9transenden1

8.1 Fungsi Invers

Misalkan denganf : Df  Rf

)

(

x

f

y

x





v

u



f (u)  f (v)

Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v)

maka u = v

atau jika maka

x y 

fungsi y=x satu-satu

x y 

fungsi y=-x satu-satu

2

x y 

u v

fungsi tidak satu-satu_{y x}2 

MA1114 KALKULUS I 3

Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.

Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi _f 1

f

f

D

R

f

1

:



 

y

f

x

y

1





Berlaku hubungan

x

x

f

f

1

(

(

))



y y

f

f ( 1( )) 

f f

f

f

R

R

D

D

1



,

1



Df Rf

f

x y=f(x)

R R

1 

f

) (

1 _y

f x _ 

Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers

x x

f ( ) 

x x

f ( ) 

2

) (x x f 

u v

f(x)=x

R x

x

f '( ) 1  0, 

f selalu naik

f(x)=-x

R x

x

f '( )  1 0,  f selalu turun

  

 

 

 

0 ,

0

0 ,

0 2

) ( '

x x x

x f

f naik untuk x>0 turun untuk x <0

1 

f

1



f

1



MA1114 KALKULUS I 5

Contoh : Diketahui

f x

x

x

( )







1

2

a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya

Jawab a. ₂

)

2

(

)

1

.(

1

)

2

.(

1

)

(

'











x

x

x

x

f

x

Df

x











0

,

)

2

(

3

2

Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers

b. Misal

,

2

2

1











x

x

x

y

1

2







y

x

xy

1

1

2

1

2



















y

y

x

y

x

y

x

1

1

2

)

(

1

1

2

)

(

1 1



















 

x

x

x

f

y

y

y

f

Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.

2

) (x x f 

u v

1 

f _{tidak ada}

R

x



Untuk

2

) (x x

f 

Untuk x>0 ada_f 1

2

) (x x

f 

MA1114 KALKULUS I 7

Grafik fungsi invers

Titik (x,y) terletak

pada grafik f Titik (y,x) terletak_{pada grafik f} 1

Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x Grafik f dan semetri terhadap garis y=x_f 1

f

1 

Turunan fungsi invers

Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan

pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x) dan

I x x

f 1( ) 0,  _f 1

)

(

'

1

)

(

)'

(

1

x

f

y

f





Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai

dx

dy

dy

dx

/

1



Contoh Diketahui tentukan _f (_x) _x5 _ 2_{x }1 _{( f} 1_)'(4)

2

5

)

(

'

_x

_

_x

4

_

f

,y=4 jika hanya jika x=1

7

1

)

1

(

'

1

)

4

(

)'

(

1





f

f

MA1114 KALKULUS I 9

Soal Latihan

f x x

x x

( )   1 ,  0

f x( ) 3 2x  1

f x( ) 5 4x  2

f x

x x

( )  ,

 

5

1 0

2

f x x

x

( )  



1 1 2 3 2

) (

  

x x x

f

Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1

. 2. 3. 4. 5. 6.

8.2 Fungsi Logaritma Asli

 Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

 Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

 _{Secara umum, jika u = u(x) maka}

ln

x

,

t

dt x

x



_

1



0

1





x

dt

t

D

x

D

x x x

1

1

ln

1





















_





dx

du

u

dt

t

D

u

D

x u x x

1

1

ln

) (

1





















_

MA1114 KALKULUS I 11

Contoh : Diberikan

maka

Jika

Jadi,

Dari sini diperoleh :

Sifat-sifat Ln :

1. ln 1 = 0

2. ln(ab) = ln a + ln b

3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)

))

2

4

ln(sin(

)

(

x



x



f

))

2

4

(sin(

)

2

4

sin(

1

)

(

'







D

x

x

x

f

_x

_

₄

_cot(

₄

_x

_

₂

₎

0

,|

|

ln





x

x

y

       0 , ) ln( 0 , ln x x x x x y x

y ln  '1

x x

y x

y ln( ) ' 1 1      

.

