Pendekatan Winsor pada Analisis Regresi dengan Pencilan

PENDEKATAN WINSOR PADA ANALISIS REGRESI
DENGAN PENCILAN

MURIH PUSPARUM

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendekatan Winsor pada
Analisis Regresi dengan Pencilan adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015
Murih Pusparum
NIM G14110045

ABSTRAK
MURIH PUSPARUM. Pendekatan Winsor pada Analisis Regresi dengan Pencilan.
Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan AAM ALAMUDI.
Analisis regresi adalah salah satu metode statistika yang digunakan untuk
menduga hubungan antara dua peubah atau lebih. Metode kuadrat terkecil pada
umumnya digunakan untuk melakukan pendugaan parameter pada model regresi
linear, namun metode ini memiliki kelemahan yaitu rentan terhadap pencilan.
Alternatif yang dapat digunakan untuk menangani regresi pada data yang
mengandung pencilan, khususnya pencilan pada peubah respon, adalah dengan
pendekatan Winsor. Untuk mengetahui keefektifan metode ini dalam menangani
pencilan dilakukan kajian simulasi. Simulasi diterapkan pada berbagai macam
ukuran contoh dan proporsi pencilan. Kajian simulasi ini secara keseluruhan
menunjukkan bahwa metode Winsor 3 memberikan hasil paling baik dalam
menangani pencilan, terutama pada ukuran contoh yang tidak terlalu besar. Metode
Winsor 3 merupakan metode yang menerapkan prinsip iterasi pada galat baku
sisaan dan menggunakan komponen konstanta tuning sebesar 1.345. Metode ini

diterapkan pada data riil mengenai pengaruh ketinggian bukit terhadap waktu
pendakian. Metode yang memberikan hasil paling baik berdasarkan nilai R2adj
adalah metode Winsor 3. Hasil ini didukung oleh kajian yang dilakukan dengan
teknik penarikan contoh berulang yang juga diterapkan pada data riil.
Kata kunci: Kajian simulasi, pencilan, pendekatan Winsor, regresi

ABSTRACT
Regression analysis is one of the statistical methods to estimate the
relationship between two or more variables. Ordinary least squares is generally used
to estimate parameters in linear regression, but it is susceptible to outliers. Winsor
approach can be used to solve regression with outliers problem, especially outliers
in response variables. To find out the effectiveness of this method on handling the
outliers, we utilized simulation study. Simulation was applied in various sample
sizes and outlier proportions. The result showed that Winsor 3 method was the best
on handling outliers, particularly on medium sample size. Winsor 3 is a method that
implements iterative principal on residual standard error and uses tuning constant
values by 1.345. This method was applied to the real data about the height of hills
againts the climbing time as well. The method which gave the best result based on
R2adj value is Winsor 3 method. This result is supported by the study using
resampling technique in the real data.

Keywords: Outlier, regression, simulation study, Winsor approach

PENDEKATAN WINSOR PADA ANALISIS REGRESI
DENGAN PENCILAN

MURIH PUSPARUM

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala lindungan, rahmat, dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah mengenai analisis regresi
kekar, dengan judul Pendekatan Winsor pada Analisis Regresi dengan Pencilan.
Proses penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari dukungan, saran, dan
bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Bapak Dr Anang Kurnia selaku ketua komisi pembimbing atas topik, saran dan
bimbingan yang telah diberikan selama penulis melakukan penelitian.
2. Bapak Ir Aam Alamudi, MSi selaku anggota komisi pembimbing atas saran
yang banyak membantu dalam penelitian yang penulis lakukan.
3. Teman-teman Statistika 48 atas diskusi-diskusi selama penyelesaian karya
ilmiah ini, serta Rahmanda Wibowo atas dukungan dan bantuan yang diberikan
selama penelitian.
4. Staf Tata Usaha Departemen Statistika atas bantuannya dalam kelancaran
administrasi.
5. Yayasan Woman International Club Jakarta atas bantuan dana penelitian yang
telah diberikan.
6. Papa dan Mama serta kakak-kakak dan seluruh keluarga atas segala doa dan
kasih sayangnya yang selalu tercurah untuk penulis.

Besar harapan penulis semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2015
Murih Pusparum

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL

viii

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR LAMPIRAN

viii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

Pencilan pada Regresi

2

Regresi dengan Pendekatan Winsor

3

METODE

4

Sumber Data

4

Prosedur Simulasi dan Analisis Data

5

HASIL DAN PEMBAHASAN

7

Eksplorasi Data Simulasi

7

Kajian Simulasi dengan � =

9
11

Aplikasi dan Kajian pada Data Riil

14

Kajian Simulasi dengan � =

SIMPULAN DAN SARAN

16

DAFTAR PUSTAKA

17

LAMPIRAN

18

RIWAYAT HIDUP

25

DAFTAR TABEL
1
2

Kriteria evaluasi regresi berdasarkan tiga metode
Kriteria evaluasi regresi pada data simulasi berdasarkan teknik
penarikan contoh berulang

15
16

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Tebaran data simulasi dengan � =
Tebaran data simulasi dengan � =
Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Rataan R2 di beberapa ukuran contoh dan proporsi pencilan untuk data
simulasi dengan � =

Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Rataan R2 di beberapa ukuran contoh dan proporsi pencilan untuk data
simulasi dengan � =
Hubungan antara ketinggian bukit dan waktu pendakian

8
8
9
10
11
12
13
14
15

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7

Bagan tahapan simulasi dan analisis data
Tabel evaluasi pendugaan
dengan � = 1 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
Tabel evaluasi pendugaan
dengan � = 1 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
Tabel evaluasi pendugaan
dengan � = 3 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
Tabel evaluasi pendugaan
dengan � = 3 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
Tabel rataan R2 kajian simulasi pada berbagai ukuran contoh dan
proporsi pencilan
Grafik bias relatif mutlak kajian simulasi pada berbagai ukuran contoh
dan proporsi pencilan

18
19
20
21
22
23
24

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk
menduga pola hubungan antara dua atau lebih peubah. Dugaan pola hubungan
disajikan dalam dugaan model regresi atau yang disebut persamaan garis regresi.
Persamaan garis ini umumnya diperoleh dari pendugaan dengan metode kuadrat
terkecil (MKT) atau ordinary least square (OLS), namun metode ini memiliki
kelemahan yaitu rentan terhadap adanya pencilan sehingga menjadi kurang tepat
untuk digunakan.
Menurut Aunuddin (1989), pada regresi linear suatu amatan dianggap sebagai
pencilan jika amatan tersebut memberikan nilai sisaan baku yang besar. Sisaan baku
yang besar ini seringkali disebabkan oleh nilai amatan peubah respon atau peubah
y yang jauh lebih besar atau lebih kecil dibanding nilai amatan lainnya. Amatan
yang memiliki kondisi tersebut umumnya disebut sebagai pencilan-y (Srivastava et
al. 2010). Rousseeuw dan Leroy (1987) dalam Srivastava et al. (2010) menyatakan
bahwa pencilan-y akan memberikan pengaruh yang signifikan pada dugaan
parameter regresi dengan MKT. Artinya nilai penduga parameter yang menyusun
persamaan garis regresi akan menyimpang dari nilai seharusnya yaitu ketika data
tidak mengandung pencilan. Penyimpangan ini membuat menurunnya koefisien
determinasi dari model dan ukuran kebaikan model menjadi rendah.
Alternatif yang dapat dilakukan untuk mengatasi regresi pada data dengan
pencilan salah satunya adalah dengan metode regresi dengan amatan terwinsorisasi
(winsorized observation) atau selanjutnya disebut sebagai pendekatan Winsor. Pada
metode ini nilai amatan y dengan sisaan yang besar akan ditangani atau diganti
dengan nilai-nilai amatan y baru sehingga pengaruh dari pencilan, terutama
pencilan-y, dapat diminimalisasi. Keefektifan pendekatan Winsor dalam
melakukan pendugaan parameter pada regresi linear dapat diketahui dengan
melakukan kajian simulasi. Pada kajian simulasi besarnya nilai parameter telah
ditetapkan terlebih dahulu, sehingga perbandingan antara nilai parameter dengan
dugaannya dapat diketahui. Metode Huber juga akan digunakan pada kajian
simulasi sebagai pembanding. Metode ini menerapkan prinsip pembobotan dan
akan memberikan hasil yang lebih baik dalam menduga parameter dibanding MKT
ketika terdapat pencilan, baik pencilan yang berasal dari galat normal maupun galat
bukan normal (Wang et al. 2007). Selain dengan kajian simulasi, penelitian ini pun
akan diaplikasikan pada data riil untuk kemudian dilakukan analisis lebih lanjut.

Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji dan menerapkan metode
regresi dengan pendekatan Winsor sebagai salah satu alternatif penanganan analisis
regresi dalam menangani pencilan pada berbagai macam ukuran contoh.

2

TINJAUAN PUSTAKA
Pencilan pada Regresi
Seperti telah disebutkan pada Latar Belakang, pencilan merupakan amatan
yang memberikan nilai sisaan baku yang besar. Ukuran besarnya sisaan baku dapat
dianggap sebagai pencilan adalah sebesar 2 atau −2 (Aunuddin 1989). Hal ini
mengacu pada asumsi MKT bahwa sisaan atau � merupakan peubah acak normal
dengan nilai tengah 0 dan ragam � . Pembakuan terhadap sisaan akan
menghasilkan peubah acak �/� yang menyebar normal baku. Pada peubah acak
normal baku, nilai-nilai dari peubah tersebut akan berada di antara −1.96 sampai
1.96 dengan peluang 95%. Atas dasar itulah jika nilai-nilai sisaan baku berada di
luar selang −1.96 dan 1.96 (atau dengan pembulatan disebut −2 dan 2) akan
dianggap sebagai pencilan.
Nilai � pada peubah acak �/� yang menyebar normal baku tidak diketahui
karena merupakan komponen dari model regresi, sehingga diduga dengan . Nilai
� merupakan selisih antara amatan-y dan dugaan-y ( � − ̂� , sedangkan � dapat
diduga dengan yang merupakan akar kuadrat dari , dengan
=

−�

∑
�=

�

,

dan adalah jumlah amatan serta � adalah jumlah parameter dalam model regresi.
Selanjutnya menurut Huber dan Ronchetti (2009), galat baku dari sisaan dapat
diduga dengan � =
− ℎ� / . Nilai ℎ� merupakan nilai dari diagonal matriks �
atau matriks hat, dengan uraian sebagai berikut:
̂= �
�
′
−
̂=
�
′�
̂ = ��
�
sehingga
′
−
′
�=
.
Dengan demikian persamaan untuk mendapatkan sisaan baku menjadi:
=

�

,
√ − ℎ�
dengan � adalah sisaan baku pada amatan ke-� (� = , , … ).
Regresi yang mengandung nilai pencilan dapat ditangani oleh metode Huber
atau penduga-M (M-Estimates). Wang et al. (2007) menuliskan fungsi tujuan dari
metode Huber sebagai berikut:
�

�

=

={

| |−

, | |

, | |>

.

(1)

Nilai pada persamaan 1 disebut sebagai konstanta tuning (tuning constant).
Konstanta tersebut merupakan salah satu komponen yang menentukan kebaikan
dari penduga parameter. Huber dan Ronchetti (2009) mengatakan bahwa nilai
terbaik berada di antara 1 dan 2 yaitu sebesar 1.5, namun menurut Wang et al.
(2007) besarnya nilai bergantung pada sebaran sisaan/galat. Jika sisaan menyebar
normal dan tidak terdapat pencilan, nilai terbaik adalah ∞ (tak terhingga).

3
Analisis Regresi menggunakan metode Huber pada prinsipnya adalah
memberikan nilai pembobot pada matriks penduga parameter. Fungsi pembobot
yang umum digunakan adalah:
, | |
={
.
(2)
⁄| | , | | >
Uraian sebelumnya menjelaskan bahwa nilai bergantung pada sebaran dari
sisaan/galat. Efisiensi penduga sebesar 95% dan kekar terhadap pencilan dapat
dihasilkan dengan nilai sebesar 1.345 ketika sisaan menyebar normal (Fox 2002).
Selain itu, jika dibandingkan dengan nilai c sebesar 1.5, nilai c sebesar 1.345
menghasilkan dugaan parameter yang lebih baik terutama pada galat yang berasal
dari sebaran normal (Wang et al. 2007).

Regresi dengan Pendekatan Winsor
Metode Winsor pertama kali diperkenalkan oleh Charles P. Winsor pada
tahun 1946 sebagai salah satu alternatif untuk mengatasi permasalahan pada
penghitungan statistik jika terdapat pencilan pada data/amatan. Kemudian Welsh
(1987) menggunakan pendekatan ini untuk melakukan pendugaan parameter pada
analisis regresi sehingga diperoleh penduga yang tidak terpengaruh oleh pencilan
(kekar). Welsh menjelaskan bahwa pada metode ini nilai-nilai amatan peubah
respon atau amatan-y ( ) diubah menjadi amatan-y terwinsorisasi ( ∗ ). Welsh
(1987) dalam Chen et al. (2001) lebih rinci mendefinisikan nilai * sebagai berikut:
∗
+
−
� � < �̂
+ �̂
�̂
�
� = � � �̂
),
− −
�( � > �̂
�̂
dengan
: peubah respon ( ) ke-�,
�
: sisaan/galat dari dugaan parameter ke-� � = � − � , untuk
�
� = , , … yang diperoleh dari MKT,
: kuantil empiris ke- dan ke- dari sisaan, dengan syarat <
�̂
dan �̂
< . <
< .
Nilai �̂ � pada persamaan 3 dapat diubah menjadi �̂ � + � ′ atau
�̂ � + ̂� dengan ̂� merupakan nilai dugaan dengan MKT agar menjadi peubah
acak yang bebas, stokastik, dan identik (Chen et al. 2001), sehingga persamaan
untuk amatan-y terwinsorisasi menjadi:
,
�̂
�̂
�
�
∗
,
.
� < �̂
� = { ̂� + �̂
,
>
�̂
̂� + �̂
�
Persamaan 4 selanjutnya disebut persamaan Winsor 1. Kemudian dilakukan
pendugaan parameter dengan metode kuadrat terkecil pada peubah bebas (x)
terhadap peubah respon ∗ atau secara matematis ditulis sebagai:
� = ′ − ′�∗ .
Persamaan 4 menggunakan nilai kuantil dari sisaan sebagai batas atas dan
batas bawah, atau dengan kata lain suatu amatan akan dianggap sebagai pencilan
jika berada di luar batas tersebut. Hal ini tidak sesuai dengan arti pencilan yang
didefinisikan sebelumnya. Definisi sebelumnya menyatakan bahwa suatu amatan

4
dianggap sebagai pencilan jika nilai mutlak sisaan bakunya ( � ) lebih besar dari 2,
sehingga atas dasar definisi tersebut dapat diuraikan persamaan Winsor 2:
,
−
�
�
∗
,
<
− .
̂
+
�̂
�
� ={ �
,
̂� + �̂
� >
Definisi lainnya mengenai amatan terwinsorisasi dikemukakan oleh Huber
dan Ronchetti (2009), yaitu:
| �|
�
�,
∗
=
{
̂
−
,
<
−
�
�
�
�.
�
̂� + � ,
� >
�
Persamaan 5 disebut persamaan Winsor 3 dan konstanta merupakan konstanta
tuning serta � merupakan galat baku dari sisaan yang diperoleh dari MKT. Jika
nilai amatan �∗ telah diperoleh, pendugaan terhadap parameter dan sisaan serta
galat baku yang baru juga dapat dilakukan. Selanjutnya prosedur iterasi diterapkan
dengan menggunakan nilai sisaan dan galat baku yang baru agar diperoleh nilai �∗
yang konvergen terhadap nilai dugaan parameter.

