APPROXIMATION LOG NORMAL DISTRIBUTION WITH GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL) DISTRIBUTION THROUGH OF GENERALIZED GAMMA (GG) DISTRIBUTION
ABSTRAK
PENDEKATAN DISTRIBUSI LOG NORMAL
DENGAN DISTRIBUSI GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL)
MELALUI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA (GG)
Oleh
Anni
Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) merupakan generalisasi dari distribusi
log-logistik dengan empat parameter (
. Keluarga distribusi GLL
mengandung distribusi yang sudah terkenal, seperti distribusi eksponensial,
gamma, Weibull, log normal, dan log-logistik, sebagai kasus khusus atau
distribusi limitnya. Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan
distribusi log normal dengan distribusi GLL melalui distribusi generalized gamma
(GG) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen masing-masing distribusi
tersebut.
Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa distribusi log normal dangan
dapat didekatkan dengan distribusi GLL melalui distribusi GG dengan parameter
dengan menggunakan fungsi pembangkit momen masing-masing distribusi
tersebut.
Kata kunci: Distribusi Log Normal, Distribusi Generalized Log-Logistic,
Distribusi Generalized Gamma, Deret MacLaurin, Fungsi Pembangkit Momen.
ABSTRACT
APPROXIMATION LOG NORMAL DISTRIBUTION
WITH GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL) DISTRIBUTION
THROUGH OF GENERALIZED GAMMA (GG) DISTRIBUTION
By
Anni
Generalized log-logistic (GLL) distribution is a generalization of the log-logistic
distribution with four parameters (
. GLL distribution family includes
some well-known distributions, such as exponential, gamma, Weibull, log normal,
and log-logistic distributions, as special cases or limiting distributions. The
purpose of this research is to approach a log-normal distribution with GLL
distribution through of the generalized gamma (GG) distribution with parameters
using the moment generating function from each distribution.
From these results it can be concluded that the log-normal distribution can be
approximated by GLL distribution through of the GG distribution with parameters
using the moment generating function from each distribution.
Keywords: Log Normal Distribution, Generalized Log-Logistic (GLL)
Distribution, Generalized Gamma (GG) Distribution, MacLaurin Series, Moment
Generating Function.
V
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ..............................................................................
I.
xiv
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang..........................................................................
1
1.2
Tujuan Penelitian ......................................................................
2
1.3
Manfaat Penelitian ....................................................................
2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Distribusi Normal Umum .........................................................
3
2.2
Distribusi Log Normal ..............................................................
3
2.3
Distribusi Generalized Gamma (GG) .......................................
8
2.4
Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) .............................
8
2.5
Ekspansi Deret Maclaurin ........................................................
10
2.6
Fungsi Pembangkit Momen ......................................................
11
2.7
Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized
Gamma (GG) ............................................................................
12
Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized
Log-Logistik (GLL) ..................................................................
12
Isometri (U) ..............................................................................
13
2.8
2.9
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ..................................................
14
3.2
Metode Penelitian .....................................................................
14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
4.2
Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Log Normal (
Distribusi Log Normal (
Distribusi GG
4.3
Distribusi GG (
Limit dari GLL
4.4
Distribusi Log Normal (
Limit dari GLL
4.3
4.5
....
15
sebagai Bentuk Khusus dari
(
(
.............
18
sebagai Kasus Limiting atau Distribusi
(
19
(
20
sebagai Kasus Limiting atau Distribusi
Grafik Pendekatan Distribusi Log Normal dengan Distribusi
GLL melalui Distribusi GG ......................................................
20
Grafik Distribusi Log Normal dengan Parameter yang
Berbeda ....................................................................................
24
4.6
Grafik Distribusi Generalized Gamma dengan Parameter yang
Berbeda .................................................................................... 26
4.7
Grafik Distribusi Generalized Log-Logistic dengan Parameter
yang Berbeda ...........................................................................
