PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG TANPA LOOP
ABSTRAK
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG TANPA LOOP
Oleh
Rohandi
Graf G (V,E) dikatakan tak terhubung jika ada dua titik yang berbeda di G, tidak
ada path yang menghubungkan dua titik tersebut. Suatu garis pada graf G yang
memiliki titik awal dan titik akhir sama dinamakan loop. Pada graf tak terhubung
berlabel tanpa loop dengan banyaknya titik n dan banyaknya garis m, serta garis
maksimal yang membuat graf tak terhubung tanpa terbentuknya garis rangkap
adalah
, dapat terbentuk banyak graf. Sehingga, dalam penelitian ini dibahas
tentang menentukan banyaknya graf yang terbentuk jika diberikan n titik dan m
:
garis. Untuk titik n = 3, graf yang terbentuk
:
= 4, graf yang terbentuk
;
;
;
. Sedangkan untuk n
(
, dan
;
. Akibatnya, banyaknya graf tak
terhubung yang terbentuk jika diberikan 4 titik dan m garis adalah
∑
dan ∑
∑
∑
(
(
) ; untuk
); untuk
); untuk
,
.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Lampung Tengah pada tanggal 27 Maret 1992. Penulis
adalah anak pertama dari pasangan Bapak Rahim dan Ibu Sri Ambar Yani, kakak
dari Ratna Sari dan Riski Apriansah.
Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2004 di SD
Negeri 1 Nunggalrejo Kecamatan Punggur , Lampung Tengah. Pendidikan
Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 6 Metro pada tahun 2007,
pendidikan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 1 Punggur pada
tahun 2010.
Pada tahun 2010, penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan
terdaftar sebagai mahasiswa jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Univesitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Pada periode
tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA (Generasi Muda
HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Unila dan
anggota Brigade Muda BEM FMIPA Unila. Pada periode 2011/2012 penulis
terdaftar sebagai anggota bidang 3 (olahraga) HIMATIKA FMIPA Unila dan
terdaftar sebagai anggota departemen Sains dan Teknologi (SAINTEK) BEM
FMIPA Unila. Lalu pada periode 2012/2013, penulis menjabat sebagai Kepala
Bidang Eksternal HIMATIKA (Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika).
Penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di PT.PLN (PERSERO) Wilayah
Lampung APJ. Tanjung Karang Rayon Way Halim pada tahun 2013.dan
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di Kampung Aji Mesir
Kecamatan Gedung Aji, Kabupaten Tulang Bawang.
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT. Atas
limpahan rahmat dan nikmat, sehingga saya dapat
menyelesaikan hasil karyaku ini
Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk kedua orang tua
ku dirumah yang tak henti-hentinya mendo’akan ku supaya
diberi kelancaran dan kesuksesan hidup
Kedua adikku yang memberiku semangat dan memotifasi
diriku untuk menjadi contoh yang baik untuk mereka.
Seluruh keluarga besarku yang selalu memberi nasihat dan
semangat
Sahabat-sahabatku yang selalu membantu, menyemangati
dan mendukungku, serta orang yang selalu ada untuk
menemaniku
Dosen pembimbing dan penguji yang tak henti-hentinya
memberikan ilmu dan pelajarannya padaku
MOTO
“Doa ibu adalah kesuksesan di setiap jalanku”
“Hidup lah dengan bahagia bersama orang disekitar kita”
“Berusaha maksimal dan tersenyumlah ”
(Rohandi)
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat
serta salam selalu penulis haturkan kepada junjungan kita nabi besar Muhammad
SAW yang menjadi sosok suri tauladan bagi kita semua.
Dalam proses penyelesaian skripsi ini, selalu mendapatkan bimbingan, bantuan
dari berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dra. Wamilliana, M .A., Ph.D., selaku pembimbing I yang senantiasa
sabar dalam memberikan bimbingan, pelajaran, arahan serta saran selama
penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan dan pelajarannya selama ini.
3. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku penguji yang telah memberikan saran dan
kritik yang membangun bagi penulis.
4. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik yang selalu
memberikan saran dan dukungan bagi penulis.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku, kedua adikku dan seluruh keluarga besarku yang
selalu memberikan do’a dan dukungannya bagi penulis.
8. Sahabat-sahabat penulis, Agustia Indriani, Agustina Ambar Wulan, Christy
Engine Nita, Dian Ekawati, Dinda Ristanti, Tri Handayani, Hasby Alkarim,
Miftah Farid Artama, Muhammad Ridho serta Sofyan Saputra yang selalu
ada dan memberi semangat melalui keceriaan serta nasihatnya.
9. Untuk Suci Marita Damaiyanti yang selalu sabar menghadapiku, selalu
memberikan semangat dan selalu menemaniku.
10. Sahabat seperjuangan Erwin Hendrianto, Herman, Suryadi, Rido, Angga dan
semua teman-teman angkatan 2010 serta keluarga besar HIMATIKA.
11. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, akan tetapi
semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung,
Penulis,
Rohandi
Oktober 2014
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
DAFTAR TABEL ............................................................................................iii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ iv
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Batasan Masalah ............................................................................... 4
1.3
Tujuan Penelitian.............................................................................. 4
1.4
Manfaat Penelitian............................................................................ 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Konsep Dasar Graf ........................................................................... 7
2.2
Konsep Dasar Teknik Pencacahan.................................................... 9
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Teorema Penghitungan Graf ........................................................... 12
3.2
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 13
3.3
Metode Penelitian ........................................................................... 13
i
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Observasi ........................................................................................ 15
4.2
Menentukan Rumus Umum Graf Tak Terhubung
Tanpa Loop .................................................................................... 20
V.
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
ii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Hasil kontruksi graf tak terhubung berlabel tanpa loop,
dan
..................................................................... 15
Tabel 2. Hasil kontruksi graf tak terhubung berlabel tanpa loop,
dan
...................................................................... 17
iii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. (a) Jembatan Königsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Königsberg ....................................................................... 2
Gambar 2. Contoh graf
dengan 5 titik dan 7 garis ........................................ 6
Gambar 3. Contoh graf sederhana ....................................................................... 7
Gambar 4. Contoh graf teratur (reguler graph) dengan empat titik
dan berderajat 2 ................................................................................. 8
Gambar 5. Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung .............................. 9
Gambar 6. Graf sederhana dengan n = 3 dan m = 2 ......................................... 12
Gambar 7. Diagram alir metode penelitian ....................................................... 14
iv
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu kajian matematika yang memiliki banyak
terapannya diberbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah,
bulatan, vertex atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan
garis atau edge.
Jembatan Königsberg adalah masalah klasik terkenal yang di bahas oleh Leonhard
Euler pada tahun 1736. Di kota Königsberg (sebelah timur Prussia, Jerman
sekarang), yang sekarang bernama kota Kaliningrad terdapat sungai Pregal yang
mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua anak sungai.
Ada tujuh jembatan yang menghubungkan empat daratan yang dibelah oleh
sungai tersebut . Masalah jembatan Königsberg adalah: apakah mungkin melalui
ketujuh jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat
semula. Sebagian penduduk kota sepakat bahwa memang tidak mungkin melalui
setiap jembatan itu hanya sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan,
tetapi mereka tidak dapat menjelaskan mengapa demikian.
Tahun 1736, seorang matematikawan Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang
berhasil menemukan jawaban masalah itu dengan pembuktian yang sederhana. Ia
memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan dinyatakannya sebagai titik
(vertex), dan jembatan dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi (edge). Setiap
titik diberi label huruf A, B, C, dan D. Jawaban yang dikemukakan oleh Euler
adalah: orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing- masing satu
kali dan kembali lagi ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap titik tidak
seluruhnya genap. Derajat adalah banyaknya garis yang bersisian dengan titik.
Sebagai contoh, simpul C memiliki derajat 3 karena ada tiga buah garis yang
bersisian dengannya, simpul B dan D juga berderajat tiga, sedangkan simpul A
berderajat 5. Karena semua titik berderajat ganjil, maka tidak mungkin dilakukan
perjalananan seperti yang diinginkan tersebut.
Gambar 1. (a) Jembatan Königsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Königsberg
2
Tahun-tahun berikutnya, banyak para ilmuan yang mengembangkan teori graf
seperti G.R. Kirchoff, A. Coyley, Sir W.R. Hamilton sehingga teori graf
mengalami perkembangan yang pesat.
Penerapan teori graf dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas, sehingga teori
graf semakin berkembang. Banyak cabang ilmu pengetahuan yang menggunakan
aplikasi teori graf diantaranya kimia, biologi, ilmu komputer, ekonomi dan lainlain.
Graf G (V,E) dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik yang berbeda di G,
ada suatu path yang menghubungkan titik tersebut. Sebaliknya jika tidak ada path
yang menghubungkan maka G dikatakan graf tidak terhubung. Dalam suatu teori
graf dikenal istilah loop, dimana loop adalah suatu garis dalam suatu graf yang
memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Suatu graf dikatakan graf berlabel
jika titik atau garisnya di kaitkan dengan suatu besaran tertentu.
Pada penelitian yang dilakukan oleh Agreusson dan Raymon (2007), di dapat
formula untuk menentukan banyaknya graf sederhana jika diberikan n titik dan m
garis. Selanjutnya, penelitian yang telah dilakukan oleh Handayani (2014) yang
berjudul Penentuan Banyaknya Graf Terhubung Tanpa Loop tentang suatu graf
terhubung berlabel G = ( V,E ) dengan |E| = e, |V| = v, dengan banyaknya garis
(e) dan titik (v) yang sama menghasilkan sejumlah graf terhubung dengan titiknya
berlabel yang tidak hanya satu bentuk saja tetapi juga menghasilkan bentukbentuk lainnya. Kesimpulan dalam penelitian yang dilakukannya diperoleh rumus
3
umum untuk graf terhubung berlabel tanpa loop dengan banyaknya titik
dan banyaknya garis
tanpa loop dan
)
)
( )
yaitu {
{
( )
loop untuk graf dengan kardinalitas yang sama.
