KARAKTERISTIK HAZARD RATE PADA DISTRIBUSI GOMPERTZ

ABSTRAK

KARAKTERISTIK HAZARD RATE PADA DISTRIBUSI GOMPERTZ

Oleh

Andri Antoro

Waktu kelangsungan hidup adalah data yang mengukur waktu untuk kejadian tertentu seperti kematian, kegagalan, sembuhnya dari suatu penyakit tertentu dan sebagainya. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup digolongkan oleh tiga fungsi yakni Fungsi Kelangsungan Hidup, Fungsi Kepekatan Peluang (fkp), dan Fungsi Kegagalan (Hazard). Dari ketiganya dapat dikaji bentuk Hazard Rate distribusi Gompertz. Distribusi Gompertz hanya mempunyai 1 bentuk hazard rate yakni meningkat (increasing).

Key Word : Distribusi Gompertz, Laju Kegagalan (Hazard Rate), Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function).

KARAKTERISTIK HAZARD RATE PADA DISTRIBUSI GOMPERTZ

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2015

Oleh Andri Antoro

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada 3 Oktober 1990 di Bandar Lampung dan adalah anak kedua dari tiga bersaudara, dari pasangan Bapak Mamik dan Ibu Saodah.

Penulis memulai pendidikan dari TK Handayani Tanjung Karang Barat pada tahun 1995. Kemudian pendidikan sekolah dasar diselesaikan di SD Negeri 2 Gedong Air Bandar Lampung pada tahun 2002, sekolah lanjutan tingkat menengah di SLTP Negeri 7 Bandar Lampung pada tahun 2005, dan sekolah lanjutan tingkat atas di SMA Negeri 7 Bandar Lampung pada tahun 2008.

Tahun 2008 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur PKAB. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi anggota Bidang Keilmuan di HIMATIKA selama dua periode yaitu periode 2009-2010 dan 2010-2011. Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan mata kuliah wajib Kuliah Kerja Nyata yang dilaksanakan pada 01 Juli 2011 – 10 Agustus 2011 di Desa Liman Benawi, Lampung Tengah serta Kerja Praktik di Dinas Pendidikan Kota Bandar Lampung selama 13 - 27 Juni 2011 dan mendapatkan kesempatan bergabung dalam organisasi pemuda internasional AIESEC sebagai anggota Incoming Exchange Global Community periode September 2013 – Juni 2014.

“Be the change that you wish to see in the world” (Mahatma Gandhi)

“If you believe you can achieve”

“Don’t cry because it’s over, smile because it happened” (Dr. Seuss)

“Bila anda berani mimpi tentang sukses berarti anda sudah memegang kunci kesuksesan hanya tinggal berusaha mencari lubang kuncinya untuk membuka

gerbang kesuksesan” (John Savique Capone)

PERSEMBAHAN

Aku persembahkan karya sederhana ini untuk kedua orang tua ku serta semua orang yang telah mendukung dan dengan tulus mendoakan kelancaran terciptanya karya sederhana ini, terima kasih atas segala bentuk cinta dan kasih sayang kalian.

Ayah, Mama serta kakak dan adik perempuan saya Iin dan Iis. Terima kasih atas cinta yang melimpah, do’a yang tulus, nasehat, semangat serta kesabaran yang

kalian berikan dalam mengiringiku meraih kesuksesan.

Keluarga, sahabat, dan teman-teman yang senantiasa memberikan semangat dan dukungan dalam menyelesaian skripsi ini. Semoga memberi manfaat yang tidak

SANWACANA

Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat juga salam atas Nabi Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai.

2. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu dan selalu sabar memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran.

4. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A.,Ph.D., selaku pembimbing akademik. 5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

x 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Ayah, Mama, Mba Iin, Dek Iis dan Kak Hadi yang telah memberikan dukungan secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasihat dan semangat yang sangat membantu selama penyusunan skripsi.

9. Teman-teman seperjuangan Matematika ‘08 Wiwid, Achi, Noven, Edo, Yayat, Ida, Selvi, Mia, Wiwik, Rendy, Recan serta teman – teman Exotic lainnya, terimakasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya. 10. My best mate Alec Storey, thanks for your support bud!

11. Angga, Ben, Feriza, Winnie dan teman-teman Toshihiro Brothers, terima kasih buat dukungan dan semangatnya kepada penulis.

