TUGAS MANDIRI PDM
TUGAS MANDIRI PDM
1. Pernyataan Berkuantor
Suatu fungsi pernyataan dengan notasi p(x) adalah suatu kalimat terbuka di dalam
semesta pembicaraannya. P(x) bersifat p(a) bernilai benar atau salah tapi tidak
keduanya untuk setiap a, dimana a adalah anggota dari semesta pembicaraan.
Contoh :
1. Diketahui p(x) = x+1 5 didefenisikan pada himpunan bilangan asli A.
- P(x) akan bernilai benar untuk x= 3,4,5,6,.....
- Jadi, tidak semua x ϵ A memenuhi p(x), hal ini bermakna bahwa “sebagian
x ≤ A yang memenuhi pernyataan p(x)”.
1.1.
Kuantor Eksistensial
Kuantor sbagian( beberapa, ada) merupakan suatu peryataan yang
menggambarkan bahwa beberapa dan tidak seharusnya setiap objek atau masalah
memenuhi syarat tertentu.
Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ x
dibaca “ada suatu x sehingga
berlaku .... “. Jika P(x) adalah suatu kalimat terbuka , maka
( ∃ x ) P(x)
Menjadi pernyataan (benar atau salah ).
Mempunyai arti ‘ada x sedemikian sehingga berlaku P(x)’. Dengan demikian,
penambahan kunator di depan kalimat terbuka akan mengubahnya ( ∃ x ) P(x)
disebut pernyataan berkuantor eksistensial .
Contoh :
1. Benar atau salahkah pernyataan berkuantor ( ∃ x ∈ R ¿(2 x=1>5)
Jawab :
( ∃ x )(2x+1 > 5 ) mempunyai arti ‘ada suatu x sehingga berlaku 2x+1 > 5.
Jelas ini merupakan pernyataan yang benar , karena kita dapat menemukan x
yang memenuhi pertidaksamaan 2x+1 > 5, misalnay x= 3.
2. Lengkapi setiap pernyataan berikut dengan kuantor agar menjadi pernyataan
yang benar :
a. . . . .anggota dalam kumpulan H= {a, b, c, d, e } adalah huruf vokal.
b. . . . . bilangan bulat bernilai positif.
Jawab :
a. Ada
b. Sebahagian/ beberapa
1.2. Kuantor Universal
Kuantor “ semua” merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa
setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.
Kuantor universal dilambangkan dengan ∀ x dibaca “untuk semua x atau untuk
setiap x berlaku....”. Jika P(x) adalah satu kalimat terbuka, maka
( ∀ x ¿ P(x)
Mempunyai arti ‘untuk semua x berlaku P(x)’. Penambahan kuantor didepan
kalimat terbuka juga akan mengubahnya menjadi pernyataan (benar atau salah).
( ∀ x ¿ P(x)
disebut pernyataan berkuantor universal.
Contoh :
1. Benar atau salahkah pernyataan berkuantor ( ∀ x ¿ (2x+1) > 5.
Jawab :
( ∀ x ¿ (2x+1) > 5 mempnyai arti ‘untuk semua x berlaku 2x+1> 5’. Jelas
ini merupakan pernyataan yang salah, karena kita dapat menemukan x yang
tidak memenuhi persamaan 2x+1 > 5, misalnya x=1.
2. Lengkapi tiap pernyataan berikut dengan kuantor agar menjadi pernyataan
benar.
a. . . . kelipatan 4 adalah bilangan genap.
b. . . . segitiga jumlah sudutnya 180 °
Jawab :
a. Semua kelipatan 4 adalah bilangan genap.
b. Setiap segitiga jumlah sudutnay 180 °
1.3.
Ingkaran suatu Pernyataan Berkuantor
Ingkaran Kuantor Universal
Misalkan ada pernyataan :
p : semua bilangan prima adalah ganjil.
Jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 bilangan prima yang tidak ganjil,
maka pernyataan p di atas salah.
Dengan demikian, ingkaran dari semua x bersifat A adalah ‘ada (paling sedikit
satu) x tidak bersifat A’.