} untuk rumus graf berlabel
} untuk rumus graf berlabel tanpa
Oleh karena itu, pada penelitian ini akan didiskusikan tentang banyaknya graf tak
terhubung tanpa loop ( garis paralel diperbolehkan ) jika diberikan n titik dan m
garis.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf tak terhubung berlabel
tanpa loop dengan
|
)|
dan
, dengan n adalah banyaknya titik,
, dan m adalah banyaknya garis, |
)|
.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menentukan banyaknya graf tak
terhubung tanpa loop jika diberikan n titik dan m garis.
1.4 Manfaat Penelitian
1. Memperluas pengetahuan pengembangan keilmuan khususnya dalam
bidang ilmu matematika mengenai perkembangan dari teori graf, yaitu
tentang graf tak terhubung.
4
2. Sebagai rujukan atau sumber referensi bagi pembaca untuk penelitian
selanjutnya dan dapat memberikan motivasi dalam mempelajari dan
mengembangkan ilmu matematika dibidang teori graf.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berhubungan
dengan penelitian yang akan dilakukan.
2.1 Beberapa Konsep Dasar Graf
Graf
)
)
didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Sedangkan
menyatakan himpunan titik, dengan
)
) ) dengan
)
menyatakan himpunan garis yakni
pasangan tak terurut dari
). ( Deo, 1989 )
e4
v1
e1
v3
v5
e3
e2
e5
e7
v2
e6
Gambar 2. Contoh graf
v4
dengan 5 titik dan 7 garis
Pada graf terdapat istilah bertetangga ( adjacent ) dan menempel ( incident ) yang
akan di jelaskan di bawah ini.
Dua titik dikatakan bertetangga ( adjacent ) jika ada garis yang menghubungkan
keduanya. Suatu garis dikatakan menempel ( incident ) dengan suatu titik u, jika
titik u merupakan salah satu ujung dari garis tersebut. ( Deo, 1989 )
Derajat atau degree dari titik v dinotasikan dengan d(v) dan menyatakan
banyaknya sisi yang menempel pada titik v. ( Deo, 1989 ) Gambar 1 adalah
contoh graf dimana titik
adalah titik yang berderajat 3. Selanjutnya akan
dijelaskan tentang definisi graf sederhana yang akan dijelaskan di bawah ini.
Graf sederhana adalah suatu graf tanpa loop dan tanpa garis paralel. ( Deo, 1989 )
u1
u2
u3
Gambar 3. Contoh graf sederhana
Penjelasan tentang definisi graf teratur ( reguler graph ) akan dijelaskan di bawah
ini.
Graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur atau
reguler. Apabila derajat setiap vertex adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai
graf teratur derajat r. ( Munir, 2010 )
7
Gambar 4. Contoh graf teratur (reguler graph) dengan empat titik dan berderajat 2
Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang memiliki dua titik ujung yang sama.
Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama. ( Deo, 1989 )
Gambar 1 merupakan contoh graf yang memuat garis paralel dan loop.
Perjalanan ( walk ) adalah barisan berhingga dari titik dan garis dimulai dan
diakhiri dengan titik, sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik
sebelum dan sesudahnya. Jalan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama
disebut jalan tertutup. Pada Gambar 1, salah satu contoh jalan yaitu
,
( Deo,1989 )
Tidak hanya walk, tetapi dalam penelitian ini juga di perlukan pengertian tentang
path ( lintasan ) yang diberikan sebagai berikut.
Lintasan ( path ) adalah jalan yang semua titiknya berbeda. Pada Gambar 1, salah
satu contoh dari lintasan yaitu
Sirkuit adalah lintasan tertutup.
Pada Gambar 1, salah satu contoh dari sirkuit yaitu
.
Selain path, definisi graf terhubung dan tidak terhubung juga dibutuhkan dalam
penelitian ini. Penjelasan tentang pengertian graf terhubung dan tidak terhubung
akan dijelaskan berikut ini.
8
Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik yang berbeda di G ada
suatu path yang menghubungkan titik tersebut. Jika tidak ada path yang
menghubungkan maka G dikatakan tidak terhubung ( Deo, 1989 )
u1
u2
u1
u3
u2
u3
b. Graf tak terhubung
a. Graf terhubung
Gambar 5. Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung
2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial ( simbol n! ) di
definisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n. Untuk
, nol faktorial = 1.
