Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement
PENDUGAAN HAZARD RATE GEMPA DI PROVINSI ACEH
DENGAN METODE SINGLE DECREMENT
IKHSAN MAULIDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Hazard
Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Ikhsan Maulidi
NIM G54100103
ABSTRAK
IKHSAN MAULIDI. Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan
Metode Single Decrement. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI
SUMARNO.
Hazard rate memegang peranan penting dalam prakiraan kemunculan
gempa. Jika hazard rate diketahui maka sebaran kepekatan bersama kemunculan
gempa dapat diketahui. Oleh karena itu diperlukan suatu model penduga hazard
rate yang akurat untuk menduga nilai hazard rate. Dalam karya ilmiah ini dibahas
suatu metode untuk menduga hazard rate di titik . Metode yang digunakan
adalah metode single decrement. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan untuk
menduga hazard rate dengan menggunakan metode single decrement, yaitu
pendekatan likelihood dan pendekatan momen. Pada pendekatan likelihood
dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu kemunculan gempa. Dalam karya ilmiah
ini sebaran waktu tunggu kemunculan gempa diasumsikan menyebar linear,
eksponensial, dan hiperbolik. Pendugaan hazard rate menggunakan data gempa
bumi di Aceh dengan kekuatan lebih dari atau sama dengan 5 SR. Pendekatan
yang digunakan adalah pendekatan likelihood. Model parametrik yang diperoleh
dari metode ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate secara akurat.
Kata kunci: gempa bumi, hazard rate, sebaran kepekatan bersama, waktu tunggu.
ABSTRACT
IKHSAN MAULIDI. Estimation of Hazard Rate of Earthquake in Aceh Province
with Single Decrement Method. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI
SUMARNO.
Hazard rate has a significant effect on the earthquake forecasting. If the
hazard rate is given then the joint density distribution of earthquake occurrences
can be identified. Therefore we need a parametric model that accurately estimates
the hazard rate. In this paper a method to estimate the hazard rate at a point is
discussed. The method used is single decrement method. There are two
approaches that can be used to estimate the hazard rate using the method of single
decrement, those are likelihood approach and the moment approach. The
likelihood approach requires an assumption on the distribution of the waiting time
of earthquake occurrences. In this paper the distribution of waiting time of
earthquake occurrences is assumed to be linear, exponential, and hyperbolic.
Estimation of the hazard rate uses earthquake data in Aceh with power greater
than or equal to 5 SR. The approach used is likelihood approach. Parametric
model obtained from this method is expected to estimate the hazard rate
accurately.
Keywords: earthquake, hazard rate, joint density distribution, waiting time.
PENDUGAAN HAZARD RATE GEMPA DI PROVINSI ACEH
DENGAN METODE SINGLE DECREMENT
IKHSAN MAULIDI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode
Single Decrement
Nama
: Ikhsan Maulidi
NIM
: G54100103
Disetujui oleh
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang maha esa atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini yang berjudul Pendugaan Hazard Rate di
Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku
dan Bapak Dr Hadi Sumarno selaku pembimbing serta Bapak Dr Paian Sianturi
selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran dan bantuannya selama
penulisan karya ilmiah. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada
Badan Meteorologi dan Geofisika yang telah membantu selama pengumpulan
data. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, seluruh
keluarga, serta teman-teman semua atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
Ikhsan Maulidi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
METODE PENDUGAAN HAZARD RATE SINGLE DECREMENT (HRSD)
2
Pendugaan Likelihood dalam Single Decrement
3
Asumsi Linear
4
Asumsi Eksponensial
5
Asumsi Hiperbolik
6
Pendugaan Momen dalam Single Decrement
7
Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate
8
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
33
vi
DAFTAR TABEL
1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum
Terjadi Gempa Hingga Saat t .
2. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui
Belum Terjadi Gempa Hingga Saat t .
3. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 1.
4. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 2.
10
11
13
15
DAFTAR GAMBAR
1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi.
2. Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi.
3. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu
tunggu menyebar linear.
4. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu
tunggu menyebar eksponensial.
5. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1 yang
telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
6. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 2 yang
telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
9
9
12
12
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun 1980-2013 dengan
magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR.
2. QQ-Plot hazard rate pada Tabel 1 dan 2 (Sebelum data
ditransformasi).
3. Box-plot nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2 untuk melihat nilai
pencilan (outlier).
4. Hasil transformasi Box-Cox nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2.
5. QQ-Plot hazard rate setelah ditransformasi.
17
29
30
31
32
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Gempa bumi merupakan pelepasan energi dari dalam bumi secara
tiba-tiba, cepat dan merambat ke segala arah sebagai gelombang seismik.
Secara umum sumber terjadinya gempa bumi dikategorikan menjadi 3
bagian, yaitu gempa bumi runtuhan, gempa bumi vulkanik, dan gempa bumi
tektonik. Gempa bumi tektonik merupakan gempa bumi yang paling sering
terjadi.
Secara geografis kepulauan Indonesia berada di antara 60 LU dan 110
LS serta di antara 950 BT dan 1410 BT dan terletak pada pertemuan tiga
lempeng kerak bumi yaitu Eurasia, Pasifik, dan Indo-Australia. Ditinjau
secara geologis, kepulauan Indonesia berada pada pertemuan 2 jalur gempa
utama, yaitu Sirkum Pasifik dan Alpide Transasiatic. Karena itu, kepulauan
Indonesia berada pada daerah yang mempunyai aktivitas gempa bumi cukup
tinggi. Beberapa tahun terakhir bencana alam akibat gempa bumi di Laut
Flores yang terjadi pada 12 Desember 1992 dengan magnitudo surface (Ms)
sebesar 7.5, Lampung pada 16 Februari 1994 dengan
= . , ,
Banyuwangi pada 3 Juni 1994, Bengkulu pada 4 Juni 2000, Nabire pada 6
Februari 2004 dengan
= . dan 26 Nopember 2004 dengan
= .
yang menimbulkan korban jiwa dan kerugian harta penduduk yang besar.
Gempa terbesar terakhir yang terjadi pada 26 Desember 2004 dengan pusat
gempa di lepas pantai barat Provinsi Nangroe Aceh Darussalam dengan
= . . Gempa tersebut telah memicu gelombang tsunami yang
dampaknya terasa di 11 negara Asia dengan jumlah korban diperkirakan
tidak kurang dari 80.000 jiwa (Firmansyah dan Irsyam 1999).
Hazard rate memegang peranan penting dalam teori likelihood proses
kemunculan gempa. Jika hazard rate diketahui, maka sebaran kepekatan
bersama untuk realisasi data kemunculan dalam , dapat diketahui. Oleh
karena itu, penting memperoleh model parametrik yang akurat untuk
menduga hazard rate. Umumnya, hazard rate gempa diduga berdasarkan
persamaan likelihood proses titik yang diperkenalkan oleh Vere-Jones pada
tahun 1995 (Daley dan Vere-Jones 2003). Persamaan ini merupakan
persamaan non linear yang tidak mudah diselesaikan secara analitik
sehingga sering kali diselesaikan secara numerik.
Pada skripsi ini dibahas metode lain dalam menduga hazard rate
gempa yaitu metode single decrement (Darwis et al. 2009). Metode ini
diadaptasi dari metode pendugaan dalam studi aktuaria yang biasa
digunakan dalam pembuatan tabel mortalitas. Hasil studi kasus yang telah
dilakukan Sunusi (2010) menunjukkan bahwa pendugaan melalui metode
hazard rate single decrement lebih informatif daripada hazard rate
likelihood proses titik.
2
Perumusan Masalah
Pendugaan hazard rate dengan metode single decrement terdiri dari
dua sub metode yaitu dengan pendekatan likelihood dan pendekatan momen.
Dengan pendekatan likelihood dibutuhkan informasi exit time yaitu
informasi banyaknya kejadian gempa bumi setelah t0. Setelah diperoleh nilai
dugaan hazard rate, selanjutnya akan dirumuskan persamaan terbaik untuk
menduga nilai hazard rate. Persamaan terbaik tersebut merupakan
persamaan yang memberikan nilai Mean Square Error (MSE) terkecil.
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang
diperoleh langsung dari BMKG pusat di Jakarta. Data yang digunakan
adalah data gempa bumi di Aceh selama periode waktu 1980-2013. Analisis
data dilakukan dengan menggunakan Microsoft Excel 2013 dan beberapa
software statistika lainnya.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Menduga nilai hazard rate gempa dari data gempa bumi Aceh
tahun 1980-2012 dengan asumsi waktu tunggu menyebar linear
dan eksponensial.
2. Menentukan persamaan yang lebih baik untuk menduga hazard
rate dengan menggunakan asumsi persamaan linear, kuadratik,
dan kubik.
METODE PENDUGAAN HAZARD RATE SINGLE
DECREMENT (HRSD)
Hazard rate memegang peranan penting dalam hal prakiraan peluang
kemunculan kejadian dalam suatu interval waktu tertentu. Hal ini berkaitan
dengan pendugaan parameter yang terlibat di dalamnya. Metode Pendugaan
hazard rate single decrement didasari oleh pembuatan Tabel mortalitas di
bidang aktuaria. Metode ini terdiri dari dua sub metode yaitu metode
maksimum likelihood dan metode momen. Sebagaimana biasanya dalam
teori aktuaria, di dalam karya ilmiah ini hazard rate di titik disimbolkan
dengan �to.
Misalkan �
= –
menyatakan waktu tunggu hingga
kemunculan
gempa berikutnya, jika diketahui
waktu kemunculan
gempa yang pertama dan adalah waktu kemunculan kembali gempa
berikutnya. Sebagai ilustrasi, jika gempa yang pertama terjadi pada tahun
2010 dan gempa berikutnya terjadi pada tahun 2013 maka �
=
−
= 3 tahun.
Misalkan �, S, dan f berturut-turut menyatakan hazard rate, fungsi
ketahanan (survival function), dan fungsi kepekatan peluang. Hazard rate
� dapat dinyatakan sebagai
3
Misalkan
= lim
�
∆ →
=
�
≤ ≤ +∆
∆
| >
�
≈�
, maka persamaan (1) menjadi
� =
�
�
=−
�
=
�′
�
=−
− ln(
.
(1)
� ln �
�
.
).
(2)
Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (2) diperoleh
ln
Misalkan
∆
=
=
= −∫
=
+∆
�
[− ∫
+∆
�
, yaitu sesaat setelah terjadi gempa , maka
=�
>
+∆
|
>
=
[− ∫
].
∆
�
]
+
merupakan fungsi ketahanan. Prakiraan gempa diformulasikan sebagai
peluang bersyarat kemunculan gempa hingga
+ ∆ jika diberikan
informasi bahwa belum terjadi gempa hingga saat . Sebaran waktu
kemunculan kembali
dan waktu tunggu hingga kemunculan gempa
berikutnya �
masing-masing dinyatakan sebagai berikut (Bowers et al.
1986)
�
~∆
�
dan �~ ∆
+∆
.
Dalam ekspresi ini, ∆
� +∆ menyatakan peluang bahwa suatu
gempa muncul antara dan + ∆ jika diketahui belum terjadi gempa
hingga saat , dan
∞
�
= −∆
� +∆ .
� +∆ = ;
∫ ∆
∆
�
Pendugaan Likelihood dalam Single Decrement
Pendugaan hazard rate dengan pendekatan single decrement dengan
metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) membutuhkan informasi
exit time, yaitu waktu pada saat terjadi gempa. Misalkan
menyatakan
banyaknya gempa yang terjadi pada interval
, + ] dan
−
menyatakan banyaknya gempa yang terjadi setelah
+ . Likehood
untuk gempa ke-i pada interval � , � + ] diberikan oleh berikut jika
diketahui tidak terjadi gempa hingga saat .
�
=
� |
>
�
=
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
,
(3)
� + adalah waktu
yaitu kontribusi kempa ke-i pada L. Jika � =
kemunculan gempa ke-i dalam interval
, + ] dengan < � ≤ ,
maka
�
=
�
+ � �
�
+ �
=
�
�
+ �.
(4)
4
Kontribusi
Kontribusi
banyaknya gempa
pada
adalah ∏��= � �
−
yaitu banyaknya gempa yang muncul setelah
−�
+ �.
+
adalah ( )
. Dalam hal ini
merupakan banyaknya gempa yang
muncul saat atau setelah . Dengan demikian likelihood total adalah
=
�
−�
−
∏�=
+ �.
�
�
(5)
Untuk menyelesaikan persamaan (5) dibutuhkan asumsi bahwa
sebaran � � + � dapat dinyatakan dalam bentuk
. Berikut ini ditinjau
tiga kasus, yakni jika + yang merupakan banyak gempa setelah +
diasumsikan bersebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik yang
diperlukan untuk menyatakan � � + � . Jika sebaran � � + � diketahui
maka sebaran waktu tunggu � juga akan diketahui.
Asumsi Linear
Misalkan
= +
dan untuk = diperoleh + =
maka untuk = diperoleh =
= + −
= − . Sehingga diperoleh persamaan:
+ , =
+ −
+
dengan
peroleh
� −� y
Karena
�
=
=∑
=
�
�
−
� +�
�
+
+
=
+...+
=
y,
−
=
. Dari
−
−
(6)
= −
persamaan
=
maka persamaan (7) menjadi
.
(6)
kita
(7)
�
−
�
.
(8)
Sehingga dengan menggunakan asumsi linear diketahui bahwa:
�
+
=
−
�
�
� +�
−
=
� +�
�
=
�
+ �
=
− �
� −�
� +�
� +�
=
Jadi
�
��
−
.
=
�
�
=
.�
.
(9)
Substitusikan (7) dan (9) ke persamaan (5) diperoleh
=( −
)
=( −
)
= ( −
)
−�
−�
−�
∏�
∏�
∏�
�
�
− �
�
+
( −
�
)
5
=( −
−�
)
(
)
�
.
Misalkan l = ln =
−
ln −
+
ln
menggunakan syarat perlu optimalitas turunan orde pertama
�
�
−
ln
diperoleh
+
=
( −
�
−
� +� −
)
−�
−
=
�
=
�
̂ =
.
Selanjutnya dengan turunan orde dua diperoleh
ln
=−
=
(
�
)
−
−� ( −
(11)
( −
> . Akibatnya ̂ =
�
−�
) −
)
( −
−�
.
)
> ,( −
Persamaan (12) akan bernilai negatif karena
−
(10)
, maka dengan
(12)
) > , dan
merupakan maximum likelihood
. Selanjutnya nilai hazard rate dapat diperoleh dengan
estimation bagi
menggunakan persamaaan �̂ =
̂
−̂
. Setelah nilai hazard rate untuk
setiap titik diperoleh maka diduga persamaan untuk menduga nilai hazard
rate dengan menggunakan metode regresi.
Asumsi Eksponensial
Misalkan
maka
+
= , dan untuk
+
=
bersebaran eksponensial maka
=
(
=
maka
� +
�
) =
Telah kita ketahui bahwa
+
=
+
� +
�
=
,
−
dan
=
.
+
� +
�
. Untuk
. Jadi
(13)
=
. Sehingga
dengan menyubstitusikan persamaan ini ke persamaan (13) diperoleh
−
=
(
) ( )
+
(
)
=
=
=
=
� +�
�
−
(
=
−( −
=
)
=
−
) .
(14)
(15)
6
Nilai hazard rate � diperoleh dari persamaan berikut
�
−ln
=
+
−
=�
�
�
� +�
� +�
+
−�
=
.
�
� ln
�
(16)
Substitusikan persamaan (14) dan (16) ke persamaan (5) diperoleh
=
−�
−
=
�
�=
∏�
−�
∏�
�=
−�
= exp −�
= � � exp [−μ(
+ �
�
+
�=
�
�
�
�
−�
−
=
∏
�
+
� � exp −� ∑
�
) + ∑i= yi ].
