Bifurkasi pada Model Interaksi Tumbuhan dan Herbivora
i
BIFURKASI PADA MODEL INTERAKASI
TUMBUHAN DAN HERBIVORA
IRMA SAHARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ii
iii
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi pada Model
Interaksi Tumbuhan dan Herbivora adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Desember 2013
Irma Sahara
NIM G54080082
ii
ABSTRAK
IRMA SAHARA. Bifurkasi pada Model Interaksi Tumbuhan dan Herbivora.
Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan PAIAN SIANTURI.
Saha dan Bandyopadhyay (2005) memodelkan sistem mangsa-pemangsa yang
merepresentasikan interaksi tumbuhan dan herbivora. Pada karya ilmiah ini, dicari
bifurkasi yang terjadi dengan terlebih dulu menganalisis kestabilan titik tetap. Ada
tiga titik tetap yang diperoleh dengan jenis kestabilan titik tetap ditentukan oleh
nilai eigen yang diperoleh dari ketiga titik tetap tersebut. Titik tetap pertama dan
kedua bersifat sadel dan terdapat empat kasus pada titik tetap ketiga agar mencapai
kestabilan. Dengan pemilihan parameter tertentu, diperoleh bifurkasi Hopf yakni
terjadinya perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil dan
terdapat limit cycle pada titik tetap ketiga.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, limit cycle, model interaksi tumbuhan dan herbivora.
ABSTRACT
IRMA SAHARA. Bifurcation Existence in The Interaction Model of Plant and
Herbivore. Supervised by ALI KUSNANTO and PAIAN SIANTURI.
Saha and Bandyopadhyay (2005) have modeled prey-predator systems that
represent the interactions of plants and herbivores. In this paper, there are three
fixed points obtained. The stability type of the fixed point is determined by the
eigenvalues of each fixed point. Both first and second fixed points were found to
be saddle points; and four cases were associated with the third fixed point. The Hopf
bifurcation was obtained for the third fixed point, as the stability type was changed
to be unstable spiraled previously stable spiraled. It was also found the existence of
the cycle limit. Both of these were the indicators of existence of the Hopf
bifurcation.
Keywords: bifurcation, bifurcation Hopf, cycle limit, interaction model of plant and
herbivore.
iii
BIFURKASI PADA MODEL INTERAKSI
TUMBUHAN DAN HERBIVORA
IRMA SAHARA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
iv
v
Judul Skripsi : Bifurkasi pada Model Interaksi Tumbuhan dan Herbivora
Nama
: Irma Sahara
NIM
: G54080082
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Dr Paian Sianturi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
vi
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Bifurkasi pada Model
Interaksi Tumbuhan dan Herbivora berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada ayah, ibu, kakak, serta seluruh keluarga
besar atas dukungan, motivasi, kasih sayang dan doa yang tiada henti-hentinya.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan
Bapak Dr Paian Sianturi selaku pembimbing atas arahan, bimbingan, dan motivasi
dalam menyelesaikan tugas akhir ini, kepada Bapak Ir Ngakan Komang Kutha
Ardana, MSc yang telah banyak memberi saran dan perbaikan, serta kepada seluruh
dosen dan staf Departemen Matematika IPB atas segala ilmu yang diberikan dan
bantuannya selama perkuliahan. Tak lupa juga ucapan terima kasih kepada sahabat
satu perjuangan Saefrudin, Hadi, dan Herlan serta IKADA, BEM FMIPA 2010,
ADKESMAH BEM FMIPA 2011, BEM KM 2012, sahabat POKJA SPP 2012,
koordinator POKJA SPP BEM FEMA 2012, Yayasan Karya Salemba Empat,
Poliklinik IPB, teman-teman kosan Bara N0. 31, teman-teman satu pengajian, dan
sahabat Matematika 42, 43, 44, 45, 46, 47, dan 48 yang telah banyak membantu
dalam proses penyusunan tugas akhir ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013
Irma Sahara
vii
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
PEMODELAN
5
PEMBAHASAN
6
Penentuan Titik Tetap Model
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
6
Bifurkasi Hopf
9
SIMULASI
10
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 1
10
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 2
11
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 3
13
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 4
14
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
22
viii
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Kondisi kestabilan titik tetap �
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
9
10
11
13
14
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Bidang fase kasus 1
Bidang fase kasus 2
Bidang fase kasus 2 dengan arah orbit dari dalam ke luar
Bidang fase kasus 3
Bidang fase kasus 4 dengan arah orbit dari luar ke dalam
Bidang fase kasus 4 dengan arah orbit dari dalam ke luar
11
12
12
13
14
14
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penondimensionalan model
Penentuan titik tetap model interaksi tumbuhan dan herbivora
Penentuan nilai eigen
Penurunan kondisi
= ��
16
17
19
20
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada suatu ekosistem, salah satu fenomena alami kehidupan adalah peristiwa
makan dan dimakan antara individu yang satu dengan yang lainnya. Ada yang
menjadi mangsa dan ada yang menjadi pemangsa. Salah satunya adalah interaksi
antara tumbuhan (mangsa) dan herbivora (pemangsa) yang mana perilaku dinamis
tumbuhan dan herbivora dapat dianalogikan seperti sistem mangsa-pemangsa
(prey-predator system).
Interaksi yang lainnya yaitu kompetisi dan simbiosis. Kompetisi tejadi karena
memperebutkan makanan yang sama, memperebutkan habitat yang sama atau
memperebutkan pasangan untuk berkembang biak. Sedangkan simbiosis terjadi
karena adanya hubungan yang erat antara dua jenis makhluk hidup yang berbeda
sehingga masing masing makhluk hidup tersebut memilki ketergantungan terhadap
makhluk hidup yang lain.Setiap makhluk hidup pasti akan membutuhkan makhluk
hidup lainnya. Seiring dengan interaksi tersebut terdapat rangkaian peristiwa makan
dan dimakan yang menjadikan ekosistem tetap seimbang karena tidak ada makhluk
hidup yang dapat hidup terisolasi atau hidup tersendiri.
Menurut teori interaksi antara pemangsa dan yang dimangsa, hubungan
antara tanaman dan herbivora adalah siklus. Ketika tumbuhan (mangsa) dalam
jumlah banyak maka herbivora (pemangsa) meningkatkan jumlahnya, sehingga
mengurangi populasi mangsa, yang pada gilirannya menyebabkan jumlah dari
tumbuhan berkurang. Hal ini menunjukkan bahwa populasi herbivora berfluktuasi
di sekitar kapasitas sumber makanan, dalam hal ini tumbuhan (Fatik 2010).
Beberapa faktor berperan ke dalam populasi dan membantu menstabilkan
interaksi antara pemangsa dan yang dimangsa. Sebagai contoh, heterogenitas
spasial dipertahankan, yang berarti akan selalu ada tanaman yang tidak ditemukan
oleh herbivora. Proses ini memainkan peran yang sangat penting bagi herbivora
yang memakan satu spesies tanaman dan mencegah herbivora ini menghabiskan
sumber makanan mereka. Pertahanan tanaman juga membantu menstabilkan
interaksi antara pemangsa dan yang dimangsa. Sebagai contoh tumbuhan
mengeluarkan senyawa beracun atau berbahaya yang akan berdampak negatif pada
herbivora yang mengkonsumsinya sehingga herbivora tidak meyukainya.
Permasalahan dalam matematika dari model ekologi adalah penetapan syaratsyarat yang menjamin keunikan dari limit cycle model mangsa-pemangsa. Pada
model dua dimensi diketahui bahwa bisa saja tidak ada limit cycle dari model
kompetisi. Untuk jenis model mangsa-pemangsa, keberadaan dan stabilitas limit
cycle terkait keberadaan dan stabilitas titik tetap positif. Jika titik tetap tidak ada
maka populasi pemangsa cenderung mengalami kepunahan. Jika titik tetap positif
ada dan tidak stabil maka harus muncul setidaknya satu limit cycle.
Saha dan Bandyopadhyay (2005) memodelkan sistem tumbuhan dan
herbivora berdasarkan parameter demografi dari populasi tumbuhan dan herbivora,
serat waktu, jenis dan tingkat kepadatan dependen. Diasumsikan tanpa adanya
herbivora, populasi tumbuhan akan berbentuk seperti fungsi logistik. Kemudian,
setiap individu dengan spesies yang sama akan bersaing untuk memerebutkan
2
makanan dan ruang. Jumlah biomassa tumbuhan yang dirusak oleh herbivora
mengikuti Holling tipe III.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang kestabilan, bifurkasi, dan perilaku
model tumbuhan dan herbivora berdasarkan beberapa kasus yang diperoleh.
Pertama melakukan penentuan titik tetap tetap, menetukan matriks Jacobi untuk
dilakukan pelinieran, dan menentukan nilai eigen untuk menganalisis kestabilan
titik tetap. Kemudian menunjukkan jenis bifurkasi yang terjadi, mengkaji limit
cycle yang muncul dari bifurkasi Hopf, serta membahas perilaku dinamis yang
diperoleh dari beberapa kasus.
Tujuan
1
2
3
4
Menganalisis kestabilan titik tetap pada model interaksi tumbuhan dan
herbivora.
Menunjukkan jenis bifurkasi pada model interaksi tumbuhan dan herbivora.
Mengkaji perilaku dinamik pada model interaksi tumbuhan dan herbivora.
Mengkaji limit cycle yg muncul dari bifurkasi Hopf pada model interaksi
tumbuhan dan herbivora.
LANDASAN TEORI
Misalkan diberi sistem persamaan diferensial taklinear sebagai berikut:
(1)
̇=
.
Persamaan (1) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu dengan � adalah
nilai real fungsi dari waktu � dan
adalah nilai real fungsi dari . Persamaan
(1) memunyai titik tetap = ∗ jika memenuhi
∗ = . Titik tetap disebut juga
titik kritis atau titik kesetimbangan (Tu 1994).
Untuk suatu sistem persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilannya
dilakukan melalui pelinearan. Misalkan dilakukan pelinearan terhadap persamaan
(1). Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh:
̇=
+�
.