0

,

1

|)

|

(ln



x



x

x

dx

d



dx



ln

|

x

|



C

x

1

a

r

a

r

ln

ln

.

dx

x

x



_

4

0

3 2

2

dx

x

du

x

u



3



2





3

2

Contoh: Hitung jawab

Misal

3

1

2

3

2

_du

u

dx

x

x













u

du



3

ln

|

u

|



c

1

1

3

1

c

x







ln

|

2

|

3

1

₃



0

4

|

2

|

ln

3

1

2

3 4

0 3

2









dx

x

x

x

.

33

ln

3

1

)

2

ln

66

(ln

3

1







sehingga

dx

x

du

2

3

1





MA1114 KALKULUS I 13

Grafik fungsi logaritma asli

0

,

ln

)

(

1







_

x

t

dt

x

x

f

x

f

D

x

x

x

f

'

(

)



1



0





f selalu monoton naik pada Df

f

D

x

x

x

f

''

(

)





1

₂



0





Diketahui a.

b.

c.

Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0

1

8.3 Fungsi Eksponen Asli



Karena maka fungsi logaritma asli

monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi

logaritma asli disebut

fungsi eksponen asli,

notasi

exp

. Jadi

berlaku hubungan



Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))



Definisi 8.2

Bilangan e adalah bilangan Real positif yang

bersifat ln e = 1. (disebut bilangan Euler, karena beliau yang

menemukannya)

Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh



ln





1



0

untuk

x



0

,

x

x

D

_x

y

x

x

y



exp(

)





ln

 



e





r

e



 

r

MA1114 KALKULUS I 15 x

e

y

dy

dx

dx

dy







/

1

x x

x

e

e

D

(

)



,

Jadi

y

x

e

y



x





ln

Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers

Dari hubungan

y

dy

dx

1



'

.

)

(

e

( )

e

u

D

_x u x



u

Secara umum Sehingga

1

y=ln x y=exp (x)

Grafik fungsi eksponen asli

Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x

1

Contoh

)

ln

3

(

.

)

(

e

3 ln

e

3 ln

D

x

x

D

_x x x



x x _x 3 ln

₍

₃

_ln

₃

_).





e

x x

x

MA1114 KALKULUS I 17

.

3

1

3

1

3

1

_3/

2 / 3

c

e

c

e

du

e

dx

x

e

x _{u u x}

















_



Contoh Hitung

dx

x

e

x



2 / 3

Jawab :

du

dx

x

dx

x

du

x

u

3

1

1

3

3

2

2















Misalkan Sehingga

Soal latihan

'

y

x x

_e

e

y



sec

2



2sec

x

e

x

y

5 3ln



x

e

y



tan

A.Tentukan dari

)

3

ln(

x

3

y

e

y





1

3 2

2

_e

_

_xy

_

y

x



5 6



ln 2    x x

y

 



x



y



ln

cos

3

y

x

x



ln

₂





y



ln sin

x

)) 1 2

sin(ln( 

 x

y

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

MA1114 KALKULUS I 19

B. Selesaikan integral tak tentu berikut

4

2x 1 dx



4 2

5 2

x

x x dx

  







2 2

x ln x dx





dx

x x

3 ln2



dx

x x) tan(ln

x

x dx

3 2 _1



(x  )ex  xdx



3 2 6





e x  e x dx



sec2 2

(cos )x esin x dx



e

2 ln

x

dx





x2e2x3dx



_

dx

e

e

x x

3

2



_

dx

e

e

x x

2 3 3

)

2

1

(

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11.

12.

C. Selesaikan integral tentu berikut

3 1 2

1 4





_x dx





1 1

1 4

x  x dx



e

e dx

x x _





4

3 3 ln ln





ex 3 4ex dx

0 5





ln

e2x 3dx

0 1





dx e x





2 ln

0 3

e

x dx

x

3

2 1 2







2

0

4 2

_dx

xe

x



2

2

)

(ln

e

e

x

x

dx

1. 2. 3. 4.

5.