METODE
Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data riil yang diambil dari
literatur serta data simulasi. Data riil yang digunakan merupakan data pada kasus
regresi yang terdiri atas 1 peubah bebas ( ) yaitu peubah jarak ketinggian bukit dan
1 peubah respon ( ) yaitu peubah waktu yang diperlukan untuk pendakian. Data ini
diperoleh dari Chatterjee dan Hadi (2006) halaman 112 dan sebelumnya telah
digunakan oleh Mas’udah (2012) pada penelitian mengenai regresi least trimmed
squares. Selain digunakan untuk menerapkan regresi dengan ketiga metode, data
ini juga dianggap sebagai data populasi dari penarikan contoh berulang dengan
pengembalian (resampling). Penarikan contoh berulang ini dilakukan dengan
tujuan untuk melihat kekekaran metode yang digunakan secara simulasi pada
kondisi data yang menyerupai kondisi data riil.
Data simulasi terdiri atas dua buah parameter ( dan ) dan 1 peubah bebas
( ) yang ditetapkan, serta galat (�) yang dibangkitkan dari peubah acak Normal(�,
�). Peubah bebas yang ditetapkan ini sebelumnya telah dibangkitkan secara acak
dari peubah Normal( � , � ) seperti pada galat. Selanjutnya dari peubah-peubah
tersebut ditentukan nilai-nilai dari peubah respon ( ) yang diperoleh dari persamaan
+
� =
� + �� . Jumlah data yang dibangkitkan pada data simulasi sebanyak
2000 data sebagai data populasi kemudian diambil beberapa contoh acak berukuran
( = 20, 40, 100, dan 500). Perangkat yang digunakan untuk analisis adalah
perangkat pemrograman R 3.1.2.

5
Prosedur Simulasi dan Analisis Data
Penelitian ini, baik simulasi maupun terapan data riil, mengacu pada model
regresi linear sederhana dengan satu peubah bebas. Selain itu, pada kajian simulasi
digunakan dua gugus data dengan kondisi ragam berbeda. Gugus data pertama
adalah gugus data untuk kondisi ragam rendah yang diwakili oleh data dengan
simpangan baku sama dengan 1, dan gugus data kedua untuk data dengan ragam
tinggi yang diwakili oleh data dengan simpangan baku sama dengan 3. Konstanta
tuning yang digunakan pun hanya konstanta dengan nilai 1.345, baik untuk metode
Huber maupun Winsor.
Tahapan analisis data yang dilakukan dalam penelitian untuk data simulasi
adalah:
1. Menetapkan
dan ( = 10, = 2).
2. Menetapkan peubah bebas ( ) yang terlebih dahulu dibangkitkan dari sebaran
Normal(5, 3) dan Normal(5, 1) masing-masing sebanyak 2000 kemudian
simpan, gugus data ini merupakan gugus data populasi dari peubah bebas.
3. Membangkitkan � ~ Normal(0, 3) dan � ~ Normal(0, 1) masing-masing
sebanyak 1600 kemudian simpan, gugus data ini merupakan gugus data
populasi dari galat bukan pencilan.
4. Membangkitkan � ~ Normal(20, 3) dan � ~ Normal(20, 1) masing-masing
sebanyak 400 kemudian simpan, gugus data ini merupakan gugus data populasi
dari galat pencilan.
5. Mengambil contoh dari gugus data populasi peubah bebas dan galat yang telah
dibangkitkan dengan ukuran 20, 40, 100, dan 500, kemudian mengombinasikan
dengan berbagai macam ukuran pencilan (0%, 5%, 10%, 15%, dan 20%).
6. Menentukan nilai-nilai peubah respon ( ) berdasarkan data contoh peubah
bebas dan galat dengan persamaan:
=

7.

8.

9.

+

+�,

dengan � (galat) merupakan penggabungan dari � dan � sesuai dengan
proporsi pencilan.
Meregresikan semua gugus data menggunakan MKT dengan rumus penduga
parameter:
� = ′ − ′ �.

Menyimpan nilai dugaan
( ), dugaan
( ), dugaan ( ̂� ), sisaan ( � ),
sisaan terbakukan ( � ), dan galat baku sisaan ( � ) dari hasi regresi setiap gugus
data, serta � (koefisien determinasi) dan mean square error (MSE) atau
kuadrat tengah galat (KTG).
Meregresikan semua gugus data menggunakan metode Huber dengan
algoritme sebagai berikut:
a. Definisikan matriks peubah (X) dan matriks peubah (�).
b. Hitung fungsi pembobot ( ) seperti pada persamaan 2 dengan nilai
(konstanta tuning) sebesar 1.345.
c. Duga nilai parameter ( dan ) dengan rumus:
�=

′

−

′ �.

6
10. Menyimpan nilai , , � , dan KTG.
11. Meregresikan semua gugus data menggunakan metode Winsor dengan
algoritme sebagai berikut:
a. Tentukan nilai
sebesar 0.05 dan
sebesar 0.95.
).
dan �̂
b. Hitung nilai kuantil dari
dan
(�̂
c. Hitung nilai �∗ dengan menggunakan persamaan Winsor 1, 2, dan 3
kemudian simpan. Khusus pada persamaan Winsor 3, lakukan iterasi hingga
diperoleh nilai yang konvergen.
d. Duga nilai parameter menggunakan MKT, namun nilai � diubah menjadi
∗
� sehingga persamaan menjadi:
′

�=

−

′�∗ .

12. Menyimpan nilai , , � , dan KTG.
13. Melakukan ulangan dari tahapan nomor 5 hingga 12 sebanyak 1000 kali.
14. Mengevaluasi ketiga metode (MKT, metode Huber, dan metode Winsor)
berdasarkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan rataan
koefisien determinasi (� ) pada masing-masing ukuran contoh dan proporsi
pencilan. Rumus untuk keempat kriteria tersebut adalah:
̂� −
��
� = ∑
×
%,
��

�=

�

∑|

=

���

� =
�

�=

∑
�=

� =

̂� −

̂� −

|×

∑ �� ,
�=

dengan
adalah banyak ulangan (dalam hal ini
merupakan koefisien determinasi dengan rumus:
∑�= ̂� − ̅
� =
.
∑�= � − ̅

%,
,

=

. dan �

Metode yang dianggap dapat mengatasi pencilan dengan baik adalah metode
yang memberikan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, dan KTG relatif terkecil
atau dekat dengan 0 dan nilai rataan R2 terbesar atau dekat dengan 1.