(2)
Persamaan (2) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan
matriks Jacobi,
=
dan �
,
⋱
[
suku berorde tinggi yang bersifat lim �
→∞
]
= . Menurut Tu (1994),
pada persamaan (2) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (2) yang
dituliskan dalam bentuk
̇=
.
3
Jika matriks berukuran × , maka suatu vektor tak nol di � disebut
vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar yang disebut nilai eigen dari berlaku
=
.
(3)
= ,
(4)
Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk
mencari nilai eigen dari matriksyang berukuran × maka persamaan (3) dapat
dituliskan kembali sebagai berikut:
−
dengan adalah matriks identitas. Persamaan (4) memunyai solusi tak nol jika dan
hanya jika
− Ι =| −
det
|= .
(5)
Persamaan (5) disebut persamaan karakteristik dari matriks
2004).
Misalkan
=
(Anton dan Rorres
.
Dari persamaan (5), maka persamaan karakteristiknya menjadi
−
|
sedemikian sehingga diperoleh persamaan
dengan
� = trace
=
+
=
−
|= ,
−� +Δ= ,
+
dan Δ = det
.
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks
,
=
� ± √� − Δ
=
−
sebagai berikut:
=
.
Menurut Strogatz (1994), untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem
dapat dilihat dari nilai Δ . Ada tiga kasus untuk nilai Δ, yaitu:
Δ< .
Jika kedua nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap bersifat sadel.
Δ> .
� − Δ> .
Jika � > dan kedua nilai eigen real bernilai positif, maka titik
tetap bersifat simpul tak stabil.
Jika � < dan kedua nilai eigen real bernilai negatif, maka titik
tetap bersifat simpul stabil.
� − Δ< .
Jika � > dan kedua nilai eigen imajiner
± � , maka titik
tetap bersifat spiral tak stabil.
4
Jika � < dan kedua nilai eigen imajiner
± � , maka titik
tetap bersifat spiral stabil.
Jika � = dan kedua nilai eigen imajiner
± � , maka titik
tetap bersifat center.
� − Δ= .
Parabola � − Δ = adalah garis batas antara simpul dan spiral.
Star nodes atau degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua
nilai eigen bernilai sama mama titik tetap bersifat simpul sejati.
Δ= .
Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik asal bersifat titik tetap
tak terisolasi.
Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu
persamaan banyak parameter menjadi persamaan dengan sedikit parameter.
Biasanya penondimensionalan mengelompokkan beberapa parameter dengan
sebuah parameter tunggal (Strogatz 1994).
Contoh:
diberikan model mangsa pemangsa sebagai berikut:
�
= ̇=
−
,
(6)
= ̇ =− +
.
�
Sistem persamaan (6) memiliki empat parameter, yaitu , , , dan . Dengan
memisalkan
=
�
,
=
=
,
�
,
maka diperoleh model dengan satu parameter , yaitu:
̇=
̇ =−
−
+
,
.
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu
sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem
dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah suatu kondisi
terjadinya perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap pada sistem dinamik. Titik
yang mengalami kondisi ini disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi
ditemukan kasus-kasus untuk bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical, dan
bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus duadimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf.
Bifurkasi saddle-node adalah bifurkasi yang terjadi jika salah satu dari nilai
parameter tidak terdapat titik tetap dan pada sisi lain terdapat dua titik tetap, dimana
yang satu stabil dan yang lainnya tidak stabil.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari
kesetimbangan saat sistem mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang
nilai eigen imajiner murni. Limit cycle adalah orbit tertutup yang terisolasi.
Terisolasi artinya orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus batas.
5
Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle
menjadi stabil atau tidak stabil.
Misalkan:
̇=
,
R ,
,
(7)
adalah sistem persamaan diferensial mandiri orde-2 yang bergantung pada
,
parameter a ∈ R. Diasumsikan bahwa matriks Jacobi
=
memiliki sepasang nilai eigen kompleks
=
,
±�
,
yang menjadi imajiner murni saat
= , yaitu
= dan
=
Kemudian, ketika melewati = stabilitas kesetimbangan berubah.
(8)
> .
PEMODELAN
Model yang akan dianalisis adalah model interaksi tumbuhan dan herbivora
yang mana dinamika perilakunya analogi dengan model mangsa-pemangsa. Pada
model diasumsikan bahwa tidak adanya herbivora, populasi tumbuhan tumbuh
sesuai dengan hukum logistik pertumbuhan dengan daya dukung lingkungan dan
tingkat kelahiran intrinsik � . Daya dukung lingkungan dan tingkat kelahiran
interinsik � diasumsikan konstan dan positif. Asumsi-asumsi tersebut merupakan
asumsi standar yang digunakan untuk sebuah kompetisi makanan dan ruang antar
individu dari spesies yang sama serta pada kepadatan yang tinggi kematian
meningkat karena peluang frekuensi pertemuan antarindividu tinggi pada setiap
epidemi. Jumlah biomasa tumbuhan yang dihancurkan oleh herbivora diasumsikan
mengikuti respon fungsional Holling jenis-III sebagai interaksi antara tumbuhan
dan herbivora. Respon fungsional adalah tingkat yang mana setiap herbivora
menangkap biomasa tumbuhan. Herbivora menghasilkan keturunan untuk setiap
kematian biomasa tumbuhan dan tingkat kepadatan kematian independen . Model
dua dimensi tumbuhan dan herbivora diatur oleh persamaan sebagai berikut:
�
�
= �� ( − ) −
�
�
=
�
� �
−
+�
� �
,
+�
�,
dengan
� � Banyaknya populasi tumbuhan pada waktu �.
� � Banyaknya populasi herbivora pada waktu �.
Daya dukung lingkungan.
�
Laju pertumbuhan intrinsik.
Tingkat serapan maksimun herbivora.
Tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan.
Faktor konversi.
(9)
6
Tingkat kematian independen.
Semua parameter �, , , , , dan yang terlibat dalam sistem model
diasumsikan positif dan faktor konversi diasumsikan memenuhi kondisi < <
. Sistem model tumbuhan dan herbivora mengandung banyak parameter. Oleh
karena itu untuk meminimumkan parameter maka sistem model ditransformasikan
ke bentuk yang lebih sederhana dengan penondimensionalan model. Pada
��
�
�
persamaan (9) didefinisikan � = √ , � = √ , � =
, = , = �,
=
, dan
=
√
�√
�
, sehingga diperoleh:
�
̇=
�
=
−
−
√
,
+
√
(10)
̇=
=
− ,
�
+
(Bukti sistem persamaan (10) dapat dilihat pada Lampiran 1)
PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap Model
Titik tetap dari persamaan (10) akan diperoleh dengan menetapkan ̇ = ,
̇ = sehingga diperoleh tiga titik tetap, yaitu � , , � , , dan � ∗ , ∗
dengan
∗
=√
∗
=
−
−
,
∗
∗
+
∗
.
(Bukti dapat dilihat lihat pada lampiran 2)
Karena titik tetap positif, akibatnya kondisi
<
∗
< .
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
Analisis kestabilan titik tetap diperoleh dengan melakukan pelinearan pada
persamaan (10). Dengan melakukan pelinearan pada persamaan tersebut maka akan
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
7
=
−
−
+
+
(
+
+
.
−
)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3)
Kestabilan titik tetap dapat dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks
Jacobi persamaan (10) yang dievaluasi pada titik tetap tersebut. Selanjutnya,
kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa.
Titik tetap � , disubstitusikan ke matriks Jacobi sehingga diperoleh:
,
=(
).
−
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det( , − ) = , sehingga akan diperoleh nilai eigen untuk matriks , , yaitu:
= ,
=− .
Karena parameter diasumsikan positif, maka > dan < . Kedua nilai eigen
real dan berbeda tanda sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat sadel.
Titik tetap � , disubstitusikan ke matriks Jacobi sehingga diperoleh:
,
=
−
+
.
−
)
+
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det( , − ) = , sehingga akan diperoleh nilai eigen matriks , , yaitu:
(
=− <
=
+
− .
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3)
Kondisi ∗ <
dan
> menyebabkan
>
+
sebagai syarat
parameter dalam sistem model. Oleh karena itu
> sehingga kestabilan titik
tetapnya bersifat sadel.
Titik tetap � ∗ , ∗ disubstitusikan ke matriks Jacobi sehingga diperoleh:
=
−
∗
−
+
∗ ∗
∗ ∗
∗
−
+
∗
∗
∗
.
−
+ ∗
+ ∗
(
)
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det( ∗, ∗ − ) = , sehingga akan diperoleh nilai eigen untuk matriks ∗, ∗ ,
yaitu:
8
=
=
dengan
= ��
=
�
=
−
−
+√
−
−√
= −( −
+
∗ ∗
∗
,
−
∗
,
,
−
+
∗ ∗
∗
),
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3)
kemudian untuk penyederhanaan, kita simbolkan
=
−
dan
=√
−
.
Berdasarkan kondisi yang telah diperoleh maka sesuai dengan analisis kestabilan,
kestabilan titik tetap yang diperoleh dipengaruhi oleh nilai parameter-parameter
yang dipilih, yaitu parameter , , , dan sehingga harus diperiksa dari kondisi
,
dan .
Oleh karena
> maka kondisi dari
positif
> , sedangkan
kondisi dari
bisa
< atau
> dan kondisi dari bisa < atau >
. Kondisi
> dapat diturunkan menjadi < ∗ (Bukti dapat dlihat pada
−
lampiran 4), sedangkan kondisi
<
dapat diturunkan menjadi
>
dapat dilihat pada lampiran 4). Dari sini terdapat empat kasus, yaitu:
> .
1.
< , < ∗ , dan
2.
3.
4.
< ,
>
> ,
>
> ,
<
−
∗
, dan
∗
, dan
∗
, dan
−
−
−
∗
−
> .
> .
> .
