MelukisMenggambar Ruas Garis untuk Menyatakan dan Menghitung Jarak pada Bangun Ruang

Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 12 3 Lukislah garis m melalui P ⊥ a 1 dan memo- tong a 1 di titik Q Gambar 2.16 i. 4 Melalui Q lukis garis k || b yang memotong garis a di titik A Gambar 2.16 ii. Keterangan: Bidang pemroyeksi a pada H melalui Q ⊥ H. Bidang melalui garis m dan b tegak lurus H melalui Q. Karena itu maka kedua bidang berpotongan pada garis yang melalui Q ⊥ H, yaitu k. Jadi garis a dan k berpotongan karena sama-sama pada bidang proyeksi. 5 Melalui titik A lukis garis || PQ dan memotong garis b di titik B Gambar 2.16 iii. Panjang ruas garis AB sama dengan panjang ruas garis PQ dan merupakan ukuran jarak garis a dan b yang bersilangan. Keterangan: BA ⊥ a dan titik A pada garis a. Karena itu untuk setiap A n pada garis a, n bilangan asli, ∆BAA n siku-siku di A, sehingga BA n ≥ BA. Jadi BA adalah ruas garis terpendek antara penghubung titik pada garis a dan b, yang dengan demikian merupakan jarak antara garis a dan B.

C. MelukisMenggambar Ruas Garis untuk Menyatakan dan Menghitung Jarak pada Bangun Ruang

Untuk menggambarkan sebuah garis vertikal, maka garis tersebut senantiasa digambar tegaklurus pada tepi atas bidang gambar papan tulis, kertas. Biasanya garis ini terkait dengan garis yang tegaklurus bidang horisontal dan proyeksi titik Gambar 2.16 i H a a 1 Q b P m Gambar 2.16 ii H A k a a 1 Q b P Gambar 2 16 iii B H A k a a 1 Q b P H a a 1 P Gambar 2.15 b Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 13 terhadap bidang horisontal atau garis frontal horisontal. Secara umum sesungguhnya hal itu tidak diharuskan. Untuk menggambar ruas garis yang menyatakan jarak dapat dibedakan menjadi dua kejadian khusus, yaitu kejadian: ‰ yang masalahnya tidak menyangkut bangun ruang dengan ukuran tertentu. Dalam kejadian ini, gambar dua garis yang saling tegaklurus pada umumnya dapat digambar sesuai keperluan, sepanjang gambarnya memperjelas arah pemecahan masalah. Yang penting adalah memberikan tanda atau bahwa keduanya saling tegaklurus. ‰ pada bangun ruang dengan ukuran tertentu. Dalam kejadian ini, jika ada dua ruas garis berpotongan, maka letak titik potongnya tertentu. Hal ini sebagai akibat logis dari suatu gambar ruang yang bertalian dengan perbandingan panjang ruas garis. Perbandingan panjang ruas- ruas garis pada garis-garis sejajar atau segaris pada gambar ruang, sama dengan perbandingan yang sesungguhnya. Khusus pada bidang frontal, semua ukuran sama dengan ukuran yang sesungguhnya. Contoh 1 Diketahui sebuah kubus dengan alas ABCD.EFGH Panjang rusuknya 6 cm. Titik K adalah titik potong diagonal sisi ABCD. Titik L adalah titik potong diagonal sisi EFGH. M adalah titik tengah rusuk BC . Tunjukkan dan hitunglah jarak antara: a. Tititk A dan G. b. Titik B dan EH c. Titik C dan AH d. Titik M dan EG e. EK dan LC f. Bidang BDE dan bidang CFH Jawab: Perhatikan Gambar 2.17. a. Jarak antara A dan G adalah panjang ruas garis AG , yaitu diagonal ruang kubus. AG merupakan diagonal persegipanjang ACGE. AG = 2 2 CG AC + Gambar 2.17 B C A K D F G L H E M 6 √2 cm E B C H 6 cm Gambar 2.18 Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 14 = 2 2 2 CG BC AB + + = 2 2 2 6 6 6 + + = 3 6 Jarak antara A dan G adalah 6 √3 cm. b. BCHE adalah sebuah persegipanjang Gambar 2.18. Jadi proyeksi titik B pada EH adalah titik