MOMENT, CUMULANT AND CHARACTERISTIC FUNCTION OF GENERALIZED WEIBULL DISTRIBUTION

(1)

ABSTRACT

MOMENT, CUMULANT AND CHARACTERISTIC FUNCTION OF GENERALIZED WEIBULL DISTRIBUTION

By

MIRANTI VERDIANA

Generalized Weibull distribution is an expansion of Weibull distribution that has three parameters, α as a location parameter, β as a scale parameter and δ as a shape parameter. If α = 0 then the generalized Weibull distribution become the Weibull distribution. In this research, will discuss about moment, cumulant and characteristic function of generalized Weibull distrbution. Moment of generalized Weibull distribution is obtained by using moment generating function and by definition, moments of generalized Weibull distribution is obtained by derivative of moment generating function against t and evaluated on t = 0 and proved by definition that will be use to obtain the cumulants of generalized Weibull distribution. The second cumulant until r-th cumulant of generalized Weibull distribution equal with cumulants of Weibull distribution. Characteristic function and moment generating function of generalized Weibull distribution is obtained by decomposing and function into expansion the MacLaurin and use gamma and binomial function to obtain a general form of moment generating function and characteristic function of generalized Weibull distribution. In simulation study, skewness of generalized Weibull distribution is skew to the right and kurtosis of generalized Weibull distribution is platikurtic.

Keywords: Generalized Weibull Distribution, Moment, Cumulant, Characteristic Function


(2)

MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL

Oleh

Miranti Verdiana

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2014


(3)

MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL

(Skripsi)

Oleh Miranti Verdiana

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2014


(4)

(5)

(6)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandarlampung pada tanggal 5 September 1992. Penulis merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Jauhari dan Ibu Machdalena, kakak dari Ulfa Devina, Shafa Salsabila dan Syifa Atika Rifda.

Penulis memulai pendidikan dari Taman Kanak-kanak Sari Teladan pada tahun 1998. Pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Rawa Laut (Teladan) pada tahun 2004. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 4 Bandarlampung pada tahun 2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 2 Bandarlampung pada tahun 2010.

Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN pada tahun 2010. Pada periode tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA (Generasi Muda HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila. Penulis pernah menjadi anggota bidang Eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila selama periode 2011/2012 dan sebagai sekertaris bidang eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila tahun 2012/2013.


(7)

vii

Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama satu bulan di Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Lampung di bidang neraca wilayah dan analisis statistika serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) pada tahun 2013 selama 40 hari di Desa Gunung Rejo, Kecamatan Padang Cermin, Kabupaten Pesawaran.


(8)

MOTTO

Maka sesungguhnya setelah kesulitan itu ada

kemudahan”

(Q.S. Al

Insyirah : 5)

Kebaikan satu-satunya adalah pengetahuan, dan

kejahatan satu-

satunya adalah kebodohan”

(Socrates)

To get a success, your courage must be greater than

your fear


(9)

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk

Ayahanda tercinta Jauhari

Ibunda tercinta Machdalena

Adik-adikku:

Ulfa Devina

Shafa Salsabila Chairunnisa

Syifa Atika Rifda

&

Seluruh Keluarga Besar

Terima kasih atas do’a, dukungan serta

kasih sayang yang tiada henti

dari kalian.


(10)

SANWACANA

Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan ridho-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat teriring salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang telah banyak meluangkan waktu di tengah kesibukannya untuk membimbing hingga skripsi ini terselesaikan.

2. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu, mengoreksi dan dengan sabar memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen penguji bukan pembimbing yang telah banyak memberikan masukan dan saran yang membangun kepada penulis dalam proses penyelesaian skripsi ini.

4. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si selaku Pembimbing Akademik

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.


(11)

xi

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis. 8. Yang tercinta Papa dan Mama yang selalu memberikan motivasi dan bantuan

baik moril maupun materil dan memberikan segala perhatiannya disaat keadaan apapun serta selalu mendoakan penulis di setiap sujud dan tangisnya. 9. Untuk adik-adikku Ulfa, Alsa dan Syifa yang selalu memberikan hiburan

dikala penulis menghadapi kesulitan dalam menyelesaikan skripsi ini.

10. Untuk Annisa, Andhesa, Bella, Nissa, Putri, Agnec, Aul, Ria, Tiara, Mpeb, dan Puput terima kasih atas segala bantuan serta dukungan dari kalian yang tiada habisnya. Penulis merasa beruntung memiliki teman-teman seperti kalian.