Untuk kasus pertama akan menghasilkan kedua nilai eigen imajiner
−�±��
(Bukti
,
=
, sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh, kestabilan titik tetapnya
bersifat spiral stabil. Untuk kasus kedua akan menghasilkan kedua nilai eigen
�±��
, sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh, kestabilan
imajiner
, =
titik tetapnya bersifat spiral tak stabil. Untuk kasus ketiga akan menghasilkan kedua
−�±�
, sehingga dari nilai-nilai eigen yang
nilai eigen real bernilai negatif
, =
diperoleh, kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil. Sedangkan untuk kasus
�±�
keempat akan menghasilkan kedua nilai eigen real bernilai positif
,
, =
sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh, kestabilan titik tetapnya bersifat
simpul tak stabil. Berikut adalah tabel kondisi kestabilan yang diperoleh
9
Kasus
1
2
3
4
Tabel Kondisi kestabilan titik tetap �
�
Kondisi
<
<
>
<
<
>
>
>
∗
−
∗
>
Spiral stabil
>
Simpul stabil
>
−
∗
−
∗
>
−
Spiral tak
stabil
Simpul tak
stabil
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa setiap kasus mempunyai titik tetap dengan
jenis kestabilan ada yang stabil dan ada yang tidak stabil. Pada saat
�
penondimensionalan
=
yang mana artinya bahwa nilai parameter
√
berbanding terbalik dengan tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan ( ),
=
�
√ �
yang mana artinya bahwa nilai parameter berbanding lurus dengan tingkat
�
kematian independen herbivora ( ), dan = � artinya bahwa nilai parameter
√
berbanding lurus dengan tingkat serapan maksimum herbivora yang mana
berbanding lurus juga dengan parameter karena
= . Diketahui > ∗ ,
−
artinya kondisi tersebut dihadapkan pada saat tingkat kejenuhan kepadatan
tumbuhan rendah. Sedangkan < ∗ , artinya kondisi tersebut dihadapkan pada
−
saat tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan tinggi.
Bifurkasi Hopf
Diketahui nilai eigen titik tetap �
,
=
−
∗, ∗
±√
dari persamaan 2, yaitu:
−
.
Pada kondisi
> dan =
−
< kestabilan � ∗ , ∗ adalah spiral
stabil, sedangkan pada kondisi
<
dan
=
−
<
kestabilan
� ∗ , ∗ spiral tak stabil.
Fenomena perubahan kestabilan terjadi ketika melewati
= . Pada kondisi
= dihasilkan sepasang nilai eigen yang bernilai imajiner murni. Dalam kasus
ini fenomena perubahan kestabilan tersebut dikenal sebagai bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf terjadi ketika berubahnya kestabilan dari spiral stabil menjadi
spiral tak stabil dan terdapat limit cycle di dalamnya yang mana fenomena ini terjadi
pada kasus dua. Ilustrasi perubahan kestabilan � ∗ , ∗ dijelaskan pada bagian
selanjutnya.
10
SIMULASI
Dinamika Populasi tumbuhan dan herbivora dapat ditunjukkan melalui kurva
yang menggambarkan populasi populasi tumbuhan dan herbivora pada kurun waktu
tertentu. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik melalui proses komputasi. Pada
proses komputasi, masing-masing variabel dan parameter membutuhkan suatu nilai
awal.
Pada saat penondimensionalan model, diketahui bahwa parameter-parameter
�
�
�
= , =
,
=
,
dan
=
sangat berpengaruh untuk melihat
√
√ �
√ �
dinamika populasi tumbuhan dan herbivora. Tidak sembarangan dalam menetukan
nilai awal parameter. Nilai awal yang ditentukan harus memenuhi kondisi-kondisi
setelah dilakukan proses analisis model. Berikut kondisi umum parameter yang
harus dipenuhi: ≤ ≤ dan
>
yang mana nilai parameter-parameter
tersebut diasumsikan positif. Berdasarkan dari kasus-kasus yang diperoleh, pada
proses simulasi akan diperlihatkan pengaruh dari tingkat kejenuhan kepadatan
tumbuhan ( ), tingkat kematian independen ( ), dan tingkat serapan maksimum
herbivora ( ) terhadap dinamika populasi tumbuhan dan herbivora.
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 1
Pada kasus pertama, kondisi
< ,
<
∗
−
, dan
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = , serta nilai awal
=
dan
= . . Pada kasus pertama dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan tinggi ( < ∗ ) dan pada kondisi dengan
−
tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus
pertama disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
, .
�
=− . + .
�
�
=− . − .
Kestabilan
�
Spiral stabil
Pada tabel 2 titik tetap yang diperoleh � , . dengan nilai eigen = − . +
.
� dan
=− . − .
� sehingga kestabilannya bersifat spiral
stabil (Gambar 1).
11
Gambar 1 Bidang fase kasus 1
Pada Gambar 1 diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dengan
jenis kestabilan spiral stabil. Di awal waktu, populasi tumbuhan dan herbivora
sama-sama mengalami pertumbuhan dengan perkembangan yang sangat pesat
terjadi pada tumbuhan. Pertumbuhan populasi tumbuhan yang sangat pesat
menyebabkan suplai makanan yang tersedia buat herbivora melimpah sehingga
pertumbuhan populasi herbivora juga berkembang pesat. Namun seiring
berjalannya waktu populasi tumbuhan berkurang. Kompetisi antar herbivora juga
terjadi ketika populasi tumbuhan semakin berkurang sehingga populasi herbivora
juga semakin berkurang sampai pada akhirnya kedua populasi mengalami osilasi
dan mencapai kestabilan.
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 2
Pada kasus kedua, kondisi
< ,
>
∗
−
, dan
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = , serta nilai awal
=
dan
= . . Pada kasus kedua dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan rendah ( > ∗ ) dan pada kondisi dengan
−
tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus kedua
disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
,
�
= . + .
�
�
= . − .
Kestabilan
�
Spiral tak stabil
dengan nilai eigen
= . +
Pada Tabel 3 titik tetap yang diperoleh � ,
.
� dan
= . − .
� sehingga kestabilannya bersifat spiral tak
stabil (Gambar 2).
12
Gambar 2 Bidang fase kasus 2
Pada Gambar 2 diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dengan
muncul limit
jenis kestabilan spiral tak stabil. Pada ilustrasi titik tetap � ,
cycle. Diilustrasikan orbit bergerak berlawanan dengan arah jarum jam. Orbit
masuk ke dalam titik sampai ada batas yang berbentuk siklus yang dikenal sebagai
siklus limit atau limit cycle. Dengan ini fenomena yang terjadi pada kasus kedua,
yaitu perubahan kestabilan titik tetap dan keberadaan limit cycle karena berubahnya
nilai parameter sistem yang merupakan sifat bifurkasi Hopf. Keberadaan limit cycle
diperkuat oleh Gambar 3 yang merupakan kebalikan penggambaran dari Gambar 2.
Pada gambar 3 orbit bergerak keluar dari titik tetap dengan arah yang sama sehingga
orbit akan terus bergerak dan bertemu hingga ada batas yang berbentuk siklus yang
dikenal sebagai limit cycle.
Gambar 3 Bidang fase kasus 2
dengan arah orbit dari dalam ke luar
Di awal waktu, populasi tumbuhan dan herbivora sama-sama mengalami
pertumbuhan. Seperti yang terjadi pada Gambar 1, pertumbuhan populasi yang
berkembang pesat di awal waktu terjadi pada populasi tumbuhan. Kompetisi antar
13
tumbuhan dan antar herbivora juga terjadi sehingga seiring berjalannya waktu,
pertumbuhan kedua populasi berfluktuasi dengan jenis kestabilan spiral tak stabil.
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 3
Pada kasus ketiga, kondisi
> ,
<
∗
, dan
−
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = . , serta nilai awal
= dan
= . Pada kasus ketiga dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan yang lebih tinggi ( < ∗ ) dan pada kondisi
−
dengan tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus ketiga
disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 3 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
, .
�
=− .
�
=− .
Kestabilan
Simpul stabil
dengan nilai eigen =
Pada Tabel 4 titik tetap yang diperoleh adalah � , .
.
dan = .
sehingga kestabilannya bersifat simpul stabil (Gambar 4).
Gambar 4 Bidang fase kasus 3
Pada Gambar 4 diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dengan
jenis kestabilan simpul stabil. Di awal waktu, populasi tumbuhan mengalami
perkembangan yang sangat pesat, sedangkan populasi herbivora mengalami
penurunan. Penurunan populasi herbivora karena di awal waktu suplai makanan
belum melimpah dan terjadi kompetisi antar herbivora dalam memperebutkan
makanan. Namun ketika suplai makanan buat herbivora melimpah, populasinya
mulai berkembang dan ketika populasi herbivora mulai berkembang, populasi
tumbuhan mulai menyusut sampai pada akhirnya kedua populasi mencapai
kestabilan. Berbeda dengan kondisi-kondisi sebelumnya, dalam jangka panjang
pada kondisi ini, populasi tumbuhan lebih banyak dari populasi herbivora.
14
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 4
Pada kasus keempat, kondisi
> ,
>
∗
−
, dan
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = , serta nilai awal
=
dan
= . Pada kasus keempat dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan rendah ( > ∗ ) dan pada kondisi dengan
−
tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus
keempat disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 4 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
,
�
= .
�
= .
Kestabilan
Simpultak stabil
dengan nilai eigen =
Pada Tabel 5 titik tetap yang diperoleh adalah � ,
.
dan
= .
sehingga kestabilannya bersifat simpul tak stabil
(Gambar 5).
Gambar 5 Bidang fase kasus 4 dengan
arah orbit dari luar ke dalam
Gambar 6 Bidang fase kasus 4 dengan
arah orbit dari dalam ke luar
Pada Gambar 5 diberikan ilustrasi bidang fase disekitar titik tetap dengan jenis
kestabilan simpul tak stabil. Sedangkan pada gambar 6 diberikan ilustrasi jika orbit
bergerak dari dalam ke luar. Di awal waktu, populasi tumbuhan mengalami
perkembangan yang sangat pesat sehingga suplai makanan yang tersedia melimpah.
