APLIKASI TEOREMA POLYA DALAM MENENTUKAN BANYAK GRAF SEDERHANA YANG TIDAK ISOMORFIK
LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir
Kajian Matematika Murni
APLIKASI TEOREMA POLYA DALAM MENENTUKAN
BANYAK GRAF SEDERHANA YANG TIDAK ISOMORFIK
TUGAS AKHIR
Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang
sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan
Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh:
FIKI ROUDLOTUL JANNAH
NIM: 201010060311047
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2014
MOTTO
“Dan mintalah pertolongan (kepada Allah SWT) dengan
sabar dan shalat. Dan sesungguhnya yang demikian itu
sungguh berat, kecuali bagi orang-orang yang khusyu’.”
(QS: Al-Baqarah: 45)
“Barang siapa menempuh jalan untuk mendapatkan ilmu,
Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga.”
(HR Muslim)
“Berangkat dengan penuh keyakinan. Berjalan dengan penuh keikhlasan.
Istiqomah dalam menghadapi cobaan.”
“YAKIN, IKHLAS, ISTIQOMAH.”
“Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang-orang tidak menyadari
betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan saat mereka menyerah.”
(Thomas Alfa Edison)
PERSEMBAHAN
Syukur alhamdulillah kepada Allah SWT. yang telah memberikan
rahmat dan karunia-Nya serta Rosulullah SAW. yang telah memberikan petunjuk
ke jalan yang terang dan benar sehingga penulis bisa menyelesaikan Tugas Akhir
ini. Dengan tulus ku persembahkan Tugas Akhir ini untuk:
1. Ayahanda Warsito dan Ibunda Tumini (Almh), terima kasih banyak atas do’a,
nasihat, semangat, dan kasih sayang kepadaku setiap waktu.
2. Adik-adikku tercinta Syaifullah Ahmad, M. Miftahul Huda, dan Nahdliyah S.
Jamilah, dengan candaan dan ulah mereka yang mampu membangkitkan
semangatku lagi.
3. Dosen-dosen program studi Pendidikan Matematika FKIP UMM yang telah
mendidik, membimbing dan memberikan arahan kepadaku selama ini.
4. Sahabat Seperjuanganku Ida Prawati, Mba Anggi, Mba Feni, Yoni Oktavia,
Devi Yolanda, Erni MS dan Frimadana S. Terima kasih atas kebersamaan,
candaan, motivasi, masukan ide serta dukungan yang kalian berikan.
5. Terimakasih juga untuk rekan-rekan sejawat (Matkom 2010, khususnya kelas
A) yang telah banyak memberikan dukungan dan sumbangan pikiran yang
bermanfaat dalam penulisan skripsi ini.
6. Sahabat Shohib Kos, Mba Umi, Mba Wiwik, Mba Devi, Mba Nika dan
seluruh penghuni Salsabila Apartment yang selalu menghibur, memberi
semangat dan menemani dengan candaan yang luar biasa.
7. Mamasku Dana YC beserta keluarga tercinta, terima kasih atas dukungan,
semangat, nasihat, dan kehadiranmu yang mampu memberi warna di hidupku
serta selalu mendengarkan keluh kesahku.
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas
rahmat, hidayah, dan inayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi
dengan judul “Aplikasi Teorema Polya dalam Menentukan Banyak Graf
Sederhana yang tidak Isomorfik”. Sholawat serta salam tercurahkan kepada
Rasulullah Muhammad SAW, keluarga serta sahabatnya.
Penulis menyadari bahwa Skripsi ini dapat terselesaikan berkat bimbingan,
bantuan, dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu dengan hati yang tulus
penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih kepada:
1. Dr. Yus M. Cholily, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan
waktu dan kesabaran dalam memberi bimbingan, pengarahan serta nasihat
kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
2. Drs. Hendarto Cahyono, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah
meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi bimbingan, pengarahan
serta nasihat kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
3. Teman-teman tercinta yang selalu memberi semangat dan pihak-pihak lain
yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang juga turut mendukung
terselesaikannya tugas akhir ini.
Penulis menyadari tentunya tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan.
Oleh karena, itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi
menjadikan skripsi ini lebih sempurna. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat
memberikan manfaat bagi pembaca pada umumnya dan bagi penulis pada
khususnya. Amin.