Selanjutnya tahapan analisis data yang dilakukan dalam penelitian untuk data
riil adalah:
1. Menentukan peubah bebas ( ) dan peubah respon ( ) dari gugus data riil.
2. Melakukan eksplorasi untuk melihat banyaknya pencilan.
3. Meregresikan dengan MKT kemudian simpan nilai dugaan
( ), dugaan
( ), dugaan ( ̂� ), sisaan ( � ), sisaan terbakukan ( � ), dan ragam galat sisaan
( � ) serta simpan pula � , � adj, Jumlah Kuadrat Galat (JKG), dan KTG.

7
4.
5.

Meregresikan dengan metode Huber kemudian simpan nilai , , � , � adj,
JKG, serta KTG.
Meregresikan dengan metode Winsor (1, 2, dan 3) kemudian simpan nilai ,
, � , � adj, JKG, serta KTG.
6. Mengevaluasi ketiga metode tersebut (MKT, metode Huber, dan metode
Winsor) berdasarkan , , � adj, JKG, serta KTG.

Prosedur analisis lainnya adalah prosedur pendugaan dengan metode
penarikan contoh berulang, dengan tahapan sebagai berikut:
1. Menetapkan gugus data populasi peubah bebas ( ) dan peubah respon ( ) yang
berasal dari peubah dan pada data riil.
2. Mengambil contoh acak dari gugus data populasi tersebut secara berpasangan
( dan ) dan dengan pengembalian dengan ukuran contoh sama dengan
ukuran populasi yaitu sebesar 35.
3. Meregresikan gugus data contoh yang terambil dengan MKT, metode Huber,
dan metode Winsor.
4. Menyimpan nilai dugaan
( ), dugaan ( ), R2adj dan KTG dari setiap
metode.
5. Melakukan ulangan dari tahapan 1 hingga 4 sebanyak 1000 kali.
6. Mengevaluasi ketiga metode berdasarkan rataan , rataan , rataan R2adj
dan rataan KTG.
Ilustrasi mengenai tahapan analisis data dalam penelitian ini dapat dilihat
pada Lampiran 1.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data Simulasi
Data yang digunakan pada kajian simulasi terdiri atas dua kondisi, yaitu data
dengan simpangan baku sama dengan 1 dan data dengan simpangan baku sama
dengan 3. Plot tebaran antara peubah bebas dan peubah respon pada ukuran contoh
sebesar 100 dan berbagai proporsi pencilan dari sebagian data yang digunakan
disajikan pada Gambar 1 dan Gambar 2. Tebaran antara peubah bebas dan peubah
respon menunjukkan pola garis yang linear untuk semua proporsi pencilan. Selain
itu, adanya pencilan juga dapat terlihat dari titik-titik amatan yang berada di luar
pola garis linear utama. Dengan demikian, model regresi linear tepat untuk
digunakan pada kajian simulasi ini.

8

Gambar 1 Tebaran data simulasi dengan � =

Gambar 2 Tebaran data simulasi dengan � =

9
Kajian Simulasi dengan � = �

Kajian simulasi yang diterapkan pada nilai � (simpangan baku) sama dengan
1 menghasilkan beberapa nilai dari kriteria yang menjadi bahan evaluasi yang
dihitung pada setiap dugaan parameter ( dan ). Kriteria tersebut di antaranya
adalah bias relatif dan KTG relatif. Pada dugaan parameter , kedua kriteria ini
memiliki kemiripan pola peningkatan atau penurunan nilai bias dan nilai KTG
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3. Pada MKT nilai bias yang dihasilkan
cenderung meningkat seiring dengan peningkatan proporsi pencilan, sedangkan
pada metode Huber, Winsor 1 dan Winsor 2 nilai bias cenderung konstan pada
proporsi pencilan 5% dan akan meningkat ketika proporsi pencilan 10%, 15%, dan
20%. Metode Winsor 3 memiliki nilai bias terendah untuk setiap proporsi pencilan
pada semua ukuran contoh, kecuali pada ukuran contoh 500. Selain itu, jarak (gap)
antara nilai bias metode Winsor 3 dan metode Huber akan semakin mengecil ketika
ukuran contoh semakin besar.
Hasil yang serupa juga diberikan pada kriteria KTG relatif. Perbedaannya,
nilai KTG metode Winsor 1 dan 2 menjadi lebih besar dari MKT ketika proporsi
pencilan lebih dari sama dengan ( ) 10%, kecuali pada ukuran contoh 500. Pada
ukuran contoh ini, nilai KTG metode Winsor 1 dan 2 cenderung sama dengan MKT
dan pada metode Winsor 3 nilai KTG yang dihasilkan tidak berbeda jauh dengan
metode Huber.

Gambar 3 Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Hasil kajian simulasi lainnya adalah dugaan parameter , yang kemudian
digunakan untuk menghitung bias relatif, bias relatif mutlak, dan KTG relatif.

10
Gambar 4 menunjukkan bahwa nilai bias yang dihasilkan oleh kajian simulasi
beragam (positif dan negatif). Nilai bias yang positif menunjukkan bahwa dugaan
parameter lebih besar dari nilai asli parameternya (over estimate), sedangkan jika
nilai bias negatif artinya dugaan parameter lebih kecil dari nilai parameter aslinya
(under estimate). Pada MKT saat ukuran contoh sebesar 500, nilai bias cenderung
konstan di sekitar 0 hingga proporsi pencilan sebesar 15%, dan kemudian
meningkat kembali pada proporsi pencilan 20%. Hal serupa juga terjadi pada
metode Winsor 1 dan Winsor 2, walaupun pada metode ini nilai bias cenderung
menurun pada proporsi pencilan 5%. Metode lainnya, yaitu metode Huber dan
Winsor 3, memiliki pola yang hampir sama pada masing-masing ukuran contoh.
Metode Winsor 3 cenderung paling dekat dengan 0 kecuali ketika proporsi pencilan
sebesar 20%.
Kriteria lainnya adalah KTG relatif yang masih ditunjukkan oleh Gambar 4.
Nilai KTG relatif menunjukkan metode Winsor 3 memiliki nilai terendah atau
paling dekat dengan 0 untuk berbagai proporsi pencilan. ketika ukuran contoh
diperbesar, nilai KTG metode Huber cenderung mendekati nilai KTG metode
Winsor 3.

Gambar 4 Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Selain dengan kriteria bias relatif, bias relatif mutlak, dan KTG relatif,
evaluasi terhadap kajian simulasi pada analisis regresi juga dapat dilihat
berdasarkan nilai koefisien determinasi (R2) yang dihasilkan. Koefisien determinasi
adalah koefisien yang menunjukkan proporsi keragaman total yang dapat dijelaskan
oleh garis regresi dan merupakan salah satu alat penilai baik atau buruknya suatu
model (Aunuddin 1989). Gambar 5 menunjukkan grafik dari rataan R2 untuk setiap
proporsi pencilan pada semua ukuran contoh. Pada MKT, rataan R2 cukup tinggi

11
ketika tidak ada pencilan (proporsi pencilan 0%), namun menjadi sangat rendah
ketika terdapat pencilan pada data. Hal sebaliknya ditunjukkan oleh metode Winsor
3. Pada metode ini, rataan R2 cenderung konstan pada proporsi pencilan 0 – 15%,
kemudian menurun pada proporsi pencilan 20%. Sementara pada metode Winsor 1
dan 2, rataan R2 masih dapat dikatakan tinggi hingga proporsi pencilan sebesar 5%,
namun menjadi sangat rendah di proporsi pencilan lainnya hingga mendekati rataan
R2 pada MKT. Metode lainnya yaitu metode Huber, rataan R2 cenderung menurun
seiring dengan peningkatan proporsi pencilan, walaupun penurunan yang terjadi
tidak sebesar pada MKT. Uraian di atas menunjukkan bahwa berdasarkan kriteria
rataan R2, jika proporsi pencilan tidak lebih dari 5%, metode Winsor 1 dan 2 akan
memberikan nilai R2 yang cukup baik, sedangkan jika proporsi pencilan lebih dari
5%, metode yang memberikan nilai R2 terbaik adalah metode Winsor 3.