Akibatnya populasi herbivora semakin bertambah. Suplai makanan yang terus
dimakan oleh tumbuhan menyebabkan populasi tumbuhan semakin menyusut
sampai pada akhirnya populasi herbivora lebih banyak dibandingkan dengan
populasi tumbuhan. Kedua populasi dalam jangka panjang befluktuasi dan jenis
kestabilannya adalah simpul tak stabil.
15
SIMPULAN
Pada model yang dibahas, diperoleh tiga titik tetap. Dari ketiga titik tetap,
kestabilan titik tetap pertama dan kedua selalu sadel, sedangkan kestabilan titik
tetap ketiga berbeda-beda bergantung nilai parameter yang diberikan. Dengan
pemilihan nilai parameter tertentu, diperoleh bifurkasi Hopf yang memunculkan
fenomena limit cycle. Hal ini terjadi pada saat perubahan kestabilan titik tetap ketiga
dari spiral stabil berubah menjadi spiral tak stabil.
Dinamika populasi dipengaruhi oleh tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan,
tingkat serapan maksimum herbivora, dan tingkat kematian independen. Pada
kondisi dengan tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan tinggi dan tingkat serapan
maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian independen, populasi
tumbuhan dan herbivora stabil. Pada kondisi dengan tingkat kejenuhan kepadatan
tumbuhan rendah dan tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada
tingkat kematian independen, populasi tumbuhan tidak stabil. Dalam jangka
panjang, populasi herbivora cenderung lebih banyak dibandingkan dengan populasi
tumbuhan, namun pada kondisi dengan tingkat kejenuhan tumbuhan yang lebih
tinggi, populasi tumbuhan lebih banyak dibandingkan dengan populasi herbivora.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Indriasari R, Harmein
I, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.
Fatik BM. 2010. Textbook of Animal Behaviour. New Delhi:PHI Learning Pvt. Ltd.
Saha T dan Bandyopadhyay M. 2005. Dynamical Analysis of A Plant-Herbivore
Model: Bifurcation and Global Stability. J. Appl. Math. And Computing 19: 327344.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusets (US): Addison-Wesley
Publishing Company.
Tu PNV. 1994. Dynamical System An Introduction with Application in Economics
and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
16
Lampiran 1 Penondimensionalan model
Diberikan model interaksi Tumbuhan dan Herbivora :
�
� �
�
= �� ( − ) −
,
+�
�
� �
�
=
− �.
+�
�
Persamaan di atas ditransformasikan menjadi sistem persamaan yang lebih
sederhana dengan melakukan penondimensional sebagai berikut:
�=√
�=√
,
��
�=
,
�√
,
�
� �
�
�
=
∙
∙
� �
�
�
�
�
� �
=
�� ( − ) −
+ � �√
√
√
√
=
�√
−
−
+
�√
√
�
√
=
�√ −
−
+
�√ √
�
√
=
�√ −
−
+
�√
�
√ �
√
=
�√ −
−
∙
+
�√
√
√ √
√ −
=
−
+
√
√
√
=
−
−
+
=
=
−
−
−
−
+
�
�
� �
=
∙
∙
�
� �
�
� �
−
=
+�
√
√
=
+
√
+
.
�
�
�
−
�√
√
�√
17
=
=
=
dengan
=
�
√
,
=
�
√ �
�√
=
=
,
�√ √
+
+
, dan
∙
+
−
+
−
−
=
�
√ �
.
√
�√
−
∙
√
,
Lampiran 2 Penentuan titik tetap model interaksi tumbuhan dan herbivora
Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan persamaan (10) sebagai berikut:
̇=
̇ =
+
−
−
−
+
= .
Dari persamaan pertama akan diperoleh nilai
−
+
dari sini diperoleh:
+
−
−
=
=
−
=
=
+
− −
− −
∩
∩
+
=
=
sebagai berikut:
̇ =
−
−
= ∩
= ∩
=
+
= ,
=
=
=
+
+
− − −
= +
− −
+
− −
−
+
Dari persamaan kedua akan diperoleh nilai
.
=
sebagai berikut:
18
−
+
−
+
− +
dari sini diperoleh:
̇ =
=
=
+
=
=
=
= ∩
= ∩
Substitusi
−
( +
)
.
=
= , karena
=
−
( +
∩
=
=
∩
=√
)
=
maka
, karena
=
=
( +
=
)
−
.
=√
( +
−
)
.
−
+
−
=
=
sehingga diperoleh titik tetap �
dan
=
maka
−
=√
=
ke persamaan
=
+
∩ +
∩ +
=
=
=
= ,
untuk mendapatkan nilai
, karena
=
−
untuk mendapatkan nilai
dengan + adalah definit positif.
Sehingga diperoleh titik tetap � ,
−
− +
− =
=
−
Substitusi
+
−
maka
,
=
,
, dan �
∗
=
ke persamaan
=
∗, ∗
.
− ∗ ( + ∗ )
∗
,
=
,
.
19
Lampiran 3 Penentuan nilai eigen
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (10) diperleh Matriks
Jacobi sebagai berikut:
=
Pelinearan titik tetap �
−
(
,
−
+
+
+
+
−
)
.
akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
=
,
(
−
+
+
−
)
.
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
�( , − ) = sehingga diperoleh
|
dari sini diperoleh:
− −
=
− −
+
− −
=− ∩
+
− −
+
−
+
=
−
|=
= ,
+
Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut:
=− ,
Pelinearan titik tetap �
∗, ∗
=
(
∗
,
−
∗
=
+
+
.
− .
+
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
∗
−
+
+
∗ ∗
∗
∗ ∗
∗
−
+
+
∗
∗
∗
∗
−
)
20
∗, ∗
=
−
∗
−
+
∗
−
∗
∗ ∗
+
(
∗ ∗
+
∗
∗
)
.
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
�( ∗, ∗ − ) = sehingga diperoleh
||
−
∗
−
− ( −
+
∗ ∗
+
∗
−
∗
dari sini diperoleh:
=
+√
−
∗ ∗
−
∗
+
−
−
∗ ∗
)+
,
=
∗
+
−
+
+
+
∗
∗|
|=
∗ ∗
∗
=
=
−√
−
−
,
dengan
= ��
=
�
= −( −
=
Diketahui:
= ��
.
= −( −
=
∗
∗
<
∗
−
∗
−
+
∗ ∗
),
∗ ∗
),
∗
= ��
Lampiran 4 Penurunan kondisi
+
∗ ∗
∗
=
=√
=
+
−
∗ ∗
∗
−
−
∗
,
,
+
,
∗
+
∗
,
∗
21
−( −
−
−
∗
+
+
−
∗
−
∗
∗
∗
−
∙
−
−
∗
+
−
∗
−
−
∗
∗ ∗
∗
+
∗
)<
∗
∗ ∗
∗
+
>
∗
>
− ∗
>
+ ∗
− − ∗
>
+ ∗
+ ∗
∗−
∗ −
+ ∗
− +
+
∗
−
∗ −
∗
∗
>
>
>
>
>
∗
∗
−
∗
−
∗
>
>
−( −
−
∗
−
+
+
−
∗
−
∗
∗
∗
−
∙
−
∗
−
∗
−
−
∗
−
+
∗
+ ∗ −
+ ∗
∗−
∗ −
+ ∗
− +
∗ ∗
∗
∗ ∗
+ ∗
+
−
+
−
∗
+
∗
−
∗ −
−
)>
<
∗
∗
∗
−
>
−
−
>
∗
<
∗
<
∗
∗
∗
<
<
<
<
<
∗
∗
∗
−
∗
−
∙
−
−
22
<
<
<
<
−
∗
−
∗
−
∗
−
∗
−
−
∙
−
−
23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Indramayu pada tanggal 23 Juli 1990 dari Bapak Agus
dan Ibu Juenah. Penulis merupakan putra keempat dari empat bersaudara. Tahun
2002 penulis lulus dari SD Negeri Karanganyar, tahun 2005 penulis lulus dari SMP
Negeri 1 Terisi, dan tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sindang. Penulis
diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur
Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Jurusan Matematika
sebagai mayor. Pada tingkat kedua penulis memilih Statistika Terapan sebagai
minor. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar les
Kalkulus TPB. Saat Tingkat Persiapan Bersama, penulis mendapatkan beasiswa
pemerintah daerah Jawa Barat, pemerintah daerah Indramayu, dan LAZ AlHurriyyah. Pada tahun 2011-2013, penulis mendapat beasiswa Karya Salemba
Empat.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan seperti organisasi mahasiswa
daerah dan organisasi intra kampus. Pada tahun 2009-2010, penulis menjadi
sekretaris umum Ikatan Keluarga dan Mahasiswa dharma Ayu (IKADA) sebagai
sekretasi umum. Pada tahun 2010, penulis menjadi anggota Departemen Internal
Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam. Pada tahun 2011, penulis menjadi ketua Departemen Advokasi dan
Kesejahteraan Mahasiswa Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada tahun 2012, penulis menjadi
koordinator Kesejahteraan Mahasiswa se-IPB Badan Eksekutif Mahasiswa
Keluarga Mahasiswa IPB.
Penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan seperti kepanitiaan Masa
Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru 2009, Pesta Sains 2009 dan 2010, SPIRIT
2010, Masa Perkenalan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan 2010 dan 2011,
POKJA SPP dan POKJA Beasiswa 2012, dan kepanitiaan lainnya. Selain itu
penulis juga pernah menjadi moderator seminar Lokakarya Kementerian
Lingkungan Hidup, moderator Kajian Seputar Kampus Institut Pertanian Bogor
2012, master of ceremony, Dialog Rektor Institut Pertanian Bogor 2012, fasilitator
Up Grading, pengisi acara musikalisasi puisi Mipa Go Green 2011, pengisi acara
akustik Saresehan Lingkungan Hidup Badan Eksekutif Mahasiswa Keluarga
Mahasiswa Institut Pertanian Bogor 2012, dan acara-acara lainnya.
BIFURKASI PADA MODEL INTERAKASI
TUMBUHAN DAN HERBIVORA
IRMA SAHARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ii
iii
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi pada Model
Interaksi Tumbuhan dan Herbivora adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Desember 2013
Irma Sahara
NIM G54080082
ii
ABSTRAK
IRMA SAHARA. Bifurkasi pada Model Interaksi Tumbuhan dan Herbivora.
Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan PAIAN SIANTURI.
Saha dan Bandyopadhyay (2005) memodelkan sistem mangsa-pemangsa yang
merepresentasikan interaksi tumbuhan dan herbivora. Pada karya ilmiah ini, dicari
bifurkasi yang terjadi dengan terlebih dulu menganalisis kestabilan titik tetap. Ada
tiga titik tetap yang diperoleh dengan jenis kestabilan titik tetap ditentukan oleh
nilai eigen yang diperoleh dari ketiga titik tetap tersebut. Titik tetap pertama dan
kedua bersifat sadel dan terdapat empat kasus pada titik tetap ketiga agar mencapai
kestabilan. Dengan pemilihan parameter tertentu, diperoleh bifurkasi Hopf yakni
terjadinya perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil dan
terdapat limit cycle pada titik tetap ketiga.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, limit cycle, model interaksi tumbuhan dan herbivora.
ABSTRACT
IRMA SAHARA. Bifurcation Existence in The Interaction Model of Plant and
Herbivore. Supervised by ALI KUSNANTO and PAIAN SIANTURI.
Saha and Bandyopadhyay (2005) have modeled prey-predator systems that
represent the interactions of plants and herbivores. In this paper, there are three
fixed points obtained. The stability type of the fixed point is determined by the
eigenvalues of each fixed point. Both first and second fixed points were found to
be saddle points; and four cases were associated with the third fixed point. The Hopf
bifurcation was obtained for the third fixed point, as the stability type was changed
to be unstable spiraled previously stable spiraled. It was also found the existence of
the cycle limit. Both of these were the indicators of existence of the Hopf
bifurcation.
Keywords: bifurcation, bifurcation Hopf, cycle limit, interaction model of plant and
herbivore.
iii
BIFURKASI PADA MODEL INTERAKSI
TUMBUHAN DAN HERBIVORA
IRMA SAHARA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
iv
v
Judul Skripsi : Bifurkasi pada Model Interaksi Tumbuhan dan Herbivora
Nama
: Irma Sahara
NIM
: G54080082
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing I
Dr Paian Sianturi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
vi
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Bifurkasi pada Model
Interaksi Tumbuhan dan Herbivora berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada ayah, ibu, kakak, serta seluruh keluarga
besar atas dukungan, motivasi, kasih sayang dan doa yang tiada henti-hentinya.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan
Bapak Dr Paian Sianturi selaku pembimbing atas arahan, bimbingan, dan motivasi
dalam menyelesaikan tugas akhir ini, kepada Bapak Ir Ngakan Komang Kutha
Ardana, MSc yang telah banyak memberi saran dan perbaikan, serta kepada seluruh
dosen dan staf Departemen Matematika IPB atas segala ilmu yang diberikan dan
bantuannya selama perkuliahan. Tak lupa juga ucapan terima kasih kepada sahabat
satu perjuangan Saefrudin, Hadi, dan Herlan serta IKADA, BEM FMIPA 2010,
ADKESMAH BEM FMIPA 2011, BEM KM 2012, sahabat POKJA SPP 2012,
koordinator POKJA SPP BEM FEMA 2012, Yayasan Karya Salemba Empat,
Poliklinik IPB, teman-teman kosan Bara N0. 31, teman-teman satu pengajian, dan
sahabat Matematika 42, 43, 44, 45, 46, 47, dan 48 yang telah banyak membantu
dalam proses penyusunan tugas akhir ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013
Irma Sahara
vii
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
PEMODELAN
5
PEMBAHASAN
6
Penentuan Titik Tetap Model
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
6
Bifurkasi Hopf
9
SIMULASI
10
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 1
10
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 2
11
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 3
13
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 4
14
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
22
viii
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Kondisi kestabilan titik tetap �
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
9
10
11
13
14
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Bidang fase kasus 1
Bidang fase kasus 2
Bidang fase kasus 2 dengan arah orbit dari dalam ke luar
Bidang fase kasus 3
Bidang fase kasus 4 dengan arah orbit dari luar ke dalam
Bidang fase kasus 4 dengan arah orbit dari dalam ke luar
11
12
12
13
14
14
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penondimensionalan model
Penentuan titik tetap model interaksi tumbuhan dan herbivora
Penentuan nilai eigen
Penurunan kondisi
= ��
16
17
19
20
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada suatu ekosistem, salah satu fenomena alami kehidupan adalah peristiwa
makan dan dimakan antara individu yang satu dengan yang lainnya. Ada yang
menjadi mangsa dan ada yang menjadi pemangsa. Salah satunya adalah interaksi
antara tumbuhan (mangsa) dan herbivora (pemangsa) yang mana perilaku dinamis
tumbuhan dan herbivora dapat dianalogikan seperti sistem mangsa-pemangsa
(prey-predator system).
Interaksi yang lainnya yaitu kompetisi dan simbiosis. Kompetisi tejadi karena
memperebutkan makanan yang sama, memperebutkan habitat yang sama atau
memperebutkan pasangan untuk berkembang biak. Sedangkan simbiosis terjadi
karena adanya hubungan yang erat antara dua jenis makhluk hidup yang berbeda
sehingga masing masing makhluk hidup tersebut memilki ketergantungan terhadap
makhluk hidup yang lain.Setiap makhluk hidup pasti akan membutuhkan makhluk
hidup lainnya. Seiring dengan interaksi tersebut terdapat rangkaian peristiwa makan
dan dimakan yang menjadikan ekosistem tetap seimbang karena tidak ada makhluk
hidup yang dapat hidup terisolasi atau hidup tersendiri.
Menurut teori interaksi antara pemangsa dan yang dimangsa, hubungan
antara tanaman dan herbivora adalah siklus. Ketika tumbuhan (mangsa) dalam
jumlah banyak maka herbivora (pemangsa) meningkatkan jumlahnya, sehingga
mengurangi populasi mangsa, yang pada gilirannya menyebabkan jumlah dari
tumbuhan berkurang. Hal ini menunjukkan bahwa populasi herbivora berfluktuasi
di sekitar kapasitas sumber makanan, dalam hal ini tumbuhan (Fatik 2010).
Beberapa faktor berperan ke dalam populasi dan membantu menstabilkan
interaksi antara pemangsa dan yang dimangsa. Sebagai contoh, heterogenitas
spasial dipertahankan, yang berarti akan selalu ada tanaman yang tidak ditemukan
oleh herbivora. Proses ini memainkan peran yang sangat penting bagi herbivora
yang memakan satu spesies tanaman dan mencegah herbivora ini menghabiskan
sumber makanan mereka. Pertahanan tanaman juga membantu menstabilkan
interaksi antara pemangsa dan yang dimangsa. Sebagai contoh tumbuhan
mengeluarkan senyawa beracun atau berbahaya yang akan berdampak negatif pada
herbivora yang mengkonsumsinya sehingga herbivora tidak meyukainya.
Permasalahan dalam matematika dari model ekologi adalah penetapan syaratsyarat yang menjamin keunikan dari limit cycle model mangsa-pemangsa. Pada
model dua dimensi diketahui bahwa bisa saja tidak ada limit cycle dari model
kompetisi. Untuk jenis model mangsa-pemangsa, keberadaan dan stabilitas limit
cycle terkait keberadaan dan stabilitas titik tetap positif. Jika titik tetap tidak ada
maka populasi pemangsa cenderung mengalami kepunahan. Jika titik tetap positif
ada dan tidak stabil maka harus muncul setidaknya satu limit cycle.
Saha dan Bandyopadhyay (2005) memodelkan sistem tumbuhan dan
herbivora berdasarkan parameter demografi dari populasi tumbuhan dan herbivora,
serat waktu, jenis dan tingkat kepadatan dependen. Diasumsikan tanpa adanya
herbivora, populasi tumbuhan akan berbentuk seperti fungsi logistik. Kemudian,
setiap individu dengan spesies yang sama akan bersaing untuk memerebutkan
2
makanan dan ruang. Jumlah biomassa tumbuhan yang dirusak oleh herbivora
mengikuti Holling tipe III.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang kestabilan, bifurkasi, dan perilaku
model tumbuhan dan herbivora berdasarkan beberapa kasus yang diperoleh.
Pertama melakukan penentuan titik tetap tetap, menetukan matriks Jacobi untuk
dilakukan pelinieran, dan menentukan nilai eigen untuk menganalisis kestabilan
titik tetap. Kemudian menunjukkan jenis bifurkasi yang terjadi, mengkaji limit
cycle yang muncul dari bifurkasi Hopf, serta membahas perilaku dinamis yang
diperoleh dari beberapa kasus.
Tujuan
1
2
3
4
Menganalisis kestabilan titik tetap pada model interaksi tumbuhan dan
herbivora.
Menunjukkan jenis bifurkasi pada model interaksi tumbuhan dan herbivora.
Mengkaji perilaku dinamik pada model interaksi tumbuhan dan herbivora.
Mengkaji limit cycle yg muncul dari bifurkasi Hopf pada model interaksi
tumbuhan dan herbivora.
LANDASAN TEORI
Misalkan diberi sistem persamaan diferensial taklinear sebagai berikut:
(1)
̇=
.
Persamaan (1) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu dengan � adalah
nilai real fungsi dari waktu � dan
adalah nilai real fungsi dari . Persamaan
(1) memunyai titik tetap = ∗ jika memenuhi
∗ = . Titik tetap disebut juga
titik kritis atau titik kesetimbangan (Tu 1994).
Untuk suatu sistem persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilannya
dilakukan melalui pelinearan. Misalkan dilakukan pelinearan terhadap persamaan
(1). Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh:
̇=
+�
.
(2)
Persamaan (2) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan
matriks Jacobi,
=
dan �
,
⋱
[
suku berorde tinggi yang bersifat lim �
→∞
]
= . Menurut Tu (1994),
pada persamaan (2) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (2) yang
dituliskan dalam bentuk
̇=
.
3
Jika matriks berukuran × , maka suatu vektor tak nol di � disebut
vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar yang disebut nilai eigen dari berlaku
=
.
