Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat Pada Model Infeksi Hiv Sel +
PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT
PADA MODEL INFEKSI HIV SEL
�+ �
RIZKY HERMAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penerapan Metode
+
Runge-Kutta Orde Empat pada Model Infeksi HIV Sel
adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Rizky Hermawan
NIM G54110038
ABSTRAK
RIZKY HERMAWAN. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat pada Model
+
Infeksi HIV Sel
. Dibimbing oleh FAHREN BUKHARI dan ELIS
KHATIZAH.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) adalah virus yang menyerang sistem
kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AIDS (Acquied Immune
Deficiency Syndrome). HIV menyerang sel-sel tertentu dalam sistem kekebalan
+
+
tubuh yang disebut sel T atau sel
. Sel
adalah sel yang memunyai
peran sentral sebagai sistem kekebalan tubuh dan dijadikan sebagai indikator
utama untuk mengukur penyebaran infeksi HIV. Dalam tulisan ini disajikan
+
model infeksi HIV pada sel
untuk mengetahui tingkat penyebaran infeksi
HIV. Setelah itu dilakukan analisis kestabilan dan penyelesaian numerik
menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Penyelesaian numerik ini
+
memperlihatkan penurunan jumlah sel
terhadap waktu. Oleh karena itu
dapat diketahui periode laju penurunan cepat dan laju penurunan lambat. Dengan
melihat hal itu dapat diketahui langkah pengobatan yang paling tepat terhadap
penderita HIV/AIDS.
+
Kata kunci: sel
, model infeksi HIV pada sel
Kutta orde empat.
+
,
metode Runge-
ABSTRACT
RIZKY HERMAWAN. Implementation of the Fourth Order Runge-Kutta Method
+
on
Cell HIV Infection model. Supervised by FAHREN BUKHARI and
ELIS KHATIZAH.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) is a virus that attacks the human immune
system and then causing AIDS (Acquied Immune Deficiency Syndrome). HIV
+
attacks some particular cells in the immune system, namely the T-cell or
+
cell.
cell is the cell which has central role in immune system and becomes
the main indicator to measure HIV infection spread. In this paper, a HIV infection
+
model against
cell is presented to determine the level of HIV infection.
After that, the stability analysis is performed and the numerical solution is
obtained using the fourth order Runge-Kutta method. The solution shows a
+
decline of
cell concentration with respect to time. Therefore, it identifies
the period when the decline is either fast or slow. By considering this time range,
it is feasible to determine the appropriate treatment step for HIV/AIDS patients.
Keywords:
+
cell,
Kutta method .
+
cell HIV Infection model, fourth order Runge-
PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT
PADA MODEL INFEKSI HIV SEL
�+ �
RIZKY HERMAWAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2014 ini ialah
+
Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat pada Model Infeksi HIV Sel
.
Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh
karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain:
1 Suherman (Ayah) dan Adawiyah (Ibu) selaku orangtua, serta Ridwan selaku
adik, atas semua doa, dukungan, semangat, perhatian, nasihat dan kasih
sayangnya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
2 Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku dosen pembimbing pertama dan Elis
Khatizah, MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi,
saran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3 Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk
perbaikan karya ilmiah ini.
4 Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu yang
telah diberikan kepada penulis.
5 Seluruh staf Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua bantuan selama
perkuliahan dan proses menyelesaian karya ilmiah ini.
6 Teman-teman Matematika 48 atas segala dukungan, doa, semangat, perhatian
dan bantuannya.
7 Parara, Hasan, Resty, Ari, Mula, Dinar, dan Aul sebagai sahabat yang selalu
memberikan saran, dukungan, perhatian dan kasih sayang.
8 Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat
disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan
kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini
bermanfaat.
Bogor, Juli 2015
Rizky Hermawan
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
Titik Tetap
2
Pelinearan
3
Nilai Eigen
3
Kestabilan Titik Tetap
4
Bilangan Reproduksi Dasar
5
Metode Runge-Kutta Orde Empat
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pemodelan
6
Penentuan Titik Tetap Model
7
Analisis Kestabilan Model
8
Metode Runge-Kutta Orde Empat
SOLUSI NUMERIK
10
11
Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen
12
Hasil numerik metode Runge-Kutta orde empat
13
SIMPULAN DAN SARAN
15
Simpulan
15
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
+
Nilai parameter Model infeksi HIV pada sel
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
dan
Titik tetap, kriteria Routh-Hurwitz, dan kestabilan
Nilai Aproksimasi Runge-Kutta Orde Empat
11
12
13
13
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik solusi model dengan nilai =0, =20, dan �=100
2 Grafik solusi model dengan nilai =0, =150, dan �=750
14
14
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan titik tetap model infeksi HIV pada sel CD + T
2 Penentuan nilai eigen model infeksi HIV pada sel CD + T
3 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen model infeksi HIV pada sel
CD + T
4 Solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat
5 Plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde empat
17
21
25
26
27
PENDAHULUAN
Latar Belakang
HIV (Human Immunodeficiency Virus) adalah virus yang menyerang sistem
kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AIDS (Acquied Immune
Deficiency Syndrome). HIV menyerang sel-sel tertentu dalam sistem kekebalan
+
+
tubuh yang disebut sel T atau sel
. Sel
adalah antibodi yang
dihasilkan oleh limposit T Helper dan mempunyai peran sentral mengatur sistem
+
kekebalan tubuh. Pada manusia normal, tingkatan sel
di dalam darah
nilainya antara 800 sampai 1200
. Jika tubuh telah terinfeksi HIV, secara
otomatis kekebalan tubuh akan menurun sampai pada suatu saat tubuh tidak lagi
mempunyai daya tahan terhadap serangan penyakit. Apabila hal ini terjadi,
penyakit yang biasanya tidak berbahayapun akan dapat membuat orang tersebut
menderita atau bahkan meninggal (Perelson et al. 1993).
+
Infeksi HIV terhadap sel
timbul secara kronologis dan dapat
+
+
diramalkan berdasarkan nilai hitung sel
. Informasi nilai hitung sel
sangat penting untuk membuat keputusan klinis seperti pemberian terapi
antiretrovirus, profilaksis infeksi opportunistik dan penilaian progresivitas
penyakit. Infeksi oportunistik tertentu timbul sesuai dengan derajat defisiensi
+
imun yang direflikasikan oleh jumlah sel
yang menurun secara bertahap.
+
Berdasarkan nilai hitung sel
derajat defisiensi imun pasien HIV
+
diklasifikasikan menjadi ringan (dini) jika jumlah sel
lebih dari 500
+
, defisiensi imun sedang jika jumlah sel
200-500
+
dan defisiensi berat jika jumlah sel
kurang dari 200 (Lidya 1996).
Sampai saat ini belum ditemukan obat untuk menyembuhkan penderita
HIV/AIDS sehingga banyak peneliti melakukan penelitian untuk mengetahui
tingkat penyebaran infeksi HIV. Salah satunya yaitu Atangana dan Goufu (2014)
+
yang menyajikan model dinamika infeksi HIV pada sel
.
+
Model dasar infeksi HIV pada sel
telah dikembangkan oleh
Perelson, Kirscner, dan Boer (1993) untuk menjelaskan jumlah kuantitatif dari
infeksi HIV. Model ini juga menjelaskan periode waktu antara infeksi yang
tersembunyi dan serangan penyakit AIDS oleh virus di dalam darah. Selain itu,
+
model tersebut digunakan untuk menguji derajat penurunan sel
yang
disebabkan oleh virus dan tidak berhubungan dengan respon kekebalan tubuh
terhadap HIV. Pada model tersebut, jika laju infeksi lambat digantikan dengan
+
laju infeksi cepat maka akan terjadi penurunan jumlah sel
secara
signifikan pada pasien (Perelson et al. 1993).
+
Model infeksi HIV pada sel
diformulasikan dalam sistem persamaan
diferensial biasa. Oleh karena itu, digunakan analisis kestabilan untuk melihat
perilaku dari setiap titik tetap dan digunakan metode Runge-Kutta orde empat
+
untuk memeroleh penyelesaian numerik. Tahap awal dicari titik tetap sel
+
sehat dan titik sel
terinfeksi virus. Selanjutnya, dilakukan analisis
kestabilan pada setiap titik tetap yang diperoleh dengan tujuan mengetahui
perilaku dari setiap titik tetap. Selain itu, diimplementasikan metode Runge-Kutta
orde empat untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai
+
+
awal sehingga diperoleh penyelesaian numerik untuk sel
sehat, sel
2
terinfeksi, dan infeksi HIV di dalam darah. Dihasilkan pula grafik solusi untuk
+
+
menampilkan perilaku sel
sehat, sel
terinfeksi, dan infeksi HIV di
dalam darah. Penyelesaian numerik dan grafik solusi memperlihatkan penurunan
+
jumlah sel
terhadap waktu sehingga dalam bidang kesehatan dapat dilihat
+
+
saat laju penurunan sel
berlangsung cepat dan laju penurunan sel
berlangsung lambat. Dengan melihat hal itu dapat diketahui langkah pengobatan
seperti apa yang harus dilakukan terhadap pasien penderita HIV/AIDS.
