Super (a,d) edge antimagic total labeling pada graf petersen

SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA
GRAF PETERSEN

RAHMAT CHAIRULLOH

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Super (a,d) Edge
Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2014
Rahmat Chairulloh
NIM G54100038

ABSTRAK
RAHMAT CHAIRULLOH. Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf
Petersen. Dibimbing oleh MUHAMMAD ILYAS dan TEDUH WULANDARI
MAS’OED.
Karya ilmiah ini membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh super
(a,d)-edge-antimagic total labeling pada graf Petersen. Pada pelabelan,
didefinisikan jumlah label sisi (edge) dan label dua simpul (vertex) yang menempel
pada sisi (edge) disebut sebagai bobot sisi (edge-weights). Suatu graf yang memiliki
bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi maka graf ini disebut graf dengan
antimagic total labeling. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang berbeda dan
himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan aritmatika dengan suku
awal a dan beda (selisih) d maka pelabelan tersebut disebut (a,d)-edge-antimagic
total labeling. Kemudian, (a,d)-edge-antimagic total labeling disebut super (a,d)edge-antimagic total labeling jika f(V(G)) = {1, 2, …, v} dan f(E(G)) = {v+1, v+2,
…, v+e}. Terdapat dua pembuktian teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini.
Teorema pertama membuktikan bahwa graf Petersen P(n,m) dengan n ≥ 3 bilangan
5 +5

bulat ganjil dan m = 1, memiliki super
, -edge-antimagic total labeling.
Teorema kedua membuktikan graf Petersen P(n,m) dengan n ≥ 3, 1 ≤ m ˂
mempunyai sebuah super � + , -edge-antimagic total labeling.

,

Kata kunci: (a,d)-edge-antimagic total labeling, antimagic total labeling, graf
Petersen, super (a,d)-edge-antimagic total labeling

ABSTRACT
RAHMAT CHAIRULLOH. Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling of
Petersen Graph. Supervised by MUHAMMAD ILYAS and TEDUH
WULANDARI MAS’OED.
This manuscript proves theorems to obtain super (a,d)-edge-antimagic total
labeling of generalized Petersen graph. On labeling, edge-weights is defined as the
total labeling of edge and its incident vertices. A graph that has different the edgeweights for each edge is called graph with antimagic total labeling. If each edge on
a graph has edge-weights in the form of arithmetic progression starting from a and
having common difference d, then its labeling is called (a,d)-edge-antimagic total
labeling. An (a,d)-edge-antimagic total labeling f is called super (a,d)-edgeantimagic total labeling if f(V(G)) = {1, 2, …, v} and f(E(G)) = {v+1, v+2, …,

v+e}. There are two theorems discussed in this paper. The first theorem proves that
generalized Petersen graph P(n,m), n ≥ 3 be an odd integer and m = 1, has a super
5 +5
, -edge-antimagic total labelings. The second theorem proves that
generalized Petersen graph P(n,m), n ≥ 3, 1 ≤ m ˂ , has a super
antimagic total labeling.

� + , -edge-

Keywords: (a,d)-edge-antimagic total labeling, antimagic total labeling, Petersen
graph, super (a,d)-edge-antimagic total labeling

SUPER (a,d) EDGE ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA
GRAF PETERSEN

RAHMAT CHAIRULLOH

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains

pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Judul Skripsi : Super (a,d) Edge Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen
Nama
: Rahmat Chairulloh
NIM
: G54100038

Disetujui oleh

Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing II

Muhammad Ilyas, MSi, MSc
Pembimbing I

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad
SAW sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian ini ialah Antimagic Total Labeling, dengan judul Super (a,d) Edge
Antimagic Total Labeling pada Graf Petersen.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bpk Muhammad Ilyas, MSi, MSc dan
Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih
juga disampaikan kepada almarhum ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala

doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga disampaikan untuk rekan kerja
penelitian saya, yaitu Ikhwan Al Amin atas segala saran dan masukan terkait
penelitian. Selain itu, tidak lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada temanteman di Departemen Matematika IPB angkatan 47.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya
dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.

Bogor, Agusrtus 2014
Rahmat Chairulloh

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan

2

LANDASAN TEORI

2

Teori Graf

2

Pelabelan Graf

5

PEMBAHASAN

7

SIMPULAN DAN SARAN

36

Simpulan

36

Saran

36

DAFTAR PUSTAKA

36

LAMPIRAN

38

RIWAYAT HIDUP

45

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8

9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

Graf G = (V, E)
Cycle dengan 3 simpul
Graf Teratur Derajat 3
Graf Petersen P(3,1)
Graf Cycle C3
(8,2)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3
Super (8,1)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3
Graf Petersen P(5,1)

Super (15,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1)
Super (15,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1)
Graf Petersen P(5,2)
Super (22,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,2)
Graf Petersen P(7,1)
Super (20,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1)
Super (20,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(7,1)
Super (14,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(3,1)
Graf Petersen P(4,1)
Super (18,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(4,1)
Super (22,1)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1)

2
3
4
5
6
7
7
16
17
27
34
35
38
39
40
41
42
43
44

DAFTAR LAMPIRAN
1 Pola dan gambar super

5 +5

,

-edge antimagic total labeling pada graf

Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan �

2 Pola dan gambar super

��+�
�

,

38

-edge antimagic total labeling pada graf

Petersen P(7,1) dengan menggunakan definisi pelabelan �
40
3 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf
Petersen P(3,1) dengan menggunakan definisi pelabelan
41
4 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf
Petersen P(4,1) dengan menggunakan definisi pelabelan
42
5 Pola dan gambar super (4n + 2,1)-edge antimagic total labeling pada graf
Petersen P(5,1) dengan menggunakan definisi pelabelan
44