12. Adik-adik tingkat Matematika Angkatan 2009, terima kasih untuk masukan dan bantuannya kepada penulis.

13. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, Agustus 2015 Penulis

xi DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 2

1.3 Tujuan Penelitian ... 3

II. LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Acak ... 4

2.2 Analisis Survival ... 6

2.3 Fungsi Kepekatan Peluang ... 6

2.4 Fungsi Distribusi Waktu Kegagalan ... 7

2.5 Fungsi Kelangsungan Hidup (Fungsi Survival)... 8

2.6 Fungsi Hazard ... 8

2.7 Aturan Glaser ... 11

2.8 Distribusi Gompertz ... 12

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Langkah-langkah Penelitian ... 16

3.1.1 Algoritma (Diagram Alir) Penelitian ... 17

3.1.2 Turunan Pertama dari Fungsi Kepekatan Gompertz ... 18

3.1.3 Nilai � � dan Turunan Pertamanya (�′ � ) ... 19

3.1.3.1Nilai � � ... 19

3.1.3.2Turunan Pertama Nilai (� � ) ... 20

3.1.4 Fungsi Kelangsungan Hidup Distribusi Gompertz ... 20

3.1.5 Karakteristik Fungsi Hazard Distribusi Gompertz ... 22

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Analisis Bentuk Hazard Distribusi Gompertz ... 24

xii

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis kelangsungan hidup adalah analisis mengenai data yang diperoleh dari catatan waktu yang dicapai suatu objek sampai terjadinya peristiwa gagal (failure event) dengan tujuan utamanya adalah menganalisis peluang waktu hidup. Dalam menentukan waktu kelangsungan hidup, terdapat tiga hal yang harus diperhatikan yaitu waktu awal (time origin), definisi failure time yang harus jelas, dan skala waktu sebagai satuan pengukuran

Misalkan T adalah peubah acak waktu kelangsungan hidup yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f(t) dan fungsi distribusi kumulatif F(t). Dengan � � = �( <�) yang merupakan peluang terjadinya kegagalan (kematian) atau peluang hidup sampai dengan t. Jika T adalah peubah acak yang menunjukkan waktu untuk mati atau gagal (waktu kegagalan), maka fungsi kelangsungan hidup (survival) pada saat t adalah � =�( >�) yang merupakan peluang hidup melebihi waktu t dengan � ∈[0,∞) dan jangkauan peluang � ∈[0,1]. Distribusi kumulatif untuk fungsi kegagalan F(t) adalah komplemen S(t) sehingga � +� � = 1. Diasumsikan bahwa � 0 = 0 sehingga 0 = 1 yang berarti tidak terajadi kematian atau kegagalan pada saat sistem atau objek mulai diamati.

2

Hal terpenting yang berkaitan dengan analisis data kelangsungan hidup adalah tingkat kematian (kegagalan) pada suatu sistem atau individu, yang dinyatakan sebagai fungsi hazard yaitu peluang bahwa suatu sistem atau individu akan gagal atau mati pada saat �+∆�. Bersyarat bahwa sistem atau objek yang diamati masih hidup pada saat t. Fungsi hazard ini menyatakan peluang mati sesaat (laju kegagalan sesaat) suatu individu atau sistem yang masih hidup pada waktu t.

Pada saat sebuah model distribusi peluang untuk masa hidup telah ditentukan dalam bentuk fungsi kepekatan peluang, fungsi kelangsungan hidup dan fungsi hazard yang sesuai dapat dihasilkan dari hubungan � = 1− � � = 1−

� � ��

�

0 dan ℎ � =

�(�)

(�) , dengan �(�) adalah fungsi kepekatan peluang dari

masa hidupnya.

1.2 Perumusan Maslah

Dalam menganalisis data kelangsungan hidup suatu individu atau sistem langkah penting yang harus diperhatikan adalah menentukan model peluang, hal ini dilakukan untuk melihat apakah model sesuai dengan keadaan data. Dan kelengkapan lain yang juga harus diperhatikan yaitu laju kegagalan (hazard rate). Laju kegagalan (hazard rate) adalah peluang suatu sistem pada umur t akan gagal dalam interval (t, t+Δt). Atau dalam istilah lain, laju kegagalan (hazard rate) adalah perbandingan dari fungsi kepekatan peluang (fkp) terhadap fungsi kelangsungan hidup (S(t)). Laju hazard dapat berbentuk meningkat (increasing

3

(I)) dimana kurva yang terbentuk akan meningkat secara monoton, menurun (decreasing (D)) dengan bentuk kurva menurun secara monoton, bathtub ( ), upside-down bathtub ( ), dan konstan.

