ANALISIS GRAF DALAM MENENTUKAN GRAF PERFECT.
i
iii
ANALISI GRAF DALAM MENENTUKAN GRAF PERFECT
ROIMAN LUMBANRAJA
4103230031
ABSTRAK
Salah satu aplikasi dari bilangan clique dan bilangan khromatik suatu graf
adalah pada graf perfect. Graf perfect adalah suatu graf yang memiliki bilangan
clique dan bilangan khromatik yang sama. Bilangan clique ω(G ) didefinisikan
sebagai order maksimum dari subgraf komplit pada graf G. Bilangan Kromatik χ(G )
adalah banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai titik-titik pada
graf G sedemikian sehingga setiap titik-titik yang terhubung langsung mendapatkan
warna yang berbeda.
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis suatu graf yang memuat sirkuit
Euler atau sirkuit Hamilton merupakan graf perfect atau bukan. Sirkuit Euler adalah
sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali dan sirkuit Hamilton adalah
sirkuit yang melalui tiap titik di dalam graf tepat satu kali.
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini diperoleh bahwa graf yang
memuat sirkuit Euler adalah graf perfect sedangkan graf yang memuat sirkuit
Hamilton bukan merupakan graf perfect.
.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
i
Riwayat Hidup
ii
Abstrak
iii
Kata Pengantar
iv
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
viii
Daftar Tabel
ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
1
1.2. Rumusan Masalah
3
1.3. Batasan masalah
3
1.4. Tujuan Penelitian
3
1.5. Manfaat Penelitian
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Graf
4
2.2. Jenis-jenis Graf
4
2.3. Terminologi Dasar
6
2.3.1. Bertetangga (Adjacent) dan Bersisian (Incident)
6
2.3.2. Derajat
7
2.3.3. Path dan Sirkuit
9
2.3.4. Graf Terhubung (Connected Graph)
10
2.4. Graf Komplit
10
2.5. Subgraf
11
2.6. Cilque
13
2.7. Sirkuit Euler
14
2.8. Sirkuit Hamilton
16
2.9. Pewarnaan Graf
17
2.9.1. Pewarnaan Titik
17
vii
2.9.2. Pewarnaan Sisi
18
2.9.3. Pewarnaan Wilayah (Map)
19
2.10.
20
Graf Perfect
BAB III METODE PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian
22
3.2. Jenis Penelitian
22
3.3. Prosedur Penelitian
22
BAB IV PEMBAHASAN
4.1. Analisis Sirkuit Euler
24
4.1.1
Sirkuit Euler Sederhana
24
4.1.2
Sirkuit Euler Maksimum dengan Jumlah Titik Ganjil
33
4.1.3
Sirkuit Euler Maksimum dengan Titik Genap
42
4.2. Analisis Sirkuit Hamilton
50
4.2.1
Sirkuit Hamilton Sederhana
50
4.2.2
Sirkuit Hamilton pada Graf Dodecahedron
56
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
60
5.2 Saran
60
DAFTAR PUSTAKA
61
ix
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Sirkuit Euler sederhana dengan bilangan clique ( ( ))
dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.2 Sirkuit Euler maksimum dengan jumlah titik ganjil beserta
bilangan clique ( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.3 Sirkuit Euler maksimum dengan jumlah titik genap beserta
bilangan clique ( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.4 Sirkuit Hamilton sederhana dengan bilangan clique ( ( ))
dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.5 Sirkuit Hamilton pada graf dodecahedron dengan
bilangan clique ( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
33
41
48
57
59
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Titik dan sisi pada graf
4
Gambar 2.2 (a) Graf ganda, (b) Graf semu
5
Gambar 2.3 Graf berarah
6
Gambar 2.4 Titik dan sisi yang adjacent dan incident
7
Gambar 2.5 Derajat suatu graf
7
Gambar 2.6 Path pada graf
9
Gambar 2.7 (a) Graf terhubung, (b) Graf tak-terhubung
10
Gambar 2.8 Graf komplit
11
Gambar 2.9 Graf
dengan
subgrafnya dan
bukan subgrafnya
12
Gambar 2.10 Penghapusan tiik dan sisi pada graf
13
Gambar 2.11 Graf
13
dan subgraf komplitnya
Gambar 2.12 Graf yang mempunyai sirkuit Euler
15
Gambar 2.13 (a) graf yang memiliki lintasan Hamilton
16
(b) graf yang memiliki sirkuit Hamilton
(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
Gambar 2.14 Graf dari dodecahedron
16
Gambar 2.15 Pewarnaan titik pada graf
18
Gambar 2.16 Pewarnaan sisi pada graf
19
Gambar 2.17 Pewarnaan wilayah pada graf
19
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Semakin berkembangnya zaman, semakin banyak permasalahan-
permasalahan yang
dihadapi manusia. Permasalahan-permasalahan tersebut
menyangkut berbagai aspek, dimana dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah
pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu. Salah satunya adalah
ilmu matematika. Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian
dan pemahaman masalah. Dalam bahasan matematika, suatu masalah dapat
menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan.