Jadi, ingkaran dari kuantor universal adalah kunator eksistensial. Secara simbolik
dapat ditulis :
( ∀ ) P ( x )=(∃ x)[ P ( x ) ]
¿
Contoh :
1. Semua bilangan positif lebih dari 0.
2. Semua bilangan ganjil bukan bilangan prima.
Jawab :
1. Jika p(x) = bilangan positif, maka pernyataan ‘semua bilangan positif lebih
dari nol’ dapat dinyatakan dalam lambang :
( ∀ x bilangan positif) . p(x) > 0
Jadi ingkaran dari ( ∀ x) . p(x) > 0 adalah :
[ ( ∀ ) P ( x ) >0 ] ≡ ( ∃ x ¿ . { p ( x ) >0 }
∃
x) . p(x) ≤ 0
↔¿
Tentang nilai kebenaran :
∀ x ∈ bilangan positif ) . p(x) > 0 .............bernilai benar
¿
( ∃ x ∈ bilangan positif ) . p(x) ≤ 0 .............bernilai salah
2. Jika p(x)= bilangan ganjil, maka pernyataan ‘semua bilangan ganjil bukan
prima’ dapat dinyatakan dengan lambang :
≠ bilangan prima
( ∀ x ¿ . p ( x)
Jadi, ingkaran dari ( ∀ x ¿ . p ( x) = bilangan prima adalah
[ ( ∀ ) P ( x )=bilangan prima ]
≡ ( ∃ x ¿ . { p ( x ) ≠ bilangan prima }
∃
x) . p(x) ¿ bilangan prima ,
↔¿
Dibaca ‘ada/beberapa bilangan ganjil adalah bilangan prima’.
Tentang nilai kebenaran :
∀ x ) . p(x) ≠ bilangan prima ........bernilai benar
¿
( ∃ x ) . p(x) = bilangan prima ..........bernilai salah
Ingkaran Kuantor Eksistensial
Karena ingkaran kuantor universal adalah kuantor eksistensial, maka ingkaran
kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Sebagai contoh, pernyataan : ‘ada siswa kelas X yang tidak masuk sekolah’
dapat dipatahkan (diingkar) dengan pernyataan ‘semua siswa kelas X masuk
sekolah ‘. Secara simbolik dapat ditulis :
¿
¿ ( ∃ x ) . P(x) ] = ( ∀ x ¿[ P( x)]
Contoh :
1. Ada anggota dalam {2,4,6,8} ialah bilangan ganjil
2. ( ∃ x ∈ R ¿ x 2 +2 x+1> 0
Jawab :
1). Jika p(x) = bilangan ganjil maka pernyataan ada anggota dalam {2,4,6,8} ialah
bilangan ganjil yang dapat dinyatakan dengan lambang kuantor :
( ∃ x ∈ {2,4,6,8} . p(x) ; dan ingkarannya adalah :
∀x
¿
[( ∃ x ∈ {2,4,6,8} ) . p(x)] ≡
∈ {2,4,6,8 } .
p(x)
Jadi, semua anggota dalam {2,4,6,8} ialah bukan bilangan ganjil.
2). ( ∃ x ∈ R ¿ x 2 +2 x+1> 0 . . . . bernilai benar untuk x
Ingkarannya :
[( ∃ x ∈ R ¿ x 2 +2 x+1> 0 ]
↔
∀x
¿
∀x
≡¿
∈ R ¿ . ( x 2 +2 x +1>0)
∈ R ¿ . x2 +2 x+ 1≤ 0
2. Penarikan Kesimpulan
Pada umumnya penarikan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan
tunggal atau pernyataan majemuk yang saling berelasi dan telah diketahui kebenarannya,
kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk.
Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui)disebut
premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis- premis
disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan
kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis- premisnya disebut argumen.
Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan
suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis- premisnya. Metode yang sederhana untuk
membuktikan suatu argumen sah (valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran.
Pola penarikan kesimpylan disajikan dengan bentuk .
Premis (1)
p1
Premis (2)
p2
Premis (3)
p3
...............
....