29
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xiii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika adalah ilmu pengetahuan, murni dan terapan, mengenai penciptaan,
pengembangan,
dan
penerapan teknik-teknik
sedemikian rupa sehingga
ketidakpastian inferensia induktif dapat dievaluasi (diperhitungkan). Dalam
statistika terdapat distribusi statistik. Salah satu distribusi yang penting dan
banyak digunakan dalam statistika adalah distribusi normal. Karena distribusi
normal merupakan dasar dari statistika maka distribusi normal merupakan dasar
hukum untuk semua distribusi peluang. Terutama distribusi peluang dengan
peubah acak kontinu. Satu-satunya distribusi peluang dengan peubah acak kontinu
yang mengikuti hukum distribusi normal adalah distribusi log normal.
Penemu distribusi log normal adalah Francis Galton. Distribusi ini sering disebut
juga distribusi Galton. Dalam teori probabilitas, distribusi log normal adalah
distribusi probabilitas sebuah peubah acak yang logaritmanya tersebar secara
normal. Sebuah peubah acak X dengan distribusi normal, maka Y = ln (X)
memiliki distribusi log normal (X
LN (
).
Menurut Warsono dalam On The Estimation of The Generalized Log-Logistic
Distribution with Applications to Pollutant Concentration Data (2000), distribusi
log normal merupakan kasus khusus dari distribusi Generalized Gamma (GG).
Distribusi GG adalah distribusi probabilitas kontinu dengan tiga parameter, yaitu
GG (
. Distribusi GG merupakan generalisasi dari distribusi Gamma.
Menurut Warsono & Kurniasari (2007), distribusi Generalized Log-Logistic
(GLL) merupakan generalisasi dari distribusi log-logistik dengan empat parameter
(
. Keluarga distribusi GLL mengandung distribusi yang sudah
terkenal, seperti distribusi eksponensial, gamma, Weibull, log normal, dan loglogistik, sebagai kasus khusus atau distribusi limitnya. Namun, pernyataan
tersebut belum terdapat pembuktiannya. Karena distribusi log normal merupakan
salah satu keluarga distribusi GLL, maka penulis ingin mengetahui hubungan
antara distribusi log normal dengan distribusi GLL melalui distribusi GG.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan distribusi log normal
dengan distribusi GLL melalui distribusi GG dengan menggunakan fungsi
pembangkit momen masing-masing distribusi tersebut.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah dapat memahami bahwa suatu distribusi dapat
didekatkan dengan distribusi lainnya berdasarkan fungsi pembangkit momen yang
dibentuk oleh kedua distribusi tersebut.
2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Distribusi Normal Umum
Menurut Herrhyanto & Gantini (2009), peubah acak X dikatakan berdistribusi
normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
;
√
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah
, artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan
dan varians
.
Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan
dan varians
bisa
juga ditulis sebagai:
2.2 Distribusi Log Normal
Menurut Kundu & Manglick (2004), Misalkan X adalah sebuah peubah acak
dengan distribusi normal, maka
dengan parameter
memiliki distribusi log normal
dan
, jika dan hanya jika
memiliki fungsi densitas dari X didefinisikan sebagai berikut:
; untuk x
√
Fungsi densitas pada definisi di atas diperoleh dari distribusi normal dengan
mentransformasikan peubah acaknya. Misalkan X dan Y adalah dua buah peubah
acak dengan Y mengikuti distribusi normal. Jika
, maka distribusi
peubah acak X diperoleh dengan mentransformasikan peubah acak
,
yaitu:
|
dengan
adalah fungsi densitas dari distribusi normal, yaitu :
√
dan
|
| |
(
)
| |
Maka, fungsi densitas dari peubah acak X adalah:
; dimana
√
√
Jadi, peubah acak X berdistribusi log normal
. Dengan nilai
rataan dan ragam berturut-turut sebagai berikut:
dan
[ ]
(2.1)
(
)
(2.2)
4
Bukti untuk persamaan (2.1):
[ ]
∫
∫
∫
√
√
(2.3)
Misalkan:
Batas:
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.3) sehingga diperoleh:
[ ]
∫
∫
∫
∫
∫
√
√
√
√
√
5
∫
∫
∫
√
√
(
√
∫
)
(
√
)
Jadi, terbukti bahwa nilai rataan dari distribusi log normal
[ ]
adalah
.