)
( Siang, 2006 )
Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r
elemen yang diambil dari n elemen
. ( Munir, 2005 )
9
Urutan 1,2,3 sama dengan 1,3,2 atau 3,2,1 dan di hitung hanya sekali. Banyaknya
kombinasi dari r objek yang diambil dari n objek yang tersedia dinotasikan
Dalam kombinasi, tidak memperhatikan suatu urutan.
Teorema 1:
Banyaknya kombinasi n objek yang diambil sebanyak r objek adalah
)
( Siang, 2006 )
10
.
III. METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan diberikan teorema yang berhubungan dengan penelitian, tempat
dan waktu penelitian serta metode penelitian yang digunakan.
3.1 Teorema Penghitungan Graf
( ),
Misalkan m,n dengan
1. Graf
.
merupakan graf sederhana dengan n titik. Banyaknya graf
adalah
( )
2. Graf
merupakan graf sederhana dengan n titik dan m garis.
Banyaknya graf
adalah :
( )
( Agreusson dan Raymon, 2007 )
Contoh graf
dengan
dan
adalah 3 graf sederhana seperti
berikut :
u1
u2
u1
u1
u3
u2
u2
u3
u3
Gambar 6. Graf sederhana dengan n = 3 dan m = 2
3.2 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
pada tahun akademik 2013-2014.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan
bahan
literature
serta
studi
kepustakaan
yang
berhubungan dengan graf.
2. Menentukan banyaknya titik dan garis yang akan dicari banyaknya graf
tak terhubung yang terbentuk dari titik dan garis tersebut.
3. Menggambar graf tak terhubung tanpa loop untuk n=3 dan n=4 dengan
, dengan n adalah titik dan m adalah garis.
4. Mengelompokkan graf tak terhubung untuk n titik dan m garis yang sama.
5. Menghitung jumlah graf tak terhubung untuk setiap n titik dan m garis.
6. Melihat pola banyaknya graf yang terbentuk.
12
7. Menentukan rumus untuk menghitung jumlah graf tak terhubung tanpa
loop dengan n titik dan m garis.
Penyajian dalam bentuk diagram alir
Mulai
Mengumpulkan literatur yang berhubungan dengan topik penelitian
Tentukan n dan m yang akan didiskusikan
Gambar graf tak terhubung tanpa loop dengan n=3; 1≤m≤10
dan n=4; 1≤m≤10
Kelompokan graf dengan melihat pola yang terbentuk
Gunakan rumus kombinasi untuk menentukan
banyaknya graf berdasarkan garis maksimal yang
membuat graf tak terhubung .
(*)terhubung
13
(*)
Untuk rumus
kombinasi dengan
di kurangi
1 dan
0 karena tidak
mungkin terbentuk
ya
Tidak
terhubung
semua
tidak
Gunakan rumus kombinasi untuk menentukan
banyaknya graf berdasarkan penambahan
garis pada garis-garis maksimal.
Kalikan rumus kombinasi tersebut dengan
rumus kombinasi untuk menentukan
banyaknya graf tak terhubung berdasarkan
garis maksimal.
Banyaknya graf tak terhubung
Stop
Gambar 7. Diagram alir metode penelitian
14
Untuk rumus
kombinasi 3 di
kurangi 16 graf
terhubung
V. KESIMPULAN
Berdasarkan observasi dan kontruksi graf tak terhubung berlabel tanpa loop, maka
dapat diambil kesimpulan bahwa
● Untuk
;
;
●
:
Untuk
;
;
;
;
terhubung adalah
Untuk
∑
Untuk
∑
∑(
)(
)
∑(
)(
)
.
, banyaknya graf tak
dengan
n = banyaknya titik pada graf
m = banyaknya garis pada graf
ri = garis maksimal yang membuat graf tidak terhubung tanpa adanya garis
rangkap yang terbentuk
:
(
)
∑
∑(
)(
)
dengan
n = banyaknya titik pada graf
m = banyaknya garis pada graf
ri = garis maksimal yang membuat graf tidak terhubung tanpa adanya garis
rangkap yang terbentuk
34
DAFTAR PUSTAKA
Agreusson, G and Raymon, D. G. 2007. Graph Theory Modeling, Applications,
and Algorithms. Pearson/Prentice education inc, New Jersey.
Deo, N. (1989). Graph Theory with Applications to Engineering and Computer
Science. Prentice Hall Inc, New York.
Handayani, T. (2014). Penentuan Banyaknya Graf Terhubung Tanpa Loop.
Skripsi.Bandar Lampung: Universitas Lampung.
Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit Edisi Ketiga. Bandung : Informatika
Bandung.
Siang, Jek. Jeng, M.Sc. 2006. Matematika Diskrit Pada Ilmu Komputer edisi
ketiga. Yogyakarta : ANDI.
