MA1114 KALKULUS I 10
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ln didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
Secara umum, jika u = ux maka
ln ,
x t
dt x
x
1
1
x dt
t D
x D
x x
x
1 1
ln
1
dx du
u dt
t D
u D
x u
x x
1 1
ln
1
.
MA1114 KALKULUS I 11
Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln :
1. ln 1 = 0 2. lnab = ln a + ln b
3. lnab=lna – lnb
2 4
sin 2
4 sin
1
x D
x x
f
x
2 4
cot 4
x
,| |
ln
x
x y
,
ln ,
ln x
x x
x x
y x
y 1
ln
x x
y x
y 1
1 ln
. ,
1 |
| ln
x x
x dx
d
C |
x |
ln dx
x 1
a r
a
r
ln ln
. 4
MA1114 KALKULUS I 12
dx x
x
4 3
2
2
dx x
du x
u
2 3
3 2
Contoh: Hitung
jawab Misal
3 1
2
3 2
du u
dx x
x
c u
du u
| |
ln 3
1 1
3 1
c x
|
2 |
ln 3
1
3
4 |
2 |
ln 3
1 2
3 4
3 2
x dx
x x
. 33
ln 3
1 2
ln 66
ln 3
1
sehingga
dx x
du
2
3 1
MA1114 KALKULUS I 13
Grafik fungsi logaritma asli
, ln
1
x t
dt x
x f
x
f
D x
x x
f
1
f selalu monoton naik pada Df
f
D x
x x
f
1
2
Diketahui
a.
b.
c.
Grafik selalu cekung kebawah
d. f1 = 0 1
fx=lnx
MA1114 KALKULUS I 14
8.3 Fungsi Eksponen Asli
Karena maka fungsi logaritma asli monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut fungsi eksponen asli,
notasi exp . Jadi
berlaku hubungan
Dari sini didapat : y = expln y dan x =lnexpx
Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. disebut bilangan Euler, karena beliau yang
menemukannya Dari sifat iv fungsi logaritma diperoleh
, untuk
1 ln
x
x x
D
x
y x
x y
ln exp
r e
r e
e
r r
exp ln
exp ln
exp
x
e x
exp
MA1114 KALKULUS I 15
x
e y
dy dx
dx dy
1
x x
x
e e
D
, Jadi
y x
e y
x
ln
Turunan dan integral fungsi eksponen asli
Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan
y dy
dx 1
. u
e e
D
u x
u x
Secara umum
Sehingga
C e
dx e
x x
MA1114 KALKULUS I 16
1 y=ln x
y=exp x
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan
grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
1
Contoh
ln 3
.
ln 3
ln 3
x x
D e
e D
x x
x x
x x
. 3
ln 3
ln 3
x e
x x
MA1114 KALKULUS I 17
. 3
1 3
1 3
1
3 2
3
c e
c e
du e
dx x
e
x u
u x
Contoh Hitung
dx x
e
x
2 3
Jawab :
du dx
x dx
x du
x u
3 1
1 3
3
2 2
Misalkan
Sehingga
MA1114 KALKULUS I 18
Soal latihan
y
x x
e e
y
sec 2
2
sec
x
e x
y
ln 3
5
x
e y
tan
A.Tentukan dari
3 ln
3
y x
e
y
1
3 2
2
xy e
y
x
6 5
ln
2
x
x y
x y
3 cos
ln
y x
x
ln
2
y x
ln sin
1 2
sinln
x
y 1.
2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
10.
MA1114 KALKULUS I 19
B. Selesaikan integral tak tentu berikut
4 2
1 x
dx
4 2
5
2
x x
x dx
2
2
x x
dx ln
dx x
x 3
ln
2
dx x
x tanln
x x
dx
3 2
1
x e
dx
x x
3
2
6
e e
dx
x x
sec
2
2
cos
sin
x e dx
x
e dx
x 2 ln
dx e
x
x
3
2 2
dx
e e
x x
3
2
dx
e e
x x
2 3
3
2 1
1.
2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
10. 11.
12.
13.
MA1114 KALKULUS I 20
C. Selesaikan integral tentu berikut
3 1 2
1 4
x dx
1 1
1 4
x x
dx
e e
dx
x x
4
3 3
ln ln
e e
dx
x x
3 4
5
ln
e dx
x 2
3 1
dx e
x
2
ln 3
e x
dx
x 3
2 1
2
2
4
2
dx xe
x
2
2
ln
e
e
x x
dx
1.
2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
MA1114 KALKULUS I 21
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Kategori