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang cukup penting
untuk dipelajari dan dikembangkan. Pada awalnya, teori graf diperkenalkan oleh
seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler pada tahun 1736 untuk
mencari solusi permasalahan mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan di kota
Königsberg (sekarang dikenal sebagai Kaliningrad, Rusia) dan kembali ke tempat
asal semula tepat satu kali. Kemudian, Leonhard Euler memodelkan permasalahan
tersebut ke dalam model matematika berupa bagan yang terdiri dari simpul dan
garis. Simpul mempresentasikan kota yang dihubungkan oleh jembatan dan garis
sebagai jembatan yang menghubungkan kota. Model ini kemudian dikenal sebagai
“Teori Graf”.
Daya tarik teori graf adalah penerapannya yang sangat luas, mulai dari ilmu
komputer, kimia, fisika, biologi, sosiologi, teknik kelistrikan, linguistik, ekonomi,
manajemen, pemasaran, hingga pemecahan teka-teki dan permainan asah otak.
Walaupun penerapannya sangat banyak, yang menarik adalah bahwa “Teori Graf”
hanya mempelajari simpul dan garis (Wijaya 2011).
Salah satu contoh graf yang paling dikenal dan sangat populer adalah graf
Petersen. Graf Petersen diambil dari nama Peter Christian Julius Petersen pada
tahun 1898 (Wijaya 2011). Salah satu penerapan graf Petersen diantaranya dalam
masalah pewarnaan gambar peta, dimana warna setiap daerah pada peta yang
berbatasan dibuat berlainan sehingga mudah untuk dibedakan. Hinga saat ini, teori
graf masih terus berkembang selaras dengan pemikiran-pemikiran para ahli yang
mengembangkannya. Salah satu masalah yang cukup menarik dalam teori graf
adalah pelabelan pada graf.
Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap
unsur himpunan simpul (vertex) dan setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan
asli yang disebut label (Gallian 2009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan
simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan
dengan domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain
himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan
himpunan simpul dan sisi. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain
pelabelan gracefull, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan, pelabelan
ajaib (magic labeling), dan pelabelan antiajaib (antimagic labeling).
Antimagic total labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada
simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label
sisi dan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut sebagai bobot sisi
dimana untuk setiap sisi pada graf memiliki bobot sisi yang berbeda. Dalam karya
ilmiah ini akan dibuktikan beberapa teorema untuk memperoleh super (a,d)-egdeantimagic total labeling pada graf Petersen.
Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul “On Magic and
Antimagic Total Labelings of Generalized Petersen Graph” yang ditulis Anak
Agung Gede Ngurah dan Edy Tri Baskoro pada tahun 2003.

2

Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah membuktikan teorema-teorema
untuk memperoleh super (a,d)-edge-antimagic total labeling pada graf Petersen.

LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan
graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Teori Graf
Definisi 1 (Graf)
Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan
takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang
menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V
disebut simpul (vertex) sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari
simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V atau V(G), sedangkan himpunan
dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E atau E(G).
(Foulds 1992)
Graf yang dimaksud definisi di atas disebut graf tak berarah. Contoh graf dapat
dilihat pada Gambar 1 berikut ini.
c

e

d
a

b

f

g

Gambar 1 Graf G = (V, E)
Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah
V(G) = {a, b, c, d, e, f, g}
E(G) = {ab, bc, cd, ce, de, ef, fg}.
Definisi 2 (Order dan Size)
Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan
banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan
|V(G)| dan size dari graf G dinotasikan dengan |E(G)|.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, nilai dari |V(G)| = 7 dan |E(G)| = 7.

3

Definisi 3 (Incident dan adjacent)
Misalkan diberikan graf G. Jika e = uv ∈ E(G) dengan u, v ∈ V(G) maka u
dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, misalkan e = ab ∈ E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G dan
e dikatakan incident dengan a dan b.
Definisi 4 (Derajat)
Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang
incident dengan v dan dinotasikan dengan deg v.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg a = 1, deg b =2, deg c = 3, deg
d = 2, dan deg e = 3, deg f = 2 deg g = 1.
Definisi 5 (Walk)
Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G
dengan bentuk {v1, v1v2, v2, v2v3, v3, … , vn-1vn, vn} dan dapat dituliskan sebagai
{v1, v2, … , vn} atau v1, v2, … , vn. Suatu walk yang menghubungkan v1 dengan vn
dikatakan tertutup jika v1 = vn. Jika v1 ≠ vn maka walk tersebut dikatakan terbuka.
(Foulds 1992)
Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, ab, b, bc, c, ce, e, ef, f, fg, g}.
Definisi 6 (Cycle)
Cycle pada graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga
simpul berbeda. Graf G ber-order n dengan n ≥ 3 yang membentuk sebuah cycle
disebut graf Cycle ber-order n, dituliskan Cn.
(Chartrand & Oellermann 1993)
Pada Gambar 1 sebelumnya, terdapat Cycle pada graf G yang terdiri atas tiga
simpul, yaitu
c
e

d
Gambar 2 Cycle dengan 3 simpul
Gambar 2 di atas juga merupakan graf Cycle ber-order 3, dituliskan C3.
Definisi 7 (Graf Teratur)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf
Teratur (Regular graphs). Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut
disebut sebagai graf Teratur Derajat r (r-Regular graphs).
(Chartrand & Oellermann 1993).
Pada Gambar 3, terdapat graf Teratur Derajat 3 dengan derajat setiap simpul adalah
3

4

b

d
a
c
Gambar 3 Graf Teratur Derajat 3
Definisi 8 (Graf Petersen)
Graf G disebut graf Petersen, dinotasikan P(n,m), dengan n dan m bilangan
bulat, n ≥ 3, 1 ≤ m ˂ , jika graf G tersebut merupakan graf Teratur Derajat 3 dengan
2n simpul dan 3n sisi serta himpunan simpul dan sisi adalah
V(G) = {u1, u2, …, un, v1, v2, …, vn}
E(G) = {uiui+1, uivi, vivi+m}
∀i ∈ {1, 2, …, n}
di mana ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+m pada simpul
v lebih besar dari n maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan n.
(Ngurah dan Baskoro 2003)
Berikut dijelaskan mengenai contoh graf Petersen berdasarkan Definisi 8
yaitu contoh graf Petersen P(3,1) dengan n = 3 dan m =1.
Pada bagian simpul graf Petersen P(3,1) terdapat 6 simpul dengan 3 simpul
pertama pada bagian luar yaitu u1, u2, dan u3 serta 3 simpul kedua pada bagian dalam
yaitu v1, v2, dan v3 sehingga diperoleh himpunan simpul dari graf Petersen P(3,1)
sebagai berikut.
V[P(3,1)] = {u1, u2, u3, v1, v2, v3}
Kemudian, pada bagian sisi dari graf Petersen P(3,1) terdapat 9 sisi. Tiga sisi
pertama pada bagian luar menghubungkan antar simpul-simpul u dari graf Petersen
P(3,1) dengan himpunan sisi E [P(3,1)] = {uiui+1} untuk setiap i ∈ {1, 2, 3}. Berikut
penjelasan tiga himpunan sisi pertama E [P(3,1)] = {uiui+1} dari graf Petersen
P(3,1).
 Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 1, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 2, sehingga diperoleh sisinya yaitu u1u2.
 Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 2, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 3, sehingga diperoleh sisinya yaitu u2u3.
 Ketika indeks pada simpul u, yaitu i bernilai 3, maka indeks pada simpul u
lainnya, yaitu i+1 bernilai 4. Karena indeks i+1 > 3, maka nilai i+1 dimodulo-kan 3, yaitu 4 mod 3 = 1. Sehingga indeks i+1 setelah di-modulokan 3 bernilai 1. Akibatnya, diperoleh sisinya yaitu u3u1 bukan u3u4.
Himpunan sisi tersebut dituliskan sebagai berikut.
E[P(3,1)] = {u1u2, u2u3, u3u1}
Selanjutnya, tiga sisi kedua yang menghubungkan setiap simpul u pada
bagian luar tepat satu dengan setiap simpul v pada bagian dalam dari graf Petersen
P(3,1) dengan himpunan sisi sebagai berikut.