−
�
(17)
Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan (17) diperoleh
−
ln � − � [(
= ln =
Syarat perlu orde pertama memberikan
)+∑
��
��
�
=
�
� ].
− [(
Sehingga diperoleh nilai dugaan hazard rate �̂ =
Selanjutnya karena turunan kedua l,
(18).
� �
��
(
)∑
−
�
�
−� )+∑i= yi
=−
�
�
.
�]
=0.
(19)
< 0 maka nilai �̂
yang diperoleh merupakan maximum likelihood estimation bagi �. Karena q
berkorespondensi 1-1 dengan � maka ̂ = − ̂ = − −� .
Asumsi Hiperbolik
Misalkan
+
=
+
Untuk y = 1,
� +
−
�
+
merupakan persamaan
yang hiperbolik maka
. Dengan mengambil nilai y = 0 diperoleh
+
=
+
↔
+
=
=
� +
. Sehingga diperoleh nilai
+
�
−
.
�
↔
=
. Dengan demikian diperoleh
+
=
+
�
�
.
=
(20)
7
Persamaan (19) dapat juga dinyatakan sebagai berikut
=
� +�
Selanjutnya
�
+
� +
−
=
�
+
� +
�
−
�
=
=
=
=
=
Dengan demikian
=
.
+
(21)
�
=
� +�
−
+ −
(
� +
+
+
−
�
)
)
+( −
+
.
(22)
(23)
Fungsi hazard rate diperoleh dari persamaan berikut:
�
=
+
−� �
��
=(
�
)+
−
=
+
+
=
+
=
Misalkan
+
−
−
+
+
+
=
− −
=
=
( −
( − −
.
.
+
)
)
(24)
.
(25)
, maka persamaan (24) akan menjadi
�
+
=
−
.
(26)
+ ⋯ ,maka dari persamaan (26) diperoleh
+ + +⋯ .
� + =
=( +
+
+⋯)
+ ⋯.
=
+ −
+ −
Jika suku-suku kuadrat dan setelahnya diabaikan, maka
� + ≈
.
(27)
Persamaan (27) menunjukkan bahwa � + dapat dihampiri
yang
merupakan peluang munculnya kejadian pada interval
, + ] dimana
diketahui belum ada kejadian hingga saat .
Karena
=
=
�
− −
Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh
�
�
Pendugaan Momen dalam Single Decrement
Pendugaan nilai hazard rate dengan menggunakan metode momen
membutuhkan dua tahapan. Tahap pertama adalah menentukaan suatu
ekspresi tentang banyaknya kejadian dalam interval
, + ]. Kemudian
tahap kedua adalah menyelesaikan persamaan momen. Prinsip yang
digunakan dalam menyelesaikan persamaan momen adalah prinsip statistik,
8
yaitu banyaknya kejadian yang diharapkan sama dengan banyaknya
kejadian yang diobservasi.
Misalkan kemunculan gempa ke-i yang masuk dalam interval
pendugaan
, + ] terjadi pada + � dengan 0 < � < , dan gempa
berikutnya terjadi pada + � . Maka ( , � ) merupakan interval waktu
kemunculan dua gempa pada periode
, + ]. Untuk kemunculan gempa
ke-i, jika peluang terjadinya satu kejadian gempa adalah � − � + � dan
peluang tidak terjadi gempa adalah � − � + � , maka peluang bersyarat
terjadi gempa sebelum
+ � jika diketahui belum terjadi gempa hingga
+ � adalah
.
�− �
+ � +0. � − �
+ �
=
�− �
+ �.
(28)
Berdasarkan persamaan (28) diperoleh total banyaknya kejadian gempa
adalah ∑�= � − � + � . Selanjutnya diperoleh persamaan momen sebagai
berikut:
(29)
[ ] = ∑�= � − � + � =
merupakan peubah acak untuk kemunculan gempa dalam
di mana
merupakan banyaknya amatan pada
, + ].
, + ] dan
, digunakan aproksimasi
Untuk estimasi
.
+ � ≈
�− �
�− �
∑�= � − � = .
Sehingga persamaan (29) menjadi
[ ]=
Dengan demikian diperoleh
̂ =
.
∑�= � − �
Untuk waktu tunggu yang menyebar eksponensial, maka fungsi hazard rate
bernilai konstan dengan �
= � untuk setiap . Diketahui bahwa
−� +
+
= −�
= −� ,
=
maka � = −ln
atau
= −� . Karena itu, diperoleh ̂ =
Dengan demikian, �̂ = −ln −
.
−
̂
−�
.
Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate
Dalam karya ilmiah ini contoh aplikasi dari pendugaan nilai dan
persamaan hazard rate ditentukan dari data yang diperoleh langsung dari
BMKG pusat di Jakarta. Adapun data yang digunakan untuk perhitungan
merupakan data gempa di wilayah Aceh dalam interval waktu 1980-2013
yang memiliki kekuatan gempa lebih dari atau sama dengan 5 SR (Data
terlampir).
9
Berikut ditampilkan plot magnitudo terhadap waktu dan plot lokasi
terjadinya gempa untuk area studi.
Gambar 1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi.
Gambar 2. Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi.
Selanjutnya ditentukan nilai hazard rate dengan menggunakan metode
single decrement pendekatan likelihood. Kita ketahui dalam pendekatan
likelihood dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu terjadinya gempa.
Dalam aplikasi ini asumsi sebaran waktu tunggu yang dibahas adalah
asumsi waktu tunggu menyebar linear dan menyebar eksponensial. Maka
dengan menggunakan persamaan hazard rate yang telah dirumuskan
sebelumnya diperoleh nilai hazard rate sebagai berikut:
10
Tabel 1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui
Belum Terjadi Gempa Hingga Saat .
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Interval
(0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(4,6]
(6,7]
(7,8]
(8,9]
(9,10]
(10,11]
(11,12]
(12,13]
(13,14]
(14,15]
(15,16]
(16,17]
(17,18]
(18,19]
(19,20]
(20,21]
(21,22]
(22,23]
(23,24]
(24,25]
(25,26]
(26,27]
(27,28]
(28,29]
(29,30]
(30,31]
(31,32]
(32,33]
Tahun
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
��
2
2
6
8
4
4
4
6
4
8
15
9
2
5
5
6
5
4
0
6
7
5
15
9
46
142
37
28
25
13
1
13
16
��
490
488
486
480
472
468
464
460
454
450
442
427
418
416
411
406
400
395
391
391
385
378
373
358
349
303
161
124
96
71
58
40
27
��
0.0041
0.0041
0.0123
0.0167
0.0085
0.0085
0.0086
0.0130
0.0088
0.0178
0.0339
0.0211
0.0048
0.0120
0.0122
0.0148
0.0125
0.0101
0.0000
0.0153
0.0182
0.0132
0.0402
0.0251
0.1318
0.4686
0.2298
0.2258
0.2604
0.1831
0.3103
0.3250
0.5926
Keterangan:
: banyaknya gempa yang terjadi pada saat atau setelah .
: banyaknya gempa yang terjadi pada interval
, + ].
: peluang munculnya kejadian gempa pada interval
,
diketahui belum ada gempa hingga saat .
� : hazard rate gempa sesaat setelah .
��
0.0041
0.0041
0.0125
0.0169
0.0085
0.0086
0.0087
0.0132
0.0089
0.0181
0.0351
0.0215
0.0048
0.0122
0.0123
0.0150
0.0127
0.0102
0.0000
0.0156
0.0185
0.0134
0.0419
0.0258
0.1518
0.8820
0.2984
0.2917
0.3521
0.2241
0.4500
0.4815
1.4545
+ ] jika
11
Tabel 2. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika
Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat .
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Interval
(0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(4,6]
(6,7]
(7,8]
(8,9]
(9,10]
(10,11]
(11,12]
(12,13]
(13,14]
(14,15]
(15,16]
(16,17]
(17,18]
(18,19]
(19,20]
(20,21]
(21,22]
(22,23]
(23,24]
(24,25]
(25,26]
(26,27]
(27,28]
(28,29]
(29,30]
(30,31]
(31,32]
(32,33]
Tahun
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
∑
�
�=
��
0.965753
0.806849
2.112329
3.076712
1.763014
1.738356
2.178082
3.594521
1.910959
6.287671
9.279452
3.361644
1.327397
2.780822
2.313699
3.184932
3.564384
2.068493
0
2.306849
3.675342
3.42191
8.19726
5.076712
45.59452
50.42877
16.20959
15.36301
8.389041
5.910959
8.906849
3.690411
6.2
�� − ��
488
486
480
472
468
464
460
454
450
442
427
418
416
411
406
400
395
391
391
385
378
373
358
349
303
161
124
96
71
58
40
27
11
��
2
2
6
8
4
4
4
6
4
8
15
9
2
5
5
6
5
4
0
6
7
5
15
9
46
142
37
28
25
13
18
13
16
��
0.0041
0.0041
0.0123
0.0166
0.0084
0.0085
0.0086
0.0129
0.0088
0.0175
0.0332
0.0209
0.0048
0.0119
0.0121
0.0147
0.0124
0.0101
0
0.0153
0.0180
0.0131
0.0393
0.0248
0.1166
0.4018
0.2088
0.2009
0.2395
0.1690
0.2690
0.2975
0.4819
��
0.0041
0.0041
0.0124
0.0168
0.0085
0.0086
0.0087
0.0131
0.0089
0.0178
0.0344
0.0214
0.0048
0.0121
0.0122
0.0149
0.0125
0.0102
0
0.0155
0.0183
0.0133
0.0410
0.0254
0.1320
0.6716
0.2639
0.2514
0.3149
0.2034
0.3680
0.4236
0.9302
Keterangan
EE
: Total eksposure,
=(
−
) + ∑�= � .
: Banyaknya gempa yang terjadi pada interval
, + ].
−
: Banyaknya gempa yang terjadi setelah + .
: Peluang munculnya kejadian gempa pada interval , + ] jika
diketahui belum ada gempa hingga saat .
12
Gambar 3. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi
waktu tunggu menyebar linear.
Gambar 4. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi
waktu tunggu menyebar eksponensial.
Hasil pada Tabel 1 dan Tabel 2 berturut-turut merupakan nilai hazard
rate dengan asumsi waktu tunggu tunggu menyebar linear dan menyebar
eksponensial pada waktu t0 yang dinotasikan dengan simbol µ t0. Untuk
menduga persamaan regresi dari hazard rate dibutuhkan sifat bahwa
hazard rate harus menyebar normal. Akan tetapi menurut hasil QQ-plot dari
hazard rate pada Tabel 1 dan Tabel 2 menunjukkan bahwa hazard rate
tidak menyebar normal, sehingga perlu dilakukan normalisasi untuk nilai
13
hazard rate ini dengan terlebih dahulu menghilangkan nilai hazard rate
yang bersifat pencilan.
Dengan melakukan transformasi Box-Cox pada nilai hazard rate dari
Tabel 1 dan Tabel 2 diperoleh nilai λ berturut-turut -0.5 dan -0.5. Artinya
transformasi yang dilakukan adalah μ∗ = μ − . untuk hazard rate
dengan waktu tunggu menyebar linear dan μ∗ = μ − . untuk hazard
rate dengan waktu tunggu menyebar eksponensial. Sehingga diperlukan
transformasi balik agar diperoleh nilai dugaan hazard rate yang diinginkan.
Transformasi balik yang dilakukan adalah μ = μ∗ − = ∗ .
µ
Proses penentuan model parametrik untuk HRSD dilakukan dengan
metode regresi untuk nilai hazard rate tersebut dengan menggunakan model
+ �,
linear μ∗ = � + � + � , model kuadratik μ∗ = � + � + �
∗
dan model kubik μ = � + � + �
+�
+ �.
Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 1 diperoleh model
∗
parametrik μ̂
= .
− .
untuk model linear dengan
=
.
. Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh
∗
model μ̂
= .
− .
− .
dengan
=
.
. Akan
tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik
∗
diperoleh model parametrik μ̂
= .
− .
+ .
− .
dengan
=
.
. Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut
hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa model kubik merupakan model yang lebih baik untuk
menduga nilai hazard rate pada Tabel 1 karena menghasilkan nilai MSE
terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1.
Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga
hazard rate untuk Tabel 1 dimana waktu tunggu bersebaran linear adalah
. Jika model ini diasumsikan dapat
μ̂ =
.
− .9 9 + .
− .
memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model
parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate
untuk tahun 2014 adalah μ̂ =
=
.
− .9 9
+ .
− .
.
. Artinya dugaan tingkat terjadinya gempa ada tahun 2014 adalah
sebesar 0.00151.
Tabel 3. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 1.
MSE
Persamaan
∗
μ̂
=
∗
μ̂
=
∗
̂
μ =
.
.
.
− .
− .
− .
− .
− .
+ .
.
.
.
Uji Nyata Regresi
(� = . )
Nyata
Tidak nyata
Nyata
14
Gambar 5. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1
yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan
kubik.
Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 2 diperoleh model
∗
parametrik μ̂
= .
− .
untuk model linear dengan
=
.
. Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh
∗
model μ̂
= .
− .
− .
dengan
=
.
. Akan
tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik
∗
diperoleh model parametrik μ̂
= .
+ .
− .
− .
dengan
=
.
Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut
hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa model kubik merupakan model yang lebih baik untuk
menduga nilai hazard rate pada Tabel 2 karena menghasilkan nilai MSE
terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1.
Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga
hazard rate untuk Tabel 2 dimana waktu tunggu bersebaran eksponensial
. Jika model ini diasumsikan
adalah μ̂ =
.
+ .9
− .
− .
dapat memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model
parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate
untuk tahun 2014 adalah μ̂ =
=
.
+ .9
− .
− .
.
. Artinya dugaan tingkat terjadinya gempa ada tahun 2014 adalah
sebesar 0.00939.
15
Tabel 4. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 2.
MSE
Persamaan
∗
μ̂
=
∗
̂
μ = .
∗
μ̂
=
.
.
.
.
− .
− .
− .
+ .
− .
.
− .
Uji Nyata Regresi
(� = . )
Nyata
Tidak nyata
Nyata
Gambar 6. Kurva perbandingan pendugaan model hazard rate Tabel 2 yang
telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
SIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode untuk menentukan
nilai hazard rate proses titik temporal. Metode yang digunakan adalah
metode single decrement. Metode single decrement ini merupakan metode
yang didasarkan pada teori aktuaria. Pendugaan hazard rate dengan metode
single decrement dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu pendekatan
likelihood dan pendekatan momen.
Dengan menggunakan pendekatan likelihood, dibutuhkan asumsi
sebaran waktu tunggu terjadinya gempa. Sebaran waktu tunggu terjadinya
gempa yang digunakan adalah sebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik.
Jika sebaran waktu tunggu adalah linear maka dugaan hazard rate
̂
�
̂
, dan ̂ =
dengan
�
dapat dirumuskan menjadi �̂ =
−̂
̂ menyatakan dugaan peluang terjadinya gempa pada interval
, +
] jika diasumsikan belum terjadi gempa hingga ,
menyatakan
16
banyaknya kejadian gempa pada interval
, + ], serta
menyatakan
banyaknya kejadian gempa tepat atau setelah .
Jika sebaran waktu tunggu adalah eksponensial maka dugaan hazard
�
, dengan
rate ̂
�
dapat dirumuskan menjadi �̂ =
�
(
−� )+∑i= yi
menyatakan banyaknya kejadian gempa pada interval
, + ],
(
−
) menyatakan banyaknya kejadian gempa setelah + , dan yi
adalah bilangan yang menyatakan waktu kemunculan gempa ke-i setelah ,
dalam hal ini < � < . Sedangkan jika sebaran waktu tunggu adalah
hiperbolik maka dugaan hazard rate � + ≈
, akan tetapi belum
diperoleh solusi analitik untuk menentukan
.
Perhitungan hazard rate menggunakan data gempa di Aceh periode
waktu 1980-2013 dengan kekuatan gempa lebih dari atau sama dengan 5 SR.