+
Karya ilmiah ini membahas perilaku model infeksi HIV pada sel
menggunakan analisis kestabilan dan penyelesaian metode Runge-Kutta orde
empat. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang di tulis oleh Atangana
dan Goufu (2014).
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
+
1 Meninjau perilaku penyebaran infeksi HIV pada sel
di setiap titik
tetap dengan analisis kestabilan,
2 mengimplementasikan algoritme metode Runge-Kutta orde empat pada
model sehingga ditampilkan grafik solusi numerik untuk melihat tingkat
+
penyebaran infeksi HIV pada sel
terhadap waktu.
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan untuk menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi titik tetap, pelinearan, nilai eigen,
kestabilan titik tetap, bilangan reproduksi dasar, dan metode Runge-Kutta orde
empat.
Titik Tetap
Titik tetap adalah titik kritis atau titik kesetimbangan. Misalkan suatu sistem
persamaan umum diferensial taklinear dinyatakan sebagai berikut :
(1)
̇
Suatu titik
yang memenuhi
titik tetap dari sistem Persamaan (1).
disebut titik keseimbangan atau
(Tu 1994)
Misalkan titik
adalah titik tetap sistem Persamaan (1) dan
adalah
solusi sistem persamaan diferensial (SPD) dengan nilai awal
dengan
. Titik dikatakan titik tetap stabil, jika untuk sembarang
terdapat
|
sedemikian sehingga jika posisi awal
memenuhi |
, maka
|
solusi
memenuhi |
, untuk setiap
. Sebaliknya jika titik
dikatakan titik tetap tak stabil, jika untuk sembarang
dan
, terdapat
|
posisi awal
memenuhi |
, sehingga berakibat solusi
|
memenuhi |
, untuk sedikitnya
.
(Verhulst 1990)
3
Pelinearan
Analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan
dengan menggunakan teknik pelinearan. Sistem persamaan diferensial taklinear
yang tidak bergantung terhadap waktu biasa dituliskan dalam bentuk:
̇
(2)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh:
̇
.
(3)
Karena Persamaan (3) merupakan Sistem Persamaan Diferensial taklinear,
suku berorde tinggi dengan
dan A matriks jacobi sebagai
berikut:
̇
[
]
Selanjutnya
pada Persamaan (3) disebut pelinearan dari sistem taklinear
Persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan berikut:
̇
.
(4)
(Tu 1994)
Nilai Eigen
Misalkan A adalah matriks � � maka suatu vektor tak nol x di dalam
disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari
A, berlaku
(5)
Berdasarkan Persamaan (5) vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian
dengan nilai eigen dari matriks yang berukuran � � maka Persamaan (5)
dapat dituliskan sebagai berikut:
(6)
dengan pada Persamaan (6) merupakan matriks identitas. Selanjutnya diperoleh
Persamaan (6) yang mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
(7)
sehingga Persamaan (7) disebut persamaan karakteristik dari A.
(Anton 2004)
4
Kestabilan Titik Tetap
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan dengan menggunakan matriks
Jacobi yaitu matriks . Titik tetap disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi ,
selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (7) diperoleh nilai eigennya, yaitu
dengan
�.
Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh, secara umum kestabilan titik tetap
mempunyai tiga perilaku sebagai berikut:
1 Stabil, jika:
a setiap nilai eigen real adalah negatif ( 0),
b beberapa komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar atau
sama dengan nol (Re( ) > 0 untuk setiap i ).
3 Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen real adalah negatif (
untuk setiap i dan j sembarang)
(Tu 1994)
Selain itu kestabilan dapat diperoleh menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Berdasarkan persamaan karakteristik pada Persamaan (7), kriteria Routh-Hurwitz
dapat digunakan untuk menentukan kestabilan suatu titik tetap. Secara umum
menurut Fisher (1990), misalkan a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli dan aj = 0 jika
j > k dengan persamaan polinomial karakteristik:
Nilai eigen dari Persamaan (7) akan memunyai bagian real negatif jika dan
hanya jika determinan matriks M n x n untuk n = 1,2,3,...,k dengan:
(8)
[
]
adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu
nilai n (untuk n = 2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:
n = 2; a1 > 0, a2 > 0,
n = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3,
n = 4; a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a1a2a3 > a32 + a12a4.
5
Khusus untuk kasus n = 3, misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian real nilai
eigen dari persamaan polinomial karakteristik:
(9)
adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C.
(Fisher 1990)
Bilangan Reproduksi Dasar
Selanjutnya akan dibahas mengenai bilangan reproduksi dasar, . Bilangan
reproduksi dasar adalah rata-rata jumlah infeksi sekunder yang disebabkan oleh
datangnya individu terinfeksi tunggal ke dalam populasi yang rentan terserang
penyakit, atau bisa juga dikatakan
merupakan reproduksi dasar virus. Berikut
adalah analisis untuk nilai
:
1
< 1: virus tidak dapat bertahan hidup di dalam populasi,
2
> 1: virus dapat bertahan hidup didalam populasi.
(Giesecke 1994)
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Penyelesaian persamaan deferensial dengan metode deret Taylor tidak
praktis karena metode tersebut membutuhkan perhitungan turunan
Selain
itu, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang
bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor, semakin tinggi
turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini, metode deret Taylor
yang berorde tinggi pun tidak dapat diterima dalam masalah praktek.
Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang
tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan
derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan
mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi
pada
titik terpilih dalam setiap langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode penentuan
solusi persamaan deferensial paling populer karena banyak dipakai dalam praktek.
Perhatikan masalah nilai awal berikut:
,
dengan y merupakan fungsi atau sistem yang belum diketahui dan bergantung
pada variabel x.
Untuk suatu h > 0 yang disebut riap (increment), untuk n = 0, 1, 2, . . .,
didefinisikan
+
dengan
+
(10)
6
Pada skema di atas,
+
+
merupakan aproksimasi Runge-Kutta orde empat bagi
(Munir 2003)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan
Model yang akan disajikan berikut ini dideskripsikan oleh Atangana dan
+
Goufu (2014). Model HIV pada sel
digunakan untuk mengetahui jumlah
virus hidup yang bertambah setiap waktu. Model ini merupakan sistem persamaan
diferensial biasa. Oleh karena itu, kebergantungan spasial diabaikan, dan berbagai
macam interaksi diperkirakan terjadi dalam kompartemen yang tercampur di
dalam aliran darah.
+
Berikut ini uraian model HIV pada sel
yang diekspresikan secara
matematika sebagai suatu sistem persamaan diferensial,
(
)
dengan
, dengan:
+
T
: banyaknya populasi sel
sehat,
+
I
: banyaknya populasi sel
terinfeksi,
V
: banyaknya populasi virus HIV,
+
p
: laju sel
baru dihasilkan di dalam tubuh,
+
r
: laju pertumbuhan populasi maksimum sel
,
+
α
: laju kematian sel
sehat,
+
: populasi maksimum sel
,
k
: laju infeksi virus,
+
: laju kematian sel
terinfeksi,
: laju kematian virus,
+
N
: total virus yang diproduksi oleh sel
selama hidup.
(11)
+
Berdasarkan model di atas dapat ditunjukan bahwa sel
yang sehat
+
dihasilkan dari dalam tubuh dengan laju kelahiran sebesar p. Sel
juga
+
dihasilkan melalui perkembangbiakan sel
yang ada. Pada karya ilmiah ini
laju pertumbuhan maksimum populasi dinyatakan dengan fungsi logistik, dengan
+
r adalah laju pertumbuhan maksimum populasi. Sel
mempunyai laju
+
kematian alami sebesar α. Pada saat tubuh terinfeksi HIV, sel
menjadi
7
+
terinfeksi. Virus ini yaitu V menginfeksi sel
dengan laju k. Virus
+
mempunyai kematian alami sebesar . Sel
terinfeksi dinyatakan dalam
+
notasi I yang memproduksi jumlah total virus sebesar N. Sel
terinfeksi
+
mempunyai kematian alami sebesar . Jumlah total sel
dibatasi oleh
+
yang dinyatakan dalam fungsi logistik
dengan
) tidak lebih
+
besar dari
. Tingkat kematian sel
sehat pada waktu t dinyatakan
+
dengan
. Pada saat virus HIV menginfeksi sel
dengan laju k
+
menyebabkan sel
yang sehat berkurang sebesar kVT. Jika tingkat infeksi
+
virus adalah kVT maka tingkat kematian sel
terinfeksi pada waktu t adalah
+
. Peningkatan jumlah virus di sel
diakibatkan oleh hasil produksi sel
+
yang terinfeksi yang dinyatakan dalam variabel I. Sehingga tingkat
produksi virus baru adalah N I. Virus mempunyai laju kematian yang
menyebabkan jumlah virus pada waktu t berkurang sebesar .
