Misalnya, N
M 9 9
M 9 9
N . Pernyataan majemuk
“ dan S” ditulis “ T S” adalah equivalen logis dengan “S dan
” yaitu “S T ”.
Teorema 2.1.5.2
Diberikan himpunan dan ,
5 bila dan hanya bila i
N ii
L iii
R
5
R
iv N
R
C v
L
R
F
2.2 Ruang Topologi
2.2.1 Topologi dan Ruang Topologi
Dalam subbab ini dibahas mengenai topologi dan ruang topologi yang merupakan dasar dari pembahasan berikutnya. Untuk lebih jelas diberikan
definisi-definisi dan teorema yang mendukung dalam topologi sebagai berikut:
Definisi 2.2.1.1
Misal adalah suatu himpunan tidak kosong. Suatu kelas U yang anggotanya
himpunan bagian-himpunan bagian dari disebut topologi pada , bila dan hanya bila
U memenuhi ketiga aksioma berikut :
[0
1
] dan C termasuk dalam U
[0
2
] Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari U adalah anggota U
[0
3
] Irisan dari dua himpunan anggota U adalah anggota U.
Anggota-anggota dari U disebut himpunan-himpunan terbuka, dan bersama U
yaitu , U disebut ruang topologi.
Catatan :
Untuk penulisan ruang topologi , U secara umum cukup ditulis dengan
kecuali topologinya ingin ditonjolkan.
Contoh-contoh topologi Contoh 2.2.1.1
Topologi biasa usual topology pada himpunan semua bilangan riil = Himpunan semua bilangan riil
τ: 4 5 MW 9 4, X Y 0 Z[ Y, 2 Y 5 4
Akan ditunjukkan bahwa , U adalah ruang topologi disebut topologi biasa
usual topologi. 1.
C 9 U karena, jika 9 C , \ X Y 0 sehingga Y, 2 Y 5 C,
implikasi ini bernilai benar sebab antisidennya bernilai salah. Dimana 9 U
sebab W 9 , W Y 0 Y,
2 Y 5 . 2.
4
]
| 9 , 4
]
9 U akan ditunjukkan ∈
∈ I
i i
G U.
Ambil sebarang 9
I i
i
G
∈
_ 9 4
]
untuk suatu i 9 I _ X Y 0 sehingga
x δ, x 2 δ 5 G
c
. Jadi
x δ, x 2 δ 5 G
c
5
I i
i
G
∈
.
Jadi
I ∈
i
G
c
∈ τ.
3. Jika
4
d
, 4
1
∈ U maka 4
d
N 4
1
∈ U sebab untuk sebarang
∈
4
d
N 4
1
∈ 4
d
_ X Y
d
0 sehingga Y
d
, 2 Y
d
5 4
d
. ∈
4
1
_ X Y
1
0 sehingga Y
1
, 2 Y
1
5 4
1
. Y
min Y
d
, Y
1
_ Y, 2 Y 5 Y
d
, 2 Y
d
5 4
d
. Y,
2 Y 5 Y
1
, 2 Y
1
5 4
1
. Jadi
Y, 2 Y 5 4
d
N 4
1
.
Contoh 2.2.1.2
Misalkan , , J, ,
. U
d
, U
1
, U
g
masing-masing himpunan bagian dari 2
h
. Manakah yang merupakan topologi pada X, bila U
d
, C, , J,
, , J,
, , J, ,
. U
1
, C, , J,
, , J,
, , J, ,
. U
g
, C, , J,
, , J,
, , , , ,
. Jawab :
U
d
adalah topologi pada , karena memenuhi ketiga sifat aksioma diatas. U
1
bukan topologi pada , karena himpunan
dan , J,
merupakan elemen
U
1
tetapi L
, J, , , J,
U
1
.
U
g
bukan topologi pada , karena himpunan , J,
dan , , ,
merupakan elemen
U
g
tetapi , J,
N , , ,
, U
g
.
Contoh 2.2.1.3
Misal i adalah kelas dari semua himpunan bagian dari , atau i
2
h
. Maka i
adalah topologi pada , karena memenuhi [0
1
], [0
2
], [0
3
]. i disebut topologi
diskrit, dan , i disebut ruang topologi diskrit, atau secara singkat disebut
ruang diskrit.
Contoh 2.2.1.4
Dari aksioma [0
1
], suatu topologi pada harus memuat himpunan dan C. Kelas
, C yang hanya memuat dan C adalah topologi pada . , C disebut topologi indiskrit, dan , disebut ruang topologi indiskrit
atau ruang indiskrit.
Contoh 2.2.1.5.
Diberikan himpunan tak hingga , topologi U pada didefinisikan dengan 5
, 9 U jika hanya jika
C atau
R
= berhingga. Akan ditunjukkan bahwa U
topologi pada :
i dan
C termasuk dalam U.
Bukti : Dari Definisi 2.2.1.1 sudah diketahui bahwa dan
C termasuk dalam U.
ii Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari
U adalah anggota U.
Bukti :
Diketahui bahwa , 9 U
9 U maka C atau
R
= berhingga 9 U maka
C atau
R
= berhingga, selanjutnya L
C atau L
R
=
R
N
R
Karena
R
dan
R
berhingga maka L
R
=
R
N
R
juga berhingga jadi
L 9 U .
iii Irisan dari dua himpunan anggota
U adalah anggota U.
Bukti :
Diketahui bahwa , 9 U
9 U maka C atau
R
= berhingga, selanjutnya 9 U maka
C atau
R
=
R
L
R
Karena
R
dan
R
berhingga maka N
R
=
R
L
R
juga berhingga jadi
N 9 U.
Maka topologi U tersebut disebut topologi kofinit.
Teorema 2.2.1.2
Jika τ
d
τ
1
topologi pada maka irisan τ
d
N τ
1
juga merupakan topologi pada .
[01]. , C 9 τ
d
N τ
1
, karena , C 9 τ
d
dan , C 9 τ
1
.
[03]. Bila 4, j 9 τ
d
N τ
1
, maka 4, j 9 τ
d
, dan 4, j 9 τ
1
. Karena τ
d
dan τ
1
topologi pada , 4 N j 9 τ
d
dan 4 N j 9 τ
1
jadi 4 N j 9 τ
d
N τ
1
. [02]. Bila
4, j 9 τ
d
N τ
1
, maka 4, j 9 τ
d
dan 4, j 9 τ
1
karena τ
d
dan τ
1
topologi pada , maka 4 L j 9 τ
d
, 4 L j 9 τ
1
, jadi 4 L j 9 τ
d
N τ
1
.
Dalam contoh 2.2.1.6 berikut ditunjukkan bahwa gabungan dari
topologi-topologi belum tentu topologi.
Contoh 2.2.1.6.
Diberikan topologi pada , , J dengan Kelas-kelas U
d
= , C,
dan U
1
= , C,
Diketahui bahwa U
d
L U
1
= , C,
, bukan topologi pada
, karena ,
9 U
d
L U
1
, tetapi L
= ,
U
d
L U
1
. Bila
4 adalah himpunan terbuka yang memuat titik 9 , maka 4 disebut lingkungan terbuka dari p atau persekitaran terbuka dari , dan 4 tanpa
yaitu 4
disebut persekitaran terbuka terhapuskan dari .
2.2.2 Titik Limit