(3)
= ,
(4)
Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk
mencari nilai eigen dari matriksyang berukuran × maka persamaan (3) dapat
dituliskan kembali sebagai berikut:
−
dengan adalah matriks identitas. Persamaan (4) memunyai solusi tak nol jika dan
hanya jika
− Ι =| −
det
|= .
(5)
Persamaan (5) disebut persamaan karakteristik dari matriks
2004).
Misalkan
=
(Anton dan Rorres
.
Dari persamaan (5), maka persamaan karakteristiknya menjadi
−
|
sedemikian sehingga diperoleh persamaan
dengan
� = trace
=
+
=
−
|= ,
−� +Δ= ,
+
dan Δ = det
.
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks
,
=
� ± √� − Δ
=
−
sebagai berikut:
=
.
Menurut Strogatz (1994), untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem
dapat dilihat dari nilai Δ . Ada tiga kasus untuk nilai Δ, yaitu:
Δ< .
Jika kedua nilai eigen berbeda tanda maka titik tetap bersifat sadel.
Δ> .
� − Δ> .
Jika � > dan kedua nilai eigen real bernilai positif, maka titik
tetap bersifat simpul tak stabil.
Jika � < dan kedua nilai eigen real bernilai negatif, maka titik
tetap bersifat simpul stabil.
� − Δ< .
Jika � > dan kedua nilai eigen imajiner
± � , maka titik
tetap bersifat spiral tak stabil.
4
Jika � < dan kedua nilai eigen imajiner
± � , maka titik
tetap bersifat spiral stabil.
Jika � = dan kedua nilai eigen imajiner
± � , maka titik
tetap bersifat center.
� − Δ= .
Parabola � − Δ = adalah garis batas antara simpul dan spiral.
Star nodes atau degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua
nilai eigen bernilai sama mama titik tetap bersifat simpul sejati.
Δ= .
Jika salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik asal bersifat titik tetap
tak terisolasi.
Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu
persamaan banyak parameter menjadi persamaan dengan sedikit parameter.
Biasanya penondimensionalan mengelompokkan beberapa parameter dengan
sebuah parameter tunggal (Strogatz 1994).
Contoh:
diberikan model mangsa pemangsa sebagai berikut:
�
= ̇=
−
,
(6)
= ̇ =− +
.
�
Sistem persamaan (6) memiliki empat parameter, yaitu , , , dan . Dengan
memisalkan
=
�
,
=
=
,
�
,
maka diperoleh model dengan satu parameter , yaitu:
̇=
̇ =−
−
+
,
.
Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu
sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem
dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah suatu kondisi
terjadinya perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap pada sistem dinamik. Titik
yang mengalami kondisi ini disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi
ditemukan kasus-kasus untuk bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical, dan
bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus duadimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf.
Bifurkasi saddle-node adalah bifurkasi yang terjadi jika salah satu dari nilai
parameter tidak terdapat titik tetap dan pada sisi lain terdapat dua titik tetap, dimana
yang satu stabil dan yang lainnya tidak stabil.
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari
kesetimbangan saat sistem mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang
nilai eigen imajiner murni. Limit cycle adalah orbit tertutup yang terisolasi.
Terisolasi artinya orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus batas.
5
Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle
menjadi stabil atau tidak stabil.
Misalkan:
̇=
,
R ,
,
(7)
adalah sistem persamaan diferensial mandiri orde-2 yang bergantung pada
,
parameter a ∈ R. Diasumsikan bahwa matriks Jacobi
=
memiliki sepasang nilai eigen kompleks
=
,
±�
,
yang menjadi imajiner murni saat
= , yaitu
= dan
=
Kemudian, ketika melewati = stabilitas kesetimbangan berubah.
(8)
> .
PEMODELAN
Model yang akan dianalisis adalah model interaksi tumbuhan dan herbivora
yang mana dinamika perilakunya analogi dengan model mangsa-pemangsa. Pada
model diasumsikan bahwa tidak adanya herbivora, populasi tumbuhan tumbuh
sesuai dengan hukum logistik pertumbuhan dengan daya dukung lingkungan dan
tingkat kelahiran intrinsik � . Daya dukung lingkungan dan tingkat kelahiran
interinsik � diasumsikan konstan dan positif. Asumsi-asumsi tersebut merupakan
asumsi standar yang digunakan untuk sebuah kompetisi makanan dan ruang antar
individu dari spesies yang sama serta pada kepadatan yang tinggi kematian
meningkat karena peluang frekuensi pertemuan antarindividu tinggi pada setiap
epidemi. Jumlah biomasa tumbuhan yang dihancurkan oleh herbivora diasumsikan
mengikuti respon fungsional Holling jenis-III sebagai interaksi antara tumbuhan
dan herbivora. Respon fungsional adalah tingkat yang mana setiap herbivora
menangkap biomasa tumbuhan. Herbivora menghasilkan keturunan untuk setiap
kematian biomasa tumbuhan dan tingkat kepadatan kematian independen . Model
dua dimensi tumbuhan dan herbivora diatur oleh persamaan sebagai berikut:
�
�
= �� ( − ) −
�
�
=
�
� �
−
+�
� �
,
+�
�,
dengan
� � Banyaknya populasi tumbuhan pada waktu �.
� � Banyaknya populasi herbivora pada waktu �.
Daya dukung lingkungan.
�
Laju pertumbuhan intrinsik.
Tingkat serapan maksimun herbivora.
Tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan.
Faktor konversi.
(9)
6
Tingkat kematian independen.
Semua parameter �, , , , , dan yang terlibat dalam sistem model
diasumsikan positif dan faktor konversi diasumsikan memenuhi kondisi < <
. Sistem model tumbuhan dan herbivora mengandung banyak parameter. Oleh
karena itu untuk meminimumkan parameter maka sistem model ditransformasikan
ke bentuk yang lebih sederhana dengan penondimensionalan model. Pada
��
�
�
persamaan (9) didefinisikan � = √ , � = √ , � =
, = , = �,
=
, dan
=
√
�√
�
, sehingga diperoleh:
�
̇=
�
=
−
−
√
,
+
√
(10)
̇=
=
− ,
�
+
(Bukti sistem persamaan (10) dapat dilihat pada Lampiran 1)
PEMBAHASAN
Penentuan Titik Tetap Model
Titik tetap dari persamaan (10) akan diperoleh dengan menetapkan ̇ = ,
̇ = sehingga diperoleh tiga titik tetap, yaitu � , , � , , dan � ∗ , ∗
dengan
∗
=√
∗
=
−
−
,
∗
∗
+
∗
.
(Bukti dapat dilihat lihat pada lampiran 2)
Karena titik tetap positif, akibatnya kondisi
<
∗
< .
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
Analisis kestabilan titik tetap diperoleh dengan melakukan pelinearan pada
persamaan (10). Dengan melakukan pelinearan pada persamaan tersebut maka akan
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
7
=
−
−
+
+
(
+
+
.
−
)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3)
Kestabilan titik tetap dapat dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks
Jacobi persamaan (10) yang dievaluasi pada titik tetap tersebut. Selanjutnya,
kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa.
Titik tetap � , disubstitusikan ke matriks Jacobi sehingga diperoleh:
,
=(
).
−
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det( , − ) = , sehingga akan diperoleh nilai eigen untuk matriks , , yaitu:
= ,
=− .
Karena parameter diasumsikan positif, maka > dan < . Kedua nilai eigen
real dan berbeda tanda sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat sadel.
Titik tetap � , disubstitusikan ke matriks Jacobi sehingga diperoleh:
,
=
−
+
.
−
)
+
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det( , − ) = , sehingga akan diperoleh nilai eigen matriks , , yaitu:
(
=− <
=
+
− .
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3)
Kondisi ∗ <
dan
> menyebabkan
>
+
sebagai syarat
parameter dalam sistem model. Oleh karena itu
> sehingga kestabilan titik
tetapnya bersifat sadel.
Titik tetap � ∗ , ∗ disubstitusikan ke matriks Jacobi sehingga diperoleh:
=
−
∗
−
+
∗ ∗
∗ ∗
∗
−
+
∗
∗
∗
.
−
+ ∗
+ ∗
(
)
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
det( ∗, ∗ − ) = , sehingga akan diperoleh nilai eigen untuk matriks ∗, ∗ ,
yaitu:
8
=
=
dengan
= ��
=
�
=
−
−
+√
−
−√
= −( −
+
∗ ∗
∗
,
−
∗
,
,
−
+
∗ ∗
∗
),
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3)
kemudian untuk penyederhanaan, kita simbolkan
=
−
dan
=√
−
.
Berdasarkan kondisi yang telah diperoleh maka sesuai dengan analisis kestabilan,
kestabilan titik tetap yang diperoleh dipengaruhi oleh nilai parameter-parameter
yang dipilih, yaitu parameter , , , dan sehingga harus diperiksa dari kondisi
,
dan .
Oleh karena
> maka kondisi dari
positif
> , sedangkan
kondisi dari
bisa
< atau
> dan kondisi dari bisa < atau >
. Kondisi
> dapat diturunkan menjadi < ∗ (Bukti dapat dlihat pada
−
lampiran 4), sedangkan kondisi
<
dapat diturunkan menjadi
>
dapat dilihat pada lampiran 4). Dari sini terdapat empat kasus, yaitu:
> .
1.
< , < ∗ , dan
2.
3.
4.
< ,
>
> ,
>
> ,
<
−
∗
, dan
∗
, dan
∗
, dan
−
−
−
∗
−
> .
> .
> .