Bukti untuk persamaan (2.2):
[
[
]
]
[ [ ]]
(2.4)
∫
∫
∫
√
√
(2.5)
Misalkan:
6
Batas:
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.5) sehingga diperoleh:
[
]
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(
∫
√
)
(
)
(2.6)
7
Substitusikan persamaan (2.1) dan (2.6) pada persamaan (2.4) sehingga diperoleh:
[
]
[
[ [ ]]
[
][
[
][
]
]
]
Jadi, terbukti bahwa nilai ragam dari distribusi log normal
[
][
adalah
].
2.3 Distribusi Generalized Gamma (GG)
Menurut Stacy (1962), suatu peubah acak X menyebar mengikuti distribusi GG
( , ,
) dan disebut sebagai peubah acak generalized gamma jika dan hanya jika
X memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:
( )
2.4 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL)
Suatu peubah acak X berdistribusi generalized log-logistic dengan parameter
(α, , m1, m2) atau dapat dinotasikan dengan X ~ GLL (α, , m1, m2). Menurut
8
Warsono (2000), fungsi kepekatan peluang dari distribusi GLL dengan peubah
acak X adalah sebagai berikut:
[
Dengan
]
[
]
;
dan
adalah fungsi beta dan
adalah fungsi distribusi log-logistic.
Fungsi distribusi dari GLL
(
)
adalah:
∫
dw
Diperoleh dari dengan memisalkan:
(
)
dengan:
x = peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (failure time).
α = parameter lokasi (threshold) yang menunjukkan lokasi waktu, di mana pada
saat
lokasi
waktu
tersebut,
belum
ada
obyek
pengamatan
yang
mati/rusak/gagal.
= parameter skala yang menunjukkan besarnya karagaman data distribusi GLL
(α, , m1, m2).
(m1, m2) = parameter bentuk yang menujukkan laju kematian/kerusakan/kegagalan
data distribusi GLL (α, , m1, m2).
9
Untuk m1 = m2 = 1, GLL (α, , m1, m2) berubah menjadi distribusi log-logistic.
Untuk m1
m2, fungsi kepekatan peluang GLL (α, , m1, m2) menjulur kearah
positif.
Untuk m1
m2, fungsi kepekatan peluang GLL (α, , m1, m2) menjulur kearah
negatif.
2.5 Ekspansi Deret Maclaurin
Misalkan f adalah suatu fungsi dengan turunan ke (n + 1),
(x) ada untuk
setiap x pada suatu selang buka I yang mengandung a, maka untuk setiap x di I
berlaku:
–
(2.1)
Persamaan (2.1) di atas disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi f (x).
Jika diambil a = 0 maka bentuk deret pada persamaan (2.1) di atas menjadi:
(2.2)
Bentuk deret pada persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret Maclaurin bagi
fungsi f (x).
Dengan menggunakan persamaan (2.2) maka fungsi
dapat diuraikan
menjadi bentuk deret sebagai berikut:
10
Sehingga diperoleh:
∑
(2.3)
(Purcell, Varberg, dan Rigdon, 2003)
2.6 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X, jika ada diberikan oleh jika X
diskrit
∑
dan jika X kontinu
∫
(Miller & Miller, 1999).
Teorema 2.1 Ketunggalan untuk Fungsi Pembangkit Momen
i.
Bila dua fungsi pembangkit momen dari dua peubah acak ada dan sama,
maka kedua peubah acak tersebut mempunyai fungsi distribusi yang sama.
ii. Bila dua peubah acak mempunyai fungsi distribusi yang sama, maka (bila
ada) fungsi pembangkit momennya juga sama.
(Dudewicz & Mishra, 1995)
11
2.7 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Gamma (GG)
Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi GG (α,
, m1), maka fungsi
pembangkit momen dari peubah acak X adalah sebagai berikut:
∑
(2.4)
(Warsono, 2009).
2.8 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL)
Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi GLL (α, , m1, m2), maka fungsi
pembangkit momen dari peubah acak X adalah sebagai berikut:
∑
(2.5)
(Warsono, 2010).
Teorema 2.2 Limiting Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan peubah acak
momen
yang terdefinisi untuk
suatu fungsi distribusi
momen
memiliki fungsi distribusi
M(t),
dan fungsi pembangkit
untuk semua n. Jika terdapat
, yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit
terdefinisi
untuk
, maka
| |
,
sedemikian
sehingga
memiliki distribusi limit dengan fungsi
distribusi F(y) (Hogg & Craig, 1995).