Tidak semua model peluang memiliki bentuk-bentuk hazard rate seperti yang dijelaskan di atas. Demikian pula dengan distribusi Gompertz, itulah sebabnya sangat menarik untuk meneliti karakteristik bentuk fungsi hazard rate dengan distribusi Gompertz.

Mengingat pentingnya hazard rate dalam pengepasan model peluang dan keistimewaan distribusi Gompertz, maka dalam penelitian ini akan dikaji mengenai karakteristik hazard rate dari distribusi Gompertz dengan parameter �, dan parameter bentuk �.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut :

a. Mendapatkan fungsi kelangsungan hidup distribusi Gompertz dan fungsi hazard distribusi Gompertz.

b. Mengkaji karakteristik hazard rate dalam bentuk increasing, decreasing, bathtub, upside-down bathtub atau konstan yang akan terjadi pada distribusi Gompertz.

II. LANDASAN TEORI

2.1Peubah Acak

Suatu percobaan yang dapat diulang pada kondisi yang sama dan hasil dari percobaan tersebut tidak diketahui secara pasti sebelum percobaan itu dilakukan disebut sebagai Percobaan Acak. Dalam percobaan acak akan menghasilkan suatu peubah acak yang dapat disajikan dalam ruang sampel. Ada dua macam peubah, yaitu kuantitatif dan kualitatif. Pengamatan yang berasal dari peubah kuantitatif dapat diklasifikasikan atas kontinu dan diskrit.

Definisi 2.1 Peubah Acak dan Ruang Sampel

Peubah acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel yang memetakkan setiap elemen ∈ � dengan satu dan hanya satu bilangan real � = � (Hogg & Craigg, 1986).

Ruang sampel didefinisikan sebagai himpunan dari semua gugusyang unsur-unsurnya terdiri atas semua kemungkinan hasil percobaan, dan dilambangkan dengan huruf C (Walpole, 1995).

Definisi 2.2 Peubah Kuantitatif dan Peubah Kualitatif

Peubah kuantitatif adalah peubah yang pengamatannya dapat diukur, sebab mempunyai sifat urutan atau rangking alami. Peubah kualitatif adalah peubah

5

yang tidak memungkinkan dilakukannya pengukuran numerik. Pada peubah kualitatif pengamatannya berupa memasukkan suatu individu ke dalam satu dari beberapa kategori yang saling terpisah. Pengamatan-pengamatan tersebut tidak dapat diurutkan secara berarti ataupun diukur, hanya diklasifikasikan dan kemudian dicacah (Steel & Torrie, 1995).

Definisi 2.3 Ruang Sampel Diskrit dan Peubah Acak Diskrit

Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah, maka disebut Ruang Sampel Diskrit (Walpole, 1995). Pandang peubah acak X, dengan ruang sampel berdimensi satu C, C merupakan himpunan titik-titik, sehingga setiap selang hingga mengandung berhingga banyaknya titik C.

Misalkan ada fungsi (�) yang memenuhi :

1. � 0,∀� ∈ �

2. � = 1

3. Untuk � ⊂ �, berlaku � � = Pr ��� = (�)

maka X disebut Peubah Acak diskrit dan (�) disebut fungsi peluang dari X (Hoog & Craigg, 1986).

Definisi 2.3 Ruang Sampel Kontinu dan Peubah Acak Kontinu

Bila suatu ruang sampel mengandung tak hingga banyaknya titik sampel yang sama dengan banyaknya titik pada suatu ruas garis, maka ruang itu disebut Ruang

6

Sampel Kontinu (Walpole, 1995). Pandang peubah acak X, dengan sampel berdimensi satu C yang kontinu, misalkan ada fungsi (�) yang memenuhi :

1. � 0,∀� ∈ �

2. � = 1

3. Untuk � ⊂ �, berlaku � � = Pr ��� = (�)

maka X disebut Peubah Acak Kontinu dan (�) disebut fungsi peluang dari X (Hoog & Craigg, 1986).