Premis (n)
pn
∴
Konklusi
Pernyataan kesimpulan dikatakan sah jika :
∴
k
(p1 ∧
p2 ∧ p3 ... ∧ pn )
=> k merupakan tautologi
Tautologi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar. Untuk jelasnya perhatikan contoh
berikut ini.
I. Jika suatu bilangan adalah kelipatan 6, maka bilangan itu adalah kelipatan 3.
18 adalah bilangan kelipatan 6
Jadi, 18 adalah bilangan kelipatan 3
II. Jika suatu bilanagn adalah kelipatan 6, maka bilangan itu adalah kel. 3
15 bukan kelipatan 6
Jadi, 15 bukan kelipatan 3
Jika ditulis dengan lambang p dan q, kedua argumen di atas menjadi :
Argumen I : p => q
Argumen II : p => q
p
p
∴
∴
q
Tiga penarikan kesimpulan yang sah akan disajikan di bawah ini.
1. Modus Ponens
Bentuk argumen modus ponens :
Premis 1 : p => q
( suatu pernaytaan yang benar )
Premis 2 : p
( suatu pernaytaan yang benar )
Konklusi : q
( suatu pernaytaan yang benar )
Contoh :
1). Premis 1 : Jika Dian rajin belajar, maka ia lulus ujian
Premis 2 : Dian rajin belajar
Konklusi : Dian lulus uijan
2). Premis 1 :
Premis 2 :
Konklusi :
q
2. Modus Tollens
Bentuk argumen modus tollens :
Premsi 1 : p => q
Premsi 2 :
q
Konklusi :
p
Contoh :
1). Premis 1 : Jika Fenti rajin berolahraga, maka ia akan sehat
Premis 2 : fenti tidak sehat
Konklusi : fenti tidak berolahraga teratur
2). Premis 1 :
Premis 2 :
Konklusi :
3. Modus Silogisme
Bentuk argumen modus silogisme :
Premis 1 : p => q
Premsi 2 : q => r
Konklusi : p => r
Contoh :
1). Premis 1 : Jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap
Premis 2 : Jika 2x bilangan genap, maka 2x+1 bilangan ganjil
Konklusi : Jika x bilangan ganjil, maka 2x+1 bilangan ganjil
1. Pernyataan Berkuantor
Suatu fungsi pernyataan dengan notasi p(x) adalah suatu kalimat terbuka di dalam
semesta pembicaraannya. P(x) bersifat p(a) bernilai benar atau salah tapi tidak
keduanya untuk setiap a, dimana a adalah anggota dari semesta pembicaraan.
Contoh :
1. Diketahui p(x) = x+1 5 didefenisikan pada himpunan bilangan asli A.
- P(x) akan bernilai benar untuk x= 3,4,5,6,.....
- Jadi, tidak semua x ϵ A memenuhi p(x), hal ini bermakna bahwa “sebagian
x ≤ A yang memenuhi pernyataan p(x)”.
1.1.
Kuantor Eksistensial
Kuantor sbagian( beberapa, ada) merupakan suatu peryataan yang
menggambarkan bahwa beberapa dan tidak seharusnya setiap objek atau masalah
memenuhi syarat tertentu.
Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ x
dibaca “ada suatu x sehingga
berlaku .... “. Jika P(x) adalah suatu kalimat terbuka , maka
( ∃ x ) P(x)
Menjadi pernyataan (benar atau salah ).
Mempunyai arti ‘ada x sedemikian sehingga berlaku P(x)’. Dengan demikian,
penambahan kunator di depan kalimat terbuka akan mengubahnya ( ∃ x ) P(x)
disebut pernyataan berkuantor eksistensial .
Contoh :
1. Benar atau salahkah pernyataan berkuantor ( ∃ x ∈ R ¿(2 x=1>5)
Jawab :
( ∃ x )(2x+1 > 5 ) mempunyai arti ‘ada suatu x sehingga berlaku 2x+1 > 5.
Jelas ini merupakan pernyataan yang benar , karena kita dapat menemukan x
yang memenuhi pertidaksamaan 2x+1 > 5, misalnay x= 3.
2. Lengkapi setiap pernyataan berikut dengan kuantor agar menjadi pernyataan
yang benar :
a. . . . .anggota dalam kumpulan H= {a, b, c, d, e } adalah huruf vokal.
b. . . . . bilangan bulat bernilai positif.