Malang, 14 Oktober 2014
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
LEMBAR PERSETUJUAN ............................................................................ ii
LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................. iii
SURAT PERNYATAAN ................................................................................. iv
MOTTO ............................................................................................................ v
LEMBAR PERSEMBAHAN .......................................................................... vi
KATA PENGANTAR ...................................................................................... vii
ABSTRAK ........................................................................................................ viii
DAFTAR ISI ..................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang .................................................................................... 1
1.2. Rumusan Masalah ............................................................................... 4
1.3. Batasan Masalah ................................................................................. 5
1.4. Tujuan Penelitian ................................................................................ 5
1.5. Manfaat Penelitian .............................................................................. 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Konsep Dasar Graf .............................................................................. 6
2.2. Macam-macam Graf ........................................................................... 12
2.3. Graf Isomorfik (Isomorphic Graph) ................................................... 13
2.4. Definisi dan Teorema Aljabar yang Mendukung Teorema Polya ...... 15
2.5. Teorema Polya .................................................................................... 23
2.6. Aplikasi Teorema Polya pada Graf Sederhana dengan Banyak Titik
........................................................................................... 27
BAB III PEMBAHASAN
3.1. Teorema Polya pada Graf Sederhana .................................................. 34
3.1.1. Aplikasi Teorema Polya I .......................................................... 39
3.1.2. Aplikasi Teorema Polya II ......................................................... 39
BAB IV PENUTUP
4.1. Kesimpulan ......................................................................................... 41
4.2. Saran ................................................................................................... 42
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 44
LAMPIRAN-LAMPIRAN .............................................................................. 45
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Contoh graf .................................................................................... 3
Gambar 1.2 (a) isomorfik dengan (b), tetapi (a) tidak isomorfik dengan (c) ..... 3
Gambar 2.1 Graf kosong
.............................................................................. 6
Gambar 2.2 Contoh representasi graf ................................................................ 7
Gambar 2.3 Contoh graf (a) graf dengan loop dan (b) graf sederhana .............. 7
Gambar 2.4 Contoh adjancent dan incident ...................................................... 8
Gambar 2.5 Contoh derajat titik ......................................................................... 8
Gambar 2.6 Contoh jalan, jejak, lintasan, dan sikel ........................................... 10
Gambar 2.7 Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung ........................... 11
Gambar 2.8 Graf lengkap
.......................................................... 12
Gambar 2.9 Graf teratur (a) Derajat 0, (b) Derajat 1, dan (c) Derajat 2 ............ 12
Gambar 2.10 Graf lingkaran
Gambar 2.11
isomorfik dengan
...................................................... 13
, tetapi
tidak isomorfik dengan
.... 13
Gambar 2.12 Dua buah graf yang tidak isomorfik ............................................. 14
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Elemen-elemen
......................................................................... 46
Lampiran 2: Pembangkit indeks sikel
Lampiran 3: Elemen-elemen
.......................................................................... 48
Lampiran 4: Pembangkit indeks sikel
Lampiran 5: Elemen-elemen
........................................................... 49
.......................................................................... 51
Lampiran 6: Pembangkit indeks sikel
Lampiran 7: Elemen-elemen
........................................................... 47
........................................................... 53
.......................................................................... 55
Lampiran 8: Bentuk-bentuk Graf Sederhana yang tidak saling Isomorfik ........ 64
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir, Azizah, Nilna Niswatin., dan Nofandika, Fifi Framelia. 2009. Teori
Graf Topik Dasar untuk Tugas Akhir/Skripsi. Malang: UIN-Malang Press.
Aldous, Joan M. dan Wilson, Robin J. 2004. Graphs and Applications an
Introductory Approach. London: Springer.
Beachy, John A. dan Blair, William D. 2006. Abstract Algebra Third Edition.
Long Grove: Waveland Press.
Cahyono, Hendarto. 2000. Pengantar Teori Graph. Malang: Universitas
Muhammadiyah Malang.
Gutman, Ivan. 2008. The Chemical Formula
and Its Mathematical
background. The Teaching of Mathematics Vol. XI No. 2 Hal. 53-61.
Harris, John, Hirst, Jeffry L., dan Mossinghoff, Michael. 2008. Combinatorics and
Graph Theory. New York: Springer.
Judson, Thomas W. 2009. Abstract Algebra Theory and Applications. Boston:
GNU Free Documentation Lisence.
Lipschutz, Seymour, dan Lipson, Marc. 2007. Schaum’s Outlines of Theory and
Problems of Discrete Mathematics. New York: McGRAW-HILL.
Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.
Ni’mah, Khomsiatun. 2013. Aplikasi Teorema Polya untuk Menghitung
Banyaknya Graf Sederhana yang Tidak Isomorfik. Cakrawala Pendidikan
Vol. 15, No. 2 Oktober 2013, Hal. 184-193.