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TAK TERHUBUNG TANPA LOOP
Oleh
Rohandi
Graf G (V,E) dikatakan tak terhubung jika ada dua titik yang berbeda di G, tidak
ada path yang menghubungkan dua titik tersebut. Suatu garis pada graf G yang
memiliki titik awal dan titik akhir sama dinamakan loop. Pada graf tak terhubung
berlabel tanpa loop dengan banyaknya titik n dan banyaknya garis m, serta garis
maksimal yang membuat graf tak terhubung tanpa terbentuknya garis rangkap
adalah
, dapat terbentuk banyak graf. Sehingga, dalam penelitian ini dibahas
tentang menentukan banyaknya graf yang terbentuk jika diberikan n titik dan m
:
garis. Untuk titik n = 3, graf yang terbentuk
:
= 4, graf yang terbentuk
;
;
;
. Sedangkan untuk n
(
, dan
;
. Akibatnya, banyaknya graf tak
terhubung yang terbentuk jika diberikan 4 titik dan m garis adalah
∑
dan ∑
∑
∑
(
(
) ; untuk
); untuk
); untuk
,
.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Lampung Tengah pada tanggal 27 Maret 1992. Penulis
adalah anak pertama dari pasangan Bapak Rahim dan Ibu Sri Ambar Yani, kakak
dari Ratna Sari dan Riski Apriansah.
Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2004 di SD
Negeri 1 Nunggalrejo Kecamatan Punggur , Lampung Tengah. Pendidikan
Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 6 Metro pada tahun 2007,
pendidikan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 1 Punggur pada
tahun 2010.
Pada tahun 2010, penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan
terdaftar sebagai mahasiswa jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Univesitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Pada periode
tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA (Generasi Muda
HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Unila dan
anggota Brigade Muda BEM FMIPA Unila. Pada periode 2011/2012 penulis
terdaftar sebagai anggota bidang 3 (olahraga) HIMATIKA FMIPA Unila dan
terdaftar sebagai anggota departemen Sains dan Teknologi (SAINTEK) BEM
FMIPA Unila. Lalu pada periode 2012/2013, penulis menjabat sebagai Kepala
Bidang Eksternal HIMATIKA (Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika).
Penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di PT.PLN (PERSERO) Wilayah
Lampung APJ. Tanjung Karang Rayon Way Halim pada tahun 2013.dan
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di Kampung Aji Mesir
Kecamatan Gedung Aji, Kabupaten Tulang Bawang.
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT. Atas
limpahan rahmat dan nikmat, sehingga saya dapat
menyelesaikan hasil karyaku ini
Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk kedua orang tua
ku dirumah yang tak henti-hentinya mendo’akan ku supaya
diberi kelancaran dan kesuksesan hidup
Kedua adikku yang memberiku semangat dan memotifasi
diriku untuk menjadi contoh yang baik untuk mereka.
Seluruh keluarga besarku yang selalu memberi nasihat dan
semangat
Sahabat-sahabatku yang selalu membantu, menyemangati
dan mendukungku, serta orang yang selalu ada untuk
menemaniku
Dosen pembimbing dan penguji yang tak henti-hentinya
memberikan ilmu dan pelajarannya padaku
MOTO
“Doa ibu adalah kesuksesan di setiap jalanku”
“Hidup lah dengan bahagia bersama orang disekitar kita”
“Berusaha maksimal dan tersenyumlah ”
(Rohandi)
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat
serta salam selalu penulis haturkan kepada junjungan kita nabi besar Muhammad
SAW yang menjadi sosok suri tauladan bagi kita semua.
Dalam proses penyelesaian skripsi ini, selalu mendapatkan bimbingan, bantuan
dari berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dra. Wamilliana, M .A., Ph.D., selaku pembimbing I yang senantiasa
sabar dalam memberikan bimbingan, pelajaran, arahan serta saran selama
penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan dan pelajarannya selama ini.
3. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku penguji yang telah memberikan saran dan
kritik yang membangun bagi penulis.
4. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik yang selalu
memberikan saran dan dukungan bagi penulis.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku, kedua adikku dan seluruh keluarga besarku yang
selalu memberikan do’a dan dukungannya bagi penulis.
8. Sahabat-sahabat penulis, Agustia Indriani, Agustina Ambar Wulan, Christy
Engine Nita, Dian Ekawati, Dinda Ristanti, Tri Handayani, Hasby Alkarim,
Miftah Farid Artama, Muhammad Ridho serta Sofyan Saputra yang selalu
ada dan memberi semangat melalui keceriaan serta nasihatnya.
9. Untuk Suci Marita Damaiyanti yang selalu sabar menghadapiku, selalu
memberikan semangat dan selalu menemaniku.
10. Sahabat seperjuangan Erwin Hendrianto, Herman, Suryadi, Rido, Angga dan
semua teman-teman angkatan 2010 serta keluarga besar HIMATIKA.
11. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, akan tetapi
semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung,
Penulis,
Rohandi
Oktober 2014
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
DAFTAR TABEL ............................................................................................iii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ iv
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Batasan Masalah ............................................................................... 4
1.3
Tujuan Penelitian.............................................................................. 4
1.4
Manfaat Penelitian............................................................................ 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Konsep Dasar Graf ........................................................................... 7
2.2
Konsep Dasar Teknik Pencacahan.................................................... 9
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Teorema Penghitungan Graf ........................................................... 12
3.2
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 13
3.3
Metode Penelitian ........................................................................... 13
i
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Observasi ........................................................................................ 15
4.2
Menentukan Rumus Umum Graf Tak Terhubung
Tanpa Loop .................................................................................... 20
V.
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
ii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Hasil kontruksi graf tak terhubung berlabel tanpa loop,
dan
..................................................................... 15
Tabel 2. Hasil kontruksi graf tak terhubung berlabel tanpa loop,
dan
...................................................................... 17
iii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. (a) Jembatan Königsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Königsberg ....................................................................... 2
Gambar 2. Contoh graf
dengan 5 titik dan 7 garis ........................................ 6
Gambar 3. Contoh graf sederhana ....................................................................... 7
Gambar 4. Contoh graf teratur (reguler graph) dengan empat titik
dan berderajat 2 ................................................................................. 8
Gambar 5. Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung .............................. 9
Gambar 6. Graf sederhana dengan n = 3 dan m = 2 ......................................... 12
Gambar 7. Diagram alir metode penelitian ....................................................... 14
iv
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu kajian matematika yang memiliki banyak
terapannya diberbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah,
bulatan, vertex atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan
garis atau edge.
Jembatan Königsberg adalah masalah klasik terkenal yang di bahas oleh Leonhard
Euler pada tahun 1736. Di kota Königsberg (sebelah timur Prussia, Jerman
sekarang), yang sekarang bernama kota Kaliningrad terdapat sungai Pregal yang
mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua anak sungai.
Ada tujuh jembatan yang menghubungkan empat daratan yang dibelah oleh
sungai tersebut . Masalah jembatan Königsberg adalah: apakah mungkin melalui
ketujuh jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat
semula. Sebagian penduduk kota sepakat bahwa memang tidak mungkin melalui
setiap jembatan itu hanya sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan,
tetapi mereka tidak dapat menjelaskan mengapa demikian.
Tahun 1736, seorang matematikawan Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang
berhasil menemukan jawaban masalah itu dengan pembuktian yang sederhana. Ia
memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan dinyatakannya sebagai titik
(vertex), dan jembatan dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi (edge). Setiap
titik diberi label huruf A, B, C, dan D. Jawaban yang dikemukakan oleh Euler
adalah: orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing- masing satu
kali dan kembali lagi ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap titik tidak
seluruhnya genap. Derajat adalah banyaknya garis yang bersisian dengan titik.
Sebagai contoh, simpul C memiliki derajat 3 karena ada tiga buah garis yang
bersisian dengannya, simpul B dan D juga berderajat tiga, sedangkan simpul A
berderajat 5. Karena semua titik berderajat ganjil, maka tidak mungkin dilakukan
perjalananan seperti yang diinginkan tersebut.
Gambar 1. (a) Jembatan Königsberg dan (b) graf yang merepresentasikan
jembatan Königsberg
2
Tahun-tahun berikutnya, banyak para ilmuan yang mengembangkan teori graf
seperti G.R. Kirchoff, A. Coyley, Sir W.R. Hamilton sehingga teori graf
mengalami perkembangan yang pesat.
Penerapan teori graf dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas, sehingga teori
graf semakin berkembang. Banyak cabang ilmu pengetahuan yang menggunakan
aplikasi teori graf diantaranya kimia, biologi, ilmu komputer, ekonomi dan lainlain.
Graf G (V,E) dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik yang berbeda di G,
ada suatu path yang menghubungkan titik tersebut. Sebaliknya jika tidak ada path
yang menghubungkan maka G dikatakan graf tidak terhubung. Dalam suatu teori
graf dikenal istilah loop, dimana loop adalah suatu garis dalam suatu graf yang
memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Suatu graf dikatakan graf berlabel
jika titik atau garisnya di kaitkan dengan suatu besaran tertentu.
Pada penelitian yang dilakukan oleh Agreusson dan Raymon (2007), di dapat
formula untuk menentukan banyaknya graf sederhana jika diberikan n titik dan m
garis. Selanjutnya, penelitian yang telah dilakukan oleh Handayani (2014) yang
berjudul Penentuan Banyaknya Graf Terhubung Tanpa Loop tentang suatu graf
terhubung berlabel G = ( V,E ) dengan |E| = e, |V| = v, dengan banyaknya garis
(e) dan titik (v) yang sama menghasilkan sejumlah graf terhubung dengan titiknya
berlabel yang tidak hanya satu bentuk saja tetapi juga menghasilkan bentukbentuk lainnya. Kesimpulan dalam penelitian yang dilakukannya diperoleh rumus
3
umum untuk graf terhubung berlabel tanpa loop dengan banyaknya titik
dan banyaknya garis
tanpa loop dan
)
)
( )
yaitu {
{
( )
loop untuk graf dengan kardinalitas yang sama.