Untuk kasus pertama akan menghasilkan kedua nilai eigen imajiner
−�±��
(Bukti
,
=
, sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh, kestabilan titik tetapnya
bersifat spiral stabil. Untuk kasus kedua akan menghasilkan kedua nilai eigen
�±��
, sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh, kestabilan
imajiner
, =
titik tetapnya bersifat spiral tak stabil. Untuk kasus ketiga akan menghasilkan kedua
−�±�
, sehingga dari nilai-nilai eigen yang
nilai eigen real bernilai negatif
, =
diperoleh, kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil. Sedangkan untuk kasus
�±�
keempat akan menghasilkan kedua nilai eigen real bernilai positif
,
, =
sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh, kestabilan titik tetapnya bersifat
simpul tak stabil. Berikut adalah tabel kondisi kestabilan yang diperoleh
9
Kasus
1
2
3
4
Tabel Kondisi kestabilan titik tetap �
�
Kondisi
<
<
>
<
<
>
>
>
∗
−
∗
>
Spiral stabil
>
Simpul stabil
>
−
∗
−
∗
>
−
Spiral tak
stabil
Simpul tak
stabil
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa setiap kasus mempunyai titik tetap dengan
jenis kestabilan ada yang stabil dan ada yang tidak stabil. Pada saat
�
penondimensionalan
=
yang mana artinya bahwa nilai parameter
√
berbanding terbalik dengan tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan ( ),
=
�
√ �
yang mana artinya bahwa nilai parameter berbanding lurus dengan tingkat
�
kematian independen herbivora ( ), dan = � artinya bahwa nilai parameter
√
berbanding lurus dengan tingkat serapan maksimum herbivora yang mana
berbanding lurus juga dengan parameter karena
= . Diketahui > ∗ ,
−
artinya kondisi tersebut dihadapkan pada saat tingkat kejenuhan kepadatan
tumbuhan rendah. Sedangkan < ∗ , artinya kondisi tersebut dihadapkan pada
−
saat tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan tinggi.
Bifurkasi Hopf
Diketahui nilai eigen titik tetap �
,
=
−
∗, ∗
±√
dari persamaan 2, yaitu:
−
.
Pada kondisi
> dan =
−
< kestabilan � ∗ , ∗ adalah spiral
stabil, sedangkan pada kondisi
<
dan
=
−
<
kestabilan
� ∗ , ∗ spiral tak stabil.
Fenomena perubahan kestabilan terjadi ketika melewati
= . Pada kondisi
= dihasilkan sepasang nilai eigen yang bernilai imajiner murni. Dalam kasus
ini fenomena perubahan kestabilan tersebut dikenal sebagai bifurkasi Hopf.
Bifurkasi Hopf terjadi ketika berubahnya kestabilan dari spiral stabil menjadi
spiral tak stabil dan terdapat limit cycle di dalamnya yang mana fenomena ini terjadi
pada kasus dua. Ilustrasi perubahan kestabilan � ∗ , ∗ dijelaskan pada bagian
selanjutnya.
10
SIMULASI
Dinamika Populasi tumbuhan dan herbivora dapat ditunjukkan melalui kurva
yang menggambarkan populasi populasi tumbuhan dan herbivora pada kurun waktu
tertentu. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik melalui proses komputasi. Pada
proses komputasi, masing-masing variabel dan parameter membutuhkan suatu nilai
awal.
Pada saat penondimensionalan model, diketahui bahwa parameter-parameter
�
�
�
= , =
,
=
,
dan
=
sangat berpengaruh untuk melihat
√
√ �
√ �
dinamika populasi tumbuhan dan herbivora. Tidak sembarangan dalam menetukan
nilai awal parameter. Nilai awal yang ditentukan harus memenuhi kondisi-kondisi
setelah dilakukan proses analisis model. Berikut kondisi umum parameter yang
harus dipenuhi: ≤ ≤ dan
>
yang mana nilai parameter-parameter
tersebut diasumsikan positif. Berdasarkan dari kasus-kasus yang diperoleh, pada
proses simulasi akan diperlihatkan pengaruh dari tingkat kejenuhan kepadatan
tumbuhan ( ), tingkat kematian independen ( ), dan tingkat serapan maksimum
herbivora ( ) terhadap dinamika populasi tumbuhan dan herbivora.
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 1
Pada kasus pertama, kondisi
< ,
<
∗
−
, dan
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = , serta nilai awal
=
dan
= . . Pada kasus pertama dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan tinggi ( < ∗ ) dan pada kondisi dengan
−
tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus
pertama disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
, .
�
=− . + .
�
�
=− . − .
Kestabilan
�
Spiral stabil
Pada tabel 2 titik tetap yang diperoleh � , . dengan nilai eigen = − . +
.
� dan
=− . − .
� sehingga kestabilannya bersifat spiral
stabil (Gambar 1).
11
Gambar 1 Bidang fase kasus 1
Pada Gambar 1 diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dengan
jenis kestabilan spiral stabil. Di awal waktu, populasi tumbuhan dan herbivora
sama-sama mengalami pertumbuhan dengan perkembangan yang sangat pesat
terjadi pada tumbuhan. Pertumbuhan populasi tumbuhan yang sangat pesat
menyebabkan suplai makanan yang tersedia buat herbivora melimpah sehingga
pertumbuhan populasi herbivora juga berkembang pesat. Namun seiring
berjalannya waktu populasi tumbuhan berkurang. Kompetisi antar herbivora juga
terjadi ketika populasi tumbuhan semakin berkurang sehingga populasi herbivora
juga semakin berkurang sampai pada akhirnya kedua populasi mengalami osilasi
dan mencapai kestabilan.
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 2
Pada kasus kedua, kondisi
< ,
>
∗
−
, dan
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = , serta nilai awal
=
dan
= . . Pada kasus kedua dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan rendah ( > ∗ ) dan pada kondisi dengan
−
tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus kedua
disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
,
�
= . + .
�
�
= . − .
Kestabilan
�
Spiral tak stabil
dengan nilai eigen
= . +
Pada Tabel 3 titik tetap yang diperoleh � ,
.
� dan
= . − .
� sehingga kestabilannya bersifat spiral tak
stabil (Gambar 2).
12
Gambar 2 Bidang fase kasus 2
Pada Gambar 2 diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dengan
muncul limit
jenis kestabilan spiral tak stabil. Pada ilustrasi titik tetap � ,
cycle. Diilustrasikan orbit bergerak berlawanan dengan arah jarum jam. Orbit
masuk ke dalam titik sampai ada batas yang berbentuk siklus yang dikenal sebagai
siklus limit atau limit cycle. Dengan ini fenomena yang terjadi pada kasus kedua,
yaitu perubahan kestabilan titik tetap dan keberadaan limit cycle karena berubahnya
nilai parameter sistem yang merupakan sifat bifurkasi Hopf. Keberadaan limit cycle
diperkuat oleh Gambar 3 yang merupakan kebalikan penggambaran dari Gambar 2.
Pada gambar 3 orbit bergerak keluar dari titik tetap dengan arah yang sama sehingga
orbit akan terus bergerak dan bertemu hingga ada batas yang berbentuk siklus yang
dikenal sebagai limit cycle.
Gambar 3 Bidang fase kasus 2
dengan arah orbit dari dalam ke luar
Di awal waktu, populasi tumbuhan dan herbivora sama-sama mengalami
pertumbuhan. Seperti yang terjadi pada Gambar 1, pertumbuhan populasi yang
berkembang pesat di awal waktu terjadi pada populasi tumbuhan. Kompetisi antar
13
tumbuhan dan antar herbivora juga terjadi sehingga seiring berjalannya waktu,
pertumbuhan kedua populasi berfluktuasi dengan jenis kestabilan spiral tak stabil.
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 3
Pada kasus ketiga, kondisi
> ,
<
∗
, dan
−
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = . , serta nilai awal
= dan
= . Pada kasus ketiga dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan yang lebih tinggi ( < ∗ ) dan pada kondisi
−
dengan tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus ketiga
disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 3 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
, .
�
=− .
�
=− .
Kestabilan
Simpul stabil
dengan nilai eigen =
Pada Tabel 4 titik tetap yang diperoleh adalah � , .
.
dan = .
sehingga kestabilannya bersifat simpul stabil (Gambar 4).
Gambar 4 Bidang fase kasus 3
Pada Gambar 4 diberikan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap dengan
jenis kestabilan simpul stabil. Di awal waktu, populasi tumbuhan mengalami
perkembangan yang sangat pesat, sedangkan populasi herbivora mengalami
penurunan. Penurunan populasi herbivora karena di awal waktu suplai makanan
belum melimpah dan terjadi kompetisi antar herbivora dalam memperebutkan
makanan. Namun ketika suplai makanan buat herbivora melimpah, populasinya
mulai berkembang dan ketika populasi herbivora mulai berkembang, populasi
tumbuhan mulai menyusut sampai pada akhirnya kedua populasi mencapai
kestabilan. Berbeda dengan kondisi-kondisi sebelumnya, dalam jangka panjang
pada kondisi ini, populasi tumbuhan lebih banyak dari populasi herbivora.
14
Dinamika Populasi Tumbuhan dan Herbivora Kasus 4
Pada kasus keempat, kondisi
> ,
>
∗
−
, dan
> . Nilai parameter
yang dipilih adalah = ,
= . , = . , dan = , serta nilai awal
=
dan
= . Pada kasus keempat dihadapkan pada kondisi dengan tingkat
kejenuhan kepadatan tumbuhan rendah ( > ∗ ) dan pada kondisi dengan
−
tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian
independen ( > ). Titik tetap, nilai eigen, dan jenis kestabilan pada kasus
keempat disajikan dalam tabel sebagai berikut.
Tabel 4 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan
Titik Tetap
�
,
�
= .
�
= .
Kestabilan
Simpultak stabil
dengan nilai eigen =
Pada Tabel 5 titik tetap yang diperoleh adalah � ,
.
dan
= .
sehingga kestabilannya bersifat simpul tak stabil
(Gambar 5).
Gambar 5 Bidang fase kasus 4 dengan
arah orbit dari luar ke dalam
Gambar 6 Bidang fase kasus 4 dengan
arah orbit dari dalam ke luar
Pada Gambar 5 diberikan ilustrasi bidang fase disekitar titik tetap dengan jenis
kestabilan simpul tak stabil. Sedangkan pada gambar 6 diberikan ilustrasi jika orbit
bergerak dari dalam ke luar. Di awal waktu, populasi tumbuhan mengalami
perkembangan yang sangat pesat sehingga suplai makanan yang tersedia melimpah.
