Model Computable General Equilibrium (CGE) Pendekatan Matematika dan Aplikasi Model CGE Indonesia
MODEL COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM (CGE)
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
Oleh : Salahudin
G. 26 1675
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
i
MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM):
a
PENDEKATPN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
+t.
Oleh
SALAHUDIN
G 26.1675
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Meraih
Gelar SAWANA MATEMATIKA
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
di
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Judul Karya Ilmiah : MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM:
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI MODEL CGE
INDONESIA
Nama Mahasiswa
: SALAHUDIN
Nomor Pokok
: G 26.1675
Disetujui Oleh
1. Komisi Pen~bimbing
Dr. D.S. Priyarsono
Ketua
Tanggal Lulus: 3 November 1994
Dra. Corinna Bahriawati M.S.
Anggota
'1
Perkembangan model keseimbangan umum multisektoral yang dapat dikomputasi (modelcomputable
general equilibrium) semakin banyak dipergunakan oleh para peneliti sebagai alat analisis untuk
mengetahui adanya keterkaitan antarsektor. Dengan menggunakan struktur model yang terspesifiasi
secara benar dan data-data yang mendekati keadaan sebenarnya serta didukung oleh konsistensi teori,
akan diperoleh basil analisis kebijakan yang lebih realistis. Keseimbangan yang terbentuk m e ~ p a k a n
hasil dari keterkaitan dalam sistem yang dibentuk.
Tulisan ini membahas pendekatan secara matematik model analisis ekonomi tenebut, disertai
dengan analisis numerik model CGE Indonesia untuk data perekonomian Indonesia dengan penekanan
pada simulasi kebijakan pajak. Dengan menggunakan metode penelaahan pustaka dan memperhatikan
siFat-sifat yang dimiliki oleh peubah-peubah yang menyusun model CGE telah terbukti bahwa model
ini memiliki keseimbangan yang unik. Beberapa definisi dan teorema dasar matematik digunakan
dalam pembuktiannya, di antaranya adalah teorema titik tetap (fixed point) Brouwer dan teorema
eksistensi keseimbangan umum Walras.
Hasil simulasi yang dilakukan terhadap model CGE Indonesia telah memberikan ilustrasi
kesalingterkaitan antara komponen-komponen penyusunnya dan antara pelaku ekonomi itu sendiribyang mana memiliki keinginan, kemampuan dan pengetahuan yang berbeda-beda.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada hari ke-10 di bulan September 1970, sebagai anak ke-enam dari
enam bersaudara dari pasangan Bapak H. Amuh Muhidin dan Ibu Hi. Siti Hamnah.
Pendidiian Dasar selama 6 tahun di SD Muhammadi~ahXI1 Jakarta dan ditamatkan pada tahun
1983. Masa sekolah menengah dijalani pada SMP Negeri 33 Jakarta dan lulus pada tahun 1986.
Melanjutkan ke SMA Negeri 3 Jakarta sampai tahun 1989. Pada tahun yang sama diterima di lnstitut
Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), dan setahun kemudian diterima
pada jurusan Matematika Fakultas Matematika danm llmu Pengetahuan Alam dengan program
penunjang ilmu Sosial Ekonomi
Selama kuliah penulis pernah menjadi Asistem Dosen untuk program kuliah Matematika Dasar
dan Kalkulus I. Penulis juga mengikuti beberapa lomba karya ilmiah antar Perguman Tinggi yang
diselenggarakan secara nasional. Lomba penulisan bidang teknologi pada bulan November 1992 oleh
Keluarga Muda-Mahasiswa dan Alumni Penerima Beasiswa Supersemar (KMA-PBS) Universitas Gadjah
Mada, dan bidang pertanian pada bulan Februari 1993 oleh Himpunan Mahasiswa Peminat llmu Sosial
Ekonomi (MISETA) Institut Pertaian Bogor dan PERHEPI. Pada akhir masa kuliah menjadi Asisten
Peneliti pada Lembaga Demografi FEUI.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT. Hanya atas rahrnat dan
hidayah-Nya jua penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Keseimbangan umum (general eqrtilibrium) merupakan analisis yang umum digunakan untuk
menilai adanya keterkairan diantara sektor-sektor dalam suaru sistem. H a i l keseimbangan merupakan
keadaan atau posisi yang diharapkan dapat memenuhi harapan setiap pelakunya, karena pada kondisi
itulah keterbatasan dan kelebihan saling melengkapi. Karya ilmiah ini bemsaha untuk menambah
perbendaharaan pengerahuan tentang model keseimbangan umum, terutama untuk aplikasi pada model
Indonesia. Penjabaran secara konsep dan teknik dilahvkan dalam tulisan ini.
Secara khusus penulis iugin mengucapkan rasa terima kasih kepada:
1. Dr. Amril Aman. Dr. D.S. Priyarsono, Dra. Corinna Bahriawati, MS. dan Ir. Endar H.N.MS.
selaku dosen pembimbing dan penguji pada tugas akhir yang telah banyak memberikan saran,
masukan dan domngan selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini maupun selama p n u l i s
kuliah di jurusan Matematika.
2.
Seluruh sraf d o x n dan pegawai pada jurusan Matematika IPB yang telah membantu penulis
selama menjalani smdi.
3.
Yayasan Supersemar dan KMA-PBS IPB yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis
selama kuliah di IPB.
Ibunda dan Ayahanda sena keluarga penulis, dengan penuh kasih telah membimbing,
mengarahkan dan membantu penulis selama ini secara moril dan materiil.
4.
5.
6.
Keluarga di Bogor, yang telah membantu dan menjadi orangtua penulis selama kuliah di Bogor.
R. Michael Tene SE, Yoyok SE, dan Iman SE, yang telah memberikan waktunya untuk
memberikan tutorial GAMS kepada penulis.
7. Rekan-rekan mahasiswa IPB, khusunya rekan di Asrama Felicia IPB dan mahasiswa sesama
jurusan Matemarika.
8. Peneliti, Asisten Peneliti dan teman-teman di Lembaga Demografi FEU1 yang telah banyak
memberikan dorongan dan masukan kepada penulis
9 . Kepada semua pihak yang telah membantu penulis selama penulis menjalani kuliah dan bermukim
di Bogor.
Mudah-mudahan semua kebaikan yang telah diberikan mendapatkan in~balanyang sesuai dari
Allah SWT. Amiin. Akhirnya penulis berharap semoga h a i l karya ini dapat bermanfaat bagi x m u a
umat manusia.
Bogor, Desember 1994
Halaman
KATA PENGANTAR
DAFTAR IS1
BAB
I
PENDAHULUAN
BAB I1 TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Konsep Matematik
2.2. Beberapa Konsep Dasar Ekonomi
2.2.1. Produsen clan Teori Produksi
2.2.2. Maksimisasi Keuntungan
2.2.3. Konsumen dan Teori Konsumsi
2.3. Teori Keseimbangan Umum
2.3.1. Keseimbangan Produksi
2.3.2. Keseimbangan Konsumsi
2.4. Eksistensi Keseimbangan Umum
BAB I11 MODEL CGE
3.1. Stmktur Model CGE
3.2. Penamaan Model CGE
3.3. Sisi Produsen
3.4. Sisi Konsumen
3.4.1. Pendapatan Konsumen
3.4.2. Fungsi Permintaan
3.4.3. Pengeluaran Konsumen
3.5. Persamaan Excess Demand Komoditi
3.6. Mekanisme ANS Berputar
3.7. Sistem Ekonomi Tertutup dan Terbuka
3.6. Model Aplikasi Keseimbangan Umum
3.8.1. Model Harga Domestik
BAB IV MODEL APLIKASI CGE INDONESIA
4.1. Model Aplikasi
4.2. Tingkat Agregasi
4.3. Proses Kalibrasi
4.4. Simulasi Model
4.4.1
Pengamhnya Terhadap Harga
4.4.2. Pengamhnya Terhadap Volume Komoditi
4.4.3. Pengamhnya Terhadap Faktor Produksi
dan Rumah Tangga
4.5.
Analisis
BAB V KESIMPULAN
DAFTARPUSTAKA
LAMPIRAN
BN3 11 TINJAUAN PUSTAKA
Salah satu perkembangan paling menarik dalam
analisis ekonomi--khususnya yang berkaitan
dengan metodologi secara matematik-- selama lima
belas tahun terakhir adalah meningkatnya penggunaan model keseimbangan umum yang dapat
dikomputasi (Computable General Equilibrium
atau CGE).
Dalam tulisan ini disajikan model analisis
ekonomi tersebut. Model ini didasarkan kepada
Model Keseimbangan Umum WalrasIDebreu, 19591
dengan "pengeksplisitan" berbagai komponennya,
sehingga memungkinkan kita untuk mempelajari
perilaku sistem perekonomian baik secara numerik
maupun empirik.
Dalam suatu sistem perekonomian, hubungan
antar komponen (variabel) sangat erat. Untuk
mempelajari sistem tersebut dibutuhkan adanya
suatu kerangka yang bersifat komprehensif. Model
CGEmemungkinkan kita untukmelakukan analisis
semacam itu. Model CGE tidak hanya mempertimbangkan aspek internal, tetapi juga mempertimbangkan aspek eksternal, aspek struk-tural dan
aspek lainnya [Shoven and Whalley, 1984; Devarajan, Lewis and Robinson, 19861.
Tujuan penelitian ini adalah memaparkan
landasan matematik model CGE beserta contoh
aplikasinya dalam perekonomian Indonesia.
Metodologi yang digunakan dalampemaparan
landasan matematik adalah penelaahan kepustakaan [Debrue; Dervis, De Melo & Robinson;
Goldberg; Jehle; dan Lewis]. Sedangkan untuk
aplikasi model digunakan simulasi komputer
(program aplikasi CAMS, General Algebraic
Modelling System) dengan data Indonesia.