Riyanto, M. Zaki. 2011. Pengantar Aljabar Abstrak I: Pendahuluan Teori Grup.
Hal. 18-23.
Rotman, Joseph J. 2005. A First Course in Abstract Algebra Third Edition.
Urbana: Prentice Hall.
Vasudev, C. 2006. Graph Theory with Applications. New Delhi: New Age
International Publishers.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Konsep graf yang sederhana dapat digunakan untuk menggambarkan suatu
hubungan antara objek-objek. Graf juga dapat digambarkan dengan berbagai cara.
Teori graf mempunyai banyak aplikasi di berbagai disiplin ilmu, seperti kimia,
fisika, teknik, teknologi komputer, ekonomi, dan masih banyak yang lain untuk
memudahkan menyelesaikan permasalahan. Teori graf juga berkaitan dengan
beberapa cabang ilmu matematika yang lainnya, misalnya matrik, metode
numerik, peluang, topologi, dan kombinatorika. Aplikasi graf yang begitu luas
menjadikan graf dapat digunakan di berbagai disiplin ilmu maupun kehidupan
sehari-hari untuk memodelkan permasalahan.
Teori graf pertama kali dikenalkan pada tahun 1736 oleh seorang
matematikawan Swiss bernama Leonhard Euler. Teori graf pertama muncul
digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg yang tidak bisa
dipecahkan
dengan
menggunakan
pendekatan
matematika
klasik.
Ia
menggambarkan sebuah diagram untuk menggambarkan jembatan Konigsberg
dan dengan bantuan diagram tersebut permasalahan terpecahkan (Harris dkk,
2008).
Secara sederhana, graf merupakan himpunan titik dan sisi. Sedangkan
secara formal, graf
didefinisikan sebagai pasangan himpunan
)
)).
) adalah himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut
titik. Sedangkan
yang berbeda di
apabila
)
) adalah himpunan pasangan tak berurutan dari titik-titik
) yang disebut sisi (Abdussakir dkk, 2009). Hal khusus,
(tidak memiliki sisi) maka dalam kasus ini dinamakan graf
kosong (empty graph).
Secara garis besar pokok permasalahan yang berhubungan dengan graf
dapat diklasifikasikan menjadi empat bagian, yaitu: 1) Masalah eksistensi, yang
berhubungan dengan kemungkinan adanya suatu graf yang dapat dibuat atau
dibangun; 2) Masalah konstruksi, yang berhubungan dengan pembentukan atau
1
2
pengkonstruksian suatu graf; 3) Masalah enumerasi, yang berhubungan dengan
penghitungan atau pencacahan graf; dan 4) Masalah optimasi, yang berhubungan
dengan pengambilan keputusan (Aldous & Wilson, 2004).
Pokok permasalahan enumerasi memiliki dua tipe, yaitu masalah
menghitung berapa banyak objek tertentu dan masalah mencacah semua daftar
objek-objek. Secara umum, permasalahan menghitung dan mencacah sangat erat
hubungannya. Sebagai contoh, menghitung berapa banyak semua kemungkinan
dan kemudian mencacah atau mendaftar semua kemungkinan yang ada. Jika kita
menghitung kemungkinan dengan objek yang relatif kecil bisa dengan mudah kita
menghitung dan mendaftar semua kemungkinannya, namun apabila objek yang
ada banyak maka akan membutuhkan waktu dan usaha yang lebih untuk
menyelesaikannya. Oleh karena itu dibutuhkan suatu metode atau alat bantu untuk
mempermudah perhitungan atau menyelesaikan permasalahan enumerasi, yaitu
dengan menggunakan Teorema Polya.
Teorema Polya pertama kali digunakan untuk menentukan banyaknya
isomer pada senyawa hidrokarbon alkana pada bidang ilmu kimia. Teorema Polya
diperkenalkan pada tahun 1935 oleh seorang matematikawan berkebangsaan
Hungaria George Polya (1887-1985) (Gutman, 2008).
Teorema Polya dapat juga diterapkan dalam bidang teori graf. Salah
satunya adalah digunakan untuk menentukan banyak graf sederhana yang tidak
isomorfik. Secara umum, suatu graf dikatakan sederhana jika graf tersebut tidak
memiliki sisi ganda dan loop.
Gambar 1.1 Contoh graf (a) graf dengan loop dan (b) graf sederhana.
3
Gambar 1.1 bagian (a) di atas bukan merupakan graf sederhana karena
memiliki loop. Karena pada Gambar 1.1 bagian (b) tidak terdapat loop, maka (b)
merupakan graf sederhana.
