Konvergensi dalam Peluang LIMIT DISTRIBUSI

Gunakan kenyataan dar kalkulus elementer bahwa lim n →∞ 1+ y 2 n n = e y y Limit ini dihubungkan dengan factor ketiga , jelas adalah fdp distribusi normal baku. Limit kedua jelas sama dengan 1. Jika kita lebih mengetahui tentang fungsi gamma , fungsi itu mudah untuk menunjukkan bahwa limit pertama juga sama dengan 1. Jadi kita mempunyai lim n →∞ f n y = ∫ − ∞ ∞ 1 √ 2 π e − y 2 2 dy dan karenanya T n mempunyai limit distribusi normal baku. Soal-soal Latihan 4.1 1. Misalkan ´X n menyatakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi N μ , σ 2 . Carilah limit distribusi dari ´X n 2. Misalkan Y 1 menyatakan statistik order pertama dari sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai fdp x=e − x−θ , θx ∞ , nol lainnya. Ambil Z n = n Y 1 − θ . Selidiki limit distribusi dari Z n 3. Misalkan Y n menyatakan statistik order ke n sampel acak dari distribusi jenis kontinu yang mempunyai fungsi distribusi Fx dan fdp f x =F x . Carilah limit distribusi dari Z n = [ 1−F Y n ] 4. Misalkan Y 2 menyatakan statistik order ke 2 sampel acak dari distribusi jenis kontinu yang mempunyai fungsi distribusi Fx dan fdp f x =F x . Carilah limit distribusi dari W n = [ nF Y n ] 5. Misalkan fdp dari Y n adalah f n y =1, y=0; nol lainnya. Tunjukkan bahwa Y n tidak mempunyai limit distribusi dalam kasus ini , peluang mempunyai “pelarian ke takhingga 6. Misalkan X 1 , X 2 ,… , X n menyatakan sampel acak berukuran n dari distribusi N μ , σ 2 di mana σ 2 . Tunjukkan bahwa jaumlah Z n = ∑ i=1 n X i tdak mempunyai limit distribusi.

