BAB IV LIMIT DISTRIBUSI
5.1 Konvergensi dalam Distribusi
Dalam beberapa bab terdahulu konvergen dalam distribusi telah didemonstrasikan melalui contoh peubah acak barangkali statistik sering bergantung pada bilangan bulat positif n .
Misalnya , jika peubah acak X adalah bn,p distribusi dari X bergantung pada n. Jika
´X
rata- rata sampel acak ukuran n dari distribusi N
μ , σ
2
, maka
´X
adalah N μ , σ
2
n dan
distrubusi ´X bergantung pada n. Jika
S
2
variansi sampel acak dari distribusi normal peubah acak
n S
2
σ
2
adalah χ
2
n−1 , maka distribusi dari peubah acak ini bergantung pada n.
Kita mengetahui dari pengalaman bahwa penentuan densitas peluang dari peubah acak pada kesempatan sekarang , mendapat kesukaran perhitungan berat.Misalnya , jika ´X rata-rata
sampel acak dari distribusi yang mempunyai fp berkut
f x
= 1 ;0x 1
= 0 ; lainnya maka fpm dari ´X diberikan oleh
[
M t n
]
n
denagn M t =
∫
1
e
tx
dx= e
t
− 1
t ;t ≠ 0
= 1 ; t = 0 Karenanya E
e
t ´X
= e
t
− 1
t
n
;t ≠ 0 = 1 ; t = 0
Karena fpm dari
´X
bergantung atas n, distribusi dari
´X
bergantung atas n. Hal itu benar bahwa berbagai teknik matematika dapat digunakan untuk menentukan fdp dari ´X untuk
suatu bilangan bulat n tertentu sambarang. Tetapi untuk sembarang fdp, begitu kesukaran sedikit untuk kita, akan menjadi perhatian dalam menggunakan itu untuk menghitung pelang teatang
´X
Salah satu matsud dari bab ini adalah untuk menetapkan cara pendekatan , untuk nilai n besar, beberapa kesukaran fungsi densitas peluang ini. Perhatikan distribusi yang bergantung atas
bilangan bulat positif n , jelasnya fungsi distribusi F dari distribusi itu juga akan bergantung atas n.Melalui bab ini kita menyatakan fakta ini dengan menuliskan sebagai
F
n
dan fdp
padanannya sebagai f
n
. Selanjutnya untuk menekankan kenyataan bahwa kita sedang bekerja dengan barisan fungsi distribusi dan peubah acak , kita menempatkan indeks n pada
peubah acak . Misalnya kita akan menulis
F
n
´ x =
∫
´x
1
√
1 n
√
2 π e
− w
2
2
dw untuk fungsi distribusi dari rata-rata ´X
n
untuk sampel acak ukuran n dari distribusi normal dengan rata-rata nol dan variansi satu. Sekarang kita definisikan konvergensi dalam peluang dari
barisan peubah acak.
Definisi 1
Misalkan fungsi distribusi F
n
y dari peubah acak
Y
n
berganung atas n , n =1,2,3,… Jika F y fungsi distribusi dan jika lim
n →∞
F
n
y =F y untuk setiap y pada mana F y kontinu, maka barisan peubah acak Y
1
,Y
2
, … ,Y
n
konvergen dalam distribusi ke peubah acak dengan fungsi distribusi
F y
Contoh 1
Misalkan Y
n
menyatakan stastistik order ke n dari sampel acak X
1
, X
2
,… , X
n
dari distribusi yang mempunyai fdp
f x = 1
θ ;0 xθ ; 0θ∞
= 0 ; lainnya Fdp dari
Y
n
adalah g
n
y = n y
n−1
θ
n
;0 y θ = 0 ; lainnya.