Pendugaan nilai hazard rate dilakukan dengan menggunakan pendekatan
likelihood dimana menggunakan asumsi waktu tunggu yang menyebar
linear dan eksponensial. Dari hasil perhitungan yang dilakukan diperoleh
model yang lebih baik dalam menduga persamaan adalah model kubik.
Model yang diperoleh ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate
secara akurat.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers, N.L, Gerber, H.U, Hickman, J.C, Jones, D.A, and Nesbitt, C.J.
1986. Actuarial Mathematics : The Society of Actuaries.
Daley, D.J. dan Vere-Jones, D. 2003: An Introduction to the Teory of Point
Processes. Berlin: Springer.
Darwis, S, Sunusi, N., Triyoso, W., dan Mangku, I.W. 2009. Single
Decrement Approach for Estimating Eartquake Hazard Rate, Advance
and Applications in Statistics, 11(2), 229-27.
Firmansyah, J. and Irsyam, M. 1999. Development of Seismic Hazard Map
for Indonesia: Konferensi Nasional Rekayasa Kegempaan.
Sunusi, N. 2010. Pengembangan Estimasi Hazard Rate Proses Titik
Temporal dan Aplikasinya pada Prakiraan Kemunculan Gempa
[Disertasi]. Bandung : Institut Teknologi Bandung.
17
LAMPIRAN
Lampiran 1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun 1980-2013 dengan
magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR.
Date
OT (UTC)
Lat
Lon
1/04/1980
16/09/1980
10/02/1981
16:21:48
15:23:45
18:42:41
4.03
3.90
3.98
97.56
95.63
97.23
Depth
(Km)
41
40
121
10/09/1981
13/02/1982
24/02/1982
7/03/1982
22/03/1982
3/08/1982
31/10/1982
30/01/1983
16/03/1983
4/04/1983
4/04/1983
4/04/1983
2/07/1983
17/09/1983
9/10/1983
11/04/1984
29/05/1984
13/06/1984
11/08/1984
21/03/1985
21/03/1985
5/07/1985
8/10/1985
29/04/1986
14/06/1986
8/09/1986
12/09/1986
24/02/1987
17/05/1987
10/06/1987
14/10/1987
17/11/1987
14:17:43
19:56:12
04:22:40
14:08:15
08:38:33
08:44:44
02:48:13
01:26:05
09:13:11
06:59:00
03:03:34
02:51:34
09:34:04
05:56:56
04:51:19
13:51:10
04:36:09
13:28:12
11:56:49
07:48:40
08:18:38
23:10:14
07:14:06
13:59:21
14:51:03
02:39:52
00:11:48
14:52:49
12:11:09
16:03:55
23:30:25
08:38:30
5.45
5.68
4.37
3.72
2.47
2.86
2.97
5.45
3.48
5.63
5.79
5.72
5.75
4.75
5.70
5.74
3.57
4.44
5.99
6.24
6.45
5.72
3.95
4.41
2.04
4.42
2.91
4.29
3.02
4.14
4.03
5.20
95.35
94.79
97.75
97.42
97.02
97.49
96.10
94.94
95.79
94.68
94.75
94.72
94.71
95.04
94.60
94.75
97.14
94.91
95.24
94.73
94.86
95.50
96.03
94.96
98.00
96.37
96.13
95.16
97.12
94.81
95.38
94.36
102
71
52
124
39
58
62
82
43
79
69
78
92
66
33
83
70
42
131
33
33
10
64
38
66
39
36
49
73
52
58
56
Mag (SR)
6.2
5.2
5.1
5.0
5.3
5.4
5.0
5.3
5.0
5.5
5.2
5.2
5.0
5.9
6.8
5.7
5.8
5.0
5.2
5.8
5.1
5.4
5.0
5.2
5.8
5.1
5.2
5.4
5.2
5.0
5.1
5.1
5.4
5.1
5.1
18
Lanjutan Lampiran 1
10/12/1987 07:22:44
5/01/1988
08:48:06
3/04/1988
14:27:09
22/08/1988 18:25:00
27/12/1988 13:50:41
24/02/1989 13:38:48
20/07/1989 06:27:25
30/07/1989 19:14:37
2/08/1989
10:24:21
2/08/1989
10:48:06
13/11/1989 15:54:40
21/12/1989 16:40:09
21/12/1989 08:08:04
22/01/1990 17:26:11
29/01/1990 20:34:20
22/02/1990 12:51:43
23/05/1990 16:07:44
26/06/1990 07:14:20
31/07/1990 18:25:50
12/09/1990 09:42:27
2/10/1990
13:27:06
13/10/1990 20:15:13
15/11/1990 05:47:22
15/11/1990 05:18:45
15/11/1990 04:48:12
15/11/1990 02:34:32
18/11/1990 16:06:54
18/11/1990 16:23:06
5/01/1991
15:45:00
8/01/1991
21:06:35
13/01/1991 10:13:14
17/02/1991 03:19:17
23/07/1991 13:25:47
6/08/1991
02:17:31
24/08/1991 00:05:57
25/08/1991 05:00:59
8/09/1991
18:20:10
14/06/1992 10:41:52
13/11/1992 16:01:03
20/01/1993 02:30:54
15/08/1993 03:06:07
1/09/1993
14:36:27
1/09/1993
14:03:19
3.37
2.59
4.69
4.70
4.80
3.15
5.05
4.70
2.77
2.71
4.70
3.10
3.25
3.88
6.10
5.66
4.92
4.55
3.81
4.31
3.73
4.28
3.92
3.91
3.98
3.91
3.88
3.94
5.33
2.24
5.83
2.64
3.78
3.83
3.78
5.65
6.19
4.82
2.40
3.14
5.40
2.89
2.99
96.40
96.13
94.42
96.20
95.21
96.25
95.64
95.91
96.14
96.10
94.50
96.24
96.40
96.10
94.68
94.23
94.47
95.24
95.37
96.46
95.79
95.30
97.35
97.29
97.32
97.46
97.36
97.34
94.14
97.06
94.75
96.12
95.93
95.37
95.21
94.12
94.83
94.26
96.27
97.63
94.64
96.20
96.12
52
56
30
43
56
58
82
22
28
22
56
21
21
45
98
56
51
59
29
33
59
76
48
53
30
48
61
67
36
33
66
23
46
18
33
44
29
34
33
67
38
46
34
5.2
5.1
5.9
5.0
5.3
5.0
5.9
5.2
5.1
5.9
5.2
5.3
5.6
6.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.3
5.0
5.0
5.0
5.4
5.6
5.8
6.8
5.2
5.7
5.1
5.2
5.0
5.4
5.8
6.0
5.1
5.2
5.0
5.0
5.8
6.2
5.1
5.3
6.5
19
Lanjutan Lampiran 1
2/10/1993
10:30:17
7/01/1994
11:05:22
11/02/1994 07:56:55
13/06/1994 14:16:49
31/10/1994 11:48:13
20/11/1994 18:34:34
14/03/1995 10:27:30
2/06/1995
23:29:07
3/06/1995
11:57:31
30/06/1995 16:29:21
24/09/1995 20:19:59
22/11/1995 13:27:52
22/07/1996 15:49:07
13/09/1996 05:04:35
21/09/1996 17:04:20
10/10/1996 15:21:04
15/10/1996 08:02:57
27/04/1997 17:37:19
11/06/1997 19:12:28
20/08/1997 07:15:15
26/08/1997 13:17:26
4/02/1999
19:28:00
15/02/1999 05:46:12
24/02/1999 07:20:48
22/06/1999 07:11:35
21/07/1999 13:46:29
24/11/1999 19:51:38
10/03/2000 21:32:12
3/04/2000
19:02:29
19/07/2000 07:11:09
17/08/2000 18:40:09
29/08/2000 07:14:48
4/09/2000
17:25:59
9/09/2000
06:01:53
31/03/2001 02:26:33
12/08/2001 12:06:09
12/10/2001 09:34:55
31/10/2001 22:04:32
4/12/2001
07:19:25
22/01/2002 20:15:06
24/01/2002 17:56:21
24/01/2002 15:24:05
24/01/2002 17:52:25
4.76
4.84
4.83
4.10
3.02
4.33
3.05
3.43
2.97
3.73
3.46
3.09
5.76
2.78
5.85
3.44
3.01
4.61
2.88
4.36
6.45
4.03
4.93
3.37
4.80
4.57
5.94
4.74
2.49
4.25
5.77
3.11
4.17
6.42
4.05
6.32
3.25
5.36
3.72
3.49
3.52
3.51
3.54
94.96
96.40
95.18
94.86
96.19
97.59
95.85
96.41
96.17
95.38
97.27
95.92
95.25
96.07
95.17
97.94
96.22
96.14
97.33
96.49
94.60
95.28
95.85
96.04
94.45
97.21
94.43
96.01
97.22
96.21
94.75
96.44
94.92
95.46
96.09
94.77
96.12
94.36
97.79
95.63
95.66
95.61
95.66
69
173
97
33
29
153
30
40
30
54
35
21
33
33
33
33
33
33
57
33
114
55
33
33
33
175
62
33
33
33
68
33
33
229
50
33
35
33
139
33
33
33
33
5.3
5.4
5.0
5.0
6.4
6.3
6.0
5.0
5.3
5.2
5.1
6.2
5.0
5.8
5.8
6.5
5.2
5.0
6.0
6.3
5.7
6.3
6.0
5.9
5.0
5.9
5.0
6.0
5.0
5.8
6.1
5.0
5.7
6.1
5.1
6.0
5.0
6.1
5.1
5.3
5.2
5.3
5.6
20
Lanjutan Lampiran 1
24/01/2002 18:12:05
25/01/2002 14:05:58
24/10/2002 21:53:43
2/11/2002
01:56:53
2/11/2002
01:45:35
2/11/2002
01:38:20
2/11/2002
09:46:46
2/11/2002
01:26:10
13/11/2002 15:53:09
30/11/2002 04:07:09
27/12/2002 13:28:36
22/01/2003 02:58:51
2/02/2003
06:17:44
28/06/2003 07:36:42
21/08/2003 16:13:41
5/09/2003
01:23:02
10/09/2003 08:26:59
13/09/2003 20:42:22
15/09/2003 12:14:33
29/12/2003 15:05:19
26/12/2004 21:25:33
26/12/2004 08:02:35
26/12/2004 13:44:08
26/12/2004 05:42:49
26/12/2004 07:11:40
26/12/2004 10:55:07
26/12/2004 14:11:28
26/12/2004 03:30:01
26/12/2004 05:23:51
26/12/2004 08:47:47
26/12/2004 03:50:22
26/12/2004 03:26:46
26/12/2004 16:21:27
26/12/2004 04:02:12
26/12/2004 06:28:48
26/12/2004 03:22:57
26/12/2004 01:17:10
26/12/2004 03:19:13
26/12/2004 16:55:17
26/12/2004 21:06:49
26/12/2004 03:40:16
26/12/2004 19:03:49
26/12/2004 01:48:52
3.53
3.48
6.03
2.59
2.64
2.67
2.95
2.82
3.01
2.89
4.11
4.49
4.00
2.77
2.26
5.32
2.08
4.62
2.59
4.15
4.75
5.34
3.97
5.49
4.81
4.26
3.67
4.64
3.35
4.86
5.51
4.91
5.15
3.04
4.96
5.82
4.94
3.55
3.86
4.47
5.53
4.09
5.43
95.66
95.68
94.42
95.89
96.25
95.90
96.39
96.08
96.09
96.21
97.72
97.57
95.43
95.76
96.53
95.90
96.82
97.65
96.07
94.71
94.85
94.48
94.39
94.29
94.97
95.13
94.02
94.00
94.09
95.10
94.25
96.40
94.32
95.89
94.79
95.09
94.27
94.29
94.50
96.34
94.33
94.22
94.46
33
33
64
33
33
23
27
30
39
33
138
33
80
33
33
124
33
33
33
33
30
34
31
30
35
30
30
25
18
50
48
30
41
30
30
20
30
30
30
30
30
30
51
6.1
5.0
6.2
5.0
5.2
5.2
6.5
7.3
6.0
5.2
5.7
5.7
5.2
5.2
5.1
5.9
5.8
5.3
5.1
5.1
5.0
5.1
5.1
5.1
5.2
5.2
5.2
5.2
5.2
5.3
5.3
5.3
5.4
5.4
5.4
5.4
5.5
5.5
5.5
5.5
5.6
5.6
5.7
21
Lanjutan Lampiran 1
26/12/2004 02:34:52
26/12/2004 02:59:14
26/12/2004 03:51:12
26/12/2004 04:02:56
26/12/2004 03:24:55
26/12/2004 13:56:40
26/12/2004 01:25:49
26/12/2004 15:06:33
26/12/2004 19:19:55
26/12/2004 00:58:53
27/12/2004 02:53:03
27/12/2004 16:18:12
27/12/2004 11:58:36
27/12/2004 08:11:02
27/12/2004 01:22:24
27/12/2004 08:21:40
27/12/2004 18:09:34
27/12/2004 06:59:15
27/12/2004 07:47:35
27/12/2004 10:05:05
27/12/2004 20:10:51
27/12/2004 00:32:16
27/12/2004 09:39:07
17/01/2005 02:53:40
19/01/2005 17:32:31
22/01/2005 09:24:33
22/01/2005 11:07:29
22/01/2005 12:58:32
22/01/2005 09:18:06
23/01/2005 06:16:04
23/01/2005 20:36:08
24/01/2005 17:59:23
24/01/2005 00:39:20
25/01/2005 09:54:22
26/01/2005 23:43:29
26/01/2005 16:50:09
26/01/2005 22:00:42
27/01/2005 20:09:52
29/01/2005 02:55:20
29/01/2005 18:20:59
31/01/2005 06:45:44
1/02/2005
17:14:05
1/02/2005
14:15:49
3.99
3.18
5.05
4.98
4.47
2.78
5.50
3.65
2.79
3.30
5.36
4.82
4.83
5.48
3.35
5.52
2.75
3.03
2.71
4.72
2.93
5.48
5.35
3.87
4.70
3.60
3.58
4.91
3.63
2.60
2.71
4.75
4.70
5.45
5.34
3.24
2.70
5.51
5.07
5.51
4.05
2.80
5.18
94.14
94.38
94.77
94.72
94.07
94.47
94.21
94.09
94.16
95.98
94.32
94.26
94.82
94.13
94.89
94.61
94.63
95.54
94.51
95.11
95.61
94.47
94.65
95.92
95.16
94.09
94.16
94.86
94.14
94.39
94.34
94.81
96.13
94.67
94.33
96.28
94.60
94.31
94.71
94.32
96.76
94.23
94.56
30
30
30
47
26
30
30
17
30
30
46
38
30
19
47
51
42
27
23
49
28
33
35
42
30
30
30
30
30
27
26
48
19
30
47
35
22
30
46
30
30
26
24
5.7
5.7
5.7
5.8
5.8
5.9
6.1
6.1
6.2
9.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.1
5.3
5.3
5.6
5.6
5.8
5.8
6.1
6.2
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.1
5.0
5.2
5.1
5.3
5.1
5.1
5.1
6.2
5.6
5.2
5.4
5.1
5.2
5.6
22
Lanjutan Lampiran 1
2/02/2005
09:04:28
4/02/2005
06:57:09
5/02/2005
04:09:54
5/02/2005
04:03:14
9/02/2005
01:02:26
9/02/2005
13:27:25
13/02/2005 02:02:08
13/02/2005 01:22:09
17/02/2005 05:31:28
18/02/2005 19:33:46
19/02/2005 03:23:39
19/02/2005 14:23:52
23/02/2005 02:42:11
24/02/2005 07:35:50