Jawab :
a. Ada
b. Sebahagian/ beberapa
1.2. Kuantor Universal
Kuantor “ semua” merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa
setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.
Kuantor universal dilambangkan dengan ∀ x dibaca “untuk semua x atau untuk
setiap x berlaku....”. Jika P(x) adalah satu kalimat terbuka, maka
( ∀ x ¿ P(x)
Mempunyai arti ‘untuk semua x berlaku P(x)’. Penambahan kuantor didepan
kalimat terbuka juga akan mengubahnya menjadi pernyataan (benar atau salah).
( ∀ x ¿ P(x)
disebut pernyataan berkuantor universal.
Contoh :
1. Benar atau salahkah pernyataan berkuantor ( ∀ x ¿ (2x+1) > 5.
Jawab :
( ∀ x ¿ (2x+1) > 5 mempnyai arti ‘untuk semua x berlaku 2x+1> 5’. Jelas
ini merupakan pernyataan yang salah, karena kita dapat menemukan x yang
tidak memenuhi persamaan 2x+1 > 5, misalnya x=1.
2. Lengkapi tiap pernyataan berikut dengan kuantor agar menjadi pernyataan
benar.
a. . . . kelipatan 4 adalah bilangan genap.
b. . . . segitiga jumlah sudutnya 180 °
Jawab :
a. Semua kelipatan 4 adalah bilangan genap.
b. Setiap segitiga jumlah sudutnay 180 °
1.3.
Ingkaran suatu Pernyataan Berkuantor
Ingkaran Kuantor Universal
Misalkan ada pernyataan :
p : semua bilangan prima adalah ganjil.
Jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 bilangan prima yang tidak ganjil,
maka pernyataan p di atas salah.
Dengan demikian, ingkaran dari semua x bersifat A adalah ‘ada (paling sedikit
satu) x tidak bersifat A’.
Jadi, ingkaran dari kuantor universal adalah kunator eksistensial. Secara simbolik
dapat ditulis :
( ∀ ) P ( x )=(∃ x)[ P ( x ) ]
¿
Contoh :
1. Semua bilangan positif lebih dari 0.
2. Semua bilangan ganjil bukan bilangan prima.
Jawab :
1. Jika p(x) = bilangan positif, maka pernyataan ‘semua bilangan positif lebih
dari nol’ dapat dinyatakan dalam lambang :
( ∀ x bilangan positif) . p(x) > 0
Jadi ingkaran dari ( ∀ x) . p(x) > 0 adalah :
[ ( ∀ ) P ( x ) >0 ] ≡ ( ∃ x ¿ . { p ( x ) >0 }
∃
x) . p(x) ≤ 0
↔¿
Tentang nilai kebenaran :
∀ x ∈ bilangan positif ) . p(x) > 0 .............bernilai benar
¿
( ∃ x ∈ bilangan positif ) . p(x) ≤ 0 .............bernilai salah
2. Jika p(x)= bilangan ganjil, maka pernyataan ‘semua bilangan ganjil bukan
prima’ dapat dinyatakan dengan lambang :
≠ bilangan prima
( ∀ x ¿ . p ( x)
Jadi, ingkaran dari ( ∀ x ¿ . p ( x) = bilangan prima adalah
[ ( ∀ ) P ( x )=bilangan prima ]
≡ ( ∃ x ¿ . { p ( x ) ≠ bilangan prima }
∃
x) . p(x) ¿ bilangan prima ,
↔¿
Dibaca ‘ada/beberapa bilangan ganjil adalah bilangan prima’.