Gambar 5 Rataan R2 di beberapa ukuran contoh dan proporsi pencilan untuk data
simulasi dengan � =
Kajian Simulasi dengan � = �

Simulasi dengan simpangan baku 3 dilakukan dengan tujuan membandingkan
kelima metode jika data yang digunakan memiliki kondisi ragam (atau simpangan
baku) yang besar. Sama halnya dengan kajian simulasi sebelumnya, kriteria
evaluasi yang digunakan pada data simulasi dengan simpangan baku sama dengan
3 adalah bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan rataan R2. Pada dugaan
parameter , nilai bias relatif pada kelima metode menunjukkan bahwa nilai bias
semakin meningkat ketika proporsi pencilan juga meningkat seperti yang terlihat
pada Gambar 6. Secara keseluruhan nilai bias terendah dihasilkan oleh metode

12
Winsor 3. Pada proporsi pencilan 5% nilai bias pada metode Huber, metode Winsor
1, 2, dan 3 memiliki nilai yang hampir sama untuk semua ukuran contoh. Ketika
proporsi pencilan dan ukuran contoh semakin besar, metode Winsor 3
menghasilkan nilai bias yang mendekati metode Huber. Hasil lainnya yaitu KTG
relatif menunjukkan pola yang relatif sama dengan pola KTG pada simulasi dengan
simpangan baku 1. Hasil ini menunjukkan bahwa pada proporsi pencilan 5%, nilai
KTG metode Huber, Winsor 1, 2, dan 3 cenderung di titik yang sama dan pada
ukuran contoh 500 nilai KTG metode Winsor 3 akan mendekati hingga melebihi
nilai KTG metode Huber.

Gambar 6 Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
\
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Dugaan parameter
pada kajian simulasi ini juga menghasilkan ketiga
kriteria sebelumnya. Hasil untuk bias relatif yaitu pada ukuran contoh yang kecil
nilai bias tidak memiliki perbedaan yang besar pada kelima metode. Nilai bias
terendah dihasilkan oleh metode Winsor 3 untuk ukuran contoh 500, namun ketika
proporsi pencilan semakin besar, nilai bias terendah dihasilkan oleh metode Huber.
Kriteria lainnya yaitu KTG relatif kembali memiliki pola serupa dengan simulasi
sebelumnya. Nilai KTG terendah dihasilkan oleh metode Winsor 3, dan jika
proporsi pencilan cukup rendah (5%) metode Huber, Winsor 1, 2, dan 3
menghasilkan nilai bias dan KTG yang tidak jauh berbeda. Seperti pada dugaan
parameter , ketika ukuran contoh semakin besar nilai bias dan KTG metode
Huber dan Winsor 3 semakin dekat/mirip, dan ketika proporsi pencilan cukup besar
(20%) metode Huberlah yang akan memberikan nilai bias dan KTG terendah.
Grafik untuk kriteria ini disajikan pada Gambar 7.

13

Gambar 7 Bias relatif (i dan ii) dan KTG relatif (iii dan iv) di beberapa ukuran
contoh dan proporsi pencilan pada penduga
Rataan koefisien determinasi (R2) juga digunakan untuk evaluasi kajian
simulasi dengan simpangan baku sebesar 3. Perbedaan antara nilai rataan R2 pada
simulasi ini dengan nilai rataan R2 pada simulasi sebelumnya adalah pada data
dengan simpangan baku yang lebih besar (yang juga berarti ragam lebih besar) nilai
R2 terendah pada proporsi pencilan yang tidak sama dengan 0 akan semakin
meningkat. Pada data dengan simpangan baku 1 nilai R2 terendah kurang lebih
hanya sebesar 10%, namun pada data dengan simpangan baku 3 nilai R2 terendah
mencapai 30 – 40%. Grafik dari rataan R2 dapat dilihat pada Gambar 8. Sementara
itu untuk nilai R2 terbesar masih dihasilkan oleh metode Winsor 3 untuk setiap
proporsi pencilan pada ukuran contoh 20, 40, dan 100 sedangkan pada ukuran
contoh 500 nilai R2 terbesar dihasilkan oleh metode Huber. Hasil ini membuat
seolah-olah metode Winsor 3 tidak lebih baik dibanding metode Huber pada ukuran
contoh yang besar, namun sebenarnya nilai R2 yang dihasilkan metode Winsor 3
sudah cukup baik (di atas 50%) dan juga perbedaan dengan nilai R2 metode Huber
tidaklah terlalu besar.
Nilai-nilai yang dihasilkan dari kajian simulasi, yaitu nilai dari kriteria bias
relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan rataan R2 secara keseluruhan disajikan
pada Lampiran 2 hingga lampiran 6. Kriteria evaluasi bias relatif mutlak memiliki
pola yang cenderung serupa dengan kriteria bias relatif dan KTG relatif. Hasil dari
kriteria ini disajikan dalam bentuk grafik seperti kriteria lainnya dan dapat dilihat
pada Lampiran 7. Secara umum, nilai bias relatif mutlak menunjukkan bahwa
metode Winsor 1 dan 2 cukup baik untuk data dengan proporsi pencilan 5%,
sedangkan jika proporsi pencilan lebih dari 5% dapat digunakan metode Huber dan
metode Winsor 3.

14

Gambar 8 Rataan R2 di beberapa ukuran contoh dan proporsi pencilan untuk data
simulasi dengan � =

Uraian sebelumnya menunjukkan bahwa metode Winsor 3 lebih kekar
terhadap pencilan dibanding metode Winsor 1 dan 2. Hal ini disebabkan oleh
prosedur iterasi yang diterapkan pada kriteria pengganti peubah respon, yang
membuat nilai sisaan yang dihasilkan semakin rendah jika jumlah iterasi semakin
besar. Prosedur iterasi tersebut di sisi lain membuat metode ini menjadi lebih
kompleks dibanding metode lainnya, sehingga jika proporsi pencilan relatif rendah
metode Winsor 1 dan 2 akan lebih efisien untuk diterapkan.

Aplikasi dan Kajian pada Data Riil
Data riil yang digunakan pada penelitian ini adalah data mengenai pengaruh
ketinggian bukit (sebagai peubah bebas) terhadap waktu pendakian (sebagai peubah
respon) pada 35 bukit di Skotlandia (Chatterjee dan Hadi 2006). Data ini
sebelumnya juga digunakan oleh Mas’udah (2005) pada penelitian mengenai
regresi least trimmed squares. Hasil plot tebaran antara peubah pengaruh ketinggian
bukit dan waktu pendakian disajikan pada Gambar 8. Berdasarkan plot tebaran
terlihat bahwa terdapat 3 titik yang terindikasi sebagai pencilan sehingga garis
regresi yang dihasilkan oleh MKT memiliki kemungkinan telah terpengaruh oleh
adanya pencilan. Setelah dilakukan analisis regresi dengan MKT pun ternyata
ketiga titik tersebut memiliki nilai sisaan baku yang besar. Jika dipersentasekan,
artinya data ini kurang lebih mengandung pencilan sebanyak 8%.