Bab 11 membahas landasan matematik model
CGE. Selanjutnya, pada bab Ill dijelaskan secara
lebih rinci, termasuk pembahasan contoh permodelannya. Pada bab IV, disajikan hasil analisis
numerik model aplikasi CGE Indonesia untuk data
perekonomian Indonesia dengan penekanan pada
simulasi kebijakan pajak. Akhirnya pada bab V
diberikan beberapa kesimpulan dan saran.
2.1. Konscp Matematik
Sebelum lebih jauh membahas tentang permasalahan keseimbangan umum dalam suatu sistem
ekonomi, beberapa konsep dasar matematiksangat
diperlukan dalam pembahasan-pembahasan selanjutnya.
Berikut ini beberapa definisi dan teoremayang
diperlukan dalam tulisan ini. Misalkan (X,d) adalah
ruang metrik,
Delinisi 2.1.1
X tertutup jika terdapat barisan 1x.l E X, xn x,,
dengan x, E X.
-
Delinisi 2.1.2
X aditif jika setiap xi, xi E X, berakibat (x, + x> E X.
Delinisi 2.1.3
X konveks jika setiap xi, xi E X dan C
berakibat C E X untuk 0 i t I 1.
-
txi + (1-t)xi
Delinisi 2.1.4
Misalkan A i R, A dikatakan terbatas ke atas jika
ada b E R, sedemikian rupa sehingga a s b untuk
setiap a E A.
Delinisi 2.1.5
Misalkan A c R, A dikatakan terbatas ke bawah jika
ada c E R, sedemikian rupa sehingga c i a untuk
setiap a E A.
-
Delinisi 2.1.6
Misalkan Y f(x,, x,, ...., x,) dan m adalah suatu
bilangan positif, maka Y disebut fungsi homogen
berderajat q, jika
[(nu,, nm,,.... my,) = mql(x,, x,,.... x,)
mqY.
-
Delinisi 2.1.7
E c X dikatakan gugus terhubungkan jika E adalah
bukan gabungan dari dua gugus buka yang saling
asing (disjoint).
Tcorcma 2.1.8
Misalkan gugus lak kosong A c X, dan x E X.
x E I\ jika dan hanya jika barisan lxnl di A berlaku
lim s, x.
-
0 - -
(-1 Misalkan x
E
;\, maka untuk setiap n integer
positif, ada bola buka B(x,l/n) yang memiliki
paling sedikit satu titik di A.
-
Jika Ix.1 adalah barisan di X, dan untuk n asli sebarang dipilih x, E A n B(x,l/n) maka lim x, x
"-
-
(-1 Misalkan Ix.1 barisan di X dengan lim x.
"--
-
Lkfinisi 2.1.11
Misalkan gugus K di X mempunyai selimut buka
IG.1, dimana K s u G..
Gugus K dikatakan kompak jika terdapat =,,..,-,
berhingga sedemikian rupa sehingga
K G UG,
I i
.
x.
B(x,r) adalah bola buka yang berpusat di x dan
berjari-jari r. Untuk setiap r > 0 ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk setiap n 2 N, d(x,x,) < r,
dimana X, E A n B(x,r). Dengan demikian x E
A.
Teorema 2.1.12 (Heine-Borel)
Misalkan gugus K r R", K dikatakan kompak jika
dan hanya jika tertutup dan terbatas.
Bukti
(-) Misalkan K kompak, K s R". ALan dibuktikan
Lkfinisi 2.1.9
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalah ruang metrik.
Fungsi f: X - Y dikatakan kontinu di x, E X jika
dan hanya jika untuk setiap e > 0, ada 6(e,xJ > 0
sedemikian rupa sehingga p(f(xJ,f(x)) < e, bila
d(x,xJ c 6.
Fungsi f dikatakan kontinu pa& X jika dan hanya
jika f kontinu di setiap titik pada X.
Teorerna 2.1.10
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalab ruang metrik.
Fungsi f: X Y dikatakan kontinu pada titik x,E X
f(xJ untuk setiap
jika dan hanya jika lim f(xJ
-
-
"- -
barisan lx,l di X dengan lim x,
n-
-
-
x..
(-1 Misalkan f kontinu di x, dan (x.1 adalah baris-
-
an di X dengan lim x,
"-
-
x,.
Jika diambil e > 0, ada 6 > 0 sedemikian rupa
sehingga jika d(x,,x) < 6 maka p(f(xJ.f(x)) < e,
dan ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk
n L N, jika d(x,,x,) < 6 maka p(f(xJ,f(x,) < c.
Berarti lim f(x,)
f(xJ.
-
0 - -
(-1 Misalkan Ix.1 adalah barisan di X dengan
lim x, x, Jika lim f(x,)- f(xJ maka untuk
n--
-
"-
-
setiap c > 0 ada 6 >O sedemikian rupa sehingga
jika d(x,, x,) < 6 maka p(f(xJ,f(xJ) < e. Dan
untuk setiap n 2 N ada x E X sedemikian rupa
sehingga jika d(x, xJ < 6 maka p(f(x),f(xJ) < e.
K tertutup, atau Kcterbuka.
Misalkan x E R", x B K. Jika y E K. V(y,r,) dan
W(x,r,) masing-masing adalah persekitaran dari y
dan x.
Maka akan diperolehpersekitaran dari x yaitu B,
yang terdiri dari semua titik y E K dimana
B , - I ~ E R " :/ y - x / > l / n l
Karena K kompak, maka terdapat y:. y,,... yn di K
berhingga sedemikian rupa sehingga
K c \ITv,
u \VyV,,,. . . u \V_
W
-
-
Jika V V,, n Vx,, . . . n V,, adalah persekiraran
dari x yang tidak berpotongan dengan W. Maka
V c Kc, dan x adalah titik &lam dari K. Dengan
dernikian Kc terbuka.
Akan dibuktikan K terbatas. Misalkan x E R", x 8 K,
B(x,r) adalah bola buka dengan pusat x yang
berjari-jari r. Untuk setiap n bilangan asli misalkan
gugus terbuka H, didefinisikan sebagai
H, = I B(x,r) : B(x,r) < n I
Dengan demikian, ruang R" dan juga K akan terdiri
dari gabungan gugus H,, n E N. Karena K kompak
maka untuk setiap n E N berlaku K s H, dan
berarti K terbatas.
(-) Jika K tenutup dan terbatas, maka akan dibuk-
tikan K kompnk. Misalkan K tertutup dan terbatas,
(xmladalah barisan di K, x,
so. untuk x, E K.
Untuk setiap titik x E K terdapat bola buka B(x,r)
yang terdiri atas x, untuk n berhinaa. Gabungan
dari semua bola buka B(x,r) akan menjadi selimut
-
buka dari K, dan K r L B(x,r). Karena K terbatas,
maka ada n berhingga sedemikian rupa sehingga
K c u B(x,,r).
c.
d.
2.2. k b c r a p a Konsep I>lsar Bkonomi
Suatu sistem perekonomian memiliki dua pelaku
utama, yaitu produsen dan konsumen. Keduanya
rnempunyaiperilakuyangdikendalikanolehproses
maksimisasi fungsi tujuannya masing-masing.
Produsen berusaha mernaksimumkan fungsi produksinya dan konsumen berusaha memaksimumkan tingkat kepuasannya (urilily). Konsep
produsen dan teori produksi serta teori konsumen
secara benurut-turut diielaskan di bawah ini.
2.2.1 Produsen dan Teai Produksi
Secara umum diasumsikan bahwa produsen memproduksi sejumlah 1 komoditi. Tingkat produksi
seorangprodusen ke-jdigambarkansebagaisebuah
titik pada ruang berdimensi I, atau dapat
dilarnbangkan sebagai
Y i = lY.,Yj
I1
2,..., Y,, I
-
dimana
Y,, produksi komoditi k, produsen ke-j
k -1, . . . , I
Misalkan dalam sistem perekonomian ini
terdapat n produsen. alaka total produksi (dilambangkan dengan Y) &pat dituliskan sebagai
e.
f.
g.
Y ~ R C
dimana R adalah gugus kemungkinan
produksi dengan input produksi nol.
Y n (-Y) c I01 (tidak berubah)
Artinya, jika total produksiY dengan input dan
output yang semuanya tidak no1 dapat tejadi,
maka totalproduksi dengan kondisisebaliknya
(-Y) tidak dapat tejadi. Mengingat bahwa
dalam proses produksi diperiukan adanya
waktu dan komoditi yang tidak nol.
Y, aditif
Y, terbatas ke atas
Y, konvek
Asumsi (b) dan (g) berakibat bahwa jika Y,EY,
maka tY, E Y, dengan 0 i t i 1. Dengan kata
lain dapat terjadi perubahan skala produksi
yang tak naik (non-increasing rerurn roscale).
Dennisi 2.2.1.1
Untuk setiap fungsi produksi yang homogen
berderajat q seperti definisi 2.1.6, maka akan
berlaku:
a. perubahan skala produksi tak turun,
untuk q > 1 (non-deceasing rerurn ro scale).
b. perubahan skala produksi tak naik,
untuk q c 1 (non-increasing rerum to scale)
c. perubahan skala produksi yang tetap,
untuk q 1 tconsranr rerum ro scale).
-
2.2.2.
M a k s i i i Keuntungan
Definisi 2.2.2.1
Keuntungan adalah selisih antara penerimaan yang
diperoleh dari hasil penjualan output dengan biaya
yang dikeluarkan untuk memperoleh faktor-faktor
yang dibutuhkan dalam proses produksi.
Gugus yang unsur-unsurnya merupakan kemungkinan tingkat produksi seperti pada persamaan
(2.1) disebut dengan gugus produksi.
Asumsi G u y s Produksi
Gugus produksi sepeni yang didefinisikan pada
(2.1) mempunyai sifat-sifat
a. Yi, Y tertutup
b. 0 E Y,, Y (kemungkinan tidak berproduksi)
Berarti produsen ke-i memiliki peluang untuk
tidak memiliki prcduksi.
Dengan asumsi persaingan sempuma pada
pasar barang dan faktor, permasalahan maksimisasi
keuntungan secara matematis dapat diformulasikan
sebagai
~ ( r =) n ~ a k[TR(r)l'
dimana
n(Y)
-
TqV]
fungsi keuntungan
(2.2)
MODEL COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM (CGE)
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
Oleh : Salahudin
G. 26 1675
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
i
MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM):
a
PENDEKATPN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
+t.