Untuk keperluan tersebut, pertama dicari pokok masalahnya, kemudian dibuat
rumusan atau model matematikanya.
Salah satu cabang ilmu matematika yang bermanfaat dalam kehidupan
sehari-hari dan menarik untuk dipelajari adalah teori graf. Teori graf merupakan
pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai
saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan
hubungan antara obyek-obyek tersebut. Representasi visual dari graf adalah
dengan menyatakan obyek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik,
sedangkan hubungan antara obyek dinyatakan dengan sisi. Sebagai contoh adalah
sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota.
Sesungguhnya peta tersebut adalah sebuah graf, yang dalam hal ini kota
dinyatakan sebagai titik sedangkan jalan dinyatakan sebagai sisi.
Seiring dengan perkembangan teori tentang graf, jenis-jenis graf pun
semakin banyak. Dimulai dari graf sederhana, graf ganda dan hingga
ditemukannya graf komplit. Bahkan masih banyak lagi graf yang lain seperti
sirkuit Euler, sirkuit Hamilton, pohon dan lain-lain. Dari sekian banyaknya graf,
penulis tertarik untuk meneliti/menganalisis apakah graf tersebut termasuk graf
perfect atau bukan.
Graf perfect adalah graf yang memiliki bilangan clique dan bilangan
kromatik yang sama. Bilangan clique didefinisikan sebagai order maksimum dari
1
2
subgraf komplit pada graf G. Sedangkan bilangan kromatik didefinisikan sebagai
banyaknya warna terkecil yang diberikan pada titik-titik di graf G sedemikian
hingga untuk setiap dua titik yang terhubung langsung mendapatkan warna yang
berbeda.
Clique adalah sebuah subgraf komplit yang diperoleh dari suatu graf.
Setiap titik tersebut saling terhubung satu sama lain dengan titik lainnya.
Beberapa penerapan clique meliputi solusi permasalahan struktur molekul DNA,
pemrosesan citra dalam pengaturan jarak jauh, penyocokan titik koordinat dalam
sistem informasi, permasalahan partisi data dalam kepingan memori dan lainlainnya.
Pewarnaan graf adalah suatu pemberian warna pada salah satu elemenelemennya (titik, sisi dan wilayah), sehingga elemen-elemen yang saling
terhubung langsung mendapatkan warna yang berbeda. Pewarnaan graf telah
banyak diterapkan dalam berbagai bidang antara lain permasalahan traffict light,
masalah penjadwalan, masalah permainan catur dan lain-lain. Ada tiga macam
persoalan pewarnaan graf (graph colouring), yaitu pewarnaan titik (vertex),
pewarnaan sisi (edge), dan pewarnaan wilayah (region). Namun , berkaitan
dengan masalah dalam penelitian ini akan dibahas tentang pewarnaan titik.
Pewarnaan titik pada graf adalah memberi warna pada titik-titik suatu graf
sedemikian sehingga tidak ada dua titik bertetangga yang memiliki warna yang
sama.
Pada artikel Nurul Imamah telah dibahas tentang analis tentang graf
perfect, dimana dalam artikel ini diperoleh bahwa graf kosong, graf komplit, graf
bipartit komplit, graf sikel genap dan graf lintasan adalah graf perfect. Namun,
Nurul Imamah belum mengkaji apakah sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton
merupakan graf perfect atau bukan.
Dari hal di atas peneliti tertarik untuk menerapkan clique dan pewarnaan
graf dalam menentukan graf perfect, yaitu dengan mencari bilangan clique dan
bilangan kromatik pada graf yang akan dianalisis.