Akibatnya populasi herbivora semakin bertambah. Suplai makanan yang terus
dimakan oleh tumbuhan menyebabkan populasi tumbuhan semakin menyusut
sampai pada akhirnya populasi herbivora lebih banyak dibandingkan dengan
populasi tumbuhan. Kedua populasi dalam jangka panjang befluktuasi dan jenis
kestabilannya adalah simpul tak stabil.
15
SIMPULAN
Pada model yang dibahas, diperoleh tiga titik tetap. Dari ketiga titik tetap,
kestabilan titik tetap pertama dan kedua selalu sadel, sedangkan kestabilan titik
tetap ketiga berbeda-beda bergantung nilai parameter yang diberikan. Dengan
pemilihan nilai parameter tertentu, diperoleh bifurkasi Hopf yang memunculkan
fenomena limit cycle. Hal ini terjadi pada saat perubahan kestabilan titik tetap ketiga
dari spiral stabil berubah menjadi spiral tak stabil.
Dinamika populasi dipengaruhi oleh tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan,
tingkat serapan maksimum herbivora, dan tingkat kematian independen. Pada
kondisi dengan tingkat kejenuhan kepadatan tumbuhan tinggi dan tingkat serapan
maksimum herbivora lebih tinggi daripada tingkat kematian independen, populasi
tumbuhan dan herbivora stabil. Pada kondisi dengan tingkat kejenuhan kepadatan
tumbuhan rendah dan tingkat serapan maksimum herbivora lebih tinggi daripada
tingkat kematian independen, populasi tumbuhan tidak stabil. Dalam jangka
panjang, populasi herbivora cenderung lebih banyak dibandingkan dengan populasi
tumbuhan, namun pada kondisi dengan tingkat kejenuhan tumbuhan yang lebih
tinggi, populasi tumbuhan lebih banyak dibandingkan dengan populasi herbivora.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Indriasari R, Harmein
I, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.
Fatik BM. 2010. Textbook of Animal Behaviour. New Delhi:PHI Learning Pvt. Ltd.
Saha T dan Bandyopadhyay M. 2005. Dynamical Analysis of A Plant-Herbivore
Model: Bifurcation and Global Stability. J. Appl. Math. And Computing 19: 327344.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Application to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusets (US): Addison-Wesley
Publishing Company.
Tu PNV. 1994. Dynamical System An Introduction with Application in Economics
and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
16
Lampiran 1 Penondimensionalan model
Diberikan model interaksi Tumbuhan dan Herbivora :
�
� �
�
= �� ( − ) −
,
+�
�
� �
�
=
− �.
+�
�
Persamaan di atas ditransformasikan menjadi sistem persamaan yang lebih
sederhana dengan melakukan penondimensional sebagai berikut:
�=√
�=√
,
��
�=
,
�√
,
�
� �
�
�
=
∙
∙
� �
�
�
�
�
� �
=
�� ( − ) −
+ � �√
√
√
√
=
�√
−
−
+
�√
√
�
√
=
�√ −
−
+
�√ √
�
√
=
�√ −
−
+
�√
�
√ �
√
=
�√ −
−
∙
+
�√
√
√ √
√ −
=
−
+
√
√
√
=
−
−
+
=
=
−
−
−
−
+
�
�
� �
=
∙
∙
�
� �
�
� �
−
=
+�
√
√
=
+
√
+
.
�
�
�
−
�√
√
�√
17
=
=
=
dengan
=
�
√
,
=
�
√ �
�√
=
=
,
�√ √
+
+
, dan
∙
+
−
+
−
−
=
�
√ �
.
√
�√
−
∙
√
,
Lampiran 2 Penentuan titik tetap model interaksi tumbuhan dan herbivora
Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan persamaan (10) sebagai berikut:
̇=
̇ =
+
−
−
−
+
= .
Dari persamaan pertama akan diperoleh nilai
−
+
dari sini diperoleh:
+
−
−
=
=
−
=
=
+
− −
− −
∩
∩
+
=
=
sebagai berikut:
̇ =
−
−
= ∩
= ∩
=
+
= ,
=
=
=
+
+
− − −
= +
− −
+
− −
−
+
Dari persamaan kedua akan diperoleh nilai
.
=
sebagai berikut:
18
−
+
−
+
− +
dari sini diperoleh:
̇ =
=
=
+
=
=
=
= ∩
= ∩
Substitusi
−
( +
)
.
=
= , karena
=
−
( +
∩
=
=
∩
=√
)
=
maka
, karena
=
=
( +
=
)
−
.
=√
( +
−
)
.
−
+
−
=
=
sehingga diperoleh titik tetap �
dan
=
maka
−
=√
=
ke persamaan
=
+
∩ +
∩ +
=
=
=
= ,
untuk mendapatkan nilai
, karena
=
−
untuk mendapatkan nilai
dengan + adalah definit positif.
Sehingga diperoleh titik tetap � ,
−
− +
− =
=
−
Substitusi
+
−
maka
,
=
,
, dan �
∗
=
ke persamaan
=
∗, ∗
.
− ∗ ( + ∗ )
∗
,
=
,
.
19
Lampiran 3 Penentuan nilai eigen
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (10) diperleh Matriks
Jacobi sebagai berikut:
=
Pelinearan titik tetap �
−
(
,
−
+
+
+
+
−
)
.
akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
=
,
(
−
+
+
−
)
.
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
�( , − ) = sehingga diperoleh
|
dari sini diperoleh:
− −
=
− −
+
− −
=− ∩
+
− −
+
−
+
=
−
|=
= ,
+
Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut:
=− ,
Pelinearan titik tetap �
∗, ∗
=
(
∗
,
−
∗
=
+
+
.
− .
+
diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
∗
−
+
+
∗ ∗
∗
∗ ∗
∗
−
+
+
∗
∗
∗
∗
−
)
20
∗, ∗
=
−
∗
−
+
∗
−
∗
∗ ∗
+
(
∗ ∗
+
∗
∗
)
.
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
�( ∗, ∗ − ) = sehingga diperoleh
||
−
∗
−
− ( −
+
∗ ∗
+
∗
−
∗
dari sini diperoleh:
=
+√
−
∗ ∗
−
∗
+
−
−
∗ ∗
)+
,
=
∗
+
−
+
+
+
∗
∗|
|=
∗ ∗
∗
=
=
−√
−
−
,
dengan
= ��
=
�
= −( −
=
Diketahui:
= ��
.
= −( −
=
∗
∗
<
∗
−
∗
−
+
∗ ∗
),
∗ ∗
),
∗
= ��
Lampiran 4 Penurunan kondisi
+
∗ ∗
∗
=
=√
=
+
−
∗ ∗
∗
−
−
∗
,
,
+
,
∗
+
∗
,
∗
21
−( −
−
−
∗
+
+
−
∗
−
∗
∗
∗
−
∙
−
−
∗
+
−
∗
−
−
∗
∗ ∗
∗
+
∗
)<
∗
∗ ∗
∗
+
>
∗
>
− ∗
>
+ ∗
− − ∗
>
+ ∗
+ ∗
∗−
∗ −
+ ∗
− +
+
∗
−
∗ −
∗
∗
>
>
>
>
>
∗
∗
−
∗
−
∗
>
>
−( −
−
∗
−
+
+
−
∗
−
∗
∗
∗
−
∙
−
∗
−
∗
−
−
∗
−
+
∗
+ ∗ −
+ ∗
∗−
∗ −
+ ∗
− +
∗ ∗
∗
∗ ∗
+ ∗
+
−
+
−
∗
+
∗
−
∗ −
−
)>
<
∗
∗
∗
−
>
−
−
>
∗
<
∗
<
∗
∗
∗
<
<
<
<
<
∗
∗
∗
−
∗
−
∙
−
−
22
<
<
<
<
−
∗
−
∗
−
∗
−
∗
−
−
∙
−
−
23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Indramayu pada tanggal 23 Juli 1990 dari Bapak Agus
dan Ibu Juenah. Penulis merupakan putra keempat dari empat bersaudara. Tahun
2002 penulis lulus dari SD Negeri Karanganyar, tahun 2005 penulis lulus dari SMP
Negeri 1 Terisi, dan tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sindang. Penulis
diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur
Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Jurusan Matematika
sebagai mayor. Pada tingkat kedua penulis memilih Statistika Terapan sebagai
minor. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar les
Kalkulus TPB. Saat Tingkat Persiapan Bersama, penulis mendapatkan beasiswa
pemerintah daerah Jawa Barat, pemerintah daerah Indramayu, dan LAZ AlHurriyyah. Pada tahun 2011-2013, penulis mendapat beasiswa Karya Salemba
Empat.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan seperti organisasi mahasiswa
daerah dan organisasi intra kampus. Pada tahun 2009-2010, penulis menjadi
sekretaris umum Ikatan Keluarga dan Mahasiswa dharma Ayu (IKADA) sebagai
sekretasi umum. Pada tahun 2010, penulis menjadi anggota Departemen Internal
Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam. Pada tahun 2011, penulis menjadi ketua Departemen Advokasi dan
Kesejahteraan Mahasiswa Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada tahun 2012, penulis menjadi
koordinator Kesejahteraan Mahasiswa se-IPB Badan Eksekutif Mahasiswa
Keluarga Mahasiswa IPB.
Penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan seperti kepanitiaan Masa
Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru 2009, Pesta Sains 2009 dan 2010, SPIRIT
2010, Masa Perkenalan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan 2010 dan 2011,
POKJA SPP dan POKJA Beasiswa 2012, dan kepanitiaan lainnya. Selain itu
penulis juga pernah menjadi moderator seminar Lokakarya Kementerian
Lingkungan Hidup, moderator Kajian Seputar Kampus Institut Pertanian Bogor
2012, master of ceremony, Dialog Rektor Institut Pertanian Bogor 2012, fasilitator
Up Grading, pengisi acara musikalisasi puisi Mipa Go Green 2011, pengisi acara
akustik Saresehan Lingkungan Hidup Badan Eksekutif Mahasiswa Keluarga
Mahasiswa Institut Pertanian Bogor 2012, dan acara-acara lainnya.