Tentang nilai kebenaran :
∀ x ) . p(x) ≠ bilangan prima ........bernilai benar
¿
( ∃ x ) . p(x) = bilangan prima ..........bernilai salah
Ingkaran Kuantor Eksistensial
Karena ingkaran kuantor universal adalah kuantor eksistensial, maka ingkaran
kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Sebagai contoh, pernyataan : ‘ada siswa kelas X yang tidak masuk sekolah’
dapat dipatahkan (diingkar) dengan pernyataan ‘semua siswa kelas X masuk
sekolah ‘. Secara simbolik dapat ditulis :
¿
¿ ( ∃ x ) . P(x) ] = ( ∀ x ¿[ P( x)]
Contoh :
1. Ada anggota dalam {2,4,6,8} ialah bilangan ganjil
2. ( ∃ x ∈ R ¿ x 2 +2 x+1> 0
Jawab :
1). Jika p(x) = bilangan ganjil maka pernyataan ada anggota dalam {2,4,6,8} ialah
bilangan ganjil yang dapat dinyatakan dengan lambang kuantor :
( ∃ x ∈ {2,4,6,8} . p(x) ; dan ingkarannya adalah :
∀x
¿
[( ∃ x ∈ {2,4,6,8} ) . p(x)] ≡
∈ {2,4,6,8 } .
p(x)
Jadi, semua anggota dalam {2,4,6,8} ialah bukan bilangan ganjil.
2). ( ∃ x ∈ R ¿ x 2 +2 x+1> 0 . . . . bernilai benar untuk x
Ingkarannya :
[( ∃ x ∈ R ¿ x 2 +2 x+1> 0 ]
↔
∀x
¿
∀x
≡¿
∈ R ¿ . ( x 2 +2 x +1>0)
∈ R ¿ . x2 +2 x+ 1≤ 0
2. Penarikan Kesimpulan
Pada umumnya penarikan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan
tunggal atau pernyataan majemuk yang saling berelasi dan telah diketahui kebenarannya,
kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk.
Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui)disebut
premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari premis- premis
disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan
kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis- premisnya disebut argumen.
Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan
suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis- premisnya. Metode yang sederhana untuk
membuktikan suatu argumen sah (valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran.
Pola penarikan kesimpylan disajikan dengan bentuk .
Premis (1)
p1
Premis (2)
p2
Premis (3)
p3
...............
....
Premis (n)
pn
∴
Konklusi
Pernyataan kesimpulan dikatakan sah jika :
∴
k
(p1 ∧
p2 ∧ p3 ... ∧ pn )
=> k merupakan tautologi
Tautologi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar. Untuk jelasnya perhatikan contoh
berikut ini.
I. Jika suatu bilangan adalah kelipatan 6, maka bilangan itu adalah kelipatan 3.
18 adalah bilangan kelipatan 6
Jadi, 18 adalah bilangan kelipatan 3
II. Jika suatu bilanagn adalah kelipatan 6, maka bilangan itu adalah kel. 3
15 bukan kelipatan 6
Jadi, 15 bukan kelipatan 3
Jika ditulis dengan lambang p dan q, kedua argumen di atas menjadi :
Argumen I : p => q
Argumen II : p => q
p
p
∴
∴
q
Tiga penarikan kesimpulan yang sah akan disajikan di bawah ini.
1. Modus Ponens
Bentuk argumen modus ponens :
Premis 1 : p => q
( suatu pernaytaan yang benar )
Premis 2 : p
( suatu pernaytaan yang benar )
Konklusi : q
( suatu pernaytaan yang benar )
Contoh :
1). Premis 1 : Jika Dian rajin belajar, maka ia lulus ujian
Premis 2 : Dian rajin belajar
Konklusi : Dian lulus uijan
2). Premis 1 :
Premis 2 :
Konklusi :
q
2. Modus Tollens
Bentuk argumen modus tollens :
Premsi 1 : p => q
Premsi 2 :
q
Konklusi :
p
Contoh :
1). Premis 1 : Jika Fenti rajin berolahraga, maka ia akan sehat
Premis 2 : fenti tidak sehat
Konklusi : fenti tidak berolahraga teratur
2). Premis 1 :
Premis 2 :
Konklusi :
3. Modus Silogisme
Bentuk argumen modus silogisme :
Premis 1 : p => q
Premsi 2 : q => r
Konklusi : p => r
Contoh :
1). Premis 1 : Jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap
Premis 2 : Jika 2x bilangan genap, maka 2x+1 bilangan ganjil
Konklusi : Jika x bilangan ganjil, maka 2x+1 bilangan ganjil