Penentuan Titik Tetap Model
Pada bagian ini akan dilakukan penentuan titik tetap untuk mencari titik
+
tetap sehat dan terinfeksi dari model infeksi HIV pada sel
. Titik tetap
sistem Persamaan (11) di dapat dari
dan
sehingga
diperoleh:
(12)
(
)
(13)
(14)
Dengan menyelesaikan Persamaan (12), (13), dan (14) diperoleh tiga titik
tetap yaitu (
),
, dengan:
[
√
]
(15)
[
√
]
(16)
(17)
(18)
8
(19)
(Lampiran 1)
Asumsikan bahwa tidak ada virus di dalam tubuh (V = 0), maka I = 0 dan
diperoleh dua titik tetap yang sehat yaitu:
(
) dan
Jika
√
,
(Lampiran 1)
maka bernilai negatif sehingga kestabilan tidak dianalisis lebih lanjut karena
+
jumlah populasi sel
sehat tidak akan bernilai negatif.
Selanjutnya titik tetap terinfeksi diperoleh dengan menyelesaikan sistem
Persamaan (11) yaitu
.
Analisis Kestabilan Model
+
Model infeksi HIV pada sel
merupakan sistem persamaan
diferensial tak linear. Untuk mempermudah analisis kestabilan model, maka
dilakukan analisis titik tetap pada sistem Persamaan (11), sehingga diperoleh
matriks Jacobi sebagai berikut:
+
).
Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai titik tetap
Jacobi terkait
sebagai berikut:
(
(
)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
nilai eigen untuk matriks yaitu:
(20)
, di peroleh matriks
(21)
)
, diperoleh
9
√
[
]
√
[
Karena semua parameter bernilai positif,
dan
stabil jika dan hanya jika:
yang berarti
yang berarti
]
< 0 sehingga nilai eigen
atau
Pada kondisi
(Lampiran 2)
yang merupakan
diperoleh besaran
+
bilangan reproduksi dasar virus dalam populasi sel
. Ketika 1 maka populasi tidak stabil karena virus akan bertahan
hidup dalam populasi.
Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai titik tetap
, maka di peroleh
matriks Jacobi terkait
sebagai berikut:
(
(
)
)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
suatu persamaan yang bergantung pada yaitu
diperoleh
dengan
+
(22)
+
(23)
(24)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik tetap stabil diperoleh jika > 0,
, dan
–
. Dari Persamaan (24) diperoleh nilai
karena
dan untuk selanjutnya nilai
dan
–
jika
+
yang berarti
Bentuk A dan B dapat ditulis
dan
sehingga dapat ditunjukan bahwa
yang berarti
–
.
(Lampiran 2)
10
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Setelah mencari kondisi kestabilan, dilakukan pendekatan penyelesaian dari
sistem Persamaan (11) untuk memeroleh solusi numerik menggunakan algoritme
metode Runge-Kutta orde empat. Berikut adalah algoritme penyelesaian model
+
infeksi HIV pada sel
.
Tuliskan kembali sistem Persamaan (11) dalam bentuk berikut:
dengan
)
(
Algoritme untuk menentukan solusi diberikan seperti berikut:
a Menentukan persamaan fungsi dan nilai awal terhadap
,
b menentukan nilai h dengan a sebagai nilai awal, b sebagai nilai akhir, dan n
sebagai jumlah loop,
�
c menentukan solusi dari persamaan fungsi terhadap T, I, V selama n iterasi.
for i = 1,.......,n, do:
�
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
�
�
�
�
end.
�
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
SOLUSI NUMERIK
Pada bagian ini akan ditampilkan hasil numerik yang diperoleh dari analisis
titik tetap dan nilai eigen serta hasil numerik dan grafik solusi metode Runge+
Kutta orde empat untuk model infeksi HIV pada sel
. Hasil numerik
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai Parameter
Notasi
Nilai
10
0.0027
0.02
0.3
2.4
0.03
10
1500
Nilai
bersumber dari Perelson, Kirscner, dan Boer 1992.
Nilai
bersumber dari Atangana dan Goufu 2014. Selain itu digunakan
bilangan reproduksi dasar ( ).
12
Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen
Pada bagian ini hasil numerik dilakukan dengan cara mensubtitusikan nilai
parameter pada Tabel 1 ke dalam
, ,dan serta nilai eigen setiap titik tetap.
Hal ini dilakukan untuk menampilkan hasil numerik titik tetap dan nilai eigen
+
+
serta melihat kestabilan dari sel
sehat dan sel
terinfeksi.
+
Sel
sehat ditunjukan pada saat
dan
, model infeksi HIV
+
pada sel
menghasilkan titik tetap kesetimbangan tanpa infeksi HIV. Dapat
dilihat sebagai berikut:
Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
dan
Luaran
Jenis kestabilan
Sadel
-
Pada Tabel 2, dapat dilihat bahwa terdapat dua titik tetap yang diperoleh untuk
+
model infeksi HIV pada sel
. Karena populasi tidak akan bernilai negatif,
titik tetap tidak dilanjutkan untuk dianalisis.
+
Pada saat sel
terinfeksi diperoleh titik tetap ke tiga. Dengan
mensubtitusikan nilai parameter Tabel 1 ke dalam
dan Persamaan (22), (23),
(24) diperoleh Tabel 3 yaitu,
13
Tabel 3 Titik tetap, kriteria Routh-Hurwitz, dan kestabilan
Luaran
Jenis kestabilan
Stabil
Berdasarkan Tabel 3 kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi sehingga diperoleh
stabil.
(Lampiran 3)
Hasil numerik metode Runge-Kutta orde empat
Pada bagian ini akan ditampikan solusi numerik dan grafik solusi model
+
infeksi HIV pada sel
dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat. Hasil numerik dilakukan dengan mensubtitusikan nilai parameter pada
Tabel 1 ke dalam algoritme metode Runge-Kutta orde empat. Dengan nilai awal
dan
diperoleh hasil numerik berikut
Tabel 4 Nilai Aproksimasi Runge-Kutta Orde Empat
0
+
(Lampiran 4)
+
sehat menurun karena sel
Dari Tabel 4 diperoleh nilai sel
terinfeksi meningkat dan virus HIV meningkat.
Selanjutnya, untuk melihat kestabilan titik tetap dan tingkat penyebaran
infeksi HIV, dibuat grafik solusi terhadap model sebagai berikut
14
Gambar 1 Grafik solusi Model dengan nilai
�
+
Gambar 1 menjelaskan penurunan jumlah sel
sehat yang
+
disebabkan oleh peningkatan jumlah sel
terinfeksi dan virus HIV. Pada
+
Gambar 1 dapat dilihat bahwa sel
sehat mulai mengalami penurunan
secara signifikan dari tahun keempat sampai tahun ketujuh, hal ini disebabkan
+
oleh sel
terinfeksi dan virus HIV yang mulai meningkat di tahun yang
+
sama. Setelah itu, ditahun kedelapan sel
sehat mencapai titik terendah
+
+
sehingga sel
terinfeksi dan virus HIV mencapai titik tertinggi. Sel
terinfeksi dan virus HIV mulai mengalami penurunan pada tahun kedelapan
+
sehingga membuat sel
sehat sedikit meningkat tetapi tidak signifikan.
Gambar 2 Grafik solusi Model dengan nilai
�
+
+
Gambar 2 menjelaskan jumlah sel
sehat, sel
terinfeksi,
dan virus HIV dalam keadaan stabil. Dapat dilihat pada Gambar 2 bahwa setelah
15
+
+
tahun ke delapan sel
sehat, sel
terinfeksi, dan virus HIV
mengalami osilasi dan mulai stabil pada saat t=140. Nilai titik tetap stabil yang
diperoleh dari metode Runge-Kutta orde empat pada saat t=140 yaitu
,
, dan
. Nilai titik tetap pada saat
t=140 akan terus mendekati nilai titik tetap stabil yang diperoleh pada Tabel 3
sehingga metode ini dapat menduga hasil numerik yang stabil untuk model infeksi
+
HIV pada sel
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
+
Model infeksi HIV pada sel
memiliki tiga titik tetap yaitu ,
,dan
. Dengan memilih nilai parameter pada Tabel 1 diperoleh bahwa
kestabilan
bersifat sadel dan
bersifat stabil. Solusi numerik diselesaikan
+
menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk melihat perilaku sel
+
sehat, sel
terinfeksi. Metode ini dapat menduga nilai titik tetap yang stabil
+
untuk model infeksi HIV pada sel
.
Saran
+
Karya ilmiah ini membahas model infeksi HIV pada sel
dilakukan
untuk melihat tingkat penyebaran infeksi HIV dengan menggunakan metode
Runge-Kutta orde empat. Hasil dari karya ilmiah ini dapat digunakan untuk
mengetahui waktu yang tepat untuk melakukan pengobatan.
16
DAFTAR PUSTAKA
Atangana A, Goufu EFD. 2014. Computational Analysis of the Model Describing
+
HIV Infection of
Cells, Applied Mathematical Modelling. Biomed. 7
pages.doi:10.1155/2014/618404.
Anton H. 2004. Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga.
Fisher SD. 1990. Complex Variables. California (US): Wadsworth & Brooks.
Giesecke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemiology. Oxford University
Press, New York.
