Himpunan Operasi Aljabar Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan

Raih Juara Olimpiade Matematika 24 M

BAB 3 ALJABAR DAN PENGUKURAN

A. Himpunan

1. Himpunan Bagian Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari suatu himpunan yang mempunyai n anggota dirumuskan 2 n . Sedangkan untuk merinci himpunan bagian yang mempunyai anggota yang dikehendaki dapat digunakan segitiga Pascal. Perhatikan contoh penggunaan segitiga Pascal berikut ini. Contoh: Diketahui A={0,1,2,3,4}. Misalkan , maka banyak himpunan bagian X yang terdiri dari 4 anggota adalah… Jawab: Karena A memiliki 5 anggota, maka sesuai dengan segitiga Pascal di atas terdapat 5 himpunan bagian yang terdiri dari 4 anggota. 2. Operasi Himpunan Perhatikan diagram Venn berikut ini. 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 anggota 1 anggota 2 anggota 3 anggota 4 anggota 5 anggota Himpunan bagian P yang mempunyai n anggota A B A B `A C B Raih Juara Olimpiade Matematika 25 M

B. Operasi Aljabar

1. Perpangkatan: 2. Jumlah dan selisih kuadrat: atau Contoh: Jika , tentukan Jawab: 3. Manipulasi Aljabar Manipulasi aljabar adalah teknik mengubah bentuk soal ke bentuk yang lebih sederhana sehingga lebih mudah dikerjakan. Contoh: Tentukan solusi semua x anggota bilangan real yang memenuhi persamaan: Jawab: Dengan memisalkan , diperoleh persamaan atau

C. Fungsi

Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemetaan dari A ke B dimana untuk setiap x anggota A memiliki tepat satu anggota y di B. Contoh 1: Jika , maka Catatan: Perhatikan bahwa koefisien dari masing-masing suku adalah bilangan yang ditunjukkan dalam segitiga Pascal Catatan: dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B Sehingga untuk , tidak ada yang memenuhi, Untuk Jadi Raih Juara Olimpiade Matematika 26 M Jawab: Contoh 2: Jika dan , maka Jawab:

D. Persamaan dan Pertidaksamaan

Sistem persamaan linear 2 variabel SPLDV Bentuk umum : Sistem persamaan linear dan kuadrat Bentuk umum: Contoh: Jika dan , tentukan nilai Jawab: dan + Karena , maka Pertidaksamaan Definisi : Jika , maka dengan anggota bilangan Real Contoh: Diketahui a, b, c dan d bilangan asli yang memenuhi dan . Jika dan , maka… a. c. e. b. d. Sifat-Sifat Pertidaksamaan: Jika maka Jika dan , maka atau Jika dan , maka atau Jika dan , maka Catatan: Sifat-sifat di samping juga berlaku untuk tanda dan Dengan menggunakan substitusi atau eliminasi, diperoleh x,y yang merupakan penyelesaian dari SPLDV di atas. Raih Juara Olimpiade Matematika 27 M Jawab: Karena bilangan asli maka dan bulat. , berarti karena . Jawaban a E. Perbandingan 1. Perbandingan Senilai Komponen I Komponen II a b c d = ad=bc Contoh permasalahan : jumlah barang, harga barang, 2. Perbandingan Berbalik Nilai Komponen I Komponen II a b c d = ac=bd Contoh permasalahan: kecepatan, waktu tempuh, banyak pekerja, Contoh: Sebuah proyek direncanakan selesai dalam waktu 24 hari oleh 15 orang. Setelah berjalan selama 8 hari, proyek terhenti selama 6 hari karena kehabisan bahan baku. Agar proyek selesai tepat waktu, berapa tambahan pekerja yang dibutuhkan? Jawab: Masalah ini dapat diselesaikan dengan perbandingan berbalik nilai. Misalkan adalah tambahan pekerja yang dibutuhkan, maka dieperoleh persamaan sebagai berikut. . Jadi butuh tambahan pekerja 9 orang.

F. Barisan dan Deret