2.2Analisis Survival

Analisis survival adalah analisis mengenai data yang diperoleh dari catatan waktu yang dicapai suatu objek sampai terjadinya peristiwa gagal (failure event). Dalam menentukan waktu survival, T, terdapat tiga elemen yang harus diperhatikan yaitu waktu awal (time origin), definisi failure time yang harus jelas, dan skala waktu sebagai satuan pengukuran.

2.3Fungsi Kepekatan Peluang

Menurut Elisa T Lee (1920), seperti beberapa peubah acak kontinu lainnya, waktu kelangsungan hidup T mempunyai fungsi kepekatan peluang (f.k.p) didefinisikan sebagai limit dari peluang suatu individu yang gagal dalam interval pendek t ke

+∆ per satuan lebar ∆ , atau peluang kegagalan dalam interval kecil per satuan waktu. Itu dapat dijelaskan sebagai:

= lim_∆t→0�( < < +∆)

∆ (2.1)

adalah fungsi non negatif , yaitu 0 untuk semua 0

7

= 0 untuk < 0

2.4Fungsi Distribusi Waktu Kegagalan

Misalkan T adalah peubah acak kontinu yang menyatakan waktu kegagalan dimana T diasumsikan saling bebas yang didefinisikan pada interval waktu (0,∞)

Fungsi distribusi waktu kegagalan didefinisikan sebagai :

� = Pr = � �₀ (2.2)

Fungsi distribusi kumulatif ini menyatakan peluang suatu sistem yang mengalami kegagalan hingga batas waktu t. Sifat-sifat dari fungsi distribusi :

a) 0 � ( ) 1 karena 0 Pr⁡{ } 1

Bukti : Misalkan ∈ Σ dengan Σ adalah ruang kejadian (event space) dari himpunan semua kejadian (outcomes) yang mungkin terjadi (�), maka: → ∅ Ω, dengan Ω adalah ruang sampel dari �

→0 Pr⁡( ) 1∎

b) � ( ) fungsi tidak turun (non decreasing)

Bukti : Misalkan F adalah suatu fungsi yang bernilai real pada interval

[0,∞). Fungsi F disebut fungsi non decreasing pada interval [0,∞), jika untuk sebarang titik ₁ dan ₂ pada interval [0,∞), dimana ₁ < ₂ maka � ( 1) � ( 2)∎

c) � ∞ = lim_{∆ →}0� = 1 dan � −∞ = lim∆ →0� = 0

Bukti : � ∞ = 1 dan � −∞ = 0 karena { ∶ ∞} adalah seluruh ruang berdimensi satu dan { ∶ −∞} adalah himpunan kosong ∎

8

2.5Fungsi Kelangsungan Hidup (Fungsi Survival)

Menurut Elisa T. Lee (1920), fungsi kelangsungan hidup (fungsi survival) dinotasikan dengan � didefinisikan sebagai peluang suatu individu yang bertahan lebih dari t:

� = � (suatu individu bertahan lebih dari t)

=� > = ∞ � � (2.3)

Dari definisi fungsi distribusi kumulatif � , maka � = 1− � ( > )

= 1− �( ) (2.4)

Dengan � adalah fungsi tidak naik (non increasing) yaitu suatu fungsi yang bernilai real, jika untuk sebarang titik ₁ dan ₂ pada interval [0,∞) dengan

1 2 maka �( 1) �( 2). Jadi dapat disimpulkan bahwa � 0 = 0 dan � ∞ = 1

Akan ekuivalen terhadap � ∞ = 0dan � 0 = 1

2.6Fungsi Hazard

Menurut Elisa T Lee (1920), fungsi hazard ℎ dari waktu kelangsungan hidup T tergantung pada failure rate. Ini didefinisikan sebagai peluang gagal selama interval waktu yang sangat kecil, diasumsikan bahwa individu memiliki hidup yang lebih lama untuk awal dari interval, atau sebagai limit dari peluang individu gagal dalam interval yang sangat kecil, t ke +∆ per satuan waktu.