25/02/2005 20:40:31
26/02/2005 12:56:53
3/03/2005
17:10:22
11/03/2005 08:00:50
12/03/2005 22:33:14
13/03/2005 22:12:46
16/03/2005 06:39:48
17/03/2005 23:20:49
19/03/2005 03:01:17
25/03/2005 01:04:53
28/03/2005 17:03:34
28/03/2005 23:44:45
28/03/2005 16:58:36
28/03/2005 19:54:01
28/03/2005 18:50:14
28/03/2005 18:48:53
28/03/2005 16:34:40
28/03/2005 23:39:48
28/03/2005 16:44:30
28/03/2005 23:37:31
28/03/2005 16:09:37
29/03/2005 20:41:38
29/03/2005 14:16:06
29/03/2005 10:56:54
29/03/2005 05:25:25
29/03/2005 05:16:30
30/03/2005 17:29:22
30/03/2005 16:19:41
31/03/2005 14:27:27
5.27
2.72
2.33
2.26
2.28
4.80
5.07
5.08
4.70
5.45
5.04
2.33
2.88
2.89
2.74
2.91
3.12
2.29
5.48
5.49
5.44
4.86
4.00
5.49
2.04
2.86
2.28
2.47
2.39
2.75
2.34
2.91
2.09
2.89
2.09
2.35
2.55
2.23
2.14
2.65
2.93
2.99
5.11
94.50
95.75
95.07
94.99
95.16
95.12
94.80
94.79
95.16
94.42
94.44
95.29
95.46
95.73
94.26
95.59
95.73
95.07
94.69
94.60
94.43
95.09
95.67
94.37
96.46
96.35
96.18
96.76
97.16
96.05
96.60
96.39
96.50
96.41
97.11
97.33
96.07
96.49
96.63
96.58
95.42
95.41
94.58
45
24
30
30
28
44
51
48
47
48
40
27
25
30
28
36
26
29
59
52
30
60
48
39
30
27
30
26
30
30
28
28
30
29
30
30
24
26
26
30
25
22
30
5.2
5.0
5.1
6.0
5.0
6.0
5.5
5.7
5.9
5.8
5.0
5.0
5.1
5.6
5.1
6.8
5.0
5.1
5.2
5.5
5.3
5.7
5.2
5.9
5.0
5.0
5.1
5.1
5.2
5.4
5.4
5.4
5.5
5.6
8.6
5.1
5.1
5.2
5.3
5.9
5.7
6.3
5.0
23
Lanjutan Lampiran 1
31/03/2005 08:30:27
1/04/2005
05:55:56
1/04/2005
07:40:27
1/04/2005
14:50:41
1/04/2005
14:18:08
1/04/2005
10:37:46
2/04/2005
16:24:14
3/04/2005
11:16:46
3/04/2005
12:21:20
3/04/2005
03:10:56
4/04/2005
19:37:10
5/04/2005
13:01:55
10/04/2005 10:27:57
11/04/2005 09:53:37
11/04/2005 09:04:31
11/04/2005 06:11:12
15/04/2005 13:08:54
19/04/2005 15:10:15
23/04/2005 10:31:45
25/04/2005 03:18:31
28/04/2005 14:07:34
3/05/2005
07:29:10
4/05/2005
00:44:51
4/05/2005
05:58:54
5/05/2005
01:14:47
9/05/2005
01:30:52
12/05/2005 23:47:30
12/05/2005 16:04:24
21/05/2005 23:01:16
24/05/2005 09:37:57
25/05/2005 14:42:15
28/05/2005 06:23:31
31/05/2005 07:28:05
31/05/2005 02:29:31
8/06/2005
06:28:11
11/06/2005 17:36:56
13/06/2005 02:26:51
13/06/2005 19:59:53
17/06/2005 21:26:03
17/06/2005 02:37:39
20/06/2005 07:38:35
20/06/2005 18:50:40
24/06/2005 21:45:12
2.52
2.26
2.29
2.70
2.17
2.87
2.89
2.80
2.97
2.02
4.77
2.41
2.86
2.10
2.08
2.17
2.93
2.36
2.75
3.03
2.13
2.46
3.05
4.71
5.23
5.10
2.42
5.06
5.28
2.65
2.91
2.04
5.46
5.24
2.17
2.12
2.74
2.74
2.14
5.62
2.30
4.95
4.81
96.18
96.43
96.37
97.09
96.69
96.39
96.40
95.89
96.28
97.94
94.82
96.30
95.34
96.85
96.83
96.76
96.33
96.30
95.99
94.07
96.80
95.88
96.38
94.87
94.27
94.84
96.27
94.47
94.80
94.53
95.60
96.67
94.65
94.43
96.72
96.60
95.64
94.17
96.80
94.75
96.35
94.75
95.15
25
30
30
30
28
26
28
30
30
36
49
30
24
28
26
24
26
26
32
25
22
21
40
46
30
30
22
30
55
30
24
24
53
30
23
24
22
18
27
57
30
30
52
5.0
5.0
5.1
5.1
5.1
5.4
5.1
5.0
5.1
6.3
5.2
5.0
5.4
5.0
5.5
6.1
5.4
5.0
5.2
5.0
6.2
5.0
5.2
5.3
5.1
5.5
5.0
5.2
5.9
5.2
5.1
5.0
5.0
5.5
6.1
5.1
5.0
5.9
5.3
5.4
5.0
5.0
5.3
24
Lanjutan Lampiran 1
5/07/2005
07:57:29
21/07/2005 01:42:44
22/07/2005 09:50:08
23/07/2005 00:44:57
23/07/2005 22:53:35
27/07/2005 13:57:13
28/07/2005 02:43:59
30/07/2005 15:13:20
2/08/2005
20:56:36
5/08/2005
13:21:31
17/08/2005 07:43:48
28/08/2005 14:09:18
28/08/2005 04:43:41
31/08/2005 07:20:20
1/09/2005
16:42:39
3/09/2005
21:00:04
10/09/2005 16:57:47
16/09/2005 17:19:27
20/09/2005 15:00:00
22/09/2005 12:30:08
29/09/2005 18:12:26
3/10/2005
22:09:26
4/10/2005
12:23:25
5/10/2005
08:46:42
11/10/2005 15:05:40
16/10/2005 19:03:23
26/10/2005 00:39:33
27/10/2005 04:16:29
28/10/2005 03:07:35
28/10/2005 17:23:29
19/11/2005 06:38:55
19/11/2005 14:09:21
19/11/2005 14:10:13
5/12/2005
04:46:49
6/12/2005
05:40:11
18/12/2005 04:23:10
1/01/2006
08:47:13
13/01/2006 14:47:30
31/01/2006 19:15:51
6/02/2006
07:05:02
13/02/2006 12:05:43
13/02/2006 09:32:09
26/02/2006 21:32:49
2.26
4.34
2.43
5.46
5.11
2.64
2.73
5.18
5.25
2.16
2.01
4.39
5.55
5.36
5.07
4.75
4.86
2.43
4.51
3.98
5.22
5.54
5.56
5.23
4.82
2.03
4.03
2.74
2.31
2.36
2.82
2.03
2.16
3.40
2.39
2.84
4.74
4.87
2.70
2.22
2.41
2.86
5.61
95.06
96.27
97.14
94.42
94.80
96.02
95.62
94.48
94.26
96.42
97.83
95.22
94.58
95.79
94.79
95.14
95.04
96.31
95.40
95.97
94.51
94.39
94.28
95.58
95.10
97.95
94.30
95.83
96.36
96.21
95.47
96.79
96.79
95.27
96.28
95.92
95.14
94.75
96.07
96.45
96.25
95.45
94.69
28
14
43
30
48
24
22
38
36
26
30
26
51
48
30
54
41
24
51
49
48
47
44
18
30
28
31
30
27
30
30
31
21
32
30
18
51
42
20
27
26
25
30
5.1
5.1
5.1
5.1
5.6
5.0
5.0
5.8
5.0
5.0
5.0
5.0
5.4
5.0
5.3
5.0
5.8
5.1
5.2
5.2
5.2
5.5
5.3
5.7
6.0
5.7
5.1
5.3
5.0
5.1
5.1
5.2
6.5
5.2
5.0
5.7
5.7
5.0
5.9
5.2
5.0
5.2
5.2
25
Lanjutan Lampiran 1
1/03/2006
14:36:02
2/03/2006
17:15:46
8/03/2006
06:33:38
16/03/2006 15:12:16
19/03/2006 04:24:32
22/03/2006 10:08:49
28/03/2006 08:35:43
1/04/2006
10:34:48
2/04/2006
08:30:27
22/04/2006 23:22:38
22/04/2006 23:42:23
22/04/2006 23:23:06
8/05/2006
01:43:41
13/05/2006 03:11:43
14/06/2006 07:24:06
14/06/2006 00:14:33
2/08/2006
18:13:59
11/08/2006 20:54:14
12/08/2006 06:15:28
13/08/2006 08:41:46
23/08/2006 18:31:51
16/09/2006 06:17:47
12/10/2006 05:30:35
18/11/2006 13:55:21
18/11/2006 13:57:54
25/11/2006 18:50:25
6/12/2006
12:06:39
9/12/2006
09:24:47
17/12/2006 21:10:22
19/12/2006 12:48:17
3/01/2007
12:47:30
22/01/2007 16:44:34
8/02/2007
01:54:55
14/02/2007 20:11:58
1/03/2007
02:01:01
7/04/2007
09:51:52
27/04/2007 08:02:50
1/05/2007
19:44:20
18/05/2007 15:57:25
22/05/2007 03:41:12
23/05/2007 20:19:14
9/06/2007
14:59:50
24/06/2007 13:47:37
2.67
4.96
4.00
5.07
4.13
2.72
3.46
2.27
2.41
2.06
2.15
2.09
3.16
5.51
2.65
5.51
3.97
2.40
2.19
5.52
4.72
5.12
4.94
4.75
4.74
2.99
4.86
5.08
4.82
2.46
5.45
2.82
2.70
5.21
3.78
2.92
5.36
5.51
4.11
2.01
2.63
2.61
5.42
95.90
94.49
96.25
94.78
96.05
95.68
97.22
94.93
96.39
96.45
96.50
96.49
97.10
94.44
94.37
94.57
95.97
96.35
96.36
94.66
95.10
94.78
95.01
94.78
94.77
97.01
96.23
94.75
95.02
98.00
94.35
95.81
95.65
94.26
96.34
95.70
94.64
94.62
96.03
96.75
95.55
96.04
94.58
20
30
30
50
48
25
30
28
26
27
26
25
11
45
29
52
45
22
28
30
30
49
30
32
29
53
30
30
36
66
30
24
30
30
74
30
38
52
30
30
39
24
30
5.1
5.2
5.4
5.3
5.3
5.0
5.0
5.0
5.2
5.1
5.1
5.4
5.2
6.0
5.1
5.2
5.0
6.2
5.0
5.3
5.1
5.6
5.5
5.9
5.9
5.0
5.2
5.5
5.8
5.2
5.4
5.3
5.1
5.3
5.6
6.1
6.3
5.0
5.2
5.0
5.2
5.2
5.1
26
Lanjutan Lampiran 1
10/07/2007 18:28:30
21/07/2007 12:53:03
24/07/2007 14:51:32
18/08/2007 04:38:23
29/09/2007 05:32:44
29/09/2007 05:37:07
1/10/2007
14:03:34
17/10/2007 02:55:30
16/11/2007 21:23:26
21/11/2007 03:30:13
22/11/2007 23:02:13
7/12/2007
08:09:25
9/12/2007
11:32:13
22/12/2007 12:26:19
28/12/2007 05:24:15
5/01/2008
20:01:55
20/02/2008 09:32:06
20/02/2008 09:05:09
20/02/2008 08:36:39
20/02/2008 09:11:26
20/02/2008 08:28:20
20/02/2008 08:08:30
21/02/2008 03:47:44
25/02/2008 09:53:40
26/02/2008 11:38:41
5/03/2008
17:04:08
10/03/2008 05:22:46
15/03/2008 14:43:26
29/03/2008 17:30:50
4/04/2008
05:43:19
4/04/2008
00:27:38
8/05/2008
11:31:24
13/05/2008 10:29:19
14/07/2008 04:44:54
14/07/2008 04:44:47
10/09/2008 04:02:17
10/09/2008 00:18:51
10/09/2008 03:00:26
14/11/2008 22:56:34
21/12/2008 13:47:53
12/01/2009 22:14:03
11/02/2009 03:11:29
4/03/2009
10:56:41
3.33
5.00
2.27
2.08
2.92
2.90
4.09
2.97
2.62
3.06
4.74
5.46
2.22
2.09
5.42
5.48
2.64
2.70
2.54
2.50
2.61
2.77
2.48
2.64
2.64
5.08
2.38
2.70
2.86
2.63
2.90
5.51
4.68
2.23
2.15
2.63
2.40
2.50
2.29
4.77
2.83
4.85
2.78
94.25
97.46
98.00
96.69
95.54
95.52
96.58
96.46
94.49
96.36
95.06
94.67
96.76
96.80
95.66
94.68
95.78
96.25
96.06
95.84
96.14
95.96
96.08
96.07
95.92
94.82
95.60
94.59
95.30
96.12
95.43
94.70
95.09
96.54
95.05
95.47
96.11
96.09
96.20
95.16
95.50
95.98
95.26
24
30
62
30
35
35
35
40
27
41
49
72
35
31
20
57
22
35
35
24
35
26
35
35
35
56
35
20
20
25
36
35
35
42
30
19
15
10
35
30
10
10
10
5.0
5.2
5.3
5.0
5.7
5.8
5.0
5.0
5.1
5.1
5.9
5.0
5.0
5.9
5.1
5.4
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
7.5
5.0
5.0
5.1
5.3
5.0
6.0
6.5
5.0
5.2
5.0
5.6
5.5
5.5
5.0
5.1
5.8
5.1
5.7
5.0
5.0
5.3
27
Lanjutan Lampiran 1
12/03/2009 10:05:06
24/03/2009 04:35:41
8/05/2009
13:19:03
21/07/2009 06:51:53
15/08/2009 04:04:29
25/08/2009 20:26:51
28/08/2009 16:45:21
26/11/2009 05:27:37
9/12/2009
21:29:05
19/12/2009 13:43:54
22/01/2010 06:46:22
17/03/2010 09:44:55
6/04/2010
22:28:27
6/04/2010
22:54:07
6/04/2010
22:26:09
6/04/2010
22:15:04
7/04/2010
04:22:17
12/04/2010 10:28:27
9/05/2010
05:59:45
11/05/2010 12:17:49
3/06/2010
09:24:17
21/08/2010 05:42:53
29/09/2010 11:33:34
30/09/2010 09:54:10
15/10/2010 12:43:56
18/12/2010 22:56:44
21/12/2010 14:07:49
23/12/2010 00:01:35
15/01/2011 11:36:07
15/01/2011 11:45:21
15/01/2011 16:26:08
15/01/2011 11:23:53
18/01/2011 11:33:44
22/01/2011 07:34:16
22/01/2011 07:38:59
26/01/2011 15:42:30
29/04/2011 08:56:49
21/08/2011 08:18:19
5/09/2011
17:55:12
16/10/2011 17:16:20
30/10/2011 02:02:12
1/01/2012 18:09:06.3
13/01/2012 20:03:42.5
4.53
5.17
3.18
4.38
4.39
5.28
5.45
4.89
2.75
2.59
3.12
4.34
2.54
2.33
2.30
2.31
2.64
4.60
3.65
3.41
4.54
2.18
5.02
5.02
3.62
5.34
2.66
3.72
2.31
2.31
2.35
2.40
2.50
2.79
2.80
2.16
3.88
4.65
2.78
2.32
4.88
4.46
2.35
94.76
94.20
97.55
96.40
96.53
94.77
94.77
96.00
96.09
95.90
94.28
95.69
96.78
97.10
96.87
97.11
96.99
96.39
96.09
95.89
95.76
96.60
94.84
94.82
95.49
94.56
95.87
95.88
96.33
96.35
96.28
96.30
96.41
95.55
95.75
96.81
95.75
94.98
97.93
96.05
95.99
96
DENGAN METODE SINGLE DECREMENT
IKHSAN MAULIDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Hazard
Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Ikhsan Maulidi
NIM G54100103
ABSTRAK
IKHSAN MAULIDI. Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan
Metode Single Decrement. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI
SUMARNO.