} untuk rumus graf berlabel
} untuk rumus graf berlabel tanpa
Oleh karena itu, pada penelitian ini akan didiskusikan tentang banyaknya graf tak
terhubung tanpa loop ( garis paralel diperbolehkan ) jika diberikan n titik dan m
garis.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini pembahasan dibatasi hanya untuk graf tak terhubung berlabel
tanpa loop dengan
|
)|
dan
, dengan n adalah banyaknya titik,
, dan m adalah banyaknya garis, |
)|
.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menentukan banyaknya graf tak
terhubung tanpa loop jika diberikan n titik dan m garis.
1.4 Manfaat Penelitian
1. Memperluas pengetahuan pengembangan keilmuan khususnya dalam
bidang ilmu matematika mengenai perkembangan dari teori graf, yaitu
tentang graf tak terhubung.
4
2. Sebagai rujukan atau sumber referensi bagi pembaca untuk penelitian
selanjutnya dan dapat memberikan motivasi dalam mempelajari dan
mengembangkan ilmu matematika dibidang teori graf.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berhubungan
dengan penelitian yang akan dilakukan.
2.1 Beberapa Konsep Dasar Graf
Graf
)
)
didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Sedangkan
menyatakan himpunan titik, dengan
)
) ) dengan
)
menyatakan himpunan garis yakni
pasangan tak terurut dari
). ( Deo, 1989 )
e4
v1
e1
v3
v5
e3
e2
e5
e7
v2
e6
Gambar 2. Contoh graf
v4
dengan 5 titik dan 7 garis
Pada graf terdapat istilah bertetangga ( adjacent ) dan menempel ( incident ) yang
akan di jelaskan di bawah ini.
Dua titik dikatakan bertetangga ( adjacent ) jika ada garis yang menghubungkan
keduanya. Suatu garis dikatakan menempel ( incident ) dengan suatu titik u, jika
titik u merupakan salah satu ujung dari garis tersebut. ( Deo, 1989 )
Derajat atau degree dari titik v dinotasikan dengan d(v) dan menyatakan
banyaknya sisi yang menempel pada titik v. ( Deo, 1989 ) Gambar 1 adalah
contoh graf dimana titik
adalah titik yang berderajat 3. Selanjutnya akan
dijelaskan tentang definisi graf sederhana yang akan dijelaskan di bawah ini.
Graf sederhana adalah suatu graf tanpa loop dan tanpa garis paralel. ( Deo, 1989 )
u1
u2
u3
Gambar 3. Contoh graf sederhana
Penjelasan tentang definisi graf teratur ( reguler graph ) akan dijelaskan di bawah
ini.
Graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur atau
reguler. Apabila derajat setiap vertex adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai
graf teratur derajat r. ( Munir, 2010 )
7
Gambar 4. Contoh graf teratur (reguler graph) dengan empat titik dan berderajat 2
Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang memiliki dua titik ujung yang sama.
Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama. ( Deo, 1989 )
Gambar 1 merupakan contoh graf yang memuat garis paralel dan loop.
Perjalanan ( walk ) adalah barisan berhingga dari titik dan garis dimulai dan
diakhiri dengan titik, sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik
sebelum dan sesudahnya. Jalan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama
disebut jalan tertutup. Pada Gambar 1, salah satu contoh jalan yaitu
,
( Deo,1989 )
Tidak hanya walk, tetapi dalam penelitian ini juga di perlukan pengertian tentang
path ( lintasan ) yang diberikan sebagai berikut.
Lintasan ( path ) adalah jalan yang semua titiknya berbeda. Pada Gambar 1, salah
satu contoh dari lintasan yaitu
Sirkuit adalah lintasan tertutup.
Pada Gambar 1, salah satu contoh dari sirkuit yaitu
.
Selain path, definisi graf terhubung dan tidak terhubung juga dibutuhkan dalam
penelitian ini. Penjelasan tentang pengertian graf terhubung dan tidak terhubung
akan dijelaskan berikut ini.
8
Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik yang berbeda di G ada
suatu path yang menghubungkan titik tersebut. Jika tidak ada path yang
menghubungkan maka G dikatakan tidak terhubung ( Deo, 1989 )
u1
u2
u1
u3
u2
u3
b. Graf tak terhubung
a. Graf terhubung
Gambar 5. Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung
2.2 Konsep Dasar Teknik Pencacahan
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial ( simbol n! ) di
definisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n. Untuk
, nol faktorial = 1.