4.2 Konvergensi dalam Peluang

Dalam pembicaraan mengenai konvergen dalam distribusi , dicatat bahwa konvergen itu adalah barisan fungsi distribusi yang konvergrn terhadap apa yang kita sebut limit fungsi distribusi. Konvergen dalam peluang adalah berbeda, meskipun kita mempertunjukkan bahwa dalam kasus khusus ada hubungan antara kedua konsep. Definisi 2 Satu barisan peubah acak X 1 , X 2 , X 3 … konvergen dalam peluang ke pubah acak X , jika untuk setiap ε0 lim n →∞ P | X n − X | ε = 1 atau lim n →∞ P | X n − X | ≥ ε = Biasanya ahli statistik berminat dalam konvergen ini , apabila peubah acak X adalah konstan, yaitu peubah acak X mempunyai distribusi dejeret pada kontanta itu. Karenanya kita memusatkan pada situasi itu. Contoh 1 Misalkan ´X n menyatakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai rataan μ dan variansi σ 2 positif .Maka rataan dan variansi ´X n adalah μ dan σ 2 n . Perhatikan untuk setiap ε0 tertentu peluang P | ´X n − μ | ≥ ε = P | ´X n − μ | ≥ kσ √ n dimana k = ε √ n σ . Sesuai dengan pertaksamaan Chebyshev peluang ini lebih kecil atau sama dengan 1 k 2 = σ 2 n ε 2 . Sehingga untuk setiap ¿ 0 , kita mempunyai lim n →∞ P | ´X n − μ | ≥ ε ≤ lim n → ∞ σ 2 n ε 2 = Karenanya ´X n , n=1,2,3 … konvergen dalam peluang ke μ jika σ 2 berhingga.Hasil ini disebut hukum bilangan besar lemah. Ulasan Suatu jenis konvergensi yang lebih kuat diberikan oleh lim n → ∞ Y n = c = 1 , dalam kasus ini kita katakana bahwa Y n , n=1,2,3 … kovergen dengan peluang 1. Meskipun kita tidak memper timbangkan jenis konvergensi ini , itu diketahui bahwa rata-rata ´X n , n=1,2,3 … dari sampel acak konvergen dengan peluang 1 ke rataan μ dari distribusi, asalkan yang terakhir ada. Ini salah satu bentuk dari hukum bilangan besar kuat. Teorema 1 Misalkan F n y menyatakan funsi distribusi dari peubah acak Y n yang mempunyai distribusi bergantung atas bilangan bulat n positif. Misalkan c menyatakan suatu konstanta yang tidak bergantung atas n . Barisan Y n , n=1,2,3 … konvergen dalam peluang ke konstanta c jika dan hanya jika limit distribusi dari Y n adalah dejeret pada y = c Bukti Pertama, andaikan bahwa lim n →∞ P | Y n − c | ε = 1 untuk setiap ¿ 0 . Kita akan membuktikanbahwa peubah acak Y n sedemikian rupa sehingga lim n →∞ F n y =0 ; y c = 1 ; y ≥ c Perhatikan bahwa kita tidak memerlukan untuk mengetahui sesuatu tentang lim n →∞ F n y . Karena jika limit F n y adalah seperti ditunjukkan , maka Y n mempunyai limit distribusi dengan fungsi distribusi F y = 0; y c = 1 ; y ≥ c Sekarang c+ε− ¿ ¿ P | Y n − c | ε = F n ¿ di mana c +ε − ¿ F n ¿ adalah limit kiri dari F n y pad a y=c+ε . Jadi kita mempunyai 1= c+ε− ¿ ¿ F n ¿ P | Y n − c | ε = ¿ lim n → ∞ ¿ lim n →∞ ¿ Karena 0 ≤ F n y ≤ 1 untuk semua nilai y dan untuk setiap bilangan bulat n positif haruslah bahwa c +ε − ¿ ¿ F n ¿ lim n →∞ F n c−ε =0 , lim n → ∞ ¿ Karena ini benar untuk setiap ε0 kita punyai lim n →∞ F n y =0 ; y c = 1 ; y c Kita akan membuktikan bahwa P | Y n − c | ε = ¿ 1 lim n →∞ ¿ untuk setiap ε0 . Karena c+ε − ¿ ¿ P | Y n − c | ε = F n ¿ dan karena itu diberikan bahwa c +ε− ¿ ¿ ¿ 1 F n ¿ lim n → ∞ ¿ lim n →∞ F n c−ε=0 untuk setiap ε0, kita mempunyai hasil yang dinginkan. Ini melengkapi bukti teorema. Soal-soal Latihan 4.2 1. Misalkan peubah acak Y n mempunyai distribusi bn,p a. Buktikan bahwa Y n n konvergen dalam peluang ke p Hasil ini adalah salah satu bentuk dari hukum bilangan besar lemah. b. Buktikan bahwa 1 - Y n n ¿ konvergen dalam peluang ke 1- p 2. Misalkan S n 2 menyatakan variansi sampel acak berukuran n dari distribusi N μ , σ 2 . Buktikan bahwa n S n 2 n−1 konvergen dalam peluang ke σ 2 3. Misalkan W n menyatakan peubah acak dengan rataan μ dan variansi bn p di mana p 0 , μ dan b adalahkonstanta bukan fungsi dari n. Buktikan bahwa W n konvergen dalam peluang ke μ Petunjuk: Gunakan ketaksamaan Chebyshev 4. Misalkan Y n menyatakan statistik order ke n dari sampel acak berukuran n dari distribusi seragam pada interval 0, θ seperti dalam Contoh 1 pasal 4.1. Buktukan bahwa Z n = √ Y n konvergen dalam peluang ke √ θ

4.3 Limit Fungsi Pembangkit Momen