Hazard rate memegang peranan penting dalam prakiraan kemunculan
gempa. Jika hazard rate diketahui maka sebaran kepekatan bersama kemunculan
gempa dapat diketahui. Oleh karena itu diperlukan suatu model penduga hazard
rate yang akurat untuk menduga nilai hazard rate. Dalam karya ilmiah ini dibahas
suatu metode untuk menduga hazard rate di titik . Metode yang digunakan
adalah metode single decrement. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan untuk
menduga hazard rate dengan menggunakan metode single decrement, yaitu
pendekatan likelihood dan pendekatan momen. Pada pendekatan likelihood
dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu kemunculan gempa. Dalam karya ilmiah
ini sebaran waktu tunggu kemunculan gempa diasumsikan menyebar linear,
eksponensial, dan hiperbolik. Pendugaan hazard rate menggunakan data gempa
bumi di Aceh dengan kekuatan lebih dari atau sama dengan 5 SR. Pendekatan
yang digunakan adalah pendekatan likelihood. Model parametrik yang diperoleh
dari metode ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate secara akurat.
Kata kunci: gempa bumi, hazard rate, sebaran kepekatan bersama, waktu tunggu.
ABSTRACT
IKHSAN MAULIDI. Estimation of Hazard Rate of Earthquake in Aceh Province
with Single Decrement Method. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI
SUMARNO.
Hazard rate has a significant effect on the earthquake forecasting. If the
hazard rate is given then the joint density distribution of earthquake occurrences
can be identified. Therefore we need a parametric model that accurately estimates
the hazard rate. In this paper a method to estimate the hazard rate at a point is
discussed. The method used is single decrement method. There are two
approaches that can be used to estimate the hazard rate using the method of single
decrement, those are likelihood approach and the moment approach. The
likelihood approach requires an assumption on the distribution of the waiting time
of earthquake occurrences. In this paper the distribution of waiting time of
earthquake occurrences is assumed to be linear, exponential, and hyperbolic.
Estimation of the hazard rate uses earthquake data in Aceh with power greater
than or equal to 5 SR. The approach used is likelihood approach. Parametric
model obtained from this method is expected to estimate the hazard rate
accurately.
Keywords: earthquake, hazard rate, joint density distribution, waiting time.
PENDUGAAN HAZARD RATE GEMPA DI PROVINSI ACEH
DENGAN METODE SINGLE DECREMENT
IKHSAN MAULIDI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode
Single Decrement
Nama
: Ikhsan Maulidi
NIM
: G54100103
Disetujui oleh
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang maha esa atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini yang berjudul Pendugaan Hazard Rate di
Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku
dan Bapak Dr Hadi Sumarno selaku pembimbing serta Bapak Dr Paian Sianturi
selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran dan bantuannya selama
penulisan karya ilmiah. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada
Badan Meteorologi dan Geofisika yang telah membantu selama pengumpulan
data. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, seluruh
keluarga, serta teman-teman semua atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
Ikhsan Maulidi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
METODE PENDUGAAN HAZARD RATE SINGLE DECREMENT (HRSD)
2
Pendugaan Likelihood dalam Single Decrement
3
Asumsi Linear
4
Asumsi Eksponensial
5
Asumsi Hiperbolik
6
Pendugaan Momen dalam Single Decrement
7
Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate
8
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
33
vi
DAFTAR TABEL
1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum
Terjadi Gempa Hingga Saat t .
2. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui
Belum Terjadi Gempa Hingga Saat t .
3. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 1.
4. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 2.
10
11
13
15
DAFTAR GAMBAR
1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi.
2. Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi.
3. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu
tunggu menyebar linear.
4. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu
tunggu menyebar eksponensial.
5. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1 yang
telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
6. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 2 yang
telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
9
9
12
12
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun 1980-2013 dengan
magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR.
2. QQ-Plot hazard rate pada Tabel 1 dan 2 (Sebelum data
ditransformasi).
3. Box-plot nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2 untuk melihat nilai
pencilan (outlier).
4. Hasil transformasi Box-Cox nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2.
5. QQ-Plot hazard rate setelah ditransformasi.
17
29
30
31
32
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Gempa bumi merupakan pelepasan energi dari dalam bumi secara
tiba-tiba, cepat dan merambat ke segala arah sebagai gelombang seismik.
Secara umum sumber terjadinya gempa bumi dikategorikan menjadi 3
bagian, yaitu gempa bumi runtuhan, gempa bumi vulkanik, dan gempa bumi
tektonik. Gempa bumi tektonik merupakan gempa bumi yang paling sering
terjadi.
Secara geografis kepulauan Indonesia berada di antara 60 LU dan 110
LS serta di antara 950 BT dan 1410 BT dan terletak pada pertemuan tiga
lempeng kerak bumi yaitu Eurasia, Pasifik, dan Indo-Australia. Ditinjau
secara geologis, kepulauan Indonesia berada pada pertemuan 2 jalur gempa
utama, yaitu Sirkum Pasifik dan Alpide Transasiatic. Karena itu, kepulauan
Indonesia berada pada daerah yang mempunyai aktivitas gempa bumi cukup
tinggi. Beberapa tahun terakhir bencana alam akibat gempa bumi di Laut
Flores yang terjadi pada 12 Desember 1992 dengan magnitudo surface (Ms)
sebesar 7.5, Lampung pada 16 Februari 1994 dengan
= . , ,
Banyuwangi pada 3 Juni 1994, Bengkulu pada 4 Juni 2000, Nabire pada 6
Februari 2004 dengan
= . dan 26 Nopember 2004 dengan
= .
yang menimbulkan korban jiwa dan kerugian harta penduduk yang besar.
Gempa terbesar terakhir yang terjadi pada 26 Desember 2004 dengan pusat
gempa di lepas pantai barat Provinsi Nangroe Aceh Darussalam dengan
= . . Gempa tersebut telah memicu gelombang tsunami yang
dampaknya terasa di 11 negara Asia dengan jumlah korban diperkirakan
tidak kurang dari 80.000 jiwa (Firmansyah dan Irsyam 1999).
Hazard rate memegang peranan penting dalam teori likelihood proses
kemunculan gempa. Jika hazard rate diketahui, maka sebaran kepekatan
bersama untuk realisasi data kemunculan dalam , dapat diketahui. Oleh
karena itu, penting memperoleh model parametrik yang akurat untuk
menduga hazard rate. Umumnya, hazard rate gempa diduga berdasarkan
persamaan likelihood proses titik yang diperkenalkan oleh Vere-Jones pada
tahun 1995 (Daley dan Vere-Jones 2003). Persamaan ini merupakan
persamaan non linear yang tidak mudah diselesaikan secara analitik
sehingga sering kali diselesaikan secara numerik.
Pada skripsi ini dibahas metode lain dalam menduga hazard rate
gempa yaitu metode single decrement (Darwis et al. 2009). Metode ini
diadaptasi dari metode pendugaan dalam studi aktuaria yang biasa
digunakan dalam pembuatan tabel mortalitas. Hasil studi kasus yang telah
dilakukan Sunusi (2010) menunjukkan bahwa pendugaan melalui metode
hazard rate single decrement lebih informatif daripada hazard rate
likelihood proses titik.
2
Perumusan Masalah
Pendugaan hazard rate dengan metode single decrement terdiri dari
dua sub metode yaitu dengan pendekatan likelihood dan pendekatan momen.
Dengan pendekatan likelihood dibutuhkan informasi exit time yaitu
informasi banyaknya kejadian gempa bumi setelah t0. Setelah diperoleh nilai
dugaan hazard rate, selanjutnya akan dirumuskan persamaan terbaik untuk
menduga nilai hazard rate. Persamaan terbaik tersebut merupakan
persamaan yang memberikan nilai Mean Square Error (MSE) terkecil.
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang
diperoleh langsung dari BMKG pusat di Jakarta. Data yang digunakan
adalah data gempa bumi di Aceh selama periode waktu 1980-2013. Analisis
data dilakukan dengan menggunakan Microsoft Excel 2013 dan beberapa
software statistika lainnya.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Menduga nilai hazard rate gempa dari data gempa bumi Aceh
tahun 1980-2012 dengan asumsi waktu tunggu menyebar linear
dan eksponensial.
2. Menentukan persamaan yang lebih baik untuk menduga hazard
rate dengan menggunakan asumsi persamaan linear, kuadratik,
dan kubik.
METODE PENDUGAAN HAZARD RATE SINGLE
DECREMENT (HRSD)
Hazard rate memegang peranan penting dalam hal prakiraan peluang
kemunculan kejadian dalam suatu interval waktu tertentu. Hal ini berkaitan
dengan pendugaan parameter yang terlibat di dalamnya. Metode Pendugaan
hazard rate single decrement didasari oleh pembuatan Tabel mortalitas di
bidang aktuaria. Metode ini terdiri dari dua sub metode yaitu metode
maksimum likelihood dan metode momen. Sebagaimana biasanya dalam
teori aktuaria, di dalam karya ilmiah ini hazard rate di titik disimbolkan
dengan �to.
Misalkan �
= –
menyatakan waktu tunggu hingga
kemunculan
gempa berikutnya, jika diketahui
waktu kemunculan
gempa yang pertama dan adalah waktu kemunculan kembali gempa
berikutnya. Sebagai ilustrasi, jika gempa yang pertama terjadi pada tahun
2010 dan gempa berikutnya terjadi pada tahun 2013 maka �
=
−
= 3 tahun.
Misalkan �, S, dan f berturut-turut menyatakan hazard rate, fungsi
ketahanan (survival function), dan fungsi kepekatan peluang. Hazard rate
� dapat dinyatakan sebagai
3
Misalkan
= lim
�
∆ →
=
�
≤ ≤ +∆
∆
| >
�
≈�
, maka persamaan (1) menjadi
� =
�
�
=−
�
=
�′
�
=−
− ln(
.
(1)
� ln �
�
.
).
(2)
Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (2) diperoleh
ln
Misalkan
∆
=
=
= −∫
=
+∆
�
[− ∫
+∆
�
, yaitu sesaat setelah terjadi gempa , maka
=�
>
+∆
|
>
=
[− ∫
].
∆
�
]
+
merupakan fungsi ketahanan. Prakiraan gempa diformulasikan sebagai
peluang bersyarat kemunculan gempa hingga
+ ∆ jika diberikan
informasi bahwa belum terjadi gempa hingga saat . Sebaran waktu
kemunculan kembali
dan waktu tunggu hingga kemunculan gempa
berikutnya �
masing-masing dinyatakan sebagai berikut (Bowers et al.
1986)
�
~∆
�
dan �~ ∆
+∆
.
Dalam ekspresi ini, ∆
� +∆ menyatakan peluang bahwa suatu
gempa muncul antara dan + ∆ jika diketahui belum terjadi gempa
hingga saat , dan
∞
�
= −∆
� +∆ .
� +∆ = ;
∫ ∆
∆
�
Pendugaan Likelihood dalam Single Decrement
Pendugaan hazard rate dengan pendekatan single decrement dengan
metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) membutuhkan informasi
exit time, yaitu waktu pada saat terjadi gempa. Misalkan
menyatakan
banyaknya gempa yang terjadi pada interval
, + ] dan
−
menyatakan banyaknya gempa yang terjadi setelah
+ . Likehood
untuk gempa ke-i pada interval � , � + ] diberikan oleh berikut jika
diketahui tidak terjadi gempa hingga saat .
�
=
� |
>
�
=
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
,
(3)
� + adalah waktu
yaitu kontribusi kempa ke-i pada L. Jika � =
kemunculan gempa ke-i dalam interval
, + ] dengan < � ≤ ,
maka
�
=
�
+ � �
�
+ �
=
�
�
+ �.
(4)
4
Kontribusi
Kontribusi
banyaknya gempa
pada
adalah ∏��= � �
−
yaitu banyaknya gempa yang muncul setelah
−�
+ �.
+
adalah ( )
. Dalam hal ini
merupakan banyaknya gempa yang
muncul saat atau setelah . Dengan demikian likelihood total adalah
=
�
−�
−
∏�=
+ �.
�
�
(5)
Untuk menyelesaikan persamaan (5) dibutuhkan asumsi bahwa
sebaran � � + � dapat dinyatakan dalam bentuk
. Berikut ini ditinjau
tiga kasus, yakni jika + yang merupakan banyak gempa setelah +
diasumsikan bersebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik yang
diperlukan untuk menyatakan � � + � . Jika sebaran � � + � diketahui
maka sebaran waktu tunggu � juga akan diketahui.
Asumsi Linear
Misalkan
= +
dan untuk = diperoleh + =
maka untuk = diperoleh =
= + −
= − . Sehingga diperoleh persamaan:
+ , =
+ −
+
dengan
peroleh
� −� y
Karena
�
=
=∑
=
�
�
−
� +�
�
+
+
=
+...+
=
y,
−
=
. Dari
−
−
(6)
= −
persamaan
=
maka persamaan (7) menjadi
.
(6)
kita
(7)
�
−
�
.
(8)
Sehingga dengan menggunakan asumsi linear diketahui bahwa:
�
+
=
−
�
�
� +�
−
=
� +�
�
=
�
+ �
=
− �
� −�
� +�
� +�
=
Jadi
�
��
−
.
=
�
�
=
.�
.
(9)
Substitusikan (7) dan (9) ke persamaan (5) diperoleh
=( −
)
=( −
)
= ( −
)
−�
−�
−�
∏�
∏�
∏�
�
�
− �
�
+
( −
�
)
5
=( −
−�
)
(
)
�
.
Misalkan l = ln =
−
ln −
+
ln
menggunakan syarat perlu optimalitas turunan orde pertama
�
�
−
ln
diperoleh
+
=
( −
�
−
� +� −
)
−�
−
=
�
=
�
̂ =
.
Selanjutnya dengan turunan orde dua diperoleh
ln
=−
=
(
�
)
−
−� ( −
(11)
( −
> . Akibatnya ̂ =
�
−�
) −
)
( −
−�
.
)
> ,( −
Persamaan (12) akan bernilai negatif karena
−
(10)
, maka dengan
(12)
) > , dan
merupakan maximum likelihood
. Selanjutnya nilai hazard rate dapat diperoleh dengan
estimation bagi
menggunakan persamaaan �̂ =
̂
−̂
. Setelah nilai hazard rate untuk
setiap titik diperoleh maka diduga persamaan untuk menduga nilai hazard
rate dengan menggunakan metode regresi.
Asumsi Eksponensial
Misalkan
maka
+
= , dan untuk
+
=
bersebaran eksponensial maka
=
(
=
maka
� +
�
) =
Telah kita ketahui bahwa
+
=
+
� +
�
=
,
−
dan
=
.
+
� +
�
. Untuk
. Jadi
(13)
=
. Sehingga
dengan menyubstitusikan persamaan ini ke persamaan (13) diperoleh
−
=
(
) ( )
+
(
)
=
=
=
=
� +�
�
−
(
=
−( −
=
)
=
−
) .
(14)
(15)
6
Nilai hazard rate � diperoleh dari persamaan berikut
�
−ln
=
+
−
=�
�
�
� +�
� +�
+
−�
=
.
�
� ln
�
(16)
Substitusikan persamaan (14) dan (16) ke persamaan (5) diperoleh
=
−�
−
=
�
�=
∏�
−�
∏�
�=
−�
= exp −�
= � � exp [−μ(
+ �
�
+
�=
�
�
�
�
−�
−
=
∏
�
+
� � exp −� ∑
�
) + ∑i= yi ].
−
�
(17)
Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan (17) diperoleh
−
ln � − � [(
= ln =
Syarat perlu orde pertama memberikan
)+∑
��
��
�
=
�
� ].