9

ℎ = lim_∆t→0�( < < +∆ | )

∆

= lim_{∆ →}0�

< < +∆ /�( )

∆

= lim

∆ →0

�( < < +∆ ( ) ∆ �( )

= lim

∆ →0

�( < < +∆) ∆ (1−� )

= lim

∆ →0

� +∆ −�( ) ∆ (1−� )

= 1

(1−� )_{∆ →}lim0

� +∆ −�( )

∆

ℎ = ( )

1−�( ) = ( )

�( ) (2.5)

fungsi hazard kumulatif didefinisikan sebagai :

� = ℎ � �₀ (2.6)

Dari persamaan (2.4) dan (2.5), maka diperoleh ℎ = ( )

�( ) (2.7)

adalah turunan dari fungsi kumulatif distribusi, maka:

= � = 1− � =− �( ) (2.8) Maka dari persamaan (2.8) dapat diperoleh :

ℎ = ( )

�( )=

− ( )

�( ) = − ln�( ) (2.9)

selanjutnya dengan mengintegralkan persamaan (2.9) dari 0 sampai t dan menggunakan � 0 = 1, maka:

� =− ℎ � �₀ = ln�( )

10

Dan diperoleh persamaan untuk fungsi kelangsungan hidup, yaitu:

� = �� −�( ) = �� − ℎ � �₀ (2.11) dari persamaan (2.6) dan persamaan (2.10) maka diperoleh :

= ℎ �� − ℎ � �₀ ; 0 (2.12) (Elisa T. Lee, 1992).

Dari persamaan (2.5) telah kita ketahui bahwa ℎ =_�( )

( ), kemudian untuk mengetahui karakteristik fungsi hazardnya h(t) diturunkan terhadap t sehingga:

ℎ( )

=

′ � − �′( )

� ∙�( )

ℎ( ) =

′ _{� − (− )} �2_{( )}

ℎ( ) =

′ _{� +} 2_{( )} �2_{( )} ℎ( )

=

′ �( ) +

2_{( )} �2_{( )}

Setelah diperoleh turunan pertama dari h(t), untuk mengetahui kapan h(t) naik, turun atau konstan maka langkah selanjutnya adalah membuat ℎ( )= 0

ℎ( ) = 0

′ �( ) +

2_{( )} �2_{( )} = 0 2

�2_{( )}= − ′_{( )} �( )

2 �( ) = −

11

Dari persamaan di atas sekarang dapat diketahui bahwa sebuah distribusi akan

1. Memiliki laju hazard naik (increasing) jika 2

� > − ′ , 2. Memiliki laju hazard turun (decreasing) jika 2

� < − ′ dan 3. Memiliki laju hazard konstan jika 2

� = − ′ .

Syarat cukup sebuah fungsi kepekatan bukan merupakan suatu kondisi yang diperlukan untuk menentukan karakteristik laju hazardnya.

2.7 Aturan Glaser

Untuk melihat bagaimana laju hazard yang dipengaruhi oleh kombinasi dari nilai-nilai parameter maka Glaser (1980) membuat metode untuk menentukan bentuk laju hazard dengan satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu fungsi adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva dan didefinisikan sebagai berikut :

�

=

−

′ �

� (2.13)

Fungsi eta ini memiliki peranan penting dalam mengkaji fungsi dan bentuk laju hazard. Aturan Glaser (1980) sendiri adalah sebagai berikut :

1. Jika ′ � > 0 untuk semua �> 0 maka Increasing (I) 2. Jika ′ � < 0 untuk semua �> 0 maka Decreasing (D)

3. Misalkan terdapat �0 > 0 sehingga ′(�0) < 0 untuk semua � ∈ 0,�0 ,

12

a. Jika lim_�→0 � = 0, maka Increasing (I) b. Jika lim_�→0 � →∞, maka Bathtub ( )

4. Misalkan terdapat �0 > 0 sehingga ′ �0 > 0 untuk semua � ∈ 0,�0 ,

′ _{�0 = 0 ,} ′_{(�0) < 0 untuk semua �> �0 dan}

a. Jika lim_�→0 � = 0, maka Upside-down Bathtub ( ) b. Jika lim_�→0 � →∞, maka Decreasing (D)

2.8 Distribusi Gompertz

Distribusi Gompertz secara luas dipakai untuk menggambarkan suatu pola kematian pada manusia. Distribusi Gompertz memiliki fungsi kepekatan peluang dengan parameter lokasi dan parameter bentuk �,

� = �� −� ��−1 ; ,� > 0 ,� 0 (2.14)