dan fungsi distribusi dari
Y
n
adalah F
n
y =0; y 0 =
∫
y
n z
n−1
θ
n
dz= y
θ
n
;0 ≤ yθ = 1, lainnya
Sekarang
F y
= 0;−∞≤ y θ
= 1 ;
θ ≤ y ∞
adalah fungsi distribusi. Selanjutnya lim
n →∞
F
n
y =F y pada setiap titik kontinuitas dari
F y
. Ingat kembali bahwa distribusi jenis diskrit yang mempunyai peluang 1 pada titik telah disebut distribusi
dejeneretdegenerate.Jadi dalam contoh ini , barisan statistik orde ke n Y
n
, n=1,2,3, … k konvergen dalam distribusi ke peubah acak yang mempunyai distribusi dejeneret pada titik
y=θ
Contoh 2
Misalkan ´X
n
mempunyai fungsi distribusi F
n
´ x =
∫
− ∞
´x
1
√
1n
√
2 π e
− n w
2
2
dw Jika perubahan peubah v =
√
n w dibuat , kita mempunyai F
n
´ x =
∫
− ∞
√
n w
1
√
2 π e
− v
2
2
dv Jelas bahwa lim
n →∞
F
n
´ x =0 ; ´x0
= 1
2 ; ´x ≠ 0
¿ 1; ´x 0
Sekarang
F ´
x =
0 ; ´x 0
¿ 1; ´x ≥0
adalah
fungsi distribusi dan F
n
´ x =
¿ F ´x
lim
n → ∞
¿ pada setiap titik kontinuitas dari F ´x
Untuk meyakinkan lim
n →∞
F
n
0 ≠ F 0 , tetapi F´x tidak kontinu pada
´ x=0
Contoh 3
Meskipun jika barisan konvergen dalam distribusi ke peubah acak X, umunya kita tidak dapat menentukan distribusi dari X dengan mengambil limit fdp dari X
n
. Ini digambarkan dengan mengambil X
n
mempunyai fdp f
n
x =1 ; x=2+ 1
n = 0 ; lainnya
Jelasnya lim
n →∞
f
n
x =0 untuk semua nilai x. Ini dapat mengajukan bahwa
X
n
, n = 1,2,3, … tidak konvergen dalam distribusi . Bagaimanapun fungsi distribusi dari X
n
adalah F
n
x =0 ; x 2+ 1
n
= 1 ; x ≥ 2+ 1
n
dan lim
n →∞
F
n
x =0 ; x 2 = 1 ; x ≥ 2
Karena
F x
= 0 ; x 2
= 1 ;
x ≥ 2
adalah distribusi , dan karena F
n
x = ¿
F x lim
n → ∞
¿ pada semua titik kontnuitas. Barisan
X
1
, X
2
, X
3
… konvergen dalam distribusi ke peubah acak dengan fungsi distribusi
x
. Hal itu
menarik untuk dicatat bahwa meskipun kita mengarah ke barisan peubah acak
X
1
, X
2
, X
3
…
konvergen ke suatu peubah acak X yang mempunyai fungsi distribusi F x , kekonvergenan adalah nyata fungsi distribusi F
1
, F
2
, F
3
, … yang konvergen yaitu F
n
x = ¿
F x lim
n → ∞
¿ pada sehingga semua titik x sehingga F x . Akibatnya kita sering menemukan kekonvergenan
baik sekali untuk mengarah ke
F x
sebagai perlimitan distribusi. Selanjutnya kekonvergenan sedikit lebih mudah mengatakan bahwa
X
n
menggambarkan barisan
X
1
, X
2
, X
3
…
mempunyai perlimitan distribusi dengan
fungsi distribusi
F x .Untuk selanjutnya kita menggunakan terminologi ini.
Contoh 4
Misalkan Y
n
menytakan statistik order ke n sampel acak dari distribusi seragam dari Contoh 1. Ambil Z
n
= n
θ−Y
n
. Fdp dari Z
n
adalah h
n
z = θ−z n
n−1
θ
n
;0 znθ = 0 ; lainnya
dan fungsi distribusi dari Z
n
adalah
G
n
z =0 ; z0 =
∫
z
θ−wn
n −1
θ
n
dw=1− 1−
z nθ
n
;0 ≤ z nθ = 1 ;
nθ ≤ z
Karenanya lim
n →∞
G
n
z =0; z 0 =
1−e
− z θ
;0 ≤ z ∞
Sekarang
G z
= 0 ; z0
=
1−e
− z θ
;0 ≤ z ∞
adalah fungsi distribusi yang kontinu dimana-mana dan lim
n →∞
G
n
z=G z pada semua titik. Jadi
Z
n
mempunyai limit distribusi dengn fungsi distribusi Gx . Ini memberika kita satu contoh limit distribusi yang tidak dejeneret.