11. Untuk teman-teman satu bimbingan Vinny, Reka, Tiara, Dian, Indri, Apit, Tiur dan Dhita yang selalu membantu penulis serta terima kasih semangat dan kebersamaannya dalam menyelesaikan skripsi ini.

12. Untuk matematika 2010 yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, terima kasih untuk empat tahun yang bermakna ini, skripsi ini tidak akan berhasil tanpa dukungan dari kalian semua.

13. Keluarga Besar HIMATIKA yang telah memberikan keeratan ukhuwah dan kebersamaan yang bermakna.

14. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, 2 Juli 2014 Penulis


(12)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Generalized merupakan suatu bentuk umum dari suatu kesatuan yang khusus. Terdapat berbagai macam distribusi generalized, salah satunya adalah ditribusi

generalized Weibull. Distribusi generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) dengan tiga parameter pertama kali dikemukakan oleh Johnson dan Kotz (1970). Generalized Weibull distribution merupakan perluasan dari distribusi Weibull yaitu dengan menambahkan parameter lokasi ( ). Sehingga tiga parameter dari generalized Weibull distribution adalah parameter skala, bentuk dan lokasi. Denis Cousineau (2008), Andrie Kurniawan (2012) menyebut distribusi ini sebagai 3-parameter distribusi Weibull.

Parameter skala ( ) dan parameter bentuk ( ) masing-masing menunjukan besarnya keragaman data generalized Weibull distribution dan laju kematian atau kerusakan data generalized Weibull distribution. Sedangkan parameter lokasi ( ) menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang rusak atau gagal maupun hilang.


(13)

2

Momen memiliki peran penting dalam statistika karena mampu menjelaskan sebaran dari peubah acak. Dalam menduga parameter dari suatu distribusi dapat dilakukan dengan berbagai cara, salah satunya dengan metode momen. Momen dapat dikembangkan sampai momen ke-r. Untuk mencari momen dari generalized Weibull distribution, penulis menggunakan dua cara yaitu dengan fungsi pembangkit momen dan secara langsung.

Dalam teori probabilitas dan statistik, kumulan dari distribusi probabilitas adalah seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif untuk momen suatu distribusi. Momen menentukan kumulan dalam arti bahwa setiap dua distribusi probabilitas yang sangat identik akan memiliki kumulan identik juga, dan demikian juga kumulan menentukan momen. Dalam beberapa kasus teoritis, masalah dalam hal kumulan lebih sederhana dibandingkan menggunakan momen. Sama seperti momen, dimana momen bersama yang digunakan untuk koleksi variabel acak adalah mungkin untuk menentukan kumulanbersama.

Setiap distribusi peluang mempunyai fungsi karakteristik, fungsi karakteristik menyediakan cara alternatif untuk menggambarkan suatu variabel acak. Fungsi karakteristik juga dapat digunakan untuk menemukan momen dari suatu variabel acak dalam distribusi peluang. Dimana logaritma dari fungsi karakteristik adalah fungsi pembangkit kumulan, yang berguna untuk menemukan kumulan, sedangkan kumulan dapat menentukan momen.


(14)

3

Kajian tentang “Momen, Kumulan dan Fungsi Karakteristik dari Generalized Weibull Distribution” merupakan hal yang menarik untuk dikaji dan hal ini belum

banyak dilakukan oleh peneliti lain.

1.2 Batasan Masalah

Pada sub bab sebelumnya (latar belakang) telah disampaikan bahwa momen menentukan kumulan dan sebaliknya. Tetapi, pada penelitian ini hanya dibatasi pada pencarian momen dengan menggunakan Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function), kumulan yang ditentukan oleh momen dan fungsi karakteristik dari Generalized Weibull Distribution.

1.3 Tujuan Peneltian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mencari momen dari generalized Weibull distribution ( ) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.

2. Mencari kumulan dari generalized Weibull disribution ( ).


(15)

4

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Memahami lebih mendalam mengenai generalized Weibull distribution

(GWD).