5

E [P(3,1)] ={u1v1, u2v2, u3v3}
Terakhir, tiga sisi ketiga pada bagian dalam menghubungkan antar simpulsimpul v dari graf Petersen P(3,1) dengan himpunan sisi E [P(3,1)] = {vivi+m},
dengan m = 1, untuk setiap i ∈ {1, 2, 3}. Dengan cara yang sama seperti tiga sisi
pertama pada bagian luar sebelumnya, dapat diperoleh himpunan sisinya sebagai
berikut.
E[P(3,1)] = {v1v2, v2v3, v3v1}
Sehingga himpunan sisi secara keseluruhan dari graf Petersen P(3,1) dapat
dituliskan sebagai berikut.
E[P(3,1)] = {u1u2, u2u3, u3u1, u1v1, u2,v2, u3v3, v1v2, v2v3, v3v1}
Contoh graf Petersen P(3,1) dapat dilihat seperti pada Gambar 4 dengan n =3
dan m = 1 di mana graf Petersen tersebut merupakan graf Teratur Derajat 3 dengan
jumlah simpul sebanyak 6 dan jumlah sisi sebanyak 9

u1
v1

u2

v2

v3

u3

Gambar 4 Graf Petersen P(3,1)
Himpunan simpul dan himpunan sisi graf Petersen P(3,1) pada Gambar 4 adalah
V(G) = {u1, u2, u3, v1, v2, v3}
E(G) = {u1u2, u2u3, u3u1, u1v1, u2v2, u3v3, v1v2, v2v3, v3v1}

Pelabelan Graf
Karya ilmiah ini membahas suatu antimagic total labeling untuk mencari
super (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen. Berikut dijelaskan
beberapa definisi tentang pelabelan graf.
Definisi 9 (Total Labeling)
Total Labeling pada graf G = (V, E) dengan banyaknya simpul v dan
banyaknya sisi e adalah pemetaan satu-satu dari himpunan
� ∪ � � ke
himpunan bilangan bulat positif {1, 2, …, v +e} dengan domain pemetaannya
simpul dan sisi.
(Ngurah dan Baskoro 2003)
Definisi 10 (Antimagic Total Labeling)
Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E serta
penjumlahan label sisi dengan label dua simpul yang menempel pada sisi disebut
sebagai bobot sisi (edge-weights). Graf G disebut magic total labeling jika memiliki
bobot sisi yang sama untuk setiap sisi di G sedangkan graf G disebut antimagic

6

total labeling jika memiliki bobot sisi yang berbeda untuk setiap sisi di G.
(Rahman et al. 2012)
Definisi 11 ((a,d)-Edge Antimagic Total Labeling)
Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E. (a,d)-edge
antimagic total labeling pada graf G adalah pemetaan satu-satu dari himpunan
simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan bulat positif {1, 2, …, v+e}
sedemikian hingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G membentuk barisan
aritmatika seperti berikut {a, a+d, …, a+(e-1)d} dengan suku pertama a dan beda
(selisih) d, di mana a ≥ 0 dan d ≥ 0.
(Simanjuntak et al. 2000)
Definisi 12 (Super (a,d)-Edge Antimagic Total Labeling)
Sebuah (a,d)-edge antimagic labeling disebut super (a,d)-edge antimagic
total labeling jika f(V(G)) = {1, 2,…, v} dan f(E(G)) = {v+1, v+2, …, v+e}.
(Simanjuntak et al. 2000)
Berikut ini diberikan contoh (a,d)-edge antimagic total labeling pada graf
Cycle ber-order 3, yaitu C3, seperti pada Gambar 5. Banyaknya simpul ialah 3 dan
banyaknya sisi ialah 3 dengan himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
V(C3) = {a, b, c}
E(C3) = {e1, e2, e3}
serta f(V[C3] ∪ E[C3]) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a
e3

e1

b

e2

c

Gambar 5 Graf Cycle C3
Misalkan simpul-simpul pada graf C3 diberi pelabelan, misalnya
f(a) = 1
f(b) = 3
f(c) = 5
kemudian, diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf C3, misalnya
f(ab) = f(e1) = 4
f(bc) = f(e2) = 2
f(cd) = f(e3) = 6
maka akan diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya:
f(a) + f(e1) + f(b) + = 1 + 4 + 3 = 8
f(b) + f(e2) + f(c) + = 3 + 2 + 5 = 10
f(c) + f(e3) + f(a) + = 5 + 6 + 1 = 12
Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Cycle C3
membentuk barisan aritmatika {8, 10, 12} dengan suku awal a = 8 dan beda (selisih)
d = 2 sehingga graf Cycle C3 memiliki (8,2)-edge antimagic total labeling dengan

7

suku pertama a = 8 dan beda (selisih) d = 2. Pelabelan tersebut digambarkan seperti
pada Gambar 6.
.

1

6

4

5
2
Gambar 6 (8,2)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3
3

Kemudian, diberikan juga contoh super (a,d)-edge antimagic total labeling
pada graf Cycle C3 seperti pada Gambar 5 sebelumya. Banyaknya simpul ialah 3
dan banyaknya sisi ialah 3 dengan f(V[C3]) = {1, 2, 3} dan f(E[C3]) = {4, 5, 6}.
Misalkan simpul-simpul pada graf C3 diberi pelabelan, misalnya
f(a) = 1
f(b) = 2
f(c) = 3
kemudian, diberikan pelabelan untuk sisi-sisi pada graf C3, misalnya
f(ab) = f(e1) = 5
f(bc) = f(e2) = 4
f(cd) = f(e3) = 6
maka akan diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya:
f(a) + f(e1) + f(b) + = 1 + 5 + 2 = 8
f(b) + f(e2) + f(c) + = 2 + 4 + 3 = 9
f(c) + f(e3) + f(a) + = 3 + 6 + 1 = 10
Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Cycle C3
membentuk barisan aritmatika {8, 9, 10} dengan suku awal a = 8 dan beda (selisih)
d = 1 sehingga graf Cycle C3 memiliki super (8,1)-edge antimagic total labeling
dengan suku pertama a = 8 dan beda (selisih) d = 1. Pelabelan tersebut digambarkan
seperti pada Gambar 7.
.

1

5

2

6

3

4
Gambar 7 Super (8,1)-edge antimagic total labeling pada graf Cycle C3

8

PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai super (a,d)-edge
antimagic total labeling pada graf Petersen P(n,m). Permasalahan utama dalam
karya ilmiah ini adalah bagaimana mencari pola antimagic total labeling sehingga
diperoleh definisi formula (rumus) khusus untuk pola super (a,d)-edge antimagic
total labeling dari graf Petersen P(n,m).
Antimagic total labeling tidak hanya dilakukan satu kali melainkan dilakukan
beberapa kali hingga terlihat beberapa pola pelabelan. Semua pola pelabelan
tersebut akan dibentuk menjadi suatu definisi formula (rumus) khusus. Dari definisi
formula (rumus) khusus tersebut digunakan untuk mendapatkan super (a,d)-edge
antimagic total labeling dari graf Petersen P(n,m).
Kajian antimagic total labeling pada graf Petersen P(n,m) akan disajikan
dalam bentuk teorema berikut beserta contoh gambar pola pelabelannya.
Teorema 1
Graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n ≥ 3) dan
5 +5
m = 1, memiliki super
, -edge antimagic total labeling.
(Ngurah dan Baskoro 2003)
Bukti :
Misalkan P(n,m) adalah graf Petersen yang mempunyai super (a,d)-edge antimagic
total labeling karena |V[P(n,m)]| = 2n dan |E[P(n,m)]| = 3n sehingga
�: V[P(n,m)] → {1, 2, …, 2n}

�: E[P(n,m)] → {2n+1, 2n+2, …, 5n}

Semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n,m) dilabelkan dengan menggunakan
definisi formula pelabelan � , di mana � didefinisikan sebagai pelabelan simpul
dan sisi dari graf Petersen P(n,m). Berikut diberikan definisi fomula pelabelan � .
�
�
�

� �+

�

�

={

�

�

� �+

=

,

�+ +

={

={

� �

+

�+

�+

,
,

,

�+ + ,
�+
,
�+ ,

= �+ ,

� �

� �

� �

� �

≤ ≤�−
=�

≤

≤

≤�

≤�

9

misalkan w menyatakan bobot sisi dari graf Petersen P(n,m). Didefinisikan bobot
sisi w dari pelabelan total � dari sisi-sisi : { � �+ , � � , � �+ } pada graf
Petersen P(n,m) untuk semua i ∈ {1, 2, …, n} sebagai berikut.
� �+

� �+

� �

= �

�

= �

�

= �

�

+�

� �+

+�

� �+

+�

+�

+�

� �

+�

�

�+

�+

dengan indeks i+1 dan i+m di-modulo-kan dengan n bila i+1, i+m > n.

Dari ketiga persamaan bobot sisi di atas, yaitu
� �+ ,
� � , dan
dapat didefinisikan dengan suatu formula bobot sisi dengan cara
� �+
mensubstitusikan formula pelabelan simpul dan sisi-sisi: {� � , � � , � � � ,
� � �+ } ke masing-masing persamaan bobot sisi yang telah didefinisikan
sebelumnya. Berikut definisi formula bobot sisi untuk
� �+ ,
� � , dan
� �+ .
a) Definisi formula bobot sisi untuk
� �+

� �+

=

=�

+

+

�+ +
+

{

+�

�

�+

+

+

sebagai berikut.

� �+

+�

� �+

+

�+ +

+

�+ +

�+

�+

+

+ ,

+

+

+

,
,

� �

� �

=�

kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti
berikut.

� �+

=

�+

+

�+
{

�+

+

,
,

,

� �

� �

=�

5 +5

karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku
+
untuk 1 ≤ i ≤ n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi
� �+ , yaitu
� �+

={

�+

�+

b) Definisi formula bobot sisi untuk

+
,

� �

,

≤ ≤�−

=�

sebagai berikut.

10

= �

� �
� �

={

�+

+

�

+

+

+�

+

�+

� �

+

�+

+�

�+

�+

+

�

,

� �

,

� �

kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti
berikut.
={

� �

�+

+

�+

,

+

� �

,

� �

9 +

karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku
+
untuk 1 ≤ i ≤ n. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi
� � , yaitu
� �

�+

=

+

c) Definisi formula bobot sisi untuk

� �+
� �+

={

= �

�+

�+

+
+

�

,

≤ ≤�

sebagai berikut.

� �+

+�

�+
�+

+

� �+

+

+
+

+�

�+

�+

,

�+

,

� �

� �

kemudian definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti
berikut.

� �+

={

�+

+

�+

,

+

,

� �

� �

+5

karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku
+
untuk 1 ≤ i ≤ n. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi
, yaitu
� �+
� �+

=

�+

+

,

≤ ≤�

selanjutnya, misalkan � adalah himpunan bobot sisi di mana ∈ { , , } dengan
penjelasan � sebagai berikut.


t=1→

menyatakan himpunan bobot sisi untuk

� �+

11




t=2→
t=3→

menyatakan himpunan bobot sisi untuk
menyatakan himpunan bobot sisi untuk

� �

� �+

Jadi, definisi formula himpunan bobot sisi terhadap pelabelan total � dari sisi-sisi
{ � �+ , � � , dan � �+ } dari graf Petersen P(n,m) untuk semua i ∈ {1, 2, …, n}
adalah sebagai berikut.
={

;

� �+

�+

≤ ≤ �} = {

={

� �

={

� �+

;

;

+

�+

≤ ≤ �} =

,

,

≤ ≤�−

�+

�+

≤ ≤ �} =

+

=�
+

dari semua definisi formula himpunan bobot sisi di atas dapat digabungkan menjadi
himpunan bobot sisi keseluruhan untuk pelabelan � sehingga akan terbentuk
sebuah barisan aritmatika dari himpunan bobot sisi tersebut. Penggabungan semua
5 +5 5 +5
,
+
definisi himpunan bobot sisi di atas, yaitu
∪
∪
={
,

9 +

+

,

+

+

}, untuk setiap i ∈ {1, 2, …,n}.

Rincian pola barisan aritmatika dari penggabungan himpunan bobot sisi di atas
adalah sebagai berikut.
(i) Untuk himpunan bobot sisi
:
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi

adalah

�+

Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n-1, maka diperoleh definisi formula
bobot sisi
sebagai berikut.
5 +5

+

={

5 +5

+ ,

5 +5

+ ,

5 +5

+ ,

5 +5

+ ,

5 +5

Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi
={

5 +5 5 +5

,

+ ,…,

5 +5

+ ,…,

5 +5

+

=

�+

�−

}

+

�−

}

sebagai berikut.

(ii) Untuk himpunan bobot sisi
:
Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi
�+

+

+

, yaitu
�−

+

ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n, maka diperoleh definisi formula
sebagai berikut.

12

={

5 +5

={

5 +5

+ �,

5 +5

+ �,

5 +5

�+

+

�− +

+

�+

,

5 +5

+

�+

,

5 +5

+

�+

,…,

5 +5

+

�+

,…,

5 +5

Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi

+

�+

=

�−

}

+

�−

}

sebagai berikut.

(iii) Untuk himpunan bobot sisi
:
Perhatikan bahwa definisi formula bobot sisi
�+

+

, yaitu

+

�−

+

ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n, maka diperoleh definisi formula
sebagai berikut.

={

�+

�+

+

� ,

�+

+

�− +

�+

sebagai berikut.

+

�+

,…,

�−

,

Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi
={

5 +5

+

� ,

5 +5

�+

+

,…,

5 +5

+

+

={

5 +5 5 +5

,

,…

5 +5

�−

+ ,

+

}

5 +5

�−

+ ,…,
,

∪

5 +5

5 +5

+

+

= { , + , + ,…, + � −
�−
, + � , + �+

∪

� ,

5 +5

+

5 +5

+ �,

�+

, +� , + �+
,…, + � −

,
∪

5 +5

,…,
}

}

�−

dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan bobot sisi
sudah terlihat jelas pola barisan aritmatika yang dibentuk oleh
sehingga bisa diperoleh bahwa

}

�−

+

5 +5

, dan
∪

�+

+

,.., +

pola barisan yang terbentuk dari
∪
∪
di atas telah membentuk barisan
5 +5
dan selisih d = 2, sehingga dengan
aritmatika dengan suku awal a =
menggunakan pelabelan total � diperoleh bahwa graf Petersen yang diperumum
5 +5
P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n ≥ 3) dan m = 1, memiliki
, -edge

13

antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a =
5 +5
dan selisih d = 2.
5 +5

Kemudian, untuk menunjukkan bahwa
labeling tersebut adalah super
dibuktikan bahwa

5 +5

,

,

-edge antimagic total

-edge antimagic total labeling, akan

� (V[P(n,m)]) = {1, 2, …, 2n}

� (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, …, 5n}

Bukti:
Misalkan dan
berturut-turut menyatakan himpunan simpul � dan himpunan
simpul � , ∀i ∈ {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan
simpul � � dan � � yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan simpul
dan dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut.
= {�
= {�

+

;

�

�

≤ ≤ �} = {
�+
;

,

+

�+

≤ ≤ �} = {

,

�+

� �

,

� �

� �

,

� �

dari semua definisi formula himpunan simpul di atas dapat digabungkan menjadi
himpunan simpul keseluruhan untuk pelabelan � , yaitu
∪ =
+�
+ +�
+�
+�
{ ,
} untuk setiap i ∈ {1, 2, …,n}, sehingga penggabungan
,
,
himpunan simpul tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label simpul
dengan penjelasan sebagai berikut.
(i) Untuk himpunan simpul :
Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula
himpunan simpul adalah
+

= { , ,…,

�+

}

Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh
definisi formula himpunan simpul sebagai berikut.
�+ +

={

�+

Sehingga diperoleh himpunan simpul
= { , ,…,

�+

,

,

�+

, … , �}

sebagai berikut.

�+

,

�+

, … , �}

14

(ii) Untuk himpunan simpul :
Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula
himpunan simpul adalah
�+

={

�+

,

�+

, … , �}

Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh
definisi formula himpunan simpul sebagai berikut.
�+

= { � + ,� + ,…,

Sehingga diperoleh himpunan simpul
= { � + ,� + ,…,

�−

�−

}

sebagai berikut.

,

�+

,

�+

,…, � }

dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan simpul
dan
terlihat jelas barisan bilangan untuk label simpul yang dibentuk oleh
sehingga bisa diperoleh bahwa
∪

= { , ,…,

�+

,

�+

, … , �, � + , . . ,

�−

,

�+

sudah
∪

, … , �}

Kemudian, misalkan pula � , � , dan � , berturut-turut menyatakan himpunan sisi
, ∀i ∈ {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi
� �+ ,
� � , dan
� �+
formula pelabelan sisi � � �+ , � � � , dan � � �+ yang telah diperoleh
sebelumnya maka himpunan sisi � , � , dan � dapat didefinisikan dengan formula
sebagai berikut.
�+ + ,
≤ ≤�−
� = {� � �+ ; ≤ ≤ �} = {
�+
,
=�
� = {�

� = {�

� �

� �+

; ≤ ≤ �} =

�+ ,

; ≤ ≤ �} = � + ,

≤

≤

≤�

≤�

dari semua definisi formula himpunan sisi di atas dapat digabungkan menjadi
himpunan sisi keseluruhan untuk pelabelan � , yaitu � ∪ � ∪ � = { � + +
, � + , � + , � + } untuk setiap i ∈ {1, 2, …,n}, sehingga penggabungan
himpunan sisi tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk label sisi dengan
penjelasan sebagai berikut.
(i) Untuk himpunan sisi � :
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi � adalah
�+

Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n-1, maka diperoleh definisi formula
himpunan sisi � sebagai berikut.
� + + = { � + , � + , … , �}

15

Sehingga diperoleh himpunan simpul � sebagai berikut.
� = { � + , � + , � + , … , �}

(ii) Untuk himpunan sisi � :
Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n, maka definisi formula himpunan
sisi � adalah
� + = { � + , � + ,…, � }

Sehingga diperoleh himpunan sisi � sebagai berikut.
� = { � + , � + ,…, � }

(iii) Untuk himpunan sisi � :
Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n, maka definisi formula himpunan
sisi � adalah
� + = { � + , � + ,…, � }

Sehingga diperoleh himpunan sisi � sebagai berikut.
� = { � + , � + ,…, � }

dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan sisi � , � , dan � sudah
terlihat jelas barisan bilangan untuk label sisi yang dibentuk oleh � ∪ � ∪ �
sehingga bisa diperoleh bahwa
� ∪ � ∪ � = { � + , � + , … , �, � + , … , �, � + , … , �}

Dari penjabaran mengenai barisan bilangan untuk label himpunan simpul dan label
himpunan sisi di atas maka dapat disimpulkan bahwa:
1

2

∪

= { , ,…,

+

,

+

, … , �, � + , . . ,

−

sehingga � (V[P(n,m)]) = {1, 2, …, 2n}.

,

+

, … , �}

� ∪ � ∪ � = { � + , � + , … , �, � + , … , �, � + , … , �}
sehingga � (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, …, 5n}.