− [(
Sehingga diperoleh nilai dugaan hazard rate �̂ =
Selanjutnya karena turunan kedua l,
(18).
� �
��
(
)∑
−
�
�
−� )+∑i= yi
=−
�
�
.
�]
=0.
(19)
< 0 maka nilai �̂
yang diperoleh merupakan maximum likelihood estimation bagi �. Karena q
berkorespondensi 1-1 dengan � maka ̂ = − ̂ = − −� .
Asumsi Hiperbolik
Misalkan
+
=
+
Untuk y = 1,
� +
−
�
+
merupakan persamaan
yang hiperbolik maka
. Dengan mengambil nilai y = 0 diperoleh
+
=
+
↔
+
=
=
� +
. Sehingga diperoleh nilai
+
�
−
.
�
↔
=
. Dengan demikian diperoleh
+
=
+
�
�
.
=
(20)
7
Persamaan (19) dapat juga dinyatakan sebagai berikut
=
� +�
Selanjutnya
�
+
� +
−
=
�
+
� +
�
−
�
=
=
=
=
=
Dengan demikian
=
.
+
(21)
�
=
� +�
−
+ −
(
� +
+
+
−
�
)
)
+( −
+
.
(22)
(23)
Fungsi hazard rate diperoleh dari persamaan berikut:
�
=
+
−� �
��
=(
�
)+
−
=
+
+
=
+
=
Misalkan
+
−
−
+
+
+
=
− −
=
=
( −
( − −
.
.
+
)
)
(24)
.
(25)
, maka persamaan (24) akan menjadi
�
+
=
−
.
(26)
+ ⋯ ,maka dari persamaan (26) diperoleh
+ + +⋯ .
� + =
=( +
+
+⋯)
+ ⋯.
=
+ −
+ −
Jika suku-suku kuadrat dan setelahnya diabaikan, maka
� + ≈
.
(27)
Persamaan (27) menunjukkan bahwa � + dapat dihampiri
yang
merupakan peluang munculnya kejadian pada interval
, + ] dimana
diketahui belum ada kejadian hingga saat .
Karena
=
=
�
− −
Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh
�
�
Pendugaan Momen dalam Single Decrement
Pendugaan nilai hazard rate dengan menggunakan metode momen
membutuhkan dua tahapan. Tahap pertama adalah menentukaan suatu
ekspresi tentang banyaknya kejadian dalam interval
, + ]. Kemudian
tahap kedua adalah menyelesaikan persamaan momen. Prinsip yang
digunakan dalam menyelesaikan persamaan momen adalah prinsip statistik,
8
yaitu banyaknya kejadian yang diharapkan sama dengan banyaknya
kejadian yang diobservasi.
Misalkan kemunculan gempa ke-i yang masuk dalam interval
pendugaan
, + ] terjadi pada + � dengan 0 < � < , dan gempa
berikutnya terjadi pada + � . Maka ( , � ) merupakan interval waktu
kemunculan dua gempa pada periode
, + ]. Untuk kemunculan gempa
ke-i, jika peluang terjadinya satu kejadian gempa adalah � − � + � dan
peluang tidak terjadi gempa adalah � − � + � , maka peluang bersyarat
terjadi gempa sebelum
+ � jika diketahui belum terjadi gempa hingga
+ � adalah
.
�− �
+ � +0. � − �
+ �
=
�− �
+ �.
(28)
Berdasarkan persamaan (28) diperoleh total banyaknya kejadian gempa
adalah ∑�= � − � + � . Selanjutnya diperoleh persamaan momen sebagai
berikut:
(29)
[ ] = ∑�= � − � + � =
merupakan peubah acak untuk kemunculan gempa dalam
di mana
merupakan banyaknya amatan pada
, + ].
, + ] dan
, digunakan aproksimasi
Untuk estimasi
.
+ � ≈
�− �
�− �
∑�= � − � = .
Sehingga persamaan (29) menjadi
[ ]=
Dengan demikian diperoleh
̂ =
.
∑�= � − �
Untuk waktu tunggu yang menyebar eksponensial, maka fungsi hazard rate
bernilai konstan dengan �
= � untuk setiap . Diketahui bahwa
−� +
+
= −�
= −� ,
=
maka � = −ln
atau
= −� . Karena itu, diperoleh ̂ =
Dengan demikian, �̂ = −ln −
.
−
̂
−�
.
Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate
Dalam karya ilmiah ini contoh aplikasi dari pendugaan nilai dan
persamaan hazard rate ditentukan dari data yang diperoleh langsung dari
BMKG pusat di Jakarta. Adapun data yang digunakan untuk perhitungan
merupakan data gempa di wilayah Aceh dalam interval waktu 1980-2013
yang memiliki kekuatan gempa lebih dari atau sama dengan 5 SR (Data
terlampir).
9
Berikut ditampilkan plot magnitudo terhadap waktu dan plot lokasi
terjadinya gempa untuk area studi.
Gambar 1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi.
Gambar 2. Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi.
Selanjutnya ditentukan nilai hazard rate dengan menggunakan metode
single decrement pendekatan likelihood. Kita ketahui dalam pendekatan
likelihood dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu terjadinya gempa.
Dalam aplikasi ini asumsi sebaran waktu tunggu yang dibahas adalah
asumsi waktu tunggu menyebar linear dan menyebar eksponensial. Maka
dengan menggunakan persamaan hazard rate yang telah dirumuskan
sebelumnya diperoleh nilai hazard rate sebagai berikut:
10
Tabel 1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui
Belum Terjadi Gempa Hingga Saat .
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Interval
(0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(4,6]
(6,7]
(7,8]
(8,9]
(9,10]
(10,11]
(11,12]
(12,13]
(13,14]
(14,15]
(15,16]
(16,17]
(17,18]
(18,19]
(19,20]
(20,21]
(21,22]
(22,23]
(23,24]
(24,25]
(25,26]
(26,27]
(27,28]
(28,29]
(29,30]
(30,31]
(31,32]
(32,33]
Tahun
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
��
2
2
6
8
4
4
4
6
4
8
15
9
2
5
5
6
5
4
0
6
7
5
15
9
46
142
37
28
25
13
1
13
16
��
490
488
486
480
472
468
464
460
454
450
442
427
418
416
411
406
400
395
391
391
385
378
373
358
349
303
161
124
96
71
58
40
27
��
0.0041
0.0041
0.0123
0.0167
0.0085
0.0085
0.0086
0.0130
0.0088
0.0178
0.0339
0.0211
0.0048
0.0120
0.0122
0.0148
0.0125
0.0101
0.0000
0.0153
0.0182
0.0132
0.0402
0.0251
0.1318
0.4686
0.2298
0.2258
0.2604
0.1831
0.3103
0.3250
0.5926
Keterangan:
: banyaknya gempa yang terjadi pada saat atau setelah .
: banyaknya gempa yang terjadi pada interval
, + ].
: peluang munculnya kejadian gempa pada interval
,
diketahui belum ada gempa hingga saat .
� : hazard rate gempa sesaat setelah .
��
0.0041
0.0041
0.0125
0.0169
0.0085
0.0086
0.0087
0.0132
0.0089
0.0181
0.0351
0.0215
0.0048
0.0122
0.0123
0.0150
0.0127
0.0102
0.0000
0.0156
0.0185
0.0134
0.0419
0.0258
0.1518
0.8820
0.2984
0.2917
0.3521
0.2241
0.4500
0.4815
1.4545
+ ] jika
11
Tabel 2. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran
Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika
Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat .
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Interval
(0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(4,6]
(6,7]
(7,8]
(8,9]
(9,10]
(10,11]
(11,12]
(12,13]
(13,14]
(14,15]
(15,16]
(16,17]
(17,18]
(18,19]
(19,20]
(20,21]
(21,22]
(22,23]
(23,24]
(24,25]
(25,26]
(26,27]
(27,28]
(28,29]
(29,30]
(30,31]
(31,32]
(32,33]
Tahun
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
∑
�
�=
��
0.965753
0.806849
2.112329
3.076712
1.763014
1.738356
2.178082
3.594521
1.910959
6.287671
9.279452
3.361644
1.327397
2.780822
2.313699
3.184932
3.564384
2.068493
0
2.306849
3.675342
3.42191
8.19726
5.076712
45.59452
50.42877
16.20959
15.36301
8.389041
5.910959
8.906849
3.690411
6.2
�� − ��
488
486
480
472
468
464
460
454
450
442
427
418
416
411
406
400
395
391
391
385
378
373
358
349
303
161
124
96
71
58
40
27
11
��
2
2
6
8
4
4
4
6
4
8
15
9
2
5
5
6
5
4
0
6
7
5
15
9
46
142
37
28
25
13
18
13
16
��
0.0041
0.0041
0.0123
0.0166
0.0084
0.0085
0.0086
0.0129
0.0088
0.0175
0.0332
0.0209
0.0048
0.0119
0.0121
0.0147
0.0124
0.0101
0
0.0153
0.0180
0.0131
0.0393
0.0248
0.1166
0.4018
0.2088
0.2009
0.2395
0.1690
0.2690
0.2975
0.4819
��
0.0041
0.0041
0.0124
0.0168
0.0085
0.0086
0.0087
0.0131
0.0089
0.0178
0.0344
0.0214
0.0048
0.0121
0.0122
0.0149
0.0125
0.0102
0
0.0155
0.0183
0.0133
0.0410
0.0254
0.1320
0.6716
0.2639
0.2514
0.3149
0.2034
0.3680
0.4236
0.9302
Keterangan
EE
: Total eksposure,
=(
−
) + ∑�= � .
: Banyaknya gempa yang terjadi pada interval
, + ].
−
: Banyaknya gempa yang terjadi setelah + .
: Peluang munculnya kejadian gempa pada interval , + ] jika
diketahui belum ada gempa hingga saat .
12
Gambar 3. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi
waktu tunggu menyebar linear.
Gambar 4. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi
waktu tunggu menyebar eksponensial.
Hasil pada Tabel 1 dan Tabel 2 berturut-turut merupakan nilai hazard
rate dengan asumsi waktu tunggu tunggu menyebar linear dan menyebar
eksponensial pada waktu t0 yang dinotasikan dengan simbol µ t0. Untuk
menduga persamaan regresi dari hazard rate dibutuhkan sifat bahwa
hazard rate harus menyebar normal. Akan tetapi menurut hasil QQ-plot dari
hazard rate pada Tabel 1 dan Tabel 2 menunjukkan bahwa hazard rate
tidak menyebar normal, sehingga perlu dilakukan normalisasi untuk nilai
13
hazard rate ini dengan terlebih dahulu menghilangkan nilai hazard rate
yang bersifat pencilan.
Dengan melakukan transformasi Box-Cox pada nilai hazard rate dari
Tabel 1 dan Tabel 2 diperoleh nilai λ berturut-turut -0.5 dan -0.5. Artinya
transformasi yang dilakukan adalah μ∗ = μ − . untuk hazard rate
dengan waktu tunggu menyebar linear dan μ∗ = μ − . untuk hazard
rate dengan waktu tunggu menyebar eksponensial. Sehingga diperlukan
transformasi balik agar diperoleh nilai dugaan hazard rate yang diinginkan.
Transformasi balik yang dilakukan adalah μ = μ∗ − = ∗ .
µ
Proses penentuan model parametrik untuk HRSD dilakukan dengan
metode regresi untuk nilai hazard rate tersebut dengan menggunakan model
+ �,
linear μ∗ = � + � + � , model kuadratik μ∗ = � + � + �
∗
dan model kubik μ = � + � + �
+�
+ �.
Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 1 diperoleh model
∗
parametrik μ̂
= .
− .
untuk model linear dengan
=
.
. Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh
∗
model μ̂
= .
− .
− .
dengan
=
.
. Akan
tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik
∗
diperoleh model parametrik μ̂
= .
− .
+ .
− .
dengan
=
.
. Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut
hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa model kubik merupakan model yang lebih baik untuk
menduga nilai hazard rate pada Tabel 1 karena menghasilkan nilai MSE
terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1.
Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga
hazard rate untuk Tabel 1 dimana waktu tunggu bersebaran linear adalah
. Jika model ini diasumsikan dapat
μ̂ =
.
− .9 9 + .
− .
memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model
parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate
untuk tahun 2014 adalah μ̂ =
=
.
− .9 9
+ .
− .
.
. Artinya dugaan tingkat terjadinya gempa ada tahun 2014 adalah
sebesar 0.00151.
Tabel 3. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 1.
MSE
Persamaan
∗
μ̂
=
∗
μ̂
=
∗
̂
μ =
.
.
.
− .
− .
− .
− .
− .
+ .
.
.
.
Uji Nyata Regresi
(� = . )
Nyata
Tidak nyata
Nyata
14
Gambar 5. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1
yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan
kubik.
Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 2 diperoleh model
∗
parametrik μ̂
= .
− .
untuk model linear dengan
=
.
. Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh
∗
model μ̂
= .
− .
− .
dengan
=
.
. Akan
tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata
koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik
∗
diperoleh model parametrik μ̂
= .
+ .
− .
− .
dengan
=
.
Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut
hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa model kubik merupakan model yang lebih baik untuk
menduga nilai hazard rate pada Tabel 2 karena menghasilkan nilai MSE
terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1.
Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga
hazard rate untuk Tabel 2 dimana waktu tunggu bersebaran eksponensial
. Jika model ini diasumsikan
adalah μ̂ =
.
+ .9
− .
− .
dapat memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model
parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate
untuk tahun 2014 adalah μ̂ =
=
.
+ .9
− .
− .
.
. Artinya dugaan tingkat terjadinya gempa ada tahun 2014 adalah
sebesar 0.00939.
15
Tabel 4. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 2.
MSE
Persamaan
∗
μ̂
=
∗
̂
μ = .
∗
μ̂
=
.
.
.
.
− .
− .
− .
+ .
− .
.
− .
Uji Nyata Regresi
(� = . )
Nyata
Tidak nyata
Nyata
Gambar 6. Kurva perbandingan pendugaan model hazard rate Tabel 2 yang
telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
SIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode untuk menentukan
nilai hazard rate proses titik temporal. Metode yang digunakan adalah
metode single decrement. Metode single decrement ini merupakan metode
yang didasarkan pada teori aktuaria. Pendugaan hazard rate dengan metode
single decrement dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu pendekatan
likelihood dan pendekatan momen.
Dengan menggunakan pendekatan likelihood, dibutuhkan asumsi
sebaran waktu tunggu terjadinya gempa. Sebaran waktu tunggu terjadinya
gempa yang digunakan adalah sebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik.
Jika sebaran waktu tunggu adalah linear maka dugaan hazard rate
̂
�
̂
, dan ̂ =
dengan
�
dapat dirumuskan menjadi �̂ =
−̂
̂ menyatakan dugaan peluang terjadinya gempa pada interval
, +
] jika diasumsikan belum terjadi gempa hingga ,
menyatakan
16
banyaknya kejadian gempa pada interval
, + ], serta
menyatakan
banyaknya kejadian gempa tepat atau setelah .
Jika sebaran waktu tunggu adalah eksponensial maka dugaan hazard
�
, dengan
rate ̂
�
dapat dirumuskan menjadi �̂ =
�
(
−� )+∑i= yi
menyatakan banyaknya kejadian gempa pada interval
, + ],
(
−
) menyatakan banyaknya kejadian gempa setelah + , dan yi
adalah bilangan yang menyatakan waktu kemunculan gempa ke-i setelah ,
dalam hal ini < � < . Sedangkan jika sebaran waktu tunggu adalah
hiperbolik maka dugaan hazard rate � + ≈
, akan tetapi belum
diperoleh solusi analitik untuk menentukan
.
Perhitungan hazard rate menggunakan data gempa di Aceh periode
waktu 1980-2013 dengan kekuatan gempa lebih dari atau sama dengan 5 SR.