Dua buah graf,
dan
dikatakan isomorfik jika kedua graf terdapat
korespondensi satu-satu antara titik-titik keduanya dan antara sisi-sisi keduanya
sedemikian sehingga jika sisi
yang berkoresponden di
bersisian dengan titik
dan
di
juga harus bersisian dengan titik
, maka sisi
dan
di
(Munir, 2009).
Gambar 1.2 (a) isomorfik dengan (b), tetapi (a) tidak isomorfik dengan (c).
Tulisan ini merupakan penggabungan dua bidang, yaitu aljabar abstrak dan
teori graf. Aljabar abstrak melalui teorema Polya akan digunakan untuk
menyelesaikan masalah enumerasi pada graf sederhana. Selain itu, Tulisan ini
akan membahas mengenai menentukan banyak graf sederhana yang saling tidak
isomorfik dengan menggunakan Teorema Polya I dan mencacah atau mendaftar
semua bentuk graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan menggunakan
Teorema Polya II. Penelitian sebelumnya juga telah mengaplikasikan Teorema
Polya dalam menentukan banyak graf sederhana yang tidak saling isomorfik
dengan 5 titik (Ni’mah, 2013). Oleh karena itu, tulisan ini melanjutkan penelitian
sebelumnya yaitu mengaplikasikan Teorema Polya dalam menentukan banyak
graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan jumlah maksimal titik adalah 6
titik.
Langkah awal yang digunakan dalam tulisan ini adalah menentukan suatu
himpunan yang terdiri dari 6 titik, kemudian menguraikan grup simetri, tipe
permutasi, indeks sikel polinomial suatu grup sehingga diperoleh persamaan
4
indeks sikel polinomial. Selanjutnya, persamaan indeks sikel polinomial
diaplikasikan pada teorema Polya I dan II untuk mengetahui banyak graf
sederhana yang saling tidak isomorfik serta bentuk-bentuknya.
Berdasarkan penjelasan dan latar belakang permasalahan yang telah
diuraikan, penulis bertujuan untuk mengetahui aplikasi Teorema Polya pada
enumerasi graf sederhana dengan jumlah maksimal titik adalah 6 titik dengan
judul penelitian “Aplikasi Teorema Polya dalam Menentukan Banyak Graf
Sederhana yang Tidak Isomorfik”.
1.2. Rumusan Masalah
Teori graf mempunyai peranan yang sangat penting dalam kehidupan
sehari-hari. Pokok permasalahan yang sering digunakan untuk mengetahui berapa
banyak graf yang bisa terbentuk dan bentuk-bentuknya. Teorema Polya
merupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
enumerasi. Teorema Polya terdiri dari Teorema Polya I dan Teorema Polya II.
Berdasarkan uraian latar belakang di atas dapat dirumuskan masalah sebagai
berikut:
1. Bagaimana menentukan banyak graf sederhana yang tidak saling isomorfik
dengan menggunakan Teorema Polya I?
2. Bagaimana mengetahui bentuk-bentuk graf sederhana yang tidak saling
isomorfik dengan menggunakan Teorema Polya II?
1.3. Batasan Masalah
Untuk menghindari meluasnya pembahasan maka penulis membatasi
permasalahan. Pembahasan difokuskan pada menentukan banyak graf sederhana
yang tidak saling isomorfik dengan maksimal titik sebanyak 6 titik menggunakan
Teorema Polya I dan bentuk-bentuk graf sederhana yang tidak saling isomorfik
dengan maksimal titik sebanyak 6 titik menggunakan Teorema Polya II. Graf
sederhana yang digunakan adalah graf yang tidak memiliki loop.
5
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dirumuskan
mengenai aplikasi Teorema Polya pada enumerasi graf sederhana yang
menggunakan graf sikel dengan jumlah maksimal titik adalah 6 titik, maka tujuan
yang ingin dicapai oleh penulis ini adalah:
1. Mengetahui banyaknya graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan
menggunakan Teorema Polya I.
2. Mengetahui bentuk-bentuk graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan
menggunakan Teorema Polya II.
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat dalam pembuatan tulisan ini secara teori dan aplikasinya adalah
memberikan alternatif solusi dalam menyelesaikan permasalahan enumerasi graf,
yaitu menentukan banyaknya graf sederhana yang tidak saling isomorfik serta
bentuk-bentuknya dengan menggunakan Teorema Polya. Menambah referensi
untuk mengembangkan metode yang dapat digunakan untuk memecahkan
permasalahan yang berhubungan dengan graf. Dan penulisan ini diharapkan dapat
memberikan kontribusi bagi pengembangan teori graf.
