Raih Juara Olimpiade Matematika
24
M
BAB 3 ALJABAR DAN PENGUKURAN
A. Himpunan
1. Himpunan Bagian
Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari suatu himpunan yang mempunyai n anggota dirumuskan 2
n
. Sedangkan untuk merinci himpunan bagian yang mempunyai anggota yang dikehendaki dapat digunakan
segitiga Pascal. Perhatikan contoh penggunaan segitiga Pascal berikut ini.
Contoh: Diketahui A={0,1,2,3,4}. Misalkan
, maka banyak himpunan bagian X yang terdiri dari 4 anggota
adalah…
Jawab: Karena A memiliki 5 anggota, maka sesuai dengan segitiga Pascal di atas
terdapat 5 himpunan bagian yang terdiri dari 4 anggota. 2.
Operasi Himpunan Perhatikan diagram Venn berikut ini.
1 1
1 1
1 1
1 2
1 3
3 1
4 6
4 1
5 10
10 5
1
anggota 1
anggota
2 anggota 3
anggota
4 anggota 5
anggota Himpunan bagian P
yang mempunyai n anggota
A B
A B
`A
C B
Raih Juara Olimpiade Matematika
25
M
B. Operasi Aljabar
1. Perpangkatan:
2. Jumlah dan selisih kuadrat:
atau
Contoh: Jika
, tentukan
Jawab:
3. Manipulasi Aljabar
Manipulasi aljabar adalah teknik mengubah bentuk soal ke bentuk yang lebih sederhana sehingga lebih mudah dikerjakan.
Contoh: Tentukan solusi semua x anggota bilangan real yang memenuhi
persamaan:
Jawab: Dengan memisalkan
, diperoleh persamaan
atau
C. Fungsi
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemetaan dari A ke B dimana
untuk setiap x anggota A memiliki tepat satu anggota y di B.
Contoh 1: Jika
, maka
Catatan: Perhatikan bahwa koefisien dari
masing-masing suku
adalah bilangan yang ditunjukkan dalam
segitiga Pascal
Catatan: dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B
Sehingga untuk , tidak ada
yang memenuhi, Untuk
Jadi
Raih Juara Olimpiade Matematika
26
M
Jawab:
Contoh 2: Jika
dan , maka
Jawab:
D. Persamaan dan Pertidaksamaan
Sistem persamaan linear 2 variabel SPLDV
Bentuk umum :
Sistem persamaan linear dan kuadrat
Bentuk umum:
Contoh: Jika
dan , tentukan nilai
Jawab:
dan
+
Karena , maka
Pertidaksamaan
Definisi : Jika , maka dengan anggota bilangan Real
Contoh: Diketahui a, b, c dan d bilangan asli yang memenuhi dan
. Jika dan , maka…
a. c.
e. b.
d.
Sifat-Sifat Pertidaksamaan: Jika
maka Jika
dan , maka atau Jika
dan , maka atau Jika
dan , maka Catatan:
Sifat-sifat di samping juga berlaku untuk tanda
dan
Dengan menggunakan substitusi atau eliminasi, diperoleh x,y yang merupakan
penyelesaian dari SPLDV di atas.
Raih Juara Olimpiade Matematika
27
M
Jawab: Karena
bilangan asli maka dan bulat. , berarti
karena .
Jawaban a E.
Perbandingan
1. Perbandingan Senilai
Komponen I Komponen II
a b
c d
= ad=bc
Contoh permasalahan : jumlah barang, harga barang, 2.
Perbandingan Berbalik Nilai Komponen I
Komponen II a
b c
d =
ac=bd Contoh permasalahan: kecepatan, waktu tempuh, banyak pekerja,
Contoh: Sebuah proyek direncanakan selesai dalam waktu 24 hari oleh 15 orang.
Setelah berjalan selama 8 hari, proyek terhenti selama 6 hari karena kehabisan bahan baku. Agar proyek selesai tepat waktu, berapa tambahan pekerja yang
dibutuhkan?
Jawab: Masalah ini dapat diselesaikan dengan perbandingan berbalik nilai.
Misalkan adalah tambahan pekerja yang dibutuhkan, maka dieperoleh persamaan
sebagai berikut. . Jadi butuh tambahan
pekerja 9 orang.
F. Barisan dan Deret
Kategori