Sehingga dengan menggunakan pelabelan total � , teorema 1 sebeluimnya telah
terbukti bahwa untuk graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan
5 +5
bulat ganjil (n ≥ 3) dan m = 1, memiliki super
, -edge antimagic total
labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a =
d = 2.
5 +5

5 +5

dan selisih

■ Terbukti

Berikut ini diberikan contoh super
, -edge antimagic total labeling
pada graf Petersen P(5,1) seperti pada Gambar 8. Banyaknya simpul ialah 10 dan

16

banyaknya sisi ialah 15, dengan dengan � (V[P(5,1)])= {1, 2, …, 10} dan
� (E[P(5,1)]) = {11, 12, …, 25} serta himpunan simpul dan sisi sebagai berikut.
V[P(5, 1)] = {u1, u2, …, u5, v1, v2, …, v5}
E[P(5, 1)] = {uiui+1, uivi, vivi+1}
∀i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
di mana ketika nilai indeks i+1 pada simpul u maupun nilai indeks i+1 pada simpul
v lebih besar dari 5 maka nilai indeks tersebut akan di-modulo-kan dengan 5.

u1
e6

e1
u2
e7

e15

e11

v2

v3

e13

u5

e4
v4 e 9

e8
u3

e10

e14 v5

e12
e2

e5

v1

e3

u4

Gambar 8 Graf Petersen P(5,1)
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan � , maka untuk graf Petersen
P(5,1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
� (u1) = 1
� (v1) = 8
� u2) = 4
� (v2) = 6
� (u3) = 2
� v3) = 9
� (u4) = 5
� (v4) = 7
� (u5) = 3
� (v5) = 10
kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut.
� (u1 u2) = � (e1) = 12
� (u1 v1) = � (e6) = 16
� (v1 v2) = �
� (u2 u3) = � (e2) = 13
� (u2 v2) = � (e7) = 17
� (v2 v3) = �
� (u3 u4) = � (e3) = 14
� (u3 v3) = � (e8) = 18
� (v3 v4) = �
� (u4 u5) = � (e4) = 15
� (u4 v4) = � (e9) = 19
� (v4 v5) = �
� (u5 u1) = � (e5) = 11
� (u5 v5) = � (e10) = 20 � (v5 v6) = �

(e11) = 21
(e12) = 22
(e13) = 23
(e14) = 24
(e15) = 25

sehingga diperoleh bobot sisi dari penjumlahan label tiap sisi yang incident
terhadap 2 simpul ujungnya seperti berikut.
� (u1) + � (e1) + � (u2) = 1 + 12 + 4 = 17
� (u2) + � (e2) + � (u3) = 4 + 13 + 2 = 19
� (u3) + � (e3)+ � (u4) = 2 + 14 + 5 = 21
� (u4) + � (e4) + � (u5) = 5 + 15 + 3 = 23
� (u5) + � (e5) + � (u1) = 3 + 11 + 1 = 15
� (u1) + � (e6) + � (v1) = 1 + 16 + 8 = 25
� (u2) + � (e7) + � (v2) = 4 + 17 + 6 = 27

17

� (u3) + � (e8) + � (v3) = 2 + 18 + 9 = 29
� (u4) + � (e9) + � (v4) = 5 + 19 + 7 = 31
� (u5) + � (e10)+ � (v5) = 3 + 20 + 10 = 33
�
�
�
�
�

(v1) + �
(v2) + �
(v3) + �
(v4) + �
(v5) + �

(e11) + �
(e12) + �
(e13) + �
(e14) + �
(e15) + �

(v2) = 8 + 21 + 6 = 35
(v3) = 6 + 22 + 9 = 37
(v4) = 9 + 23 + 7 = 39
(v5) = 7 + 24 +10 = 41
(v1) = 10 + 25 + 8 = 43

Dari cara pelabelan tersebut diperoleh himpunan bobot sisi dari graf Petersen
P(5,1) membentuk barisan aritmatika {15, 17, 19, 21,…,39, 41, 43} dengan suku
5 5 +5
= 15 dan beda (selisih) d = 2 sehingga graf Petersen P(5,1) memiliki
awal a =
super (15,2)-edge antimagic total labeling. Pelabelan graf Petersen P(5,1) dari
pelabelan � dapat digambarkan sebagai berikut.
1
16

12
4

11
8

21

6

20

25

17
22
13

9
18

24

3

10
15

23
7 19

14
2
5
Gambar 9 Super (15,2)-edge antimagic total labeling pada graf Petersen P(5,1)
Kemudian, untuk contoh pola dan gambar pelabelan dari graf Petersen P(7,1)
dengan menggunakan definisi pelabelan � terlampir pada Lampiran 1.

Selain pembuktian teorema 1 sebelumnya dengan menggunakan definisi
formula pelabelan � , berikut juga diberikan pembuktian alternatif dari teorema 1
dengan menggunakan definisi formula pelabelan lainnya.

Alternatif bukti:
Misalkan P(n,m) dengan adalah graf Petersen yang mempunyai super (a,d)-edge
antimagic total labeling karena |V[P(n,m)]| = 2n dan |E[P(n,m)]| = 3n sehingga
�: V[P(n,m)] → {1, 2, …, 2n}

�: E[P(n,m)] → {2n+1, 2n+2, …, 5n}

Dengan cara yang sama, semua simpul dan sisi pada graf Petersen P(n,m)
dilabelkan dengan menggunakan definisi formula pelabelan � , di mana �
didefinisikan sebagai formula pelabelan simpul dan sisi dari graf Petersen P(n,m).
Berikut diberikan definisi fomula pelabelan � .

18

�

�
�

� �
� �+

={

={

={

,

�++ +
�+ +

{

�+

�+ + ,
�+ ,

� �

,

�+ +

=

�

� �+

�

={

�

�

+

� �

,
,

� �

,

� �

=�

≤ ≤�−
=�

�+ + ,
�+ ,

≤ ≤�−
=�

�+ + ,
�+ + ,

≤ ≤�−
= � − ,�

Sama seperti pelabelan � sebelumnya, misalkan z menyatakan bobot sisi dari graf
Petersen P(n,m). Didefinisikan bobot sisi z dari pelabelan total � dari sisi-sisi:
{ � �+ , � � , � �+ } pada graf Petersen P(n,m) untuk semua i ∈ {1, 2, …, n}
sebagai berikut.
� � �+ = � � + � � �+ + � �+
�

�

� �+

� �

= �

= �

�

�

+�

+�

� �

� �+

+�

+�

�

�+

dengan indeks i+1 dan i+m di-modulo-kan dengan n bila i+1, i+m > n.
Dari ketiga persamaan bobot sisi di atas, yaitu � � �+ ,
� � �+ dapat didefinisikan dengan suatu formula bobot sisi
mensubstitusikan formula pelabelan simpul dan sisi: {� � , �
�� � �+ } ke masing-masing persamaan bobot sisi yang telah
sebelumnya.Berikut definisi formula bobot sisi untuk � � �+ ,
� � �+ .
a) Definisi formula bobot sisi untuk �
�

�

� �+

=

� �+

+

=�
+

�+ +
{

+

+

�

+�

sebagai berikut.

� �+

� �+

�+ +

�+ +

+

�+

+ ,

+

�+ +

+�

+

+

�+

+

+

,
,

� � � , dan
dengan cara
� , �
� � ,
didefinisikan
� � � , dan

� �

� �

=�

kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti
berikut.