Topik Tugas Akhir
Kajian Matematika Murni
APLIKASI TEOREMA POLYA DALAM MENENTUKAN
BANYAK GRAF SEDERHANA YANG TIDAK ISOMORFIK
TUGAS AKHIR
Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang
sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan
Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh:
FIKI ROUDLOTUL JANNAH
NIM: 201010060311047
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2014
MOTTO
“Dan mintalah pertolongan (kepada Allah SWT) dengan
sabar dan shalat. Dan sesungguhnya yang demikian itu
sungguh berat, kecuali bagi orang-orang yang khusyu’.”
(QS: Al-Baqarah: 45)
“Barang siapa menempuh jalan untuk mendapatkan ilmu,
Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga.”
(HR Muslim)
“Berangkat dengan penuh keyakinan. Berjalan dengan penuh keikhlasan.
Istiqomah dalam menghadapi cobaan.”
“YAKIN, IKHLAS, ISTIQOMAH.”
“Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang-orang tidak menyadari
betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan saat mereka menyerah.”
(Thomas Alfa Edison)
PERSEMBAHAN
Syukur alhamdulillah kepada Allah SWT. yang telah memberikan
rahmat dan karunia-Nya serta Rosulullah SAW. yang telah memberikan petunjuk
ke jalan yang terang dan benar sehingga penulis bisa menyelesaikan Tugas Akhir
ini. Dengan tulus ku persembahkan Tugas Akhir ini untuk:
1. Ayahanda Warsito dan Ibunda Tumini (Almh), terima kasih banyak atas do’a,
nasihat, semangat, dan kasih sayang kepadaku setiap waktu.
2. Adik-adikku tercinta Syaifullah Ahmad, M. Miftahul Huda, dan Nahdliyah S.
Jamilah, dengan candaan dan ulah mereka yang mampu membangkitkan
semangatku lagi.
3. Dosen-dosen program studi Pendidikan Matematika FKIP UMM yang telah
mendidik, membimbing dan memberikan arahan kepadaku selama ini.
4. Sahabat Seperjuanganku Ida Prawati, Mba Anggi, Mba Feni, Yoni Oktavia,
Devi Yolanda, Erni MS dan Frimadana S. Terima kasih atas kebersamaan,
candaan, motivasi, masukan ide serta dukungan yang kalian berikan.
5. Terimakasih juga untuk rekan-rekan sejawat (Matkom 2010, khususnya kelas
A) yang telah banyak memberikan dukungan dan sumbangan pikiran yang
bermanfaat dalam penulisan skripsi ini.
6. Sahabat Shohib Kos, Mba Umi, Mba Wiwik, Mba Devi, Mba Nika dan
seluruh penghuni Salsabila Apartment yang selalu menghibur, memberi
semangat dan menemani dengan candaan yang luar biasa.
7. Mamasku Dana YC beserta keluarga tercinta, terima kasih atas dukungan,
semangat, nasihat, dan kehadiranmu yang mampu memberi warna di hidupku
serta selalu mendengarkan keluh kesahku.
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas
rahmat, hidayah, dan inayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi
dengan judul “Aplikasi Teorema Polya dalam Menentukan Banyak Graf
Sederhana yang tidak Isomorfik”. Sholawat serta salam tercurahkan kepada
Rasulullah Muhammad SAW, keluarga serta sahabatnya.
Penulis menyadari bahwa Skripsi ini dapat terselesaikan berkat bimbingan,
bantuan, dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu dengan hati yang tulus
penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih kepada:
1. Dr. Yus M. Cholily, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan
waktu dan kesabaran dalam memberi bimbingan, pengarahan serta nasihat
kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
2. Drs. Hendarto Cahyono, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah
meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi bimbingan, pengarahan
serta nasihat kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
3. Teman-teman tercinta yang selalu memberi semangat dan pihak-pihak lain
yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang juga turut mendukung
terselesaikannya tugas akhir ini.
Penulis menyadari tentunya tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan.
Oleh karena, itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi
menjadikan skripsi ini lebih sempurna. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat
memberikan manfaat bagi pembaca pada umumnya dan bagi penulis pada
khususnya. Amin.