3
Kajian tentang graf perfect saat ini masih belum begitu banyak dikenal
oleh orang. Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mengambil judul skripsi,
yaitu: “Analisis Graf dalam Menentukan Graf Perfect”
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas dapat ditarik rumusan
permasalahan yang akan dibahas, yaitu bagaimana menentukan suatu graf yang
memuat sirkuit Euler atau sirkuit Hamilton merupakan graf perfect atau bukan.
1.3
Batasan Masalah
Untuk tetap menjaga kedalaman pembahasan materi, penulisan tugas
akhir ini dibatasi pada obyek kajian sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton. Dalam
teori graf, istilah yang dipakai bermacam-macam. Namun istilah-istilah yang
digunakan penulis adalah:
1. Titik
2. Sisi
1.4
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis suatu graf yang
memuat sirkuit Euler atau sirkuit Hamilton merupakan graf perfect atau bukan.
1.5
Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini, yaitu:
1. Bagi Penulis
-
Menambah wawasan dan ilmu pengetahuan tentang teori graf
perfect.
2. Bagi Jurusan Matematika
-
Sebagai bahan pustaka tentang kajian graf perfect.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
1.1
Kesimpulan
Graf perfect adalah suatu graf yang memiliki bilangan clique dan
bilangan khromatik yang sama untuk setiap graf
dengan
. Bilangan clique dinotasikan
( ) didefinisikan sebagai order dari subgraf komplit maximum dari graf
dinotasikan dengan ( )didefinisikan
. Bilangan khromatik suatu graf
sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk mewarnai titik-titik
pada graf
, sedemikian sehingga setiap titik-titik yang terhubung langsung
mendapatkan warna yang berbeda.
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini diperoleh bahwa graf yang memuat
sirkuit Euler adalah graf perfect karena bilangan clique dan bilangan kromatiknya
sama, sedangkan graf yang memuat sirkuit Hamilton bukan merupakan graf
perfect karena bilangan clique dan bilangan kromatiknya tidak sama.
1.2
Saran
Berdasarkan pembahasan yang dilaksanakan, penulis menyarankan agar
analisis graf perfect dapat dilanjutkan kepada pembuktian berbagai macam graf
yang lain seperti graf berbobot dan graf berarah dan dapat juga dibuat dalam
aplikasi komputer.
60
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand, G and Lesniak L. 1986. Graphs and Digraphs Second Edition.
California: a Division of Wadsworth, Inc.
Goodaire, E.G and Parmenter M. 2008. Discrete Mathematics with Graph Theory,
Third Edition. New Delhi: Prentice-Hall.
Imamah, N. 2011. Analisis Tentang Graf Perfect. Jombang: Gamatika Vol.II
Jhonsonbaugh, R. 2001. Discrete Mathematics, Fifth Edition. United State of
Amerika: Prentice-Hall.
Lipschutz, S dan Marc L. 2002. Matematika Diskrit 2. Jakarta: Salemba Teknika.
Liu, C.L dan Mohaprata, D.P. 2008. Elements of Discrete Mathematics. New
Dehli: Tata McGraw-Hill Companies, Inc.
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga . Bandung:Informatika
Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Penerbit ANDI
Simpson, A. 2002. Discrete Mathematics. Singapore: McGraw-Hill Companies.
West D.B. 2002. Introduction to Graph Theory. New Dehli: Prince-Hall of India
Wijaya A.L. 2003. Pencarian Clique dalam Graf. Bandung: Institut Teknologi
Bandung Vol.III
61
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Harian, pada tanggal 21 Oktober 1990. Ayah bernama Yohannes
Lumbanraja dan Ibu bernama Sedi Situmorang , dan merupakan anak kedua dari lima
bersaudara. Pada tahun 1997, penulis masuk SD Negeri 2 No. 173693 Harian, dan lulus pada
tahun 2003. Pada tahun 2003, penulis melanjutkan sekolah SMP Negeri 1 Nainggolan, dan lulus
tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis melanjutkan sekolah SMA SMA Negeri 1 Onanrunggu,
dan lulus pada tahun 2009. Pada tahun 2010, penulis diterima di Program Studi Matematika
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri
Medan.