6. 7. 8.

MA1114 KALKULUS I 21

8.5 Fungsi Eksponen Umum

Fungsi , a > 0, a1 disebut fungsi eksponen umum

Untuk a > 0, a1 dan x  R, didefinisikan

Turunan dan integral

Jika u = u(x), maka

Dari sini diperoleh :

:

x

a

x

f

(

)



a

x



e

x ln a

a

a

a

e

e

D

a

D

x a x a x

x x

x

(

)

(

)

ln

ln

ln

ln

_

_



ln ln

( )

u

(

u a

)

u a

ln . '

u

(ln )( ')

x x

D a



D e



e

a u



a

a u

1

,

1,

0

ln

x x

a dx

a

C a

a

a









Sifat–sifat fungsi eksponen umum

Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku

y x y

x

_a

_a

a





y x y

x

a

a

a

_



xy y

x

_a

a

)



(

x x x

b

a

b

a















1. 2. 3.

4.

(

ab

)

x



a

x

b

x 5.

MA1114 KALKULUS I 23



4

x2

.

xdx

C C

du u x

u

 

 



4 _{2 2}1 _ln4 _{4 2}4_ln4

2

x x

x

f

(

)



3

2 1



2

sin2

2

.

2

cos

.

2

ln

2

3

ln

3

.

2

)

(

'

x

2 1 sin2

x

f



x



x

Contoh

1. Hitung turunan pertama dari

Jawab :

2. Hitung

Jawab :

du

xdx

xdx

du

x

u

_

2

_

_

₂

_

_

1₂

Misal



Grafik fungsi eksponen umum

0

,

)

(

x



a

a



f

x

(

, )

f

D

  

a.

b.

f

'

(

x

)



a

x

ln

a

  

 

  



1 ,

0 ln

1 0

, 0 ln

a a

a

a a

a

x x

f monoton naik jika a > 1

monoton turun jika 0 < a < 1

f

x

_a

_x

_D

a

x

f

''

(

)



(ln

)

2



0





c.

Grafik f selalu cekung keatas d. f(0) = 1

Diketahui

1 ,

)

(x a a 

f x

1 0

, )

(x a a 

f x

(0, )

f

MA1114 KALKULUS I 25

8.6 Fungsi Logaritma Umum

Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum

( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :

Dari hubungan ini, didapat

Sehingga

Jika u=u(x), maka

x

a

_log

1

dan

,

0

,









x

a

y

a

a

x

y



a

log

a

x

x

a

x

y

a

y

a

x

y a

ln

ln

log

ln

ln

ln

ln

ln













a x

a x D

x

D a _x

x

ln 1 )

ln ln ( )

log

(  

a

u

u

a

u

D

u

D

a _x

x

ln

'

)

ln

ln

(

)

log

Contoh Tentukan turunan pertama dari

)

1

log(

)

(

x



3

x

2



f

)

1

1

log(

)

(

4







x

x

x

f

1. 2. Jawab : 1. 3 ln ) 1 ln( ) 1 log( ) ( 2 2

3 _{ } 

 x x

x f

3

ln

1

1

2

)

(

'

₂





x

x

x

f

2.

4

ln

)

ln(

)

1

1

log(

)

(

4 11











x x

x

x

x

f

 

1

)

1

(

1

4

ln

1

)

(

'

11







 

x

x

Dx

x

f

x x 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 4 ln 1        x x x x x ) 1 )( 1 ( 2 4 ln 1     x x

MA1114 KALKULUS I 27

Grafik fungsi logaritma umum

Untuk a > 1

1 ,

)

(x a a 

f x

Untuk 0 < a < 1

1 0

, )

(x a  a 

f x

Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x

y



3

2x4 4x



9



log

2 10





x

y

x

2

x

2

dx



10

5 1x

dx



Soal Latihan

A. Tentukan dari

_y

_'

1.

2.

2

)

log(

3

_xy

_

_y

_

x

3.