19

�

=

� �+

�+

+

�+

�+

{

+

,

� �

,

,

� �

=�

5 +5

karena formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku
+ untuk 1 ≤ i
≤ n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi � � �+ ,
yaitu
�

={

� �+

�+

+

�+

,

b) Definisi formula bobot sisi untuk �
�

�

� �

=

� �

�+

+

+

{

= �

+

+

�

≤ ≤�−

=�

sebagai berikut

� �

+�

� �

�+ +

�++ +
+

,

+�

�

�+

+

�++ +

+

+

+

�+

+

,

+

+ �+

+

,
,

,

� �

� �

=�

kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti
berikut.

�

� �

=

�+

�+

{

+

�+

� �

,

,

� �

=�

9 +5

+
karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku
untuk 1 ≤ i ≤ n-1. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi
� � � , yaitu
�

� �

={

�+

�+

c) Definisi formula bobot sisi untuk �

+
,

,

� �+

≤ ≤�−

=�

sebagai berikut.

20

�
�

� �+

� �+

=

= �

+ +�

+ +�

+

+

+ +�

�+

{

�

+�

�+ +

+

++ +

+

�+ +

+

�++ +

+

+�

� �+

+�

+ +

+�

+

+

+�+ ,

�+ +

�+

,

,

� �

� �

=�−

,

=�

kemudian, definisi formula di atas dapat disederhanakan menjadi seperti
berikut.
�+
+ ,
� �
�

�+

=

� �+

+

�+

,

�+

{

,

� �

=�−

,

=�

+9

karena definisi formula untuk i ganjil = i genap maka berlaku
+
untuk 1 ≤ i ≤ n-2. Sehingga diperoleh definisi formula baku untuk bobot sisi
� � �+ , yaitu
�

=

� �+

�+

�+

{

+

�+

,

,

≤ ≤�−

=�−

,

=�

selanjutnya, misalkan � adalah himpunan bobot sisi di mana
penjelasan � sebagai berikut.




t=1→
t=2→
t=3→

menyatakan himpunan bobot sisi untuk �
menyatakan himpunan bobot sisi untuk �
menyatakan himpunan bobot sisi untuk �

∈ {1, 2, 3} dengan
� �+
� �

� �+

Jadi, definisi formula himpunan bobot sisi terhadap pelabelan total � dari sisi-sisi
� �+ , � � , dan � �+ dari graf Petersen P(n,m) untuk semua i ∈ {1, 2, …, n}
adalah sebagai berikut.
= {�

� �+

;

≤ ≤ �} = {

�+

�+

+
,

,

≤ ≤�−

=�

21

= {�

= {�

� �

� �+

;

�+

≤ ≤ �} = {

;

≤ ≤ �} =

�+

+

�+

,

�+

,
+
,

�+

{

≤ ≤�−

=�

,

≤ ≤�−

=�−

,

=�

dari semua definisi formula himpunan bobot sisi di atas dapat digabungkan menjadi
himpunan bobot sisi keseluruhan untuk pelabelan � sehingga akan terbentuk
sebuah barisan aritmatika dari pelabelan bobot sisi tersebut. Penggabungan semua
5 +5 5 +5
definisi himpunan bobot sisi di atas, yaitu
∪ ∪ ={
,
+
,

9 +5

+

,

9 +5

,

+9

+

+5

,

+9

,

}, untuk setiap i ∈ {1, 2, …,n}.

Rincian tebentuknya pola barisan aritmatika dari penggabungan himpunan bobot
sisi di atas adalah sebagai berikut.
(i)

Untuk himpunan bobot sisi :
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi

adalah

�+

Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n-1, maka diperoleh definisi formula
bobot sisi sebagai berikut.
5 +5

+

={

5 +5

+ ,

5 +5

+ ,

5 +5

Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi

(ii)

={

5 +5

,

5 +5

+ ,

5 +5

+ ,

5 +5

+ ,…,

5 +5

+

sebagai berikut.

+ ,…,

5 +5

+

Untuk himpunan bobot sisi :
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi
�+

=

�+

+ �

}

�−
�−

}

adalah

untuk indeks i dari 1, 2, …, n-1, maka definisi formula bobot sisi
sebagai berikut.
�+

+

=

�+

+

�+

22

Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n, maka diperoleh formula dari
definisi bobot sisi sebagai berikut.

{

�+

�+

+

�+

+

�+

,

�+

+

�+

5 +5

+

=

Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi

={

5 +5

+ �,

5 +5

+

�+

,

�+

,…,

+

sebagai berikut.

�+

,…,

5 +5

(iii) Untuk himpunan bobot sisi :
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula bobot sisi
�+

�+

=

+

+

�+

Ketika indeks i bernilai n-1, maka definisi formula bobot sisi
�+

�+

=

+

}

�−

�−

}

adalah

adalah

�

untuk indeks i dari 1, 2, …, n-2, maka definisi formula bobot sisi
sebagai berikut.
�+

+

�+

=

+

�+ +

ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n-2, maka diperoleh formula dari
definisi bobot sisi sebagai berikut.

{

5 +5

�+
+

�+

+

,

5 +5

� ,

5 +5

+

�+

�+

Sehingga diperoleh himpunan bobot sisi
= {

5 +5

+

+

�+

+

=

,…,

5 +5

,…,

5 +5

+

�−

}

+

�−

}

sebagai berikut.

dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan bobot sisi
sudah terlihat jelas pola barisan aritmatika yang dibentuk oleh
sehingga bisa diperoleh bahwa
∪

∪

,
∪

, dan
∪

23

={

5 +5 5 +5

,…

,

5 +5

�−

+ ,

+

}

5 +5

�−

+ ,…,
,

5 +5

5 +5

+

+

� ,

= { , + , + ,…, + � −
�−
, + � , + �+

�−

5 +5

,

+

5 +5

+ �,

�+

5 +5

,…,

+

5 +5

+

�+

, +� , + �+
,.., +
}
,…, + � −

pola barisan yang terbentuk dari
∪ ∪ di atas telah membentuk barisan
5 +5
aritmatika dengan suku awal a =
dan selisih d = 2, sehingga dengan
menggunakan alternatif pembuktian di atas yaitu menggunakan pelabelan �
diperoleh bahwa graf Petersen yang diperumum P(n,m) dengan n bilangan bulat
5 +5
ganjil (n ≥ 3) dan m = 1, memiliki
, -edge antimagic total labeling yang

membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a =

5 +5

Kemudian, untuk menunjukkan bahwa
labeling tersebut adalah super
dibuktikan bahwa

5 +5

,

5 +5

,

dan selisih d = 2.

