Besarnya manfaat b
t
sebesar 1 satuan diberikan sesaaat setelah meninggal atau diberikan sesaat setelah masa kontrak habis dan tertanggung masih hidup, maka :
b
t
= 1 t n v
t
= v
t
t n b
t
= 1 t n
v
t
= v
t
t �
Dengan Z
t
= V
t
t n dan Z
t
= V
n
t �
Maka besarnya APV untuk asuransi ini adalah : E
[Z
t
]=E[V
t
]= �̅
�:�̅|
= ∫ �
�
. �
�
� + ∫ �
�
. �
∞ �
� Dari persamaan 2.5.4 dan 2.6.2 diperoleh nilai APV dengan distribusi
Gompertz : �̅
�:� ̅̅̅̅̅|
= ∫ �
�
.
�
p
x
μ
x �
� +
�
�
.
�
�
�
= ∫ �� −� −
�+�
+
�
∙
�+�
� + exp −�� −
�+�
−
� �
2.7.4 Persamaan 2.7.4 adalah nilai APV untuk Asuransi Dwiguna.
2.8 Anuitas Annuity
Anuitas didefinisikan sebagai suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah tertentu
dalam selang dan periode waktu tertentu Sembiring, 1986.
2.8.1 Anuitas Tentu
Anuitas tentu adalah serangkaian pembayaran berkala yang dilakukan selama jangka waktu tertentu dilakukan dengan syarat dan besarnya pembayaran berkala
tidak perlu sama. Anuitas tentu dibagi menjadi dua yaitu anuitas yang dibayarkan di awal jangka waktu pembayaran disebut anuitas awal due-annuity dan anuitas
yang dibayarkan di akhir jangka waktu pembayaran disebut anuitas akhir immediate annuity. Total nilai sekarang dari anuitas akhir yang dinotasikan
dengan
�| ̅̅̅
adalah : PV =
�| ̅̅̅
= v + v
2
+ v
3
+… + v
n-1
+v
n
Dengan menggunakan rumus deret geometri, maka :
�| ̅̅̅
= v1+v + v
2
+ v
3
+… + v
n-2
+v
n-1
= v
−�
�
−�
= v
−�
�
� �|
̅̅̅
= − �
�
Sedangkan anuitas awal dinotasikan sebagai ̈
�| ̅̅̅
adalah : ̈
�| ̅̅̅
=1+v + v
2
+ v
3
+… + v
n-2
+v
n-1
= − �
�
− � =
− �
�
�
Nilai akumulasi dari anuitas tentu akhir dengan n pembayaran diberi notasi
�| ̅̅̅
. Nilai akumulasi dari anuitas ini adalah jumlah nilai akumulasi dari tiap
pembayaran sehingga :
�| ̅̅̅
= +
�−
+ +
�−
+ ⋯ + + +
Ruas kanan juga merupakan deret ukur dengan suku pertama +
�−
dengan pembanding
+
−
dan banyaknya suku n, sehingga jumlahnya adalah :
�| ̅̅̅
= +
�−
− +
−�
− +
−
∙ +
+
�| ̅̅̅
= +
�
− + −
�| ̅̅̅
= +
�
−
Untuk anuitas tertentu awal dengan n pembayaran, nilai akumulasinya diberi notasi
�| ̅̅̅
, maka :
�| ̅̅̅
= +
�−
+ +
�−
+ ⋯ + +
� ∙
�| ̅̅̅
= +
�−
+ +
�−
+ ⋯ + � ∙
�| ̅̅̅
=
�
2.8.2 Anuitas Tentu Pembayaran j-kali Setahun
Suatu anuitas tentu yang pembayarannya dilakukan m-kali dalam setahun dengan selang pembayaran setiap 1m tahun dan total pembayaran dalam setahun sebesar
1. Maka total nilai sekarang dari anuitas akhir yang dinotasikan
�| ̅̅̅
adalah :
�| ̅̅̅
= v
1j
+ v
2j
+ v
3j
+… + v
n-1j
+v
n
=
v
j
−�
�− �
−�
.�
=
−�
�
[ +
.�
− ]
=
−�
� �
Sedangkan untuk anuitas awal ̈
�| ̅̅̅
= + v
1j
+ v
2j
+ v
3j
+… + v
n-1j
+v
n-1j
=
−�
�
−�
.�
=
−�
�
[ − −
.�
]
=
−�
� �
2.8.3 Anuitas Tentu Untuk Pembayaran Kontinu Suatu anuitas tentu yang pembayarannya dilakukan sebanyak j kali dalam setahun
dengan j →∞, dengan pembayaran yang dapat dilakukan setiap saat. Anuitas ini
dinotasikan dengan :
�| ̅̅̅
= ∫ �
�
�
�
�| ̅̅̅
= − �
�
�
2.8.4 Anuitas Hidup Life Annuity
