Bab XX Vektor (1)
C. Operasi Vektor
BAB XX. VEKTOR
1. Penjumlahan dan pengurangan vektor :
A Definisi Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. a b a b
1 1
1 1
Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik a b = a b = a b
2
2
2
2
ujung Q. a b a b
3
3
3
3
Q untuk penjumlahan : a
R P
a b
B. Beberapa pengertian vektor :
b P Q
Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik a awalnya di 0.
x
- a + b = PQ QR = PR Jika A(x,y,z) maka OA = a = y dan
z
2
2
2
2. Perkalian skalar dengan vektor | a | = x y z
a ka
1 1 2.
Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu. k a = k a = ka
2
2
Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z
berturut-turut adalah :
a ka
3
3
3. Besar atau panjang vektor
2
2
2
1
a a a
a. | a | =
1
2
3
i = ; j = 1 dan k =
1
b. Jika P ( a , a , a ) dan Q ( b , b , b ) maka
1
2
3
1
2
3 | PQ | = ( b a ) ( b a ) ( b a )
1
1
2
2
3
Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.
3 3.
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor
4. Perbandingan itu mempunyai besar dan arah yang sama. m P n A Q
x x x x
1 2
1
2 n a m b y y y y
=
1
2
1
2 p =
m n z z z z
1
2
1
2
a p b
a , p dan b adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B dan P
D. Perkalian Skalar dua Vektor
2. Proyeksi vektor ortogonal Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :
. a . b = | a | | b | cos
a . b
| c | = . b a
2
| b |
Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi
G. Rumus-rumus tambahan :
b
menyatakan sudut yang dibentuk oleh
2
2
2 1. | a + b | = 2 ( a b ) | a b |
vektor a dan b bukti :
a b
1 1
2
2
2
Jika a = a dan b = b maka
2
2
2
2
a b
| a | b a b 2 | a || b | cos ….(1)
3
3
2
2
2
a . b = a b a b a b | a b | a b
2 | a || b | cos
1
1
2
2
3
3
2
2
2
a b
2 | a || b | cos = | a b | …(2)
E. Besar sudut antara dua Vektor
Substitusi (2) ke (1)
a . b =
cos
2
2
2
2
2 | a | . | b |
| a | b a b a b | a b |
2
2
2 = 2 ( a b ) | a b |
a b a b a b
1
1
2
2
3
3
= ; 0 180
2
2
2
2
2
2 a a a . b b b
1
2
3
1
2
3
2
2
2 2. | a - b | = 2 ( a b ) | a b |
F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor :
bukti : Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari
2
2
2 suatu vektor pada vector lain
| a b | a b 2 | a || b | cos
2
2
| a b a b
2 | a || b | cos ….(1) |
1. Proyeksi skalar ortogonal
2
2
2 A
| a b | a b 2 | a || b | cos
2
2
2 a
2 | a || b | cos = a b | a b | …(2) b
Substitusi (2) ke (1) 0 c C B
2
2
2
2
2
a b a b a b | a | b | | a b .
2
2
2 | OC | = | c | = Proyeksi skalar ortogonal a
a b a b
= 2 ( ) | |
b
| | pada b Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi