sangat intensif dalam
aktifitas pengembangan teori graf baik murni maupun terapan.
2
Salah satu penelitian tentang teori graf selanjutnya adalah penelitian yang
dilakukan oleh Harary dan Palmer yang dipublikasikan pada tahun 1973 tentang
penghitungan banyaknya graf (graph enumeration). Dalam bukunya tentang
penghitungan graf tersebut menjadi panduan bagi peneliti-peneliti selanjutnya
dalam cara-cara penghitungan graf. Namun dalam tulisannya tersebut masih
banyak hal-hal yang belum terpecahkan seperti banyaknya graf yang berlabel tak
terhubung tanpa loop yang dapat dibentuk dari
titik dan
garis.
Selanjutnya, Rohandi pada tahun 2014 berhasil menentukan banyaknya graf tak
terhubung tanpa loop untuk titik sebanyak 3 dan 4. Berdasarkan Rohandi (2014),
banyaknya graf berlabel yang dapat dibentuk dengan 3 dan 4 titik adalah sebagai
berikut:
1. Untuk n = 3; m ≥ 1; r = 1, 2.
2. Untuk n = 4; m ≥ 1; r = 1, 2, 3.
m≤n
∑
∑
Untuk m ≥ n
∑
∑
dengan:
banyaknya titik pada graf
banyaknya garis pada graf
3
garis maksimal yang membuat graf tidak terhubung tanpa adanya garis
rangkap yang terbentuk
Penelitian yang dilakukan oleh Rohandi hanya terbatas pada titik sebanyak 3 dan
4 dengan garis sebanyak
, oleh sebab itu penulis tertarik untuk meneliti
banyaknya graf berlabel tak terhubung tanpa loop yang dapat terbentuk dengan
titik sebanyak
dan garis sebanyak
.
1.2.Batasan Masalah
Penelitian ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf berlabel tak terhubung tanpa
loop dengan titik sebanyak
dan garis sebanyak
.
1.3.Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan banyaknya graf
berlabel tak terhubung tanpa loop dengan titik sebanyak
sebanyak
dan garis
.
1.4.Manfaat Penelitian
1. Memperluas pengetahuan pengembangan keilmuan khususnya dalam
bidang ilmu matematika mengenai perkembangan dari teori graf, yaitu
tentang graf tak terhubung.
2. Sebagai rujukan atau sumber referensi bagi pembaca untuk melakukan
penelitian selanjutnya dan dapat memberikan motivasi dalam mempelajari
dan mengembangkan ilmu matematika di bidang teori graf.
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan
penelitian yang dilakukan.
2.1. Konsep Dasar Graf
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut (V(G),E(G)) dengan
menyatakan himpunan titik dengan
dan
menyatakan himpunan garis yaitu pasangan tak terurut dari
(Deo, 1989).
v1
v2
e1
v3
e3
e2
e7
e4
e6
v4
e5
v5
G
Gambar 2.1. Contoh graf G dengan 5 titik dan 7 garis
Walk adalah barisan berhingga dari titik dan garis, dimulai dan diakhiri dengan
titik, sedemikian sehingga setiap garis menempel dengan titik sebelum dan
sesudahnya. Tidak ada sisi yang muncul lebih dari sekali dalam satu walk.
Lintasan (path) merupakan walk yang semua titiknya berbeda. Suatu graf G
dikatakan terhubung jika terdapat lintasan (path) yang menghubungkan setiap
pasangan titik di G. Jika tidak, maka G tidak terhubung (Deo, 1989).
(a)
(b)
Gambar 2.2. Contoh graf tak terhubung (a) dan contoh graf terhubung (b)
Suatu garis yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut sebagai loop,
sedangkan dua garis atau lebih yang menghubungkan dua titik yang sama disebut
sebagai garis paralel. Sebagai contoh pada Gambar 2.1, garis
dan garis
dan
merupakan loop
merupakan garis paralel. Graf sederhana adalah graf yang
tidak mengandung loop atau garis paralel (Deo, 1989).