15

Gambar 9 Hubungan antara ketinggian bukit dan waktu pendakian
Selanjutnya pada Tabel 1 disajikan kriteria evaluasi bagi data riil. Hasil dari
kriteria evaluasi tersebut menunjukkan bahwa metode Winsor 3 memiliki nilai
R2adj tertinggi dan metode Huber memiliki nilai JKG dan KTG terendah. Nilai JKG
dan KTG yang rendah disebabkan oleh pembobotan yang menjadi prinsip utama
pada metode Huber. Pembobot yang digunakan pada metode Huber memiliki nilai
di antara 0 hingga 1, artinya jika sisaan yang dihasilkan semakin besar, bobot yang
diberikan akan semakin dekat dengan 0. Pembobot yang bernilai 0 atau mendekati
0 akan menyebabkan amatan dengan sisaan yang besar memiliki kecenderungan
untuk disisihkan dari gugus data amatan. Akibatnya, nilai sisaan atau JKG yang
dihasilkan setelah pembobotan pada metode Huber menjadi sangat rendah.
Hasil lainnya yaitu penduga parameter regresi menunjukkan bahwa metode
Winsor 3 memberikan nilai dugaan yang hampir sama dengan MKT dan metode
Huber. Artinya, besarnya kemiringan pada garis regresi relatif sama baik dengan
MKT maupun metode lainnya. Hal yang berbeda terjadi pada nilai dugaan , yaitu
dugaan dengan metode Winsor 3 cenderung berbeda dari metode lainnya. Hal ini
karena pada metode Winsor 3 nilai-nilai peubah respon digantikan dengan nilainilai baru yang cenderung dekat dengan pola tebaran data secara umum, sehingga
nilai dugaan
atau intersep pun menjadi berbeda dari MKT.
Tabel 1 Kriteria evaluasi regresi berdasarkan tiga metode
Kriteria
b0
b1
Sb0
Sb1
JKG
KTG
R2(adj)

MKT
−290.40
499.83
345.38
37.17
4.7 x 107
1.4 x 106
84.10%

Huber
−281.15
491.93
77.08
13.17
3.2 x 104
9.7 x 102
97.62%

Winsor 3
−449.95
492.51
107.42
11.56
4.6 x 106
1.4 x 105
98.16%

16
Penelitian sebelumnya oleh Mas’udah (2012) menyatakan bahwa pada studi
kasus yang sama, regresi least trimmed squares (LTS) juga dapat diterapkan untuk
mengatasi adanya pencilan pada data regresi. Hasil dari metode LTS ini adalah nilai
penduga
sebesar − 300.13, penduga
sebesar 427.23, dan R2adj sebesar
99.40%. Jika mengacu pada kriteria yang telah diuraikan di atas, selain metode
Huber dan LTS, metode Winsor 3 juga memberikan nilai R2adj yang cukup tinggi
dan galat baku penduga parameter serta JKG dan KTG yang lebih rendah dibanding
MKT. Artinya, metode ini juga dapat digunakan dalam analisis regresi untuk
mengatasi adanya pencilan.
Aplikasi pada data riil menunjukkan bahwa metode Winsor memberikan hasil
yang cukup baik. Hal ini sejalan pula dengan teknik penarikan contoh berulang
yang diterapkan pada data riil. Hasil dari teknik ini disajikan pada Tabel 2.
Berdasarkan Tabel 2, metode Winsor 3 sudah dapat dikatakan cukup baik dalam
menangani pencilan. Hal ini terlihat pada nilai rataan R2adj yang dihasilkan yang
sudah cukup besar bahkan hampir mendekati 100%. Selain itu juga nilai galat yang
dihasilkan cenderung menurun dibanding jika menggunakan MKT.
Tabel 2 Kriteria evaluasi regresi pada data simulasi berdasarkan teknik
penarikan contoh berulang
Kriteria
MKT
Huber
Winsor 3
Rataan b0
-366.71
-381.49
-490.43
Rataan b1
512.08
504.87
500.44
2
Rataan R adj
84.87%
94.83%
97.90%
6
2
Rataan KTG
1.3 x 10
9.3 x 10
1.4 x 105

SIMPULAN DAN SARAN
Kajian simulasi yang dilakukan menunjukkan bahwa metode Winsor 3
memberikan hasil yang baik untuk semua proporsi pencilan dan ukuran contoh,
kecuali pada ukuran contoh 500 dengan proporsi pencilan 20%. Metode Winsor 3
merupakan metode yang menerapkan prinsip iterasi pada galat baku sisaan dan
menggunakan komponen konstanta tuning sebesar 1.345. Pada ukuran contoh dan
proporsi pencilan ini, metode Winsor 3 menjadi sama baiknya dengan metode
Huber. Kajian simulasi juga menunjukkan bahwa metode Winsor 1 dan 2 sama
baiknya dengan metode Huber dan Winsor 3 dalam menangani pencilan pada data
dengan proporsi pencilan kurang dari atau sama dengan 5%. Metode Winsor 1
merupakan metode yang menggunakan nilai kuantil empiris dari sisaan, sedangkan
metode Winsor 2 menggunakan nilai sisaan baku sebagai kriteria penggantian
peubah respon. Aplikasi pada data riil kembali menunjukkan bahwa berdasarkan
nilai galat baku penduga parameter dan R2adj, metode Winsor 3 sudah cukup baik
dalam menangani pencilan pada analisis regresi. Teknik penarikan contoh berulang
yang juga diterapkan pada data riil kembali menunjukkan hasil yang sejalan, yaitu
metode Winsor 3 memberikan hasil yang paling baik berdasarkan nilai rataan R2adj.

17
Saran untuk penelitian selanjutnya adalah agar dapat mempertimbangkan
penggunaan kriteria pengganti peubah respon lainnya pada metode Winsor
sehingga hasil yang diperoleh cukup baik untuk mengatasi pencilan pada ukuran
contoh dan proporsi pencilan yang relatif besar. Kriteria pengganti lainnya di
antaranya dengan melakukan proses optimasi nilai
dan
yang terdapat pada
metode Winsor 1 atau melakukan proses iterasi pada kriteria metode Winsor 2.

DAFTAR PUSTAKA
Aunuddin. 1989. Analisis Data. Bogor (ID): IPB.
Chatterjee S, Hadi AS. 2006. Regression Analysis by Example 4th ed. New Jersey
(US): John Wiley and Sons, Inc.
Chen L-A, Welsh AH, Chan W. 2001. Estimators for the linear regression model
based on winsorized observation. Statistica Sinica. 11(1):147-172.
Fox J. 2002. An R and S-Plus Companion to Applied Regression. Thousand Oaks
(CA): SAGE Publications, Inc.
Huber PJ, Ronchetti EM. 2009. Robust Statistics 2nd ed. New Jersey (US): John
Wiley and Sons, Inc.
Mas’udah AM. 2012. Metode regresi least trimmed squares pada data yang
mengandung pencilan [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Srivastava DK, Pan J, Sarkar I, Mudholkar GS. 2010. Robust winsorized regression
using bootstrap approach. Communication in Statistics – Simulation and
Computation. 39(1):45-67.doi:10.1080/03610910903308423.
Wang YG, Lin X, Zhu M, Bai Z. 2007. Robust estimation using the huber function
with a data-dependent tuning constant. Journal of Computational and Graphical
Statistics. 16(2):1-14.doi:10.1198/106186007X180156.
Welsh AH. 1987. The trimmed mean in the linear model. The Annals of Statistics.
15(1):20-36.doi:10.1214/aos/1176350248.