Oleh
SALAHUDIN
G 26.1675
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Meraih
Gelar SAWANA MATEMATIKA
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
di
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Judul Karya Ilmiah : MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM:
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI MODEL CGE
INDONESIA
Nama Mahasiswa
: SALAHUDIN
Nomor Pokok
: G 26.1675
Disetujui Oleh
1. Komisi Pen~bimbing
Dr. D.S. Priyarsono
Ketua
Tanggal Lulus: 3 November 1994
Dra. Corinna Bahriawati M.S.
Anggota
'1
Perkembangan model keseimbangan umum multisektoral yang dapat dikomputasi (modelcomputable
general equilibrium) semakin banyak dipergunakan oleh para peneliti sebagai alat analisis untuk
mengetahui adanya keterkaitan antarsektor. Dengan menggunakan struktur model yang terspesifiasi
secara benar dan data-data yang mendekati keadaan sebenarnya serta didukung oleh konsistensi teori,
akan diperoleh basil analisis kebijakan yang lebih realistis. Keseimbangan yang terbentuk m e ~ p a k a n
hasil dari keterkaitan dalam sistem yang dibentuk.
Tulisan ini membahas pendekatan secara matematik model analisis ekonomi tenebut, disertai
dengan analisis numerik model CGE Indonesia untuk data perekonomian Indonesia dengan penekanan
pada simulasi kebijakan pajak. Dengan menggunakan metode penelaahan pustaka dan memperhatikan
siFat-sifat yang dimiliki oleh peubah-peubah yang menyusun model CGE telah terbukti bahwa model
ini memiliki keseimbangan yang unik. Beberapa definisi dan teorema dasar matematik digunakan
dalam pembuktiannya, di antaranya adalah teorema titik tetap (fixed point) Brouwer dan teorema
eksistensi keseimbangan umum Walras.
Hasil simulasi yang dilakukan terhadap model CGE Indonesia telah memberikan ilustrasi
kesalingterkaitan antara komponen-komponen penyusunnya dan antara pelaku ekonomi itu sendiribyang mana memiliki keinginan, kemampuan dan pengetahuan yang berbeda-beda.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada hari ke-10 di bulan September 1970, sebagai anak ke-enam dari
enam bersaudara dari pasangan Bapak H. Amuh Muhidin dan Ibu Hi. Siti Hamnah.
Pendidiian Dasar selama 6 tahun di SD Muhammadi~ahXI1 Jakarta dan ditamatkan pada tahun
1983. Masa sekolah menengah dijalani pada SMP Negeri 33 Jakarta dan lulus pada tahun 1986.
Melanjutkan ke SMA Negeri 3 Jakarta sampai tahun 1989. Pada tahun yang sama diterima di lnstitut
Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), dan setahun kemudian diterima
pada jurusan Matematika Fakultas Matematika danm llmu Pengetahuan Alam dengan program
penunjang ilmu Sosial Ekonomi
Selama kuliah penulis pernah menjadi Asistem Dosen untuk program kuliah Matematika Dasar
dan Kalkulus I. Penulis juga mengikuti beberapa lomba karya ilmiah antar Perguman Tinggi yang
diselenggarakan secara nasional. Lomba penulisan bidang teknologi pada bulan November 1992 oleh
Keluarga Muda-Mahasiswa dan Alumni Penerima Beasiswa Supersemar (KMA-PBS) Universitas Gadjah
Mada, dan bidang pertanian pada bulan Februari 1993 oleh Himpunan Mahasiswa Peminat llmu Sosial
Ekonomi (MISETA) Institut Pertaian Bogor dan PERHEPI. Pada akhir masa kuliah menjadi Asisten
Peneliti pada Lembaga Demografi FEUI.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT. Hanya atas rahrnat dan
hidayah-Nya jua penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Keseimbangan umum (general eqrtilibrium) merupakan analisis yang umum digunakan untuk
menilai adanya keterkairan diantara sektor-sektor dalam suaru sistem. H a i l keseimbangan merupakan
keadaan atau posisi yang diharapkan dapat memenuhi harapan setiap pelakunya, karena pada kondisi
itulah keterbatasan dan kelebihan saling melengkapi. Karya ilmiah ini bemsaha untuk menambah
perbendaharaan pengerahuan tentang model keseimbangan umum, terutama untuk aplikasi pada model
Indonesia. Penjabaran secara konsep dan teknik dilahvkan dalam tulisan ini.
Secara khusus penulis iugin mengucapkan rasa terima kasih kepada:
1. Dr. Amril Aman. Dr. D.S. Priyarsono, Dra. Corinna Bahriawati, MS. dan Ir. Endar H.N.MS.
selaku dosen pembimbing dan penguji pada tugas akhir yang telah banyak memberikan saran,
masukan dan domngan selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini maupun selama p n u l i s
kuliah di jurusan Matematika.
2.
Seluruh sraf d o x n dan pegawai pada jurusan Matematika IPB yang telah membantu penulis
selama menjalani smdi.
3.
Yayasan Supersemar dan KMA-PBS IPB yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis
selama kuliah di IPB.
Ibunda dan Ayahanda sena keluarga penulis, dengan penuh kasih telah membimbing,
mengarahkan dan membantu penulis selama ini secara moril dan materiil.
4.
5.
6.
Keluarga di Bogor, yang telah membantu dan menjadi orangtua penulis selama kuliah di Bogor.
R. Michael Tene SE, Yoyok SE, dan Iman SE, yang telah memberikan waktunya untuk
memberikan tutorial GAMS kepada penulis.
7. Rekan-rekan mahasiswa IPB, khusunya rekan di Asrama Felicia IPB dan mahasiswa sesama
jurusan Matemarika.
8. Peneliti, Asisten Peneliti dan teman-teman di Lembaga Demografi FEU1 yang telah banyak
memberikan dorongan dan masukan kepada penulis
9 . Kepada semua pihak yang telah membantu penulis selama penulis menjalani kuliah dan bermukim
di Bogor.
Mudah-mudahan semua kebaikan yang telah diberikan mendapatkan in~balanyang sesuai dari
Allah SWT. Amiin. Akhirnya penulis berharap semoga h a i l karya ini dapat bermanfaat bagi x m u a
umat manusia.
Bogor, Desember 1994
Halaman
KATA PENGANTAR
DAFTAR IS1
BAB
I
PENDAHULUAN
BAB I1 TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Konsep Matematik
2.2. Beberapa Konsep Dasar Ekonomi
2.2.1. Produsen clan Teori Produksi
2.2.2. Maksimisasi Keuntungan
2.2.3. Konsumen dan Teori Konsumsi
2.3. Teori Keseimbangan Umum
2.3.1. Keseimbangan Produksi
2.3.2. Keseimbangan Konsumsi
2.4. Eksistensi Keseimbangan Umum
BAB I11 MODEL CGE
3.1. Stmktur Model CGE
3.2. Penamaan Model CGE
3.3. Sisi Produsen
3.4. Sisi Konsumen
3.4.1. Pendapatan Konsumen
3.4.2. Fungsi Permintaan
3.4.3. Pengeluaran Konsumen
3.5. Persamaan Excess Demand Komoditi
3.6. Mekanisme ANS Berputar
3.7. Sistem Ekonomi Tertutup dan Terbuka
3.6. Model Aplikasi Keseimbangan Umum
3.8.1. Model Harga Domestik
BAB IV MODEL APLIKASI CGE INDONESIA
4.1. Model Aplikasi
4.2. Tingkat Agregasi
4.3. Proses Kalibrasi
4.4. Simulasi Model
4.4.1
Pengamhnya Terhadap Harga
4.4.2. Pengamhnya Terhadap Volume Komoditi
4.4.3. Pengamhnya Terhadap Faktor Produksi
dan Rumah Tangga
4.5.
Analisis
BAB V KESIMPULAN
DAFTARPUSTAKA
LAMPIRAN
BN3 11 TINJAUAN PUSTAKA
Salah satu perkembangan paling menarik dalam
analisis ekonomi--khususnya yang berkaitan
dengan metodologi secara matematik-- selama lima
belas tahun terakhir adalah meningkatnya penggunaan model keseimbangan umum yang dapat
dikomputasi (Computable General Equilibrium
atau CGE).
Dalam tulisan ini disajikan model analisis
ekonomi tersebut. Model ini didasarkan kepada
Model Keseimbangan Umum WalrasIDebreu, 19591
dengan "pengeksplisitan" berbagai komponennya,
sehingga memungkinkan kita untuk mempelajari
perilaku sistem perekonomian baik secara numerik
maupun empirik.
Dalam suatu sistem perekonomian, hubungan
antar komponen (variabel) sangat erat. Untuk
mempelajari sistem tersebut dibutuhkan adanya
suatu kerangka yang bersifat komprehensif. Model
CGEmemungkinkan kita untukmelakukan analisis
semacam itu. Model CGE tidak hanya mempertimbangkan aspek internal, tetapi juga mempertimbangkan aspek eksternal, aspek struk-tural dan
aspek lainnya [Shoven and Whalley, 1984; Devarajan, Lewis and Robinson, 19861.
Tujuan penelitian ini adalah memaparkan
landasan matematik model CGE beserta contoh
aplikasinya dalam perekonomian Indonesia.
Metodologi yang digunakan dalampemaparan
landasan matematik adalah penelaahan kepustakaan [Debrue; Dervis, De Melo & Robinson;
Goldberg; Jehle; dan Lewis]. Sedangkan untuk
aplikasi model digunakan simulasi komputer
(program aplikasi CAMS, General Algebraic
Modelling System) dengan data Indonesia.
Bab 11 membahas landasan matematik model
CGE. Selanjutnya, pada bab Ill dijelaskan secara
lebih rinci, termasuk pembahasan contoh permodelannya. Pada bab IV, disajikan hasil analisis
numerik model aplikasi CGE Indonesia untuk data
perekonomian Indonesia dengan penekanan pada
simulasi kebijakan pajak. Akhirnya pada bab V
diberikan beberapa kesimpulan dan saran.