Malang, 14 Oktober 2014
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
LEMBAR PERSETUJUAN ............................................................................ ii
LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................. iii
SURAT PERNYATAAN ................................................................................. iv
MOTTO ............................................................................................................ v
LEMBAR PERSEMBAHAN .......................................................................... vi
KATA PENGANTAR ...................................................................................... vii
ABSTRAK ........................................................................................................ viii
DAFTAR ISI ..................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang .................................................................................... 1
1.2. Rumusan Masalah ............................................................................... 4
1.3. Batasan Masalah ................................................................................. 5
1.4. Tujuan Penelitian ................................................................................ 5
1.5. Manfaat Penelitian .............................................................................. 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Konsep Dasar Graf .............................................................................. 6
2.2. Macam-macam Graf ........................................................................... 12
2.3. Graf Isomorfik (Isomorphic Graph) ................................................... 13
2.4. Definisi dan Teorema Aljabar yang Mendukung Teorema Polya ...... 15
2.5. Teorema Polya .................................................................................... 23
2.6. Aplikasi Teorema Polya pada Graf Sederhana dengan Banyak Titik
........................................................................................... 27
BAB III PEMBAHASAN
3.1. Teorema Polya pada Graf Sederhana .................................................. 34
3.1.1. Aplikasi Teorema Polya I .......................................................... 39
3.1.2. Aplikasi Teorema Polya II ......................................................... 39
BAB IV PENUTUP
4.1. Kesimpulan ......................................................................................... 41
4.2. Saran ................................................................................................... 42
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 44
LAMPIRAN-LAMPIRAN .............................................................................. 45
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Contoh graf .................................................................................... 3
Gambar 1.2 (a) isomorfik dengan (b), tetapi (a) tidak isomorfik dengan (c) ..... 3
Gambar 2.1 Graf kosong
.............................................................................. 6
Gambar 2.2 Contoh representasi graf ................................................................ 7
Gambar 2.3 Contoh graf (a) graf dengan loop dan (b) graf sederhana .............. 7
Gambar 2.4 Contoh adjancent dan incident ...................................................... 8
Gambar 2.5 Contoh derajat titik ......................................................................... 8
Gambar 2.6 Contoh jalan, jejak, lintasan, dan sikel ........................................... 10
Gambar 2.7 Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung ........................... 11
Gambar 2.8 Graf lengkap
.......................................................... 12
Gambar 2.9 Graf teratur (a) Derajat 0, (b) Derajat 1, dan (c) Derajat 2 ............ 12
Gambar 2.10 Graf lingkaran
Gambar 2.11
isomorfik dengan
...................................................... 13
, tetapi
tidak isomorfik dengan
.... 13
Gambar 2.12 Dua buah graf yang tidak isomorfik ............................................. 14
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Elemen-elemen
......................................................................... 46
Lampiran 2: Pembangkit indeks sikel
Lampiran 3: Elemen-elemen
.......................................................................... 48
Lampiran 4: Pembangkit indeks sikel
Lampiran 5: Elemen-elemen
........................................................... 49
.......................................................................... 51
Lampiran 6: Pembangkit indeks sikel
Lampiran 7: Elemen-elemen
........................................................... 47
........................................................... 53
.......................................................................... 55
Lampiran 8: Bentuk-bentuk Graf Sederhana yang tidak saling Isomorfik ........ 64
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir, Azizah, Nilna Niswatin., dan Nofandika, Fifi Framelia. 2009. Teori
Graf Topik Dasar untuk Tugas Akhir/Skripsi. Malang: UIN-Malang Press.
Aldous, Joan M. dan Wilson, Robin J. 2004. Graphs and Applications an
Introductory Approach. London: Springer.
Beachy, John A. dan Blair, William D. 2006. Abstract Algebra Third Edition.
Long Grove: Waveland Press.
Cahyono, Hendarto. 2000. Pengantar Teori Graph. Malang: Universitas
Muhammadiyah Malang.
Gutman, Ivan. 2008. The Chemical Formula
and Its Mathematical
background. The Teaching of Mathematics Vol. XI No. 2 Hal. 53-61.
Harris, John, Hirst, Jeffry L., dan Mossinghoff, Michael. 2008. Combinatorics and
Graph Theory. New York: Springer.
Judson, Thomas W. 2009. Abstract Algebra Theory and Applications. Boston:
GNU Free Documentation Lisence.
Lipschutz, Seymour, dan Lipson, Marc. 2007. Schaum’s Outlines of Theory and
Problems of Discrete Mathematics. New York: McGRAW-HILL.
Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.
Ni’mah, Khomsiatun. 2013. Aplikasi Teorema Polya untuk Menghitung
Banyaknya Graf Sederhana yang Tidak Isomorfik. Cakrawala Pendidikan
Vol. 15, No. 2 Oktober 2013, Hal. 184-193.
Riyanto, M. Zaki. 2011. Pengantar Aljabar Abstrak I: Pendahuluan Teori Grup.