iii
ANALISI GRAF DALAM MENENTUKAN GRAF PERFECT
ROIMAN LUMBANRAJA
4103230031
ABSTRAK
Salah satu aplikasi dari bilangan clique dan bilangan khromatik suatu graf
adalah pada graf perfect. Graf perfect adalah suatu graf yang memiliki bilangan
clique dan bilangan khromatik yang sama. Bilangan clique ω(G ) didefinisikan
sebagai order maksimum dari subgraf komplit pada graf G. Bilangan Kromatik χ(G )
adalah banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai titik-titik pada
graf G sedemikian sehingga setiap titik-titik yang terhubung langsung mendapatkan
warna yang berbeda.
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis suatu graf yang memuat sirkuit
Euler atau sirkuit Hamilton merupakan graf perfect atau bukan. Sirkuit Euler adalah
sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali dan sirkuit Hamilton adalah
sirkuit yang melalui tiap titik di dalam graf tepat satu kali.
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini diperoleh bahwa graf yang
memuat sirkuit Euler adalah graf perfect sedangkan graf yang memuat sirkuit
Hamilton bukan merupakan graf perfect.
.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan
i
Riwayat Hidup
ii
Abstrak
iii
Kata Pengantar
iv
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
viii
Daftar Tabel
ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
1
1.2. Rumusan Masalah
3
1.3. Batasan masalah
3
1.4. Tujuan Penelitian
3
1.5. Manfaat Penelitian
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Graf
4
2.2. Jenis-jenis Graf
4
2.3. Terminologi Dasar
6
2.3.1. Bertetangga (Adjacent) dan Bersisian (Incident)
6
2.3.2. Derajat
7
2.3.3. Path dan Sirkuit
9
2.3.4. Graf Terhubung (Connected Graph)
10
2.4. Graf Komplit
10
2.5. Subgraf
11
2.6. Cilque
13
2.7. Sirkuit Euler
14
2.8. Sirkuit Hamilton
16
2.9. Pewarnaan Graf
17
2.9.1. Pewarnaan Titik
17
vii
2.9.2. Pewarnaan Sisi
18
2.9.3. Pewarnaan Wilayah (Map)
19
2.10.
20
Graf Perfect
BAB III METODE PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian
22
3.2. Jenis Penelitian
22
3.3. Prosedur Penelitian
22
BAB IV PEMBAHASAN
4.1. Analisis Sirkuit Euler
24
4.1.1
Sirkuit Euler Sederhana
24
4.1.2
Sirkuit Euler Maksimum dengan Jumlah Titik Ganjil
33
4.1.3
Sirkuit Euler Maksimum dengan Titik Genap
42
4.2. Analisis Sirkuit Hamilton
50
4.2.1
Sirkuit Hamilton Sederhana
50
4.2.2
Sirkuit Hamilton pada Graf Dodecahedron
56
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
60
5.2 Saran
60
DAFTAR PUSTAKA
61
ix
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Sirkuit Euler sederhana dengan bilangan clique ( ( ))
dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.2 Sirkuit Euler maksimum dengan jumlah titik ganjil beserta
bilangan clique ( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.3 Sirkuit Euler maksimum dengan jumlah titik genap beserta
bilangan clique ( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.4 Sirkuit Hamilton sederhana dengan bilangan clique ( ( ))
dan bilangan kromatik ( ( ))
Tabel 4.5 Sirkuit Hamilton pada graf dodecahedron dengan
bilangan clique ( ( )) dan bilangan kromatik ( ( ))
33
41
48
57
59
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Titik dan sisi pada graf
4
Gambar 2.2 (a) Graf ganda, (b) Graf semu
5
Gambar 2.3 Graf berarah
6
Gambar 2.4 Titik dan sisi yang adjacent dan incident
7
Gambar 2.5 Derajat suatu graf
7
Gambar 2.6 Path pada graf
9
Gambar 2.7 (a) Graf terhubung, (b) Graf tak-terhubung
10
Gambar 2.8 Graf komplit
11
Gambar 2.9 Graf
dengan
subgrafnya dan
bukan subgrafnya
12
Gambar 2.10 Penghapusan tiik dan sisi pada graf
13
Gambar 2.11 Graf
13
dan subgraf komplitnya
Gambar 2.12 Graf yang mempunyai sirkuit Euler
15
Gambar 2.13 (a) graf yang memiliki lintasan Hamilton
16
(b) graf yang memiliki sirkuit Hamilton
(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
Gambar 2.14 Graf dari dodecahedron
16
Gambar 2.15 Pewarnaan titik pada graf
18
Gambar 2.16 Pewarnaan sisi pada graf
19
Gambar 2.17 Pewarnaan wilayah pada graf
19
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Semakin berkembangnya zaman, semakin banyak permasalahan-
permasalahan yang
dihadapi manusia. Permasalahan-permasalahan tersebut
menyangkut berbagai aspek, dimana dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah
pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu. Salah satunya adalah
ilmu matematika. Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian
dan pemahaman masalah. Dalam bahasan matematika, suatu masalah dapat
menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan.
