Raih Juara Olimpiade Matematika
57
M
Contoh 2: Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas VII, 4 orang utusan dari kelas
VIII, dan 2 orang utusan dari kelas IX. Tentukan banyak kemungkinan susunan ketua dan wakil ketua dengan syarat kedua jabatan tersebut harus dari kelas yang
berbeda.
Jawab: Dengan aturan perkalian, diperoleh:
1 Jika ketua dari kelas VII, wakil ketua dapat dari kelas VIII atau kelas IX, maka
ada 3.4+2 = 18 kemungkinan 2
Jika ketua dari kelas VIII, wakil ketua dapat dari kelas VI atau kelas IX, maka ada 4.3+2 = 20 kemungkinan
3 Jika ketua dari kelas IX, wakil ketua dapat dari kelas VII atau kelas VIII, maka
ada 2.3+4 = 14 kemungkinan Sehingga total ada 18 + 20 + 14 = 52 kemungkinan
Contoh 3: Dari lima angka 0, 3, 4, 5, 7 akan dibentuk sebuah bilangan yang terdiri
dari 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika : a angka-angkanya boleh berulang
b angka-angkanya tidak boleh berulang
Jawab : Solusi :
a Angka pertama sebagai ribuan dapat dipilih 4 kemungkinan yaitu 3, 4, 5 atau 7.
Angka 0 tidak mungkin menjadi angka pertama sebab akan menyebabkan bilangan yang dibentuk hanya terdiri dari 3 angka. Karena boleh berulang maka
an gka ratusan, puluhan dan satuan masing-masing dapat dipilih 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 4 x 5 x 5 x 5 = 500 bilangan.
b Angka pertama sebagai ribuan dapat dipilih 4 cara. Karena tidak boleh berulang
sedangkan satu angka sudah dipakai pada angka pertama maka banyaknya cara memilih angka kedua hanya tinggal 4 cara. Misalkan angka pertama dipilih 3
maka pilihan pada angka kedua adalah 0, 4, 5 atau 7. Banyaknya pilihan pada angka ketiga ada 3 cara dan banyaknya pilihan pada angka keempat ada 2 cara.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan.
C. Permutasi
Faktorial
Jika n bilangan asli, tulisan n dibaca n faktorial, mempunyai arti sebagai 1.2.3.4.
….. n dan 0 = 1 didefinisikan
Raih Juara Olimpiade Matematika
58
M
Permutasi
Misalkan ada 3 unsur berbeda a, b, dan c. Kita telah dapat menentukan banyaknya susunan 3 unsur tanpa pengulangan, yaitu sebanyak 3.2.1= 6 susunan. Susunan
tersebut adalah abc, acb, bac, bca, cab, cba. Setiap susunan disebut permutasi dari a, b, dan c. Perhatikan bahwa urutan dalam susunan-susunan ini diperhatikan
sehingga abc tidak sama artinya dengan acb. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda dilambangkan
. Misalkan diketahui n unsur berbeda. Banyaknya permutasi dari r unsur
r ≤ n yang diambil dari n unsur
adalah
Contoh :
Empat orang masuk ke dalam bus dan tersedia 10 tempat duduk yang masih kosong. Tentukan banyak semua kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk.
Jawab:
Masalah ini merupakan permutasi empat tempat duduk terisi dari 10 tempat duduk kosong, yaitu sebanyak
Sehingga terdapat 5040 kemungkinan posisi tempat duduk 4 orang tersebut.
Permutasi Siklis
Jika terdapat beberapa orang yang ingin duduk melingkar di suatu pertemuan, maka banyak cara menyusun mereka untuk duduk bersebelahan dan melingkar dapat
digunakan permutasi siklis. Banyaknya permutasi siklis dari n unsur tersebut dapat digunakan rumus:
Contoh 1: Enam anak ingin duduk melingkar di suatu tempat duduk. Ada berapa
cara mereka menyusun tempat duduk mereka?
Jawab:
Jadi ada 120 cara menyusun tempat duduk.
Contoh 2: Diketahui ada 5 pemuda dan 3 pemudi duduk mengelilingi meja bundar.
Tentukan banyaknya kemungkinan susunan mereka jika:
Raih Juara Olimpiade Matematika
59
M
a Mereka duduk bebas
b Pemuda pertama dan pemudi pertama tidak duduk berdampingan.
c Tidak ada putri yang duduk berdampingan
Jawab:
a Banyaknya susunan mereka duduk bebas:
b Dengan tanpa menghitung pemudi pertama, banyaknya susunan mereka duduk
adalah . Setelah mereka duduk, maka pilihan duduk pemudi
pertama ada 5.
c Setelah 5 pemuda duduk yang lebih banyak, pemudi pertama mempunyai
pilihan sebanyak 5 posisi. Tetapi karena dua pemudi tidak dapat duduk berdampingan, maka pemudi kedua hanya 4 kemungkinan posisi dan pemudi
ketiga hanya mempunyai 3 kemungkinan posisi. Dengan demikian jumlah semua kemungkinan adalah 4x5x4x3 = 1440 kemungkinan
D. Kombinasi