Wang L and Li MY, “Mathematical analysis of the global dynamics of a model
for HIV infection of CD4+ T cells,” Mathematical Biosciences, vol. 200, no.
1, pp. 44–57, 2006.
Lydia A. 1996. Gambaran klinis dan Laboratorium Acquired Immunodeficiency
Syndrome di Jakarta dalam perkembangan mutakhir ilmu penyakit dalam.
Balai penerbit FKUI. Jakarta.
Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung (ID): Informatika.
Perelson AS, Kirschner DE, Boer DR. 1993. Dynamic of HIV infection of
+
cells. Math. Biosci. 114(1):81-125.
Tu PNV.1994.Dynamical System, An Introduction with Application in Economics
and Biology. Germany: Springer-Verlag.
Verhlust F.1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System.
Germany: Springer-Verlag.
17
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan titik tetap model
Model Persamaan (11):
(
)
Titik tetap model Persamaan (11) ditentukan dengan membuat persamaan
menjadi
,
, dan
seperti pada Persamaan (12), (13), dan (14)
berikut:
(
)
Asumsikan V = 0 dan I = 0 sehingga diperoleh:
(
)
Dengan menggunakan rumus ABC pada Persamaan (23) diperoleh:
√
√
(25)
18
[
]
√
[
√
]
[
√
]
Jadi, titik tetap
Untuk titik tetap
dan
bernilai negatif, akan dibuktikan
bernilai negatif
bukti,
√
[
]
√
[√
]
karena
√
√
Maka
[√
√
]
Dari Persamaan (11) diperoleh:
(26)
Dari Persamaan (12) diperoleh:
19
(27)
Dari Persamaan (23) dan (24) diperoleh:
(28)
Substitusikan Persamaan (25) dan (26) ke Persamaan (10)
(
(
(
+
)
(
)
)
)
Dengan membuat s=Nk diperoleh:
(
(
)
)
20
Jadi, titik tetap
(
+
+
)
Karena titik tetap
bernilai negatif, titik ini tidak dapat digunakan untuk
menganalisis kestabilan. Jadi, titik tetap yang digunakan adalah dan .
21
Lampiran 2 Penentuan nilai eigen model
Misalkan model Persamaan (9) dituliskan sebagai berikut:
+
,
.
Dengan melakukan pelinearan didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:
,
(
+
)
+
+
+
(
(
)
)
22
Analisis titik tetap tak terinfeksi
Substitusikan titik tetap
ke dalam matrik Jacobi model Persamaan
(11) dengan cara pendekatan limit
(
(
(
(
)
)
)
)
Kemudian dicari nilai eigen dengan menggunakan persamaan
karakteristik
(
, sehingga diperoleh:
|
[(
|
( (
][
)
)
|
)
|
√
][
√
]
√
√
Sistem akan stabil jika ketiga nilai eigen bernilai negatif yaitu
dan
. Oleh karena itu syarat-syarat yang harus dipenuhi agar
sistem di stabil.
a. Karena semua parameter bernilai positif, maka
b.
jika
c.
jika √
atau
atau
23
Besaran
merupakan bilangan reproduksi dasar virus hidup
dalam populasi. Ketika 1 maka populasi
tidak stabil karena virus akan bertahan hidup dalam populasi.
Anaisis titik tetap terinfeksi
Diketahui matriks Jacobi adalah
(
)
(
Pelinearan pada titik tetap
dengan
(17), (18), dan (19) diperoleh matriks
menggunakan persamaan karakteristik
(
|
)
[
+
+
]
[
]
]
+
+
[
]
+
Karena
|
+
[
(
)
seperti pada Persamaan
Kemudian dicarinilai eigen
maka
[
]
+
]
]
+
]
[
]
[
[
[
+
+
24
[
+
+
]
]
[
Persamaan diatas merupakan persamaan karakteristik yang dapat ditulis sebagai
berikut
dengan:
+
+
Berdasarkan persamaan karakteristik, kriteria Routh-Hurwitz dapat digunakan
untuk menetapkan titik tetap stabil, jika
> 0,
, dan
–
terpenuhi maka,
karena
+
yang berarti
Bentuk A dan B dapat ditulis
dan
sehingga dapat ditunjukan bahwa
yang berarti
–
.
25
Lampiran 3 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen dengan software
Mathematica 10.1
26
Lampiran 4 Program solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat (Tabel 4) dengan software scilab 5.4.1
function [T, I, V]=hiv(p, a, b, c, k, tmax, r, n, T0, I0, V0, tf,
t0, f)
h= (tf-t0)/n;
T= zeros(1,n+1);
I= zeros(1,n+1);
V= zeros(1,n+1);
T(1) = T0;
I(1) = I0;
V(1) = V0;
for i=1:n
s11 = p - a*T(i) + r*T(i)*(1 - (T(i)+I(i))/tmax ) k*V(i)*T(i);
s12 = p - a*(T(i)+s11*h/2) + r*(T(i)+s11*h/2)*(1((T(i)+s11*h/2)+(I(i)+s11*h/2))/tmax) k*(V(i)+s11*h/2)*(T(i)+s11*h/2);
s13 = p - a*(T(i)+s12*h/2) + r*(T(i)+s12*h/2)*(1((T(i)+s12*h/2)+(I(i)+s12*h/2))/tmax) k*(V(i)+s12*h/2)*(T(i)+s12*h/2);
s14 = p - a*(T(i)+s13*h) + r*(T(i)+s11*h)*(1((T(i)+s13*h)+(I(i)+s13*h))/tmax) - k*(V(i)+s13*h)*(T(i)+s13*h);
s1 = (s11+2*s12+2*s13+s14)/6;
s21 = k*V(i)*T(i)-b*I(i);
s22 = k*(V(i)+s21*h/2)*(T(i)+s21*h/2) - b*(I(i)+s21*h/2);
s23 = k*(V(i)+s22*h/2)*(T(i)+s22*h/2) - b*(I(i)+s22*h/2);
s24 = k*(V(i)+s23*h)*(T(i)+s23*h) - b*(I(i)+s23*h);
s2 = (s21+2*s22+2*s23+s24)/6;
s31 = f*b*I(i) - c*V(i);
s32 = f*b*(I(i)+s31*h/2) - c*(V(i)+s31*h/2);
s33 = f*b*(I(i)+s32*h/2) - c*(V(i)+s32*h/2);
s34 = f*b*(I(i)+s33*h) - c*(V(i)+s33*h);
s3 = (s31+2*s32+2*s33+s34)/6;
T(i+1) = T(i) + h*s1;
I(i+1) = I(i) + h*s2;
V(i+1) = V(i) + h*s3;
end
endfunction
27
Lampiran 5 Program plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat (Gambar 4) dengan software scilab 5.4.1
clear all
p = 10;
a = 0.02;
b = 0.3;
c = 2.4;
r = 0.5;
k = 0.0027;
tmax = 1500;
f = 10;
T0 = 1000;
I0 = 0;
V0 = 0.1;
tf = 20;
t0 = 0;
n = 100;
[ T, I, V ] = hiv(p,a,b,c,k,tmax,r,n,T0,I0,V0,tf,t0,f);
t = linspace(0,tf,n+1);
plot(t,T,'g','LineWidth',2);
plot(t,I,'r','LineWidth',2);
plot(t,V,'b','LineWidth',2);title('Model infeksi HIV pada sel
CD4+T');
legend('Sel CD4+T sehat','Sel CD4+T terinfeksi','virus
HIV');xlabel('hari');ylabel('Jumlah populasi');
figure;
clear all
p = 10;
a = 0.02;
b = 0.3;
c = 2.4;
r = 0.5;
k = 0.0027;
tmax = 1500;
f = 10;
T0 = 1000;
I0 = 0;
V0 = 0.1;
tf = 150;
t0 = 0;
n = 750;
[ T, I, V ] = hiv(p,a,b,c,k,tmax,r,n,T0,I0,V0,tf,t0,f);
t = linspace(0,tf,n+1);
plot(t,T,'g','LineWidth',2);
plot(t,I,'r','LineWidth',2);
28
plot(t,V,'b','LineWidth',2);title('Model infeksi HIV pada sel
CD4+T');
legend('Sel CD4+T sehat','Sel CD4+T terinfeksi','virus
HIV');xlabel('hari');ylabel('Jumlah populasi');
figure;
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada 22 April 1993 sebagai anak pertama dari
tiga bersaudara pasangan Suherman dan Adawiyah. Tahun 2011 penulis lulus dari
Madrasah Aliyah Negeri 1 Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Undangan.
Selama masa perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa dari PT Aneka
Tambang tahun 2012. Penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Departemen Math Event GUMATIKA
tahun 2013 dan kepala Departemen Math Event GUMATIKA tahun 2014. Selain
itu, penulis mengikuti berbagai kepanitian, antara lain staf divisi logistik dan
transfortasi Jurnalistik Fair ke-5 (2012), ketua pelaksana Ramah Tamah Civitas
Matematika (2013), dan ketua pelaksana Welcome Ceremony Mathematics (2014).
Penulis juga aktif sebagai pengajar pada bimbingan belajar Kumon.