E. Karena jarak antara B dan EH adalah jarak antara B dan proyeksi B pada EH , maka jarak tersebut ditunjukkan oleh ruas garis BE . BE adalah panjang diagonal sisi kubus 6 √2 cm. Jadi jarak antara B dan EH adalah 6 √2 cm. c. Menentukan jarak antara C dan AH . Untuk menentukan jarak C terhadap AH , C diproyeksikan pada AH . Karena semua sisi ∆CAH adalah diagonal-diagonal sisi kubus, maka segitiga tersebut samasisi Gambar 2.19. Berarti proyeksi C pada AH adalah titik tengah AH , misalkan titik S. Jadi jarak antara C dan AH digambarkan oleh panjang CS . CS = 6 6 2 6 2 3 2 2 = + Jadi jarak antara C dan AH 6 √6 cm. d. Untuk menentukan jarak M terhadap EG , M diproyeksikan pada EG lihat Gambar 2.20. Garis pemroyeksinya harus tegaklurus EG . ⇒ EG tegaklurus bidang yang memuat garis pemroyeksi. Bidang yang tegaklurus EG di antaranya adalah bidang BDHF karena EG ⊥ HF dan EG ⊥ HD , sedangkan HF dan HD pada bidang BDHF. Akibatnya garis pemroyeksi terletak pada bidang yang sejajar bidang BDHF. B C A K D F G L H E M R Q Gambar 2.20 T P 6 √2 cm 6 √2 cm 3 √2 cm 3 √2 cm A C H S Gambar 2.19 Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 15 Karena garis pemroyeksi harus melalui M, maka garis pemroyeksi tersebut terletak pada bidang yang melalui M sejajar BDHF. Untuk membuat bidang ini bidang sejajar BDHF dan melalui MR , pada bidang BCGF ditarik MQ || BF , pada bidang ABCD ditarik MT || BD . Jika pada bidang CDHG ditarik garis sejajar MQ , maka bidang yang melalui M sejajar bidang BDHF atau tegaklurus EG adalah bidang MQPT, yang memotong EG di titik R. Karena itu maka EG ⊥ bidang MQPT. Karena MR pada bidang MQPT, maka EG ⊥ MR atau sebaliknya MR ⊥ EG di R. Akibatnya, proyeksi M pada EG adalah titik R. Jadi yang menunjukkan jarak antara M dan EG adalah ruas garis MR . MR = 2 2 RQ MQ + = 2 2 1 2 2 1 6 + = 5 , 40 = 4 2 1 √2 Jadi jarak antara M dan EG adalah 4 2 1 √2 cm. e. Menentukan jarak antara EK dan LC lihat Gambar 2.21. Karena EL sama panjang dan sejajar KC maka KCLE jajargenjang. Akibatnya EK || LC . Untuk menentukan jarak antara EK dan LC dapat dipilih sembarang titik pada LC dan diproyeksikan ke EK . Arah garis pemroyeksi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis yang tegaklurus kedua garis. Karena itu maka perlu dicari garis yang tegaklurus EK dan LC . Perhatikan ∆GCL siku-siku di G, dan ∆LGOsiku-siku di L. sebangun LGO dan GCL 1 2 3 2 3 GO GL , LGO Pada 1 2 2 2 2 3 6 GL GC , GCL Pada L di u sik - siku LGO , G di siku - siku GCL ∆ ∆        = = ∆ = = = ∆ ∆ ∆ Pada ∆GLF, RQ adalah sebuah paralel tengah, sehingga RQ sama dan sejajar 2 1 LF RQ = 2 1 LF = 2 1 × 2 1 HF = 2 1 × 2 1 × 6√2 = 1 2 1 √2 A C G E 6 cm Gambar 2.21 L K y O y V y W 6 √2 cm Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 16 Akibat: besar ∠LOG = besar ∠GLC Karena besar ∠LOG + besar ∠LGO = 90 o ditulis: m ∠LOG + m∠LGO = 90 o , maka m ∠GLC + m∠LGO = 90 o , atau m ∠GLV + m∠LGV = 90 o Akibatnya, besar ∠GLV = 180 o – m ∠GLV + m∠LGV = 180 o – 90 o = 90 o . Dengan kata lain, GV ⊥ LC , sehingga GA ⊥ LC . Karena LC || EK , maka GA ⊥ EK . Jadi jarak antara LC dan EK dapat diwakili oleh panjang VW . Perhatikan ∆GEW: LV || EW dan L adalah titik tengah EG . Akibatnya: GV = VW. Perhatikan ∆ACG: KW || CV dan K adalah titik tengah AC . Akibatnya: VW = WA. Dari kedua hal di atas diperoleh: GV = VW = WA = 3 1 AG = 3 1 × 6√3 = 2√3 Jadi jarak antara LC dan EK adalah VW = 2√3 cm. f. Menentukan jarak antara bidang BDE dan CFH. Kedua bidang tersebut sejajar karena memiliki pasangan garis berpotongan yang sejajar yaitu BD || HF dan DE || CF lihat Gambar 2.22. Untuk menentukan jaraknya dapat dipilih sem-barang titik pada bidang CFH dan dipro- yeksikan ke bidang BDE. Arah garis pemro- yeksi tersebut sejajar atau berimpit dengan setiap garis yang tegaklurus kedua bidang. Karena itu maka perlu dicari garis yang tegaklurus kedua bidang. LK || EA yang tegak lurus bidang ABCD, sehingga LK ⊥ bidang ABCD⇒ LK ⊥ BD 1 ....... .......... BD AG atau AG BD ACGE bidang BD ACGE pada AC dan LK kubus sisi diagonal AC BD LK BD ⊥ ⊥ ⇒ ⊥       ⊥ ⊥ AB DE atau DE AB ADHE AB ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Gambar 2.22 B C A K D F G L H E M y V y W y O Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 17 2 .......... DE AG atau AG DE ABGH bidang DE ABGH pada AH dan AB kubus sisi diagonal AH DE AB DE ⊥ ⊥ ⇒ ⊥       ⊥ ⊥ Dari 1 dan 2 diperoleh AG tegaklurus bidang pemuat DE dan BD yaitu bidang BDE. Karena bidang CFH || bidang BDE, maka AG ⊥ bidang BDE. Dengan demikian maka ruas garis yang menyatakan jarak antara bidang BDE dan bidang CFH harus sejajar atau berimpit dengan AG . Untuk hal tersebut, dapatlah dipilih AG . Pada Gambar 2.22 ruas garis yang menyatakan jarak antara bidang BDE dan bidang CFH adalah VW . Berdasar uraian pada butir e, maka jarak antara kedua bidang = VW = 2 √3 cm. Catatan: 1 Dari uraian di atas dapat dinyatakan bahwa bidang BDE dan bidang CFH tegaklurus diagonal ruang AG dan membaginya menjadi tiga sama panjang. Sesuai sifat simetri pada kubus, maka hal tersebut juga terjadi pada diagonal-diagonal ruang lainnya terhadap dua bidang sejajar seperti bidang BDE dan bidang CFH, misal EC terhadap bidang BDG dan bidang FHA. 2 Jika bidang H || K, garis h pada H dan k pada K, dengan h dan k bersilangan, dan h ′ adalah proyeksi h di K, maka h ′ pasti berpotongan dengan k; misal di A ′. Pastilah dapat ditemukan A pada h sedemikian sehingga A ′ merupakan proyeksi A di bidang K. Dengan demikian maka AA ′ adalah jarak antara H dan K, dan juga sekaligus jarak antara garis h di H dan garis k di K dengan h dan k bersilangan. Contoh 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Lukis dan hitunglah jarak antara AE dan HB yang bersilangan. H K h h ′ d k Gambar 2.23 A y Gambar 2 24 B C A K D Q P 3 4 1 2 F G L H E Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 18 Jawab: Sesuai dengan langkah menggambar jarak antara dua garis bersilangan yang diuraikan pada halaman 11 - 12, di sini diberikan juga dua cara tersebut. Cara I Gambar 2.24, dasar: halaman 11, Gambar 2.10-2.13: 1 Akan dilukis garis sejajar AE memotong HB di B. Ruas garisnya telah tersedia yaitu BF . 2 Lukis bidang melalui HB dan BF . Bidang tersebut adalah bidang BDHF yang sejajar AE . 3 Proyeksikan ruas garis AE pada bidang BDHF. Proyeksi titik A dan titik E pada bidang BDHE berturut-turut adalah titik K dan titik L. Jadi hasil proyeksi ruas garis AE pada bidang BDHF adalah ruas garis KL yang memotong HB di P. 4 Melalui titik P lukis ruas garis PQ ⊥ AE . 5 Panjang ruas garis PQ merupakan jarak antara AE dan HB . 6 Oleh karena PQ = AK dan AK = 2 1 AC, maka PQ = 2 6 2 1 × cm = 2 3 cm. Cara II Gambar 2.25, dasar: halaman 11-12, Gambar 2.14-2.16 1 Dilukis bidang yang tegaklurus AE . Bidangnya telah tersedia yaitu bidang ABCD 2 Proyeksikan HB pada bidang ABCD, yaitu BD . 