12
2.9 Isometri (U)
Menurut Rawuh (1994), isometri (sama ukuran) dengan lambang (U) adalah
transformasi yang mempertahankan panjang ruas garis.
Sifat-sifat sebuah isometri :
1. Isometri mempertahankan besar sudut.
2. Isometri mempertahankan kesejajaran.
3. Isometri mempertahankan ketegaklurusan.
4. Hasil kali dua isometri akan merupakan isometri lagi.
13
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dimulai pada semester genap tahun ajaran 2012/2013 di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan untuk melihat pendekatan distribusi log normal
dengan distribusi generalized log-logistic (GLL (
generalized gamma (GG
2
)) melalui distribusi
) dengan menggunakan metode pencocokan
nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran
parameternya.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk melihat pendekatan ditribusi log normal
dengan distribusi generalized log-logistic melalui distribusi generalized gamma
adalah sebagai berikut:
1.
Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi log normal.
2.
Membuktikan bahwa ditribusi log normal
dari distribusi GG
, untuk
merupakan kasus khusus
.
Dengan menunjukkan bahwa:
FPM GG
FPM log normal
3.
Menunjukkan bahwa distribusi GG
.
merupakan kasus khusus dari
dan
untuk
distribusi GLL
.
4.
Membuktikan bahwa ditribusi log normal
dari
distribusi
merupakan kasus khusus
untuk
GLL
dan
.
Dengan menunjukkan bahwa:
FPM GLL (
FPM log normal
).
5.
Membuat grafik distribusi log normal, distribusi GG, dan distribusi GLL
dengan nilai parameter yang berbeda-beda dengan menggunakan software R
versi 3.0.1.
15
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan
sebagai berikut :
1.
Distribusi log normal dangan parameter
merupakan bentuk khusus
dari distribusi GG dengan parameter
dan
2.
dan
untuk
.
Distribusi GG dengan parameter
merupakan kasus limiting atau
dan
distribusi limit dari GLL dengan parameter , ,
dan
3.
,
parameter
dan
,
,
, dan
, dan
Distribusi log normal dangan parameter
,
untuk
merupakan kasus limiting
Distribusi log normal dangan parameter
distribusi GLL parameter
, dan
.
atau distribusi limit dari GLL parameter
4.
,
dan
untuk
,
.
dapat didekatkan dengan
melalui distribusi GG dengan
dengan menggunakan fungsi pembangkit momen
masing-masing distribusi tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB,
Bandung.
Herrhyanto, N., dan Gantini. T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Yrama
Widya, Bandung.
Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth
Edition. Prentice-Hall Inc., New Jersey.
Kundu, D., dan Mangklick, A. 2004. “Discriminating Between The Weibull and
Log-Normal Distribution”. Journal.
Law, Averil M., dan Kelton, W. David. 1991. Simulation Modelling and Analysis.
Second Edition. Mc. Graw-Hill Inc., Singapore.
Miller, Irwin., dan Miller, Maryless. 1999. Jhon E. Freun’s Mathematical
Statistics. Sixth Edition. Upper Saddle River., New Jersey.
Purcell, E.J., Varberg, D., dan Ringdon, S.E. 2003.Kalkulus Jilid 2 Edisi
Kedelapan. Erlangga, Jakarta.
Rawuh. 1994. Geometri Transformasi. ITB, Bandung.
Stacy E. W. 1962. A Generalized of The Gamma Distribution. The Annals of
Mathematical Statistics, 33, 1187-1192.
Warsono. 2009. Moment Properties of The Generalized Gamma Distribution.
Proceedings on Seminar NasionalSains MIPA danAplikasinya. Bandar
Lampung : 157-162
Warsono. 2010. Remark On Moment Properties of Generalized Distribution.
Proceedings of The Third International Conference on Mathematics and
Natural Sciences. ITB, Bandung.
Warsono., Usman, M., dan Nusyirwan. 2000. On The Estimation of The
Generalized Log-Logistic Distribution with Applications to Pollutant
Concentration Data. Forum Statistika dan Komputasi. Edisi Khusus: 74-77.