)
( Siang, 2006 )
Kombinasi r elemen dari n elemen adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r
elemen yang diambil dari n elemen
. ( Munir, 2005 )
9
Urutan 1,2,3 sama dengan 1,3,2 atau 3,2,1 dan di hitung hanya sekali. Banyaknya
kombinasi dari r objek yang diambil dari n objek yang tersedia dinotasikan
Dalam kombinasi, tidak memperhatikan suatu urutan.
Teorema 1:
Banyaknya kombinasi n objek yang diambil sebanyak r objek adalah
)
( Siang, 2006 )
10
.
III. METODE PENELITIAN
Pada bab ini akan diberikan teorema yang berhubungan dengan penelitian, tempat
dan waktu penelitian serta metode penelitian yang digunakan.
3.1 Teorema Penghitungan Graf
( ),
Misalkan m,n dengan
1. Graf
.
merupakan graf sederhana dengan n titik. Banyaknya graf
adalah
( )
2. Graf
merupakan graf sederhana dengan n titik dan m garis.
Banyaknya graf
adalah :
( )
( Agreusson dan Raymon, 2007 )
Contoh graf
dengan
dan
adalah 3 graf sederhana seperti
berikut :
u1
u2
u1
u1
u3
u2
u2
u3
u3
Gambar 6. Graf sederhana dengan n = 3 dan m = 2
3.2 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
pada tahun akademik 2013-2014.
3.3 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan
bahan
literature
serta
studi
kepustakaan
yang
berhubungan dengan graf.
2. Menentukan banyaknya titik dan garis yang akan dicari banyaknya graf
tak terhubung yang terbentuk dari titik dan garis tersebut.
3. Menggambar graf tak terhubung tanpa loop untuk n=3 dan n=4 dengan
, dengan n adalah titik dan m adalah garis.
4. Mengelompokkan graf tak terhubung untuk n titik dan m garis yang sama.
5. Menghitung jumlah graf tak terhubung untuk setiap n titik dan m garis.
6. Melihat pola banyaknya graf yang terbentuk.
12
7. Menentukan rumus untuk menghitung jumlah graf tak terhubung tanpa
loop dengan n titik dan m garis.
Penyajian dalam bentuk diagram alir
Mulai
Mengumpulkan literatur yang berhubungan dengan topik penelitian
Tentukan n dan m yang akan didiskusikan
Gambar graf tak terhubung tanpa loop dengan n=3; 1≤m≤10
dan n=4; 1≤m≤10
Kelompokan graf dengan melihat pola yang terbentuk
Gunakan rumus kombinasi untuk menentukan
banyaknya graf berdasarkan garis maksimal yang
membuat graf tak terhubung .
(*)terhubung
13
(*)
Untuk rumus
kombinasi dengan
di kurangi
1 dan
0 karena tidak
mungkin terbentuk
ya
Tidak
terhubung
semua
tidak
Gunakan rumus kombinasi untuk menentukan
banyaknya graf berdasarkan penambahan
garis pada garis-garis maksimal.
Kalikan rumus kombinasi tersebut dengan
rumus kombinasi untuk menentukan
banyaknya graf tak terhubung berdasarkan
garis maksimal.
Banyaknya graf tak terhubung
Stop
Gambar 7. Diagram alir metode penelitian
14
Untuk rumus
kombinasi 3 di
kurangi 16 graf
terhubung
V. KESIMPULAN
Berdasarkan observasi dan kontruksi graf tak terhubung berlabel tanpa loop, maka
dapat diambil kesimpulan bahwa
● Untuk
;
;
●
:
Untuk
;
;
;
;
terhubung adalah
Untuk
∑
Untuk
∑
∑(
)(
)
∑(
)(
)
.
, banyaknya graf tak
dengan
n = banyaknya titik pada graf
m = banyaknya garis pada graf
ri = garis maksimal yang membuat graf tidak terhubung tanpa adanya garis
rangkap yang terbentuk
:
(
)
∑
∑(
)(
)
dengan
n = banyaknya titik pada graf
m = banyaknya garis pada graf
ri = garis maksimal yang membuat graf tidak terhubung tanpa adanya garis
rangkap yang terbentuk
34
DAFTAR PUSTAKA
Agreusson, G and Raymon, D. G. 2007. Graph Theory Modeling, Applications,
and Algorithms. Pearson/Prentice education inc, New Jersey.
Deo, N. (1989). Graph Theory with Applications to Engineering and Computer
Science. Prentice Hall Inc, New York.
Handayani, T. (2014). Penentuan Banyaknya Graf Terhubung Tanpa Loop.
Skripsi.Bandar Lampung: Universitas Lampung.
Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit Edisi Ketiga. Bandung : Informatika
Bandung.
Siang, Jek. Jeng, M.Sc. 2006. Matematika Diskrit Pada Ilmu Komputer edisi
ketiga. Yogyakarta : ANDI.