2.1. Konscp Matematik
Sebelum lebih jauh membahas tentang permasalahan keseimbangan umum dalam suatu sistem
ekonomi, beberapa konsep dasar matematiksangat
diperlukan dalam pembahasan-pembahasan selanjutnya.
Berikut ini beberapa definisi dan teoremayang
diperlukan dalam tulisan ini. Misalkan (X,d) adalah
ruang metrik,
Delinisi 2.1.1
X tertutup jika terdapat barisan 1x.l E X, xn x,,
dengan x, E X.
-
Delinisi 2.1.2
X aditif jika setiap xi, xi E X, berakibat (x, + x> E X.
Delinisi 2.1.3
X konveks jika setiap xi, xi E X dan C
berakibat C E X untuk 0 i t I 1.
-
txi + (1-t)xi
Delinisi 2.1.4
Misalkan A i R, A dikatakan terbatas ke atas jika
ada b E R, sedemikian rupa sehingga a s b untuk
setiap a E A.
Delinisi 2.1.5
Misalkan A c R, A dikatakan terbatas ke bawah jika
ada c E R, sedemikian rupa sehingga c i a untuk
setiap a E A.
-
Delinisi 2.1.6
Misalkan Y f(x,, x,, ...., x,) dan m adalah suatu
bilangan positif, maka Y disebut fungsi homogen
berderajat q, jika
[(nu,, nm,,.... my,) = mql(x,, x,,.... x,)
mqY.
-
Delinisi 2.1.7
E c X dikatakan gugus terhubungkan jika E adalah
bukan gabungan dari dua gugus buka yang saling
asing (disjoint).
Tcorcma 2.1.8
Misalkan gugus lak kosong A c X, dan x E X.
x E I\ jika dan hanya jika barisan lxnl di A berlaku
lim s, x.
-
0 - -
(-1 Misalkan x
E
;\, maka untuk setiap n integer
positif, ada bola buka B(x,l/n) yang memiliki
paling sedikit satu titik di A.
-
Jika Ix.1 adalah barisan di X, dan untuk n asli sebarang dipilih x, E A n B(x,l/n) maka lim x, x
"-
-
(-1 Misalkan Ix.1 barisan di X dengan lim x.
"--
-
Lkfinisi 2.1.11
Misalkan gugus K di X mempunyai selimut buka
IG.1, dimana K s u G..
Gugus K dikatakan kompak jika terdapat =,,..,-,
berhingga sedemikian rupa sehingga
K G UG,
I i
.
x.
B(x,r) adalah bola buka yang berpusat di x dan
berjari-jari r. Untuk setiap r > 0 ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk setiap n 2 N, d(x,x,) < r,
dimana X, E A n B(x,r). Dengan demikian x E
A.
Teorema 2.1.12 (Heine-Borel)
Misalkan gugus K r R", K dikatakan kompak jika
dan hanya jika tertutup dan terbatas.
Bukti
(-) Misalkan K kompak, K s R". ALan dibuktikan
Lkfinisi 2.1.9
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalah ruang metrik.
Fungsi f: X - Y dikatakan kontinu di x, E X jika
dan hanya jika untuk setiap e > 0, ada 6(e,xJ > 0
sedemikian rupa sehingga p(f(xJ,f(x)) < e, bila
d(x,xJ c 6.
Fungsi f dikatakan kontinu pa& X jika dan hanya
jika f kontinu di setiap titik pada X.
Teorerna 2.1.10
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalab ruang metrik.
Fungsi f: X Y dikatakan kontinu pada titik x,E X
f(xJ untuk setiap
jika dan hanya jika lim f(xJ
-
-
"- -
barisan lx,l di X dengan lim x,
n-
-
-
x..
(-1 Misalkan f kontinu di x, dan (x.1 adalah baris-
-
an di X dengan lim x,
"-
-
x,.
Jika diambil e > 0, ada 6 > 0 sedemikian rupa
sehingga jika d(x,,x) < 6 maka p(f(xJ.f(x)) < e,
dan ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk
n L N, jika d(x,,x,) < 6 maka p(f(xJ,f(x,) < c.
Berarti lim f(x,)
f(xJ.
-
0 - -
(-1 Misalkan Ix.1 adalah barisan di X dengan
lim x, x, Jika lim f(x,)- f(xJ maka untuk
n--
-
"-
-
setiap c > 0 ada 6 >O sedemikian rupa sehingga
jika d(x,, x,) < 6 maka p(f(xJ,f(xJ) < e. Dan
untuk setiap n 2 N ada x E X sedemikian rupa
sehingga jika d(x, xJ < 6 maka p(f(x),f(xJ) < e.
K tertutup, atau Kcterbuka.
Misalkan x E R", x B K. Jika y E K. V(y,r,) dan
W(x,r,) masing-masing adalah persekitaran dari y
dan x.
Maka akan diperolehpersekitaran dari x yaitu B,
yang terdiri dari semua titik y E K dimana
B , - I ~ E R " :/ y - x / > l / n l
Karena K kompak, maka terdapat y:. y,,... yn di K
berhingga sedemikian rupa sehingga
K c \ITv,
u \VyV,,,. . . u \V_
W
-
-
Jika V V,, n Vx,, . . . n V,, adalah persekiraran
dari x yang tidak berpotongan dengan W. Maka
V c Kc, dan x adalah titik &lam dari K. Dengan
dernikian Kc terbuka.
Akan dibuktikan K terbatas. Misalkan x E R", x 8 K,
B(x,r) adalah bola buka dengan pusat x yang
berjari-jari r. Untuk setiap n bilangan asli misalkan
gugus terbuka H, didefinisikan sebagai
H, = I B(x,r) : B(x,r) < n I
Dengan demikian, ruang R" dan juga K akan terdiri
dari gabungan gugus H,, n E N. Karena K kompak
maka untuk setiap n E N berlaku K s H, dan
berarti K terbatas.
(-) Jika K tenutup dan terbatas, maka akan dibuk-
tikan K kompnk. Misalkan K tertutup dan terbatas,
(xmladalah barisan di K, x,
so. untuk x, E K.
Untuk setiap titik x E K terdapat bola buka B(x,r)
yang terdiri atas x, untuk n berhinaa. Gabungan
dari semua bola buka B(x,r) akan menjadi selimut
-
buka dari K, dan K r L B(x,r). Karena K terbatas,
maka ada n berhingga sedemikian rupa sehingga
K c u B(x,,r).
c.
d.
2.2. k b c r a p a Konsep I>lsar Bkonomi
Suatu sistem perekonomian memiliki dua pelaku
utama, yaitu produsen dan konsumen. Keduanya
rnempunyaiperilakuyangdikendalikanolehproses
maksimisasi fungsi tujuannya masing-masing.
Produsen berusaha mernaksimumkan fungsi produksinya dan konsumen berusaha memaksimumkan tingkat kepuasannya (urilily). Konsep
produsen dan teori produksi serta teori konsumen
secara benurut-turut diielaskan di bawah ini.
2.2.1 Produsen dan Teai Produksi
Secara umum diasumsikan bahwa produsen memproduksi sejumlah 1 komoditi. Tingkat produksi
seorangprodusen ke-jdigambarkansebagaisebuah
titik pada ruang berdimensi I, atau dapat
dilarnbangkan sebagai
Y i = lY.,Yj
I1
2,..., Y,, I
-
dimana
Y,, produksi komoditi k, produsen ke-j
k -1, . . . , I
Misalkan dalam sistem perekonomian ini
terdapat n produsen. alaka total produksi (dilambangkan dengan Y) &pat dituliskan sebagai
e.
f.
g.
Y ~ R C
dimana R adalah gugus kemungkinan
produksi dengan input produksi nol.
Y n (-Y) c I01 (tidak berubah)
Artinya, jika total produksiY dengan input dan
output yang semuanya tidak no1 dapat tejadi,
maka totalproduksi dengan kondisisebaliknya
(-Y) tidak dapat tejadi. Mengingat bahwa
dalam proses produksi diperiukan adanya
waktu dan komoditi yang tidak nol.
Y, aditif
Y, terbatas ke atas
Y, konvek
Asumsi (b) dan (g) berakibat bahwa jika Y,EY,
maka tY, E Y, dengan 0 i t i 1. Dengan kata
lain dapat terjadi perubahan skala produksi
yang tak naik (non-increasing rerurn roscale).
Dennisi 2.2.1.1
Untuk setiap fungsi produksi yang homogen
berderajat q seperti definisi 2.1.6, maka akan
berlaku:
a. perubahan skala produksi tak turun,
untuk q > 1 (non-deceasing rerurn ro scale).
b. perubahan skala produksi tak naik,
untuk q c 1 (non-increasing rerum to scale)
c. perubahan skala produksi yang tetap,
untuk q 1 tconsranr rerum ro scale).
-
2.2.2.
M a k s i i i Keuntungan
Definisi 2.2.2.1
Keuntungan adalah selisih antara penerimaan yang
diperoleh dari hasil penjualan output dengan biaya
yang dikeluarkan untuk memperoleh faktor-faktor
yang dibutuhkan dalam proses produksi.
Gugus yang unsur-unsurnya merupakan kemungkinan tingkat produksi seperti pada persamaan
(2.1) disebut dengan gugus produksi.
Asumsi G u y s Produksi
Gugus produksi sepeni yang didefinisikan pada
(2.1) mempunyai sifat-sifat
a. Yi, Y tertutup
b. 0 E Y,, Y (kemungkinan tidak berproduksi)
Berarti produsen ke-i memiliki peluang untuk
tidak memiliki prcduksi.
Dengan asumsi persaingan sempuma pada
pasar barang dan faktor, permasalahan maksimisasi
keuntungan secara matematis dapat diformulasikan
sebagai
~ ( r =) n ~ a k[TR(r)l'
dimana
n(Y)
-
TqV]
fungsi keuntungan
(2.2)
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
Oleh : Salahudin
G. 26 1675
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
i
MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM):
a
PENDEKATPN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
+t.
