Teori Peluang dan Statistika Hazard Rate (1)

  Indira Puteri Kinasih(20110006)

  Tugas III - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103) th

  Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6 Edition Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis

  (Halaman 159, Latihan 3.3.26) 1.

  Misalkan suatu variabel acak kontinu X memiliki fungsi distribusi kumulatif (CDF) F   x dan fungsi kepadatan peluang (pdf) f   x . Laju hazard atau laju kerusakan atau force of mortality didefinisikan sebagai berikut :

  P x X x X x        r x lim

      

  

  Dalam hal ini, X merepresentasikan waktu kerusakan dari suatu unit, sedangkan formula probabilitas diatas, menunjukkan kerusakan suatu unit pada selang waktu usia x, x   , dengan kondisi ai masih bertahan hingga usia x . Dengan definisi

   

  ini, r   x disebut sebagai rate of instantaneous failure pada waktu x 

  f   x

  a. r   x  Tunjukkan bahwa 1  F   x

    Bukti :

  Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat, kita dapat menuliskan :

  P x X x X x        r x

     lim  

  

  P  x  X  x   , X  x 

   lim

   

   . P 

  X  x  P  x  X  x     P X  x 

   lim

   

   . P 

  X  x  P  X  x      P X  x 

   lim

   

   . P 

  X  x 

  Ingat bahwa dalam ilmu peluang, kita tahu P 

  X  x   F   x , sehingga formula

  diatas dapat ditulis ulang menjadi

  P  X  x      P X  x  r x  lim  

   

   .  1  P 

  X  x   F  x       F x

   lim

   

   .  1  F   x  Dengan menggunakan teorema nilai tengah (mean value theorem), yang

  

f c h f c

     

  menyatakan bahwa f    c  lim , asalkan limitnya ada. Maka kita _h

  0

h

akan menggunakan teorema ini untuk menyelesaikan pembuktian di atas.

  F x    F x    

  Perhatikan bahwa bentuk lim dapat dituliskan menjadi

     dF   x

   F   x  , sedangkan kita tahu bahwa turunan fungsi distribusi kumulatif dx dF x

   

  adalah fungsi kepadatan peluang, yaitu  f   x , maka kita dapat

  dx

  menuliskan :

  

F  x     F   x

r   x  lim    .

  1  F   x

    F    x

   1  F   x

    f   x

   , terbukti

  

  1  F   x 

  b. r x c

     , dengan c merupakan konstanta positif, tunjukkan bahwa distribusi

  Jika yang berkorespondensi dengan laju hazard tersebut adalah distribusi eksponensial yang memiliki laju kerusakan konstan setiap waktu.

  Bukti :

  Kita dapat menggunakan formula yang telah selesai dibuktikan pada poin (a) untuk menyelesaikan pembuktian ini. Sebelumnya, ingat bahwa kita dapat mendefinisikan fungsi keandalan (survival) dari X , yaitu

  P  X  x  

  1  P 

  X  x  

  1  F   x , dengan demikian, formula r   x akan ditulis ulang, sebagai berikut : 

  

F   x

r x   

  

  1  F   x 

  

dF x

 

  

  

dx S x

  d

  1 S x

      

  

  dx S x  

  

S  x

 

   

  

S   x

d

S x

    ln    

  

dx

  Karena kita akan mencoba mendapatkan distribusi dari variabel acak X yang fungsi hazardnya adalah r x c

     , maka dari formula diatas, akan dicari formula

  dari fungsi keandalan (survival) S x , untuk kemudian didapatkan fungsi distribusi

    F x f x

  kumulatif   , kemudian akhirnya diperoleh fungsi kepadatan peluang   , sehingga kita dapat menyimpulkan, distribusi apa yang mendasari r x c

     .

  Sekarang, perhatikan bahwa : _{x x}

   r   t dt

  

  d r   x   ln S   x  ln S   x   r   t dt  S   x  e    

   dx Ingat bahwa, sebelumnya telah diketahui bahwa r   x  , sehingga bentuk diatas c dapat ditulis ulang sebagai _{x r t dt}

     

  S   x  e _{x c dt} 

  

 e

_cx 

  

 e

_cx 

  Artinya, sekarang kita dapat menuliskan F x

  1 S x 1 e . Sebenarnya, _cx         

  bentuk distribusi kumulatif F x e telah cukup membuktikan bahwa

     1 

  distribusi yang mendasari r x c

     merupakan distribusi eksponensial yang

  berparameter c  . Namun, kita juga dapat menggunakan penemuan ini untuk mendapatkan bentuk fungsi kepadatan peluang, yaitu _cx

  



dF   x d

  1  e cx

     f x c e , x

  

       

dx dx

  Dengan demikian, terbukti bahwa X , dengan r   x  , berdistribusi c eksponensial. _b

  c. Jika r   x  cx , dengan c dan b adalah konstanta positif, buktikan bahwa

  X

  berdistribusi Weibull dengan fungsi kepadatan peluang (pdf) yaitu : _{b 1}

   

 

_b

cx

cx x

   exp  ,   

 

f x

      b 

  1

 

, x lainnya 

  Bukti :

  Kita tetap masih dapat menggunakan formula pada poin (b), mengenai keterkaitan antara fungsi hazard dengan fungsi keandalan (survival) untuk menyelesaikan

  r x pembuktian di atas. Karena disini, yang berubah hanyalah bentuk   -nya saja.

  Perhatikan bahwa, _{x x r   t dt ct dt b b 1}

    

     

  cx S x e e exp      

   

  b 

  1  

  Dengan cara yang sama, fungsi distribusi kumulatif dapat dituliskan sebagai bentuk berikut : _{b 1}

  

   cx 

  F   x 

  1  S   x  1  exp   

  b 

  1  

  Sedangkan fungsi kepadatan peluang (pdf) juga diperoleh dengan cara yang sama seperti pada poin (b), yaitu :

  b ¹ 

     cx 

  d

  1  exp    b ^{1 b 1}

     

  b 

  1

  dF x b 

  1  cx   cx 

      b b

   

  f   x    cx exp   cx exp 

     

  dx dx b 

  1 b  1 b 

  1    

  Formula ini berlaku untuk  x   , c  , dan b  . Dengan demikian, telah _b terbukti bahwa variabel acak X dengan r   x  cx , ternyata berdistribusi Weibull dengan dua parameter c dan b . _bx

  d. Jika r   x  ce , tunjukkan bahwa X berdistribusi Gompertz yang sering dipakai oleh para aktuaris sebagai distribusi ‘lama hidup’, dengan fungsi distribusi kumulatif F   x sebagai berikut :

   c

 bx 

 1  exp 1  e ,  x  

   

  F   x   b

 

x lainnya

  ,  Bukti :

  Kita kembali akan menggunakan cara pengerjaan di poin (b) dengan merujuk pada formula fungsi hazard pada poin (a). Perhatikan, _{x x r t dt ce dt bt x}

        c c _{bt   bx }

   S   x  e  e  exp e  exp 1  e

        b b

     

  Sehingga dengan mudah, bentuk fungsi distribusi kumulatif dapat kita tuliskan sebagai :

  c _bx

   

  F   x 

  1  S   x  1  exp 1  e  

    b

    Tentunya, formula tersebut berlaku untuk  x   , dan akan bernilai untuk x lainnya. Dengan demikian, terbukti bahwa suatu variabel acak X dengan _bx

  r   x  ce , ternyata memiliki distribusi Gompertz, dengan fungsi distribusi kumulatif seperti yang telah didefinisikan di atas.