BAB 12. METODE FINITE DIFFERENCE
90 BAB 12. METODE FINITE DIFFERENCE
al Taylor untuk mengevaluasi y ′ dan y pada x
2 6 24 Jika kedua persamaan ini dijumlahkan
h ′′ 4 h − i
24 i )+y (ξ i ) Untuk menghitung y ′′
y(x i+1 ) + y(x i−1 ) = 2y(x i )+h 2 y (x i )+
i ) = y(x i+1 ) − 2y(x i ) + y(x i−1 )−
h 24 i lalu disederhanakan menjadi
i )= 2 [y(x i+1 ) − 2y(x i ) + y(x i−1 )] −
[y(x i+1 ) − 2y(x i ) + y(x i−1 )] −
Dengan cara yang sama, y ′ (x i ) dapat dicari sebagai berikut
1 h ′′′
y (x i )=
[y(x i+1 ) − y(x i−1 )] −
Jika suku terakhir pada persamaan (12.6) dan (12.7) diabaikan, maka persamaan (12.2)dapat dinyatakan sebagai
y(x ¸ i+1 ) − 2y(x i ) + y(x i−1 ) · y(x i+1 ) − y(x i−1 )
2 = p(x i )
+ q(x i )y(x i ) + r(x i )
h 2h
Metode Finite-Difference yang mengabaikan truncation error (persamaan (12.6) dan (12.7)) da- pat digunakan untuk mensubstitusi persamaan diferensial yang dinyatakan oleh persamaan (12.2)
+ q(x i )w i = −r(x i ) (12.8)
h 2h
dimana kita definisikan
y(a) = w 0 = α,
y(b) = w N +1 =β
Selanjutnya persamaan (12.8) dinyatakan dalam formulasi berikut µ
− 1+ p(x i ) w i−1 + ¡2 + h q(x i ) ¢w i − (1 − p(x i ) w
2 i+1 = −h r(x i ) (12.9)
91 sehingga sistem persamaan linear yang diperoleh dari persamaan (12.9) dapat dinyatakan se-
12.1. PENYEDERHANAAN
bagai bentuk operasi matrik
(12.10) dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N ×N
2 p(x N −1 )2+h 2 q(x N −1 ) −1 + 2 p(
Diketahui persamaan diferensial seperti berikut ini
2 sin(ln x)
memiliki solusi exact
y=c 1 x+
sin(ln x) −
cos(ln x),
dimana
[8 − 12 sin(ln 2) − 4 cos(ln 2)] ≈ −0, 03920701320
Dengan metode Finite-Difference, solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membagi inter-
92 BAB 12. METODE FINITE DIFFERENCE val 1 ≤ x ≤ 2 menjadi sub-interval, misalnya kita gunakan N = 9, sehingga spasi h diperoleh
Dari persamaan diferensial tersebut juga didapat
2 p(x i )=− x i
2 q(x i )= x 2 i
sin(ln x i ) r(x i )= x 2 i
Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan dengan pendekatan metode Finite-Difference w i dan hasil perhitungan dari solusi exact y(x i ), dilengkapi dengan selisih antara keduanya
|w − i − y(x i 5 )|. Tabel ini memperlihatkan tingkat kesalahan (error) berada pada orde 10 . Un-
tuk memperkecil orde kesalahan, kita bisa menggunakan polinomial Taylor berorde tinggi. Akan tetapi proses kalkulasi menjadi semakin banyak dan disisi lain penentuan syarat batas lebih kompleks dibandingkan dengan pemanfaatan polinomial Taylor yang sekarang. Untuk menghindari hal-hal yang rumit itu, salah satu jalan pintas yang cukup efektif adalah dengan menerapkan ekstrapolasi Richardson.
Contoh
Pemanfaatan ekstrapolasi Richardson pada metode Finite Difference untuk persamaan difer- ensial seperti berikut ini
2 sin(ln x)
y =− y +
y(2) = 2, x
dengan h = 0, 1, h = 0, 05, h = 0, 025. Ekstrapolasi Richardson terdiri atas 3 tahapan, yaitu ekstrapolasi yang pertama
4w i
(h = 0, 05) − w i (h = 0, 1)
Ext 1i =
93 kemudian ekstrapolasi yang kedua
12.1. PENYEDERHANAAN
4w i (h = 0, 025) − w i (h = 0, 05) Ext 2i =
dan terakhir ekstrapolasi yang ketiga
16Ext 2i − Ext 1i Ext 3i =
15
Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan tahapan-tahapan ekstrapolasi tersebut. Ji- ka seluruh angka di belakang koma diikut-sertakan, maka akan terlihat selisih antara solusi exact dengan solusi pendekatan sebesar 6, 3
− × 10 11 . Ini benar-benar improvisasi yang luar biasa. x i w i (h = 0, 1) w i (h = 0, 05) w i (h = 0, 025)
Ext 2i Ext 3i 1,0 1,00000000
2,00000000 2,00000000 2,00000000 Demikianlah catatan singkat dari saya tentang metode Finite-Difference dengan ekstrapolasi
2,00000000
2,00000000
Richardson untuk problem linear. Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung dengan problem non-linear dan konsep ekstrapolasi. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email: [email protected].
Bab 13
Integral Numerik
✍ Objektif : ⊲ Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik.
⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik. ⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer. ⊲ Membuat script operasi matrik.