2. Memberikan momen, kumulan, dan fungsi karakteristik dari generalized Weibull distribution kepada peneliti lain.


(16)

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian penulis. Dalam menyelesaikan momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari generalized Weibull distribution dibutuhkan beberapa fungsi khusus seperti fungsi gamma dan deret MacLaurin serta beberapa teori yang mendukung penelitian seperti definisi generalized Weibull distribution, fungsi pembangkit momen, momen, kumulan, skewness, kurtosis, dan fungsi karakteristik.

2.1 Fungsi Gamma

Definisi 2.1

Pada bagian ini akan diperkenalkan fungsi gamma, dimana integral:

untuk dan nilai dari integral tersebut adalah positif. Integral tersebut disebut fungsi gamma dari yang dinotasikan dengan :


(17)

6

Jika , jelas

Sehingga untuk , maka:

(Hogg and Craig, 1978) Sub-bab selanjutnya akan membahas tentang distribusi Weibull yang digunakan dalam penelitian ini sebagai pembanding dengan distribusi generalized Weibull.

2.2 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam permodelan analisis kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu. Distribusi Weibul memiliki dua parameter, yaitu:

: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull.

: Parameter bentuk yang menunjukan laju kematian/kerusakan data distribusi weibull.


(18)

7

Definisi 2.2

Misalkan adalah peubah acak dari distribusi Weibull dengan dua parameter, maka menurut Kungdu dan Mangalick (2004), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak weibull adalah sebagai berikut:

Gambar 2.1 Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Weibull

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai:

Rata-rata (mean) dari distribusi weibull adalah:


(19)

8

Ragam (variance) distribusi weibull adalah:

(Kungdu dan Mangalick, 2004) Sub-bab selanjutnya akan membahas tentang distribusi generalized Weibull yang merupakan perluasan dari distribusi Weibull dengan penambahan satu parameter lokasi.

2.3 Generalized Weibull Distribution

Distribusi generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) merupakan perluasan dari distribusi Weibull dengan menambahkan satu parameter lokasi, sehingga distribusi generalized Weibull memiliki tiga parameter yaitu parameter lokasi, parameter skala dan parameter bentuk.

Definisi 2.3

Misalkan X adalah peubah acak dari generalized Weibull distribution dengan tiga parameter, maka menurut Jhonson dan Kotz (1970), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah


(20)

9

dengan

X : Peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu gagal (failure time). : Parameter lokasi yang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat

lokasi waktu tersebut belum ada obek pengamatan yang gagal maupun hilang.

: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull.

: Parameter bentuk yang menunjukan laju kegagalan data distribusi weibull.

Gambar 2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Generalized Weibull Distribution


(21)

10

Pada sub bab selanjutnya akan dibahas ekspansi deret Maclaurin yang digunakan dalam menyelesaikan fungsi pembangkit momen, momen dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized Weibull.

2.4Ekspansi Deret Maclaurin

Deret Maclaurin merupakan deret Taylor yang berpusat di titik nol. Deret ini digunakan untuk meleburkan bentuk dalam Persamaan momen yang akan dicari dalam penelitian ini.

Teorema Deret Maclaurin

Misalkan f adalah fungsi di mana turunan ke (n+1). (x), ada untuk setiap X pada suatu selang terbuka l yang mengandung Jadi, untuk setiap X di dalam l berlaku :

Persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi Jika

maka bentuk deret pada Persamaan (2.2) menjadi :

Dan bentuk deret pada Persamaan (2.3) disebut sebagai ekspansi deret Maclaurin bagi fungsi Subtitusikan Persamaan (2.3) maka fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:

=1


(22)

11 = Sehigga diperoleh:

Fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:

Fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret seperti berikut:

(Leithold,1978) Ada banyak cara untuk menentukan momen dari suatu distribusi, salah satunya dengan menggunakan fungsi pembangkit momen yang akan dibahas selanjutnya.

2.5 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen digunakan untuk menghitung momen dari variabel acak X. Fungsi pembangkit momen disimpulkan dengan , definisinya sebagai berikut:

Definisi 2.5

Misalkan ada sejumlah angka positif h sehingga untuk ekspektasi

ada. Sehingga


(23)

12

Jika x merupakan variabel acak kontinu, atau

Jika X merupakan variabel acak diskrit. Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit momen (FPM) dari X (atau dari distribusi) dan dilambangkan dengan (t), yaitu

(Hogg and Craig, 1978) Dari fungsi pembangkit momen akan ditentukan momen-momen dari distribusi

generalized Weibull dan pada sub bab selanjutnya akan dijelaskan tentang definisi momen.