PADA MODEL INFEKSI HIV SEL
�+ �
RIZKY HERMAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penerapan Metode
+
Runge-Kutta Orde Empat pada Model Infeksi HIV Sel
adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2015
Rizky Hermawan
NIM G54110038
ABSTRAK
RIZKY HERMAWAN. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat pada Model
+
Infeksi HIV Sel
. Dibimbing oleh FAHREN BUKHARI dan ELIS
KHATIZAH.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) adalah virus yang menyerang sistem
kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AIDS (Acquied Immune
Deficiency Syndrome). HIV menyerang sel-sel tertentu dalam sistem kekebalan
+
+
tubuh yang disebut sel T atau sel
. Sel
adalah sel yang memunyai
peran sentral sebagai sistem kekebalan tubuh dan dijadikan sebagai indikator
utama untuk mengukur penyebaran infeksi HIV. Dalam tulisan ini disajikan
+
model infeksi HIV pada sel
untuk mengetahui tingkat penyebaran infeksi
HIV. Setelah itu dilakukan analisis kestabilan dan penyelesaian numerik
menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Penyelesaian numerik ini
+
memperlihatkan penurunan jumlah sel
terhadap waktu. Oleh karena itu
dapat diketahui periode laju penurunan cepat dan laju penurunan lambat. Dengan
melihat hal itu dapat diketahui langkah pengobatan yang paling tepat terhadap
penderita HIV/AIDS.
+
Kata kunci: sel
, model infeksi HIV pada sel
Kutta orde empat.
+
,
metode Runge-
ABSTRACT
RIZKY HERMAWAN. Implementation of the Fourth Order Runge-Kutta Method
+
on
Cell HIV Infection model. Supervised by FAHREN BUKHARI and
ELIS KHATIZAH.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) is a virus that attacks the human immune
system and then causing AIDS (Acquied Immune Deficiency Syndrome). HIV
+
attacks some particular cells in the immune system, namely the T-cell or
+
cell.
cell is the cell which has central role in immune system and becomes
the main indicator to measure HIV infection spread. In this paper, a HIV infection
+
model against
cell is presented to determine the level of HIV infection.
After that, the stability analysis is performed and the numerical solution is
obtained using the fourth order Runge-Kutta method. The solution shows a
+
decline of
cell concentration with respect to time. Therefore, it identifies
the period when the decline is either fast or slow. By considering this time range,
it is feasible to determine the appropriate treatment step for HIV/AIDS patients.
Keywords:
+
cell,
Kutta method .
+
cell HIV Infection model, fourth order Runge-
PENERAPAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT
PADA MODEL INFEKSI HIV SEL
�+ �
RIZKY HERMAWAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2014 ini ialah
+
Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat pada Model Infeksi HIV Sel
.
Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh
karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain:
1 Suherman (Ayah) dan Adawiyah (Ibu) selaku orangtua, serta Ridwan selaku
adik, atas semua doa, dukungan, semangat, perhatian, nasihat dan kasih
sayangnya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
2 Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku dosen pembimbing pertama dan Elis
Khatizah, MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi,
saran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3 Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk
perbaikan karya ilmiah ini.
4 Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu yang
telah diberikan kepada penulis.
5 Seluruh staf Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua bantuan selama
perkuliahan dan proses menyelesaian karya ilmiah ini.
6 Teman-teman Matematika 48 atas segala dukungan, doa, semangat, perhatian
dan bantuannya.
7 Parara, Hasan, Resty, Ari, Mula, Dinar, dan Aul sebagai sahabat yang selalu
memberikan saran, dukungan, perhatian dan kasih sayang.
8 Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat
disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan
kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini
bermanfaat.
Bogor, Juli 2015
Rizky Hermawan
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
Titik Tetap
2
Pelinearan
3
Nilai Eigen
3
Kestabilan Titik Tetap
4
Bilangan Reproduksi Dasar
5
Metode Runge-Kutta Orde Empat
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pemodelan
6
Penentuan Titik Tetap Model
7
Analisis Kestabilan Model
8
Metode Runge-Kutta Orde Empat
SOLUSI NUMERIK
10
11
Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen
12
Hasil numerik metode Runge-Kutta orde empat
13
SIMPULAN DAN SARAN
15
Simpulan
15
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
+
Nilai parameter Model infeksi HIV pada sel
Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
dan
Titik tetap, kriteria Routh-Hurwitz, dan kestabilan
Nilai Aproksimasi Runge-Kutta Orde Empat
11
12
13
13
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik solusi model dengan nilai =0, =20, dan �=100
2 Grafik solusi model dengan nilai =0, =150, dan �=750
14
14
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan titik tetap model infeksi HIV pada sel CD + T
2 Penentuan nilai eigen model infeksi HIV pada sel CD + T
3 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen model infeksi HIV pada sel
CD + T
4 Solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat
5 Plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde empat
17
21
25
26
27
PENDAHULUAN
Latar Belakang
HIV (Human Immunodeficiency Virus) adalah virus yang menyerang sistem
kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AIDS (Acquied Immune
Deficiency Syndrome). HIV menyerang sel-sel tertentu dalam sistem kekebalan
+
+
tubuh yang disebut sel T atau sel
. Sel
adalah antibodi yang
dihasilkan oleh limposit T Helper dan mempunyai peran sentral mengatur sistem
+
kekebalan tubuh. Pada manusia normal, tingkatan sel
di dalam darah
nilainya antara 800 sampai 1200
. Jika tubuh telah terinfeksi HIV, secara
otomatis kekebalan tubuh akan menurun sampai pada suatu saat tubuh tidak lagi
mempunyai daya tahan terhadap serangan penyakit. Apabila hal ini terjadi,
penyakit yang biasanya tidak berbahayapun akan dapat membuat orang tersebut
menderita atau bahkan meninggal (Perelson et al. 1993).
+
Infeksi HIV terhadap sel
timbul secara kronologis dan dapat
+
+
diramalkan berdasarkan nilai hitung sel
. Informasi nilai hitung sel
sangat penting untuk membuat keputusan klinis seperti pemberian terapi
antiretrovirus, profilaksis infeksi opportunistik dan penilaian progresivitas
penyakit. Infeksi oportunistik tertentu timbul sesuai dengan derajat defisiensi
+
imun yang direflikasikan oleh jumlah sel
yang menurun secara bertahap.
+
Berdasarkan nilai hitung sel
derajat defisiensi imun pasien HIV
+
diklasifikasikan menjadi ringan (dini) jika jumlah sel
lebih dari 500
+
, defisiensi imun sedang jika jumlah sel
200-500
+
dan defisiensi berat jika jumlah sel
kurang dari 200 (Lidya 1996).
Sampai saat ini belum ditemukan obat untuk menyembuhkan penderita
HIV/AIDS sehingga banyak peneliti melakukan penelitian untuk mengetahui
tingkat penyebaran infeksi HIV. Salah satunya yaitu Atangana dan Goufu (2014)
+
yang menyajikan model dinamika infeksi HIV pada sel
.
+
Model dasar infeksi HIV pada sel
telah dikembangkan oleh
Perelson, Kirscner, dan Boer (1993) untuk menjelaskan jumlah kuantitatif dari
infeksi HIV. Model ini juga menjelaskan periode waktu antara infeksi yang
tersembunyi dan serangan penyakit AIDS oleh virus di dalam darah. Selain itu,
+
model tersebut digunakan untuk menguji derajat penurunan sel
yang
disebabkan oleh virus dan tidak berhubungan dengan respon kekebalan tubuh
terhadap HIV. Pada model tersebut, jika laju infeksi lambat digantikan dengan
+
laju infeksi cepat maka akan terjadi penurunan jumlah sel
secara
signifikan pada pasien (Perelson et al. 1993).
+
Model infeksi HIV pada sel
diformulasikan dalam sistem persamaan
diferensial biasa. Oleh karena itu, digunakan analisis kestabilan untuk melihat
perilaku dari setiap titik tetap dan digunakan metode Runge-Kutta orde empat
+
untuk memeroleh penyelesaian numerik. Tahap awal dicari titik tetap sel
+
sehat dan titik sel
terinfeksi virus. Selanjutnya, dilakukan analisis
kestabilan pada setiap titik tetap yang diperoleh dengan tujuan mengetahui
perilaku dari setiap titik tetap. Selain itu, diimplementasikan metode Runge-Kutta
orde empat untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai
+
+
awal sehingga diperoleh penyelesaian numerik untuk sel
sehat, sel
2
terinfeksi, dan infeksi HIV di dalam darah. Dihasilkan pula grafik solusi untuk
+
+
menampilkan perilaku sel
sehat, sel
terinfeksi, dan infeksi HIV di
dalam darah. Penyelesaian numerik dan grafik solusi memperlihatkan penurunan
+
jumlah sel
terhadap waktu sehingga dalam bidang kesehatan dapat dilihat
+
+
saat laju penurunan sel
berlangsung cepat dan laju penurunan sel
berlangsung lambat. Dengan melihat hal itu dapat diketahui langkah pengobatan
seperti apa yang harus dilakukan terhadap pasien penderita HIV/AIDS.