PENDEKATAN DISTRIBUSI LOG NORMAL
DENGAN DISTRIBUSI GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL)
MELALUI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA (GG)
Oleh
Anni
Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) merupakan generalisasi dari distribusi
log-logistik dengan empat parameter (
. Keluarga distribusi GLL
mengandung distribusi yang sudah terkenal, seperti distribusi eksponensial,
gamma, Weibull, log normal, dan log-logistik, sebagai kasus khusus atau
distribusi limitnya. Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan
distribusi log normal dengan distribusi GLL melalui distribusi generalized gamma
(GG) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen masing-masing distribusi
tersebut.
Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa distribusi log normal dangan
dapat didekatkan dengan distribusi GLL melalui distribusi GG dengan parameter
dengan menggunakan fungsi pembangkit momen masing-masing distribusi
tersebut.
Kata kunci: Distribusi Log Normal, Distribusi Generalized Log-Logistic,
Distribusi Generalized Gamma, Deret MacLaurin, Fungsi Pembangkit Momen.
ABSTRACT
APPROXIMATION LOG NORMAL DISTRIBUTION
WITH GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL) DISTRIBUTION
THROUGH OF GENERALIZED GAMMA (GG) DISTRIBUTION
By
Anni
Generalized log-logistic (GLL) distribution is a generalization of the log-logistic
distribution with four parameters (
. GLL distribution family includes
some well-known distributions, such as exponential, gamma, Weibull, log normal,
and log-logistic distributions, as special cases or limiting distributions. The
purpose of this research is to approach a log-normal distribution with GLL
distribution through of the generalized gamma (GG) distribution with parameters
using the moment generating function from each distribution.
From these results it can be concluded that the log-normal distribution can be
approximated by GLL distribution through of the GG distribution with parameters
using the moment generating function from each distribution.
Keywords: Log Normal Distribution, Generalized Log-Logistic (GLL)
Distribution, Generalized Gamma (GG) Distribution, MacLaurin Series, Moment
Generating Function.
V
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ..............................................................................
I.
xiv
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang..........................................................................
1
1.2
Tujuan Penelitian ......................................................................
2
1.3
Manfaat Penelitian ....................................................................
2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Distribusi Normal Umum .........................................................
3
2.2
Distribusi Log Normal ..............................................................
3
2.3
Distribusi Generalized Gamma (GG) .......................................
8
2.4
Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) .............................
8
2.5
Ekspansi Deret Maclaurin ........................................................
10
2.6
Fungsi Pembangkit Momen ......................................................
11
2.7
Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized
Gamma (GG) ............................................................................
12
Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized
Log-Logistik (GLL) ..................................................................
12
Isometri (U) ..............................................................................
13
2.8
2.9
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ..................................................
14
3.2
Metode Penelitian .....................................................................
14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
4.2
Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Log Normal (
Distribusi Log Normal (
Distribusi GG
4.3
Distribusi GG (
Limit dari GLL
4.4
Distribusi Log Normal (
Limit dari GLL
4.3
4.5
....
15
sebagai Bentuk Khusus dari
(
(
.............
18
sebagai Kasus Limiting atau Distribusi
(
19
(
20
sebagai Kasus Limiting atau Distribusi
Grafik Pendekatan Distribusi Log Normal dengan Distribusi
GLL melalui Distribusi GG ......................................................
20
Grafik Distribusi Log Normal dengan Parameter yang
Berbeda ....................................................................................
24
4.6
Grafik Distribusi Generalized Gamma dengan Parameter yang
Berbeda .................................................................................... 26
4.7
Grafik Distribusi Generalized Log-Logistic dengan Parameter
yang Berbeda ...........................................................................
29
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xiii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika adalah ilmu pengetahuan, murni dan terapan, mengenai penciptaan,
pengembangan,
dan
penerapan teknik-teknik
sedemikian rupa sehingga
ketidakpastian inferensia induktif dapat dievaluasi (diperhitungkan). Dalam
statistika terdapat distribusi statistik. Salah satu distribusi yang penting dan
banyak digunakan dalam statistika adalah distribusi normal. Karena distribusi
normal merupakan dasar dari statistika maka distribusi normal merupakan dasar
hukum untuk semua distribusi peluang. Terutama distribusi peluang dengan
peubah acak kontinu. Satu-satunya distribusi peluang dengan peubah acak kontinu
yang mengikuti hukum distribusi normal adalah distribusi log normal.