Gambar 2.3. Contoh graf sederhana
Jika suatu garis
berujung di titik
maka
dan
sama lain. Sebagai contoh, pada Gambar 2.1, garis
dikatakan saling incident satu
dan
incident dengan titik
. Dua atau lebih garis tidak paralel yang incident dengan titik yang sama disebut
sebagai garis yang bertetangga (adjacent). Contohnya, pada Gambar 2.1, garis
dan
adalah garis-garis yang bertetangga. Dua titik dikatakan bertetangga jika
titik tersebut menjadi titik-titik ujung dari suatu garis. Pada Gambar 2.1, salah satu
contoh titik-titik yang bertetangga adalah titik
dan
.
6
Banyaknya garis yang menempel (incident) dalam satu titik dengan loop dihitung
sebagai 2 garis disebut sebagai derajat (degree) dari suatu titik, dinotasikan
sebagai
,
. Sebagai contoh dalam Gambar 2.1,
,
dan
Suatu graf G dikatakan graf berlabel jika titik atau garisnya di berikan suatu nilai
atau data tertentu. Jika tidak maka graf G dikatakan graf tak berlabel. Pelabelan
graf dapat berupa pelabelan titik, pelabelan garis, atau pelabelan titik dan garis.
Jika pelabelan tersebut merupakan pelabelan titik dan garis, maka pelabelan
tersebut disebut dengan pelabelan total (Deo, 1989).
2.2. Teknik Dasar Pencacahan
Jika suatu aktivitas dapat dibentuk dalam langkah berurutan dan langkah 1 dapat
dilakukan dengan
cara, langkah 2 dapat dilakukan dalam
seterusnya sampai langkah ke
dapat dilakukan dalam
aktivitas berbeda yang mungkin adalah
cara dan
cara, maka banyaknya
(Johnsonbaugh, 1997).
Suatu permutasi dari elemen-elemen yang berbeda adalah penyusunan elemenelemen tersebut kedalam urutan yang dapat dibedakan. Suatu permutasi-r dari
unsur yang berbeda
unsur dari
merupakan sebuah pengurutan dari subhimpunan r. Banyaknya permutasi-r dari sebuah himpunan
yang berbeda dinyatakan dengan
himpunan
unsur
. Banyaknya permutasi-r dari sebuah
unsur yang berbeda adalah
atau
7
;
;
Misalkan terdapat sebanyak
kali, permutasi
(Johnsonbaugh, 1997)
unsur dan ada
unsur yang masing-masing muncul
unsur tersebut adalah:
dengan
Contoh:
Untuk menentukan banyaknya permutasi yang mungkin dari huruf-huruf yang
menyusun kata “MATEMATIKA” dapat menggunakan permutasi dengan
beberapa unsur yang sama. Banyaknya huruf dalam “MATEMATIKA” adalah
sedangkan ada 2 huruf M, 3 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf E, 1 huruf I dan 1 huruf
K. Maka banyaknya cara menyusun huruf-huruf tersebut adalah:
Jadi banyaknya cara untuk menyusun huruf-huruf dalam kata “MATEMATIKA”
adalah 15120 cara.
Diberikan suatu himpunan
yang mengandung
unsur yang
berbeda:
a. Suatu r-kombinasi dari
adalah seleksi tak terurut dari r-unsur
(yakni
subhimpunan r-unsur dari )
b. Banyaknya r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n unsur yang berbeda
dinotasikan dengan
atau
8
Banyaknya r-kombinasi dari sebuah himpunan dengan
unsur yang berbeda
adalah:
dengan
;
(Johnsonbaugh, 1997).
Misalkan terdapat
objek yang akan dibagikan kedalam
tempat yang berbeda.
Maka banyaknya cara untuk menempatkan objek tersebut adalah
Contoh:
Empat bola akan dibagikan seluruhnya ke dalam 3 kotak. Banyaknya cara untuk
menyusun bola-bola tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi
dengan perulangan. Misalkan
adalah banyak bola dan
adalah banyak kotak
maka banyaknya cara menyusun bola adalah:
Jadi banyaknya cara untuk menyusun 4 bola kedalam 3 kotak adalah 15 cara.