+
Karya ilmiah ini membahas perilaku model infeksi HIV pada sel
menggunakan analisis kestabilan dan penyelesaian metode Runge-Kutta orde
empat. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang di tulis oleh Atangana
dan Goufu (2014).
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
+
1 Meninjau perilaku penyebaran infeksi HIV pada sel
di setiap titik
tetap dengan analisis kestabilan,
2 mengimplementasikan algoritme metode Runge-Kutta orde empat pada
model sehingga ditampilkan grafik solusi numerik untuk melihat tingkat
+
penyebaran infeksi HIV pada sel
terhadap waktu.
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan untuk menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi titik tetap, pelinearan, nilai eigen,
kestabilan titik tetap, bilangan reproduksi dasar, dan metode Runge-Kutta orde
empat.
Titik Tetap
Titik tetap adalah titik kritis atau titik kesetimbangan. Misalkan suatu sistem
persamaan umum diferensial taklinear dinyatakan sebagai berikut :
(1)
̇
Suatu titik
yang memenuhi
titik tetap dari sistem Persamaan (1).
disebut titik keseimbangan atau
(Tu 1994)
Misalkan titik
adalah titik tetap sistem Persamaan (1) dan
adalah
solusi sistem persamaan diferensial (SPD) dengan nilai awal
dengan
. Titik dikatakan titik tetap stabil, jika untuk sembarang
terdapat
|
sedemikian sehingga jika posisi awal
memenuhi |
, maka
|
solusi
memenuhi |
, untuk setiap
. Sebaliknya jika titik
dikatakan titik tetap tak stabil, jika untuk sembarang
dan
, terdapat
|
posisi awal
memenuhi |
, sehingga berakibat solusi
|
memenuhi |
, untuk sedikitnya
.
(Verhulst 1990)
3
Pelinearan
Analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan
dengan menggunakan teknik pelinearan. Sistem persamaan diferensial taklinear
yang tidak bergantung terhadap waktu biasa dituliskan dalam bentuk:
̇
(2)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh:
̇
.
(3)
Karena Persamaan (3) merupakan Sistem Persamaan Diferensial taklinear,
suku berorde tinggi dengan
dan A matriks jacobi sebagai
berikut:
̇
[
]
Selanjutnya
pada Persamaan (3) disebut pelinearan dari sistem taklinear
Persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan berikut:
̇
.
(4)
(Tu 1994)
Nilai Eigen
Misalkan A adalah matriks � � maka suatu vektor tak nol x di dalam
disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari
A, berlaku
(5)
Berdasarkan Persamaan (5) vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian
dengan nilai eigen dari matriks yang berukuran � � maka Persamaan (5)
dapat dituliskan sebagai berikut:
(6)
dengan pada Persamaan (6) merupakan matriks identitas. Selanjutnya diperoleh
Persamaan (6) yang mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
(7)
sehingga Persamaan (7) disebut persamaan karakteristik dari A.
(Anton 2004)
4
Kestabilan Titik Tetap
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan dengan menggunakan matriks
Jacobi yaitu matriks . Titik tetap disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi ,
selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (7) diperoleh nilai eigennya, yaitu
dengan
�.
Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh, secara umum kestabilan titik tetap
mempunyai tiga perilaku sebagai berikut:
1 Stabil, jika:
a setiap nilai eigen real adalah negatif ( 0),
b beberapa komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar atau
sama dengan nol (Re( ) > 0 untuk setiap i ).
3 Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen real adalah negatif (
untuk setiap i dan j sembarang)
(Tu 1994)
Selain itu kestabilan dapat diperoleh menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Berdasarkan persamaan karakteristik pada Persamaan (7), kriteria Routh-Hurwitz
dapat digunakan untuk menentukan kestabilan suatu titik tetap. Secara umum
menurut Fisher (1990), misalkan a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli dan aj = 0 jika
j > k dengan persamaan polinomial karakteristik:
Nilai eigen dari Persamaan (7) akan memunyai bagian real negatif jika dan
hanya jika determinan matriks M n x n untuk n = 1,2,3,...,k dengan:
(8)
[
]
adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu
nilai n (untuk n = 2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:
n = 2; a1 > 0, a2 > 0,
n = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3,
n = 4; a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a1a2a3 > a32 + a12a4.
5
Khusus untuk kasus n = 3, misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian real nilai
eigen dari persamaan polinomial karakteristik:
(9)
adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C.
(Fisher 1990)
Bilangan Reproduksi Dasar
Selanjutnya akan dibahas mengenai bilangan reproduksi dasar, . Bilangan
reproduksi dasar adalah rata-rata jumlah infeksi sekunder yang disebabkan oleh
datangnya individu terinfeksi tunggal ke dalam populasi yang rentan terserang
penyakit, atau bisa juga dikatakan
merupakan reproduksi dasar virus. Berikut
adalah analisis untuk nilai
:
1
< 1: virus tidak dapat bertahan hidup di dalam populasi,
2
> 1: virus dapat bertahan hidup didalam populasi.
(Giesecke 1994)
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Penyelesaian persamaan deferensial dengan metode deret Taylor tidak
praktis karena metode tersebut membutuhkan perhitungan turunan
Selain
itu, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang
bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor, semakin tinggi
turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini, metode deret Taylor
yang berorde tinggi pun tidak dapat diterima dalam masalah praktek.
Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang
tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan
derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan
mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi
pada
titik terpilih dalam setiap langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode penentuan
solusi persamaan deferensial paling populer karena banyak dipakai dalam praktek.
Perhatikan masalah nilai awal berikut:
,
dengan y merupakan fungsi atau sistem yang belum diketahui dan bergantung
pada variabel x.
Untuk suatu h > 0 yang disebut riap (increment), untuk n = 0, 1, 2, . . .,
didefinisikan
+
dengan
+
(10)
6
Pada skema di atas,
+
+
merupakan aproksimasi Runge-Kutta orde empat bagi
(Munir 2003)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan
Model yang akan disajikan berikut ini dideskripsikan oleh Atangana dan
+
Goufu (2014). Model HIV pada sel
digunakan untuk mengetahui jumlah
virus hidup yang bertambah setiap waktu. Model ini merupakan sistem persamaan
diferensial biasa. Oleh karena itu, kebergantungan spasial diabaikan, dan berbagai
macam interaksi diperkirakan terjadi dalam kompartemen yang tercampur di
dalam aliran darah.
+
Berikut ini uraian model HIV pada sel
yang diekspresikan secara
matematika sebagai suatu sistem persamaan diferensial,
(
)
dengan
, dengan:
+
T
: banyaknya populasi sel
sehat,
+
I
: banyaknya populasi sel
terinfeksi,
V
: banyaknya populasi virus HIV,
+
p
: laju sel
baru dihasilkan di dalam tubuh,
+
r
: laju pertumbuhan populasi maksimum sel
,
+
α
: laju kematian sel
sehat,
+
: populasi maksimum sel
,
k
: laju infeksi virus,
+
: laju kematian sel
terinfeksi,
: laju kematian virus,
+
N
: total virus yang diproduksi oleh sel
selama hidup.
(11)
+
Berdasarkan model di atas dapat ditunjukan bahwa sel
yang sehat
+
dihasilkan dari dalam tubuh dengan laju kelahiran sebesar p. Sel
juga
+
dihasilkan melalui perkembangbiakan sel
yang ada. Pada karya ilmiah ini
laju pertumbuhan maksimum populasi dinyatakan dengan fungsi logistik, dengan
+
r adalah laju pertumbuhan maksimum populasi. Sel
mempunyai laju
+
kematian alami sebesar α. Pada saat tubuh terinfeksi HIV, sel
menjadi
7
+
terinfeksi. Virus ini yaitu V menginfeksi sel
dengan laju k. Virus
+
mempunyai kematian alami sebesar . Sel
terinfeksi dinyatakan dalam
+
notasi I yang memproduksi jumlah total virus sebesar N. Sel
terinfeksi
+
mempunyai kematian alami sebesar . Jumlah total sel
dibatasi oleh
+
yang dinyatakan dalam fungsi logistik
dengan
) tidak lebih
+
besar dari
. Tingkat kematian sel
sehat pada waktu t dinyatakan
+
dengan
. Pada saat virus HIV menginfeksi sel
dengan laju k
+
menyebabkan sel
yang sehat berkurang sebesar kVT. Jika tingkat infeksi
+
virus adalah kVT maka tingkat kematian sel
terinfeksi pada waktu t adalah
+
. Peningkatan jumlah virus di sel
diakibatkan oleh hasil produksi sel
+
yang terinfeksi yang dinyatakan dalam variabel I. Sehingga tingkat
produksi virus baru adalah N I. Virus mempunyai laju kematian yang
menyebabkan jumlah virus pada waktu t berkurang sebesar .