Pendugaan nilai hazard rate dilakukan dengan menggunakan pendekatan
likelihood dimana menggunakan asumsi waktu tunggu yang menyebar
linear dan eksponensial. Dari hasil perhitungan yang dilakukan diperoleh
model yang lebih baik dalam menduga persamaan adalah model kubik.
Model yang diperoleh ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate
secara akurat.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers, N.L, Gerber, H.U, Hickman, J.C, Jones, D.A, and Nesbitt, C.J.
1986. Actuarial Mathematics : The Society of Actuaries.
Daley, D.J. dan Vere-Jones, D. 2003: An Introduction to the Teory of Point
Processes. Berlin: Springer.
Darwis, S, Sunusi, N., Triyoso, W., dan Mangku, I.W. 2009. Single
Decrement Approach for Estimating Eartquake Hazard Rate, Advance
and Applications in Statistics, 11(2), 229-27.
Firmansyah, J. and Irsyam, M. 1999. Development of Seismic Hazard Map
for Indonesia: Konferensi Nasional Rekayasa Kegempaan.
Sunusi, N. 2010. Pengembangan Estimasi Hazard Rate Proses Titik
Temporal dan Aplikasinya pada Prakiraan Kemunculan Gempa
[Disertasi]. Bandung : Institut Teknologi Bandung.
17
LAMPIRAN
Lampiran 1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun 1980-2013 dengan
magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR.
Date
OT (UTC)
Lat
Lon
1/04/1980
16/09/1980
10/02/1981
16:21:48
15:23:45
18:42:41
4.03
3.90
3.98
97.56
95.63
97.23
Depth
(Km)
41
40
121
10/09/1981
13/02/1982
24/02/1982
7/03/1982
22/03/1982
3/08/1982
31/10/1982
30/01/1983
16/03/1983
4/04/1983
4/04/1983
4/04/1983
2/07/1983
17/09/1983
9/10/1983
11/04/1984
29/05/1984
13/06/1984
11/08/1984
21/03/1985
21/03/1985
5/07/1985
8/10/1985
29/04/1986
14/06/1986
8/09/1986
12/09/1986
24/02/1987
17/05/1987
10/06/1987
14/10/1987
17/11/1987
14:17:43
19:56:12
04:22:40
14:08:15
08:38:33
08:44:44
02:48:13
01:26:05
09:13:11
06:59:00
03:03:34
02:51:34
09:34:04
05:56:56
04:51:19
13:51:10
04:36:09
13:28:12
11:56:49
07:48:40
08:18:38
23:10:14
07:14:06
13:59:21
14:51:03
02:39:52
00:11:48
14:52:49
12:11:09
16:03:55
23:30:25
08:38:30
5.45
5.68
4.37
3.72
2.47
2.86
2.97
5.45
3.48
5.63
5.79
5.72
5.75
4.75
5.70
5.74
3.57
4.44
5.99
6.24
6.45
5.72
3.95
4.41
2.04
4.42
2.91
4.29
3.02
4.14
4.03
5.20
95.35
94.79
97.75
97.42
97.02
97.49
96.10
94.94
95.79
94.68
94.75
94.72
94.71
95.04
94.60
94.75
97.14
94.91
95.24
94.73
94.86
95.50
96.03
94.96
98.00
96.37
96.13
95.16
97.12
94.81
95.38
94.36
102
71
52
124
39
58
62
82
43
79
69
78
92
66
33
83
70
42
131
33
33
10
64
38
66
39
36
49
73
52
58
56
Mag (SR)
6.2
5.2
5.1
5.0
5.3
5.4
5.0
5.3
5.0
5.5
5.2
5.2
5.0
5.9
6.8
5.7
5.8
5.0
5.2
5.8
5.1
5.4
5.0
5.2
5.8
5.1
5.2
5.4
5.2
5.0
5.1
5.1
5.4
5.1
5.1
18
Lanjutan Lampiran 1
10/12/1987 07:22:44
5/01/1988
08:48:06
3/04/1988
14:27:09
22/08/1988 18:25:00
27/12/1988 13:50:41
24/02/1989 13:38:48
20/07/1989 06:27:25
30/07/1989 19:14:37
2/08/1989
10:24:21
2/08/1989
10:48:06
13/11/1989 15:54:40
21/12/1989 16:40:09
21/12/1989 08:08:04
22/01/1990 17:26:11
29/01/1990 20:34:20
22/02/1990 12:51:43
23/05/1990 16:07:44
26/06/1990 07:14:20
31/07/1990 18:25:50
12/09/1990 09:42:27
2/10/1990
13:27:06
13/10/1990 20:15:13
15/11/1990 05:47:22
15/11/1990 05:18:45
15/11/1990 04:48:12
15/11/1990 02:34:32
18/11/1990 16:06:54
18/11/1990 16:23:06
5/01/1991
15:45:00
8/01/1991
21:06:35
13/01/1991 10:13:14
17/02/1991 03:19:17
23/07/1991 13:25:47
6/08/1991
02:17:31
24/08/1991 00:05:57
25/08/1991 05:00:59
8/09/1991
18:20:10
14/06/1992 10:41:52
13/11/1992 16:01:03
20/01/1993 02:30:54
15/08/1993 03:06:07
1/09/1993
14:36:27
1/09/1993
14:03:19
3.37
2.59
4.69
4.70
4.80
3.15
5.05
4.70
2.77
2.71
4.70
3.10
3.25
3.88
6.10
5.66
4.92
4.55
3.81
4.31
3.73
4.28
3.92
3.91
3.98
3.91
3.88
3.94
5.33
2.24
5.83
2.64
3.78
3.83
3.78
5.65
6.19
4.82
2.40
3.14
5.40
2.89
2.99
96.40
96.13
94.42
96.20
95.21
96.25
95.64
95.91
96.14
96.10
94.50
96.24
96.40
96.10
94.68
94.23
94.47
95.24
95.37
96.46
95.79
95.30
97.35
97.29
97.32
97.46
97.36
97.34
94.14
97.06
94.75
96.12
95.93
95.37
95.21
94.12
94.83
94.26
96.27
97.63
94.64
96.20
96.12
52
56
30
43
56
58
82
22
28
22
56
21
21
45
98
56
51
59
29
33
59
76
48
53
30
48
61
67
36
33
66
23
46
18
33
44
29
34
33
67
38
46
34
5.2
5.1
5.9
5.0
5.3
5.0
5.9
5.2
5.1
5.9
5.2
5.3
5.6
6.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.3
5.0
5.0
5.0
5.4
5.6
5.8
6.8
5.2
5.7
5.1
5.2
5.0
5.4
5.8
6.0
5.1
5.2
5.0
5.0
5.8
6.2
5.1
5.3
6.5
19
Lanjutan Lampiran 1
2/10/1993
10:30:17
7/01/1994
11:05:22
11/02/1994 07:56:55
13/06/1994 14:16:49
31/10/1994 11:48:13
20/11/1994 18:34:34
14/03/1995 10:27:30
2/06/1995
23:29:07
3/06/1995
11:57:31
30/06/1995 16:29:21
24/09/1995 20:19:59
22/11/1995 13:27:52
22/07/1996 15:49:07
13/09/1996 05:04:35
21/09/1996 17:04:20
10/10/1996 15:21:04
15/10/1996 08:02:57
27/04/1997 17:37:19
11/06/1997 19:12:28
20/08/1997 07:15:15
26/08/1997 13:17:26
4/02/1999
19:28:00
15/02/1999 05:46:12
24/02/1999 07:20:48
22/06/1999 07:11:35
21/07/1999 13:46:29
24/11/1999 19:51:38
10/03/2000 21:32:12
3/04/2000
19:02:29
19/07/2000 07:11:09
17/08/2000 18:40:09
29/08/2000 07:14:48
4/09/2000
17:25:59
9/09/2000
06:01:53
31/03/2001 02:26:33
12/08/2001 12:06:09
12/10/2001 09:34:55
31/10/2001 22:04:32
4/12/2001
07:19:25
22/01/2002 20:15:06
24/01/2002 17:56:21
24/01/2002 15:24:05
24/01/2002 17:52:25
4.76
4.84
4.83
4.10
3.02
4.33
3.05
3.43
2.97
3.73
3.46
3.09
5.76
2.78
5.85
3.44
3.01
4.61
2.88
4.36
6.45
4.03
4.93
3.37
4.80
4.57
5.94
4.74
2.49
4.25
5.77
3.11
4.17
6.42
4.05
6.32
3.25
5.36
3.72
3.49
3.52
3.51
3.54
94.96
96.40
95.18
94.86
96.19
97.59
95.85
96.41
96.17
95.38
97.27
95.92
95.25
96.07
95.17
97.94
96.22
96.14
97.33
96.49
94.60
95.28
95.85
96.04
94.45
97.21
94.43
96.01
97.22
96.21
94.75
96.44
94.92
95.46
96.09
94.77
96.12
94.36
97.79
95.63
95.66
95.61
95.66
69
173
97
33
29
153
30
40
30
54
35
21
33
33
33
33
33
33
57
33
114
55
33
33
33
175
62
33
33
33
68
33
33
229
50
33
35
33
139
33
33
33
33
5.3
5.4
5.0
5.0
6.4
6.3
6.0
5.0
5.3
5.2
5.1
6.2
5.0
5.8
5.8
6.5
5.2
5.0
6.0
6.3
5.7
6.3
6.0
5.9
5.0
5.9
5.0
6.0
5.0
5.8
6.1
5.0
5.7
6.1
5.1
6.0
5.0
6.1
5.1
5.3
5.2
5.3
5.6
20
Lanjutan Lampiran 1
24/01/2002 18:12:05
25/01/2002 14:05:58
24/10/2002 21:53:43
2/11/2002
01:56:53
2/11/2002
01:45:35
2/11/2002
01:38:20
2/11/2002
09:46:46
2/11/2002
01:26:10
13/11/2002 15:53:09
30/11/2002 04:07:09
27/12/2002 13:28:36
22/01/2003 02:58:51
2/02/2003
06:17:44
28/06/2003 07:36:42
21/08/2003 16:13:41
5/09/2003
01:23:02
10/09/2003 08:26:59
13/09/2003 20:42:22
15/09/2003 12:14:33
29/12/2003 15:05:19
26/12/2004 21:25:33
26/12/2004 08:02:35
26/12/2004 13:44:08
26/12/2004 05:42:49
26/12/2004 07:11:40
26/12/2004 10:55:07
26/12/2004 14:11:28
26/12/2004 03:30:01
26/12/2004 05:23:51
26/12/2004 08:47:47
26/12/2004 03:50:22
26/12/2004 03:26:46
26/12/2004 16:21:27
26/12/2004 04:02:12
26/12/2004 06:28:48
26/12/2004 03:22:57
26/12/2004 01:17:10
26/12/2004 03:19:13
26/12/2004 16:55:17
26/12/2004 21:06:49
26/12/2004 03:40:16
26/12/2004 19:03:49
26/12/2004 01:48:52
3.53
3.48
6.03
2.59
2.64
2.67
2.95
2.82
3.01
2.89
4.11
4.49
4.00
2.77
2.26
5.32
2.08
4.62
2.59
4.15
4.75
5.34
3.97
5.49
4.81
4.26
3.67
4.64
3.35
4.86
5.51
4.91
5.15
3.04
4.96
5.82
4.94
3.55
3.86
4.47
5.53
4.09
5.43
95.66
95.68
94.42
95.89
96.25
95.90
96.39
96.08
96.09
96.21
97.72
97.57
95.43
95.76
96.53
95.90
96.82
97.65
96.07
94.71
94.85
94.48
94.39
94.29
94.97
95.13
94.02
94.00
94.09
95.10
94.25
96.40
94.32
95.89
94.79
95.09
94.27
94.29
94.50
96.34
94.33
94.22
94.46
33
33
64
33
33
23
27
30
39
33
138
33
80
33
33
124
33
33
33
33
30
34
31
30
35
30
30
25
18
50
48
30
41
30
30
20
30
30
30
30
30
30
51
6.1
5.0
6.2
5.0
5.2
5.2
6.5
7.3
6.0
5.2
5.7
5.7
5.2
5.2
5.1
5.9
5.8
5.3
5.1
5.1
5.0
5.1
5.1
5.1
5.2
5.2
5.2
5.2
5.2
5.3
5.3
5.3
5.4
5.4
5.4
5.4
5.5
5.5
5.5
5.5
5.6
5.6
5.7
21
Lanjutan Lampiran 1
26/12/2004 02:34:52
26/12/2004 02:59:14
26/12/2004 03:51:12
26/12/2004 04:02:56
26/12/2004 03:24:55
26/12/2004 13:56:40
26/12/2004 01:25:49
26/12/2004 15:06:33
26/12/2004 19:19:55
26/12/2004 00:58:53
27/12/2004 02:53:03
27/12/2004 16:18:12
27/12/2004 11:58:36
27/12/2004 08:11:02
27/12/2004 01:22:24
27/12/2004 08:21:40
27/12/2004 18:09:34
27/12/2004 06:59:15
27/12/2004 07:47:35
27/12/2004 10:05:05
27/12/2004 20:10:51
27/12/2004 00:32:16
27/12/2004 09:39:07
17/01/2005 02:53:40
19/01/2005 17:32:31
22/01/2005 09:24:33
22/01/2005 11:07:29
22/01/2005 12:58:32
22/01/2005 09:18:06
23/01/2005 06:16:04
23/01/2005 20:36:08
24/01/2005 17:59:23
24/01/2005 00:39:20
25/01/2005 09:54:22
26/01/2005 23:43:29
26/01/2005 16:50:09
26/01/2005 22:00:42
27/01/2005 20:09:52
29/01/2005 02:55:20
29/01/2005 18:20:59
31/01/2005 06:45:44
1/02/2005
17:14:05
1/02/2005
14:15:49
3.99
3.18
5.05
4.98
4.47
2.78
5.50
3.65
2.79
3.30
5.36
4.82
4.83
5.48
3.35
5.52
2.75
3.03
2.71
4.72
2.93
5.48
5.35
3.87
4.70
3.60
3.58
4.91
3.63
2.60
2.71
4.75
4.70
5.45
5.34
3.24
2.70
5.51
5.07
5.51
4.05
2.80
5.18
94.14
94.38
94.77
94.72
94.07
94.47
94.21
94.09
94.16
95.98
94.32
94.26
94.82
94.13
94.89
94.61
94.63
95.54
94.51
95.11
95.61
94.47
94.65
95.92
95.16
94.09
94.16
94.86
94.14
94.39
94.34
94.81
96.13
94.67
94.33
96.28
94.60
94.31
94.71
94.32
96.76
94.23
94.56
30
30
30
47
26
30
30
17
30
30
46
38
30
19
47
51
42
27
23
49
28
33
35
42
30
30
30
30
30
27
26
48
19
30
47
35
22
30
46
30
30
26
24
5.7
5.7
5.7
5.8
5.8
5.9
6.1
6.1
6.2
9.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.1
5.3
5.3
5.6
5.6
5.8
5.8
6.1
6.2
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.1
5.0
5.2
5.1
5.3
5.1
5.1
5.1
6.2
5.6
5.2
5.4
5.1
5.2
5.6
22
Lanjutan Lampiran 1
2/02/2005
09:04:28
4/02/2005
06:57:09
5/02/2005
04:09:54
5/02/2005
04:03:14
9/02/2005
01:02:26
9/02/2005