13

Berikut merupakan grafik fungsi kepekatan peluang distribusi Gompertz

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Gompertz

Fungsi distributif kumulatif Gompertz didapatkan dari pengintegralan fungsi kepekatan peluang Gompertz, maka fungsi distributif kumulatif Gompertz adalah sebagai berikut

� � = 1− −�( ��−1) (2.15)

�= 0,03339 �� = 0,0589

14

Dan berikut grafik fungsi distributif kumulatif Gompertz

Gambar 2. Grafik Fungsi Distribusi Kumulatif Gompertz

Dari fungsi distribusi kumulatif di atas maka didapatkan bentuk fungsi survival sebagai berikut

� � = 1− � �

= 1−(1− −� ��−1 )

= −� ��−1 (2.16)

�= 0,03339 �� = 0,0589

15

Setelah fungsi kelangsungan hidup distribusi Gompertz didapatkan, maka selanjutnya mencari fungsi hazard dari distribusi Gompertz.

ℎ �

=

(�)

�(�)

=

�� −� �� −

1

−� �� −1

=

�� −�

�� −1

−� �� −1

=

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Langkah-langkah Penelitian

Untuk melihat karakteristik laju hazard distribusi Gompertz dalam penelitian ini peneliti menggunkan aturan Glaser (1980). Adapun lagkah-langkah yang dilakukan dalam menyelidiki laju hazard distribusi Gompertz ini adalah sebagai berikut :

1. Menentukan turunan pertama dari fungsi kepekatan distribusi Gompertz.

2. Menentukan nilai

�

=

−

′_(�)

(�) dan turunan pertamanya.

3. Menentukan fungsi kelangsungan hidup dari distribusi Gompertz. 4. Menentukani fungsi hazard dari distribusi Gompertz.

5. Melakukan analisis fungsi hazard dengan menggunakan aturan Glaser. 6. Membuat grafik fungsi hazard dari distribusi Gompertz dengan

17

3.1.1 Algoritma (Diagram Alir) Penelitian

Berikut ini merupakan langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelidiki laju hazard distribusi Gompertz yang digambarkan dalam diagram alir.

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian

Mencari nilai � dan ′ �

Mencari nilai �(�)

Mencari nilai ℎ(�)

Analisis fungsi ℎ(�) dengan aturan Glaser

Membuat grafik fungsi hazard ℎ(�) Mencari nilai ′(�)

Mulai

18

3.1.2 Turunan Pertama Dari Fungsi Kepekatan Gompertz

Sebelum melakukan analisis laju hazard langkah awal yang harus dilakukan adalah mencari turunan pertama dari fungsi kepekatan peluang distribusi Gompertz. Turunan pertama dari fungsi kepekatan peluang distribusi Gompertz adalah sebagai berikut:

� = �� −� ��−1 � = �� −� ��

+_�

� � ∶ =�� −

� �� −�

� = � − �� ′ _{� =}

�( )

′ _{� =} �� −_� ��+� _{� − ��}

′ _{� = � −} �� �� −_� ��+�

′ _{� = � −} 2 �� �� −_� ��+�

19

3.1.3 Nilai �(�) dan Turunan Pertamanya (�′(�))

Untuk melihat bagaimana laju hazard yang dipengaruhi oleh kombinasi dari nilai-nilai parameter maka Glaser (1980) membuat metode untuk menentukan bentuk laju hazard dengan satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu fungsi adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva dan dilambangkan dengan � .

3.1.3.1 Nilai �(�)

Karena ℎ � = �

� � maka ℎ(�)

� =

� � ′ _{� +} 2_(�)

�2₍�₎

= _�′(�)

(�) +

2_(�)

�2_(�) (3.2)

Untuk melihat laju hazard suatu distribusi maka turunan petama dari fungsi hazardnya harus sama dengan nol. Ini berarti persamaan (3.2) dibuat sama dengan nol sehingga diperoleh

′_(�) �(�) +

2_(�)

�2₍�₎= 0 2_(�)

�2₍�₎ =

′_(�) �(�)

2_(�)

�(�) = − ′_(�)

Dalam aturan Glaser nilai � nantinya akan digunakan dalam melihat karakteristik fungsi hazard suatu distribusi. Jika suatu fungsi kepekatan memiliki

20

kemiringan positif ini bukan berarti fkp tersebut memenuhi kondisi laju hazard meningkat. Oleh karena itu langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari � .

� = − ′ _�

� =− � −

�� _� � =− � − ��

= �� − � (3.3) Menurut McDonald dan Richard (1987) bahwa pola laju hazard dapat di duga oleh � = 0 dan tanda dari koefisien-koefisiennya. Oleh karena itu langkah selanjutnya adalah mencari turunan pertama dari � .

3.1.3.2 Turunan Pertama Nilai �(�)

Turunan pertaman dari � pada distribusi Gompertz adalah: ′ _{� =}

� (�) =

� �� − �

= � �� (3.4)

3.1.4 Fungsi Kelangsungan Hidup Distribusi Gompertz

Sebelum mencari fungsi kelangsungan hidup, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari fungsi distribusi kumulatif. Fungsi distribusi kumulatif distribusi Gompertz adalah sebagai berikut:

21

= � � −� � −1

0 = � � +�−� � 0 = � � � −� � 0 = � � � � � 0 � � ∶ = � � = � � � = �

� � − � � ∶ = 0 → = � =� → = � ��

� � = � � � _�1 ��

�

= � 1

2

� ��

�

= �(−1) � �� �

= �(1) � � ��

= � 1 � −

1

� ��

= 1− � 1 � ��

= 1− � −� ��

22

Setelah mendapatkan fungsi distribusi kumulatif distribusi Gompertz, maka langkah selanjutnya adalah mencari fungsi kelangungan hidup dari distribusi Gompertz, yang dituliskan sebagai berikut:

� � = 1− � �

= 1−(1− −� ��−1 )

= −� ��−1 (3.6)

Setelah fungsi kelangsungan hidup distribusi Gompertz didapatkan, maka selanjutnya mencari fungsi hazard dari distribusi Gompertz.

ℎ � =_�(�)

(�)

= �� −� ��₋₁ −� ��₋₁

= �� −� ��₋₁ −� ��₋₁

= �� (3.7)

3.1.5 Karakteristik fungsi hazard distribusi Gompertz

Menurut McDonald dan Richard (1987) bahwa pola dari laju hazard dapat diduga oleh ′ � = 0 dan tanda dari koefisien-koefisiennya. Dari persamaan (3.4) yaitu:

23

Kemudian untuk melihat karakteristik laju hazard-nya digunakan ′ � = 0, hal ini dikarenakan dengan menurunkan suatu fungsi dan membuatnya sama dengan nol maka akan diketahui titik-titik kritis fungsi tersebut. Sehingga dapat dilihat bentuk naik (Increasing) dan turunnya (Decreasing) fungsi hazard dan bentuk kecekungan laju hazard-nya yang dalam hal ini bila cekung ke atas dikatakan bathtub dan bila cekung ke bawah dikatakan upside-down bathtub.

′ _{� = �} �� _{= 0}

Dari persamaan di atas didapatkan koefisien konstanta sebagai berikut :

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Karakteristik hazard rate dari distribusi Gompertz yang telah dianalisis berdasarkan aturan Glaser berbentuk increasing.

2. Hazard rate dari distribusi Gompertz dengan �, � > 0 akan meningkat (increasing) secara eksponensial.

3. Secara grafis, karakteristik hazard rate distribusi Gompertz juga increasing.

DAFTAR PUSTAKA

Dobson, A. J. 2001. An Introduction to Generalized Linear Model. Chapman Hall/CRC Texts in Statistical Science Series.

Glaser, R. E. 1980. Bathtub and Related Failur Rate Characterizations. J. American Statistical Association, 75, pp 667-672.

Hogg, R.V. and Craigg, A. T.. 1986. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice-hall Inc., New Jersey.

Klein, J. P. and Moescberger, M. L. 1997. Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. Springer-Verlag Inc., New York.

Lenart, Adam. 2011. The Gompertz Distribution and Maximum Likelihood Estimation of Its Parameters. 1: 2-3.

Lee, E. T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Second Edition. John Wiley & Sons Inc., Canada.

McDonald, J. B. and Ricards, D. O. 1987. Hazard Rates and Generalized Beta Distributions. Transactions On Reliability, R-36, 463-466.