Untuk keperluan tersebut, pertama dicari pokok masalahnya, kemudian dibuat
rumusan atau model matematikanya.
Salah satu cabang ilmu matematika yang bermanfaat dalam kehidupan
sehari-hari dan menarik untuk dipelajari adalah teori graf. Teori graf merupakan
pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai
saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan
hubungan antara obyek-obyek tersebut. Representasi visual dari graf adalah
dengan menyatakan obyek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik,
sedangkan hubungan antara obyek dinyatakan dengan sisi. Sebagai contoh adalah
sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota.
Sesungguhnya peta tersebut adalah sebuah graf, yang dalam hal ini kota
dinyatakan sebagai titik sedangkan jalan dinyatakan sebagai sisi.
Seiring dengan perkembangan teori tentang graf, jenis-jenis graf pun
semakin banyak. Dimulai dari graf sederhana, graf ganda dan hingga
ditemukannya graf komplit. Bahkan masih banyak lagi graf yang lain seperti
sirkuit Euler, sirkuit Hamilton, pohon dan lain-lain. Dari sekian banyaknya graf,
penulis tertarik untuk meneliti/menganalisis apakah graf tersebut termasuk graf
perfect atau bukan.
Graf perfect adalah graf yang memiliki bilangan clique dan bilangan
kromatik yang sama. Bilangan clique didefinisikan sebagai order maksimum dari
1
2
subgraf komplit pada graf G. Sedangkan bilangan kromatik didefinisikan sebagai
banyaknya warna terkecil yang diberikan pada titik-titik di graf G sedemikian
hingga untuk setiap dua titik yang terhubung langsung mendapatkan warna yang
berbeda.
Clique adalah sebuah subgraf komplit yang diperoleh dari suatu graf.
Setiap titik tersebut saling terhubung satu sama lain dengan titik lainnya.
Beberapa penerapan clique meliputi solusi permasalahan struktur molekul DNA,
pemrosesan citra dalam pengaturan jarak jauh, penyocokan titik koordinat dalam
sistem informasi, permasalahan partisi data dalam kepingan memori dan lainlainnya.
Pewarnaan graf adalah suatu pemberian warna pada salah satu elemenelemennya (titik, sisi dan wilayah), sehingga elemen-elemen yang saling
terhubung langsung mendapatkan warna yang berbeda. Pewarnaan graf telah
banyak diterapkan dalam berbagai bidang antara lain permasalahan traffict light,
masalah penjadwalan, masalah permainan catur dan lain-lain. Ada tiga macam
persoalan pewarnaan graf (graph colouring), yaitu pewarnaan titik (vertex),
pewarnaan sisi (edge), dan pewarnaan wilayah (region). Namun , berkaitan
dengan masalah dalam penelitian ini akan dibahas tentang pewarnaan titik.
Pewarnaan titik pada graf adalah memberi warna pada titik-titik suatu graf
sedemikian sehingga tidak ada dua titik bertetangga yang memiliki warna yang
sama.
Pada artikel Nurul Imamah telah dibahas tentang analis tentang graf
perfect, dimana dalam artikel ini diperoleh bahwa graf kosong, graf komplit, graf
bipartit komplit, graf sikel genap dan graf lintasan adalah graf perfect. Namun,
Nurul Imamah belum mengkaji apakah sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton
merupakan graf perfect atau bukan.
Dari hal di atas peneliti tertarik untuk menerapkan clique dan pewarnaan
graf dalam menentukan graf perfect, yaitu dengan mencari bilangan clique dan
bilangan kromatik pada graf yang akan dianalisis.