3 Lukis ruas garis melalui A ⊥ BD , yaitu AC , memotong BD di titik K. 4 Melalui K dibuat ruas garis sejajar AE yaitu KL yang memotong HB di P. 5 Melalui P dibuat ruas garis tegaklurus AE yaitu PQ . → Panjang ruas garis PQ merupakan jarak antara AE dan HB. Panjangnya adalah AK = 2 1 AC = 2 6 2 1 × cm = 2 3 cm. Gambar 2.25 B C A K D Q P 3 4 1 2 F G L H E 5 Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 19 Contoh 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Lukis dan hitunglah jarak antara EG dan FC . Jawab: Digunakan Cara II Gambar 2.26. 1 Lukis bidang yang tegaklurus EG , yaitu bidang BDHF yang memotong EG di K. 2 Proyeksikan ruas garis FC ke bidang BDHF, yaitu FL . 3 Melalui K dibuat ruas garis tegaklurus FL dan memotong FL di titik M. Dibuat KM || HB , karena HB ⊥ FL . 4 Melalui M dibuat ruas garis sejajar EG , memotong FC di titik P. 5 Melalui P dibuat ruas garis sejajar KM , memotong EG di Q. → Ruas garis PQ merupakan jarak antara EG dan FC . PQ = KM; KM = 2 1 HN = 2 1 × 4√3 cm = 2√3 cm. Jadi jarak antara EG dan FC adalah sama dengan panjang ruas garis PQ = 2 √3 cm. Catatan: Jika yang ditanyakan hanya jaraknya, maka jarak tersebut sama dengan jarak antara bidang DEG dan ACF. Karena kedua bidang tegak lurus dan membagi tiga sama diagonal HB lihat Catatan pada halaman 15, maka jarak kedua garis sama dengan jarak antara dua bidang sejajar pemuatnya 3 1 × 6√3 cm = 2√3 cm Contoh 4 T.ABCD adalah sebuah limas segi-4 beraturan AB = 16 cm, tinggi limas 12 cm. Gambarlah ruas garis yang menunjukkan jarak B terhadap bidang TAD, kemudian hitunglah jarak tersebut. Gambar 2.26 B C A L D Q P 3 4 1 2 F G K H E 5 M N A B M D T Q P C Gambar 2.27 Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 20 Jawab: Misalkan limasnya seperti tampak Gambar 2.27. M = proyeksi T pada bidang ABCD Lukis PQ melalui M sehingga PQ || AB . Pada gambar tersebut ∆TPQ merupakan bidang frontal. Untuk membuat ruas garis yang menyatakan jarak B ke bidang TAD harus dibuat garis melalui B tegaklurus bidang TAD. Garis tersebut harus sejajar dengan garis lain yang juga tegaklurus bidang tersebut, dan mudah untuk digambar. Karena harus tegaklurus bidang TAD garis tersebut harus tegaklurus pertama-tama pada dua buah garis pada bidang TAD. Karena bidang TPQ frontal, maka kedudukan garis yang melalui Q tegaklurus terhadap TP be-nar-benar tegaklurus TP . Lukis QK ⊥ TP 1. Karena BC ⊥ AB dan PQ || AB , akibatnya BC ⊥ PQ Q titik tengah BC pada ∆TBC samakaki karena limasnya beraturan. Berarti TQ garis tinggi dari puncak ∆TBC samakaki, sehingga BC ⊥ TQ Dari dan diperoleh BC ⊥ bidang TPQ, yaitu bidang yang memuat PQ dan TQ . Akibatnya, BC tegaklurus semua garis pada bidang TPQ, Karena QK juga pada bidang TPQ maka BC ⊥ QK atau QK ⊥ BC . Karena AD || BC berarti juga QK ⊥ AD 2 Dari 1 dan 2 diperoleh bahwa QK ⊥ TAD bidang pemuat TP dan AD . Karena titik K adalah proyeksi titik Q pada bidang TAD dan garis BC melalui titik B sejajar bidang TAD, maka jarak antara titik B dan bidang TAD sama dengan QK. A B M D T Q P K C A B M D T Q P K R N C Gambar 2.27 ii i Paket Pembinaan Penataran Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 21 Akibatnya ruas garis yang menunjukkan jarak B terhadap bidang TAD adalah ruas garis yang ditarik dari titik B sejajar QK , dan titik kakinya, misal N, pada bidang TAD, sedemikian sehingga BN = QK. Latihan 1 Untuk No. 1-6, gunakanlah gambar kubus ABCD.EFGH = kubus ABCD EFGH pada Gambar 2. 