Hal. 18-23.
Rotman, Joseph J. 2005. A First Course in Abstract Algebra Third Edition.
Urbana: Prentice Hall.
Vasudev, C. 2006. Graph Theory with Applications. New Delhi: New Age
International Publishers.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Konsep graf yang sederhana dapat digunakan untuk menggambarkan suatu
hubungan antara objek-objek. Graf juga dapat digambarkan dengan berbagai cara.
Teori graf mempunyai banyak aplikasi di berbagai disiplin ilmu, seperti kimia,
fisika, teknik, teknologi komputer, ekonomi, dan masih banyak yang lain untuk
memudahkan menyelesaikan permasalahan. Teori graf juga berkaitan dengan
beberapa cabang ilmu matematika yang lainnya, misalnya matrik, metode
numerik, peluang, topologi, dan kombinatorika. Aplikasi graf yang begitu luas
menjadikan graf dapat digunakan di berbagai disiplin ilmu maupun kehidupan
sehari-hari untuk memodelkan permasalahan.
Teori graf pertama kali dikenalkan pada tahun 1736 oleh seorang
matematikawan Swiss bernama Leonhard Euler. Teori graf pertama muncul
digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg yang tidak bisa
dipecahkan
dengan
menggunakan
pendekatan
matematika
klasik.
Ia
menggambarkan sebuah diagram untuk menggambarkan jembatan Konigsberg
dan dengan bantuan diagram tersebut permasalahan terpecahkan (Harris dkk,
2008).
Secara sederhana, graf merupakan himpunan titik dan sisi. Sedangkan
secara formal, graf
didefinisikan sebagai pasangan himpunan
)
)).
) adalah himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut
titik. Sedangkan
yang berbeda di
apabila
)
) adalah himpunan pasangan tak berurutan dari titik-titik
) yang disebut sisi (Abdussakir dkk, 2009). Hal khusus,
(tidak memiliki sisi) maka dalam kasus ini dinamakan graf
kosong (empty graph).
Secara garis besar pokok permasalahan yang berhubungan dengan graf
dapat diklasifikasikan menjadi empat bagian, yaitu: 1) Masalah eksistensi, yang
berhubungan dengan kemungkinan adanya suatu graf yang dapat dibuat atau
dibangun; 2) Masalah konstruksi, yang berhubungan dengan pembentukan atau
1
2
pengkonstruksian suatu graf; 3) Masalah enumerasi, yang berhubungan dengan
penghitungan atau pencacahan graf; dan 4) Masalah optimasi, yang berhubungan
dengan pengambilan keputusan (Aldous & Wilson, 2004).
Pokok permasalahan enumerasi memiliki dua tipe, yaitu masalah
menghitung berapa banyak objek tertentu dan masalah mencacah semua daftar
objek-objek. Secara umum, permasalahan menghitung dan mencacah sangat erat
hubungannya. Sebagai contoh, menghitung berapa banyak semua kemungkinan
dan kemudian mencacah atau mendaftar semua kemungkinan yang ada. Jika kita
menghitung kemungkinan dengan objek yang relatif kecil bisa dengan mudah kita
menghitung dan mendaftar semua kemungkinannya, namun apabila objek yang
ada banyak maka akan membutuhkan waktu dan usaha yang lebih untuk
menyelesaikannya. Oleh karena itu dibutuhkan suatu metode atau alat bantu untuk
mempermudah perhitungan atau menyelesaikan permasalahan enumerasi, yaitu
dengan menggunakan Teorema Polya.
Teorema Polya pertama kali digunakan untuk menentukan banyaknya
isomer pada senyawa hidrokarbon alkana pada bidang ilmu kimia. Teorema Polya
diperkenalkan pada tahun 1935 oleh seorang matematikawan berkebangsaan
Hungaria George Polya (1887-1985) (Gutman, 2008).
Teorema Polya dapat juga diterapkan dalam bidang teori graf. Salah
satunya adalah digunakan untuk menentukan banyak graf sederhana yang tidak
isomorfik. Secara umum, suatu graf dikatakan sederhana jika graf tersebut tidak
memiliki sisi ganda dan loop.
Gambar 1.1 Contoh graf (a) graf dengan loop dan (b) graf sederhana.
3
Gambar 1.1 bagian (a) di atas bukan merupakan graf sederhana karena
memiliki loop. Karena pada Gambar 1.1 bagian (b) tidak terdapat loop, maka (b)
merupakan graf sederhana.