2.6 Momen

Rataan dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lainnya yang disebut momen. Dari momen ini beberapa ukuran lain dapat diturunkan. Momen itu sendiri didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.6

Momen ke-r tentang asal-usul dari suatu variabel acak X, dilambangkan dengan

, adalah nilai harapan dari Xr dituliskan,


(24)

13

Pada saat X kontinu.

(Irwin Miller, Marrylees Miller, 1999) Selain momen terdapat karakteristik lainnya dari suatu distribusi, dalam penelitian ini karakteristik lain yang akan dicari yaitu kumulan. Definisi dari kumulan akan diuraikan pada sub bab selanjutnya.

2.7 Kumulan (Cumulant)

Karakteristik lainnya yang dapat dicari dari suatu distribusi yaitu kumulan. Dalam perhitungan untuk menemukan kumulan ini menggunakan momen yang telah ditentukan sebelumnya. Adapun definisi dari kumulan akan dijelaskan di bawah ini:

Definisi 2.7

Cumulant didefinisikan sebagai

Dengan menggunakan deret maclaurin maka didapat :

+


(25)

14

Dimana merupakan momen baku, dengan demikian Persamaan (2.4) dapat ditulis menjadi:

(Abramowitz dan Stegun, 1972)

Rata-rata dan ukuran penyebaran dapat menggambarkan distribusi data tetapi tidak cukup untuk menggambarkan sifat distribusi. Untuk dapat menggambarkan karakteristik dari suatu distribusi data digunakan konsep lain yang dikenal sebagai kemiringan dan keruncingan. Dua sub bab selanjutnya akan membahas tentang kemiringan dan keruncingan.


(26)

15

2.8 Skewness

Kemencengan atau kemiringan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrian dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya.

Definisi 2.8

Skewness dari suatu variabel acak X yang dinotasikan dengan skew[X] didefinisikan sebagai:

Skewness ini juga dinamakan skewness populasi. Skewness merupakan ukuran dari kesimetrisan atau lebih tepatnya kekurang simetrisan. Suatu distribusi dikatakan simetris jika distribusi tersebut tampak sama antara sebelah kanan dan sebelah kiri titik pusatnya. Distribusi yang simetris misalnya distribusi normal, distribusi t dan distribusi seragam. Distribusi yang memiliki skewness positif misalnya distribusi eksponensial, distribusi chi-kuadrat, distribusi Poisson dan dan distribusi Binomial dengan p > 0.5 sedangkan distribusi yang mempunyai skewness negative misalnya distribusi Binomial dengan p < 0.5.


(27)

16

Selanjutnya akan dibahas mengenai keruncingan kurva yang nantinya akan dilakukan simulasi dengan software matlab terhadap formula keruncingan yang didapat.

2.9Kurtosis

Kurtosis (keruncingan distribusi data) adalah ukuran tinggi rendahnya puncak dari suatu distribusi.

Definisi 2.9

Momen keempat terhadap rataan, , bila dibagi dengan disebut kurtosis distribusi X dan sering dinyatakan dengan :

(Edward J. Dudewicz & Satya N.Mishra, 1995) Pada sub-bab terakhir akan dijelaskan tentang fungsi karakteristik dari suatu distribusi peluang.

2.10 Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Sama halnya dengan fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menghitung momen dari variabel acak


(28)

17

distribusi dari suatu variabel acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik merupakan salah satu sifat yang menjadi ciri khas dari suatu distribusi. Fungsi karakteristik dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.10

Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai ekspetasi dari , dimana i adalah unit imaginer dan t dapat dinyatakan sebagai berikut:

merupakan fungsi kumulatif dari distribusi X, sedangkan merupakan fungsi kepekatan peluang dari distribusi X.


(29)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, dan dilakukan pada Semester Ganjil Tahun Ajaran 2013/2014.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan mengkaji secara teoritis dari berbagai literatur yang berkaitan dengan skripsi ini. Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah:

1. Mencari momen dari Generalized Weibull Distribution ( ) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.

2. Mencari cumulans dari Generalized Weibull Distribution ( ).

3. Mencari fungsi karakteristik dari Generalized Weibull Distribution

( ).