9
2.3. Penghitungan Graf (Graph Counting)
Misal
, dengan
.
a. Banyaknya
graf sederhana berlabel dengan
b. Banyaknya
graf sederhana dengan
titik dinyatakan sebagai
titik dan
garis dinyatakan
sebagai
(Agreusson dan Raymon, 2007).
10
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan diberikan teorema yang berhubungan dengan penelitian, waktu
dan tempat penelitian, dan metode yang digunakan dalam penelitian.
3.1. Teorema Penghitungan Graf
Misal
.
1. Banyaknya
dari graf berlabel dengan
titik,
garis dan tidak
mengandung loop dinyatakan sebagai:
2. Banyaknya
terbanyak
3. Banyaknya
dari graf berlabel dengan
titik, dengan garis
dan tidak mengandung loop dinyatakan sebagai:
dari graf berlabel dengan
titik,
garis dinyatakan
sebagai:
4. Banyaknya
terbanyak
dari graf berlabel dengan
dinyatakan sebagai:
titik, dengan garis
(Agreusson dan Raymon, 2007)
3.2. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2014 – 2015 di Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Lampung.
3.3. Metode Penelitian
Langkah - langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan graf.
2. Menggambar graf tak terhubung tanpa loop untuk
dan
dengan n adalah titik dan m adalah garis.
3. Mengelompokkan graf tak terhubung untuk garis maksimal yang sama.
4. Menghitung jumlah graf tak terhubung untuk setiap garis.
5. Melihat pola banyaknya graf yang terbentuk.
6. Menarik kesimpulan.
12
Penyajian metode penelitian dalam bentuk diagram alir:
Mulai
Mengumpulkan bahan literatur serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan graf
Menggambar graf tak terhubung tanpa loop untuk
dan
dengan n adalah titik dan m adalah garis
Mengelompokkan graf tak terhubung untuk garis maksimal yang sama
Menghitung jumlah graf tak terhubung untuk setiap garis
Melihat pola banyaknya graf yang terbentuk.
Menggunakan rumus kombinasi untuk menentukan banyaknya graf tak
terterhubung berdasaran
Menjumlahkan banyaknya graf dengan yang sama untuk seriap
terbentuk
yang
Memperoleh banyaknya graf tak terhubung untuk
Stop
Gambar 3.1. Diagram alir prosedur penelitian
13
BAB V
KESIMPULAN
Berdasarkan observasi dan konstruksi graf berlabel tak terhubung tanpa loop
dengan jumlah titik
, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Banyaknya graf dengan
dan
dapat ditentukan dengan
kaidah perkalian yaitu:
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
Untuk
diperoleh
dengan:
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
: banyaknya titik
: banyaknya garis
: banyaknya garis maksimal yang membuat graf tak terhubung dengan garis
paralel dihitung satu
(
) banyaknya graf dengan
titik,
garis, dan
garis maksimal.
2. Banyaknya graf dengan
∑ (
(
)
dan
adalah:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
37
DAFTAR PUSTAKA
Agreusson, G. and Raymon, D. G. 2007. Graph Theory Modeling, Application,
and Algorithms. Pearson/Prentice Education Inc, New Jersey.
Deo, N. 1998. Graph Teori with Applications to Engineering and Cooputer
Science. Prentice Hall Inc, New York.
Harary, F. and Palmer, E.M. 1973. Graphical Enumeration. Academic Press, Inc.
(London) Ltd., London.
Johnsonbaugh, R. 1998. Matematika Diskrit (Edisi Indonesia). Prenhallindo,
Jakarta.
Liu, C.L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskret. Gramedia Pustaka Utama,
Jakarta.
Rohandi. 2014. Penentuan Banyaknya Graf Tak Terhubung Tanpa Loop. Skripsi.
Bandar Lampung: Unila.