Penentuan Titik Tetap Model
Pada bagian ini akan dilakukan penentuan titik tetap untuk mencari titik
+
tetap sehat dan terinfeksi dari model infeksi HIV pada sel
. Titik tetap
sistem Persamaan (11) di dapat dari
dan
sehingga
diperoleh:
(12)
(
)
(13)
(14)
Dengan menyelesaikan Persamaan (12), (13), dan (14) diperoleh tiga titik
tetap yaitu (
),
, dengan:
[
√
]
(15)
[
√
]
(16)
(17)
(18)
8
(19)
(Lampiran 1)
Asumsikan bahwa tidak ada virus di dalam tubuh (V = 0), maka I = 0 dan
diperoleh dua titik tetap yang sehat yaitu:
(
) dan
Jika
√
,
(Lampiran 1)
maka bernilai negatif sehingga kestabilan tidak dianalisis lebih lanjut karena
+
jumlah populasi sel
sehat tidak akan bernilai negatif.
Selanjutnya titik tetap terinfeksi diperoleh dengan menyelesaikan sistem
Persamaan (11) yaitu
.
Analisis Kestabilan Model
+
Model infeksi HIV pada sel
merupakan sistem persamaan
diferensial tak linear. Untuk mempermudah analisis kestabilan model, maka
dilakukan analisis titik tetap pada sistem Persamaan (11), sehingga diperoleh
matriks Jacobi sebagai berikut:
+
).
Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai titik tetap
Jacobi terkait
sebagai berikut:
(
(
)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
nilai eigen untuk matriks yaitu:
(20)
, di peroleh matriks
(21)
)
, diperoleh
9
√
[
]
√
[
Karena semua parameter bernilai positif,
dan
stabil jika dan hanya jika:
yang berarti
yang berarti
]
< 0 sehingga nilai eigen
atau
Pada kondisi
(Lampiran 2)
yang merupakan
diperoleh besaran
+
bilangan reproduksi dasar virus dalam populasi sel
. Ketika 1 maka populasi tidak stabil karena virus akan bertahan
hidup dalam populasi.
Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai titik tetap
, maka di peroleh
matriks Jacobi terkait
sebagai berikut:
(
(
)
)
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
suatu persamaan yang bergantung pada yaitu
diperoleh
dengan
+
(22)
+
(23)
(24)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik tetap stabil diperoleh jika > 0,
, dan
–
. Dari Persamaan (24) diperoleh nilai
karena
dan untuk selanjutnya nilai
dan
–
jika
+
yang berarti
Bentuk A dan B dapat ditulis
dan
sehingga dapat ditunjukan bahwa
yang berarti
–
.
(Lampiran 2)
10
Metode Runge-Kutta Orde Empat
Setelah mencari kondisi kestabilan, dilakukan pendekatan penyelesaian dari
sistem Persamaan (11) untuk memeroleh solusi numerik menggunakan algoritme
metode Runge-Kutta orde empat. Berikut adalah algoritme penyelesaian model
+
infeksi HIV pada sel
.
Tuliskan kembali sistem Persamaan (11) dalam bentuk berikut:
dengan
)
(
Algoritme untuk menentukan solusi diberikan seperti berikut:
a Menentukan persamaan fungsi dan nilai awal terhadap
,
b menentukan nilai h dengan a sebagai nilai awal, b sebagai nilai akhir, dan n
sebagai jumlah loop,
�
c menentukan solusi dari persamaan fungsi terhadap T, I, V selama n iterasi.
for i = 1,.......,n, do:
�
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
�
�
�
�
end.
�
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
SOLUSI NUMERIK
Pada bagian ini akan ditampilkan hasil numerik yang diperoleh dari analisis
titik tetap dan nilai eigen serta hasil numerik dan grafik solusi metode Runge+
Kutta orde empat untuk model infeksi HIV pada sel
. Hasil numerik
dilakukan dengan mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai Parameter
Notasi
Nilai
10
0.0027
0.02
0.3
2.4
0.03
10
1500
Nilai
bersumber dari Perelson, Kirscner, dan Boer 1992.
Nilai
bersumber dari Atangana dan Goufu 2014. Selain itu digunakan
bilangan reproduksi dasar ( ).
12
Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen
Pada bagian ini hasil numerik dilakukan dengan cara mensubtitusikan nilai
parameter pada Tabel 1 ke dalam
, ,dan serta nilai eigen setiap titik tetap.
Hal ini dilakukan untuk menampilkan hasil numerik titik tetap dan nilai eigen
+
+
serta melihat kestabilan dari sel
sehat dan sel
terinfeksi.
+
Sel
sehat ditunjukan pada saat
dan
, model infeksi HIV
+
pada sel
menghasilkan titik tetap kesetimbangan tanpa infeksi HIV. Dapat
dilihat sebagai berikut:
Tabel 2 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat
dan
Luaran
Jenis kestabilan
Sadel
-
Pada Tabel 2, dapat dilihat bahwa terdapat dua titik tetap yang diperoleh untuk
+
model infeksi HIV pada sel
. Karena populasi tidak akan bernilai negatif,
titik tetap tidak dilanjutkan untuk dianalisis.
+
Pada saat sel
terinfeksi diperoleh titik tetap ke tiga. Dengan
mensubtitusikan nilai parameter Tabel 1 ke dalam
dan Persamaan (22), (23),
(24) diperoleh Tabel 3 yaitu,
13
Tabel 3 Titik tetap, kriteria Routh-Hurwitz, dan kestabilan
Luaran
Jenis kestabilan
Stabil
Berdasarkan Tabel 3 kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi sehingga diperoleh
stabil.
(Lampiran 3)
Hasil numerik metode Runge-Kutta orde empat
Pada bagian ini akan ditampikan solusi numerik dan grafik solusi model
+
infeksi HIV pada sel
dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat. Hasil numerik dilakukan dengan mensubtitusikan nilai parameter pada
Tabel 1 ke dalam algoritme metode Runge-Kutta orde empat. Dengan nilai awal
dan
diperoleh hasil numerik berikut
Tabel 4 Nilai Aproksimasi Runge-Kutta Orde Empat
0
+
(Lampiran 4)
+
sehat menurun karena sel
Dari Tabel 4 diperoleh nilai sel
terinfeksi meningkat dan virus HIV meningkat.
Selanjutnya, untuk melihat kestabilan titik tetap dan tingkat penyebaran
infeksi HIV, dibuat grafik solusi terhadap model sebagai berikut
14
Gambar 1 Grafik solusi Model dengan nilai
�
+
Gambar 1 menjelaskan penurunan jumlah sel
sehat yang
+
disebabkan oleh peningkatan jumlah sel
terinfeksi dan virus HIV. Pada
+
Gambar 1 dapat dilihat bahwa sel
sehat mulai mengalami penurunan
secara signifikan dari tahun keempat sampai tahun ketujuh, hal ini disebabkan
+
oleh sel
terinfeksi dan virus HIV yang mulai meningkat di tahun yang
+
sama. Setelah itu, ditahun kedelapan sel
sehat mencapai titik terendah
+
+
sehingga sel
terinfeksi dan virus HIV mencapai titik tertinggi. Sel
terinfeksi dan virus HIV mulai mengalami penurunan pada tahun kedelapan
+
sehingga membuat sel
sehat sedikit meningkat tetapi tidak signifikan.
Gambar 2 Grafik solusi Model dengan nilai
�
+
+
Gambar 2 menjelaskan jumlah sel
sehat, sel
terinfeksi,
dan virus HIV dalam keadaan stabil. Dapat dilihat pada Gambar 2 bahwa setelah
15
+
+
tahun ke delapan sel
sehat, sel
terinfeksi, dan virus HIV
mengalami osilasi dan mulai stabil pada saat t=140. Nilai titik tetap stabil yang
diperoleh dari metode Runge-Kutta orde empat pada saat t=140 yaitu
,
, dan
. Nilai titik tetap pada saat
t=140 akan terus mendekati nilai titik tetap stabil yang diperoleh pada Tabel 3
sehingga metode ini dapat menduga hasil numerik yang stabil untuk model infeksi
+
HIV pada sel
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
+
Model infeksi HIV pada sel
memiliki tiga titik tetap yaitu ,
,dan
. Dengan memilih nilai parameter pada Tabel 1 diperoleh bahwa
kestabilan
bersifat sadel dan
bersifat stabil. Solusi numerik diselesaikan
+
menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk melihat perilaku sel
+
sehat, sel
terinfeksi. Metode ini dapat menduga nilai titik tetap yang stabil
+
untuk model infeksi HIV pada sel
.
Saran
+
Karya ilmiah ini membahas model infeksi HIV pada sel
dilakukan
untuk melihat tingkat penyebaran infeksi HIV dengan menggunakan metode
Runge-Kutta orde empat. Hasil dari karya ilmiah ini dapat digunakan untuk
mengetahui waktu yang tepat untuk melakukan pengobatan.
16
DAFTAR PUSTAKA
Atangana A, Goufu EFD. 2014. Computational Analysis of the Model Describing
+
HIV Infection of
Cells, Applied Mathematical Modelling. Biomed. 7
pages.doi:10.1155/2014/618404.
Anton H. 2004. Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga.
Fisher SD. 1990. Complex Variables. California (US): Wadsworth & Brooks.
Giesecke J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemiology. Oxford University
Press, New York.