B. Hitung 1.

MA1114 KALKULUS I 29 ) (

))

(

(

)

(

x

g

x

h x

f



Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli

a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui

))

(

ln(

)

(

))

(

ln(

f

x



h

x

g

x

)))

(

ln(

)

(

(

)))

(

(ln(

f

x

D

h

x

g

x

D

_x



_x

)

(

'

)

(

)

(

))

(

ln(

)

(

'

)

(

)

(

'

x

g

x

g

x

h

x

g

x

h

x

f

x

f





) ( ) ( ' ) ( ) ( )) ( ln( ) ( ' ) (

' g x f x

x g x h x g x h x f _       

?

)

(

'

Contoh

Tentukan turunan fungsi

_f

₍

_x

₎

_

_(sin

_x

₎

4x

))

ln(sin(

4

)

ln(sin

)

(

ln

f

x



x

4x



x

x

Jawab

)))

ln(sin(

4

(

))

(

(ln

f

x

D

x

x

D

_x



_x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

cot

4

))

ln(sin(

4

cos

sin

4

))

ln(sin(

4

)

(

)

(

'









x

x

x

x

x

x

f

'

(

)



(

4

ln(sin(

))



4

cot

)(sin

)

4

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli

MA1114 KALKULUS I 31

?

)

(

lim

( )





x g a

x

f

x

b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi

Untuk kasus

(i)

lim

(

)



0

,

lim

(

)



0



a

f

x

x a

g

x

x

(ii)

lim

_xa

f

(

x

)





,

lim

_xa

g

(

x

)



0

(iii)

lim

_xa

f

(

x

)



1

,

lim

_xa

g

(

x

)





Penyelesaian :

Tulis

lim

(

(

)

( )

)

lim

[exp

(

ln

(

)

g(x)

)]

a x x

g a

x

f

x





f

x



lim

xa

exp



g

(

x

)

ln

f

(

x

)



Karena fungsi eksponen kontinu, maka



(

)

ln

(

(

)



exp



lim

(

)

ln

(

)



exp

lim

g

x

f

x

g

x

f

x

a x a

x 

Contoh Hitung

lim

x

x

x

 0





x

x

x

ln / 1

3

₁

lim



 





x

x

x

1 0

1

lim







x

x



x

x x

x

lim

_0

(

)



exp

lim

_0

ln

Jawab

(bentuk )

0

.



Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil L’hopital



/



1 0

ln

lim

exp

_

 



x

x

x 0 0

2

1

exp lim exp( lim ) exp(0) 1

1

x x

x _x

x

 

 

    



a. _b. c.

a.

1/ 0

lim ( (1

)

x

)

x



x



0

ln (1

)

exp lim

x

x

x

















MA1114 KALKULUS I 33

e

x

x











1

exp

1

1

lim

exp

0



x



x

e

x





1 0

1

lim

Gunakan dalil L’hopital

sehingga

c.





_

          

 ln ln( 1)

1 lim exp

1

lim 3 1/ln _x3

x x

x x

x _

        x x x ln ) 1 ln( lim exp 3 . / 1 1 3 lim exp 3 2                 x x x x

Gunakan dalil L’hopital

          1 3 lim exp ₃ 3 x x

x 

        

 (1 )

) 3 ( lim exp 3 1 3 3 x x x x           

 (1 )

) 3 ( lim exp 3 1 x

x

exp

 

3

.

3

e





x x

x

  1 1 1

lim





x

x

x

1 0

1

sin

2

lim



 lim cos x x x       2 2



x



x x

e

ln 1 2 0

1

lim



 





x

x

x

ln 1 2

1

lim



 





x

x

x

1

ln

lim

 



x x



x

x 1

5

3

lim



 

lim

x x

x

x

 

















1

2

D. Hitung limit berikut :

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 .

E. Hitung y’ :

cos

(ln )

x

y



x



3

x

5

x x



1

y





1

2

x

x

y

x









_

_



_

11. 12. 13.



ln(cos )



x

y



x

14.