4. Melakukan simulasi bentuk dari Generalized Weibull Distribution


(30)

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Momen ke-r dari distribusi generalized Weibull adalah:

2. Kumulan ke-r dari distribusi generalized Weibull adalah:

Kumulan kedua hingga ke-r dari distribusi generalized Weibull

sama dengan kumulan kedua hingga ke-r dari distribusi Weibull . Kemiringan (skewness) dari distribusi generalized Weibull adalah:


(31)

77

Kurtosis dari distribusi generalized Weibull adalah:


(32)

DAFTAR PUSTAKA

Abromowits,M. and Stegun, I.A.(Eds).1972.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover,p.928.

De Gunst, M. C. M. 1993. Statistische Data Analyse. Faculteit Wiskunde en Informatika Amsterdam: Vrije Universiteit.

Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra. 1995.Modern Mathematical Statistics.

Syracuse,New York.

Hogg, V. Robert dan Craig, Allen T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics Fifth Edition. Prentice Hall Inc. New Jersey.

Jhonson, N.L. dan Kotz, S. 1970. Continous Univariate Distribution. John Wiley, New York.

Kungdu, D. dan Manglick, A. 2004. Discriminating Between the Weibull and Log Normal Distribution. Journal.

Leithold. 1978. The Calculus. New York: Harper and Row.

Miller, Irwin and Miller Marylees. 1999. Mathematical Statistics Sixth Edition.


(1)

16

Selanjutnya akan dibahas mengenai keruncingan kurva yang nantinya akan dilakukan simulasi dengan software matlab terhadap formula keruncingan yang didapat.

2.9Kurtosis

Kurtosis (keruncingan distribusi data) adalah ukuran tinggi rendahnya puncak dari suatu distribusi.

Definisi 2.9

Momen keempat terhadap rataan, , bila dibagi dengan disebut kurtosis distribusi X dan sering dinyatakan dengan :

(Edward J. Dudewicz & Satya N.Mishra, 1995) Pada sub-bab terakhir akan dijelaskan tentang fungsi karakteristik dari suatu distribusi peluang.

2.10 Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Sama halnya dengan fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menghitung momen dari variabel acak X, selain itu fungsi karakteristik juga digunakan untuk menentukan fungsi


(2)

17

distribusi dari suatu variabel acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik merupakan salah satu sifat yang menjadi ciri khas dari suatu distribusi. Fungsi karakteristik dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.10

Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai ekspetasi dari , dimana i adalah unit imaginer dan t dapat dinyatakan sebagai berikut:

merupakan fungsi kumulatif dari distribusi X, sedangkan merupakan fungsi kepekatan peluang dari distribusi X.


(3)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, dan dilakukan pada Semester Ganjil Tahun Ajaran 2013/2014.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan mengkaji secara teoritis dari berbagai literatur yang berkaitan dengan skripsi ini. Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah:

1. Mencari momen dari Generalized Weibull Distribution ( ) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.

2. Mencari cumulans dari Generalized Weibull Distribution ( ).

3. Mencari fungsi karakteristik dari Generalized Weibull Distribution ( ).

4. Melakukan simulasi bentuk dari Generalized Weibull Distribution


(4)

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Momen ke-r dari distribusi generalized Weibull adalah:

2. Kumulan ke-r dari distribusi generalized Weibull adalah:

Kumulan kedua hingga ke-r dari distribusi generalized Weibull

sama dengan kumulan kedua hingga ke-r dari distribusi Weibull .


(5)

77

Kurtosis dari distribusi generalized Weibull adalah:


(6)

DAFTAR PUSTAKA

Abromowits,M. and Stegun, I.A.(Eds).1972.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover,p.928.

De Gunst, M. C. M. 1993. Statistische Data Analyse. Faculteit Wiskunde en Informatika Amsterdam: Vrije Universiteit.

Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra. 1995.Modern Mathematical Statistics. Syracuse,New York.

Hogg, V. Robert dan Craig, Allen T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics Fifth Edition. Prentice Hall Inc. New Jersey.

Jhonson, N.L. dan Kotz, S. 1970. Continous Univariate Distribution. John Wiley, New York.

Kungdu, D. dan Manglick, A. 2004. Discriminating Between the Weibull and Log Normal Distribution. Journal.

Leithold. 1978. The Calculus. New York: Harper and Row.

Miller, Irwin and Miller Marylees. 1999. Mathematical Statistics Sixth Edition. New Jersey: The United States of America.