Wang L and Li MY, “Mathematical analysis of the global dynamics of a model
for HIV infection of CD4+ T cells,” Mathematical Biosciences, vol. 200, no.
1, pp. 44–57, 2006.
Lydia A. 1996. Gambaran klinis dan Laboratorium Acquired Immunodeficiency
Syndrome di Jakarta dalam perkembangan mutakhir ilmu penyakit dalam.
Balai penerbit FKUI. Jakarta.
Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung (ID): Informatika.
Perelson AS, Kirschner DE, Boer DR. 1993. Dynamic of HIV infection of
+
cells. Math. Biosci. 114(1):81-125.
Tu PNV.1994.Dynamical System, An Introduction with Application in Economics
and Biology. Germany: Springer-Verlag.
Verhlust F.1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System.
Germany: Springer-Verlag.
17
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penentuan titik tetap model
Model Persamaan (11):
(
)
Titik tetap model Persamaan (11) ditentukan dengan membuat persamaan
menjadi
,
, dan
seperti pada Persamaan (12), (13), dan (14)
berikut:
(
)
Asumsikan V = 0 dan I = 0 sehingga diperoleh:
(
)
Dengan menggunakan rumus ABC pada Persamaan (23) diperoleh:
√
√
(25)
18
[
]
√
[
√
]
[
√
]
Jadi, titik tetap
Untuk titik tetap
dan
bernilai negatif, akan dibuktikan
bernilai negatif
bukti,
√
[
]
√
[√
]
karena
√
√
Maka
[√
√
]
Dari Persamaan (11) diperoleh:
(26)
Dari Persamaan (12) diperoleh:
19
(27)
Dari Persamaan (23) dan (24) diperoleh:
(28)
Substitusikan Persamaan (25) dan (26) ke Persamaan (10)
(
(
(
+
)
(
)
)
)
Dengan membuat s=Nk diperoleh:
(
(
)
)
20
Jadi, titik tetap
(
+
+
)
Karena titik tetap
bernilai negatif, titik ini tidak dapat digunakan untuk
menganalisis kestabilan. Jadi, titik tetap yang digunakan adalah dan .
21
Lampiran 2 Penentuan nilai eigen model
Misalkan model Persamaan (9) dituliskan sebagai berikut:
+
,
.
Dengan melakukan pelinearan didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:
,
(
+
)
+
+
+
(
(
)
)
22
Analisis titik tetap tak terinfeksi
Substitusikan titik tetap
ke dalam matrik Jacobi model Persamaan
(11) dengan cara pendekatan limit
(
(
(
(
)
)
)
)
Kemudian dicari nilai eigen dengan menggunakan persamaan
karakteristik
(
, sehingga diperoleh:
|
[(
|
( (
][
)
)
|
)
|
√
][
√
]
√
√
Sistem akan stabil jika ketiga nilai eigen bernilai negatif yaitu
dan
. Oleh karena itu syarat-syarat yang harus dipenuhi agar
sistem di stabil.
a. Karena semua parameter bernilai positif, maka
b.
jika
c.
jika √
atau
atau
23
Besaran
merupakan bilangan reproduksi dasar virus hidup
dalam populasi. Ketika 1 maka populasi
tidak stabil karena virus akan bertahan hidup dalam populasi.
Anaisis titik tetap terinfeksi
Diketahui matriks Jacobi adalah
(
)
(
Pelinearan pada titik tetap
dengan
(17), (18), dan (19) diperoleh matriks
menggunakan persamaan karakteristik
(
|
)
[
+
+
]
[
]
]
+
+
[
]
+
Karena
|
+
[
(
)
seperti pada Persamaan
Kemudian dicarinilai eigen
maka
[
]
+
]
]
+
]
[
]
[
[
[
+
+
24
[
+
+
]
]
[
Persamaan diatas merupakan persamaan karakteristik yang dapat ditulis sebagai
berikut
dengan:
+
+
Berdasarkan persamaan karakteristik, kriteria Routh-Hurwitz dapat digunakan
untuk menetapkan titik tetap stabil, jika
> 0,
, dan
–
terpenuhi maka,
karena
+
yang berarti
Bentuk A dan B dapat ditulis
dan
sehingga dapat ditunjukan bahwa
yang berarti
–
.
25
Lampiran 3 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen dengan software
Mathematica 10.1
26
Lampiran 4 Program solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat (Tabel 4) dengan software scilab 5.4.1
function [T, I, V]=hiv(p, a, b, c, k, tmax, r, n, T0, I0, V0, tf,
t0, f)
h= (tf-t0)/n;
T= zeros(1,n+1);
I= zeros(1,n+1);
V= zeros(1,n+1);
T(1) = T0;
I(1) = I0;
V(1) = V0;
for i=1:n
s11 = p - a*T(i) + r*T(i)*(1 - (T(i)+I(i))/tmax ) k*V(i)*T(i);
s12 = p - a*(T(i)+s11*h/2) + r*(T(i)+s11*h/2)*(1((T(i)+s11*h/2)+(I(i)+s11*h/2))/tmax) k*(V(i)+s11*h/2)*(T(i)+s11*h/2);
s13 = p - a*(T(i)+s12*h/2) + r*(T(i)+s12*h/2)*(1((T(i)+s12*h/2)+(I(i)+s12*h/2))/tmax) k*(V(i)+s12*h/2)*(T(i)+s12*h/2);
s14 = p - a*(T(i)+s13*h) + r*(T(i)+s11*h)*(1((T(i)+s13*h)+(I(i)+s13*h))/tmax) - k*(V(i)+s13*h)*(T(i)+s13*h);
s1 = (s11+2*s12+2*s13+s14)/6;
s21 = k*V(i)*T(i)-b*I(i);
s22 = k*(V(i)+s21*h/2)*(T(i)+s21*h/2) - b*(I(i)+s21*h/2);
s23 = k*(V(i)+s22*h/2)*(T(i)+s22*h/2) - b*(I(i)+s22*h/2);
s24 = k*(V(i)+s23*h)*(T(i)+s23*h) - b*(I(i)+s23*h);
s2 = (s21+2*s22+2*s23+s24)/6;
s31 = f*b*I(i) - c*V(i);
s32 = f*b*(I(i)+s31*h/2) - c*(V(i)+s31*h/2);
s33 = f*b*(I(i)+s32*h/2) - c*(V(i)+s32*h/2);
s34 = f*b*(I(i)+s33*h) - c*(V(i)+s33*h);
s3 = (s31+2*s32+2*s33+s34)/6;
T(i+1) = T(i) + h*s1;
I(i+1) = I(i) + h*s2;
V(i+1) = V(i) + h*s3;
end
endfunction
27
Lampiran 5 Program plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat (Gambar 4) dengan software scilab 5.4.1
clear all
p = 10;
a = 0.02;
b = 0.3;
c = 2.4;
r = 0.5;
k = 0.0027;
tmax = 1500;
f = 10;
T0 = 1000;
I0 = 0;
V0 = 0.1;
tf = 20;
t0 = 0;
n = 100;
[ T, I, V ] = hiv(p,a,b,c,k,tmax,r,n,T0,I0,V0,tf,t0,f);
t = linspace(0,tf,n+1);
plot(t,T,'g','LineWidth',2);
plot(t,I,'r','LineWidth',2);
plot(t,V,'b','LineWidth',2);title('Model infeksi HIV pada sel
CD4+T');
legend('Sel CD4+T sehat','Sel CD4+T terinfeksi','virus
HIV');xlabel('hari');ylabel('Jumlah populasi');
figure;
clear all
p = 10;
a = 0.02;
b = 0.3;
c = 2.4;
r = 0.5;
k = 0.0027;
tmax = 1500;
f = 10;
T0 = 1000;
I0 = 0;
V0 = 0.1;
tf = 150;
t0 = 0;
n = 750;
[ T, I, V ] = hiv(p,a,b,c,k,tmax,r,n,T0,I0,V0,tf,t0,f);
t = linspace(0,tf,n+1);
plot(t,T,'g','LineWidth',2);
plot(t,I,'r','LineWidth',2);
28
plot(t,V,'b','LineWidth',2);title('Model infeksi HIV pada sel
CD4+T');
legend('Sel CD4+T sehat','Sel CD4+T terinfeksi','virus
HIV');xlabel('hari');ylabel('Jumlah populasi');
figure;
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada 22 April 1993 sebagai anak pertama dari
tiga bersaudara pasangan Suherman dan Adawiyah. Tahun 2011 penulis lulus dari
Madrasah Aliyah Negeri 1 Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Undangan.
Selama masa perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa dari PT Aneka
Tambang tahun 2012. Penulis aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Departemen Math Event GUMATIKA
tahun 2013 dan kepala Departemen Math Event GUMATIKA tahun 2014. Selain
itu, penulis mengikuti berbagai kepanitian, antara lain staf divisi logistik dan
transfortasi Jurnalistik Fair ke-5 (2012), ketua pelaksana Ramah Tamah Civitas
Matematika (2013), dan ketua pelaksana Welcome Ceremony Mathematics (2014).
Penulis juga aktif sebagai pengajar pada bimbingan belajar Kumon.