13:27:25
13/02/2005 02:02:08
13/02/2005 01:22:09
17/02/2005 05:31:28
18/02/2005 19:33:46
19/02/2005 03:23:39
19/02/2005 14:23:52
23/02/2005 02:42:11
24/02/2005 07:35:50
25/02/2005 20:40:31
26/02/2005 12:56:53
3/03/2005
17:10:22
11/03/2005 08:00:50
12/03/2005 22:33:14
13/03/2005 22:12:46
16/03/2005 06:39:48
17/03/2005 23:20:49
19/03/2005 03:01:17
25/03/2005 01:04:53
28/03/2005 17:03:34
28/03/2005 23:44:45
28/03/2005 16:58:36
28/03/2005 19:54:01
28/03/2005 18:50:14
28/03/2005 18:48:53
28/03/2005 16:34:40
28/03/2005 23:39:48
28/03/2005 16:44:30
28/03/2005 23:37:31
28/03/2005 16:09:37
29/03/2005 20:41:38
29/03/2005 14:16:06
29/03/2005 10:56:54
29/03/2005 05:25:25
29/03/2005 05:16:30
30/03/2005 17:29:22
30/03/2005 16:19:41
31/03/2005 14:27:27
5.27
2.72
2.33
2.26
2.28
4.80
5.07
5.08
4.70
5.45
5.04
2.33
2.88
2.89
2.74
2.91
3.12
2.29
5.48
5.49
5.44
4.86
4.00
5.49
2.04
2.86
2.28
2.47
2.39
2.75
2.34
2.91
2.09
2.89
2.09
2.35
2.55
2.23
2.14
2.65
2.93
2.99
5.11
94.50
95.75
95.07
94.99
95.16
95.12
94.80
94.79
95.16
94.42
94.44
95.29
95.46
95.73
94.26
95.59
95.73
95.07
94.69
94.60
94.43
95.09
95.67
94.37
96.46
96.35
96.18
96.76
97.16
96.05
96.60
96.39
96.50
96.41
97.11
97.33
96.07
96.49
96.63
96.58
95.42
95.41
94.58
45
24
30
30
28
44
51
48
47
48
40
27
25
30
28
36
26
29
59
52
30
60
48
39
30
27
30
26
30
30
28
28
30
29
30
30
24
26
26
30
25
22
30
5.2
5.0
5.1
6.0
5.0
6.0
5.5
5.7
5.9
5.8
5.0
5.0
5.1
5.6
5.1
6.8
5.0
5.1
5.2
5.5
5.3
5.7
5.2
5.9
5.0
5.0
5.1
5.1
5.2
5.4
5.4
5.4
5.5
5.6
8.6
5.1
5.1
5.2
5.3
5.9
5.7
6.3
5.0
23
Lanjutan Lampiran 1
31/03/2005 08:30:27
1/04/2005
05:55:56
1/04/2005
07:40:27
1/04/2005
14:50:41
1/04/2005
14:18:08
1/04/2005
10:37:46
2/04/2005
16:24:14
3/04/2005
11:16:46
3/04/2005
12:21:20
3/04/2005
03:10:56
4/04/2005
19:37:10
5/04/2005
13:01:55
10/04/2005 10:27:57
11/04/2005 09:53:37
11/04/2005 09:04:31
11/04/2005 06:11:12
15/04/2005 13:08:54
19/04/2005 15:10:15
23/04/2005 10:31:45
25/04/2005 03:18:31
28/04/2005 14:07:34
3/05/2005
07:29:10
4/05/2005
00:44:51
4/05/2005
05:58:54
5/05/2005
01:14:47
9/05/2005
01:30:52
12/05/2005 23:47:30
12/05/2005 16:04:24
21/05/2005 23:01:16
24/05/2005 09:37:57
25/05/2005 14:42:15
28/05/2005 06:23:31
31/05/2005 07:28:05
31/05/2005 02:29:31
8/06/2005
06:28:11
11/06/2005 17:36:56
13/06/2005 02:26:51
13/06/2005 19:59:53
17/06/2005 21:26:03
17/06/2005 02:37:39
20/06/2005 07:38:35
20/06/2005 18:50:40
24/06/2005 21:45:12
2.52
2.26
2.29
2.70
2.17
2.87
2.89
2.80
2.97
2.02
4.77
2.41
2.86
2.10
2.08
2.17
2.93
2.36
2.75
3.03
2.13
2.46
3.05
4.71
5.23
5.10
2.42
5.06
5.28
2.65
2.91
2.04
5.46
5.24
2.17
2.12
2.74
2.74
2.14
5.62
2.30
4.95
4.81
96.18
96.43
96.37
97.09
96.69
96.39
96.40
95.89
96.28
97.94
94.82
96.30
95.34
96.85
96.83
96.76
96.33
96.30
95.99
94.07
96.80
95.88
96.38
94.87
94.27
94.84
96.27
94.47
94.80
94.53
95.60
96.67
94.65
94.43
96.72
96.60
95.64
94.17
96.80
94.75
96.35
94.75
95.15
25
30
30
30
28
26
28
30
30
36
49
30
24
28
26
24
26
26
32
25
22
21
40
46
30
30
22
30
55
30
24
24
53
30
23
24
22
18
27
57
30
30
52
5.0
5.0
5.1
5.1
5.1
5.4
5.1
5.0
5.1
6.3
5.2
5.0
5.4
5.0
5.5
6.1
5.4
5.0
5.2
5.0
6.2
5.0
5.2
5.3
5.1
5.5
5.0
5.2
5.9
5.2
5.1
5.0
5.0
5.5
6.1
5.1
5.0
5.9
5.3
5.4
5.0
5.0
5.3
24
Lanjutan Lampiran 1
5/07/2005
07:57:29
21/07/2005 01:42:44
22/07/2005 09:50:08
23/07/2005 00:44:57
23/07/2005 22:53:35
27/07/2005 13:57:13
28/07/2005 02:43:59
30/07/2005 15:13:20
2/08/2005
20:56:36
5/08/2005
13:21:31
17/08/2005 07:43:48
28/08/2005 14:09:18
28/08/2005 04:43:41
31/08/2005 07:20:20
1/09/2005
16:42:39
3/09/2005
21:00:04
10/09/2005 16:57:47
16/09/2005 17:19:27
20/09/2005 15:00:00
22/09/2005 12:30:08
29/09/2005 18:12:26
3/10/2005
22:09:26
4/10/2005
12:23:25
5/10/2005
08:46:42
11/10/2005 15:05:40
16/10/2005 19:03:23
26/10/2005 00:39:33
27/10/2005 04:16:29
28/10/2005 03:07:35
28/10/2005 17:23:29
19/11/2005 06:38:55
19/11/2005 14:09:21
19/11/2005 14:10:13
5/12/2005
04:46:49
6/12/2005
05:40:11
18/12/2005 04:23:10
1/01/2006
08:47:13
13/01/2006 14:47:30
31/01/2006 19:15:51
6/02/2006
07:05:02
13/02/2006 12:05:43
13/02/2006 09:32:09
26/02/2006 21:32:49
2.26
4.34
2.43
5.46
5.11
2.64
2.73
5.18
5.25
2.16
2.01
4.39
5.55
5.36
5.07
4.75
4.86
2.43
4.51
3.98
5.22
5.54
5.56
5.23
4.82
2.03
4.03
2.74
2.31
2.36
2.82
2.03
2.16
3.40
2.39
2.84
4.74
4.87
2.70
2.22
2.41
2.86
5.61
95.06
96.27
97.14
94.42
94.80
96.02
95.62
94.48
94.26
96.42
97.83
95.22
94.58
95.79
94.79
95.14
95.04
96.31
95.40
95.97
94.51
94.39
94.28
95.58
95.10
97.95
94.30
95.83
96.36
96.21
95.47
96.79
96.79
95.27
96.28
95.92
95.14
94.75
96.07
96.45
96.25
95.45
94.69
28
14
43
30
48
24
22
38
36
26
30
26
51
48
30
54
41
24
51
49
48
47
44
18
30
28
31
30
27
30
30
31
21
32
30
18
51
42
20
27
26
25
30
5.1
5.1
5.1
5.1
5.6
5.0
5.0
5.8
5.0
5.0
5.0
5.0
5.4
5.0
5.3
5.0
5.8
5.1
5.2
5.2
5.2
5.5
5.3
5.7
6.0
5.7
5.1
5.3
5.0
5.1
5.1
5.2
6.5
5.2
5.0
5.7
5.7
5.0
5.9
5.2
5.0
5.2
5.2
25
Lanjutan Lampiran 1
1/03/2006
14:36:02
2/03/2006
17:15:46
8/03/2006
06:33:38
16/03/2006 15:12:16
19/03/2006 04:24:32
22/03/2006 10:08:49
28/03/2006 08:35:43
1/04/2006
10:34:48
2/04/2006
08:30:27
22/04/2006 23:22:38
22/04/2006 23:42:23
22/04/2006 23:23:06
8/05/2006
01:43:41
13/05/2006 03:11:43
14/06/2006 07:24:06
14/06/2006 00:14:33
2/08/2006
18:13:59
11/08/2006 20:54:14
12/08/2006 06:15:28
13/08/2006 08:41:46
23/08/2006 18:31:51
16/09/2006 06:17:47
12/10/2006 05:30:35
18/11/2006 13:55:21
18/11/2006 13:57:54
25/11/2006 18:50:25
6/12/2006
12:06:39
9/12/2006
09:24:47
17/12/2006 21:10:22
19/12/2006 12:48:17
3/01/2007
12:47:30
22/01/2007 16:44:34
8/02/2007
01:54:55
14/02/2007 20:11:58
1/03/2007
02:01:01
7/04/2007
09:51:52
27/04/2007 08:02:50
1/05/2007
19:44:20
18/05/2007 15:57:25
22/05/2007 03:41:12
23/05/2007 20:19:14
9/06/2007
14:59:50
24/06/2007 13:47:37
2.67
4.96
4.00
5.07
4.13
2.72
3.46
2.27
2.41
2.06
2.15
2.09
3.16
5.51
2.65
5.51
3.97
2.40
2.19
5.52
4.72
5.12
4.94
4.75
4.74
2.99
4.86
5.08
4.82
2.46
5.45
2.82
2.70
5.21
3.78
2.92
5.36
5.51
4.11
2.01
2.63
2.61
5.42
95.90
94.49
96.25
94.78
96.05
95.68
97.22
94.93
96.39
96.45
96.50
96.49
97.10
94.44
94.37
94.57
95.97
96.35
96.36
94.66
95.10
94.78
95.01
94.78
94.77
97.01
96.23
94.75
95.02
98.00
94.35
95.81
95.65
94.26
96.34
95.70
94.64
94.62
96.03
96.75
95.55
96.04
94.58
20
30
30
50
48
25
30
28
26
27
26
25
11
45
29
52
45
22
28
30
30
49
30
32
29
53
30
30
36
66
30
24
30
30
74
30
38
52
30
30
39
24
30
5.1
5.2
5.4
5.3
5.3
5.0
5.0
5.0
5.2
5.1
5.1
5.4
5.2
6.0
5.1
5.2
5.0
6.2
5.0
5.3
5.1
5.6
5.5
5.9
5.9
5.0
5.2
5.5
5.8
5.2
5.4
5.3
5.1
5.3
5.6
6.1
6.3
5.0
5.2
5.0
5.2
5.2
5.1
26
Lanjutan Lampiran 1
10/07/2007 18:28:30
21/07/2007 12:53:03
24/07/2007 14:51:32
18/08/2007 04:38:23
29/09/2007 05:32:44
29/09/2007 05:37:07
1/10/2007
14:03:34
17/10/2007 02:55:30
16/11/2007 21:23:26
21/11/2007 03:30:13
22/11/2007 23:02:13
7/12/2007
08:09:25
9/12/2007
11:32:13
22/12/2007 12:26:19
28/12/2007 05:24:15
5/01/2008
20:01:55
20/02/2008 09:32:06
20/02/2008 09:05:09
20/02/2008 08:36:39
20/02/2008 09:11:26
20/02/2008 08:28:20
20/02/2008 08:08:30
21/02/2008 03:47:44
25/02/2008 09:53:40
26/02/2008 11:38:41
5/03/2008
17:04:08
10/03/2008 05:22:46
15/03/2008 14:43:26
29/03/2008 17:30:50
4/04/2008
05:43:19
4/04/2008
00:27:38
8/05/2008
11:31:24
13/05/2008 10:29:19
14/07/2008 04:44:54
14/07/2008 04:44:47
10/09/2008 04:02:17
10/09/2008 00:18:51
10/09/2008 03:00:26
14/11/2008 22:56:34
21/12/2008 13:47:53
12/01/2009 22:14:03
11/02/2009 03:11:29
4/03/2009
10:56:41
3.33
5.00
2.27
2.08
2.92
2.90
4.09
2.97
2.62
3.06
4.74
5.46
2.22
2.09
5.42
5.48
2.64
2.70
2.54
2.50
2.61
2.77
2.48
2.64
2.64
5.08
2.38
2.70
2.86
2.63
2.90
5.51
4.68
2.23
2.15
2.63
2.40
2.50
2.29
4.77
2.83
4.85
2.78
94.25
97.46
98.00
96.69
95.54
95.52
96.58
96.46
94.49
96.36
95.06
94.67
96.76
96.80
95.66
94.68
95.78
96.25
96.06
95.84
96.14
95.96
96.08
96.07
95.92
94.82
95.60
94.59
95.30
96.12
95.43
94.70
95.09
96.54
95.05
95.47
96.11
96.09
96.20
95.16
95.50
95.98
95.26
24
30
62
30
35
35
35
40
27
41
49
72
35
31
20
57
22
35
35
24
35
26
35
35
35
56
35
20
20
25
36
35
35
42
30
19
15
10
35
30
10
10
10
5.0
5.2
5.3
5.0
5.7
5.8
5.0
5.0
5.1
5.1
5.9
5.0
5.0
5.9
5.1
5.4
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
7.5
5.0
5.0
5.1
5.3
5.0
6.0
6.5
5.0
5.2
5.0
5.6
5.5
5.5
5.0
5.1
5.8
5.1
5.7
5.0
5.0
5.3
27
Lanjutan Lampiran 1
12/03/2009 10:05:06
24/03/2009 04:35:41
8/05/2009
13:19:03
21/07/2009 06:51:53
15/08/2009 04:04:29
25/08/2009 20:26:51
28/08/2009 16:45:21
26/11/2009 05:27:37
9/12/2009
21:29:05
19/12/2009 13:43:54
22/01/2010 06:46:22
17/03/2010 09:44:55
6/04/2010
22:28:27
6/04/2010
22:54:07
6/04/2010
22:26:09
6/04/2010
22:15:04
7/04/2010
04:22:17
12/04/2010 10:28:27
9/05/2010
05:59:45
11/05/2010 12:17:49
3/06/2010
09:24:17
21/08/2010 05:42:53
29/09/2010 11:33:34
30/09/2010 09:54:10
15/10/2010 12:43:56
18/12/2010 22:56:44
21/12/2010 14:07:49
23/12/2010 00:01:35
15/01/2011 11:36:07
15/01/2011 11:45:21
15/01/2011 16:26:08
15/01/2011 11:23:53
18/01/2011 11:33:44
22/01/2011 07:34:16
22/01/2011 07:38:59
26/01/2011 15:42:30
29/04/2011 08:56:49
21/08/2011 08:18:19
5/09/2011
17:55:12
16/10/2011 17:16:20
30/10/2011 02:02:12
1/01/2012 18:09:06.3
13/01/2012 20:03:42.5
4.53
5.17
3.18
4.38
4.39
5.28
5.45
4.89
2.75
2.59
3.12
4.34
2.54
2.33
2.30
2.31
2.64
4.60
3.65
3.41
4.54
2.18
5.02
5.02
3.62
5.34
2.66
3.72
2.31
2.31
2.35
2.40
2.50
2.79
2.80
2.16
3.88
4.65
2.78
2.32
4.88
4.46
2.35
94.76
94.20
97.55
96.40
96.53
94.77
94.77
96.00
96.09
95.90
94.28
95.69
96.78
97.10
96.87
97.11
96.99
96.39
96.09
95.89
95.76
96.60
94.84
94.82
95.49
94.56
95.87
95.88
96.33
96.35
96.28
96.30
96.41
95.55
95.75
96.81
95.75
94.98
97.93
96.05
95.99
96