Penemu distribusi log normal adalah Francis Galton. Distribusi ini sering disebut
juga distribusi Galton. Dalam teori probabilitas, distribusi log normal adalah
distribusi probabilitas sebuah peubah acak yang logaritmanya tersebar secara
normal. Sebuah peubah acak X dengan distribusi normal, maka Y = ln (X)
memiliki distribusi log normal (X
LN (
).
Menurut Warsono dalam On The Estimation of The Generalized Log-Logistic
Distribution with Applications to Pollutant Concentration Data (2000), distribusi
log normal merupakan kasus khusus dari distribusi Generalized Gamma (GG).
Distribusi GG adalah distribusi probabilitas kontinu dengan tiga parameter, yaitu
GG (
. Distribusi GG merupakan generalisasi dari distribusi Gamma.
Menurut Warsono & Kurniasari (2007), distribusi Generalized Log-Logistic
(GLL) merupakan generalisasi dari distribusi log-logistik dengan empat parameter
(
. Keluarga distribusi GLL mengandung distribusi yang sudah
terkenal, seperti distribusi eksponensial, gamma, Weibull, log normal, dan loglogistik, sebagai kasus khusus atau distribusi limitnya. Namun, pernyataan
tersebut belum terdapat pembuktiannya. Karena distribusi log normal merupakan
salah satu keluarga distribusi GLL, maka penulis ingin mengetahui hubungan
antara distribusi log normal dengan distribusi GLL melalui distribusi GG.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan distribusi log normal
dengan distribusi GLL melalui distribusi GG dengan menggunakan fungsi
pembangkit momen masing-masing distribusi tersebut.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah dapat memahami bahwa suatu distribusi dapat
didekatkan dengan distribusi lainnya berdasarkan fungsi pembangkit momen yang
dibentuk oleh kedua distribusi tersebut.
2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Distribusi Normal Umum
Menurut Herrhyanto & Gantini (2009), peubah acak X dikatakan berdistribusi
normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
;
√
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah
, artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan
dan varians
.
Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan
dan varians
bisa
juga ditulis sebagai:
2.2 Distribusi Log Normal
Menurut Kundu & Manglick (2004), Misalkan X adalah sebuah peubah acak
dengan distribusi normal, maka
dengan parameter
memiliki distribusi log normal
dan
, jika dan hanya jika
memiliki fungsi densitas dari X didefinisikan sebagai berikut:
; untuk x
√
Fungsi densitas pada definisi di atas diperoleh dari distribusi normal dengan
mentransformasikan peubah acaknya. Misalkan X dan Y adalah dua buah peubah
acak dengan Y mengikuti distribusi normal. Jika
, maka distribusi
peubah acak X diperoleh dengan mentransformasikan peubah acak
,
yaitu:
|
dengan
adalah fungsi densitas dari distribusi normal, yaitu :
√
dan
|
| |
(
)
| |
Maka, fungsi densitas dari peubah acak X adalah:
; dimana
√
√
Jadi, peubah acak X berdistribusi log normal
. Dengan nilai
rataan dan ragam berturut-turut sebagai berikut:
dan
[ ]
(2.1)
(
)
(2.2)
4
Bukti untuk persamaan (2.1):
[ ]
∫
∫
∫
√
√
(2.3)
Misalkan:
Batas:
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.3) sehingga diperoleh:
[ ]
∫
∫
∫
∫
∫
√
√
√
√
√
5
∫
∫
∫
√
√
(
√
∫
)
(
√
)
Jadi, terbukti bahwa nilai rataan dari distribusi log normal
[ ]
adalah
.