Oleh
SALAHUDIN
G 26.1675
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Meraih
Gelar SAWANA MATEMATIKA
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
di
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Judul Karya Ilmiah : MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM:
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI MODEL CGE
INDONESIA
Nama Mahasiswa
: SALAHUDIN
Nomor Pokok
: G 26.1675
Disetujui Oleh
1. Komisi Pen~bimbing
Dr. D.S. Priyarsono
Ketua
Tanggal Lulus: 3 November 1994
Dra. Corinna Bahriawati M.S.
Anggota
'1
Perkembangan model keseimbangan umum multisektoral yang dapat dikomputasi (modelcomputable
general equilibrium) semakin banyak dipergunakan oleh para peneliti sebagai alat analisis untuk
mengetahui adanya keterkaitan antarsektor. Dengan menggunakan struktur model yang terspesifiasi
secara benar dan data-data yang mendekati keadaan sebenarnya serta didukung oleh konsistensi teori,
akan diperoleh basil analisis kebijakan yang lebih realistis. Keseimbangan yang terbentuk m e ~ p a k a n
hasil dari keterkaitan dalam sistem yang dibentuk.
Tulisan ini membahas pendekatan secara matematik model analisis ekonomi tenebut, disertai
dengan analisis numerik model CGE Indonesia untuk data perekonomian Indonesia dengan penekanan
pada simulasi kebijakan pajak. Dengan menggunakan metode penelaahan pustaka dan memperhatikan
siFat-sifat yang dimiliki oleh peubah-peubah yang menyusun model CGE telah terbukti bahwa model
ini memiliki keseimbangan yang unik. Beberapa definisi dan teorema dasar matematik digunakan
dalam pembuktiannya, di antaranya adalah teorema titik tetap (fixed point) Brouwer dan teorema
eksistensi keseimbangan umum Walras.
Hasil simulasi yang dilakukan terhadap model CGE Indonesia telah memberikan ilustrasi
kesalingterkaitan antara komponen-komponen penyusunnya dan antara pelaku ekonomi itu sendiribyang mana memiliki keinginan, kemampuan dan pengetahuan yang berbeda-beda.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada hari ke-10 di bulan September 1970, sebagai anak ke-enam dari
enam bersaudara dari pasangan Bapak H. Amuh Muhidin dan Ibu Hi. Siti Hamnah.
Pendidiian Dasar selama 6 tahun di SD Muhammadi~ahXI1 Jakarta dan ditamatkan pada tahun
1983. Masa sekolah menengah dijalani pada SMP Negeri 33 Jakarta dan lulus pada tahun 1986.
Melanjutkan ke SMA Negeri 3 Jakarta sampai tahun 1989. Pada tahun yang sama diterima di lnstitut
Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), dan setahun kemudian diterima
pada jurusan Matematika Fakultas Matematika danm llmu Pengetahuan Alam dengan program
penunjang ilmu Sosial Ekonomi
Selama kuliah penulis pernah menjadi Asistem Dosen untuk program kuliah Matematika Dasar
dan Kalkulus I. Penulis juga mengikuti beberapa lomba karya ilmiah antar Perguman Tinggi yang
diselenggarakan secara nasional. Lomba penulisan bidang teknologi pada bulan November 1992 oleh
Keluarga Muda-Mahasiswa dan Alumni Penerima Beasiswa Supersemar (KMA-PBS) Universitas Gadjah
Mada, dan bidang pertanian pada bulan Februari 1993 oleh Himpunan Mahasiswa Peminat llmu Sosial
Ekonomi (MISETA) Institut Pertaian Bogor dan PERHEPI. Pada akhir masa kuliah menjadi Asisten
Peneliti pada Lembaga Demografi FEUI.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT. Hanya atas rahrnat dan
hidayah-Nya jua penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Keseimbangan umum (general eqrtilibrium) merupakan analisis yang umum digunakan untuk
menilai adanya keterkairan diantara sektor-sektor dalam suaru sistem. H a i l keseimbangan merupakan
keadaan atau posisi yang diharapkan dapat memenuhi harapan setiap pelakunya, karena pada kondisi
itulah keterbatasan dan kelebihan saling melengkapi. Karya ilmiah ini bemsaha untuk menambah
perbendaharaan pengerahuan tentang model keseimbangan umum, terutama untuk aplikasi pada model
Indonesia. Penjabaran secara konsep dan teknik dilahvkan dalam tulisan ini.
Secara khusus penulis iugin mengucapkan rasa terima kasih kepada:
1. Dr. Amril Aman. Dr. D.S. Priyarsono, Dra. Corinna Bahriawati, MS. dan Ir. Endar H.N.MS.
selaku dosen pembimbing dan penguji pada tugas akhir yang telah banyak memberikan saran,
masukan dan domngan selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini maupun selama p n u l i s
kuliah di jurusan Matematika.
2.
Seluruh sraf d o x n dan pegawai pada jurusan Matematika IPB yang telah membantu penulis
selama menjalani smdi.
3.
Yayasan Supersemar dan KMA-PBS IPB yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis
selama kuliah di IPB.
Ibunda dan Ayahanda sena keluarga penulis, dengan penuh kasih telah membimbing,
mengarahkan dan membantu penulis selama ini secara moril dan materiil.
4.
5.
6.
Keluarga di Bogor, yang telah membantu dan menjadi orangtua penulis selama kuliah di Bogor.
R. Michael Tene SE, Yoyok SE, dan Iman SE, yang telah memberikan waktunya untuk
memberikan tutorial GAMS kepada penulis.
7. Rekan-rekan mahasiswa IPB, khusunya rekan di Asrama Felicia IPB dan mahasiswa sesama
jurusan Matemarika.
8. Peneliti, Asisten Peneliti dan teman-teman di Lembaga Demografi FEU1 yang telah banyak
memberikan dorongan dan masukan kepada penulis
9 . Kepada semua pihak yang telah membantu penulis selama penulis menjalani kuliah dan bermukim
di Bogor.
Mudah-mudahan semua kebaikan yang telah diberikan mendapatkan in~balanyang sesuai dari
Allah SWT. Amiin. Akhirnya penulis berharap semoga h a i l karya ini dapat bermanfaat bagi x m u a
umat manusia.
Bogor, Desember 1994
Halaman
KATA PENGANTAR
DAFTAR IS1
BAB
I
PENDAHULUAN
BAB I1 TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Konsep Matematik
2.2. Beberapa Konsep Dasar Ekonomi
2.2.1. Produsen clan Teori Produksi
2.2.2. Maksimisasi Keuntungan
2.2.3. Konsumen dan Teori Konsumsi
2.3. Teori Keseimbangan Umum
2.3.1. Keseimbangan Produksi
2.3.2. Keseimbangan Konsumsi
2.4. Eksistensi Keseimbangan Umum
BAB I11 MODEL CGE
3.1. Stmktur Model CGE
3.2. Penamaan Model CGE
3.3. Sisi Produsen
3.4. Sisi Konsumen
3.4.1. Pendapatan Konsumen
3.4.2. Fungsi Permintaan
3.4.3. Pengeluaran Konsumen
3.5. Persamaan Excess Demand Komoditi
3.6. Mekanisme ANS Berputar
3.7. Sistem Ekonomi Tertutup dan Terbuka
3.6. Model Aplikasi Keseimbangan Umum
3.8.1. Model Harga Domestik
BAB IV MODEL APLIKASI CGE INDONESIA
4.1. Model Aplikasi
4.2. Tingkat Agregasi
4.3. Proses Kalibrasi
4.4. Simulasi Model
4.4.1
Pengamhnya Terhadap Harga
4.4.2. Pengamhnya Terhadap Volume Komoditi
4.4.3. Pengamhnya Terhadap Faktor Produksi
dan Rumah Tangga
4.5.
Analisis
BAB V KESIMPULAN
DAFTARPUSTAKA
LAMPIRAN
BN3 11 TINJAUAN PUSTAKA
Salah satu perkembangan paling menarik dalam
analisis ekonomi--khususnya yang berkaitan
dengan metodologi secara matematik-- selama lima
belas tahun terakhir adalah meningkatnya penggunaan model keseimbangan umum yang dapat
dikomputasi (Computable General Equilibrium
atau CGE).
Dalam tulisan ini disajikan model analisis
ekonomi tersebut. Model ini didasarkan kepada
Model Keseimbangan Umum WalrasIDebreu, 19591
dengan "pengeksplisitan" berbagai komponennya,
sehingga memungkinkan kita untuk mempelajari
perilaku sistem perekonomian baik secara numerik
maupun empirik.
Dalam suatu sistem perekonomian, hubungan
antar komponen (variabel) sangat erat. Untuk
mempelajari sistem tersebut dibutuhkan adanya
suatu kerangka yang bersifat komprehensif. Model
CGEmemungkinkan kita untukmelakukan analisis
semacam itu. Model CGE tidak hanya mempertimbangkan aspek internal, tetapi juga mempertimbangkan aspek eksternal, aspek struk-tural dan
aspek lainnya [Shoven and Whalley, 1984; Devarajan, Lewis and Robinson, 19861.
Tujuan penelitian ini adalah memaparkan
landasan matematik model CGE beserta contoh
aplikasinya dalam perekonomian Indonesia.
Metodologi yang digunakan dalampemaparan
landasan matematik adalah penelaahan kepustakaan [Debrue; Dervis, De Melo & Robinson;
Goldberg; Jehle; dan Lewis]. Sedangkan untuk
aplikasi model digunakan simulasi komputer
(program aplikasi CAMS, General Algebraic
Modelling System) dengan data Indonesia.
Bab 11 membahas landasan matematik model
CGE. Selanjutnya, pada bab Ill dijelaskan secara
lebih rinci, termasuk pembahasan contoh permodelannya. Pada bab IV, disajikan hasil analisis
numerik model aplikasi CGE Indonesia untuk data
perekonomian Indonesia dengan penekanan pada
simulasi kebijakan pajak. Akhirnya pada bab V
diberikan beberapa kesimpulan dan saran.