18
Lampiran 1 Bagan tahapan simulasi dan analisis data
Data simulasi
Tentukan

Data riil

dan

Tentukan peubah
dan peubah

Bangkitkan ~ N(�, �) dan
�� ~ N(�, �) sebanyak 2000

Eksplorasi data

� ~ N (0,1) dan
� ~ N (0, 3)
(galat non-pencilan)

~ N (5, 1)
dan
~ N (5, 3)

� ~ N (20 ,1) dan
� ~ N (20 ,3)
(galat pencilan)

Ambil contoh acak:
n = 20

n = 40
Hitung

�

n = 100
=

+

�

n = 500

+ �� *

Regresikan

dan

Tentukan

Regresikan x dan y dengan
metode Huber, c = 1.345

dengan MKT
dan

Tentukan �∗ dengan
Winsor 1 dan Winsor 2,
kemudian regresikan dan
∗
� dengan MKT

Simpan nilai

,

Tentukan �∗ dengan
Winsor 3 ( = 1.345)
dan lakukan iterasi
hingga konvergen
Regresikan dan
dengan MKT

∗
�

, � , dan KTG dari setiap metode

Evaluasi ketiga metode
ta
Evaluasi
ketiga metode
ta

Regresikan x dan �∗
dengan Winsor 1, 2, dan
3 seperti pada simulasi

Evaluasi ketiga
metode

Regresikan
dan
dengan MKT, metode
Huber, dan Winsor

Regresikan x dan
y dengan metode
Huber, c = 1.345

Resampling gugus
data dan secara
berpasangan ( = 35)

Regresikan x dan
y dengan MKT

Tetapkan nilai peubah
dan
sebagai
gugus data populasi

*�� merupakan penggabungan � dan � , menyesuaikan dengan proporsi pencilan
Prosedur diulangi sebanyak 1000 kali

19
Lampiran 2 Tabel evaluasi pendugaan
dengan � = 1 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
n

20

40

100

500

20

40

100

500

20

40

100

500

p

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

MKT
0.13
11.66
22.74
30.34
39.56
-0.74
9.58
19.05
30.77
39.31
-0.35
8.60
18.97
28.43
38.35
-0.31
9.66
19.72
29.34
38.97

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

9.78
44.46
59.38
72.41
81.51
6.48
29.46
43.62
53.64
60.89
4.05
18.96
29.16
37.83
46.24
1.86
11.43
20.58
29.94
39.22

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

0.02
0.30
0.55
0.83
1.05
0.01
0.13
0.29
0.45
0.59
0.00
0.06
0.13
0.22
0.32
0.00
0.02
0.06
0.11
0.18

BIAS RELATIF (%)
HUBER
WINSOR 1
WINSOR 2
0.02
0.10
0.09
2.84
2.86
2.50
6.78
22.32
21.77
10.30
30.18
30.44
15.94
39.26
38.82
-0.83
-0.78
-0.80
2.20
1.91
1.70
5.16
18.71
18.71
9.81
30.49
31.09
14.46
39.02
38.70
-0.42
-0.35
-0.34
1.66
1.39
1.23
4.80
18.67
18.85
8.13
28.17
28.83
13.17
38.10
38.03
-0.41
-0.32
-0.35
2.05
1.86
1.65
5.21
19.54
19.71
8.46
29.21
29.87
13.17
38.84
38.77
BIAS RELATIF MUTLAK (%)
9.81
9.81
9.79
15.44
17.48
16.05
22.71
61.43
59.17
34.56
75.96
76.34
49.36
86.19
83.49
6.61
6.56
6.56
10.49
11.07
10.17
15.66
45.72
45.66
23.03
56.39
57.73
34.05
64.29
62.34
4.12
4.09
4.09
6.65
6.87
6.24
9.76
30.44
30.79
14.64
39.47
40.93
22.52
47.90
46.88
1.92
1.87
1.87
3.34
3.35
3.03
6.01
20.73
20.97
9.27
30.10
30.90
14.35
39.27
39.11
KTG RELATIF
0.02
0.02
0.02
0.04
0.06
0.05
0.09
0.58
0.54
0.22
0.90
0.90
0.43
1.16
1.09
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.04
0.32
0.32
0.09
0.49
0.51
0.20
0.65
0.61
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.01
0.02
0.14
0.15
0.03
0.24
0.26
0.08
0.35
0.33
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.06
0.06
0.01
0.12
0.12
0.03
0.19
0.19

WINSOR 3
-0.05
0.76
2.09
3.05
5.04
-0.80
0.65
1.99
3.80
7.22
-0.43
0.43
1.78
3.68
8.51
-0.41
0.78
2.60
5.91
13.98
10.29
11.18
12.28
15.05
20.42
6.84
7.46
8.34
10.45
15.19
4.21
4.70
5.60
7.21
12.35
1.93
2.21
3.48
6.47
14.31
0.02
0.02
0.03
0.04
0.10
0.01
0.01
0.01
0.02
0.05
0.00
0.00
0.00
0.01
0.03
0.00
0.00
0.00
0.01
0.04

20
Lampiran 3 Tabel evaluasi pendugaan dengan � = 1 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
n

20

40

100

500

20

40

100

500

20

40

100

500

p

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

MKT
0.06
-2.62
-2.05
0.42
3.62
-0.16
-1.79
-1.69
-1.39
-0.69
-0.15
0.24
0.09
-0.52
-0.22
0.07
-0.01
0.12
0.02
0.56

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

9.35
42.38
57.16
70.13
76.71
6.33
29.89
39.34
46.67
51.65
4.10
17.66
23.86
29.28
32.28
1.74
7.75
10.82
12.95
14.16

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

0.01
0.28
0.52
0.79
0.93
0.01
0.14
0.25
0.35
0.42
0.00
0.05
0.09
0.14
0.16
0.00
0.01
0.02
0.03
0.03

BIAS RELATIF (%)
HUBER
WINSOR 1
WINSOR 2
0.06
0.10
0.05
-0.87
-1.25
-1.04
-1.13
-2.26
-2.27
-0.47
0.48
0.53
2.65
3.43
3.53
-0.21
-0.20
-0.21
-0.43
-0.60
-0.59
-0.22
-1.80
-1.89
-0.41
-1.31
-1.42
-0.17
-0.62
-0.69
-0.18
-0.17
-0.17
0.02
0.05
0.07
0.04
0.10
0.05
-0.24
-0.56
-0.46
-0.29
-0.25
-0.22
0.07
0.07
0.07
-0.01
0.00
0.01
-0.01
0.09
0.08
-0.15
0.03
0.05
0.31
0.61
0.59
BIAS RELATIF MUTLAK (%)
9.43
9.41
9.42
14.87
17.24
15.95
21.91
59.37
57.18
34.90
74.31
74.24
48.62
81.97
78.88
6.33
6.35
6.34
9.95
11.26
10.32
14.47
41.60
41.53
21.37
49.90
51.32
32.07
55.64
53.53
4.10
4.10
4.11
5.98
6.42
5.88
8.43
25.50
25.82
12.59
31.60
33.10
19.76
34.98
33.52
1.73
1.72
1.74
2.56
2.75
2.50
3.83
11.60
11.81
5.50
14.01
14.89
8.74
15.41
14.76
KTG RELATIF
0.01
0.01
0.01
0.04
0.06
0.05
0.09
0.55
0.51
0.23
0.87
0.86
0.42
1.05
0.97
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.04
0.27
0.28
0.08
0.39
0.41
0.17
0.49
0.45
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.01
0.01
0.10
0.11
0.03
0.16
0.17
0.06
0.19
0.18
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.02
0.00
0.03
0.03
0.01
0.04
0.03