17 dengan panjang rusuk 6 cm. Jawablah setiap pertanyaan dengan memberikan alasan. 1. Berapakah jarak antara a A dan C, b D dan G? 2. Berapakah jarak antara a B dan FC b D dan EG ? 3. Berapakah jarak antara a HG dan bidang ABFE, b FG dan bidang BCHE? 4. Berapakah jarak antara a bidang ABFE dan bidang DCGH, b bidang AFH dan bidang BDG? 5. Berapakah jarak antara a AB dan FG , b AE dan BD , dan c GH dan FC ? 6. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH, a√3 cm. Tentukan jarak titik H ke bidang ACF 7. Dua buah garis dan m bersilangan tegak lurus. Jarak antara kedua garis itu adalah panjang ruas garis AB dengan A pada dan B pada m. Pada garis dan m berturut- turut terletak titik-titik C dan D, sehingga AC = 6 cm dan BD = 8 cm. Jika AB = 10 cm, hitunglah panjang CD . 8. D.ABC adalah sebuah bidang empat beraturan, panjang rusuknya 6 cm. Hitung jarak antara a. setiap titik sudut ke bidang sisi di hadapannya b. setiap dua rusuknya yang bersilangan 9. T.ABCD adalah sebuah limas beraturan. AB = 6 cm, TA = 3√5 cm. a. Gambarlah sebuah ruas garis yang menyatakan jarak antara titik A ke bidang TBC b. Hitunglah jarak tersebut. 10. Segitiga ABC siku-siku di A, merupakan alas sebuah limas T.ABC dengan TA ⊥ bidang ABC. Panjang rusuk AC = 30 cm, AB = 40 cm, dan TA = 32 cm. Hitunglah: jarak antara a BC dan TA , b A dan bidang TBC. Dimensi Tiga Jarak dan Pembelajarannya 22

BAB III Pembelajaran Jarak

A. Pengantar

Dari uraian pada Bab I dan Bab II dan dengan mengerjakan Latihan 1, tentunya dapat dipahami, bahwa 1 kompetensi yang terkait dengan jarak merupakan kompetensi yang perlu dimiliki oleh orang-orang di berbagai bidang keahlian, baik keahlian tingkat tinggi maupun menengah, bahkan tingkat dasar, dan 2 untuk dapat memahami dan memecahkan masalah yang terkait dengan jarak, khususnya pada bangun ruang sisi datar, banyak kompetensi dasar yang harus dimiliki, khususnya tentang hal-hal yang terkait dengan sifat-sifat dan teorema pada bangun datar maupun bangun ruang. Hal pertama merupakan wawasan yang perlu dimiliki guru dalam mengembangkan pembelajaran kontekstual dan aplikasi jarak pada umumnya. Hal kedua menyangkut kompetensi siswa dalam geometri datar dan ruang yang mendasari pemahaman dan perhitungan jarak. Keduanya merupakan bahan yang perlu diramu dalam menyelenggarakan pembelajaran jarak.

B. Jarak dalam Pembelajaran Kontekstual

Pendekatan kontekstual merupakan konsep belajar yang membantu guru mengaitkan antara materi yang diajarkannya dengan situasi dunia nyata siswa dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sebagai anggota keluarga dan masyarakat Depdiknas, 2003:1. Siswa belajar dari mengalami sendiri, bukan dari ‘pemberian orang lain’. Berbagai pandangan tentang pembelajaran kontekstual telah dikembangkan, dan sebagian telah dikemukakan pada Bab I. Di samping itu, Dit PLP 2003:10-19 mengemukakan tujuh komponen CTL Contextual Teaching and Learning, yaitu 1 Konstruktivisme, 2 Menemukan Discovery; Inquary, 3 Bertanya Questioning, 4 Masyarakat Belajar Learning Community, 5 Pemodelan Modelling, 6 Refleksi Reflection, dan 7 Penilaian yang Sebenarnya Authentic Assessment. CORD Communications 2003 mengetengahkan pembelajaran kontekstual dengan akronimnya: REACT, yaitu: Relating, Experiencing, Applying, Cooperating,