Dua buah graf,
dan
dikatakan isomorfik jika kedua graf terdapat
korespondensi satu-satu antara titik-titik keduanya dan antara sisi-sisi keduanya
sedemikian sehingga jika sisi
yang berkoresponden di
bersisian dengan titik
dan
di
juga harus bersisian dengan titik
, maka sisi
dan
di
(Munir, 2009).
Gambar 1.2 (a) isomorfik dengan (b), tetapi (a) tidak isomorfik dengan (c).
Tulisan ini merupakan penggabungan dua bidang, yaitu aljabar abstrak dan
teori graf. Aljabar abstrak melalui teorema Polya akan digunakan untuk
menyelesaikan masalah enumerasi pada graf sederhana. Selain itu, Tulisan ini
akan membahas mengenai menentukan banyak graf sederhana yang saling tidak
isomorfik dengan menggunakan Teorema Polya I dan mencacah atau mendaftar
semua bentuk graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan menggunakan
Teorema Polya II. Penelitian sebelumnya juga telah mengaplikasikan Teorema
Polya dalam menentukan banyak graf sederhana yang tidak saling isomorfik
dengan 5 titik (Ni’mah, 2013). Oleh karena itu, tulisan ini melanjutkan penelitian
sebelumnya yaitu mengaplikasikan Teorema Polya dalam menentukan banyak
graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan jumlah maksimal titik adalah 6
titik.
Langkah awal yang digunakan dalam tulisan ini adalah menentukan suatu
himpunan yang terdiri dari 6 titik, kemudian menguraikan grup simetri, tipe
permutasi, indeks sikel polinomial suatu grup sehingga diperoleh persamaan
4
indeks sikel polinomial. Selanjutnya, persamaan indeks sikel polinomial
diaplikasikan pada teorema Polya I dan II untuk mengetahui banyak graf
sederhana yang saling tidak isomorfik serta bentuk-bentuknya.
Berdasarkan penjelasan dan latar belakang permasalahan yang telah
diuraikan, penulis bertujuan untuk mengetahui aplikasi Teorema Polya pada
enumerasi graf sederhana dengan jumlah maksimal titik adalah 6 titik dengan
judul penelitian “Aplikasi Teorema Polya dalam Menentukan Banyak Graf
Sederhana yang Tidak Isomorfik”.
1.2. Rumusan Masalah
Teori graf mempunyai peranan yang sangat penting dalam kehidupan
sehari-hari. Pokok permasalahan yang sering digunakan untuk mengetahui berapa
banyak graf yang bisa terbentuk dan bentuk-bentuknya. Teorema Polya
merupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
enumerasi. Teorema Polya terdiri dari Teorema Polya I dan Teorema Polya II.
Berdasarkan uraian latar belakang di atas dapat dirumuskan masalah sebagai
berikut:
1. Bagaimana menentukan banyak graf sederhana yang tidak saling isomorfik
dengan menggunakan Teorema Polya I?
2. Bagaimana mengetahui bentuk-bentuk graf sederhana yang tidak saling
isomorfik dengan menggunakan Teorema Polya II?
1.3. Batasan Masalah
Untuk menghindari meluasnya pembahasan maka penulis membatasi
permasalahan. Pembahasan difokuskan pada menentukan banyak graf sederhana
yang tidak saling isomorfik dengan maksimal titik sebanyak 6 titik menggunakan
Teorema Polya I dan bentuk-bentuk graf sederhana yang tidak saling isomorfik
dengan maksimal titik sebanyak 6 titik menggunakan Teorema Polya II. Graf
sederhana yang digunakan adalah graf yang tidak memiliki loop.
5
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dirumuskan
mengenai aplikasi Teorema Polya pada enumerasi graf sederhana yang
menggunakan graf sikel dengan jumlah maksimal titik adalah 6 titik, maka tujuan
yang ingin dicapai oleh penulis ini adalah:
1. Mengetahui banyaknya graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan
menggunakan Teorema Polya I.
2. Mengetahui bentuk-bentuk graf sederhana yang tidak saling isomorfik dengan
menggunakan Teorema Polya II.
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat dalam pembuatan tulisan ini secara teori dan aplikasinya adalah
memberikan alternatif solusi dalam menyelesaikan permasalahan enumerasi graf,
yaitu menentukan banyaknya graf sederhana yang tidak saling isomorfik serta
bentuk-bentuknya dengan menggunakan Teorema Polya. Menambah referensi
untuk mengembangkan metode yang dapat digunakan untuk memecahkan
permasalahan yang berhubungan dengan graf. Dan penulisan ini diharapkan dapat
memberikan kontribusi bagi pengembangan teori graf.