Walpole, E. R. 1995. Pengantar Statistika. Edisi Ketiga. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

kemiringan positif ini bukan berarti fkp tersebut memenuhi kondisi laju hazard meningkat. Oleh karena itu langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari � .

� = − ′ _�

�

=− � −

�� _� � =− � − ��

= �� − � (3.3) Menurut McDonald dan Richard (1987) bahwa pola laju hazard dapat di duga oleh � = 0 dan tanda dari koefisien-koefisiennya. Oleh karena itu langkah selanjutnya adalah mencari turunan pertama dari � .

3.1.3.2 Turunan Pertama Nilai �(�)

Turunan pertaman dari � pada distribusi Gompertz adalah: ′ _{� =}

� (�)

=

� �� − �

= � �� (3.4)

3.1.4 Fungsi Kelangsungan Hidup Distribusi Gompertz

Sebelum mencari fungsi kelangsungan hidup, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari fungsi distribusi kumulatif. Fungsi distribusi kumulatif distribusi Gompertz adalah sebagai berikut:

21

= � � −� � −1

0 = � � +�−� � 0 = � � � −� � 0 = � � � � � 0 � � ∶ = � � = � � � = �

� � − � � ∶ = 0 → = �

=� → = � ��

� � = � � � _�1

��

�

= � 1

2

� ��

�

= �(−1) �

�� �

= �(1) �

� ��

= � 1 � −

1 � ��

= 1− � 1 � ��

= 1− � −� ��

Setelah mendapatkan fungsi distribusi kumulatif distribusi Gompertz, maka langkah selanjutnya adalah mencari fungsi kelangungan hidup dari distribusi Gompertz, yang dituliskan sebagai berikut:

� � = 1− � �

= 1−(1− −� ��−1 )

= −� ��−1 (3.6)

Setelah fungsi kelangsungan hidup distribusi Gompertz didapatkan, maka selanjutnya mencari fungsi hazard dari distribusi Gompertz.

ℎ � =_�(�)

(�)

= �� −�

��₋₁

−� ��₋₁

= �� −�

��₋₁

−� ��₋₁

= �� (3.7)

3.1.5 Karakteristik fungsi hazard distribusi Gompertz

Menurut McDonald dan Richard (1987) bahwa pola dari laju hazard dapat diduga oleh ′ � = 0 dan tanda dari koefisien-koefisiennya. Dari persamaan (3.4) yaitu:

23

Kemudian untuk melihat karakteristik laju hazard-nya digunakan ′ � = 0, hal ini dikarenakan dengan menurunkan suatu fungsi dan membuatnya sama dengan nol maka akan diketahui titik-titik kritis fungsi tersebut. Sehingga dapat dilihat bentuk naik (Increasing) dan turunnya (Decreasing) fungsi hazard dan bentuk kecekungan laju hazard-nya yang dalam hal ini bila cekung ke atas dikatakan bathtub dan bila cekung ke bawah dikatakan upside-down bathtub.

′ _{� = �} �� _{= 0}

Dari persamaan di atas didapatkan koefisien konstanta sebagai berikut :

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Karakteristik hazard rate dari distribusi Gompertz yang telah dianalisis berdasarkan aturan Glaser berbentuk increasing.

2. Hazard rate dari distribusi Gompertz dengan �, � > 0 akan meningkat (increasing) secara eksponensial.

3. Secara grafis, karakteristik hazard rate distribusi Gompertz juga increasing.

DAFTAR PUSTAKA

Dobson, A. J. 2001. An Introduction to Generalized Linear Model. Chapman Hall/CRC Texts in Statistical Science Series.

Glaser, R. E. 1980. Bathtub and Related Failur Rate Characterizations. J. American Statistical Association, 75, pp 667-672.

Hogg, R.V. and Craigg, A. T.. 1986. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice-hall Inc., New Jersey.

Klein, J. P. and Moescberger, M. L. 1997. Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. Springer-Verlag Inc., New York.

Lenart, Adam. 2011. The Gompertz Distribution and Maximum Likelihood Estimation of Its Parameters. 1: 2-3.

Lee, E. T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Second Edition. John Wiley & Sons Inc., Canada.

McDonald, J. B. and Ricards, D. O. 1987. Hazard Rates and Generalized Beta Distributions. Transactions On Reliability, R-36, 463-466.

Walpole, E. R. 1995. Pengantar Statistika. Edisi Ketiga. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.