9.

lim



2



x

x

x



10.





ln( 2)

2

lim

2

x

x 

x

 



) (

))

(

(

)

(

x

g

x

h x

f



Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli

a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui

))

(

ln(

)

(

))

(

ln(

f

x



h

x

g

x

)))

(

ln(

)

(

(

)))

(

(ln(

f

x

D

h

x

g

x

D

_x



_x

)

(

'

)

(

)

(

))

(

ln(

)

(

'

)

(

)

(

'

x

g

x

g

x

h

x

g

x

h

x

f

x

f





) ( )

( ' ) (

) ( ))

( ln( ) ( ' )

(

' g x f x

x g

x h x

g x

h x

f _

  

 

 

?

)

(

'

MA1114 KALKULUS I 30

Contoh

Tentukan turunan fungsi

_f

₍

_x

₎

_

_(sin

_x

₎

4x

))

ln(sin(

4

)

ln(sin

)

(

ln

f

x



x

4x



x

x

Jawab

)))

ln(sin(

4

(

))

(

(ln

f

x

D

x

x

D

_x



_x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

cot

4

))

ln(sin(

4

cos

sin

4

))

ln(sin(

4

)

(

)

(

'









x

x

x

x

x

x

f

'

(

)



(

4

ln(sin(

))



4

cot

)(sin

)

4

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli

?

)

(

lim

( )





x g a

x

f

x

b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi

Untuk kasus

(i)

lim

(

)



0

,

lim

(

)



0



a

f

x

x a

g

x

x

(ii)

lim

_xa

f

(

x

)





,

lim

_xa

g

(

x

)



0

(iii)

lim

_xa

f

(

x

)



1

,

lim

_xa

g

(

x

)





Penyelesaian :

Tulis

lim

(

(

)

( )

)

lim

[exp

(

ln

(

)

g(x)

)]

a x x

g a

x

f

x





f

x



lim

xa

exp



g

(

x

)

ln

f

(

x

)



MA1114 KALKULUS I 32

Contoh Hitung

lim

x

x

x

 0





x x

x

ln / 1 3

₁

lim



 





x

x

x

1 0

1

lim







x

x



x

x x

x

lim

_0

(

)



exp

lim

_0

ln

Jawab

(bentuk )

0

.



Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil L’hopital



/



1 0

ln

lim

exp

_

 



x

x

x 0 0

2

1

exp lim exp( lim ) exp(0) 1 1

x x

x _x

x

 

 

    



a. _b. c.

a.

1/ 0

lim ( (1

)

x

)

x



x



0

ln (1

)

exp lim

x

x

x

















e

x

x











1

exp

1

1

lim

exp

0



x



x

e

x





1 0

1

lim

Gunakan dalil L’hopital

sehingga

c.





_

          

 ln ln( 1)

1 lim exp

1

lim 3 1/ln _x3

x x

x x

x _

        x x x ln ) 1 ln( lim exp 3 . / 1 1 3 lim exp 3 2                 x x x x

Gunakan dalil L’hopital

          1 3 lim exp ₃ 3 x x

x 

        

 (1 )

) 3 ( lim exp 3 1 3 3 x x x x         

 (1 )

) 3 ( lim exp 1

x

exp

 

3

.

3

e





MA1114 KALKULUS I 34

x

x

x

 

1 1 1

lim





x

x

x

1 0

1

sin

2

lim





lim cos

x

x x

 

 

 

2 2



x



x

x

e

ln 1 2

0

1

lim











x

x

x

ln 1 2

1

lim



 





x

x

x

1

ln

lim

 



x x



x x

1

5

3

lim



 

lim

x

x

x

x

 

















1

2

D. Hitung limit berikut :

1. 2. 3.

4.

5.

6. 7.

8 .

E. Hitung y’ :

cos

(ln )

x

y



x



3

x

5

x x



1

y





1

2

x

x

y

x









_

_



_

11. 12.

13.



ln(cos )



x

y



x

14.

9.

lim



2



x x

x



10.





ln( 2)

2

lim

2

x

x 

x

 

