OLIMPIADE MATEMATIKA SMA Oleh Ahmad Thoh

!

"

!

#

%

$

!
!

$
"

$

$

%
&

$
!

"
$

$

"

$

$

(

'

$

"

'
$

'

"
"

$

$

'

"

)

+ ,& ! &

*

&

+

+&(
"

)

*

-

$

.

$

$
/! +!

1 2

!

0

= 201320132013

= 2013201320132013

2014201420142014 $

201420142014 0

−

3

.

$
$

$
"
"

$

"

4

5

146- 7 18881 9 146-146-$
146- 7 188818881 9 146-146-1464

"
$

= 201320132013

2014201420142014 9 4816 7 188818881 7 481- 7 1888188818881$

= 2013201320132013

201420142014 9 4816 7 1888188818881 7 481- 7 188818881

'098
:

4

'
'

/
4 )

!"

= ,&>

2 < +

=

2

?

#

#$

%

!,

;&&& <

*

3

.
"

.
$

$

$

"

'

$
@
"

$

/

$

3
2

$

$

3
=
=
3 −1

=

3
−1
3 −1
−1

=

3

−1
=
−1
2
2
+
−1
−1
&

3

3
−1
=
2
+1
−1

+1

$

"

'
'

#

6

)

"()* *

cos ! − cos

0

!

+ cos

!

=

.
%

"
$

$

'

A

$

$

$

'

$

"

"

"

$

"

$
cos ! − cos

!

+ cos

cos ! − cos

9

'
(

,'
(

#$%

-'
(

#$%

9

#$%

9

#$%

9

&'
(

*+# #$%

)

'
(

!

= $

!

+ cos

&'
&'
#$%
(
(
&'
#$%
(

*+#

-.
(
&'
#$%
(

#$%

-.
(
&'
#$%
(

&'
(

#$%

*

'

0'
(

#$%

9

,'
&'
#$%
(
(

*+#

'
(

#$%

&'
(
&'
#$%
(

#$%

"

!

9

9

,'
(

#$%

#$%

,'
(

#$%

-.
(
&'
#$%
(

#$%

#$%

0'
(

'
(

9

&'
(
&'
#$%
(

#$%

-.
(

#$%

)

&'
(

#$%

#$%

/.
(

#$%

(' -'
(
(

-.
(
&'
#$%
(

#$%

0'
(

#$%

#$%

(' &'
(
(

#$%

'
(

- 0

) +
0/

sin

+ sin : . cot + cot + cot
=

>

, !!) *

?

1 = 7, 4 = 8, 6 = 5

3

sin

.

.
@ + A + B = 180C $

5

sin @ + sin A + sin B = 4 cos @ cos A cos B

cos @ + cos A + cos B = 1 + 4 sin @ sin A sin B

cot @ + cot A + cot B = cot @ cot A cot B
( Untuk ketiga identitas di atas silahkan buktikan sendiri )

$
sin

+ sin

= 4 cos
&

+ sin : . cot + cot + cot
=

D
E
&
&
D
E
F
#$% #$% #$%
&
&
&

GHIJ& .HIJ& .HIJ&

"
M
&

*+# =

*+# >

D
&
D
#$%
&

*+#

cos

6KL

>

=
F
&

cos : . "
=

)=

*+# =

G

*+# ?

OPQ DNOPQ ENOPQ FRM
-

.

E
&
E
#$%
&

*+#

.

F
&
F
#$%
&

*+#

D
E
&
&
D
E
F
#$% #$% #$%
&
&
&

GHIJ& .HIJ& .HIJ&

)="

F
&

)

$

MNOPQ D
&

=

?

MNOPQ E MNOPQ F
&
&
D
E
F
#$% #$% #$%
&
&
&

*+# =

*+# >

=

*+# = *+# > *+# ?

MNOPQ F
&
D
E
F
#$% #$% #$%
&
&
&

*+# =
*+# ?

*+# >

=
C

.
8

A

7

5

B

+

6KLSTUL

"

cos

cos

=

=

cos : =

'

$

40 1
8 +5 −7
=
=
2.8.5
80 2

5 +7 −8
10 1
=
=
70 7
2.5.7

7 +8 −5
88
11
=
=
112 14
2.7.8

$
1
1
11
3
2 1+
1
+
1
+
2 1 + cos
1 + cos
1 + cos :
2
7
14 =
=
cos + cos + cos : − 1
1 1 11
" + +
2 7 14 − 1)

8 25
7 14 = 100
6
7
14

$
"
#

'

$

@

! &

&

.
$

! &
1

&

$

%

B

"

$"

1 !$ 1 $ 4 &$ 1 $ 1 $ 1 $

1
! &
C /

&

1$ 4$ 6$ D $ 4814 0
.

9

W!

!

3

488B

0 (0

$
"

488B

$

"

<

$

/

2

1$ 4$ 6$ D$ 4814
1

1888

"

1B4

1
181
481

188
11
488
48
688
48

E81
B81

B88
1888

1881

4888

1881
1181
1481

1188
1488
1418

11B
48
48

1E81
1B81

1B88
4888

48
41

4881

4814

$

"

48
41
11B F 1E1 9 688

44

$

1$ 4$ 6$ D $ 4814

G +
Y
Z

= 1 + − + G + − [ + … + G!] + G!W − G]C $

C-1A

.
Y
Z

= 1+ + + … +

G]C

.

−3

+ + + …+
[

W

G]C

"

@1-

Y
Z

Y
Z

Y
Z

Y
Z

= 1 + + + … + G]C − 1 +
=

[

=

[

+

[

+

+ G]C +

= 641{

a = 641b{

[ .G]C

[

[ .G]C

+ …+

+ +G+ … +

G]C

+ G!W + ⋯ +

[

+

+

[ .G!W

[ .G!W

+⋯ +

+⋯ +

C

+

C.

C.

}

[C

}
C-1

3

E +

C

-1A

.
3

C

≡ 3G

mod 41 ≡ 3G
mod 41

C

≡ 2 41 − 1

≡ −1

C

C

mod 41

mod 41

mod 41

C

≡ −1 mod 41

≡ 41 − 1 mod 41
≡ 40 mod 41
3

2

>+ ,

-1

-8

+ (
.##

1

"

4
6

C

$
<

4884

#

81 2

4814
0

488B

.H
!

"

<
#

H
-

H

$

,

488E

2

.(

$