Contoh 5
Misalkan
T
n
mempunyai distribusi t dengan n derajat kebebasan , n =1,2,3,….Fungsi distribusi nya adalah
F
z
t=
∫
− ∞
t
Γ
[
n+1 2
]
√
πn Γ n2 1
1+ y
2
n
n+1 2
dy di mana integrasi adalah fdp f
n
y dari T
n
Sesuai dengan itu lim
n →∞
F
n
t =lim
n →∞
∫
− ∞
t
f
n
y dy=
∫
− ∞
t
lim
n → ∞
f
n
y dy Perubahan urutan dari limit dan integrasi dibenarkan karena
|
f
n
y
|
dikuasai fungsi, sepertti 10 f
1
y , dengan integral berhingga yaitu
|
f
n
y
|
≤ 10 f
1
y dan
∫
− ∞
∞
10 f
1
y dy= 10
n arctan t ∞
untuk emua t real. Karenanya di sini kita dapat mencari limit disribusi melalui pencarian hasil fdp dari
T
n
. Itu adalah
lim
n →∞
f
n
y =
lim
n → ∞
[
Γ
[
n+1 2
]
√
πn Γ n 2
]
lim
n→∞
1 1+ y
2
n lim
n → ∞
{
− 1
√
2 π
[
1+ y
2
n
]
− n 2
}
Gunakan kenyataan dar kalkulus elementer bahwa lim
n →∞
1+ y
2
n
n
= e
y
y
Limit ini dihubungkan dengan factor ketiga , jelas adalah fdp distribusi normal baku. Limit kedua jelas sama dengan 1. Jika kita lebih mengetahui tentang fungsi gamma , fungsi itu mudah
untuk menunjukkan bahwa limit pertama juga sama dengan 1. Jadi kita mempunyai
lim
n →∞
f
n
y =
∫
− ∞
∞
1
√
2 π e
− y
2
2
dy dan karenanya
T
n
mempunyai limit distribusi normal baku.
Soal-soal Latihan 4.1
1. Misalkan ´X
n
menyatakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi N μ , σ
2
. Carilah limit distribusi dari ´X
n
2. Misalkan Y
1
menyatakan statistik order pertama dari sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai fdp x=e
− x−θ
, θx ∞ , nol lainnya. Ambil Z
n
= n
Y
1
− θ
. Selidiki limit distribusi dari Z
n
3. Misalkan Y
n
menyatakan statistik order ke n sampel acak dari distribusi jenis kontinu yang mempunyai fungsi distribusi Fx dan fdp f x =F
x . Carilah limit distribusi dari Z
n
=
[
1−F Y
n
]
4. Misalkan Y
2
menyatakan statistik order ke 2 sampel acak dari distribusi jenis kontinu yang mempunyai fungsi distribusi Fx dan fdp f x =F
x . Carilah limit distribusi dari W
n
=
[
nF Y
n
]
5. Misalkan fdp dari Y
n
adalah f
n
y =1, y=0; nol lainnya. Tunjukkan bahwa Y
n
tidak mempunyai limit distribusi dalam kasus ini , peluang mempunyai “pelarian ke takhingga
6. Misalkan
X
1
, X
2
,… , X
n
menyatakan sampel acak berukuran n dari distribusi N μ , σ
2
di mana
σ
2
. Tunjukkan bahwa jaumlah Z
n
=
∑
i=1 n
X
i
tdak mempunyai limit distribusi.
4.2 Konvergensi dalam Peluang
Kategori