2.1. Konscp Matematik
Sebelum lebih jauh membahas tentang permasalahan keseimbangan umum dalam suatu sistem
ekonomi, beberapa konsep dasar matematiksangat
diperlukan dalam pembahasan-pembahasan selanjutnya.
Berikut ini beberapa definisi dan teoremayang
diperlukan dalam tulisan ini. Misalkan (X,d) adalah
ruang metrik,
Delinisi 2.1.1
X tertutup jika terdapat barisan 1x.l E X, xn x,,
dengan x, E X.
-
Delinisi 2.1.2
X aditif jika setiap xi, xi E X, berakibat (x, + x> E X.
Delinisi 2.1.3
X konveks jika setiap xi, xi E X dan C
berakibat C E X untuk 0 i t I 1.
-
txi + (1-t)xi
Delinisi 2.1.4
Misalkan A i R, A dikatakan terbatas ke atas jika
ada b E R, sedemikian rupa sehingga a s b untuk
setiap a E A.
Delinisi 2.1.5
Misalkan A c R, A dikatakan terbatas ke bawah jika
ada c E R, sedemikian rupa sehingga c i a untuk
setiap a E A.
-
Delinisi 2.1.6
Misalkan Y f(x,, x,, ...., x,) dan m adalah suatu
bilangan positif, maka Y disebut fungsi homogen
berderajat q, jika
[(nu,, nm,,.... my,) = mql(x,, x,,.... x,)
mqY.
-
Delinisi 2.1.7
E c X dikatakan gugus terhubungkan jika E adalah
bukan gabungan dari dua gugus buka yang saling
asing (disjoint).
Tcorcma 2.1.8
Misalkan gugus lak kosong A c X, dan x E X.
x E I\ jika dan hanya jika barisan lxnl di A berlaku
lim s, x.
-
0 - -
(-1 Misalkan x
E
;\, maka untuk setiap n integer
positif, ada bola buka B(x,l/n) yang memiliki
paling sedikit satu titik di A.
-
Jika Ix.1 adalah barisan di X, dan untuk n asli sebarang dipilih x, E A n B(x,l/n) maka lim x, x
"-
-
(-1 Misalkan Ix.1 barisan di X dengan lim x.
"--
-
Lkfinisi 2.1.11
Misalkan gugus K di X mempunyai selimut buka
IG.1, dimana K s u G..
Gugus K dikatakan kompak jika terdapat =,,..,-,
berhingga sedemikian rupa sehingga
K G UG,
I i
.
x.
B(x,r) adalah bola buka yang berpusat di x dan
berjari-jari r. Untuk setiap r > 0 ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk setiap n 2 N, d(x,x,) < r,
dimana X, E A n B(x,r). Dengan demikian x E
A.
Teorema 2.1.12 (Heine-Borel)
Misalkan gugus K r R", K dikatakan kompak jika
dan hanya jika tertutup dan terbatas.
Bukti
(-) Misalkan K kompak, K s R". ALan dibuktikan
Lkfinisi 2.1.9
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalah ruang metrik.
Fungsi f: X - Y dikatakan kontinu di x, E X jika
dan hanya jika untuk setiap e > 0, ada 6(e,xJ > 0
sedemikian rupa sehingga p(f(xJ,f(x)) < e, bila
d(x,xJ c 6.
Fungsi f dikatakan kontinu pa& X jika dan hanya
jika f kontinu di setiap titik pada X.
Teorerna 2.1.10
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalab ruang metrik.
Fungsi f: X Y dikatakan kontinu pada titik x,E X
f(xJ untuk setiap
jika dan hanya jika lim f(xJ
-
-
"- -
barisan lx,l di X dengan lim x,
n-
-
-
x..
(-1 Misalkan f kontinu di x, dan (x.1 adalah baris-
-
an di X dengan lim x,
"-
-
x,.
Jika diambil e > 0, ada 6 > 0 sedemikian rupa
sehingga jika d(x,,x) < 6 maka p(f(xJ.f(x)) < e,
dan ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk
n L N, jika d(x,,x,) < 6 maka p(f(xJ,f(x,) < c.
Berarti lim f(x,)
f(xJ.
-
0 - -
(-1 Misalkan Ix.1 adalah barisan di X dengan
lim x, x, Jika lim f(x,)- f(xJ maka untuk
n--
-
"-
-
setiap c > 0 ada 6 >O sedemikian rupa sehingga
jika d(x,, x,) < 6 maka p(f(xJ,f(xJ) < e. Dan
untuk setiap n 2 N ada x E X sedemikian rupa
sehingga jika d(x, xJ < 6 maka p(f(x),f(xJ) < e.
K tertutup, atau Kcterbuka.
Misalkan x E R", x B K. Jika y E K. V(y,r,) dan
W(x,r,) masing-masing adalah persekitaran dari y
dan x.
Maka akan diperolehpersekitaran dari x yaitu B,
yang terdiri dari semua titik y E K dimana
B , - I ~ E R " :/ y - x / > l / n l
Karena K kompak, maka terdapat y:. y,,... yn di K
berhingga sedemikian rupa sehingga
K c \ITv,
u \VyV,,,. . . u \V_
W
-
-
Jika V V,, n Vx,, . . . n V,, adalah persekiraran
dari x yang tidak berpotongan dengan W. Maka
V c Kc, dan x adalah titik &lam dari K. Dengan
dernikian Kc terbuka.
Akan dibuktikan K terbatas. Misalkan x E R", x 8 K,
B(x,r) adalah bola buka dengan pusat x yang
berjari-jari r. Untuk setiap n bilangan asli misalkan
gugus terbuka H, didefinisikan sebagai
H, = I B(x,r) : B(x,r) < n I
Dengan demikian, ruang R" dan juga K akan terdiri
dari gabungan gugus H,, n E N. Karena K kompak
maka untuk setiap n E N berlaku K s H, dan
berarti K terbatas.
(-) Jika K tenutup dan terbatas, maka akan dibuk-
tikan K kompnk. Misalkan K tertutup dan terbatas,
(xmladalah barisan di K, x,
so. untuk x, E K.
Untuk setiap titik x E K terdapat bola buka B(x,r)
yang terdiri atas x, untuk n berhinaa. Gabungan
dari semua bola buka B(x,r) akan menjadi selimut
-
buka dari K, dan K r L B(x,r). Karena K terbatas,
maka ada n berhingga sedemikian rupa sehingga
K c u B(x,,r).
c.
d.
2.2. k b c r a p a Konsep I>lsar Bkonomi
Suatu sistem perekonomian memiliki dua pelaku
utama, yaitu produsen dan konsumen. Keduanya
rnempunyaiperilakuyangdikendalikanolehproses
maksimisasi fungsi tujuannya masing-masing.
Produsen berusaha mernaksimumkan fungsi produksinya dan konsumen berusaha memaksimumkan tingkat kepuasannya (urilily). Konsep
produsen dan teori produksi serta teori konsumen
secara benurut-turut diielaskan di bawah ini.
2.2.1 Produsen dan Teai Produksi
Secara umum diasumsikan bahwa produsen memproduksi sejumlah 1 komoditi. Tingkat produksi
seorangprodusen ke-jdigambarkansebagaisebuah
titik pada ruang berdimensi I, atau dapat
dilarnbangkan sebagai
Y i = lY.,Yj
I1
2,..., Y,, I
-
dimana
Y,, produksi komoditi k, produsen ke-j
k -1, . . . , I
Misalkan dalam sistem perekonomian ini
terdapat n produsen. alaka total produksi (dilambangkan dengan Y) &pat dituliskan sebagai
e.
f.
g.
Y ~ R C
dimana R adalah gugus kemungkinan
produksi dengan input produksi nol.
Y n (-Y) c I01 (tidak berubah)
Artinya, jika total produksiY dengan input dan
output yang semuanya tidak no1 dapat tejadi,
maka totalproduksi dengan kondisisebaliknya
(-Y) tidak dapat tejadi. Mengingat bahwa
dalam proses produksi diperiukan adanya
waktu dan komoditi yang tidak nol.
Y, aditif
Y, terbatas ke atas
Y, konvek
Asumsi (b) dan (g) berakibat bahwa jika Y,EY,
maka tY, E Y, dengan 0 i t i 1. Dengan kata
lain dapat terjadi perubahan skala produksi
yang tak naik (non-increasing rerurn roscale).
Dennisi 2.2.1.1
Untuk setiap fungsi produksi yang homogen
berderajat q seperti definisi 2.1.6, maka akan
berlaku:
a. perubahan skala produksi tak turun,
untuk q > 1 (non-deceasing rerurn ro scale).
b. perubahan skala produksi tak naik,
untuk q c 1 (non-increasing rerum to scale)
c. perubahan skala produksi yang tetap,
untuk q 1 tconsranr rerum ro scale).
-
2.2.2.
M a k s i i i Keuntungan
Definisi 2.2.2.1
Keuntungan adalah selisih antara penerimaan yang
diperoleh dari hasil penjualan output dengan biaya
yang dikeluarkan untuk memperoleh faktor-faktor
yang dibutuhkan dalam proses produksi.
Gugus yang unsur-unsurnya merupakan kemungkinan tingkat produksi seperti pada persamaan
(2.1) disebut dengan gugus produksi.
Asumsi G u y s Produksi
Gugus produksi sepeni yang didefinisikan pada
(2.1) mempunyai sifat-sifat
a. Yi, Y tertutup
b. 0 E Y,, Y (kemungkinan tidak berproduksi)
Berarti produsen ke-i memiliki peluang untuk
tidak memiliki prcduksi.
Dengan asumsi persaingan sempuma pada
pasar barang dan faktor, permasalahan maksimisasi
keuntungan secara matematis dapat diformulasikan
sebagai
~ ( r =) n ~ a k[TR(r)l'
dimana
n(Y)
-
TqV]
fungsi keuntungan
(2.2)
MODEL COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM (CGE)
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
Oleh : Salahudin
G. 26 1675
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
i
MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM):
a
PENDEKATPN MATEMATIK DAN APLIKASI
MODEL CGE INDONESIA
+t.
Oleh
SALAHUDIN
G 26.1675
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Meraih
Gelar SAWANA MATEMATIKA
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
di
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Judul Karya Ilmiah : MODEL CGE (COMPUTABLE GENERAL EQUILIBRIUM:
PENDEKATAN MATEMATIK DAN APLIKASI MODEL CGE
INDONESIA
Nama Mahasiswa
: SALAHUDIN
Nomor Pokok
: G 26.1675
Disetujui Oleh
1. Komisi Pen~bimbing
Dr. D.S. Priyarsono
Ketua
Tanggal Lulus: 3 November 1994
Dra. Corinna Bahriawati M.S.
Anggota
'1
Perkembangan model keseimbangan umum multisektoral yang dapat dikomputasi (modelcomputable
general equilibrium) semakin banyak dipergunakan oleh para peneliti sebagai alat analisis untuk
mengetahui adanya keterkaitan antarsektor. Dengan menggunakan struktur model yang terspesifiasi
secara benar dan data-data yang mendekati keadaan sebenarnya serta didukung oleh konsistensi teori,
akan diperoleh basil analisis kebijakan yang lebih realistis. Keseimbangan yang terbentuk m e ~ p a k a n
hasil dari keterkaitan dalam sistem yang dibentuk.
Tulisan ini membahas pendekatan secara matematik model analisis ekonomi tenebut, disertai
dengan analisis numerik model CGE Indonesia untuk data perekonomian Indonesia dengan penekanan
pada simulasi kebijakan pajak. Dengan menggunakan metode penelaahan pustaka dan memperhatikan
siFat-sifat yang dimiliki oleh peubah-peubah yang menyusun model CGE telah terbukti bahwa model
ini memiliki keseimbangan yang unik. Beberapa definisi dan teorema dasar matematik digunakan
dalam pembuktiannya, di antaranya adalah teorema titik tetap (fixed point) Brouwer dan teorema
eksistensi keseimbangan umum Walras.
Hasil simulasi yang dilakukan terhadap model CGE Indonesia telah memberikan ilustrasi
kesalingterkaitan antara komponen-komponen penyusunnya dan antara pelaku ekonomi itu sendiribyang mana memiliki keinginan, kemampuan dan pengetahuan yang berbeda-beda.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada hari ke-10 di bulan September 1970, sebagai anak ke-enam dari
enam bersaudara dari pasangan Bapak H. Amuh Muhidin dan Ibu Hi. Siti Hamnah.
Pendidiian Dasar selama 6 tahun di SD Muhammadi~ahXI1 Jakarta dan ditamatkan pada tahun
1983. Masa sekolah menengah dijalani pada SMP Negeri 33 Jakarta dan lulus pada tahun 1986.
Melanjutkan ke SMA Negeri 3 Jakarta sampai tahun 1989. Pada tahun yang sama diterima di lnstitut
Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), dan setahun kemudian diterima
pada jurusan Matematika Fakultas Matematika danm llmu Pengetahuan Alam dengan program
penunjang ilmu Sosial Ekonomi
Selama kuliah penulis pernah menjadi Asistem Dosen untuk program kuliah Matematika Dasar
dan Kalkulus I. Penulis juga mengikuti beberapa lomba karya ilmiah antar Perguman Tinggi yang
diselenggarakan secara nasional. Lomba penulisan bidang teknologi pada bulan November 1992 oleh
Keluarga Muda-Mahasiswa dan Alumni Penerima Beasiswa Supersemar (KMA-PBS) Universitas Gadjah
Mada, dan bidang pertanian pada bulan Februari 1993 oleh Himpunan Mahasiswa Peminat llmu Sosial
Ekonomi (MISETA) Institut Pertaian Bogor dan PERHEPI. Pada akhir masa kuliah menjadi Asisten
Peneliti pada Lembaga Demografi FEUI.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT. Hanya atas rahrnat dan
hidayah-Nya jua penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Keseimbangan umum (general eqrtilibrium) merupakan analisis yang umum digunakan untuk
menilai adanya keterkairan diantara sektor-sektor dalam suaru sistem. H a i l keseimbangan merupakan
keadaan atau posisi yang diharapkan dapat memenuhi harapan setiap pelakunya, karena pada kondisi
itulah keterbatasan dan kelebihan saling melengkapi. Karya ilmiah ini bemsaha untuk menambah
perbendaharaan pengerahuan tentang model keseimbangan umum, terutama untuk aplikasi pada model
Indonesia. Penjabaran secara konsep dan teknik dilahvkan dalam tulisan ini.
Secara khusus penulis iugin mengucapkan rasa terima kasih kepada:
1. Dr. Amril Aman. Dr. D.S. Priyarsono, Dra. Corinna Bahriawati, MS. dan Ir. Endar H.N.MS.
selaku dosen pembimbing dan penguji pada tugas akhir yang telah banyak memberikan saran,
masukan dan domngan selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini maupun selama p n u l i s
kuliah di jurusan Matematika.
2.
Seluruh sraf d o x n dan pegawai pada jurusan Matematika IPB yang telah membantu penulis
selama menjalani smdi.
3.
Yayasan Supersemar dan KMA-PBS IPB yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis
selama kuliah di IPB.
Ibunda dan Ayahanda sena keluarga penulis, dengan penuh kasih telah membimbing,
mengarahkan dan membantu penulis selama ini secara moril dan materiil.
4.
5.
6.
Keluarga di Bogor, yang telah membantu dan menjadi orangtua penulis selama kuliah di Bogor.
R. Michael Tene SE, Yoyok SE, dan Iman SE, yang telah memberikan waktunya untuk
memberikan tutorial GAMS kepada penulis.
7. Rekan-rekan mahasiswa IPB, khusunya rekan di Asrama Felicia IPB dan mahasiswa sesama
jurusan Matemarika.
8. Peneliti, Asisten Peneliti dan teman-teman di Lembaga Demografi FEU1 yang telah banyak
memberikan dorongan dan masukan kepada penulis
9 . Kepada semua pihak yang telah membantu penulis selama penulis menjalani kuliah dan bermukim
di Bogor.
Mudah-mudahan semua kebaikan yang telah diberikan mendapatkan in~balanyang sesuai dari
Allah SWT. Amiin. Akhirnya penulis berharap semoga h a i l karya ini dapat bermanfaat bagi x m u a
umat manusia.
Bogor, Desember 1994
Halaman
KATA PENGANTAR
DAFTAR IS1
BAB
I
PENDAHULUAN
BAB I1 TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Konsep Matematik
2.2. Beberapa Konsep Dasar Ekonomi
2.2.1. Produsen clan Teori Produksi
2.2.2. Maksimisasi Keuntungan
2.2.3. Konsumen dan Teori Konsumsi
2.3. Teori Keseimbangan Umum
2.3.1. Keseimbangan Produksi
2.3.2. Keseimbangan Konsumsi
2.4. Eksistensi Keseimbangan Umum
BAB I11 MODEL CGE
3.1. Stmktur Model CGE
3.2. Penamaan Model CGE
3.3. Sisi Produsen
3.4. Sisi Konsumen
3.4.1. Pendapatan Konsumen
3.4.2. Fungsi Permintaan
3.4.3. Pengeluaran Konsumen
3.5. Persamaan Excess Demand Komoditi
3.6. Mekanisme ANS Berputar
3.7. Sistem Ekonomi Tertutup dan Terbuka
3.6. Model Aplikasi Keseimbangan Umum
3.8.1. Model Harga Domestik
BAB IV MODEL APLIKASI CGE INDONESIA
4.1. Model Aplikasi
4.2. Tingkat Agregasi
4.3. Proses Kalibrasi
4.4. Simulasi Model
4.4.1
Pengamhnya Terhadap Harga
4.4.2. Pengamhnya Terhadap Volume Komoditi
4.4.3. Pengamhnya Terhadap Faktor Produksi
dan Rumah Tangga
4.5.
Analisis
BAB V KESIMPULAN
DAFTARPUSTAKA
LAMPIRAN
BN3 11 TINJAUAN PUSTAKA
Salah satu perkembangan paling menarik dalam
analisis ekonomi--khususnya yang berkaitan
dengan metodologi secara matematik-- selama lima
belas tahun terakhir adalah meningkatnya penggunaan model keseimbangan umum yang dapat
dikomputasi (Computable General Equilibrium
atau CGE).
Dalam tulisan ini disajikan model analisis
ekonomi tersebut. Model ini didasarkan kepada
Model Keseimbangan Umum WalrasIDebreu, 19591
dengan "pengeksplisitan" berbagai komponennya,
sehingga memungkinkan kita untuk mempelajari
perilaku sistem perekonomian baik secara numerik
maupun empirik.
Dalam suatu sistem perekonomian, hubungan
antar komponen (variabel) sangat erat. Untuk
mempelajari sistem tersebut dibutuhkan adanya
suatu kerangka yang bersifat komprehensif. Model
CGEmemungkinkan kita untukmelakukan analisis
semacam itu. Model CGE tidak hanya mempertimbangkan aspek internal, tetapi juga mempertimbangkan aspek eksternal, aspek struk-tural dan
aspek lainnya [Shoven and Whalley, 1984; Devarajan, Lewis and Robinson, 19861.
Tujuan penelitian ini adalah memaparkan
landasan matematik model CGE beserta contoh
aplikasinya dalam perekonomian Indonesia.
Metodologi yang digunakan dalampemaparan
landasan matematik adalah penelaahan kepustakaan [Debrue; Dervis, De Melo & Robinson;
Goldberg; Jehle; dan Lewis]. Sedangkan untuk
aplikasi model digunakan simulasi komputer
(program aplikasi CAMS, General Algebraic
Modelling System) dengan data Indonesia.
Bab 11 membahas landasan matematik model
CGE. Selanjutnya, pada bab Ill dijelaskan secara
lebih rinci, termasuk pembahasan contoh permodelannya. Pada bab IV, disajikan hasil analisis
numerik model aplikasi CGE Indonesia untuk data
perekonomian Indonesia dengan penekanan pada
simulasi kebijakan pajak. Akhirnya pada bab V
diberikan beberapa kesimpulan dan saran.