Bukti untuk persamaan (2.2):
[
[
]
]
[ [ ]]
(2.4)
∫
∫
∫
√
√
(2.5)
Misalkan:
6
Batas:
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.5) sehingga diperoleh:
[
]
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(
∫
√
)
(
)
(2.6)
7
Substitusikan persamaan (2.1) dan (2.6) pada persamaan (2.4) sehingga diperoleh:
[
]
[
[ [ ]]
[
][
[
][
]
]
]
Jadi, terbukti bahwa nilai ragam dari distribusi log normal
[
][
adalah
].
2.3 Distribusi Generalized Gamma (GG)
Menurut Stacy (1962), suatu peubah acak X menyebar mengikuti distribusi GG
( , ,
) dan disebut sebagai peubah acak generalized gamma jika dan hanya jika
X memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:
( )
2.4 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL)
Suatu peubah acak X berdistribusi generalized log-logistic dengan parameter
(α, , m1, m2) atau dapat dinotasikan dengan X ~ GLL (α, , m1, m2). Menurut
8
Warsono (2000), fungsi kepekatan peluang dari distribusi GLL dengan peubah
acak X adalah sebagai berikut:
[
Dengan
]
[
]
;
dan
adalah fungsi beta dan
adalah fungsi distribusi log-logistic.
Fungsi distribusi dari GLL
(
)
adalah:
∫
dw
Diperoleh dari dengan memisalkan:
(
)
dengan:
x = peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (failure time).
α = parameter lokasi (threshold) yang menunjukkan lokasi waktu, di mana pada
saat
lokasi
waktu
tersebut,
belum
ada
obyek
pengamatan
yang
mati/rusak/gagal.
= parameter skala yang menunjukkan besarnya karagaman data distribusi GLL
(α, , m1, m2).
(m1, m2) = parameter bentuk yang menujukkan laju kematian/kerusakan/kegagalan
data distribusi GLL (α, , m1, m2).
9
Untuk m1 = m2 = 1, GLL (α, , m1, m2) berubah menjadi distribusi log-logistic.
Untuk m1
m2, fungsi kepekatan peluang GLL (α, , m1, m2) menjulur kearah
positif.
Untuk m1
m2, fungsi kepekatan peluang GLL (α, , m1, m2) menjulur kearah
negatif.
2.5 Ekspansi Deret Maclaurin
Misalkan f adalah suatu fungsi dengan turunan ke (n + 1),
(x) ada untuk
setiap x pada suatu selang buka I yang mengandung a, maka untuk setiap x di I
berlaku:
–
(2.1)
Persamaan (2.1) di atas disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi f (x).
Jika diambil a = 0 maka bentuk deret pada persamaan (2.1) di atas menjadi:
(2.2)
Bentuk deret pada persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret Maclaurin bagi
fungsi f (x).
Dengan menggunakan persamaan (2.2) maka fungsi
dapat diuraikan
menjadi bentuk deret sebagai berikut:
10
Sehingga diperoleh:
∑
(2.3)
(Purcell, Varberg, dan Rigdon, 2003)
2.6 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X, jika ada diberikan oleh jika X
diskrit
∑
dan jika X kontinu
∫
(Miller & Miller, 1999).
Teorema 2.1 Ketunggalan untuk Fungsi Pembangkit Momen
i.
Bila dua fungsi pembangkit momen dari dua peubah acak ada dan sama,
maka kedua peubah acak tersebut mempunyai fungsi distribusi yang sama.
ii. Bila dua peubah acak mempunyai fungsi distribusi yang sama, maka (bila
ada) fungsi pembangkit momennya juga sama.
(Dudewicz & Mishra, 1995)
11
2.7 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Gamma (GG)
Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi GG (α,
, m1), maka fungsi
pembangkit momen dari peubah acak X adalah sebagai berikut:
∑
(2.4)
(Warsono, 2009).
2.8 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL)
Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi GLL (α, , m1, m2), maka fungsi
pembangkit momen dari peubah acak X adalah sebagai berikut:
∑
(2.5)
(Warsono, 2010).
Teorema 2.2 Limiting Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan peubah acak
momen
yang terdefinisi untuk
suatu fungsi distribusi
momen
memiliki fungsi distribusi
M(t),
dan fungsi pembangkit
untuk semua n. Jika terdapat
, yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit
terdefinisi
untuk
, maka
| |
,
sedemikian
sehingga
memiliki distribusi limit dengan fungsi
distribusi F(y) (Hogg & Craig, 1995).