WINSOR 3
0.08
-0.24
-0.91
-0.94
0.58
-0.25
-0.10
0.21
-0.16
-0.58
-0.20
-0.06
-0.01
-0.12
-0.40
0.06
0.02
-0.04
-0.14
0.14
9.75
10.42
11.37
14.54
18.85
6.50
7.07
7.72
9.39
13.12
4.18
4.46
4.76
5.36
8.74
1.74
1.91
2.20
2.87
5.10
0.02
0.02
0.02
0.04
0.09
0.01
0.01
0.01
0.01
0.04
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01

21
Lampiran 4 Tabel evaluasi pendugaan
dengan � = 3 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
n

20

40

100

500

20

40

100

500

20

40

100

500

p

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

MKT
-1.84
9.34
19.50
28.96
39.83
-0.51
9.78
18.86
29.04
39.17
-0.36
9.30
18.84
28.50
38.14
-0.07
9.58
19.29
29.22
39.43

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

11.05
20.00
28.25
36.15
44.58
7.49
14.19
22.14
31.10
40.17
4.63
10.95
19.41
28.73
38.20
1.93
9.59
19.29
29.22
39.43

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

0.02
0.06
0.12
0.20
0.29
0.01
0.03
0.07
0.13
0.21
0.00
0.02
0.05
0.10
0.17
0.00
0.01
0.04
0.09
0.16

BIAS RELATIF (%)
HUBER
WINSOR 1
WINSOR 2
-1.83
-1.82
-1.80
5.14
3.78
3.09
10.97
18.39
17.73
17.18
28.43
27.77
24.91
39.48
38.68
-0.47
-0.51
-0.49
5.60
4.55
3.94
10.62
18.01
17.73
17.08
28.54
28.19
23.68
38.80
38.12
-0.41
-0.35
-0.33
5.19
4.49
3.87
11.00
18.21
18.09
16.79
28.11
28.02
23.11
37.81
37.22
-0.17
-0.09
-0.04
5.34
5.48
4.84
11.13
18.63
18.71
17.26
28.87
28.86
23.85
39.20
38.62
BIAS RELATIF MUTLAK (%)
11.01
11.15
11.13
14.66
13.77
13.35
19.19
27.63
26.84
24.32
36.38
35.66
30.55
44.93
43.86
7.48
7.54
7.56
10.46
9.81
9.45
14.34
21.70
21.48
19.53
30.96
30.55
25.55
40.12
39.38
4.58
4.63
4.62
7.28
6.92
6.54
11.82
18.93
18.84
17.20
28.43
28.32
23.31
37.90
37.30
1.91
1.95
1.95
5.48
5.60
5.01
11.13
18.63
18.71
17.26
28.87
28.86
23.85
39.20
38.62
KTG RELATIF
0.02
0.02
0.02
0.03
0.03
0.03
0.06
0.12
0.11
0.10
0.20
0.19
0.15
0.30
0.29
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.01
0.03
0.07
0.07
0.05
0.13
0.13
0.09
0.21
0.20
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.01
0.02
0.05
0.05
0.04
0.10
0.10
0.07
0.17
0.16
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.04
0.04
0.03
0.09
0.09
0.06
0.16
0.15

WINSOR 3
-1.71
2.24
5.29
9.73
17.33
-0.43
2.79
5.51
10.51
17.26
-0.31
2.54
6.36
10.99
18.76
-0.05
2.85
7.17
13.75
24.09
11.26
12.40
14.25
17.58
23.59
7.64
8.62
10.24
13.71
19.96
4.68
5.54
7.88
11.87
19.32
1.96
3.30
7.21
13.76
24.09
0.02
0.03
0.03
0.05
0.10
0.01
0.01
0.02
0.03
0.06
0.00
0.00
0.01
0.02
0.05
0.00
0.00
0.01
0.02
0.06

22
Lampiran 5 Tabel evaluasi pendugaan dengan � = 3 pada berbagai ukuran
contoh dan proporsi pencilan
n

20

40

100

500

20

40

100

500

20

40

100

500

p

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

MKT
-0.22
0.18
0.24
0.19
-0.98
0.09
-0.68
-1.21
-1.32
-1.14
0.07
-0.14
0.10
0.43
0.68
-0.02
0.14
0.11
0.26
0.12

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

9.48
17.66
22.26
26.90
29.30
6.71
12.10
15.37
17.01
19.93
4.04
7.29
9.15
10.65
11.74
1.88
3.26
4.20
4.86
5.35

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

0.01
0.05
0.08
0.11
0.14
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.00
0.01
0.01
0.02
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00

BIAS RELATIF (%)
HUBER
WINSOR 1
WINSOR 2
-0.31
-0.24
-0.24
0.19
0.13
0.19
0.61
0.31
0.30
0.20
0.20
0.12
-0.96
-0.99
-1.07
0.08
0.10
0.13
-0.41
-0.36
-0.31
-0.81
-1.25
-1.23
-1.02
-1.47
-1.34
-0.73
-1.29
-1.23
0.12
0.06
0.06
-0.09
-0.11
-0.12
0.09
0.11
0.10
0.18
0.42
0.39
0.58
0.73
0.70
-0.02
-0.03
-0.04
0.08
0.08
0.07
0.06
0.13
0.13
0.21
0.30
0.30
0.09
0.13
0.13
BIAS RELATIF MUTLAK (%)
9.86
9.56
9.57
13.43
12.70
12.41
15.82
22.31
21.72
19.27
27.81
27.17
23.11
30.71
29.77
6.95
6.80
6.80
9.19
8.41
8.23
11.26
15.68
15.59
12.34
17.78
17.41
15.10
20.98
20.25
4.22
4.09
4.09
5.61
5.15
5.03
6.64
9.39
9.48
7.79
11.23
10.99
8.75
12.45
11.99
1.94
1.90
1.89
2.56
2.38
2.32
3.04
4.30
4.36
3.41
5.13
5.06
3.89
5.68
5.47
KTG RELATIF
0.02
0.01
0.01
0.03
0.03
0.03
0.04
0.08
0.07
0.06
0.12
0.12
0.09
0.15
0.14
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.04
0.04
0.02
0.05
0.05
0.04
0.07
0.07
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.01
0.02
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.00

WINSOR 3
-0.27
0.20
0.48
0.51
-0.93
0.13
-0.23
-0.50
-0.56
-0.63
0.08
-0.12
0.08
0.12
0.46
-0.03
0.04
0.02
0.24
0.09
10.21
11.49
12.36
14.55
18.77
6.99
7.53
8.60
9.52
12.46
4.23
4.56
5.20
6.17
7.78
1.93
2.03
2.35
2.96
4.15
0.02
0.02
0.02
0.04
0.07
0.01
0.01
0.01
0.01
0.03
0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00

23
Lampiran 6 Tabel rataan R2 kajian simulasi pada berbagai ukuran contoh dan
proporsi pencilan
n

20

40

100

500

20

40

100

500

p
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

MKT
0.80
0.19
0.13
0.11
0.10
0.81
0.18
0.11
0.09
0.08
0.81
0.17
0.10
0.08
0.06
0.81
0.17
0.10
0.07
0.06

0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%
0%
5%
10%
15%
20%

0.78
0.54
0.42