-edge antimagic total

-edge antimagic total labeling, akan

� (V[P(n,m)]) = {1, 2, …, 2n}

� (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, …, 5n}

Bukti:
Misalkan
dan
berturut-turut menyatakan himpunan simpul � dan himpunan
simpul � , ∀i ∈ {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi formula pelabelan
simpul � � dan � � yang telah diperoleh sebelumnya maka himpunan simpul
dan
dapat didefinisikan dengan formula sebagai berikut.
= {�
= {�

�

�

;

;

≤ ≤ �} = {
≤ ≤ �} =

+

�+ +

�+ +
{

�+ +
�+ ,

,

,

,
,

� �

� �

� �

� �

=�

dari semua definisi formula himpunan simpul di atas dapat digabungkan menjadi
himpunan simpul keseluruhan untuk pelabelan � , yaitu
∪
=
+ +�
+ +�
+ +�
+�
{ ,
,
,
, � + } untuk setiap i ∈ {1, 2, …,n}, sehingga
penggabungan himpunan simpul tersebut akan membentuk barisan bilangan untuk
label simpul dengan penjelasan sebagai berikut.
(i) Untuk himpunan simpul

:

24

Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n, maka definisi formula
himpunan simpul adalah
+

= { , ,…,

�+

}

Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh
definisi formula himpunan simpul sebagai berikut.
�+ +

={

�+

Sehingga diperoleh himpunan simpul
= { , ,…,

�+

,

,

�+

, … , �}

sebagai berikut.

�+

,

�+

, … , �}

(ii) Untuk himpunan simpul :
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan simpul
adalah
�+
Ketika indeks i bernilai ganjil, dengan i = 1, 3,..n-2, maka definisi formula
himpunan simpul adalah
�+ +

={

�+

,

�+

, … , �}

Ketika indeks i bernilai genap, dengan i = 2, 4, .., n-1, maka diperoleh
definisi formula himpunan simpul sebagai berikut.
�+

+

�+

= { � + ,� + ,…,

Sehingga diperoleh himpunan simpul
= { � + ,� + ,…,

�+

}

sebagai berikut.

,

�+

,

�+

,…, � }

dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan simpul
dan
terlihat jelas barisan bilangan untuk label simpul yang dibentuk oleh
sehingga bisa diperoleh bahwa
∪

= { , ,…,

�+

,

�+

, … , �, � + , . . ,

�+

,

�+

sudah
∪

, … , �}

Kemudian, misalkan pula , , dan , berturut-turut menyatakan himpunan sisi
, ∀i ∈ {1, 2, ..., n} . Dengan menggunakan definisi
� �+ ,
� � , dan
� �+
formula pelabelan sisi � � �+ , � � � , dan � � �+ yang telah diperoleh
sebelumnya maka himpunan sisi , , dan dapat didefinisikan dengan formula
sebagai berikut.

25

= {�

= {�

= {�

� �+
� �
� �+

; ≤ ≤ �} = {

; ≤ ≤ �} = {

; ≤ ≤ �} = {

�+ + ,
�+ ,

�+ + ,
�+ ,

�+ + ,
�+ + ,

≤ ≤�−
=�

≤ ≤�−
=�

≤ ≤�−
= � − ,�

dari semua definisi formula himpunan sisi di atas dapat digabungkan menjadi
himpunan sisi keseluruhan untuk pelabelan � , yaitu
∪ ∪
={ �+ +
}
, � + , � + + , � + , � + + , � + + , untuk setiap i ∈ {1, 2,
…,n} sehingga penggabungan himpunan sisi tersebut akan membentuk barisan
bilangan untuk label sisi dengan penjelasan sebagai berikut.
(i) Untuk himpunan sisi :
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi

adalah

�+

Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n-1, maka diperoleh definisi formula
himpunan sisi sebagai berikut.
� + + = { � + , � + , … , �}

Sehingga diperoleh himpunan simpul

sebagai berikut.

= { � + , � + , � + , … , �}

(ii) Untuk himpunan sisi :
Ketika indeks i bernilai n, maka definisi formula himpunan sisi

adalah

�+

Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n-1, maka definisi formula himpunan
sisi adalah
� + + = { � + , � + ,…, � }

Sehingga diperoleh himpunan sisi

sebagai berikut.

= { � + , � + ,…, � }

(iii) Untuk himpunan sisi :
Ketika indeks i berjalan dari 1, 2, …, n-2, maka definisi formula himpunan
sisi adalah
� + + = { � + , � + ,…, � }

Ketika indeks i berjalan dari n-1 sampai n, maka definisi formula
himpunan sisi adalah
�+

+ ={ �+ , �+ }

26

Sehingga diperoleh himpunan sisi

sebagai berikut.

= { � + , � + ,…, � }

dari rincian yang telah dijabarkan mengenai himpunan sisi , , dan
sudah
terlihat jelas barisan bilangan untuk label sisi yang dibentuk oleh
∪ ∪
sehingga bisa diperoleh bahwa
∪

= { � + , � + , … , �, � + , … , �, � + , … , �}

∪

Dari penjabaran mengenai barisan bilangan untuk label himpunan simpul dan label
himpunan sisi di atas maka dapat disimpulkan bahwa:
1

2

∪

= { , ,…,

∪

∪

+

,

+

, … , �, � + , . . ,

+

sehingga � (V[P(n,m)]) = {1, 2, …, 2n}.

,

+

, … , �}

= { � + , � + , … , �, � + , … , �, � + , … , �}

sehingga � (E[P(n,m)]) = {2n+1, 2n+2, …, 5n}.

Sehingga dengan menggunakan pelabelan alternatif, yaitu pelabelan total � ,
teorema 1 sebeluimnya juga telah terbukti bahwa graf Petersen yang diperumum
P(n,m) dengan n bilangan bulat ganjil (n ≥ 3) dan m = 1, memiliki super , edge antimagic total labeling yang membentuk barisan aritmatika dengan suku
5 +5
awal a =
dan selisih d = 2
■ Terbukti
5 +5

Berikut ini juga diberikan contoh super
, -edge antimagic total
labeling pada graf Petersen P(5,1) seperti pada Gambar 8 sebelumnya namun
dengan pelabelan yang berbeda, yaitu dengan menggunakan pelabelan � .
Dengan menggunakan definisi formula pelabelan � , maka untuk graf Petersen
P(5,1) diperoleh label simpul sebagai berikut.
� (u1) = 1
� (v1) = 9
� (u2) = 4
� (v2) = 7
� (u3) = 2
� (v3) = 10
� (u4) = 5
� (v4) = 8
� (u5) = 3
� (v5) = 6

kemudian, diperoleh juga pelabelan untuk sisi sebagai berikut.
� (u1 u2) = � (e1) = 12
� (u1 v1) = � (e6) = 17
� (v1 v2) = �
� (u2 u3) = � (e2) = 13
� (u2 v2) = � (e7) = 18 � (v2 v3) = �
� (u3 u4) = � (e3) = 14
� (u3 v3) = � (e8) = 19 � (v3 v4