12
2.9 Isometri (U)
Menurut Rawuh (1994), isometri (sama ukuran) dengan lambang (U) adalah
transformasi yang mempertahankan panjang ruas garis.
Sifat-sifat sebuah isometri :
1. Isometri mempertahankan besar sudut.
2. Isometri mempertahankan kesejajaran.
3. Isometri mempertahankan ketegaklurusan.
4. Hasil kali dua isometri akan merupakan isometri lagi.
13
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dimulai pada semester genap tahun ajaran 2012/2013 di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan untuk melihat pendekatan distribusi log normal
dengan distribusi generalized log-logistic (GLL (
generalized gamma (GG
2
)) melalui distribusi
) dengan menggunakan metode pencocokan
nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran
parameternya.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk melihat pendekatan ditribusi log normal
dengan distribusi generalized log-logistic melalui distribusi generalized gamma
adalah sebagai berikut:
1.
Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi log normal.
2.
Membuktikan bahwa ditribusi log normal
dari distribusi GG
, untuk
merupakan kasus khusus
.
Dengan menunjukkan bahwa:
FPM GG
FPM log normal
3.
Menunjukkan bahwa distribusi GG
.
merupakan kasus khusus dari
dan
untuk
distribusi GLL
.
4.
Membuktikan bahwa ditribusi log normal
dari
distribusi
merupakan kasus khusus
untuk
GLL
dan
.
Dengan menunjukkan bahwa:
FPM GLL (
FPM log normal
).
5.
Membuat grafik distribusi log normal, distribusi GG, dan distribusi GLL
dengan nilai parameter yang berbeda-beda dengan menggunakan software R
versi 3.0.1.
15
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan
sebagai berikut :
1.
Distribusi log normal dangan parameter
merupakan bentuk khusus
dari distribusi GG dengan parameter
dan
2.
dan
untuk
.
Distribusi GG dengan parameter
merupakan kasus limiting atau
dan
distribusi limit dari GLL dengan parameter , ,
dan
3.
,
parameter
dan
,
,
, dan
, dan
Distribusi log normal dangan parameter
,
untuk
merupakan kasus limiting
Distribusi log normal dangan parameter
distribusi GLL parameter
, dan
.
atau distribusi limit dari GLL parameter
4.
,
dan
untuk
,
.
dapat didekatkan dengan
melalui distribusi GG dengan
dengan menggunakan fungsi pembangkit momen
masing-masing distribusi tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB,
Bandung.
Herrhyanto, N., dan Gantini. T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Yrama
Widya, Bandung.
Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth
Edition. Prentice-Hall Inc., New Jersey.
Kundu, D., dan Mangklick, A. 2004. “Discriminating Between The Weibull and
Log-Normal Distribution”. Journal.
Law, Averil M., dan Kelton, W. David. 1991. Simulation Modelling and Analysis.
Second Edition. Mc. Graw-Hill Inc., Singapore.
Miller, Irwin., dan Miller, Maryless. 1999. Jhon E. Freun’s Mathematical
Statistics. Sixth Edition. Upper Saddle River., New Jersey.
Purcell, E.J., Varberg, D., dan Ringdon, S.E. 2003.Kalkulus Jilid 2 Edisi
Kedelapan. Erlangga, Jakarta.
Rawuh. 1994. Geometri Transformasi. ITB, Bandung.
Stacy E. W. 1962. A Generalized of The Gamma Distribution. The Annals of
Mathematical Statistics, 33, 1187-1192.
Warsono. 2009. Moment Properties of The Generalized Gamma Distribution.
Proceedings on Seminar NasionalSains MIPA danAplikasinya. Bandar
Lampung : 157-162
Warsono. 2010. Remark On Moment Properties of Generalized Distribution.
Proceedings of The Third International Conference on Mathematics and
Natural Sciences. ITB, Bandung.
Warsono., Usman, M., dan Nusyirwan. 2000. On The Estimation of The
Generalized Log-Logistic Distribution with Applications to Pollutant
Concentration Data. Forum Statistika dan Komputasi. Edisi Khusus: 74-77.