3
Kajian tentang graf perfect saat ini masih belum begitu banyak dikenal
oleh orang. Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mengambil judul skripsi,
yaitu: “Analisis Graf dalam Menentukan Graf Perfect”
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas dapat ditarik rumusan
permasalahan yang akan dibahas, yaitu bagaimana menentukan suatu graf yang
memuat sirkuit Euler atau sirkuit Hamilton merupakan graf perfect atau bukan.
1.3
Batasan Masalah
Untuk tetap menjaga kedalaman pembahasan materi, penulisan tugas
akhir ini dibatasi pada obyek kajian sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton. Dalam
teori graf, istilah yang dipakai bermacam-macam. Namun istilah-istilah yang
digunakan penulis adalah:
1. Titik
2. Sisi
1.4
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis suatu graf yang
memuat sirkuit Euler atau sirkuit Hamilton merupakan graf perfect atau bukan.
1.5
Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini, yaitu:
1. Bagi Penulis
-
Menambah wawasan dan ilmu pengetahuan tentang teori graf
perfect.
2. Bagi Jurusan Matematika
-
Sebagai bahan pustaka tentang kajian graf perfect.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
1.1
Kesimpulan
Graf perfect adalah suatu graf yang memiliki bilangan clique dan
bilangan khromatik yang sama untuk setiap graf
dengan
. Bilangan clique dinotasikan
( ) didefinisikan sebagai order dari subgraf komplit maximum dari graf
dinotasikan dengan ( )didefinisikan
. Bilangan khromatik suatu graf
sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk mewarnai titik-titik
pada graf
, sedemikian sehingga setiap titik-titik yang terhubung langsung
mendapatkan warna yang berbeda.
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini diperoleh bahwa graf yang memuat
sirkuit Euler adalah graf perfect karena bilangan clique dan bilangan kromatiknya
sama, sedangkan graf yang memuat sirkuit Hamilton bukan merupakan graf
perfect karena bilangan clique dan bilangan kromatiknya tidak sama.
1.2
Saran
Berdasarkan pembahasan yang dilaksanakan, penulis menyarankan agar
analisis graf perfect dapat dilanjutkan kepada pembuktian berbagai macam graf
yang lain seperti graf berbobot dan graf berarah dan dapat juga dibuat dalam
aplikasi komputer.
60
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand, G and Lesniak L. 1986. Graphs and Digraphs Second Edition.
California: a Division of Wadsworth, Inc.
Goodaire, E.G and Parmenter M. 2008. Discrete Mathematics with Graph Theory,
Third Edition. New Delhi: Prentice-Hall.
Imamah, N. 2011. Analisis Tentang Graf Perfect. Jombang: Gamatika Vol.II
Jhonsonbaugh, R. 2001. Discrete Mathematics, Fifth Edition. United State of
Amerika: Prentice-Hall.
Lipschutz, S dan Marc L. 2002. Matematika Diskrit 2. Jakarta: Salemba Teknika.
Liu, C.L dan Mohaprata, D.P. 2008. Elements of Discrete Mathematics. New
Dehli: Tata McGraw-Hill Companies, Inc.
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga . Bandung:Informatika
Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Penerbit ANDI
Simpson, A. 2002. Discrete Mathematics. Singapore: McGraw-Hill Companies.
West D.B. 2002. Introduction to Graph Theory. New Dehli: Prince-Hall of India
Wijaya A.L. 2003. Pencarian Clique dalam Graf. Bandung: Institut Teknologi
Bandung Vol.III
61
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Harian, pada tanggal 21 Oktober 1990. Ayah bernama Yohannes
Lumbanraja dan Ibu bernama Sedi Situmorang , dan merupakan anak kedua dari lima
bersaudara. Pada tahun 1997, penulis masuk SD Negeri 2 No. 173693 Harian, dan lulus pada
tahun 2003. Pada tahun 2003, penulis melanjutkan sekolah SMP Negeri 1 Nainggolan, dan lulus
tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis melanjutkan sekolah SMA SMA Negeri 1 Onanrunggu,
dan lulus pada tahun 2009. Pada tahun 2010, penulis diterima di Program Studi Matematika
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri
Medan.