2.1. Konscp Matematik
Sebelum lebih jauh membahas tentang permasalahan keseimbangan umum dalam suatu sistem
ekonomi, beberapa konsep dasar matematiksangat
diperlukan dalam pembahasan-pembahasan selanjutnya.
Berikut ini beberapa definisi dan teoremayang
diperlukan dalam tulisan ini. Misalkan (X,d) adalah
ruang metrik,
Delinisi 2.1.1
X tertutup jika terdapat barisan 1x.l E X, xn x,,
dengan x, E X.
-
Delinisi 2.1.2
X aditif jika setiap xi, xi E X, berakibat (x, + x> E X.
Delinisi 2.1.3
X konveks jika setiap xi, xi E X dan C
berakibat C E X untuk 0 i t I 1.
-
txi + (1-t)xi
Delinisi 2.1.4
Misalkan A i R, A dikatakan terbatas ke atas jika
ada b E R, sedemikian rupa sehingga a s b untuk
setiap a E A.
Delinisi 2.1.5
Misalkan A c R, A dikatakan terbatas ke bawah jika
ada c E R, sedemikian rupa sehingga c i a untuk
setiap a E A.
-
Delinisi 2.1.6
Misalkan Y f(x,, x,, ...., x,) dan m adalah suatu
bilangan positif, maka Y disebut fungsi homogen
berderajat q, jika
[(nu,, nm,,.... my,) = mql(x,, x,,.... x,)
mqY.
-
Delinisi 2.1.7
E c X dikatakan gugus terhubungkan jika E adalah
bukan gabungan dari dua gugus buka yang saling
asing (disjoint).
Tcorcma 2.1.8
Misalkan gugus lak kosong A c X, dan x E X.
x E I\ jika dan hanya jika barisan lxnl di A berlaku
lim s, x.
-
0 - -
(-1 Misalkan x
E
;\, maka untuk setiap n integer
positif, ada bola buka B(x,l/n) yang memiliki
paling sedikit satu titik di A.
-
Jika Ix.1 adalah barisan di X, dan untuk n asli sebarang dipilih x, E A n B(x,l/n) maka lim x, x
"-
-
(-1 Misalkan Ix.1 barisan di X dengan lim x.
"--
-
Lkfinisi 2.1.11
Misalkan gugus K di X mempunyai selimut buka
IG.1, dimana K s u G..
Gugus K dikatakan kompak jika terdapat =,,..,-,
berhingga sedemikian rupa sehingga
K G UG,
I i
.
x.
B(x,r) adalah bola buka yang berpusat di x dan
berjari-jari r. Untuk setiap r > 0 ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk setiap n 2 N, d(x,x,) < r,
dimana X, E A n B(x,r). Dengan demikian x E
A.
Teorema 2.1.12 (Heine-Borel)
Misalkan gugus K r R", K dikatakan kompak jika
dan hanya jika tertutup dan terbatas.
Bukti
(-) Misalkan K kompak, K s R". ALan dibuktikan
Lkfinisi 2.1.9
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalah ruang metrik.
Fungsi f: X - Y dikatakan kontinu di x, E X jika
dan hanya jika untuk setiap e > 0, ada 6(e,xJ > 0
sedemikian rupa sehingga p(f(xJ,f(x)) < e, bila
d(x,xJ c 6.
Fungsi f dikatakan kontinu pa& X jika dan hanya
jika f kontinu di setiap titik pada X.
Teorerna 2.1.10
Misalkan (X,d) dan (Y,p) adalab ruang metrik.
Fungsi f: X Y dikatakan kontinu pada titik x,E X
f(xJ untuk setiap
jika dan hanya jika lim f(xJ
-
-
"- -
barisan lx,l di X dengan lim x,
n-
-
-
x..
(-1 Misalkan f kontinu di x, dan (x.1 adalah baris-
-
an di X dengan lim x,
"-
-
x,.
Jika diambil e > 0, ada 6 > 0 sedemikian rupa
sehingga jika d(x,,x) < 6 maka p(f(xJ.f(x)) < e,
dan ada N asli sedemikian rupa sehingga untuk
n L N, jika d(x,,x,) < 6 maka p(f(xJ,f(x,) < c.
Berarti lim f(x,)
f(xJ.
-
0 - -
(-1 Misalkan Ix.1 adalah barisan di X dengan
lim x, x, Jika lim f(x,)- f(xJ maka untuk
n--
-
"-
-
setiap c > 0 ada 6 >O sedemikian rupa sehingga
jika d(x,, x,) < 6 maka p(f(xJ,f(xJ) < e. Dan
untuk setiap n 2 N ada x E X sedemikian rupa
sehingga jika d(x, xJ < 6 maka p(f(x),f(xJ) < e.
K tertutup, atau Kcterbuka.
Misalkan x E R", x B K. Jika y E K. V(y,r,) dan
W(x,r,) masing-masing adalah persekitaran dari y
dan x.
Maka akan diperolehpersekitaran dari x yaitu B,
yang terdiri dari semua titik y E K dimana
B , - I ~ E R " :/ y - x / > l / n l
Karena K kompak, maka terdapat y:. y,,... yn di K
berhingga sedemikian rupa sehingga
K c \ITv,
u \VyV,,,. . . u \V_
W
-
-
Jika V V,, n Vx,, . . . n V,, adalah persekiraran
dari x yang tidak berpotongan dengan W. Maka
V c Kc, dan x adalah titik &lam dari K. Dengan
dernikian Kc terbuka.
Akan dibuktikan K terbatas. Misalkan x E R", x 8 K,
B(x,r) adalah bola buka dengan pusat x yang
berjari-jari r. Untuk setiap n bilangan asli misalkan
gugus terbuka H, didefinisikan sebagai
H, = I B(x,r) : B(x,r) < n I
Dengan demikian, ruang R" dan juga K akan terdiri
dari gabungan gugus H,, n E N. Karena K kompak
maka untuk setiap n E N berlaku K s H, dan
berarti K terbatas.
(-) Jika K tenutup dan terbatas, maka akan dibuk-
tikan K kompnk. Misalkan K tertutup dan terbatas,
(xmladalah barisan di K, x,
so. untuk x, E K.
Untuk setiap titik x E K terdapat bola buka B(x,r)
yang terdiri atas x, untuk n berhinaa. Gabungan
dari semua bola buka B(x,r) akan menjadi selimut
-
buka dari K, dan K r L B(x,r). Karena K terbatas,
maka ada n berhingga sedemikian rupa sehingga
K c u B(x,,r).
c.
d.
2.2. k b c r a p a Konsep I>lsar Bkonomi
Suatu sistem perekonomian memiliki dua pelaku
utama, yaitu produsen dan konsumen. Keduanya
rnempunyaiperilakuyangdikendalikanolehproses
maksimisasi fungsi tujuannya masing-masing.
Produsen berusaha mernaksimumkan fungsi produksinya dan konsumen berusaha memaksimumkan tingkat kepuasannya (urilily). Konsep
produsen dan teori produksi serta teori konsumen
secara benurut-turut diielaskan di bawah ini.
2.2.1 Produsen dan Teai Produksi
Secara umum diasumsikan bahwa produsen memproduksi sejumlah 1 komoditi. Tingkat produksi
seorangprodusen ke-jdigambarkansebagaisebuah
titik pada ruang berdimensi I, atau dapat
dilarnbangkan sebagai
Y i = lY.,Yj
I1
2,..., Y,, I
-
dimana
Y,, produksi komoditi k, produsen ke-j
k -1, . . . , I
Misalkan dalam sistem perekonomian ini
terdapat n produsen. alaka total produksi (dilambangkan dengan Y) &pat dituliskan sebagai
e.
f.
g.
Y ~ R C
dimana R adalah gugus kemungkinan
produksi dengan input produksi nol.
Y n (-Y) c I01 (tidak berubah)
Artinya, jika total produksiY dengan input dan
output yang semuanya tidak no1 dapat tejadi,
maka totalproduksi dengan kondisisebaliknya
(-Y) tidak dapat tejadi. Mengingat bahwa
dalam proses produksi diperiukan adanya
waktu dan komoditi yang tidak nol.
Y, aditif
Y, terbatas ke atas
Y, konvek
Asumsi (b) dan (g) berakibat bahwa jika Y,EY,
maka tY, E Y, dengan 0 i t i 1. Dengan kata
lain dapat terjadi perubahan skala produksi
yang tak naik (non-increasing rerurn roscale).
Dennisi 2.2.1.1
Untuk setiap fungsi produksi yang homogen
berderajat q seperti definisi 2.1.6, maka akan
berlaku:
a. perubahan skala produksi tak turun,
untuk q > 1 (non-deceasing rerurn ro scale).
b. perubahan skala produksi tak naik,
untuk q c 1 (non-increasing rerum to scale)
c. perubahan skala produksi yang tetap,
untuk q 1 tconsranr rerum ro scale).
-
2.2.2.
M a k s i i i Keuntungan
Definisi 2.2.2.1
Keuntungan adalah selisih antara penerimaan yang
diperoleh dari hasil penjualan output dengan biaya
yang dikeluarkan untuk memperoleh faktor-faktor
yang dibutuhkan dalam proses produksi.
Gugus yang unsur-unsurnya merupakan kemungkinan tingkat produksi seperti pada persamaan
(2.1) disebut dengan gugus produksi.
Asumsi G u y s Produksi
Gugus produksi sepeni yang didefinisikan pada
(2.1) mempunyai sifat-sifat
a. Yi, Y tertutup
b. 0 E Y,, Y (kemungkinan tidak berproduksi)
Berarti produsen ke-i memiliki peluang untuk
tidak memiliki prcduksi.
Dengan asumsi persaingan sempuma pada
pasar barang dan faktor, permasalahan maksimisasi
keuntungan secara matematis dapat diformulasikan
sebagai
~ ( r =) n ~ a k[TR(r)l'
dimana
n(Y)
-
TqV]
fungsi keuntungan
(2.2)